Razkladannya en una serie de funciones fur'є humeantes y no emparejadas desiguales bessel igual parseval. Designación de coeficientes en una fila después de las fórmulas de la fur'e

Poruch Fur'є funciones f (x) en el intervalo (-π ; π) se llama una serie trigonométrica de la forma:
, de

La instrucción Fur'є funciones f(x) en el intervalo (-l;l) se denomina serie trigonométrica de la forma:
, de

Cita. Calculadora de asignaciones en línea para la función f(x) para Ryad Fur'є.

Para funciones de módulo (por ejemplo, |x|), etiqueta propagación por cosenos.

Reglas de introducción de funciones:

Para las funciones del módulo, gire el diseño del coseno. Por ejemplo, para | x | es necesario ejecutar la función sin módulo, es decir. X.

Un número de Fur'є shmatkovo-sin interrupción, shmatkovo-monótono y obmezhena en el intervalo (- yo;yo) convergen a lo largo de todo el eje numérico.

La suma de la serie Four'є S(x) :

• є función periódica con período 2 yo. La función u(x) se llama periódica con período T (o T-periódica), ya que para todas las regiones x R, u(x+T)=u(x).
• en el intervalo (- yo;yo) quedarse sin función F(X), para la viñeta, abriré el punto
• en puntos de expansión (del primer tipo, porque la función está rodeada) funciones F(X) y al final del intervalo los valores medios aumentan:

.
Decir que la función se expande en la serie de Cuatro en el intervalo (- yo;yo): .

Yakscho F(X) es una función de par, entonces es necesario participar solo en funciones de par, por lo que segundo norte=0.
Yakscho F(X) es una función no emparejada, entonces її rozladanny participa solo en funciones no emparejadas, entonces un=0

Poruch Fur'є funciones F(X) en el intervalo (0; yo) por cosenos de múltiples arcos la fila se llama:
, de
.
Poruch Fur'є funciones F(X) en el intervalo (0; yo) detrás de los senos de múltiples arcos la fila se llama:
, de .
La suma de la serie de los Cuatro para los cosenos de múltiples arcos es una función periódica emparejada con un período de 2 yo, lo que está huyendo de F(X) en el intervalo (0; yo) en los puntos de continuidad.
La suma de la serie de Cuatro para los senos de varios arcos es una función periódica no apareada con un período de 2 yo, lo que está huyendo de F(X) en el intervalo (0; yo) en los puntos de continuidad.
Un número de Cuatro para una función dada en un intervalo dado de poder de unidad, de modo que el diseño se toma de una manera diferente, menor variación de fórmulas, por ejemplo, para una selección adicional de coeficientes, los coeficientes de los coeficientes se calculan usando fórmulas

Ejemplo número 1. Expande la función f(x)=1:
a) en la siguiente serie de Cuatro en el intervalo(-π ;π);
b) fila y detrás de los senos de múltiples arcos en el intervalo(0;π); inducir el horario de la fila eliminada Four'e
Solución:
a) La distribución a la fila de Cuatro en el intervalo (-π; π) puede verse:
,
además, todos los coeficientes segundo norte=0, porque se da la función - par; de tal manera

Obviamente, los celos serán vikonana, así que acepta.
a 0 =2, a 1 =a 2 =a 3 =…=0
Mirando hacia atrás al poder de la unidad y є shukani koefіtsіenti. En este rango, shukane presenta: chi es solo 1=1.
En tal caso, si la serie también corre junto con su función, el gráfico de la serie Cuatro corre con el gráfico de la función en toda la línea recta numérica.
b) Se puede ver la disposición en el intervalo (0; π) detrás de los senos de múltiples arcos:
Pіdіbrati koefіtsієnti esos shchob vykonuvalos vykonuvalos, obviamente, imposible. Acelerado por la fórmula para el cálculo de los coeficientes:


En este rango, para los chicos norte (norte=2k) quizás segundo norte=0, para desemparejado ( norte=2k-1) -
Bien, .
Animaremos el horario de la serie otrimanogo de Fur'є, acelerando con potencia (maravilloso).
Nasampered, buduєmo programa tsієї funktsії en un intervalo dado. Dalі, corriendo a través de la suma no apareada de la serie, continuamos el gráfico simétricamente a la mazorca de coordenadas:

Producido periódicamente en todo el eje numérico:


І nareshti, en los puntos de expansión, recordaré el medio (entre nosotros gobernamos y dejamos el límite) que significa:

Ejemplo número 2. Ampliar la función en el intervalo (0; 6) detrás de los senos de múltiples arcos.
Solución: Razkladannya, de qué estás bromeando, puedes mirar:

Oscilki y leva, y los derechos de la paridad de la paridad tienen más probabilidades de ser vengados por la función del pecado en el caso de diferentes argumentos, al lado del reverso, chi zbіgayutsya con cualquier valor de n (¡natural!) Argumentos de senos en las partes izquierda y derecha de la paridad:
o estrellas n =18. Significa que tal adición debe vengarse de la parte derecha y el coeficiente tiene la culpa del nuevo debido al coeficiente de la parte izquierda: b 18 =1;
o estrellas n =4. Significar, b 4 =-5.
En este rango, para la ayuda de la selección de coeficientes, fue necesario cuidar el diseño.

Los yaks ya son más amables. Y creo que ha llegado el momento, si de las reservas estratégicas de la teoría ha llegado el momento de ganar nuevas latas. ¿No puedes poner la función en una fila como esta? Por ejemplo, ¿cómo dibujar líneas rectas a través de senos y cosenos? Seamos anónimos, pero aún así, nachebto, muy lejos, uno en la misma función.
"Resurrección". La flor y nata de los pasos familiares en la teoría y la práctica se encuentra en otros enfoques para diseñar funciones en una fila.

En este punto, estamos familiarizados con la serie trigonométrica Four'є, centrándonos en la nutrición de yogo zbіzhnostі y sumi і, obviamente, consideremos aplicadas numéricamente a la distribución de funciones en la serie Fur'є. Me gustaría llamar al artículo "Una fila de pieles para teteras", pero habría sido astuto, los fragmentos para el logro de la tarea requerían conocimiento de otras divisiones del análisis matemático y algo de conocimiento práctico. Por lo tanto, el preámbulo cuenta el entrenamiento de los astronautas =)

En un primer paso, antes de completar los materiales, se deben agregar los lados al formulario oficial. Se durmieron, se durmieron y se hicieron más fuertes. Sin emociones fuertes ante el impulso de la pata malvada del hámster y pensamientos molestos sobre la vida de los peces de acuario. Un número de Fur'є no son plegables de un vistazo rozumіnnya, prote praktіnіnі zavdannya vymagayut just podvishchenoї kontsentratsії vagi - en idеаlі sіd povnіstіu vіdmovіtіії vіd zvnіshnіkhіpodraznі. La situación está empeorando porque no hay una manera fácil de reconsiderar la decisión y la situación. En este rango, si su sentimiento de sí mismo es más bajo que el promedio, entonces es mejor ocuparse de eso, lo perdonaremos. Verdad.

De otra manera, antes del vuelo espacial, es necesario quitar el panel de accesorios de la nave espacial. Veamos el significado de las funciones, ya que se debe hacer clic en ellas automáticamente:

Con cualquier valor natural:

una). En primer lugar, la sinusoide "parpadea" toda la abscisa a través de la piel "n":
. Cuál debería ser el valor negativo del argumento, el resultado, por supuesto, será el mismo: .

2). Y no todos lo sabían. Coseno "pien" es el equivalente de "luces intermitentes":

No cambies el argumento negativo: .

Mamá, eso es suficiente.

Yo, en tercer lugar, la gran muerte de los astronautas, es necesario recordar... integrar.
Zokrema, cantado introducir la función al signo de la diferencial, integrar por partes estoy en problemas Fórmula de Newton-Leibnitz. Más importante aún, el piso delantero es correcto. No recomiendo saltearlo categóricamente, para no aplanarnos por la falta de espacio:

trasero 1

Calcular los signos de la integral

de nabuvaє valores naturales.

Solución: la integración se lleva a cabo después del cambio "ix" y en esta etapa el cambio discreto "en" se tiene en cuenta por una constante. Para todas las integrales introducir la función bajo el signo de la diferencial:

Una versión corta de la solución, a la que es bueno apuntar, luciendo así:

Nosotros llamamos:

Puntos chotiri, que se pierden, de forma independiente. Intente apostar sumariamente antes de la tarea y complete la integración de manera breve. Solución Zrazki como una lección.

Después del yak_sny vikonannya, los trajes espaciales se ponen bien.
y prepárate para el comienzo!

Disposición de las funciones de una fila de Fur'є en el suelo

Veamos la función de deak, yak fijado aceptar por un interino (y, quizás, por un interino mayor). Dado que esta función está integrada en un triplete, se puede expandir a una función trigonométrica fila de cuatro:
de - así llamado coeficiente Fur'є.

a que numero llamar período de disposición, Y el número - napіvіrodom rozladannya.

Es obvio que, en un movimiento salvaje, la serie de los Cuatro se compone de senos y cosenos:

Diysno, escribamos este informe:

El término cero es bajo aceptado para ser registrado como .

Coeficiente Fur'є están asegurados para las siguientes fórmulas:

Es genial entender que he aprendido sobre el tema por el momento, todavía tengo poca comprensión de los nuevos términos: período de apertura, período de siesta, coeficiente Fur'є que en Sin pánico, tse no igual a los elogios antes de salir del espacio abierto. En todo, consideremos en el ejemplo más cercano, ante los vicones, es lógico colocarlos con los esenciales nutrimentos prácticos:

¿Qué hay que hacer en las tareas inferiores?

Ampliar la función hasta la Cuarta serie. Dodatkovo a menudo es necesario representar un gráfico de una función, un gráfico de una suma en una fila, una suma privada y en el caso de fantasías de profesores agudizadas con más frecuencia.

¿Cómo ampliar la función a la serie Cuatro'?

De hecho, es necesario saber coeficiente Fur'є sumar y contar tres cantando integrales.

Sea una caricia, reescriba la infame fila de Cuatro y tres fórmulas de trabajo para usted. Estoy seguro de que algunas personas que ven el sitio sueñan con convertirse en astronautas justo en frente de mis ojos.

trasero 2

Coloque la función en la serie Four'є en el intervalo. Induzca un programa, un programa de sumas para un número de sumas privadas.

Solución: la primera parte de la tarea se presenta en el diseño de las funciones de la serie Fur'є.

La mazorca es estándar, obov'yazkovo está escrito, erudito:

En quien el líder tiene un período de distribución, período de siesta.

Pongamos la función en una serie de Fur'є para un intermedio:

Vikoristovuyuchi vіdpovіdnі fórmulas, sabemos coeficiente Fur'є. Ahora hay que sumar y contar hasta tres cantando integrales. Para mayor claridad, numero los puntos:

1) La primera integral es la más sencilla, sin embargo, ya tiene ojo por ojo:

2) Vikoristovuemo otra fórmula:

Tsey se integra bien en ser tomado en partes:

Al conocer vikoristano método.

En el líder vigilado, es más fácil ganar una victoria la fórmula para integrar por partes en una sola integral :

Un par de consideraciones técnicas. Primero, después de las fórmulas de zastosuvannya es necesario poner todo el viraz en el gran arco, fragmentos delante de la integral exterior є constante. No gastes її! Los lazos se pueden abrir en un ganchillo lejano, no lo puse en el resto del negro. En el primer "shmatka" vyyavlyaemo precisión extrema en pіdstanovtsi, como una bachita, la constante no está a la derecha, y la interintegración se presenta en televisión. Tsya deya se ve con arcos cuadrados. Bueno, la integral de otra fórmula "shmatka" para ti es bien conocida por la tarea de entrenamiento ;-)

En primer lugar, ¡la concentración limitante del respeto!

3) Shukaєmo tercer coeficiente Fur'є:

Otrimano relativo de la integral directa, que es tezh integrar por partes:

Esta copia del troch está doblada, comentaré más sobre el pokrokovo:

(1) Viraz vuelve a acostarse en la gran proa. No queriendo dejar de ser aburrido, a menudo hay que desperdiciar una constante.

(2) En este punto, abrí negativamente mis grandes arcos. Respeto especial Agregamos al primer "shmatka": el lanzamiento constante y tomamos parte en las subestaciones entre la integración ( i ) a tvir. A través de la caracterización del registro, puedo volver a verlo con arcos cuadrados. Con otro "shmatkom" todo es más simple: aquí apareció la gota después del descubrimiento de los grandes arcos y la constante, después de la integración de la integral conocida ;-)

(3) En los arcos cuadrados se realiza una transformación, y para la integral derecha, una sustitución entre integraciones.

(4) Culpamos a la "luz intermitente" de los brazos cuadrados: si abrimos los brazos interiores: .

(5) Mutuamente 1 ta -1 en los arcos y simplificación conductiva residual.

En Nareshti, se encontraron los tres coeficientes de Fur'єnti:

Representamos la fórmula :

Con quién, no olvides dividir el navpіl. En el resto de la etapa, la constante ("menos dos"), para no estar en la forma "en", fue culpada por el inter sum.

En este orden, quitamos el diseño de las funciones en una serie de Fur'є por un intervalo:

Vivchimo nutrición zbіzhnostі bajo Fur'є. Voy a explicar la teoría, zokrema. teorema de Dirichlet, literalmente "en los dedos", por lo que necesita un formulario avanzado, sea amable, recurra a un tutor para el análisis matemático (Por ejemplo, el segundo volumen de Bohan; o el tercer volumen de Fikhtengolts, pero de una manera nueva).

En la otra parte de la tarea, es necesario dibujar un cronograma, un cronograma de sumas seguidas y un cronograma de sumas privadas.

Gráfica de la función directamente en el piso, como se muestra en la línea punteada negra:

Elegimos de la suma de la fila. Como sabes, las series funcionales convergen en funciones. Nuestra mentalidad tiene un número de cuatro para cualquier significado "iks" zіydetsya a la función, como se muestra en el color chervonim. ¿Qué función es soportar ascenso del 1er tipo en los puntos, se asigna cerveza i en ellos (puntos rojos en el sillón)

De esta forma: . Es fácil de bachiti, que se recuerda a raíz de la propia función externa en el registro. se pone el signo de “tilde”, y chi no es signo de ecuanimidad.

Vivchimo es un algoritmo que se puede utilizar para resumir una serie.

En el intervalo central, la serie de los Cuatro converge en una función (la línea roja central zbіgaєtsya con una línea punteada negra de la función lineal).

Ahora podemos decir un poco acerca de la naturaleza del diseño trigonométrico que se está analizando. Cerca de Four'e incluyen solo funciones periódicas (constante, seno y coseno), a la suma de la serie también con una función periódica.

¿Qué significa para nuestra aplicación particular? A tse significa los que están en fila –no permanentemente periódico y chervoniy vіdrіzok _interval es culpable de repetir incesantemente levoruch y la mano derecha.

Creo que de inmediato se hizo más claro el significado de la frase "el período de disposición". Se dice aparentemente, a través de la situación de la piel una y otra vez se repite.

Realmente suena para representar tres períodos de diseño, como si estuviera aplastado en un sillón. Bueno, incluso más "tocones" de los períodos repentinos: Schob Boulo se dio cuenta de que el cronograma continúa.

De particular interés para representar puntos de expansión del 1er tipo. En tales puntos, la fila Fur'є desciende a valores aislados, como roztashovanі exactamente en el medio del "corte de pelo" rozrivu (manchas rojas en el sillón). ¿Cómo reconocer la ordenada de estos puntos? En el reverso conocemos la ordenada de la “punta superior”: para lo cual calculamos el valor de la función en el punto extremo derecho del periodo central del trazado: . Para calcular la ordenada de la “parte superior inferior”, simplemente tome el valor del extremo izquierdo del mismo período: . La ordenada del valor medio es la media aritmética de la suma de "arriba y abajo": . Aceptemos el hecho de que cuando te despiertes en la silla, inmediatamente dirás si el medio se calculó correctamente o incorrectamente.

Hagamos que la suma privada sea baja y repitamos de manera contagiosa el sentido del término "ingreso". Motivación para otra lección sobre suma de la serie numérica. Anotaremos nuestra riqueza en un informe:

Para sumar una suma privada, es necesario anotar cero + dos términos más seguidos. Tobto,

Sobre el sillón gráfico de la función de la imagen en color verde, y, como una bachita, para terminar elegantemente “envuelto” alrededor de la suma. Si observa la suma privada de cinco miembros seguidos, entonces el gráfico de las funciones es más preciso que las líneas rojas, si tiene cien miembros, entonces los "verdes de la serpiente" en realidad se superpondrán con las líneas rojas. . En este orden, la serie Fur'є converge en su suma.

Tsіkavo significa que ya sea una suma privada - tse función ininterrumpida, el prote povna suma en una fila sigue siendo rozrivna.

Realmente, rara vez es necesario inducir un programa de una suma privada. ¿Cómo tse robiti? A veces, es necesario mirar la función en la parte superior, calcular los valores de los puntos de la parte superior y en los puntos intermedios (cuantos más puntos mires, la gráfica será más precisa). Luego, asigne los siguientes puntos de datos en la silla y dibuje con precisión un gráfico para el período, después del cual "difundirá" el yoga en el día. ¿Y de qué otra manera? Proximidad adyacente: esta es una función periódica ... ... hay un horario menos її para adivinar el ritmo igual del corazón en la pantalla del dispositivo médico.

Vikonuvati pobudovu, zvichayno, no demasiado inteligentemente, para el que muestra inexactitud, la precisión de vitrimuyuchi no es inferior a medio milímetro. Sin embargo, chitachiv, si no está de acuerdo con los sillones, lo complaceré: la cabeza "real" de la silla no debería estar muy lejos, aquí en el 50% del vipadkіv es necesario colocar la función hasta la fila de los Cuatro y eso es todo.

Después de la consagración de la silla, completamos la tarea:

vidpovid:

Rica tarea para aguantar ascenso del 1er tipo justo en el período de distribución:

trasero 3

Coloque en una serie Four'є la función asignada a la vіdrіzka. Cruza la gráfica de la función y vuelve a sumar la fila.

La función propuesta se establece en un rango grumoso (Además, respeto, solo en el vіdrіzku) aguanto ascenso del 1er tipo en el punto ¿Puedes determinar el coeficiente de Fur'e? No hay problema. I leva y derechos de la parte de la función se integran en sus propias líneas, por lo que la integración de la piel de las tres fórmulas sigue el impuesto al mismo tiempo que la suma de dos integrales. Preguntémonos, por ejemplo, cómo luchar con un coeficiente cero:

La otra integral llegó a cero, lo que cambió el trabajo, pero no será así.

Del mismo modo, se escriben otros dos coeficientes de Fur'є.

¿Cómo dibujar la suma de una fila? En el intervalo izquierdo hay sillones rectos, y en el intervalo hay sillones rectos (negrita-negrita vemos el eje). Tobto, en medio de la disposición de la suma de una serie de zbіgaєtsya z funkієyu skrіz, krіm tres puntos "desagradables". En el punto de expansión de la función, la serie de los Cuatro alcanzará un valor aislado, como si se extendiera en medio del "corte de pelo" de la expansión. Yogo habla sin importancia y verbalmente: límite de la mano izquierda:, límite de la mano derecha: y es obvio que la ordenada del punto medio es 0,5.

Mirando hacia atrás en la periodicidad de la suma, la imagen debe "multiplicarse" en los períodos diarios, y las imágenes deben dibujarse en los mismos intervalos. Con esto, en los puntos, la serie del Cuatro subirá a los valores medios.

De hecho, no hay nada nuevo aquí.

Trate de meterse en estas tareas por su cuenta. Una pieza de fino diseño que sillón es como una lección.

Distribución de las funciones de la serie Fur'є en el período anterior

Durante un largo período de expansión, de "pícea", ya sea un número positivo, las fórmulas para la serie de Cuatro y los coeficientes de Fur son tres veces más complicadas por el argumento del seno y el coseno:

Yakshcho, luego hay fórmulas para un ínterin, por lo que comenzamos.

El algoritmo y los principios para resolver el problema se guardan con mayor frecuencia, pero la complejidad técnica del cálculo aumenta:

trasero 4

Plantee la función en la serie Four'e e induzca el programa de la suma.

Solución: de hecho, un análogo de Butt No. 3 con apertura del 1er tipo en el punto En quien el gerente tiene un período de distribución, período de siesta. La función se asigna solo en el primer intervalo, pero no la cambia correctamente; es importante que las funciones estén integradas.

Expandamos la función a la cuarta fila:

Dado que la función se divide en la mazorca de coordenadas, entonces el coeficiente de piel Fur'e es obviamente el siguiente para anotar cuando se observa la suma de dos integrales:

1) Escribiré la primera integral lo más claramente posible:

2) Relativamente sorprendido en la superficie de la Luna:

otra integral tomar en partes:

¿Sobre qué base debo presentar mi respeto por el hecho de que, como una pequeña estrella, veo el progreso de la decisión?

Primero, no uses la primera integral. de vіrazu vikonuєmo señal de advertencia del diferencial. De otra manera, no olvidaré la perversa constante frente a los grandes arcos que no te desvíes de las señales con diferentes fórmulas . Grandes arcos, sin embargo, es más conveniente abrir el pliegue en el escalón en la muleta.

Otra técnica a la derecha, plegable, también puede llamar a una prueba de integración insuficiente.

Entonces, no fue en vano que los colegas del matemático francés Four'e se sintieron abrumados: ¿cómo vieron el diseño de las funciones de la serie trigonométrica? =) Antes del discurso, cantando, toda la cicavia es una práctica zmist zavdannya. Fur'є mismo trabajó en el modelo matemático de la conductividad térmica y, con el tiempo, varios nombres de yoga e im'yam se convirtieron en zastosovuvatisya para el desarrollo de procesos periódicos ricos, que son invisibles para el mundo ingenuo. Inmediatamente, hasta el punto de hablar, empapándome de los pensamientos, pero no vipadkovo después de haber cambiado el horario del otro trasero con el ritmo periódico del corazón. Bajayuchi puede aprender de la práctica zastosuvannyam la transformación de cuatro en dzherelah de terceros. ... Si no lo necesitas mejor, estarás adivinando, como Pershe Kokhannya =)

3) Vrakhovuyuchi débil lanka, scho adivinó repetidamente, se analiza con el tercer coeficiente:

Integrable por partes:

Supongamos que conocemos los coeficientes de Fur'e en la fórmula , no olvides agregar el coeficiente cero navpil:

Mantengamos el horario bajo. Repita brevemente el orden dіy: en el intervalo será recto, pero en el intervalo, recto. Con un valor cero de "iks", ponemos un punto en el medio del "corte de pelo" y dibujamos ese horario "circulado" para el próximo período:


En los "palos" de los períodos, la suma también es más cara que la mitad del "corte de pelo" rozryu.

Listo. Supongo que la función en sí está asignada a la mente solo en el primer intervalo y, obviamente, se agota en la suma de la serie en los intervalos.

vidpovid:

En algunos casos, la función se da sin interrupción durante el período de replanteo. El ojo más simple: . Solución (Div. 2do volumen de Bohan) lo mismo, como dos traseros delanteros: independientemente de función ininterrumpida en el punto, el coeficiente de piel Fur'є se expresa mediante la suma de dos integrales.

En medio de la disposición punto de apertura del 1er tipo uno u otro punto “palo” del gráfico puede ser cada vez más grande (dos, tres kentseve kіlkіst). Aunque la función de la parte de la piel está integrada, también se presenta a bajo Fourier. Pero no puedo adivinar desde el punto de vista práctico. Tim no es más pequeño, se están realizando tareas más importantes, mírelas más abajo y, por ejemplo, las estadísticas para todos aquellos que confían en ellas, se envían a una serie de plegados avanzados de Fur'є.

Mientras tanto, relajemos, mirando los sillones y mirando los amaneceres interminables:

trasero 5

Diseñe la función en la fila Fur'є para el intervalo e induzca el programa de suma para la fila.

Cuya función se le asigna ininterrumpido en el primer intervalo de tendido, lo que facilita la decisión. Todo es similar al Ejemplo No. 2. No puedes ir a ninguna parte desde una nave espacial, tendrás que hacerlo =) Se agrega un ejemplo de aplicación de dibujar un gráfico para una lección.

Disposición en una serie de funciones emparejadas y no emparejadas de Four

Con chicos y funciones no emparejadas, se recordará el proceso de ejecución de la tarea. Yo eje por qué. Pasemos al diseño de la función de la serie Four en el período de "dos pі" ese período de tiempo "dos abetos" .

Supongamos que nuestra función está emparejada. Zagalny miembro de la serie, como una bachita wi, vengar los pares de coseno y senos impares. Y si diseñamos una función PAR, ¿entonces necesitamos senos desapareados? Restablezcamos el coeficiente no requerido: .

de tal manera, la función emparejada está dispuesta en una serie Fur'є solo en cosenos:

Oskilki integrales en forma de funciones de par de acuerdo con el método simétrico de cero, se puede conquistar la integración, luego se aclararán los otros coeficientes Fur'є.

Para una promoción:

Durante un tiempo razonable:

Antes de las aplicaciones de libros de texto, yakі prácticamente en cualquier tipo de asistente con análisis matemático, establezca el diseño de las funciones de los chicos. . Además, el hedor fue golpeado repetidamente en mi práctica especial:

trasero 6

Dada una función. Requerido:

1) expandir la función a un período Fur'є z bajo, de - número bastante positivo;

2) escriba el diseño para el ínterin, induzca a que la función y el horario se resuman en una fila.

Solución: en el primer punto, la virilidad se propaga desde el aspecto zagalny, ¡y es más conveniente! Es necesario aparecer, solo envíe su valor.

1) Para esta tarea, el período de implementación, período de siesta. En el curso del bricolaje distante, zokrema durante una hora integruvannya, "abeto" es respetado por una constante

La función es un par y, por lo tanto, se organiza en una serie de Fur'є solo en cosenos: .

Coeficiente Fur'є shkaєmo detrás de las fórmulas . Devuélvele el respeto a este loco perevaga. En primer lugar, la integración se lleva a cabo después de un diseño positivo, lo que significa que nos deshacemos del módulo de forma segura. , mirando dos shmatkіv solo "iks". Y de otra manera, se recuerda pedir integración.

Dos:

Integrable por partes:

De esta forma:
, en su propia constante, yak para mentir en forma de "en", vinosim mezhі sumi.

vidpovid:

2) Escribamos el diseño para el intermedio, para lo cual en la fórmula final introducimos el valor requerido para el primer período:

transcripción

1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN CIENTÍFICA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA UNIVERSIDAD ESTATAL DE NOVOSIBIRSK FACULTAD DE FÍSICA R.K.

2 UDC BBK B161 B44 B44 Belkhєєva R. K. Ryadi Fur'є en colillas y tareas: Guía de rumbo / Novosib. tenencia un-t. Novosibirsk, s. ISBN La guía principal contiene la información principal sobre las filas de Cuatro, está dirigida al tema de la piel que se está desarrollando. Análisis detallado de la aplicación del método de los Cuatro al desarrollo del problema del desdoblamiento transversal de la cuerda. Material ilustrativo proporcionado. Є zavdannya solución independiente. Citas para estudiantes y nominados de la Facultad de Física de NSU. Ser amigo del comité metódico superior de la Facultad de Física de la NSU. Revisor Dr. fiz. Ciencias. V. A. Alexandrov Asistencia en los preparativos para la implementación del Programa de Desarrollo NDU-NSU en párrs. ISBN de la Universidad Estatal de Novosibirsk, 211 de Belkhev R.K., 211

3 1. Expansión de una función periódica 2π hasta la cuarta serie V. Función La función f(x) de Fur se denomina serie funcional a 2 + (an cosnx + bn sen nx), (1) los coeficientes an, bn se calculan mediante las fórmulas: an = 1 π bn = 1 π f(x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sen nxdx, n = 1, 2,.... (3) Las fórmulas (2) (3) se denominan las cuatro fórmulas de Euler. El hecho de que las funciones f(x) coincidan con la Cuarta serie (1) se puede escribir como la fórmula f(x) a 2 + (an cosnx + bn sen nx) (4) y parece que la parte correcta de la fórmula (4) es la cuarta serie formal de la función f(x). Aparentemente, la fórmula (4) significa solo aquellos en los que los coeficientes a n, b n se encuentran detrás de las fórmulas (2), (3). 3

4 Cita. La función 2π-periódica f(x) se llama schmattko-smooth, porque en el intervalo [, π] hay el último número de puntos = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 pequeños. 1. Gráfica de la función f(x) Cálculo del coeficiente Fur'є a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 ( ) x sen nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, con n desapareado, con n apareada, f (x) sen nxdx =, porque la función f(x) es apareada. Escribamos la serie Fur'є formal para la función f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Se explica que la función f(x) es suave por partes. Dado que es ininterrumpido, solo podemos contar los inters (6) en los puntos finales del espacio x = ±π i en los puntos del mal x = : і f (π h) f (π) π h π f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + hh + hf(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f(h) f () h () lím = lím = 1. h+ hh + h Según el teorema de Krapkoff, las Cuatro series convergen a f(x) en el punto de la piel, entonces f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) 2, 3 indicaciones de la naturaleza de la aproximación de las sumas parciales a Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k=1 a la función f (x) en el intervalo [, π] . 6

7 pequeño. Fig. 2. Gráfico de la función f (x) con superposiciones en los nuevos gráficos de sumas parciales S (x) \u003d a 2 y S 1 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x 3. Gráfico de la función f(x) superpuesto al nuevo gráfico de la suma parcial S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Sustituyendo en (7) x \u003d tomado: \u003d π 2 4 π k \u003d 1 (2k + 1) 2, conocemos la suma de la serie numérica: \u003d π2 ) S = () = π S, también S = π2 6, luego 1 n = π Vaughn habla a menudo en análisis matemático y suplementos de yoga. APLICACIÓN 2. Gráfico pequeño, conocemos la serie de funciones de Four dada por la fórmula f (x) \u003d x para x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 pequeño. 4. Gráfica de la función f(x) La función f(x) está continuamente derivada al intervalo (, π). En los puntos x = ±π, hay pocos límites finales (5): f() =, f(π) = π. Además, para establecer los límites finales (6): f(+ h) f(+) lim = 1 і h + hf(π h) f(π +) lim = 1. h + h función suave. Dado que la función f(x) no está apareada, entonces a n =. Se sabe que el coeficiente bn está integrado por las partículas: bn = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2 (1)n+ 1. n Series formales plegables Fur'є funciones 2(1) n+1 f(x) sen nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Es razonable converger a la suma del teorema sobre la eficiencia puntual de una función periódica 2π suave como Schmattkovo: 2(1) n+1 sen nx = n f(x) = x, lo que significa π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 pequeño. Fig. 6. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S2(x) 7. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S 3 (x) 11

12 pequeños. 8. Gráfico de la función f(x) superpuesto al nuevo gráfico de la suma parcial S 99 (x) Vykoristuyemo restando la serie Fur'є por la suma de dos series numéricas. Pongamos (8) x = π/2. Entonces 2 () + ... = π 2, o = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Conocimos fácilmente la suma de la serie de Leibniz. Poniendo x = π/3 en (8), sabemos () +... = π 2 3, de lo contrario (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 APLICACIÓN 3. Sólo un gráfico, conocemos la serie de Cuatro de la función f(x) = sen x, suponiendo que existe un periodo 2π, i 1, podemos calcular la suma de la serie numérica 4n 2 1. Solución. El gráfico de la función f(x) se muestra en la fig. 9. Obviamente, f(x) = sen x es una función de par ininterrumpida de periodo π. Ale 2π es también el periodo de la función f(x). Mal. 9. Gráfica de la función f(x) Усі b n = que la función está emparejada. Usando fórmulas trigonométricas, calculamos an cuando n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos ( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + norte 1 norte π 1 norte 2 ( 4 1, entonces n = 2k, = π norte 2 1, entonces n = 2k

14 Tse cálculo no permite conocer el coeficiente a 1, por lo que cuando n = 1 la bandera se vuelve cero. Por lo tanto, calculamos el coeficiente a 1 sin un medio: a 1 \u003d 1 π sin x cosxdx \u003d. Como f(x) está ininterrumpidamente diferenciada por (,) i (, π) i en los puntos kπ, (k es el número) puntos: = 2 π 4 π senx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 porque 2x porque 4x + 1) porque 6x 1. Gráfico de la función f(x) superpuesto al nuevo gráfico de la suma parcial S(x) 14

15 pequeños. Fig. 11. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S1(x) 12. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S2(x) 13. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S 99 (x) 15

16 1 Calcula la suma de la serie numérica. Para lo cual 4n 2 1 podemos poner (9) x =. Entonces cosnx = 1 para todo n = 1, 2, ... i otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = 1 1 = b 2n 1 = para todos los n 1, de la misma manera, también a 2n 1 = b 2n 1 = para todos los n 1, entonces f(x) es π-periódica. Solución. Sea la función f(x) π-periódica. Podemos calcular los coeficientes її Fur'є a 2n 1 i b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f( x ) cos (2n 1) xdx. Para la primera integral, podemos reemplazar el cambio x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. dieciséis

17 Considerando que cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t i f(t π) = f(t), podemos tomar: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos(2n 1) x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. De manera similar, se puede argumentar que b 2n 1 =. Ahora, digamos a 2n 1 = b 2n 1 =. Como la función f(x) es ininterrumpida, entonces, según el teorema de la aparición de una función en un punto de su Cuarta serie, es posible que f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sen 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sen 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sen 2nx) = f(x), lo que significa que f(x) es una función π-periódica. APLICACIÓN 5. Se puede demostrar que la función suave f(x) satisface la mente f(x) = f(x) para todo x, entonces a = i a 2n = b 2n = para todo n 1, i de la misma manera , entonces a = a 2n = b 2n =, entonces f(x π) = f(x) para todo x. Solución. Deje que la función f(x) satisfaga la mente f(xπ) = f(x). Cálculo del coeficiente її Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Para la primera integral, podemos reemplazar el cambio x = t π. Entonces f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Considerando que cos n(t π) = (1) n cosnt y f(t ​​π) = f(t), podemos tomar: an = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt =, entonces n par = 2 π f(t) cos nt dt, entonces n no es par. π De manera similar, se puede argumentar que b 2n =. Navpaki, digamos a = a 2n = b 2n =, para todo n 1. Dado que la función f(x) no tiene interrupciones, entonces el teorema sobre la aparición de una función en un punto de su serie Cuatro sostiene que f(x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sen (2n 1)x). Dieciocho

19 Theni = f(x π) = = = f(x). APLICACIÓN 6. Sigamos integrando en el intervalo [, π/2] la función f(x) en el intervalo [, π], de manera que la serie de Cuatro quede como: a 2n 1 cos(2n 1)x. (1) Solución. Véase la gráfica de la función, apuntando a la fig. 14. Fragmentos en serie (1) a = a 2n = b 2n = para todo n, luego del extremo 5 vemos que la función f(x) es responsable de satisfacer la igualdad f(xπ) = f(x) para todo X. Esta es una forma de continuar la función f(x) intervalo [, /2] : f(x) = f(x+π), fig. 15. Debido a que la serie (1) solo puede cubrir el coseno, es posible que la función f (x) pueda continuarse como un par (para que la gráfica sea simétrica al eje Oy), Fig.

20 pequeños. 14. Gráfica de la función f(x) Small. 15. Gráfica de la continuación de la función f(x) en el intervalo [, /2] 2

21 Nuevamente, la función puede ser necesaria, señalando la fig. 16. Pequeño. 16. Gráfica de la continuación de la función f(x) para el intervalo [, π] [π/2, π], la gráfica de la función f(x) es centralmente simétrica a lo largo del punto (π/2,), y en el intervalo [, π] la gráfica es simétrica a lo largo del eje Oy. 21

22 APÉNDICE 3 6 Sea l >. Veamos dos cosas: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x[, l/2]. El punto geométrico de Umov (a) significa que la gráfica de la función f(x) es simétrica con respecto a la línea vertical x = l/2, y Umov (b) que la gráfica f(x) es centralmente simétrica con respecto al punto (l/ 2;) en el eje de abscisas. De manera similar, las siguientes afirmaciones son verdaderas: 1) si la función f(x) está emparejada con el vikonan (a) de Umov, entonces b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) como una función f(x) de un par de vikonan Umov (b), entonces b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... =; 3) si la función f(x) es impar y el vikonan de Umov (a), entonces a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) Como la función f(x) es impar y el Vikonan de Umov (b), entonces a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. TAREA Para las tareas 1 7, pintar gráficos y conocer la serie de cuatro para las funciones (suponiendo que el período 2π puede oler,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, yakcho /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Despliegue de una función dada en el intervalo [, π], sólo detrás de senos o sólo detrás de cosenos Sea la función f dada en el intervalo [, π]. Bazhayu extendió її en el espacio siguiente a la fila Four'є, continuaremos f en los intervalos [, π] en orden suficiente, y luego aceleraremos con las fórmulas de Euler Four'є. Swavіllya en prodovzhennі funciones ї para producir antes, para una єї th ієї zh funciones f: [, π] R podemos otrimuvat raznі series Fur'є. Pero puede ganar el partido de tal manera que puede tomar el diseño solo detrás de los senos, o solo a lo largo de los cosenos: para el primer tipo, es suficiente continuar con un rango no emparejado, y de una manera diferente para un chico. Algoritmo de solución 1. Continúe la función con un rango no apareado (apareado) (,) y luego, periódicamente, con un período de 2π, continúe la función durante toda la duración. 2. Calcular los coeficientes de Fur'e. 3. Sume la serie de Cuatro de la función f(x). 4. Las conversiones de la mente y las ganancias son bajas. 5. Especifique una función a la que converja toda la serie. APLICACIÓN 7. Descomponer la función f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 pequeño. 17. Gráfica de la función continuada Es obvio que la función f(x) es muy sencilla. Calculemos los coeficientes de los Cuatro: a n = todo n al hecho de que la función f (x) no está apareada. Si n 1, entonces bn = 2 π f(x) sen πnxdx = 2 π cosx sen nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, entonces n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1) ( n 1) 2 2n, entonces n = 2k. π n 2 1 En n = 1, el cálculo directo del valor estándar llega a cero, por lo que el coeficiente b 1 se calcula sin ningún medio 25

26 claro: b 1 \u003d 2 π cosx sin xdx \u003d. Sumemos una serie de funciones f(x): f(x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sen 2kx. Dado que la función f (x) es suave como Shmatkovo, luego del teorema sobre la fluctuación de Krapkov, la Cuarta serie de la función f (x) se suma: cosx, lo que significa π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 pequeño. Fig. 18. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S1(x) 19. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S 2 (x) 27

28 pequeño. 2. Gráfico de la función f(x) superpuesto al nuevo gráfico de la suma parcial S3(x) En la fig. 21 muestra los gráficos de la función f (x) y la suma privada її S 99 (x). Mal. 21. Gráfica de la función f(x) superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S 99 (x) 28

29 APLICACIÓN 8. Desarrollamos la función f(x) = e ax, a >, x [, π], hasta la Cuarta serie sólo en cosenos. Solución. Continuamos la función con un doble rango (,) (de modo que la igualdad f (x) = f (x) triunfara sobre todo x (, π)), es decir, periódicamente con un período de 2π estirando el número entero. Quitamos la función f(x), el gráfico de tales representaciones en la fig. 22. La función f (x) en los puntos Mal. 22. Gráfica de la función continua f(x) x = kπ, k es el número que es malo. Calculemos los coeficientes Fur'є: b n =, f(x) pares. Integrando por partes se toma 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sen nxdx = πa sen nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sen nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxd a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Luego, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Dado que f(x) es continua, del teorema del caudal se sigue que la serie de Fur converge a f(x). Además, todo x [, π] puede f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Rice demuestra el enfoque paso a paso de las sumas parciales de la serie Fur'є a la función de expansión dada. 3

31 pequeño. 23. Gráficas de funciones f(x) y S(x) Small. 24. Gráficas de funciones f(x) y S1(x) Small. 25. Gráficas de funciones f(x) y S2(x) Small. 26. Gráficas de funciones f(x) y S 3(x) 31

32 pequeño. 27. Gráficas de funciones f(x) y S4(x) Small. 28. Gráficos de funciones f (x) y S 99 (x) TAREA 9. Ordene la función f (x) = cos x, x π, en una serie de Fur'є solo en cosenos. 1. Expanda la función f(x) = e ax, a >, x π, hasta la serie de Cuatro solo detrás de los senos. 11. Expande la función f(x) = x 2, x π, hasta la serie de Cuatro solo detrás de los senos. 12. Descomponga la función f(x) = sen ax, x π, y la serie de Cuatro en cosenos únicamente. 13. Expande la función f(x) = x sen x, x π, hasta la serie de Cuatro solo detrás de los senos. Vіdpovіdі 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sen kx. π un 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) norte 1 π norte + 2 ] norte 3 ((1)n 1) sen nx. 32

33 12. Si a no es un número entero, sen ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2 ; si a = 2m es un número, entonces sen 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; Si a = 2m 1 es impar positivamente, entonces sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sen x sen 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serie de funciones de cuatro con periodo suficiente Suponga que la función f(x) está dada en el intervalo [l, l], l>. Habiendo sumado la sustitución x = ly, y π, restamos la función g(y) = f(ly/π), asignada al intervalo π [, π]. La función g(y) sigue la serie (formal) Fur'є () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), cuyo coeficiente está detrás de las fórmulas de Euler Four'є: an = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 bn = 1 π g(y) sen dy = 1 π f () ly sen ny dy, n = 1, 2,.... π Es necesario que la función f(x) tenga una serie trigonométrica que sea cambia fácilmente: de f(x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., ( 12) dx, n = 1, 2, .... (13) Parece que las fórmulas (11) (13) definen la expansión de la Cuarta serie de la función con un período suficiente. Apéndice 9< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf(x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sen πn =, yakso n, ll A sen πnx lf(x) sen πnx l dx + 1 ll dx = B sen πnx l = BA (1 cosπn). πn Agreguemos la serie Fur'є funciones f(x) : f(x) A + B π (B A Oskіlki cosπn = (1) n, luego n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l para n = 2k, se requiere b n = b 2k =, para n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(BA) π(2k 1).

36 Estrellas f(x) A + B (BA) ? yakschol< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Pequeño. 29. Gráfico de la función f (x) con gráficos superpuestos de armónicos S (x) \u003d a 2 y S 1 (x) \u003d b 1 sinx. Para mayor precisión, los gráficos de tres armónicos S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l y S 7 (x) = b 7 sin 7πx zsnutі verticalmente cuesta arriba l 37

38 pequeño. 3. Gráfica de la función f(x) de superpuesta a la nueva gráfica de la suma parcial S 99 (x) 31. Fragmento de la fig. 3 en una escala más pequeña 38

39 TAREA En las tareas de difusión en la serie de los Cuatro, se asignan funciones a tareas en los espacios. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [1, 1] f(x ) = sen π x, (1, 1).( 2 1, entonces 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sen nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sen2 cos n π sen ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = α 2) l b) f(x) = 4al(1) n 1 (2n 1 ) πx sen. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sen π π 2 2 x 1 3 sen 3π)+ 2 2 x (sen π π 2 x cos 2π) 2 x 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,.. ., se llama la forma compleja de la serie de los Cuatro. La función se presenta en la compleja serie Four'є, mientras que vikonnі las mismas mentes, para las cuales no lo son, se presenta en la serie de discursos Four'є. cuatro

41 APLICACIÓN 1. Conocemos la serie de Cuatro para la forma compleja de la función dada por la fórmula f(x) = e ax, y espacio intermedio [, π), w un número de habla. Solución. Calculemos los coeficientes: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) La serie del Complejo Cuatro de la función f puede parecer f(x) sh aπ n = (1) n a in einx. Cambiemos que la función f(x) es grumosa-suave: en el intervalo (, π) es continuamente diferenciada, i en los puntos x = ±π establece fronteras terminales (5), (6) lím h + ea(+ h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, ea(+h) ea(+) lim h + h = ae aπ ea(π h) ea(π), lim h + h = ae aπ. Además, la función f(x) está representada por el orden Fur'є sh aπ π n= (1) n a en einx, que va al sumi: ( e S(x) = ax, es decir, π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 APLICACIÓN 11. Conocemos la serie de Cuatro para la forma compleja y de habla de la función dada por la fórmula f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Suponiendo que la suma de la progresión geométrica inagotable con el estándar q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Ahora conocemos la serie de los Cuatro en las formas del habla. Para qué grupo de apéndices con números n y n para n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskіlki c = 1, entonces 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Serie de cuatro en la forma de habla de la función f(x). De esta forma, sin contar la integral deseada, conocíamos la Cuarta inferior de la función. Con lo cual mi, se violó una integral importante, que debe depositarse en el parámetro cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(zz 1) f(x) = 2i (1 a(zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za)(za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 La piel de las fracciones simples se descompone según la fórmula de progresión geométrica: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n. n= Valioso, fragmentos az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, de lo contrario, más corto, c n = 1 2i a n sgnn. Tim mismo, se conoce la serie de los Cuatro en la forma compleja. Agrupando apéndices con los números n y n, tomamos un número de Cuatro funciones en forma de voz: = f (x) = + a sen x 1 2a cosx + a + 2 = an sen nx. Nuevamente, estábamos muy lejos de virahuvat, la integral plegada en avance: sen x sen nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 TAREAS 24. Vicorist (15), calcular la integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 para el habla a, a > Vicorist (16), calcular la integral sen x sin nxdx para el habla a, a > a cosx + a2 Fur' є en formas complejas para funciones. 26. f(x) = signo x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema de equivalencia de Lyapunov (equivalencia de Lyapunov). Sea la función f: [, π] R tal que f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sen na πn. Por lo tanto, la igualdad de Lyapunov para la función f(x) se ve así: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. De la igualdad restante para a π, sabemos sen 2 na n 2 = a(π a) 2 Además de a = π 2, tomamos sen2 na = 1 para n = 2k 1 y sen 2 na = para n = 2k . Entonces, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. APLICACIÓN 14. Escribamos la igualdad de Lyapunov para la función f(x) = x cosx, x [, π], 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 pi Cálculo directo para dar = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sen 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Como f(x) es una función de par, entonces para todo n podemos bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 nk π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 si n = 2k, 2 si n = 2k + 1 = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sen 2xdx = π 2.

50 Por lo tanto, la igualdad de Lyapunov para la función f(x) se ve así: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π TAREA 32. Escribe la igualdad de Lyapunov para la función ( xf(x) = 2 πx, entonces x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) \u003d π sin 2απ 2απ \u003d 2sin2 απ α 2 π 2 Vіdpovidі + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= cndn Cuarto coeficiente de la función g(x). 6. Diferenciación de la serie de cuatro de Nehay f: R R es una función 2π-periódica ininterrumpidamente diferenciada. Її series Four'є maє look: f (x) \u003d a 2 + (n cos nx + b n sin nx). Las funciones Pokhіdna f(x) ієї serán funciones ininterrumpidas y 2π periódicas, para las cuales es posible escribir la serie formal Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a , an, bn, n = 1 , 2,... 51

52 Teorema (sobre la diferenciación término por término de la serie de Four). En el caso de asignaciones mayores, la validez de a =, a n = nb n, b n = na n, n Digamos que f(x)dx = pequeño desajuste 2 dx 2 dx, el nombre del desnivel de Steklov, y lo cambiaremos para que el desnivel en el nuevo edificio sea menos funcional en la forma f(x) = A cosx. En otras palabras, la inconsistencia de Steklov es alucinante, mientras que vikonannі z kikhіdnoy (en el cuadrado medio) traza la función (en el cuadrado medio). Solución. Continuemos la función f(x) en el intervalo [,] en orden de pares. Significativamente continúa la función por el mismo símbolo f(x). Entonces la función continuará sin interrupción y suave en el borde [, π]. Dado que la función f(x) no tiene interrupciones, entonces f 2 (x) no tiene interrupciones en la línea i 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki continuó la función de la pareja, luego b n =, a = detrás de la mente. Además, los celos de Lyapunov parecen 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Reconsidere que para f(x) el teorema sobre el término de diferenciación en la Cuarta serie es victorioso, esto es, a =, an = nb n, bn = na n, n 1. Sea f (x) conocida la males en los puntos x 1, x 2,..., x N en el espacio [, π]. Significativamente x = x N+1 = π. Rosіb'єmo intervalo de integración [, π] en el intervalo N +1 (x, x 1),..., (x N, x N + 1), la piel de f(x) está perfectamente diferenciada. Entonces, aprovechando el poder de la aditividad de la integral, y luego integrando por partes, tomamos: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sen nxdx = 1π j = x j + 1 xjx j + 1 xjnn π norte j = x j + 1 xjx j + 1 xjf (x) sen nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x(x) 1) sen nx 1 f(x ) sen nx) + + (f( x 2) senx 2 f(x 1) sen nx 1)

54 + (f(x N+1) sen nx N+1 f(x N) sen nx N)] norte = = 1 π na norte = = 1 π na norte = na norte. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 norte f (x) dx = π π j = xj = 1 norte x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= El resto del balance puede ser por los que la función f (x) fue continuada por el segundo rango, lo que significa f (π) = f (). Del mismo modo, tomamos an=nbn. Hemos demostrado que el teorema sobre la diferenciación término a término de la serie de Cuatro para una función 2π-periódica ininterrumpida, similar a la del intervalo [, π], reconoce el desarrollo del primer tipo, es cierto . Entonces f (x) a 2 + (an cosnx + bn sen nx) = (na n) sen nx, escalas a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, .... Escalas 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Dado que el miembro de piel de la fila (18) es más grande o más caro que el segundo miembro de la fila (17), entonces 2 dx 2 dx. Suponiendo que f(x) es una extensión doble de la función externa, tal vez 2 dx 2 dx. Qué traer los celos de Steklov. Ahora doslidzhuєmo tales funciones en la desigualdad de Steklov pueden ser iguales. Si desea un coeficiente n 2 a n vіdminny vіd cero, entonces un 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 RETO 37. Sea la función de Schmatt-smooth f(x) no intermitente en el intervalo [, π]. Para agregar que cuando vikonannі piensa f () = f (π) = maє mistse 2 dx 2 dx, ya que también se llama desigualdad de Steklov, y reconsidere, que la uniformidad en nіy mysce es menor para las funciones de la forma f (x) = B sen x . 38. Sea la función f ininterrumpida en el intervalo [, π] y puede que en el nuevo (para un poco de chiba hay puntos del número final) f(x) semejante, que se pueda integrar con un cuadrado. Digamos que si piensas en f() = f(π) y f(x) dx =, entonces puede haber un desnivel 2 dx 2 dx, como se llama el desnivel de Wirtinger, además, el desnivel en el nuevo espacio es menor para las funciones de la forma f( x ) \u003d A cosx + B sin x. 56

57 7. Detener las filas de Fur'є en el logro de rangos diferenciales entre los sucios privados Al cultivar un objeto real (un fenómeno de la naturaleza, un proceso natural, un sistema de gestión, etc.) pasos para el desarrollo de un aparato matemático . En la etapa de investigación científica, se hizo vibrar una linterna de este tipo: el modelo físico es un modelo matemático. La configuración física (modelo) del jefe de campo está en la ofensiva: la mente desarrolla el desarrollo del proceso y el factor obscenidad, que se inyecta en el nuevo. La configuración matemática (modelo) se utiliza en la descripción de la configuración física de factores y mentes en el sistema visual de igualdades (algebraicas, diferenciales, integrales y otras). La tarea se llama correctamente establecida, ya que en el espacio funcional de canto, la solución del problema es clara, ininterrumpida e ininterrumpida para estar en forma de mazorcas y mentes marginales. Un modelo matemático no es el mismo objeto que se está mirando, sino una descripción aproximada. Igualación de Visnovok de pequeñas cadenas transversales coliving. Deje que las cuerdas de las cuerdas se arreglen, y la cuerda misma se patea con fuerza. Si toca una cuerda desde la posición de igual (por ejemplo, tira de ella o la golpea), entonces la cuerda es mejor 57

58 vagatisya. Supongamos que todos los puntos de la cuerda colapsan perpendicularmente a la posición del igual (escisión transversal) y, al mismo tiempo, la cuerda se encuentra en el mismo plano. Tomamos un sistema de coordenadas rectangulares xou para el plano. Entonces, así como al comienzo de la hora t = la cuerda se onduló sobre el eje Ox, entonces u significa que la cuerda se movió en la posición de la posición igual, es decir, la posición del punto de la cuerda con el la abscisa x en el momento exacto de la hora t determina el valor de la función u(x, t). Con un valor de piel fijo de t, la gráfica de la función u(x, t) representa la forma de la cuerda que está oscilando en el tiempo t (Fig. 32). Con un valor constante de x, la función u(x, t) da la ley al movimiento de un punto con la abscisa x de la recta, paralelo al eje Ou, similar a la velocidad de ese movimiento, y el otro es similar a 2 u t 2 más rápido. Mal. 32. Fuerzas aplicadas a una longitud infinitamente pequeña de la cuerda Para quien es necesario permitir más espadín, qué perdonar. La cadena Vvatimemo es absolutamente gi- 58

59 Coy, es importante recordar que la cuerda no gira sobre la virgen; Significa que los voltajes que vibran en la cuerda se enderezan de acuerdo con el perfil de puntos. La cuerda pasa elástica y se ajusta a la ley de Hooke; Esto significa que el cambio en la magnitud de la fuerza de tensión es proporcional al cambio en la longitud de la cuerda. Se acepta que la cuerda sea uniforme; tse significa que її espesor lineal ρ es constante. Es imposible para nosotros llamar con la ayuda de nuestras fuerzas. Tse significa lo que podemos ver de forma libre. Mi vvchatimemo menos de un poco de cuerdas kolivannya. Si conocemos a través de ϕ(x, t) el corte entre la abscisa y el punto de la cuerda en el punto de la abscisa x en el tiempo t, entonces la cuenta de la mente se cuenta en el hecho de que el valor de ϕ 2 (x , t) puede ser igual a ϕ (x, t), luego ϕ 2. Dado que ϕ es pequeño, entonces cos ϕ 1, ϕ sen ϕ tg ϕ і también, el valor (uxx,) 2 también puede ser inexacto. Suena muy obvio que en el proceso de cincelado podemos pisotear la vida serpentina de una cuerda. En realidad, la pieza más larga de la cuerda M 1 M 2, que se proyecta en el espacio intermedio del eje de abscisas, de x 2 = x 1 + x, más l = x 2 x () 2 u dx x. x Se demostrará que para el nuestro permitir la magnitud de la fuerza a la tensión T será un soplido constante de la cuerda. Tomemos una fila de cuerda M 1 M 2 (Fig. 32) en el momento t y reemplacemos la parte del 59

60 kv por fuerzas de precarga T 1 y T 2. Los fragmentos para la mente de todos los puntos de la cuerda colapsan paralelos al eje Ou y las fuerzas externas del día, luego la suma de las fuerzas de proyección de la precarga en todo el Buey es debido a cero: T 1 cosϕ (x 1, t) + T 2 cosϕ (x 2, t) =. Zvіdsi a través de la pequeñez del corte ϕ 1 = ϕ (x 1, t) y ϕ 2 = ϕ (x 2, t) ajuste T 1 = T 2. Valor significativamente más alto de T 1 = T 2 a través de T. Ahora calculamos la suma de las proyecciones F u las fuerzas en total Ou: F u \u003d T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t). (2) Escalas para cortes pequeños sen ϕ(x, t) tg ? T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2(x 1, t) x . Si el punto x 1 está suficientemente dibujado, entonces F u T 2 u x2(x, t) x. Además, como todas las fuerzas que se sabe actúan sobre el lote M 1 M 2, se puede hacer otra ley de Newton, hay que hacer mucho aceite sobre la suma de todas las fuerzas antes. La masa de la cuerda M 1 M 2 es más m = ρ l ρ x, y la más rápida es 2 u(x, t). La ecuación t 2 Newton se ve así: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, donde α 2 = T ρ es un número permanentemente positivo. 6

61 Rápido en x, tomamos 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Como resultado, restamos ecualización diferencial uniforme lineal con otras similares privadas de diferente orden con coeficientes constantes. Yogo se llama igual al colivan de las cuerdas y al mismo mundo igual a hvilyov. Rivnyannia (21) es una reformulación de la ley de Newton y describe las cuerdas. Ale, en la producción física, los directores estaban preocupados de que se arreglara el final de las cuerdas y se viera la posición de la cuerda a esa hora. Tenga en cuenta que debemos escribirlo así: a) es importante que los extremos de las cuerdas se fijen en los puntos x = і x = l, por lo que es importante que para todos los vikonnі spіvvіdnoshenna u(, t) =, u(l, t) = ; (22) b) es importante que en el momento t = la posición de la cuerda cambia con la gráfica de la función f(x), es importante que para todo x [, l] la igualdad u(x,) = f(x) es fijo; (23) c) es importante que en el momento t = los puntos de la cuerda detrás de la abscisa x tengan la velocidad de g(x), entonces es importante que u(x,) = g(x). (24) t Spіvvіdnosnja (22) se denominan mentes fronterizas, y spіvvіdnoshnja (23) y (24) se denominan anchos de mazorca. Modelo matemático de grandes pequeñas líneas transversales 61

62 la división de la cuerda está determinada por el hecho de que se requiere la alineación (21) con las mentes de los límites (22) y las mentes de la mazorca (23) y (24) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Sustituyendo (25) (21), tomamos: X T = α 2 X T, (26) o T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Parece que, habiéndose convertido en el desvalido de las serpientes. Dado que x y t no caen en un tipo de uno, entonces la parte izquierda (27) no cae en x, y la parte derecha es el valor total de cix v_dnosin 62

63 puede ser constante, siempre que tenga sentido en términos de λ: T(t) α 2 T(t) = X(x) X(x) = λ. Necesitamos dos igualdades diferenciales primarias: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Para qué límite, piense (22) para observar X()T(t) = i X(l)T(t) =. Los fragmentos de hedor pueden ser superados por todos los t, t >, entonces X() = X(l) =. (3) Conocemos la solución de la ecualización (28), como si agradara a las mentes borderline (3). Veamos tres vipadas. Vipadok 1: >. Significativamente λ = β 2. La ecuación (28) se parece a X (x) β 2 X(x) =. Es característicamente igual k 2 β 2 = maє raíz k = ±β. Además, la solución más importante (28) puede parecerse a X(x) = C e βx + De βx. Somos culpables de elegir los puestos C y D de tal manera que se agregaron las mentes limitantes (3), por lo que X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Oskіlki β, tsya system rivnyan puede ser una solución única C = D =. Padre, X(x) y 63

64 u(x, t). Tim mismo, de un vistazo, tomamos una decisión trivial, en la medida en que no era posible ver. Vipadok 2: λ =. La misma alineación (28) se parece a X (x) = i-ésima solución, obviamente, viene dada por la fórmula: X(x) = C x + d. Al enviar una meta a la mente límite (3), tomamos X() = D = і X(l) = Cl =, también, C = D =. Luego, X(x) y u(x, t), y de nuevo restamos una solución trivial. Vipadok 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadalі nadalі nadalі nіlki posіtivіnі nіnіnі n = 1, 2,..., skolіlі en negativo nі saldrá de la solución de eso (bueno amable. nπ) Los valores λ n \u003d se llaman buenos números, y funciones X n (x) \u003d C n sin πnx por las funciones de potencia de alineación diferencial (28) con mentes de borde (3). Ahora rozvyazhemo rivnyannya (29). Para la nueva ecualización característica puede verse k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Oskіlki explicó con mayor frecuencia que las soluciones no triviales X(x) son iguales (28) є solo para λ negativo, igual λ = n2 π 2, luego el mismo λ mi і і mira lejos. Raíz igual (32) є k = ±iα λ, y la solución igual (29) puede verse como: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l de A n і B n bastante constante . Sustituyendo las fórmulas (31) y (33) en (25), conocemos las soluciones privadas de la ecualización (21), que satisfacen las mentes regionales (22): πnx. lll Multiplicando C n en la proa e introduciendo el valor C n A n = bn y B n C n = an, escribimos un (X, T) a la vista (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sen pnx. (34) l l l 65

66 El enrollamiento de la cuerda, que corresponde a las soluciones u n (x, t), se denominan buenos colivanes de la cuerda. Oskіlki equal (21) y border minds (22) son lineales y uniformes, entonces la combinación lineal de la solución (34) (u(x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll será la solución iguales (21) ), lo que satisface las mentes limitantes (22) con una elección especial de los coeficientes an y bn, que asegura la igual eficiencia de la serie. Ahora tomemos los coeficientes an y bn de la solución (35) para que satisfaga no solo la frontera, sino también las mentes cob (23) y (24), de f (x), g (x) de la función dada ( además, f () = f (l) = g () = g (l) =). Es importante que las funciones f(x) y g(x) satisfagan las mentes del diseño a un Fur'є bajo. Sustituyendo (35) el valor t =, tomamos u(x,) = a n sen πnx l = f(x). Derivando la serie (35) con respecto a t y sustituyendo t =, tomamos u t (x,) = πnα b n sen πnx l l = g(x), y luego expandimos las funciones f(x) y g(x) a Fur' є. Además, a n = 2 l f (x) sen πnx l dx, b n = 2 l g (x) sen πnx dx. πna l (36) 66

67 Sustituyendo las puntuaciones por los coeficientes a n і b n hasta la fila (35), tomamos la decisión del igual (21), que satisface las mentes fronterizas (22) y las mentes cob (23) y (24). Tim, nosotros mismos escribimos las instrucciones sobre la pequeña hendidura transversal de la cuerda. Está claro que el cambio físico de las funciones de potencia u n (x, t) del problema de la hendidura derecha de una cuerda está definido por la fórmula (34). Reescribamos її y buscando de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n De la fórmula (37) se puede ver que todos los puntos de la cuerda oscilan armónicamente con una y la misma frecuencia ω n = πnα y fase πnα δ n. La amplitud de colivannya se encuentra en l l abscissa x puntos de la cadena i dorіvnyuє n sin πnx. Con tal tirón, todas las puntas de la cuerda alcanzan su máxima extensión hacia ese lado y pasan al mismo tiempo por la misma posición. Tales kolivanya se llaman plumas de pie. De pie hvilya matima n + 1 punto no violento, que se da a las raíces de alineación sen πnx = y intervalo [, l]. Los puntos no violentos se llaman nudos de pelo erizado. En el medio entre los nudos, los puntos están dispersos, en los que las aberturas alcanzan el máximo; tales puntos se llaman antinodos. La cuerda de piel se puede utilizar como fuente de energía para frecuencias estrictamente cantadas n = πnα, n = 1, 2, .... Las frecuencias se denominan frecuencias de potencia de la cuerda. El tono l más bajo, que se puede ver una cuerda, se pronuncia 67

68 frecuencia de voz baja 1 = π T i se llama el tono principal de la cuerda. Otros tonos que corresponden a l ρ frecuencias n, n = 2, 3,..., se denominan sobretonos o armónicos. En aras de la claridad, podemos representar perfiles de cuerda típicos que muestran el tono fundamental (Fig. 33), el primer sobretono (Fig. 34) y el otro sobretono (Fig. 35). Mal. 33. Perfil de cuerda mostrando el tono fundamental Pequeño. 34. Perfil de cuerda mostrando el primer sobretono. 35. Perfil de la cuerda, que muestra otro sobretono Como la cuerda tiene un chirrido libre, que está determinado por las mazorcas, se representa la función u(x, t), como se puede ver en la fórmula (35), en vista de la número total de armónicos. Tal rango es más que suficiente 68

69 cuerdas - superposición de plumas de pie. Por esta razón, la naturaleza del sonido de la cuerda (tono, fuerza del sonido, timbre) depende de la frecuencia entre las amplitudes de los otros armónicos. Fuerza, altura y timbre del sonido. La fuerza del sonido se caracteriza por la energía y la amplitud del sonido: cuanto mayor es la energía, mayor es la fuerza del sonido. La altura del sonido está determinada por su frecuencia y el período de chirrido: cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será el sonido. El timbre del sonido se manifiesta por la presencia de sobretonos, esparciendo la energía detrás de los armónicos, para despertar las campanadas. Las amplitudes de los sobretonos parecen ser más pequeñas que la amplitud del tono fundamental, y las fases de los sobretonos pueden ser bastante grandes. Nuestro wuho no es sensible a la fase colivan. Nivele, por ejemplo, dos curvas en la fig. 36, detrás de la h. Tse grabó el sonido con el tono muy básico, extraído del clarinete (a) y el piano (b). Los sonidos ofensivos no son simples colivanos sinusoidales. La frecuencia fundamental del sonido en ambas vibraciones es la misma y crea el mismo tono. Ale pequeñas diferencias torcidas con el hecho de que los sobretonos se superponen al tono principal. En la sensación del canto, los pequeños muestran cómo es un timbre. 69

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2. Los valores de los coeficientes son bajos para las fórmulas de Four'e.

Sea la función periódica ƒ(x) con un período de 2π tal que parece ser una serie trigonométrica, de modo que puede ir a la función en el intervalo (-π, π), entonces es la suma de esta serie :

Es aceptable que la integral de la función, que se encuentra en el lado izquierdo de la ecuación, la suma adicional de las integrales de la fila. Tse bude vykonuvatisya, como si admitiera que la serie de números, sumas de los coeficientes de esta serie trigonométrica, convergen absolutamente, de modo que la serie de números positivos converge

La fila (1) es mayorable y se puede integrar término a término en el intervalo (-π, π). Integrando insultos a partes de celos (2):

Contemos el número de integrales de piel que están afiladas en el lado derecho:

,

,

de tal manera, , estrellas

. (4)

Estimación de coeficientes Fur'є. (Bugriv)

Teorema 1. Sea la función ƒ(x) recorriendo el periodo 2π sin interrupción ƒ(s) (x) al orden de s, de modo que satisfaga sobre todo el eje real de desnivel:

│ ƒ (s) (x)│≤ METRO s ; (5)

las mismas funciones de coeficientes Fur'є satisfacen las inconsistencias

trayendo Integración de piezas y vrakhovuyuchi, scho

ƒ(-π) = ƒ(π), quizás

Integrando la parte derecha (7) secuencialmente, vrakhovuyuchi, ¿cuáles son los siguientes? 6).

Otro puntaje (6) va así.

Teorema 2

(8)

trayendo Maymó

(9)

Introduciendo a veces la sustitución del cambio y el daño, que ƒ(x) es una función periódica, es posible

Sumando (9) y (10), tomamos

De manera similar, se lleva a cabo la prueba b k.

Consecuencia. Como resultado, la función ƒ(x) es ininterrumpida, por lo que el coeficiente Fur'є se iguala a cero: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Ampliación de funciones con una creación escalar.

La función ƒ(x) se llama por partes continua en el vіdrіzku, porque es ininterrumpida para el tsomu vіrіzku, krіm, quizás, el número final de puntos, de puede expandir el primer género. Dichos puntos se pueden sumar y multiplicar por números reales y eliminarse como resultado de un nuevo shmatkovo-bezperervnі en el reverso de la función.

La creación escalar de dos Shmatkov-sin interrupciones en (un< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Obviamente, para cualquier Shmatkovo, sin interrupciones en las funciones ƒ , φ ψ, hay poder:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) e igual (ƒ, ƒ) = 0 es obvio, entonces ƒ(x) =0 en , incluyendo, posiblemente, el número final de puntos x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

de α, β son números válidos suficientes.

La ausencia de todas las funciones shmatkovo-sin interrupción, asignadas a la variable, para las cuales se introduce el escalar twir de acuerdo con la fórmula (11), significaremos, y llámalo espacio

respeto 1.

En matemáticas, el espacio = (a, b) se llama una colección de funciones ƒ(x), integradas en el sentido de Lebesgue a la vez con sus cuadrados, que se llaman twir escalar para tal fórmula (11). Un espacio parcialmente abierto. La expansión puede ser rica en autoridad, pero no toda.

Del poder 1), 2), 3) El nerviosismo de Bunyakovsky es importante | (ƒ, φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , ya que mi integral se ve así:

Valor

se llama la norma de la función f.

La norma puede ser tan poderosa:

1) | f || ≥ 0, para los cuales la uniformidad solo puede ser para la función cero f = 0, luego las funciones que son iguales a cero, detrás de la vid, tal vez, el número final de puntos;

2) | f + φ || ≤ || f(x) || || ϕ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || f ||,

de α es un número real.

Otro poder de mi integración se ve así:

y se llama nerviosismo de Minkowski.

Decir que la sucesión de funciones ( f n ), yacen a , van a la función yacen en el sentido de la media cuadrática en (o incluso más allá de la norma), entonces

Significativamente, dado que la secuencia de funciones n (x) converge uniformemente a la función ƒ (x) en el borde, entonces para lograr un gran n, la diferencia ƒ (x) - n (x) en valor absoluto se debe a pero pequeño para todo x s el borde.

En un pozo vipadku, si n (x) pragne a ƒ (x) en el sentido del cuadrado medio en el vіdіzku, entonces la diferencia se puede asignar y no ser pequeña para grandes n en todas partes. In okremih mіstsyah vіdіzka vіdіzka tsya rіznitsya аlѕо аlѕо аlѕо аlѕо аlѕо аlѕо аlѕо іntegrаl її її її її її її її її її її її її ії її її її ії її ії її її ії ії її її її ії її її ії ії її її її ії її ії відізку letras malyy para gran n.

extremo. Sea dada una función shmatkovo-lineal ininterrumpida n (x) (n = 1, 2, ...), y

(Bugrov, página 281, fig. 120)

Para cualquier n natural

і, también, tsya secuencia de funciones, хоч і va a cero como n → ∞, aunque no uniformemente. mi equipo

es decir, la secuencia de funciones (f n (x)) se extiende a cero en el sentido del cuadrado medio en .

De los elementos de la secuencia real de funciones 1, 2, 3, ... (adyacentes) habrá una fila

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

La suma de los primeros miembros de yoga n

σn = 1 + 2 + + norte

є función, qué mentir. Cómo bajar, cuál es la función de tal cosa, qué

|| ƒ-σ norte || → 0 (n → ∞),

entonces parece que la serie (12) converge a una función en sentido cuadrático medio y escribimos

f = f 1 + f 2 + f 3 +…

Nota 2.

Puede ver la extensión = (a, b) de las funciones de valor complejo ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) y ƒ 2 (x) - efectivamente shmatkovo - sin interrupción de funciones. Cuyas funciones espaciales se multiplican por números complejos y la suma escalar de funciones ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) y φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) están marcadas por el rango ofensivo:

y la norma se muestra como un valor

Serie de cuatro de funciones periódicas con un período de 2π.

La serie Fur te permite dividir funciones periódicas, descomponiéndolas en componentes. Cambiar el flujo y la tensión, cambiar, acelerar y acelerar los mecanismos de manivela y los vientos acústicos: estas son aplicaciones prácticas típicas de detener funciones periódicas en ingeniería rozrahunka.

El diseño de la serie Fur'є se basa en concesiones, por lo que todas las funciones que pueden ser prácticas en el intervalo -π ≤x≤ π se pueden ver al observar series trigonométricas similares (la serie se considera similar, por lo que la secuencia de sumas parciales, plegadas de yoga, converge):

Notación estándar (= extraordinaria) a través de la suma senx y cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 senx+b 2 sen2x+b 3 sen3x+...,

de a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Constantes de referencia, es decir.

De para el rango de vіd -π a π, los coeficientes para la serie Fur'є están cubiertos por las fórmulas:

Los coeficientes a o , a n i b n se denominan Coeficientes de cuatro, y si se puede conocer їх, entonces la serie (1) se llama orden de cuatro, similar a la función f(x). Para la serie (1), el término (a 1 cosx + b 1 senx) se llama el primero armónica principal,

La segunda forma de escribir una fila es usar una variable acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sen(x+α 1)+c 2 sen(2x+α 2)+...+c n sen(nx+α n)

De a o es una constante, s 1 \u003d (a 1 2 + b 1 2) 1/2, s n \u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 - las amplitudes de los diversos componentes, y dorovnyu a n \u003d arctg un n / b n.

Para la serie (1) el término (a 1 cosx+b 1 senx) o c 1 sen(x+α 1) se llama el primero abo armónica principal,(a 2 cos2x+b 2 sen2x) o c 2 sen(2x+α 2) se llama otra armónica y muy lejos.

Para una manifestación precisa de una señal de plegado, haga sonar un número inagotable de miembros. Sin embargo, en tareas prácticas ricas es suficiente mirar solo algunos de los primeros miembros.

Serie de cuatro de funciones no periódicas con un período de 2π.

Ordenación de funciones no periódicas hasta la Cuarta serie.

Dado que la función f(x) no es periódica, significa que no se puede ordenar en la Cuarta serie para todos los valores de x. Sin embargo, es posible designar la serie de Cuatro, que representa la función en cualquier rango de ancho 2?

Si se da una función no periódica, es posible agregar una nueva función eligiendo el valor de f(x) en el primer rango de posiciones repetidas en el rango con un intervalo de 2π. La nueva función Oskіlki є periódica con un período de 2π, її se puede expandir a la serie Four para todos los valores x. Por ejemplo, la función f(x)=x no es periódica. Sin embargo, también es necesario distribuir її en la serie Fur'є a intervalos de hasta 2π, luego la posición con el intervalo será una función periódica con un período de 2π (como se muestra en la figura a continuación).

Para funciones no periódicas, como f(x)=х, la suma de la serie Fur'є es más igual al valor de f(x) en todos los puntos del rango dado, pero no es igual a f( x) para los puntos fuera del rango. Para el significado de la serie de Cuatro de funciones no periódicas en el rango de 2π, se utiliza la misma fórmula de los coeficientes de Fur.

Pares y funciones no apareadas.

Di la función y=f(x) parná entonces f(-x)=f(x) para todos los valores de x. Las gráficas de las funciones de par siempre son simétricas con respecto al eje y (por lo que son como un espejo). Aplicar dos funciones de par: y = x 2 i y = cosx.

Decir que la función y=f(x) sin emparejar, entonces f(-x)=-f(x) a todos los valores de x. Los gráficos de funciones no apareadas siempre son simétricos para cada mazorca de coordenadas.

Muchas funciones no están emparejadas ni no emparejadas.

Razkladannya en una serie de coseno Fur'є.

La serie Fur de la función periódica por pares f(x) con un período de 2π debe reemplazarse solo con cosenos (para evitar los términos con senos) y puede incluir un miembro constante. Otzhe,

de coeficiente a la serie Fur'є,

La cuarta serie de una función periódica no apareada f(x) con un período de 2π debe reemplazarse solo por senos (para no ser reemplazada por cosenos).

Otzhe,

de coeficiente a la serie Fur'є,

Row Four'є en pіvperіodi.

Asimismo, la función se asigna a un rango, digamos, de 0 a π, y no solo de 0 a 2π, y se puede ordenar en una serie de solo senos o cosenos. Otrimany fila Four'є se llama Orden de cuatro en el período de la siesta.

Hay que cuidar el diseño. Fur'є en napіvperіodi por cosenos funciones f(x) en el rango de 0 a π, es necesario agregar una función periódica apareada. En la fig. La función f(x)=x se muestra a continuación, se llama en el intervalo de x=0 a x=π. La función de par de Oskіlki es simétrica al eje f(x) y se lleva a cabo mediante la línea AB, como se muestra en la fig. más bajo. Supongamos que la postura del intervalo revisado se elimina mediante una forma tricurada є periódica con un período de 2π, luego se puede ver el gráfico de la subbolsa, que se muestra. en la Fig. más bajo. Oskіlki necesita tomar el diseño de Fur'є por cosenos, como antes, calculamos los coeficientes de Fur'є a o i a n

Si necesita tomar las funciones f(x) del rango 0 a π, necesita agregar una función periódica no apareada. En la fig. La función f(x)=x se muestra a continuación, se llama en el intervalo de x=0 a x=π. La función no apareada de Oskilki es simétrica a la mazorca de coordenadas, siendo la línea CD, como se muestra en la fig. Supongamos que la postura del intervalo examinado de sustracciones de la señal similar a una sierra es periódica con un período de 2π, entonces el gráfico de la subbolsa puede parecerse a las indicaciones en la fig. Oskіlki necesita tomar el diseño de Furіє por primera vez en los senos paranasales, como antes, se calcula el coeficiente Furіє. b

Fila Four'e por un largo intervalo.

Descomposición de una función periódica del periodo L.

La función periódica f(x) se repite para x L mayores, entonces. f(x+L)=f(x). La transición de las funciones vistas anteriormente del período 2π a las funciones del período L es simple, puede guardar algunos fragmentos para un reemplazo adicional del cambio.

Para conocer la serie Fur de la función f(x) en el rango -L/2≤x≤L/2, introducimos un nuevo cambio u de tal forma que la función f(x) tiene un periodo pequeño de 2π como tú. Si u=2πx/L, entonces x=-L/2 para u=-π y x=L/2 para u=π. También sea f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fila Fur'є F(u) puede parecer

De koefіtsіenti series Fur'є,

Sin embargo, la fórmula más común es dejarlo en barbecho con x. Oskіlki u=2πх/L, también du=(2π/L)dx, e interintegración - vid -L/2 a L/2 sustituto - π a π. Otzhe, una serie de Fur'є para barbecho vіd x maє viglyad

de en el rango de -L / 2 a L / 2 coeficientes en la serie Fur'є,

(Entre integraciones se puede reemplazar por cualquier intervalo con L, por ejemplo, de 0 a L)

Serie de cuatro sobre el primer periodo para funciones asignadas en el intervalo L≠2π.

Para la sustitución u=πх/L en el intervalo de x=0 a x=L sustituyendo el intervalo de u=0 a u=π. Además, la función se puede expandir en una serie solo en términos de coseno o solo en términos de senos, es decir. en Serie Fur'є sobre el pіvperіodi.

La disposición por cosenos en el rango de 0 a L puede parecer