Cómo saber las funciones de plegado correctas. función de plegado

Si sigue las citas, entonces las funciones son similares al punto: el límite es el límite para el crecimiento de la función Δ y hasta el incremento del argumento Δ X:

Todo tenía sentido. Ale trata de cuidar esta fórmula, digamos, la misma función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si todo funciona para las citas, luego de un par de lados simplemente se quedará dormido. Hay maneras simples y efectivas de hacer esto.

Por primera vez, es respetuoso que desde la misma diferencia de funciones sea posible ver las llamadas funciones elementales. Evidentemente, se trata de simples virazi, similares a los que durante mucho tiempo se han contado e ingresado en la tabla. Tales funciones simplemente se memorizan, al mismo tiempo, son las mismas.

Otras funciones elementales

Funciones elementales: todo lo que se reorganiza a continuación. Pohіdnі tsikh funktіy treba nobleza para recordar. Tim more scho їх їхім torpemente - para aquellos que apestan y son elementales.

Otzhe, pokhіdnі funciones elementales:

Nombre	función	bueno
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (más o menos, ¡cero!)
Paso con una pantalla racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
seno	F(X) = Pecado X	porque X
coseno	F(X) = Porque X	-pecado X(Menos seno)
tangente	F(X) = Tg X	1 / porque 2 X
cotangente	F(X) = Control X	- 1/sen2 X
logaritmo natural	F(X) = Ln X	1/X
logaritmo parcial	F(X) = registro un X	1/(X en un)
función de visualización	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una bastante constante, entonces se puede introducir fácilmente una nueva función similar:

(C · F)’ = C · F ’.

Zagalom, las constantes pueden ser culpadas por la insignia de lo malo. por ejemplo:

(2X 3) '= 2 ( X 3) '= 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar una por una, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecen nuevas funciones, que ya no son particularmente elementales, pero aún pueden diferenciarse según reglas simples. Estas reglas se revisan a continuación.

sumi gratis y venta al por menor

Sean las funciones dadas F(X) і gramo(X), Pokhіdnі yakikh us vіdomі. Por ejemplo, puede tomar funciones elementales, que se analizan más. Todi puedes saber el costo de la suma y la diferencia de estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Otzhe, pokhіdna sumi (minorista) de dos funciones son sumas más caras (minorista) pokhіdnyh. Dodankiv puede ser más. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente ostensiblemente, en álgebra no existe el concepto de "ver". Є entender "elemento negativo". Esa es la diferencia F − gramo puedes reescribir como una suma F+ (-1) gramo, Y si pierde más de una fórmula, pobre sumi.

F(X) = X 2 + senix; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

función F(X) - la suma de dos funciones elementales, a eso:

F ’(X) = (X 2+ pecado X)’ = (X 2) '+ (pecado X)’ = 2X+ cosx;

Del mismo modo, es mirquerable para la función gramo(X). Solo que ya hay tres adiciones (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

insinuación:
F ’(X) = 2X+ cosx;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

haz un buen trabajo

Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que a quien le importe que valga la pena el dinero vale la pena, entonces es bueno hacerlo. Huelga"> Suerte con las malas.

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es torpe, pero a menudo se olvida. Y no solo escolares, sino estudiantes. El resultado es una decisión equivocada.

Gerente. Conocer funciones similares: F(X) = X 3 cosx; gramo(X) = (X 2 + 7X- 7) · mi X .

función F(X) Es un complemento de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (-pecado X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

en la funcion gramo(X) El primer multiplicador está un poco doblado, pero el esquema no cambia de ninguna manera. Obviamente, el primer factor de la función gramo(X) Es un polinomio, y yogo es malo - tse malo es sumi. quizás:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X- 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X- 7) '· mi X + (X 2 + 7X- 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X- 7) · mi X = mi X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

insinuación:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Respeta el resto del tiempo, es bueno dividirlo en multiplicadores. Formalmente, este trabajo no es necesario, sin embargo, la mayoría de estos últimos no se cuentan por sí solos, sino para continuar con su función. Y significa que estará más lejos de ser igual a cero, se reconocerán estos signos y así sucesivamente. Para un mejor mati viraz, distribúyalo en multiplicadores.

Yakshcho є dos funciones F(X) і gramo(X), además gramo(X) ≠ 0 h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puedes conocer el truco:

No es débil, ¿verdad? ¿Zvіdki tomando un signo negativo? por qué gramo 2? Y el eje es! Esta es una de las fórmulas más complicadas: no puedes descifrarla sin bailar. Por lo tanto, es mejor ver її en colillas específicas.

Gerente. Conocer funciones similares:

El numeral y estandarte del skin shot tiene funciones elementales, todo lo que necesitamos es la fórmula de un privado similar:

Siguiendo la tradición, ponemos el número en multiplicadores; es importante preguntar la respuesta:

Función de plegado: no la fórmula obov'yazkovo dozhinoy en pіvkіlometra. Por ejemplo, completa la función F(X) = Pecado X y reemplazar el cambio X, decir, en X 2+ln X. Weide F(X) = Pecado ( X 2+ln X) - tse i є función plegable. También es malo para ella, pero saber detrás de las reglas, mirar más, no ver.

Yak buti? En tales casos, la fórmula de la función de plegado plegable ayuda a reemplazar el cambio:

F ’(X) = F ’(t) · t', Yakscho X ser reemplazado por t(X).

Por regla general, desde el punto de vista de la fórmula, la fórmula es más sumaria, inferior a la privada. Para eso, її tezh se puede explicar más brevemente en colillas específicas, Descripción del reporte miga de piel.

Gerente. Conocer funciones similares: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = Pecado ( X 2+ln X)

Respetuosamente, lo que está en la función. F(X) Reemplazar virus 2 X+ 3 será fácil X, entonces tenemos una función elemental F(X) = mi X. A ese robimo zamіnu: let 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Shukaєmo go funciones de plegado para la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡respeto! Vikonuemo zvorotnu zaminu: t = 2X+ 3. Para llevar:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora echemos un vistazo a la función. gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado X 2+ln X = t. quizás:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t'= (Pecado t)’ · t'= porque t · t ’

Reemplazo de devolución: t = X 2+ln X. entonces:

gramo ’(X) = Porque ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)'=Porque( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

De i todos! Como se puede ver en el resto del viraz, toda la tarea se llevó a cabo en la medida del costo de la lucrativa suma.

insinuación:
F ’(X) = 2 mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) Porque( X 2+ln X).

Incluso más a menudo en mis lecciones, el reemplazo del término "pokhіdna" utilizo la palabra "carrera". Por ejemplo, un trazo de sumi es más caro que la suma de trazos. ¿Tan inteligente? Bueno, de i bueno.

En este rango, el cálculo del pokhіdnoї zavoditsya para el alivio de ver estos trazos detrás de las reglas, miremos más de cerca. Al igual que el resto del trasero, pasemos al siguiente paso con una visualización racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocas personas saben quién está en el papel. norte como un todo, se puede utilizar un número fraccionario. Por ejemplo, raíz - tse X 0.5. ¿Y qué, como debajo de la raíz, estarás bajo el nombre del nombre? Nueva función plegable: a estos diseños les gusta dar robots de control y pruebas.

Gerente. Conocer funciones relacionadas:

Para la mazorca, reescribimos la raíz del paso visual con un indicador racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora robimo zaminu: déjalo ir X 2 + 8X − 7 = t. Sabemos seguir la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t'= 0.5 t-0.5 t ’.

Robimo zvorotnu zaminu: t = X 2 + 8X- 7 de mayo:

F ’(X) = 0.5 ( X 2 + 8X- 7) -0.5 ( X 2 + 8X- 7) '= 0.5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nareshti, volviendo a las raíces:

Los problemas de física de Virishuvati o aplicar las matemáticas son absolutamente imposibles sin el conocimiento sobre la forma y los métodos de cálculo. Pokhіdna: uno de los más importantes para comprender el análisis matemático. Al tema fundamental, hemos escrito para dedicar el artículo de hoy. ¿Qué es tan malo, qué tipo de cambio físico y geométrico, cómo estropear una buena función? Todas las dietas se pueden combinar en una sola: ¿cómo puedo entender cómo ir?

Cambio geométrico y físico.

Vamos, función f(x) , Establecer en el intervalo actual (A, b) . Los puntos x y x0 se encuentran en este intervalo. Cuando cambias x, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia del valor del yoga x-x0 . ¿Qué diferencia se registra como delta x y se llama el crecimiento del argumento. Se llama cambio o aumento de función a la diferencia en el valor de la función en dos puntos. Cita de viaje:

Pokhіdna funktsії en el punto: el límite del aumento de la función en el punto dado al crecimiento del argumento, si el resto es directo a cero.

De lo contrario, puedes escribirlo así:

¿Cuál es el sentido en el conocimiento de tal límite? Y el eje es yaki:

similar a la función en el punto a la tangente de la kuta entre los vértices OX y similar a la gráfica de la función en el punto dado.

Cambiador físico: pokhіdna way durante una hora dorivnyuє shvidkostі ruhu rectilíneo.

Es cierto, incluso durante el horario escolar todos saben que swidkist es una forma privada. x=f(t) yo hora t . Velocidad promedio para un intervalo de canción:

Schob a reconocer la seguridad del subidón en el momento de la hora t0 es necesario calcular los límites:

Primera regla: culpar a la constante

La constante puede ser culpada por la mala señal. Más que eso, es necesario trabajar. Cuando vyrіshennі prikladіv z mathems vіzmіt como regla - ¿Cómo puedes preguntar a viraz, obov'azkovo preguntar? .

Extremo. Calculemos el costo:

Regla para un amigo: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Lo mismo es cierto para funciones minoristas similares.

No señalemos las conclusiones del teorema, sino un ejemplo práctico.

Conocer funciones relacionadas:

Regla de tres: es mejor actualizar funciones

El costo de sumar dos funciones diferenciales se calcula según la fórmula:

Ejemplo: conocer las siguientes funciones:

Solución:

Aquí es importante decir sobre la cantidad de funciones de plegado similares. El reemplazo de la función de plegado es similar al reemplazo de la función similar por el argumento intermedio al argumento intermedio similar por el cambio independiente.

En el trasero vischevkazanny mi zustrіchaєmo viraz:

En este caso, el argumento intermedio es 8x en quinto grado. Para calcular el costo de tal virasa, debemos considerar el costo de la función más externa del argumento intermedio y luego multiplicarlo por el costo del argumento medio del cambio independiente.

Regla cuatro: similar a dos funciones privadas

La fórmula para definir un tipo similar de dos funciones privadas:

Intentamos contarte sobre las vacaciones para teteras desde cero. Este tema no es tan simple, ya que resulta que es posible por esto: las pastas a menudo se disparan en colillas, así que tenga cuidado al contar las unas.

Por alguna razón, por otros temas, puede volver al servicio de estudiantes. Por un corto plazo, lo ayudaremos a verificar la lista de verificación actual y ordenar las tareas, al igual que antes, no se ocupó del cálculo de las últimas.

І el teorema sobre las funciones plegables de pokhіdnu, cuya formulación es la siguiente:

Sean 1) función $u = \varphi (x) $max en el punto actual $x_0 $go $u_ (x) "=\varphi" (x_0)$, 2) función $y=f(u) $max en el punto actual dot $u_0 = \varphi(x_0)$loho $y_(u)"=f"(u)$. Del mismo modo, la función plegable $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $ en el punto de adivinación también es un poco complicada, por lo que puede reiniciar funciones similares $ f (u) $ i $ \ varphi (x) $:

$$ \left(f(\varphi(x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi(x_0)\right)\cdot\varphi"(x_0)$$

de lo contrario, en una abreviatura más larga: $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

En las colillas de las que he dividido todas las funciones pueden aparecer $y=f(x)$ (por lo que solo es posible ver las funciones de uno cambiar $x$). Obviamente, en todos los extremos es malo $ y "$ aceptar el cambio $ x $. Por ejemplo, aquellos que son buenos para aceptar el cambio $ x $ a menudo reemplazan $ y" $ escriben $ y "_x $.

En los stocks No. 1, No. 2 y No. 3, se incluye un proceso detallado de familiarización con las funciones de plegado. Butt No. 4 de citas para una mayor comprensión de las tablas de similares y no tiene sentido saberlo.

Bazhano después de terminar el material en las culatas No. 1-3, pase al acabado independiente de las culatas No. 5, No. 6 y No. 7. Aplique los números 5, 6 y 7 para tomar una decisión breve, de modo que el lector pueda cambiar instantáneamente la exactitud de su resultado.

trasero №1

Encuentre una función similar $ y = e ^ (\ cos x) $.

Necesitamos saber la función de plegado correcta $ y "$. Dado que $ y = e ^ (\ cos x) $, entonces $ y" = \ left (e ^ (\ cos x) \ right) "$. Para saber el correcto $ \ izquierda (e ^ (\ cos x) \ derecha) Para ganar la fórmula #6, es necesario corregir lo que en nuestra opinión es $ u = \ cos x $. Además, la solución se utiliza en subestaciones banales en la fórmula No. 6 de la expresión $\cos x $replace $u$:

$$y "= \left(e^(\cos x)\right)" = e^(\cos x)\cdot (\cos x)"\tag(1.1)$$

Ahora es necesario saber el valor de $ (\ cos x) "$. Volvamos a las tablas a continuación, eligiendo la fórmula No. 10. Sustituyendo $ u \u003d x $ en la fórmula No. 10, tal vez: $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$. Ahora seguimos la igualdad (1.1), añadiéndola al resultado:

$$y "=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot(\cos x)"=e^(\cos x)\cdot(-\sin x \ cdot x ") \ etiqueta (1.2) $$

Como $ x "= 1 $, entonces podemos continuar con la igualdad (1.2):

$$y "=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot(\cos x)"=e^(\cos x)\cdot(-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot(-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x)\tag(1.3)$$

Otzhe, de la paridad (1.3) puede ser: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. 1.3).

prueba: $Y"=-\sen x\cdot e^(\cos x)$.

trasero №2

Encuentra la siguiente función $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $.

Necesitamos calcular el costo $ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" $. Para la mazorca, es significativo que la constante (es decir, el número 9) pueda ser culpada por la mala señal:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\right)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \derecho)"\etiqueta(2.1)$$

Ahora veamos $ \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "$. Para elegir una fórmula de tablas similares a esta, me imagino luciendo así: $ \ izquierda (\left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(12)\right)"$. Ahora puede ver que la fórmula n. ° 2 debe modificarse, por lo que $ \ Left (u ^ \ alpha \ right) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. Podemos representar la fórmula $u = \arctg (4\cdot\ln x) $i $\alpha = 12$:

Complementando la igualdad (2.1) se resta del resultado, quizás:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\right)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"\tag(2.2)$$

En esta situación, a menudo se permite un perdón, si la primera opción es la fórmula $ (\ arctg \; u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ reemplaza la fórmula $ \ left (u ^ \ alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. A la derecha, en el hecho de que el primero tiene la culpa, hay una función similar. Para entender, como la función en sí se llamará para la expresión $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $, demuestre que le importa el valor de $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ para cualquier valor de $ x $. Comience por adivinar el valor de $ 5 ^ x $, luego multiplique el resultado por 4, restando $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Ahora, dado el resultado, sacamos el arco tangente, restándole $\arctg(4\cdot 5^x)$. Luego tomaremos el número en doce pasos, tomando $\arctg^(12) (4\cdot 5^x)$. El resto del día, - para ser elevado al grado de 12, - y será una función adecuada. Y lo siguiente fue comenzar un pokhіdnoj znahodnoї, que se rompió en equivalencia (2.2).

Ahora es necesario saber $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$. Podemos ganar la fórmula No. 19 de las tablas de similares, sustituyendo $ u = 4 \ cdot \ ln x $ en ella:

$$(\arctg(4\cdot\ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot\ln x)^2)\cdot(4\cdot\ln x)" $$

Trochy se puede restar fácilmente de viraz, mirando $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.

$$(\arctg(4\cdot\ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot\ln x)^2)\cdot(4\cdot\ln x)"=\frac( 1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "$$

La equidad (2.2) ahora se convertirá en:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\right)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=\\=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot(4\cdot\ln x)" \ etiqueta (2.3) $$

Olvidé saber $ (4 \ cdot \ ln x) "$. Culpamos a la constante (es decir, 4) por la mala señal: $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$ Para saber $ (\ ln x) "$ fórmula victoriosa #8 sustituyendo $ u = x $: $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "$. Como $ x "= 1 $, entonces $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x) $ Sustituyendo el resultado de la resta en la fórmula (2.3), restamos:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\right)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=\\=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot(4\cdot\ln x)" = \\=108\cdot\left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot 4\ cdot\ fracción(1)(x)=432\cdot\frac(\arctg^(11)(4\cdot\ln x))(x\cdot(1+16\cdot\ln^2x)).$ $

Supongo que las funciones de plegado se encuentran con mayor frecuencia en una fila, como está escrito en el resto de la ecuación. Por lo tanto, durante la ejecución de rozrahunkiv o robots de control típicos, no es obligatorio redactar la decisión del piso y el informe.

prueba: $Y"=432\cdot\frac(\arctg^(11)(4\cdot\ln x))(x\cdot(1+16\cdot\ln^2x))$.

trasero №3

Saber $y "$función $y = \sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Para la mazorca de troch, invirtamos la función $ y $, colgando el radical (raíz) en el mismo paso: $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ left (\ sin ( 5 \ cdot 9 ^ x) \right)^(\frac(3)(7))$. Ahora vayamos a las cosas malas. Entonces $y = \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, entonces:

$$y "= \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"\tag(3.1)$$

Conquistando la fórmula No. 2 de tablas de similares, sustituyendo en ella $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ i $ \ alpha = \ frac (3) (7) $:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1)(\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"$$

Prodovzhimo rivnist (3.1), vikoristuyuchi restando el resultado:

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"\tag(3.2)$$

Ahora es necesario saber $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$. Es posible ganar para él la fórmula No. 9 de las tablas similares, sustituyendo $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $ en él:

$$(\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Sumando la igualdad (3.2) al resultado, podemos:

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\=\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"\etiqueta(3.3)$$

Olvidé saber $ (5 \ cdot 9 ^ x) "$. Para la mazorca, culpamos a la constante (el número $ 5 $) por el signo de la similar, entonces $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$ . Para el valor de $ similares (9 ^ x)" $, podemos crear la fórmula No. 5 de las tablas de similares, sustituyendo en ella $ a = 9 $ i $ u = x $: $ (9 ^ x) "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. Como $ x "= 1 $, entonces $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Ahora podemos continuar con la igualdad (3.3):

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\=\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"=\frac(3)(7)\cdot\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Puede invertir los pasos a los radicales (esa es la raíz) escribiendo $ \ izquierda ( \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ derecha) ^ (- \ frac (4) (7)) $ en busca de $ \ frac (1 ) (\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^ x))) $. Todi Pokhіdna se registrará de la siguiente forma:

$$y"=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

prueba: $Y"=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot\frac(\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

trasero №4

Demuestre que las fórmulas No. 3 y No. 4 de las tablas son similares y las últimas de las fórmulas No. 2 de las tablas.

La fórmula No. 2 de las tablas de similares tiene una función similar $ u ^ \ alpha $. Sustituyendo $ \ alpha = -1 $ en la fórmula #2, tomamos:

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ tag (4.1) $$

Dado que $ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ i $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $, entonces la paridad (4.1) se puede reescribir de la siguiente manera: $ \left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tse y є fórmula No. 3 tablas de similares.

Estoy volviendo a la fórmula No. 2 de las tablas de similares. Sustituye en ella $ \alpha = \frac (1) (2) $:

$$ \left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" = \frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag(4.2)$$

Entonces $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$i$u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 ) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $, entonces la paridad (4.2) se puede reescribir de la siguiente manera:

$$(\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot\frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) ) \ cdot u "$$

Paridad otrimane $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $ i є fórmula No. 4 tablas de similares. Al igual que Bachite, las fórmulas No. 3 y No. 4 de las tablas son similares a las fórmulas No. 2 sustituyendo el valor habitual de $\alpha$.

En esta lección, aprendemos a saber funciones plegables. Lección є continuación lógica del empleo. ¿Cómo saber si voy a ir?, en el que elegimos lo más simple de lo peor, y también conocimos las reglas de diferenciación y algunos trucos técnicos para saber lo peor. En tal rango, incluso si no tiene funciones similares, o si los momentos de estos artículos no están claros, entonces estará al tanto de la lección. Sea amable, sea serio de una manera seria: el material no es simple, pero aún trato de hacer que el yoga sea simple y accesible.

En la práctica, con una función de plegado casual, es posible que tengas que pegarte más a menudo, diría, puedes estar seguro, si te han dado la tarea de acomodar a los muertos.

Mirando la tabla para la regla (No. 5) de la diferenciación de la función de plegado:

Vamos a ver. Persh para todo, respeto bestial para el registro. Aquí tenemos dos funciones: i, además, la función, aparentemente en sentido figurado, está incrustada en la función. Una función de este tipo (si una función está anidada en otra) se denomina función contraíble.

llamaré a la función función adecuada, Una función - función interna (o incrustada).

! Los datos proporcionados no son teóricos y no son responsables de figuruvat en el diseño final de la tarea. Estoy estancado informalmente hablando de "función externa", función "interna" solo para facilitarles la comprensión del material.

Para aclarar la situación, veamos:

trasero 1

Conocer funciones relacionadas

Debajo del seno, conocemos no solo la letra "iks", sino todo el viraz, por lo que sabes mejor que la tabla según la tabla. También notamos que aquí es imposible bloquear las dos primeras reglas, hay una diferencia, pero a la derecha en que no es posible "dividir" el seno:

En esta aplicación, ya desde mi explicación, se entendió intuitivamente que la función es una función colapsable, además, el polinomio es una función interna (anidaciones), y es una función externa.

persh krok, que es necesario para vikonati con las funciones plegables pokhіdnoї necesarias razіbratisya, como una función es interna, y como - fuera.

En tiempos de aplicaciones simples, se entendió que el seno de las contribuciones es un polinomio. Pero cómo buti, ¿cómo es que todo no es obvio? ¿Cómo quiere decir exactamente qué función es externa y cuál es interna? Para quien pronuncio recepción ofensiva victoriosa, que puede llevarse a cabo en pensamientos o en negro.

Está claro que necesitamos calcular el valor del número en la calculadora en (el reemplazo de uno puede ser un número).

¿Qué podemos calcular en pershu negro? En el medio de la nada será necesario que venga el vizconde: entonces el polinomio será una función interna:

un amigo tiene un negro habrá que saber que el seno será la misma función:

Después de eso, yak mi DESCUBIERTO con funciones internas y externas, es hora de zastosuvat la regla de diferenciación de funciones plegables.

Empecemos a jurar. 3 lecciones ¿Cómo saber si voy a ir? recordamos que el diseño de la decisión, ya sea pokhіdnoї zavzhda, comienza así: robimo los bigotes en los brazos y dibuja un trazo a la derecha:

en la mazorca conocemos las funciones semejantes (seno), maravillándonos de la tabla de funciones elementales semejantes y observamos eso. Todas las fórmulas tabulares son fijas y en eso, vipadku, como "iks", reemplácelo con un viraz plegable, en esta vista:

Revelar respeto, cuál es la función interna no cambió, no nos importa.

Bueno, sé que es obvio que

El resultado de las fórmulas de zastosuvannya en el diseño final se ve así:

El multiplicador constante debe culparse a la mazorca de virazi:

Si ha perdido su incomprensibilidad, vuelva a escribir la decisión en papel y lea la explicación nuevamente.

trasero 2

Conocer funciones relacionadas

trasero 3

Conocer funciones relacionadas

Cómo escribir para siempre:

Estamos eligiendo dónde tenemos una función externa y dónde tenemos una interna. Para quién intentamos (pensamientos o en negro) calcular el valor del virus en. ¿Qué se necesita para un viskonat en Persh Cherga? En la primera línea, hay que fijarse en lo que vale la pena sustentar: por lo tanto, un polinomio es una función interna:

Yo, solo así ganaremos los enlaces en los pasos, entonces, función estatal- función útil:

Vіdpovіdno a la fórmula, es necesario saber de un vistazo la posición exacta de la función adecuada, de esta manera, el tipo de paso. Rozshukuemo en las tablas necesitaré la fórmula:. Repitamos una vez más: si la fórmula tabular es válida no solo para "iks", sino también para doblar virazu. En este orden, el resultado de fijar la regla de diferenciación de la función de plegado de las ofensivas:

No soy consciente de que si nos tomamos un descanso de la función exterior, la función interna no cambia con nosotros:

Ahora se pierde saber la manera simple de mirar las funciones internas y “peinar” el resultado:

trasero 4

Conocer funciones relacionadas

Tse trasero para decisión independiente(Repaso al final de la lección).

Para arreglar la función de plegado de romero, daré un trasero sin comentarios, intentaré expandirme, calmarme, cancelar la llamada y la función interna de forma independiente, ¿por qué quieres hacerlo tú mismo?

trasero 5

a) Conocer las funciones relevantes

b) Conocer las funciones relevantes

trasero 6

Conocer funciones relacionadas

Aquí tenemos una raíz, y para diferenciar la raíz es necesario presentarla a nivel visual. De esta manera, inducimos la función en la parte posterior a una forma apropiada para la diferenciación:

Analizando la función, llegamos al punto donde la suma de las tres sumas es la función interna, y la suma de las tres sumas es la función externa. La regla de diferenciación de las funciones de plegado es fija:

Los pasos están nuevamente representados por el radical visual (raíz), y para una función interna aleatoria, se fija una regla simple de diferenciación del sumi:

Listo. Es posible llevar el viraz en los arcos al estandarte dormido y escribir todo de una sola vez. Es hermoso, maravilloso, pero si hay viejos tiempos voluminosos de malos tiempos, es mejor no ser tímido (es fácil perderse, permitir un perdón indecente, ese vikladach se malinterpretará sin control).

trasero 7

Conocer funciones relacionadas

Este es un ejemplo de una solución independiente (revisión al final de la lección).

Es importante señalar que, además de reemplazar la regla de diferenciación de una función colapsable, se puede cambiar la regla de diferenciación de una función privada , Pero entonces la solución parecerá retorcida y divertida. Eje característico trasero:

trasero 8

Conocer funciones relacionadas

Aquí puede ajustar la regla de diferenciación de privado , Ale mejor conocer mejor a través de la regla de diferenciación de funciones de plegamiento:

Preparamos una función para la diferenciación: culpamos al menos por el mal signo, y el coseno se toma en el número:

El coseno es una función interna, los pasos a los pies son una función externa.
Vikoristovuemo nuestra regla:

Sabemos que las funciones internas se han ido, el coseno vuelve a bajar:

Listo. Es importante que un trasero lucido no se pierda en los signos. Antes del discurso, prueba el virishiti yoga con la ayuda de la regla. , Vіdpovіdі culpable spіvpasti.

trasero 9

Conocer funciones relacionadas

Este es un ejemplo de una solución independiente (revisión al final de la lección).

Hasta ahora, hemos mirado los pliegues, si tuviéramos solo un inserto en la función de plegado. En tareas prácticas, a menudo puede usar los mismos trucos, como una matrioshka, una en un segundo, una inversión en una fila de 3 o incluso 4-5 funciones.

trasero 10

Conocer funciones relacionadas

Razbiraєmosya en archivos adjuntos en funciones. Tratando de contar el viraz para la ayuda del último valor. ¿Cómo entraste en la calculadora?

Es necesario conocer el corazón, quiere decir que el arcoseno es el aporte más importante:

Luego elevamos al cuadrado el arcoseno de la unidad:

І, nareshti, traemos el símbolo a los pasos:

Entonces, en esta aplicación, tenemos tres funciones diferentes y dos anidamientos, con los cuales, la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función de visualización.

comenzamos virishuvati

Como regla general, es necesario dar una vuelta a la mazorca después de la función adecuada. Miramos la tabla de los peores y, bueno, las demás muestran funciones: La única diferencia es la sustitución de los “iks” en nuestro plegado viraz, que no predice la equidad de la fórmula. Asimismo, el resultado de fijar la regla de diferenciación de la función de plegado de las ofensivas:

¡Bajo el toque final, tenemos una nueva función de plegado! Ale, ya es más sencillo. Es fácil perekonatisya, que la función interna es el arcoseno, la función externa es el pie. De acuerdo con la regla de diferenciación de la función colapsable, es necesario dar un paso más bajo.

La operación de visualización se llama diferenciación.

Como resultado, la solución de problemas sobre el descubrimiento de funciones similares en las funciones más simples (y ni siquiera más simples) según la designación de las funciones similares entre el incremento y el incremento del argumento apareció una tabla de reglas similares y exactamente iguales. de diferenciación. Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) fueron los primeros en trabajar en el campo del conocimiento del pasado.

Por lo tanto, en nuestra hora, para saber si una función es buena, no es necesario calcular las conjeturas, el límite entre el aumento de una función y el aumento de un argumento, pero es necesario acelerar el proceso. tabla de similares y las reglas de diferenciación. Para el conocimiento del futuro, se debe utilizar un algoritmo ofensivo.

Para conocer el pokhidnu, Viraz requerido bajo el signo de trazo expandir las funciones simples del almacén y significar, con algunas acciones (Tvir, suma, privado) relacionados con estas funciones. Dalí de las peores funciones elementales se conocen en las tablas de las peores, y las fórmulas de las mejores, la suma y la privada - en las reglas de diferenciación. Tabla de recientes y reglas de diferenciación dadas después de las dos primeras aplicaciones.

Ejemplo 1. Conocer funciones relacionadas

Solución. De las reglas de derivación se desprende que la suma de las funciones es la suma de las funciones similares, es decir

De las tablas de similares, está claro que "iksi" es mejor que uno, y que el seno es mejor que el coseno. Sustituya los valores de qi en la suma del pokhіdnyh y conocemos la tarea mental necesaria del pokhіdnu:

Ejemplo 2. Conocer funciones relacionadas

Solución. Diferenciando como voy a perder mi suma, en algún otro apéndice con un multiplicador constante, puedo culparlo por el signo del bien:

Mientras se culpa a la comida, a las estrellas que se toman, el hedor, por regla general, se vuelve más claro después del conocimiento de la tabla de reglas de diferenciación similares y más simples. Ante ellos, pasamos directamente a la vez.

Tabla de funciones simples similares

1. Constantes de Pokhіdna (números). Si hay un número (1, 2, 5, 200...), como en la función expresada. Manténgase en cero. Es más importante recordar, por lo que es necesario más a menudo.
2. Pokhіdna nezalezhnaya zminnoy. Mayormente "iksi". Olvídate de una sana soledad. Tse tezh es importante recordarlo durante mucho tiempo
3. Paso Pokhіdna. En los pasos al realizar tareas, es necesario transformar raíces no cuadradas.
4. Pokhіdna zminnoi en la etapa -1
5. Raíz cuadrada de Pokhіdna
6. Seno de Pokhіdna
7. Coseno de Pokhіdna
8. tangente de Pokhіdna
9. Cotangente de Pokhіdna
10. Arco seno de Pokhіdna
11. Pokhіdna arcocoseno
12. Arcotangente de Pokhіdna
13. Arco tangente de Pokhіdna
14. Logaritmo natural de Pokhіdna
15. Funciones logarítmicas de Pokhіdna
16. Pokhіdna exponenti
17. Función de visualización de Pokhіdna

Reglas de diferenciación

1. Pokhіdna sumi o venta al por menor
2. Haz un buen trabajo
2a. Expresión de Pokhіdna, multiplicada por el multiplicador constante
3. Ir privado
4. Función de plegado

Regla 1que funciones

diferenciando en el punto actual, entonces en el mismo punto puede tener funciones similares

por qué

tan similar a la suma algebraica de funciones de la antigua suma algebraica de funciones similares.

Consecuencia. Si dos se diferencian en un suplemento permanente, entonces los suyos son iguales, tobto

Regla 2que funciones

diferenciando en el punto débil, luego en el mismo punto de diferenciable y їх tvіr

por qué

por lo que es mejor complementar las dos funciones de la cantidad total de funciones de la piel con estas funciones para el resto.

Consecuencia 1. Se puede culpar al multiplicador constante por la mala señal.:

consecuencia 2. Pokhіdna creat kіlkoh diferentіyuyutsya drіvnyuє sumі tvorіv pokhіdny dérmica en spіvmulnіnіkiv en todos los aspectos.

Por ejemplo, para tres múltiplos:

regla 3que funciones

diferenciando en punto débil і , luego, en el punto tsіy del diferenciable i їhnya es privadou/v, además

de modo que una fracción costosa bifuncional privada, un número de tal diferencia de creaciones de un abanderado por la muerte de un libro de números y un libro de números por la muerte de un abanderado, y un abanderado es el cuadrado del colosal libro de números .

De sho shukati en otros lados

Cuando conoce el costo del trabajo adicional y las piezas en problemas reales, siempre es necesario zastosovuvat al mismo tiempo las reglas de diferenciación, por lo que hay más aplicaciones para el costo del cambio - en las estadísticas"Espera un suplemento y partes de funciones".

Respeto.¡Deslizó para no confundir la constante (tobto, número) como un complemento en la suma y como un multiplicador constante! En tiempos dodanka її pokhіdna es igual a cero, y en tiempos del multiplicador rápido se culpa por el signo de los posteriores. Este es un perdón típico, ya que se escucha en la etapa de mazorca de la cría del pasado, pero en el mundo la solución ya es dekilkoh aplicaciones de uno y dos pisos. estudiante del medio no más perdones.

Y en cuanto a la diferenciación, crea algo privado, tienes un extra tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, que es una constante, entonces el mismo número será igual a cero i, luego, todas las sumas serán iguales a cero (tal patrón de argumentos en el extremo 10).

de lo contrario perdón frecuente- solución mecánica para una función de plegado casual como una función simple casual. Tomás función de plegado fácil estatua consagrada de okrema. Un poco más adelante, aprenderemos sobre las similitudes de las funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de un cambio de viraz. Para quién puede necesitar ayuda en nuevas ventanas Dії zі pasos i raícesі Dії con fracciones .

¿Cómo encuentras soluciones a fracciones similares con pasos y raíces, entonces, si la función puede ver , Luego vaya a la lección "Es bueno tener una bolsa de tiros con pasos y raíces".

Yakshcho bien frente a ti zavdannya en srazok , Entonces estás ocupado con "Como funciones trigonométricas simples".

Colillas pokrokovi - como saber si voy a

Ejemplo 3. Conocer funciones relacionadas

Solución. Es obvio que parte de la función de virase es: todos los viraz son tver, y esos productos son sumi; Crea una regla estable de diferenciación: es mejor agregar dos funciones a una suma saludable de piel y estas funciones para el resto:

Dimos una regla estable de diferenciación de la suma: la suma algebraica similar de funciones es la suma algebraica de funciones similares más cara. Nuestra mente en la bolsa de piel tiene otro apéndice con un signo menos. En la suma de la piel, hay muchos cambios independientes, es como uno saludable y una constante (número) que es como un cero. Otzhe, "ix" con nosotros se convierte en uno, y menos 5, en cero. El otro ha pronunciado "iks" multiplicado por 2, así que multiplicamos dos por el mismo, como si perdiera "iksi". Le quitamos los próximos valores de la siguiente:

Sustituyendo el conocimiento del futuro en la bolsa de las creaciones y teniendo en cuenta el necesario quehacer intelectual de todas las funciones:

Y puedes cambiar la solución del problema para mejor.

Ejemplo 4. Conocer funciones relacionadas

Solución. Necesitamos saber el secreto de lo privado. Zastosovuєmo la fórmula de diferenciación de lo privado: el número de las dos funciones privadas es igual a la fracción, el número de tal diferencia de creaciones del estandarte para la muerte del número del número y el número del número para el muerte del estandarte, y el estandarte es el cuadrado del número del número. aceptamos:

Ya conocíamos los factores del libro de números en la aplicación 2. No olvidemos que el otro factor del libro de números en la aplicación de streaming se toma con signo menos:

¿Cómo encuentra una solución a tales problemas, en los que necesita saber las funciones exactas, eliminando la acumulación de raíces y pasos, como, por ejemplo, , entonces amablemente le pedimos un trabajo "Bolsa de tiros Pokhіdna con escalones y raíces" .

Bueno, necesitas saber más sobre los peores senos, cosenos, tangentes y otros. funciones trigonométricas, Tobto, si la función se puede mirar , entonces tienes una lección "Como funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Conocer funciones relacionadas

Solución. Esta función tiene muchos giros, uno de los multiplicadores de estos es la raíz cuadrada de un cambio independiente, con una similar que reconocimos en las tablas de similares. Para la regla de diferenciación se crea y se toma el valor tabular de la raíz cuadrada:

Es posible revisar la solución de tareas para el futuro en calculadoras en línea .

Ejemplo 6. Conocer funciones relacionadas

Solución. Esta función es más privada, la distancia de algunos es la raíz cuadrada del cambio independiente. Según la regla de diferenciación de los privados, como repetimos y pegamos en el apéndice 4, y se toma el valor tabular de la raíz cuadrada:

Sob pozbutisya en la fracción en el libro de números, multiplicamos el libro de números y la pancarta.