Moguće je pokazati (nije robustan), ali ryvnyannya (2) je jednakija rivnyannya (1), ako želite biti otrimano sa (1) načinom neekvivalentan prevrtanje. Tse označava scho rivnyannya (2) -privnyannya ove elipse. Neće biti pozvan kanonski(Oprostit ćemo najboljima).

Zrozumílo, ívnyannya elípsa ê rívnyannya drugog reda, tobto. elips-linija 2. reda.

Za e-mail je moguće uvesti razumijevanje ekscentričnost. Tse value. Za elipse, ekscentricitet. Tako jak sі a vidomy, takođe vidomy. Viraz žarišnih radijusa tačke M (x, y) elipse lako se prepoznaje sa prednje strane svijeta:. r 2 poznat s dobrim razlogom (3)

Poštovanje Zabijte dvije tsvyakhi (F1 i F2) u čelik, zavežite im čipku nizom čvorova, dozhin što je više za izgled tsvyakhi ( 2a), povucite gajtan i uz pucketanje ga povedite preko stola, a zatim obrišite zatvorene krivulje-elipse, koje je simetrično između obje ose i klapa koordinata.

4. Prethodno formiranju elipse iz kanonskog Rivne.

Na poštovanju svijeta, napravili su šaru u obliku elipse. Sada se izvodi do posljednjeg oblika elipse, analizirajući ovu kanonsku rivnyannya:

Znamo da će tačke preći koordinatne ose. Yaksho, y = 0, onda,, tobto. dvije tačke A1 (-a, 0) i A2 (a, 0). Ako je x = 0, onda. Tobto. dvije tačke B1 (0, -b) í B2 (0, b) (od tada). Tačke A1, A2, B1, B2 pozivaju vrhove elipse.

2) Područje rasta elipsa može se pripisati sljedećem mirkuvanu:

a) od rívnyannya elipsa slíd, scho, tobto. , tobto. abo.

b) slično, tobto. abo. Pokazat ću vam kako se cijeli proces ispravljanja odvija u pravougaoniku, uspostavljenom ravnim i.

3) Dal, u ryvnyannya elepsa zime i y, ulaze samo u par koraka, a to znači da je kriva simetrična između osi kože i klipa koordinata. D-ali, ako radijus treba da ima tačku (x, y), koja treba da se nalazi u i tačkama (x, -y), (-x, y) í (-x, -y). Za to je dovoljno pogledati deprivaciju onog dijela elipse, koji leži na prve četiri, de i.

4) Od rívnyannya elipsa maêmo, i prva četiri. Ako je x = 0, onda je y = b. Centralna tačka B2 (0, b). Neka se x promijeni od 0 do a tody y promijeni od b do 0. Tim tačkom M (x, y), fiksirajući iz tačke B2 (0, b), opiše luk koji dolazi do tačke A (a, 0). Može biti suvoro donijeti, gdje je luk zakrivljen uspravno uzbrdo. Dodamo zrcalni luk u koordinatne ose i na klip, možemo vidjeti cijele elipse. Osi simetrije elipse nazivaju se yogo ose, tačka Pro peretin centar elipse. Dovzhinu ídrízkív OA1 = OA2 = ali oni zovu veliki pivvíssyu elipsa, ídrízkív OV1, OV2 = b-mali pívvíssyu wíllíps, (a> b), c-fokalni pogled. Samo geometrijski objasnite vrijednost.

Sa a = b, možemo prihvatiti kanonsku ryvnyannya elipsu - rivnyannya ulog. Za ulog, tobto. F1 = F2 = 0..

U takvom rangu, prsten je krug elipse, ako je fokus centriran na centar i ekscentricitet = 0. Što je više ekscentričnosti, to se više elipsa koristi.

Poštovanje. Od kanonskog ryvnyannya elipsa, lako je stvoriti uzorak, ali elipsi se mogu postaviti u parametarskom obliku. x = a cos t

y = b sin t, de a, b - veliki i mali pivosi, t-cut.

5. Oznaka kanonske hiperbole.

Hiperbola Zove se HMT područja, za bilo koju razliku između dvije fiksne tačke područja F1F2, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost (nije jednaka 0 ili manje, ispod fokusne tačke F1F2).

Počnimo, kao i ranije, F1F2 = 2s, a razlika između njih je 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Nekhai M (x, y) je tačka linije hiperbole. Za vrijednosti MF1-MF2 = ili r1-r2 == ili - (1). -ce í ê rívnyannya hiperbola.

Ublažavanje smisla racionalnosti u (1): pretpostavlja se jedan korijen, a onda vrijeđajući dio u kvadratu, možemo ga razaznati:

Zvezdice.

Rozdilimo on. Unesite vrijednost. Todi - (2). Rivnyannya (2), kao što se može pokazati, jednaka je od rivnyannya (1), i tome ê. Yogo ime kanonski rivljani hiperbole Bachimo, pa nivo hiperbole može biti drugog nivoa, od istog, hiperbola-linija drugog reda.

Ekscentričnost hiperbole. Viraz žarišnih radijusa kroz nju se lako obrezuje s prednje strane, tako da je poznat iz.

6. Prethodni oblik hiperbole za njen kanonski rívnyany.

Rosemirkovuêmo je slično onome prije, kada je posljednji update.

1. Poznate su tačke prelivanja sa osovinama hiperbole. Ako je x = 0, onda. Tačka je peretinu sa visyu OU nemaê. Ako je y = 0, onda. Prelivne tačke,. Smrdljivo ime vrhovima hiperbole.

2. Područje rasta hiperbole:, tobto. abo. To znači da je hiperbola ružičasta, poza tamna, okružena ravnim linijama x = -aі x = a.

3. Hiperbola se može posmatrati kao simetrija, jer x i y ulaze na par koraka. To je dovoljno da se pogleda onaj dio hiperbole, koji se peče u prvoj rundi.

4. Z rivnyannya hiperbola (2) u prva četiri mamo. Kod x = a, y = 0, tačka je; at, tobto. kriva ide desno uz brdo. Jasno je da su vidljive dvije dodatne ravne, koje prolaze kroz kocku koordinata i dijagonala pravougaonika sa stranicama 2a i 2b: BCB'C'. Pomiriši to ryvnyannya. Očigledno je da je tačka hiperbole M (x, y) na putu ka beskonačnosti, nije moguće približiti se pravoj liniji. Pređi na stvar NS a povremeno je ordinata tačke hiperbole ravna. Očigledno Y> y... MN = Y-y =.

Bachimo, scho s, tobto. kriva se ne približava pravoj u svijetu od udaljenosti do klipa koordinata. To dovodi do toga da je asimptota hiperbole direktna. Štaviše, hiperbola ne mijenja asimptote. Dovoljno je da dobijete dio hiperbole. Vonu je brutalizirala kvrgava planina. Ínshi dijelovi su dobijeni simetrijom. Začudo, osa simetrije hiperbole (os koordinata) se zove njena osovine, tačka prelivanja osi centar hiperbole. Jedna je težila nadvladala hiperbolu (radnju), ínsha-ní (jasno). Vidrizok a nazovi službeno putovanje b-izričito pivvissyu. Pravougaoni BCB'C'-naziva se glavna pravougaona hiperbola.

Yaksho a = b, tada se asimptotika postavlja sa koordinatnim osa kuchi. Todi hiperbola ili poziv Rivnobichno ili ravnobichnoy. Glavni rektum se pretvara u kvadrat. Asimptote su jednostruke okomite.

Poštovanje.

Inodi pogledajte hiperbolu, kanonski primjer - (3). Ej poziv vezano prema odnosu prema hiperboli (2). Hiperbola (3) se može kretati okomito, eksplicitno horizontalno. To je jedan od načina da ustanete, kako se preurediti NSі at, aі b(Von će se pretvoriti u drvo koje se vrti). Ale todí hyperbola (3) maê viglyad:

Tops í̈í̈.

5.Yak je već ušao, nivo jednakostrane hiperbole ( a = b) ako su osi koordinata poravnate sa osama hiperbole, možete to vidjeti. (4)

Jer asimptotika jednakostranične okomite hiperbole, njih se također mogu uzeti kao koordinatne ose OX 1 i OU 1. Cijena je ekvivalentna okretanju OXU sistema na rez. Formule za uključivanje kuta su sljedeće:

Todi in novi sistem koordinate OH 1 U 1 rívnâ (4) prepisati:

Abo abo. Značenje, otrimaêmo abo (5) tse rivnyannya jednakostranična hiperbola, predstavljen asimptotama (muški tip hiperbole se viđa u školi).

Poštovanje: Z rívnyannya viplivay, što je površina ravne linije, podstaknuta na koordinate tačke hiperbole M (x, y) koja sama: S = k 2 .

7. Oznaka kanonske parabole.

Parabola naziva se HMT područja, za čiju kožu se pojavljuje iz fiksne tačke F područja, tzv fokus, vrata su od fiksnog pravolinijskog, tzv ravnateljica(Fokusni položaj direktorice).

Pretpostavlja se da se od F do direktrise kroz p í to naziva parametar parabole. Sistem koordinata vibrira ovako: os OX je povučena kroz tačku F okomitu na direktrisu NP. U sredini FP-a vibrira klip koordinata.

Sistem ima:.

Istovremeno, tačka je M (x, y) od koordinata tačke (x, y). Tom

Zvidsy (1) tse í ê jednaki paraboli. Objašnjivo:

Abo (2) -ce i ê kanonska parabola Može se pokazati da su (1) i (2) jake.

Rivnyannya (2) je Rivnyannya 2. reda, tobto. parabola-linija 2. reda.

8. Prethodno formiranju parabole za íí̈ Canonical Rivneans.

(p> 0).

1) x = 0, y = 0 parabola prolazi kroz točku koordinata O yeja se naziva vrh parabole.

2), tobto. parabola trune desno od ose OU, desno od ose.

3) at da uđemo kao upareni svijet, tako da je parabola simetrična osi OH, zatim da završi boravak u prva četiri.

4) na 1 kvartal u, tobto. parabola ide desna. Moguće je pokazati da sam klonula uz brdo. Uz simetriju, ja ću biti ispod. Od OU-tačka do parabole.

Očigledno, radijus fokusa je. Svetište se zove ekscentričnost:. Cijela simetrija parabole (imamo OX) naziva se cijela parabola.

Sjajno, to je i parabola, ispravljena u prototip bicikla. Rivnyannya takođe može postaviti parabole, koje su suspendovane iz OU.

za veliki wigglyad, de.

Rivnyannya viznacha zvychaynu parabola zí vídnínuyu vrh.

Poštovanje. 1) Između usíma choterma redova 2. reda, spor je blizak; s kraja na kraj... Ako uzmete konus iz dva komada, onda kada je područje okomite ose konusa prekoračeno, možete ga odrezati, ako će trohus pokriti područje, on će ga preplaviti; ako je površina paralelna skupu, onda u re-paraboli, gdje je područje preliveno

prazna hiperbola.

2) Moguće je dovesti, ako se svjetlo ugasi iz fokusa parabole, vidi se iz njega, onda se pojavljuje paralelno sa osom paraboličnog cilja da se prikaže kada su reflektori parabolični. Idite na konjugaciju svjetlosti.

3) Čim možete da vidite lansiranje Zemljinog pratioca iz tačke T, treba da ležite u položaju atmosfere u horizontalnom pravcu, kao da je paučina v Ako to nije dovoljno, onda se saputnik neće okretati oko Zemlje. Kada se postigne prvo istraživanje svemira, pratilac se okreće oko Zemlje u kružnoj orbiti sa centrom u centru Zemlje. Čim počatkova bude imala kvalitet života, umotana je u elipsu, centar Zemlje će biti u jednom fokusu. Kada se dostigne 2. svemirsko kretanje, putanja postaje parabolična i pratilac se ne okreće u tačku T, ali se ne kreće u granicama Sistem za spavanje... Tobto. Parabola je elips sa jednim neprekidnim fokusom. Uz neznatno poboljšanje klipa, putanja postaje hiperbolična, a s druge strane se pojavljuje još jedan fokus. Središte Zemlje će provesti cijeli sat u fokusu orbite. Saputnik iza granica sistema Sonyachnoy.

Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1

Predavanje 15. Elips.

Rozdil 15. Elips.

stavka 1. Osnovne vrijednosti.

Viznachennya. Elips se naziva GMT površine zbira do dvije fiksne tačke područja, koje se nazivaju žarišta, ê trajna vrijednost.

Viznachennya. Udaljenost od trenutne tačke područja M do fokusa elipse naziva se žarišnim radijusom tačke M.

Oznaka:
- trikovi sa elipsom,
- Fokalni radijusi tačke M.

Prema vrijednosti elipsa, tačka M ê tačka elipsa i todi, ako
- Trajna vrijednost. Qiu postinu uzeto kao 2a:

. (1)

Dragi, scho
.

Za vrijednost elipsa, fokus je ê fiksne tačke, tako da postoji vrijednost između njih ê je također konstantna vrijednost za ovu elipsu.

Viznachennya. Izgled među žarištima elipse naziva se fokalni pogled.

Oznaka:
.

3 trikutnik
viplyaê, scho
, tobto.

.

Označimo sa b broj
, tobto.

. (2)

Viznachennya. Svetište

(3)

zove se ekscentricitet elipse.

Na cijelom području uveden je koordinatni sistem, koji se za elipsu naziva kanonskim.

Viznachennya. Držite se na mjestu gdje leži fokus elipse, koji se zove fokusni pogled.

Ostaću kanonski za elipu PDSK, div. sl. 2.

Vertikalna os apscisa vibrira do fokusne tačke, a vertikalna os je povučena kroz sredinu vertikalne ose
okomito na fokalnu osu.

Todi se fokusira na koordinate
,
.

tačka 2. Kanonska Rivna od Elipsa.

Teorema. U kanonskom za elipse koordinatni sistem elipse ma viglyad:

. (4)

Isporučeno. Dokaz se izvodi u dvije faze. U prvoj fazi, jasno je da su koordinate tačke, koje leže na elipsi, zadovoljne rivnyannya (4). U drugoj fazi, jasno je da li je odluka ryvnyannya (4) da da koordinate tačke, kako ležati na elipsi. Tražite viplivatime, ali iz razloga (4) ste zadovoljni tačkama koordinatnog područja, koje leže na elipsu. Zvukovi i vrijednosti ryvnyannya krivo sliduvati, scho ryvnyannya (4) do rivnyannya elipsa.

1) Neka je tačka M (x, y) tačka elipse, tobto. zbroj njenih žarišnih radija u dorívnyu 2a:

.

Brzo, po formuli, postoje dvije tačke na koordinatnoj površini, što je poznato iz uobičajene formule žarišnog radijusa date tačke M:

,
, zvijezde su prepoznatljive:

Prenosi se na jedan korijen desno od dijela jednakosti i na kvadrat:

Brzo, nadoknadit ću to:

Vjerovatno malo brži za 4 i samodovoljan radikal:

.

Izgrađen na kvadrat

Otvaranje luka koji brzoêmo na
:

:

Vikoristovuči paritet (2), prepoznat ćemo:

.

Potrošio sam svoj novac na
, Otrimuêmo paritet (4), h.t.d.

2) Sada je par brojeva (x, y) zadovoljavajući (4) í nehai M (x, y) je slična tačka na koordinatnoj oblasti Oxy.

Todi s (4) vipli:

.

Pidstavlyaêmo ciu za žarišne radijuse tačke M:

.

Ovdje ubrzavamo (2) i (3).

U takvom rangu,
... Slično,
.

Sada je super, pa, s dobrim razlogom (4), odlično je

abo
pošto
, onda zvuči kao ravnodušnost:

.

Zvidsi, u vlastitoj kući, viplyaê, scho

abo
і

,
. (5)

Z rivnosti (5) viplyê, scho
, tobto. tačka M (x, y) ê tačka elipse, itd.

Teorema je završena.

Viznachennya. Rivnyannya (4) se zove kanonska rivnyannya Elipsa.

Viznachennya. Kanonske za elipsu, koordinatne ose se nazivaju glavne ose elipse.

Viznachennya. Uho kanonskog koordinatnog sistema za elipsu naziva se centar elipse.

str 3. Moć elipse.

Teorema. (Moć elipse.)

1. Kanonski koordinatni sistemi za elipsu, sve

tačke elipa nalaze se na rektumu

,
.

2. Tačkice leže na

3. Elipsi su zakrivljeni, simetrični

njihove glavne osovine

4. Centar elipsa je centar simetrije.

Isporučeno. 1, 2) Odmah iz kanonske euforije Elipsa.

3, 4) Nekhai M (x, y) je dovoljna tačka elipse. Todi íí̈ koordinate su zadovoljne rivnyannya (4). Sveukupno su koordinate tačaka također zadovoljavajuće (4), í, í, í, í tačke elipse, zvijezde i teoreme konkordanta.

Teorema je završena.

Viznachennya. Vrijednost 2a se naziva velika težina elipse, vrijednost se naziva veliki esej elipse.

Viznachennya. Vrijednost 2b naziva se mala težina elipse, vrijednost b naziva se mala težina jegulje.

Viznachennya. Tačkice koje prelaze elipsu sa osovinama glave nazivaju se vrhovi elipse.

Poštovanje. Elips mogu ostati na ovaj način. Na kvadratu blizu fokusa, "zabijen je cvijetom" i na njima je zatvorena nit zavdovzhke
... Zatim uzmemo čovjeka i razvuče se konac kojim on pomaže. Zatim ponovo provucite maslinovu olovku duž područja, šaveći iza tim, a konac kuglice je zategnut.

Vrijednost ekscentriciteta vapingê, scho

Fiksni broj je a i direktno broj od nule. Todi at
,
і
... At mei otrimuêmo

abo
- Rivnyannya kolac.

Upravo sada
... Todi
,
í mi bachimo, scho u sredini elipsa virozhut na rubovima ravnog
Imati malog dječaka 3.

tačka 4. Parametarsko pravilo.

Teorema. Hajde
- Dobri brojevi. Todi sistem rivnyannya

,
(6)

ê parametarski ekvivalenti kanonskih koordinatnih sistema za to doba.

Isporučeno. Da se to dovede do kraja, da je sistem ryvnyan (6) pravičan rivnyannyu (4), tobto. smrdi na ta ista besmislena rješenja.

1) Nehay (x, y) - više rješenja sistema (6). Rozdilimo je uporan na a, drugi - na b, izgrađen je od ofanzivnog trga i magacina:

.

Tobto. biti slično rješenje (x, y) sistema (6) zadovoljavajuće (4).

2) Nazad, pustite par (x, y) ê ríshennyam rívnyannya (4), tobto.

.

Tačka sa koordinatama
ležati na broju jednog poluprečnika iz sa centrom na klipu koordinata, tobto. je tačka trigonometrijskog kočića, koja kaže deyakiy kut
:

Vrijednost sinusa i kosinusa odmah

,
, de
, zvijezde skliznule, koji uparuju (x, y) ê sistemska rješenja (6), h.t.d.

Teorema je završena.

Poštovanje. Elipsi se mogu korigovati kao rezultat dobro izbalansiranog "stiskanja" kole poluprečnika a na apscisnu osu.

Hajde
- Rivnyannya kola sa središtem na klipu koordinata. "Stisk" kočića do apscisne ose ê ni ni ni ni, kao rekreacija koordinatnog područja, pa slijedite ofanzivno pravilo. Skin tačka M (x, y) stavlja se na istu tačku cijelog područja
, de
,
- Koeficija "stiskanje".

Istovremeno, kožna tačka kočića "ide" do tačke površine, koja je sama apscisa, ale mensha ordinata. Virazimo stara točka ordinate kroz novu:

i predstavljen je u kolu ívnyannya:

.

Zvidsi otrimuêmo:

. (7)

Zvidsy viplya, koja je prije ponovnog stvaranja "stisnute" točke M (x, y) ležala na broju, tobto. njene koordinate su bile zadovoljne ulogom, a zatim nakon ponovne implementacije "stiskanja" tačka se "pomerila" na tačku
čije koordinate su zadovoljne e-mailom (7). Želio bih odbiti ryvnyannya elipsa s malo pivvissyu b, morate imati povjerenje

.

str 5. Stosovno elipsa.

Teorema. Hajde
- Lepa tačka elipse

.

Todi rivnyannya shodo tsíêí̈ elipsu u točki
maê viglyad:

. (8)

Isporučeno. Dovoljno je pogledati vipadoke, ako točka torzije leži u prvoj i ostale četiri koordinatne oblasti:
... Rivnyannya elipsa na gornjem napivploshiny maê viglyad:

. (9)

Skoristaêmosya rivnyannyam i graf funkcija
u tački
:

de
- značenje funky funkcije u točki
... Elipsi u prva četiri mogu se posmatrati kao graf funkcije (8). Poznato je da ću izgubiti značenje tačkastih tačaka:

,

... Ovdje smo ubrzali vrijeme, što je i poenta
ê po tački elipse í íí̈ koordinate su zadovoljene sa elipsama (9), tobto.

.

Pidstavlyaêmo znamo značenje vječne ryvnyannya dotichnoy (10):

,

:

Zvidsy viplyaê:

Rozdilimo qiu rivnist on
:

.

Kasno je da se to poštuje,
pošto mrlja
postaviti koordinate na zadovoljstvo rivnyannyu.

Slično se dovodi do tačke tačke (8) u tački tačke, koja leži u trećoj ili četvrtoj četiri koordinatne oblasti.

Í, nareshty, lako se prevrne, dobro ívnyannya (8) da ívnyannya dotichnoí̈ u bodovima
,
:

abo
, і
abo
.

Teorema je završena.

str 6. Zrcalna snaga elipsa.

Teorema. Slično je elipsi ma rívní kutija sa žarišnim radijusima vrha baklje.

Hajde
- torkannaya tačka,
,
- žarišne polumjere tačke na tačku, P i Q - projekcije fokusa na tačku
.

Sturgeova teorema

. (11)

Moguće je protumačiti što veću jednakost u padu i u slici promjene svjetla iz elipse, koja je stavljena u fokus. Tsia power osvojila je ime zrcalne moći Elipsa:

Pregledajte svjetlo, puštajući ga iz fokusa e-pošte, puštajući pogled iz ogledala e-pošte da prođe kroz unutrašnji fokus e-pošte.

Dokaz teoremama. Da bismo dokazali jednakost mačića (11), možemo donijeti broj tricikla
і
, na obje strane
і
budi ljubazan. Oskílki trikutniki su prave ruke, dovoljno je da se donese paritet

. (12)

Bo za motivaciju
- Pogled u fokusu dotično L (div. sl. 7),
... Brzo, koristeći formulu od tačke do ravno na području:

Dakle, isto je kao i prije.
ma viglyad

,

,

.

Ovdje smo koristili formule (5) za žarišne polumjere tačke elipse.

Teorema je završena.

Još jedan dokaz teoremama:

,
,
- Normalni vektor dotičnog L.

... Zvidsi,
.

Slično, poznato je
і
, Ch.d.

str 7. Direktorica Elipsa.

Viznachennya. Direktori elipse nazivaju se dvije prave, jer u kanonskom za elipse koordinatni sistem može biti rivnyannya

abo
. (13)

Teorema. Nekhai M - najvažnija tačka elipse, , - žižni radijusi, - Idite od tačke M u lijevom smjeru, - Nadesno. Todi

, (14)

de - Ekscentricitet elipsa.

Isporučeno.

Nekhai M (x, y) - koordinate trenutne tačke elipse. Todi

,
,

(14).

Teorema je završena.

str.8. Fokalni parametar elipse.

Viznachennya. Fokalni parametar elipse naziva se okomiti ugao, koji je ažuriran u fokusu elipse do ponovnog poravnanja s elipsama.

Fokalni parametar se uzima kao slovo.

Vrijednost pomaka, ali fokusni parametar

.

Teorema. Fokalni parametar vrata elipsa

. (15)

Isporučeno. Dakle, kao tačka N (-s; p) ê tačka elipse
, tada su njene koordinate zadovoljene sa sljedećim:

.

Zvidsey poznat

,

trail stars (15).

Teorema je završena.

tačka 9. Još jedna vrijednost za e-poštu.

Teorema iz tačke 7. može važiti za e-poštu.

Viznachennya. Elips se naziva HMT za bilo koju vrstu odnosa prema fiksnoj tački područja, koja se zove fokus, prema fiksnoj tački područja, koja se zove direktor, ê vrijednost je trajno manja od jedan i naziva se ekscentricitet:

.

Očigledno, ako je prva vrijednost data teoremom, potrebno ju je iznijeti.

Entry

Više krivina drugog reda obuhvatilo je jedno od Platonovih učenja. Yogo robot je zaostao u ofanzivi: čim uzmete dvije ravne linije, kako premotate, i obavite oko bisektrice kuta, koju su postavili, tada je površina konusna. Ako površinu preplavite nekom površinom, onda u sredini geometrijske figurice, I isti elips, kolo, parabola, hiperbola i virogene figure.

Međutim, znalo se da je istorija nauke izgubljena u 17. veku, pošto je postalo očigledno da se planeta urušava u slonovskim traktorima, a da je garmat projektil leteo parabolično. Takođe je postalo vjerovatnije, čim zemlja bude štedila prostor, srušit će se na kolac u blizini Zemlje, sa povećanjem količine lakoće, to će biti s vremenom, i biće pretvrdo za prevazilaženje drugih problema.

Elips koji yogo ryvnyannya

Viznachennya 1. Elip se naziva bespredmetna tačka na području, zbir tačaka sa kože do dve postavljene tačke, koje se nazivaju fokusi, ê trajna vrednost.

Fokusi elipse se prepoznaju po slovima i vide se između fokusa - kroz, i zbira vida od bilo koje tačke elipse do fokusnih tačaka - kroz. Štaviše, 2a> 2c.

Kanonska rívnyannya elipsa maê viglyad:

de vezan sa sobom jednak a 2 + b 2 = c 2 (ili b 2 - a 2 = c 2).

Vrijednost se naziva velika težina, a mala težina elipse.

Vrijednost 2. Ekscentričnost Ellipsa se zove biznis i fokus do velike osovine.

Upoznajte se sa pismom.

Bodovi za vrijednosti 2a> 2c, ekscentricitet ovisi o ispravnom razlomku, tako da. ...

Vrijednost poslovanja 7.1. Mnogo svih tačaka na području, za neke sume do dve fiksne tačke F 1 i F 2 ê elipsom.

Oznaka elipse daje takav način yogo geometrijske indukcije. Fizički na području dvije tačke F 1 i F 2 ali ne puno vrijednosti je značajno kroz 2a. Ne idite između tačaka F1 i F2 puteva 2c. Očigledno, navoj bez zatezanja s hvataljkom 2a pričvršćen je u točkama F 1 i F 2, na primjer, iza dodatne dvije glave. Zrozumílo, ali treba ga lišiti za ≥ s. Nakon povlačenja konca s maslinom, polaže se na liniju, kao da je elips (slika 7.1).

Otzhe, opisani lot nije prazan, gdje je a ≥ c. Sa a = elips ê edrizok sa krajevima F 1 í F 2, a sa c = 0, tj. ako su vrijednosti dodijeljenih elipsa fiksne, točke su postavljene, pobjeda je broj radijusa a. Vidkidayuchi vyrogeny vipadki, dobićemo preliminarne, zvono, uh> z> 0.

Fiksne tačke F 1 i F 2 na vrednosti 7.1 elipse (div. slika 7.1) nazivaju se žarišta elipsa, gledano između njih, označeno sa 2c, - fokusni pogled i od F 1 M í F 2 M, tako da jedna tačka M na pravoj sa fokusom, - žarišne radijuse.

Viglyad elipsa će povećati vidljivost fokusnog pogleda | F 1 F 2 | = 2 sa parametrom í a, kao što je pozicija na površini - par tačaka F 1 í F 2.

Kao rezultat strujanja, on je simetričan i pravolinijski, prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, a takođe i ravan, jer se proteže u F 1 F 2 navpil i okomit je na njega (slika 7.2 a). Zovu direktno osovine elipse... Tačka O njihovog ponavljanja je centar simetrije elipse i nazovite je centar elipsa, I tačke poprečnog toka sa osama simetrije (tačke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhovi elipse.

Pozovite broj a velika pivvissyu elipsa, i b = √ (a 2 - c 2) - th little pivvissyu... Nije bitno, ali za c> 0 ima dosta putovanja od centra grada do tihih vrhova, koji se nalaze na istoj osi sa žarištima elipse (vrhovi A i B na sl. 7.2 a ), a mali do centra zemlje do dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Rivnyannya elipsa. Može se vidjeti na kvadratu sa fokusom u tačkama F 1 i F 2 uz veliki vid 2a. Hajde 2c - fokusni pogled, 2c = | F1F2 |

Vibrirajući pravolinijski koordinatni sistem Oxy na području, tako da se uho vrati u centar elipse, a fokus je na axis abscis(Sl. 7.2, b). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za analizirani e-mail, a date promjene su kanonski.

U vibran_ sistemima koordinata, fokus su koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Vikoristovuči formula je napisana u tačkama, zapišite na pamet | F 1 M | + | F 2 M | = 2a u koordinatama:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Cijena nije laka, dakle, u prisustvu dva kvadratna radikala. Tom se može ponoviti jogo. Preneseno na jednako (7.2), drugi radikal u desnom dijelu í je napravljen na kvadratu:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Ako otvorite lukove i date neke dodatne detalje, moći ćete

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c / a. Ponovite operaciju kvadriranja, samo dodajte još jedan radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, maksimalna vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Oskilki a 2 - c 2 = b 2> 0, onda

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

Ekvivalent (7.4) slaže se sa koordinatama svih tačaka koje leže na elipsima. Ale u vrijeme uvođenja vikarista izvršena je neekvivalentna ponovna implementacija pravila iz džepa (7.2) - dva kvadrata za uklanjanje kvadratnih radikala. Konstrukcija kvadrata jednaka je ekvivalentnim reinkarnacijama, jer u oba dijela postoje vrijednosti s istim predznakom, koje nisu mijenjane u njihovim reinkarnacijama.

Ne možemo poništiti ekvivalenciju preokreta, jer je istina. Par točaka F 1 í F 2 | F 1 F 2 | = 2c, površina je porodica lipova sa fokusima u cich tačkama. Tačka kože područja, ivica tačaka F 1 F 2, treba da bude slična bilo kakvom objašnjenju gore pomenute porodice. Istovremeno, dva elipa se ne prevrću, fragmenti količine žarišnih radijusa nedvosmisleno označavaju konkretan email. Otzhe, opisana je porodica elipsa bez prekoračenja, koja pokriva cijelo područje, osim tačaka duž linija F1F2. Ne postoje jasne tačke čije su koordinate jednake (7.4) iz vrijednosti parametra a. Koliko ih može biti na listi e-mailova? Dio točaka mnogi prate elipsu s velikim pivvissyu a. Nemojte ići na tsíi mnogo ê točke, kako ležati na lipama s velikim pivvissyu a. Todi koordinate centra tačke su naređene po narudžbi

tobto. Ekvivalent (7.4) i (7.5) može biti originalno rješenje. Međutim, lako se menja, ali sistem

za ã ≠ rješenje nije dobro. Za puno pobjeda, na primjer, x iz prve rivnyannya:

kako napraviti rekreaciju na nivou

nije velika stvar sa ã ≠ a, iverima. Otzhe, (7.4) ê a> 0 í mali b = √ (a 2 - c 2)> 0. kanonski rívnyanye elipsa.

Revizija elipsa. Razglyanuty vische geometrijski način za izazivanje elipsa da bešćutni viglyad elipsa. Sav oblik elipse može se oživjeti uz pomoć kanonske porodice (7.4). Na primjer, moguće je, vvazhayuy y ≥ 0, preći kroz x: y = b√ (1 - x 2 / a 2), í, nakon što je vidio funkciju, postat će njen graf. Ê Još jedan način da se inducira elipsa. Broj poluprečnika a sa centrom na klipu kanonskog koordinatnog sistema elipse (7.4) opisuje se jednakom x 2 + y 2 = a 2. Yaksho íí̈ prionuti na konferenciju a / b> 1 vdovzh ordinata ose, tada je pogled zakrivljen, kao što je opisano ekvivalentima x 2 + (ya / b) 2 = a 2 tobto elips.

Poštovanje 7.1. Pa isti broj puta sa a / b

Ekscentricitet elipsa... Renoviranje fokusnog pogleda elipsa na veliku os ekscentricitet elipsa koji je označen sa ε. Za email dat

kanonski ekvivalenti (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Takođe (7.4) parametri a i b su povezani sa nejednakošću a

Kod c = 0, ako se elims transformiše u obim, i ε = 0.

Ekvivalent (7.3) Ekvivalentni ekvivalent (7.4), rezultati ekvivalentnog ekvivalenta (7.4) i (7.2). Istim elipsama ê (7.3). Osim toga, spivvidnoshennya (7.3) tsikave tim, samo tako jednostavno, nemojte se osvetiti radikalima, formula za dozhini | F 2 M | jedan od žarišnih radijusa tačke M (x; y) elektrona: | F 2 M | = a + εx.

Analogna formula drugog žarišnog radijusa je da se može ukloniti iz simetrije simetrije Vykladok ponavljanja, u kojima se prvi radikal prenosi desno od kvadrata prije povećanja, a ne drugi. Također, za bilo koju tačku M (x; y) na elipsi (div. Slika 7.2)

F 1 M | = a -? x, | F 2 M | = a + εx, (7.6)

í koža í od cich rívnyans ê rívníním eípsa.

Dodatak 7.1. Poznato je da će kanonska ryvnyannya ere sa velikim stožerom 5 i ekscentricitetom od 0,8 biti yogo.

Poznavajući veliki procenat elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, što je poznato malom procentu b. Oskílki b = √ (a 2 - z 2), i c = εa = 4, tada b = √ (5 2 - 4 2) = 3. To znači kanonski ma viglyad x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Da biste indukovali elipsu, ručno nacrtajte pravougaonik iz centra na klipu kanonskog koordinatnog sistema čije su stranice paralelne osi simetrije elipse i stranicama eliptičnih osa (slika 7.4) . Tsey ravni rezač za promjenu

ose elipse na vrhovima A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), štaviše, sama elipsa natpisa u novom . Na sl. 7.4 Fokus F 1,2 (± 4; 0) je takođe naznačen.

Geometrijska moć elipsa. Rewritable first rivnyannya (7.6) at viglyad | F 1 M | = (a / ε - x) ε. Značajno je da je vrijednost a / ε - x na a> h pozitivna, ali fokus F 1 ne prati elipsu. Količina ê ide gore do vertikalne prave linije d: x = a / ε iz tačke M (x; y), tako da ruka može ležati duž prave linije. Rivnyannya elipsa može se snimiti na viglyadí

| F 1 M | / (a ​​/ ε - x) = ε

To znači da su elipse pohranjene iz mirnih tačaka M (x; y) područja, za koje je odnos do žarišnog radijusa F 1 M da ide gore do prave linije d je konstantna vrijednost koja je skupa ε (Sl. 7.5).

U pravim linijama d ê "dvíynik" je vertikalna linija d", simetrična d prema centru elipse, jer je postavljena kao x = -a / ε. Elipse d se mogu opisati kao takve, kao što je očigledno d. Prekršaj ravno d i d ime ellipovi direktori... Smjer elipse je okomit na istu os simetrije elipse, u istom fokusu, a stoji prema centru elipse na udaljenosti a / ε = a 2 / s (div. sl. 7.5).

Vidite se sa direktoricom dok se ne javi najbliži njenom fokusu fokalni parametar elipsa... Tsey parametar do vrata

p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

Elips je važniji geometrijska snaga: žarišni radijusi F 1 M i F 2 M se skladište u rinfuzi do elipsa u tački M pivni kuti (slika 7.6).

Moć moći je fizički čarobnjak. Čim fokus F 1 postane slabo osvijetljen, onda je u redu da izađete van fokusa, kada vidite poruku iz e-maila u drugom fokusnom radijusu, tako da kada je vidite sami, vidjet ćete to na svoju ruku. Tako se sve razmjene koje idu iz fokusa F 1 koncentrišu u drugi fokus F 2 i navpaki. Iz ovog tumačenja, moć se naziva optička snaga elipsa.

Krive različitog reda na području se zovu linije, koje se u nekim zimskim koordinatama nazivaju grabljivim xі y osvetiti se na drugom koraku. Prije njih se pominju elips, hiperbola i parabola.

Zagalni pogled na iskrivljenu, drugačijeg reda:

de A, B, C, D, E, F- brojevi koje želim b jedan íf parametri A, B, C nije skupo na nulu.

Kod definisanja krivulja različitog reda najčešće se vide kanonski indikatori, hiperbole i paraboli. Lako je doći do njih u zabačenim ryvnyansima, kojima će biti dodijeljen 1 zadatak sa e-mailovima.

Elips, zadaci kanonskim rasama

Viznachennya elipsa. Elipsi se nazivaju gluve tačke područja, kao što su za neke sume mesta do tačaka koje se nazivaju fokusi, ê trajna vrednost i više, ispod fokusa.

Fokusirajte se na značenje i ono malo ispod.

Kanonska rívnyannya elipsa maê viglyad:

de aі b (a > b) - Dovzhini pivosey, odnosno prikazana je polovina dovžina, koja je prikazana kao elipsa na koordinatnoj osi.

Pravo da prođe kroz žarišta elipse, ê yo vissyu simetrija. Sredina simetrije elipse je ravna, prolazi sredinom spirale okomito na cijelu dužinu. Speck O Peretin tsikh ravno da služi kao centar simetrije elipse ili samo centar elipse.

Objesite apscis elips peretin u tačkama ( a, O) ta (- a, O), a sve ordinate - u tačkama ( b, O) ta (- b, O). Neke od tačaka se nazivaju vrhovi elipse. Na apscisi se zove veliki vissyu, dok se na ordinati zove mali vissyu. Putevi od vrha do centra elipse nazivaju se pivos.

Yaksho a = b, zatim ívnyannya elipsa nabuv viglyadu. Tse rivnyannya kola radiusu a, I kolo je okremij vipadoka elipse. Elipsi se mogu odrezati od radijusa kola a, kako ugurati í̈í̈ u sebe a/b puta udovzh osí Jao .

dionica 1. Revizija, chi ê linia, data stranim kolegama , elipsom.

Odluka. Provođenje ponovnog stvaranja zalny ryvnyannya. Zastosovuêmo prijenos vínly člana u desni dio, nominalno rozpodíl rívnyannya jedan od tih brojeva i brzih razlomaka:

Pogled. Otrimane kao rezultat ponovnog stvaranja rivnyannya do kanonske rivnyannya tog doba. Otzhe, tsya linea - elips.

dionica 2. Područje kanonske ere, kao i na osnovu 5 i 4.

Odluka. Diveći se formuli kanonskog ryvnyannya elipsa i sadašnjosti: Veliki pivvis - tse a= 5, mensha pvvís - tse b= 4. Otrimuêmo kanonski rivnyannya elipsa:

Tačke koje su označene zelenilom na velikoj osi, de

nazovi sebe trikovi.

biti pozvan ekscentričnost elipsa.

Svetište b/a karakterizirajući "spljoštenost" elipse. Čim je cijena manja, jača je od cijene života velike osovine. Međutim, koraci vitalnosti elipse se često poduzimaju da se savijaju kroz ekscentricitet, formula je usmjerena prema oku. Za stariju djecu, ekscentricitet se mijenja od 0 do 1, ako je manji od jedan.

dionica 3. Područje kanonske ere, gdje se pojavljuje između fokusa puta 8 i više puta 10.

Odluka. Robimo nezgodni visnovki:

Ako je veći od puta 10, onda pola, tobto pivvis a = 5 ,

Čim je broj 8, onda broj c od koordinata fokusnih tačaka do vrata 4.

Pidstavlyaêmo to je brojčano:

Rezultat je kanonska rívnyannya elipsa:

dionica 4. Kanonska oblast ere, kao i većina puta 26 i ekscentričnost.

Odluka. Yak vyplyaê í od veličine velike ose i od nivoa ekscentriciteta, velika promjena je a= 13. Rivnyannya ekscentricitet savijanja mo broj c, potrebno je izračunati minimalni iznos novca:

.

Brojni kvadrati menshoi pivosi:

Skladište kanonske rivnyannya elipsa:

Guza 5. Vizualizirajte fokus e-pošte koji je dat kanonskoj porodici.

Odluka. Znaj broj c Prve koordinate žarišnih tačaka elipse su:

.

Prepoznaću trikove e-pošte:

zadnjica 6. Fokusira se na osu Ox simetrično u odnosu na klip koordinata. Kanonska rivnyannya elipsa, gdje:

1) ističu se žarištem 30, ali odlično je 34

2) mala težina 24, a jedna od tačaka fokusa nalazi se u tački (-5; 0)

3) ekscentricitet, a jedan od fokusa se nalazi u tački (6; 0)

Prodovzhuêmo virishuvati zavdannya na elipse odjednom

Ako je tačka elipse dovoljna (na fotelji je označena zelenom bojom u gornjem desnom delu elipse) i tačka fokusa je dostignuta, onda su formule za ofanzivu:

Za dermalnu tačku, koja bi trebala biti slična elipsi, zbir tačaka iz fokusa je trajna vrijednost, jednaka 2 a.

Pravo, tako da počnete da budete pravi

nazovi sebe direktori elipsa (na fotelji - crvene linije duž ivica).

Tri dva vyshchenenikh viplivy, koji za bilo koju tačku elipa

,

de í - pokazuje središnju tačku direktorima í.

Guza 7. Daniy elips. Sklasts ívnyannya yogo ravnateljice.

Odluka. Pitajući se na nivou direktora i viyavlyaemo, potrebno je poznavati ekscentričnost e-maila, tobto. Usi dani za tsyogo ê. brojni:

.

Otrimumo Rivnyannya direktori elipse:

Guza 8. Kanonski regioni ere, koji su fokusirani na ê tačke, a režiseri ravno.