একটি সারিতে Razkladannya fur'є বলছি এবং unpaired ফাংশন bezsel parseval এর অদক্ষতা। Riadi Fur'є: বিজ্ঞানের উন্নয়নে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ইতিহাস এবং আধান

Riadi Fur'є - viglyadi সারি থেকে একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে একটি মোটামুটি নেওয়া ফাংশনের মূল্য। বাহ্যিক-মুখী দর্শকে, সমাধানটিকে অর্থোগোনাল ভিত্তিতে উপাদানটির বিন্যাস বলা হয়। একীকরণ, পার্থক্য, সেইসাথে যুক্তি এবং যুক্তি ব্যবহার করে এই পুনঃ-বাস্তবায়নের কর্তৃপক্ষের কাছে উন্নয়ন কর্মীদের বিকাশ করার সময় স্ট্রেনিং সরঞ্জামগুলির সাথে সম্পূর্ণ করার জন্য বেশ কয়েকটি Fur'є-এর ফাংশন বাস্তবায়ন।

লিউডিন, যিনি গণিত সম্পর্কে কিছুই জানেন না, তবে ফরাসি তৈরি ফুর'য়ের শিকড় সম্পর্কেও জানেন, যা শব্দের জন্য নয়, "সারি" এবং যার জন্য দুর্গন্ধ প্রয়োজন তার জন্য সবকিছুর জন্যই ভাল। এবং এরই মধ্যে, পুনঃপ্রণয়নের প্রক্রিয়া শেষ হয়ে গেছে আমাদের জীবনে। তারা গণিত ছাড়াই তিরস্কার করে না, কিন্তু পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, চিকিত্সক, জ্যোতির্বিজ্ঞানী, সিসমোলজিস্ট, সমুদ্রবিদ্যা এবং আরও অনেককে। আসুন আমরা মহান ফরাসি ওয়াইনমেকারের পূর্বপুরুষদের সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে জানি, যেন একটি কান্নার আভাস, যেমন ঘন্টা এগিয়ে ছিল।

লুডিনা যে Fur'є এর পুনঃ অবতার

একটি পদ্ধতিতে Fur'є є এর একটি সিরিজ (বিশ্লেষণের ক্রম এবং іnshim) প্রক্রিয়াটি একটি শব্দ দ্বারা উত্পন্ন হয়, যদি একজন ব্যক্তির একটি শব্দ থাকে। আমাদের vuho, স্বয়ংক্রিয় মোডে, একটি বসন্ত কেন্দ্রে প্রাথমিক কণার পুনঃসৃষ্টি, যা বৃদ্ধির টোনগুলির জন্য বিশুদ্ধতার শেষ দিনের মূল্যের সারিতে (বর্ণালী ছাড়িয়ে) স্থাপন করা হয়। দূর মন আমাদের প্রাপ্ত ধ্বনি শ্রদ্ধাঞ্জলি পুনরায় তৈরি. সমস্ত কাজ আমাদের প্রমাণের জ্ঞান দ্বারা বেষ্টিত হতে হবে, নিজে থেকেই, এবং প্রক্রিয়াটি বোঝার জন্য, গণিতে এটি কীভাবে করতে হয় তা জানা প্রয়োজন।

Fur'є রূপান্তর সম্পর্কে প্রতিবেদন

Fur'є এর পুনর্জন্ম বিশ্লেষণাত্মক, সংখ্যাসূচক এবং іnshim পদ্ধতি দ্বারা বাহিত হতে পারে। Fur'є-এর সারিগুলিকে উল্লেখ করা হয় যেকোন কোলিভাল প্রক্রিয়াগুলিকে সাজানোর সাংখ্যিক পদ্ধতি - সমুদ্রের জোয়ার এবং হালকা ঠান্ডা থেকে ঘুমের চক্র (সবচেয়ে জ্যোতির্বিদ্যাগত প্রক্রিয়াগুলির) কার্যকলাপ। সাইনোসয়েডাল গুদামগুলির একটি সিরিজের মতো সাইনোসয়েডাল স্টোরেজ প্রক্রিয়াগুলির একটি সংখ্যক প্রতিনিধিত্ব করে এমন ফাংশনগুলি নির্বাচন করা সম্ভব, যা সর্বনিম্ন থেকে সর্বাধিক এবং পিছনের দিকে চলে যায়। Fur'є ফাংশনের পুনরায় বাস্তবায়ন, যা সাইনোসয়েডের ফেজ এবং প্রশস্ততা বর্ণনা করে, যা গানের ফ্রিকোয়েন্সি দেখায়। পুরো প্রক্রিয়াটি আরও বেশি ভাঁজ রিভনিয়ানের বিকাশের জন্য বিজয়ী হতে পারে, যা তাপ, আলো এবং বৈদ্যুতিক শক্তি থেকে উদ্ভূত গতিশীল প্রক্রিয়াগুলিকে বর্ণনা করে। একইভাবে, অনেকগুলি Fur'є ভাঁজ সংঘর্ষের সংকেতগুলিতে অবিচ্ছিন্ন গুদামগুলির দৃশ্যায়নের অনুমতি দেয়, যার কারণে ওষুধ, রসায়ন এবং জ্যোতির্বিদ্যায় পরীক্ষামূলক সতর্কতাগুলি সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করা সম্ভব হয়েছিল।

ঐতিহাসিক বক্তব্য

এই তত্ত্বের জনক হলেন ফরাসি গণিতবিদ জিন বাথিস্ট জোসেফ ফুর। যোগো ইমইয়াম জগড ই বুলোকে বলা হয় পুনঃসৃষ্টি। ইমপ্লান্টেশন এবং তাপ সঞ্চালনের প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা করার জন্য এই পদ্ধতিতে ধারণার একটি সংগ্রহ পাওয়া গেছে - কঠিন দেহে তাপের প্রসারণ। Fur'є, এটি যেতে দিন, অনিয়মিত বৃদ্ধির একটি ছিটিয়ে দিয়ে, এটি সহজ সাইনুসয়েড, ত্বকের তাপমাত্রা সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক, সেইসাথে তার নিজস্ব পর্যায়ে ছড়িয়ে দেওয়া সম্ভব। ত্বকের বিস্তৃত পরিসরের সাথে, এই জাতীয় উপাদানটি সর্বনিম্ন থেকে সর্বাধিক পশ্চাদপদ পর্যন্ত হারিয়ে যায়। গাণিতিক ফাংশন, যা বক্ররেখার উপরের এবং নীচের শিখরগুলিকে বর্ণনা করে, সেইসাথে ত্বকের হারমোনিক্সের পর্যায়কে, তাপমাত্রা বৃদ্ধির আকারে Fur'є এর পুনঃসৃষ্টি বলা হয়। আউট-অফ-দ্য-বক্স ফাংশনের তত্ত্বের লেখক, কারণ এটি গাণিতিক বর্ণনা মেনে চলা গুরুত্বপূর্ণ, কোসাইন এবং সাইনের সিরিজের আরও বেশি ম্যানুয়াল, কিন্তু সংক্ষেপে, একটি আউট-অফ- বক্স আউটলেট।

নীতিমালার পুনঃপ্রবর্তন এবং দলটির দিকে তাকান

গণিতের ইতিহাসে অংশগ্রহণকারীরা - 19 শতকের প্রথম দিকের গণিতবিদরা - তত্ত্বটি গ্রহণ করেননি। যারা একটি ফাংশন আছে, কিভাবে একটি সরল রেখা বা একটি বক্ররেখা বর্ণনা করতে হয়, কিভাবে খুলতে হয়, সাইনোসয়েডাল তরঙ্গের সমষ্টিতে ট্যাক্স প্রদান করা সম্ভব, যা বাধা ছাড়াই রয়েছে সে সম্পর্কে ফার' দ্বারা প্রধান বিবৃতি তৈরি করা হয়েছিল। ইয়াক বাট তুমি হেভিসাইড "সমাবেশ" দেখতে পাও। ফাংশনের গুণমান হল দিনের সময় থেকে বৈদ্যুতিক স্ট্রাম জমা হওয়ার কারণে যখন ল্যানস্যুগ বিভ্রান্ত হয়। সেই সময়ে তত্ত্বের অংশগ্রহণকারীরা এই ধরনের পরিস্থিতির সাথে লেগে থাকেনি, যদিও ভিরাজটি অপূরণীয়, অসাধারণ ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছিল, যেমন একটি সূচক, সাইনুসয়েড, লাইনটি অ্যাবো-চতুর্মুখী।

ফরাসি গণিতবিদরা কেন ফুর তত্ত্ব থেকে উপকৃত হয়েছিল?

এমনকি যদি একজন গণিতবিদ তার দৃঢ়তায় আগ্রহী হন, তাহলে, যদি ফুর'-এর একটি অন্তহীন ত্রিকোণমিতিক সিরিজ থাকে, তাহলে এই ধরনের পতনের ঘন ঘন ঘোরার প্রকাশকে আরও সঠিকভাবে অনুমান করা সম্ভব, যেন এমন কোন জিনিস নেই। . 19 শতকের কানে, দৃঢ়তা অযৌক্তিক বলে মনে হয়েছিল। সমস্ত জ্ঞানে গুরুত্বহীন হওয়া সত্ত্বেও, অনেক গণিতবিদ ঘটনাটি প্রবর্তনের ক্ষেত্রকে প্রসারিত করেছেন, তাপ পরিবাহিতা গত কয়েক বছরের জন্য এটিকে প্রাণবন্ত করেছেন। বেশিরভাগ অংশের জন্য, বেশিরভাগ ছাত্ররা খাবারের জন্য লড়াই করছিল: "কিভাবে সাইনোসয়েডাল সিরিজের যোগফল বিতরণ ফাংশনের সঠিক মানের সাথে একত্রিত হতে পারে?"

সারি Fur'є এর সাদৃশ্য: বাট

অতিরিক্ত সংখ্যার প্রয়োজন সম্পর্কে পুষ্টি। আরও আরামদায়ক প্রপঞ্চের জন্য, একটি ক্লাসিক বাট দৃশ্যমান। আপনি কি সক্ষম হবেন, যদি বিন্দুতে পৌঁছনোর কোন উপায় না থাকে, তাহলে কীভাবে চর্মসার আক্রমণাত্মক ক্রকটি পরবর্তী একজনের জন্য সবচেয়ে ছোট হবে? ধরুন আপনি রাস্তা থেকে দুই মিটার দূরে, ক্রোকাস অর্ধেক চিহ্নের কাছাকাছি, আক্রমণাত্মকটি তিন চতুর্থাংশ চিহ্ন পর্যন্ত, এবং পরেরটির পরে, আপনি 97 তম রাস্তায় পৌঁছাবেন। যাইহোক, b এবং v শব্দগুলি আঁকাবাঁকা করেনি, যে চিহ্নটি আপনি কঠোর গাণিতিক অর্থে পৌঁছাতে পারবেন না। Vikoristovuchi সংখ্যাসূচক rosrahunka, এটা আনা সম্ভব, যে অনুমতি সঙ্গে এটা সম্ভব তথ্য ক্ষুদ্রতম সেট কাছাকাছি পেতে. ডেনমার্ক প্রমাণ করে যে এটি এই সত্যের প্রদর্শনের সমতুল্য যে একটির মোট মান, এক চতুর্থাংশ, শুধুমাত্র একটির জন্য বাস্তবসম্মত হবে।

ব্যবসার পুষ্টি: বন্ধু আসবে, লর্ড কেলভিনের প্রিল্যাডের জন্য

ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে খাবারের দামের পুনরাবৃত্তি হয়েছিল, যেহেতু অনেক সংখ্যক Fur'є বর্ধিত এবং উচ্চ জোয়ারের তীব্রতা ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য zasosuvati চেষ্টা করেছিল। ঘন্টার শেষে, লর্ড কেলভিন বুভ ভিনেডেনি সংযুক্ত করা হয়েছিল, যা একটি অ্যানালগ সংখ্যাসূচক সংযুক্তি, যা রাশিয়ান এবং বণিক বহরের নাবিকদের একটি প্রাকৃতিক ঘটনা দেখানোর অনুমতি দেয়। ফ্লাশের ফ্রিকোয়েন্সি এবং বর্তমান সময়ের মুহূর্তগুলির সারণী অনুসারে পর্যায় এবং প্রশস্ততার নিয়োগ শুরু করে ডেনিশ প্রক্রিয়া, যা এই পোতাশ্রয়ে অস্থায়ীভাবে হিমায়িত হয়, শিলা পর্যন্ত প্রসারিত। ত্বকের প্যারামিটারে প্রবাহ হারের একটি সাইনোসয়েডাল উপাদান ভাইরাজ এবং নিয়মিত গুদামগুলির মধ্যে একটি রয়েছে। লর্ড কেলভিনের ক্যালকুলাসে ভিমির্যুভানের ফলাফলগুলি প্রবর্তন করা হয়েছিল, যা একটি বক্ররেখা সংশ্লেষিত করেছিল, যা দলের আক্রমণাত্মক ভাগ্যের কাজে সীসার উচ্চতা স্থানান্তরিত করেছিল। বাউলের ​​অবাধ বক্ররেখাগুলি পৃথিবীর সমস্ত পোতাশ্রয়ে ভাঁজ করা হয়।

এবং কিভাবে প্রক্রিয়া খুচরা ফাংশন দ্বারা ধ্বংস করা হবে?

সেই সময়ে, এটা স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে এটা ঠিক আছে, এটা ঢালাও অসুস্থতায় স্থানান্তরিত হচ্ছে, কারণ রাখুনকায় প্রচুর পরিমাণে উপাদান রয়েছে, আপনি পর্যায় এবং প্রশস্ততার সংখ্যা গণনা করতে পারেন এবং আরও সঠিক সংক্রমণ প্রতিরোধ করতে পারেন। প্রতিবাদ উপস্থিত হয়েছিল, যাতে নিয়মিততা শান্ত মানুষের মধ্যে জুড়ে না আসে, যদি জোয়ারের ভিরাজ, যা সংশ্লেষণের একটি স্লাইড, একটি শক্তিশালী স্ট্রিবোক প্রকাশ করে, যাতে এটি গোলাপী হবে। একই সময়ে, যদি সময়ের মুহূর্তগুলির সারণী থেকে ডেটা প্রবেশ করা প্রয়োজন হয়, তবে Fur'є এর decilkoh হারের সংখ্যা গণনা করা অসম্ভব। নির্দিষ্ট ফাংশন sinusoidal উপাদান আপডেট করা হয় (পরিচিত কর্মক্ষমতা অনুযায়ী)। বহির্গামী এবং পুনর্নবীকরণযোগ্য ভিরাজের মধ্যে দৃঢ়তা যে কোনো সময়ে সম্ভব। সেই আদেশের পুনঃগণনা করার সময় দেখা যাবে যে সর্বাধিক ক্ষমার মূল্য পরিবর্তন হয় না। যাইহোক, দুর্গন্ধটি এলাকায় স্থানীয়করণ করা হয়েছে, যেখানে এটি কাটার বিন্দু দেখাবে এবং যদি এটি বিন্দু হয় তবে এটি শূন্য মিস করবে। 1899 সালে, উলস্কি বিশ্ববিদ্যালয় থেকে জোশুয়া উইলার্ড গিবসের তাত্ত্বিক নিশ্চিতকরণের ফলাফল নিশ্চিত করা হয়েছিল।

Fur'є সিরিজের মিল এবং সাধারণভাবে গণিতের বিকাশ

Analiz Fur'є বিরতি স্থির হয় না, কিন্তু গানের ব্যবধানে অবিরাম সংখ্যক স্প্ল্যাশ নিতে। Fur'є-এর একটি সম্পূর্ণ সিরিজে, cob-এর ফাংশনটি একটি বাস্তব শারীরিক ভিমিরের ফলাফল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, সর্বদা একত্রিত হয়। নির্দিষ্ট শ্রেণীর ফাংশনের জন্য প্রদত্ত প্রক্রিয়ার পুষ্টি গণিতের নতুন শাখার উপস্থিতি পর্যন্ত আনা হয়েছিল, উদাহরণস্বরূপ, সামাজিক ফাংশনের তত্ত্ব। L. Schwartz, J. Mikusinsky এবং J. Temple-এর মতো নামের সঙ্গে ভোনাকে বাঁধা হয়েছে। বুলা তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে, ডিরাকের ডেল্টা ফাংশনের মতো এই ধরনের ভিরাজির জন্য একটি পাঠ করা হয়েছে এবং একটি সঠিক তাত্ত্বিক ভিত্তি রয়েছে (আমি একটি একক অঞ্চলের একটি এলাকা বর্ণনা করব, যা একটি অসীম ছোট উপকণ্ঠে কেন্দ্রীভূত পয়েন্ট) এবং হেভিরাজের একটি "পদক্ষেপ"। Fur'є-এর রোবোটিক সিরিজের পরিচালকরা গ্রামীণ এবং শিল্প ভবনগুলির সম্প্রচারের জন্য লুকিয়ে রাখা হয়েছে, যেখানে স্বজ্ঞাত চিত্রটি হল: একটি বিন্দু চার্জ, একটি বিন্দু ভর, চৌম্বকীয় ডাইপোল, সেইসাথে স্থাপনার জন্য একটি সিস্টেম বাল্টস

পশমের পদ্ধতি

Fur'є একটি সিরিজ, হস্তক্ষেপের নীতি অনুসারে, বৃহত্তর সরলতার ভাঁজ ফর্মগুলির ভাঁজ থেকে মেরামত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, তাপ প্রবাহের পরিবর্তন ব্যাখ্যা করা হয়েছে তাপ-অন্তরক উপাদান থেকে ভুল আকারে রূপান্তরের মাধ্যমে, হয় পৃথিবীর দুষ্ট পৃষ্ঠ দ্বারা - একটি আর্থরাস দ্বারা, স্বর্গের সর্পীয় কক্ষপথ দ্বারা - দ্বারা গ্রহের প্রবাহ। একটি নিয়ম হিসাবে, একটি ryvnyannya সামান্য বিট, কিভাবে একটি সহজ শাস্ত্রীয় সিস্টেম বর্ণনা করতে, প্রাথমিকভাবে ত্বকের অবস্থা সনাক্ত করতে। Fur'є দেখাচ্ছে যে আরও ভাঁজ হওয়া ভবনগুলিকে অস্বীকার করার জন্য একটি সহজ সমাধানও ব্যবহার করা যেতে পারে। Vislovlyuyuchis আমার গণিত, Fur'є এর একটি সিরিজ - হারমোনিক্সের একটি ঘূর্ণায়মান যোগফল জমা দেওয়ার সম্পূর্ণ পদ্ধতি - cosinusoid এবং sinusoid। সেই লক্ষ্যে, ভিডোমিগুলির বিশ্লেষণও "সুসংগত বিশ্লেষণ" এর উদ্দেশ্যে।

অনেকগুলি Fur'є - "কম্পিউটার ডোবি" করার একটি আদর্শ কৌশল

কম্পিউটার প্রযুক্তি প্রতিষ্ঠার আগে, Fur'є বুল পদ্ধতিটি আমাদের আলোর প্রকৃতির সাথে সমস্ত রোবটের অস্ত্রাগারের সবচেয়ে সুন্দর সংযোজন ছিল। একটি জটিল আকারে বেশ কয়েকটি ফুর'ই বিরিশুবতীকে একটি এন্টারপ্রাইজের সরলতা থেকে বঞ্চিত না হওয়ার অনুমতি দেয়, কারণ এটি সরাসরি নিউটনের মেকানিক্সের আইনকে বাধা দেওয়া সম্ভব, তবে মৌলিক নীতিগুলিকে। ঊনবিংশ শতাব্দীর নিউটনিয়ান বিজ্ঞানের বেশিরভাগ অন্তর্দৃষ্টিই পশমের পদ্ধতি জানার জন্য যথেষ্ট হয়ে উঠেছে।

Riadi Fur'є seogodnі

কম্পিউটারের বিকাশের সাথে, ফুর'য়ের পুনঃউন্নয়নের সাথে, একটি পরিষ্কারভাবে নতুন রিভন ছিল। এই পদ্ধতিটি বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির সকল ক্ষেত্রে ব্যবহারিকভাবে বিকশিত হয়েছে। ইয়াক বাট আপনি ডিজিটেল অডিও এবং ভিডিও সিগন্যাল পরিচালনা করতে পারেন। 19 শতকের একজন ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা যোগো বাস্তবায়ন তত্ত্বের একটি জঘন্য বঞ্চনায় পরিণত হয়েছে। সুতরাং, একটি জটিল আকারে Fur'є একটি সংখ্যা, vivchenna মহাজাগতিক স্থান একটি গর্ত বৃদ্ধির অনুমতি দেয়। উপরন্তু, মূল্য পরিবাহী পদার্থ এবং প্লাজমা, মাইক্রোক্রোম ধ্বনিবিদ্যা, সমুদ্রবিদ্যা, রেডিও লোকেটিং, এবং সিসমোলজির পদার্থবিদ্যার বিকাশের সাথে যুক্ত করা হয়েছে।

ত্রিকোণমিতিক সিরিজ Fur'є

গণিতে, সহজ সমষ্টি দ্বারা পর্যাপ্ত ভাঁজ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার উপায়ে Fur'є є এর একটি সিরিজ। বহিরাগত বিপদের মধ্যে, এই ধরনের বিরাজের সংখ্যা সীমাহীন হতে পারে। প্রক্রিয়া চলাকালীন ক্ষতির পরিমাণের চেয়ে বেশি থাকলে, চূড়ান্ত ফলাফল পাওয়া আরও সঠিক। প্রায়শই এটি কোসাইন বা সাইনের সহজতম ভাইকোরিস্টিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন। এই ধরনের একটি সিরিজে, Fur'є কে ত্রিকোণমিতিক বলা হয়, এবং এই ধরনের বৈচিত্রের প্রদর্শনকে বলা হয় সুরেলা বন্টন। গণিতে দৃশ্যায়নের পুরো পদ্ধতি। সামনে, চিত্রের জন্য ত্রিকোণমিতিক সিরিজ প্রদান করা হয়েছে, সেইসাথে ফাংশনের প্রবর্তন, তত্ত্বের প্রধান যন্ত্রপাতি। এছাড়াও, ওয়াইন গাণিতিক পদার্থবিদ্যার জ্ঞানের অভাবকে অনুমতি দেয়। Nareshty, পুরো তত্ত্বটি গাণিতিক বিজ্ঞানের আরও গুরুত্বপূর্ণ শাখার (অখণ্ড তত্ত্ব, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের তত্ত্ব) বিকাশের নীচে চলে গেছে। উপরন্তু, এটি গতিশীল পরিবর্তনের আক্রমণাত্মক ফাংশনগুলির বিকাশের পাশাপাশি সুরেলা বিশ্লেষণের ক্যাপচারিংয়ের জন্য সঠিক পয়েন্ট হিসাবে কাজ করেছে।

পিরিয়ড 2π থেকে Fur'є পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি সিরিজ।

অনেকগুলি Fur'є পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির জন্য অনুমতি দেয় যা উপাদানগুলিতে ভাঁজ করা যায়। স্ট্রাম এবং স্প্রিংসের পরিবর্তন, প্রতিস্থাপন, ক্র্যাঙ্ক মেকানিজমের গতি এবং গতি এবং অ্যাকোস্টিক্যাল এইচভিলি - ইঞ্জিনিয়ারিং রোস্টারগুলিতে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সংরক্ষণের সব ধরনের ব্যবহারিক বাট।

একটি সারিতে বিছিয়ে Fur'є সেটে চলমান, কিন্তু সমস্ত ফাংশন, কিন্তু ব্যবধানে কার্যত অর্থবহ -π ≤x≤ π, অনুরূপ ত্রিকোণমিতিক সারিগুলির দৃশ্যে সরানো সম্ভব (অনেকগুলি অনুরূপ সদস্য, পরে

sum sinx এবং cosx এর মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড (= zvychany) স্বরলিপি

f(x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - রেফারেন্স ধ্রুবক, tobto।

De -π থেকে π পর্যন্ত সংখ্যক Fur'є-এর পারফরম্যান্সের জন্য সূত্র দ্বারা অর্থ প্রদান করা হবে:

বৈশিষ্ট্য a o, a n і b n বলা হয় kofіtsієntami Fur'є, এবং যদি জানা সম্ভব হয়, তাহলে সিরিজ (1) বলা হয় অর্ডার Fur'є,ফাংশন f(x) দ্বারা। সিরিজের জন্য (1), শব্দটিকে (a 1 cosx + b 1 sinx) বলা হয় প্রথম বা প্রধান সুরেলা,

একটি সারি লেখার সর্বোত্তম উপায় হল একটি ভিক্টোরিয়ান sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

De ao একটি ধ্রুবক, s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 হল অন্যান্য উপাদানগুলির প্রশস্ততা, এবং রাস্তার জন্য an = arctan an / বি n.

সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটি (a 1 cosx + b 1 sinx) বা c 1 sin (x + α 1) বলা হয় প্রথম বা প্রধান সুরেলা,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) বা c 2 sin (2x + α 2) বলা হবে অন্যান্য সুরেলাএবং এ পর্যন্ত.

ভাঁজ সংকেত সঠিক সনাক্তকরণের জন্য, সীমাহীন সংখ্যক সদস্য প্রয়োজন। যাইহোক, বগাতিওখের ব্যবহারিক কর্মীদের প্রথম সদস্যদের ছিটানো যথেষ্ট পরিমাণে রয়েছে।

2π সময়কাল থেকে Fur'є অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি সিরিজ।

অ-পুনরাবৃত্ত ফাংশন বিতরণ.

যেহেতু f (x) ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক নয়, এর মানে হল যে এটি x এর সমস্ত মানের জন্য Fur'є এর সারিতে রাখা যাবে না। যাইহোক, Fur'є এর একটি সংখ্যা তৈরি করা সম্ভব, যা 2 এর প্রস্থের সাথে কোন পরিসরে একটি ফাংশনকে প্রতিনিধিত্ব করে?

যদি একটি ননপিরিওডিক ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে একটি নতুন ফাংশন যোগ করা সম্ভব, গানের পরিসরে f (x) মানটি কম্পিত হয় এবং অবস্থানটি 2π এর ব্যবধান সহ একটি পরিসরের সাথে পুনরাবৃত্তি হয়। দোলনগুলি হল একটি নতুন ফাংশন যা পর্যায়ক্রমিক 2π এর সময়কালের সাথে, їїকে সমস্ত মানের জন্য Fur'є-এর সারিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন f(x) = x পর্যায়ক্রমিক নয়। যাইহোক, যদি একটি ব্যবধানে Fur'є-এর সারিতে їїকে 2π থেকে ব্যবধানে প্রসারিত করার প্রয়োজন হয়, তাহলে ব্যবধানের অবস্থানটি 2π (নীচের চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে) একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হবে।

অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য, যেমন f (x) = x, Fur'є সংখ্যার যোগফল একটি নির্দিষ্ট পরিসরের সমস্ত বিন্দুতে f (x) এর উপযুক্ত মান, কিন্তু অবস্থানের বিন্দুগুলির জন্য f (x) নয় পরিসরের 2π এর পরিসরে অনেকগুলি Fur'є অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জ্ঞানের জন্য, Fur'є-এর সহগগুলির একই সূত্র ব্যবহার করা হয়।

পেয়ারড এবং আনপেয়ার ফাংশন।

বলুন, ফাংশন y = f (x) পার্নাযেখানে x এর সমস্ত মানের জন্য f (-x) = f (x)। পেয়ার করা ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি প্রতিসম ফাংশনের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় (আয়নার মতো উপায়ে প্রদর্শিত হবে)। দুটি বাট জোড়া ফাংশন: y = x 2 і y = cosx.

বলুন যে ফাংশন y = f (x) unpairedযেখানে f (-x) = - f (x) x এর সমস্ত মান। জোড়াবিহীন ফাংশনের গ্রাফগুলি প্রতিসম স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে।

Bagato ফাংশন বলছি না, তারা unpaired হয় না.

কোসাইনে Fur'є সারিতে প্রসারিত হচ্ছে।

Fur'є জোড়া পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f (x) এর 2π সময়কালের সাথে সদস্যদেরকে কোসাইন থেকে সরিয়ে দিতে পারে (যাতে সাইন থেকে সদস্যদের সরানো না হয়), এবং আপনি স্থায়ী সদস্যকে অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন। ওটজে,

de kofizinti একটি সংখ্যা Fur'є,

2π সময়কালের সাথে Fur-এর জোড়াহীন পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f (x) এর সিরিজটি হল সদস্যদের সাইন দিয়ে প্রতিস্থাপন করা (যাতে সদস্যদের কোসাইন দিয়ে প্রতিশোধ না নেওয়া হয়)।

ওটজে,

de kofizinti একটি সংখ্যা Fur'є,

পিভপেরিওডিতে সারি Fur'є।

যেহেতু ফাংশনটি একটি ব্যাপ্তির উদ্দেশ্যে করা হয়েছে, বলুন 0 থেকে π পর্যন্ত, এবং শুধুমাত্র 0 থেকে 2π পর্যন্ত নয়, এটি শুধুমাত্র সাইন বা শুধুমাত্র কোসাইন দিয়ে একটি সারিতে স্থাপন করা যেতে পারে। Otrimany Fur'є একটি সংখ্যা বলা হয় napіvperіodі এ Fur'є অর্ডার করুন।

বিতরণ সংশোধন করা প্রয়োজন কোসাইনের উপর napivperiodi-এ Fur'єফাংশন f (x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির একটি জোড়া যোগ করা প্রয়োজন। ডুমুরে। ফাংশন f (x) = x নীচে দেখানো হয়েছে, x = 0 থেকে x = π পর্যন্ত ব্যবধানে প্রম্পট করা হয়েছে। পেয়ারড ফাংশনের দোলনগুলি প্রতিসম কিন্তু f (x) অক্ষ AB লাইন দ্বারা পরিচালিত হয়, যা চিত্রে দেখানো হয়েছে। নিম্ন এটাকে ছেড়ে দিন, কিন্তু ব্যবধানের দিকে তাকানো ভঙ্গিটি পর্যায়ক্রমে একটি ত্রিভুজাকার আকারে 2π এর সময়সীমার সাথে ছাঁটা হয়, তারপর একটি ফ্রেম গ্রাফিক দেখানো হয়। ডুমুর মধ্যে নিম্ন দোলনগুলিকে কোসাইন দ্বারা Fur'є-এর বিন্যাস প্রত্যাখ্যান করতে হবে, যেমন এবং পূর্বে, গণনাকৃত দক্ষতা Fur'є a o і a n

এটা সংশোধন করা প্রয়োজন সাইনের পিছনে napіvperіodі এ Fur'є বিতরণফাংশন f (x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, এটি একটি জোড়াবিহীন পর্যায়ক্রমিক ফাংশন থাকা প্রয়োজন। ডুমুরে। ফাংশন f (x) = x নীচে দেখানো হয়েছে, x = 0 থেকে x = π পর্যন্ত ব্যবধানে প্রম্পট করা হয়েছে। দোলনাগুলি জোড়াবিহীন, ফাংশনটি স্থানাঙ্কের কোবের সাথে প্রতিসম, এটি সিডি লাইন হবে, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। এটিকে ছেড়ে দিন, কিন্তু 2π সময়কালের ফাইল-সদৃশ সিগন্যালের পর্যায়ক্রমিক অবস্থান, 2π-এর সময়কালের সাথে ফাইল-সদৃশ সংকেতের ভঙ্গি, তারপর, চিত্রে রিডিং। সাইনাসের ভিত্তিতে ফুরিনের লেআউটের জন্য দোলনগুলিকে প্রত্যাখ্যান করা প্রয়োজন, উভয়ই আগে এবং আগে, পশমের মান দ্বারা গণনা করা হয়। খ

একটি প্রাক-ব্যবধানের জন্য Fur'є এর একটি সংখ্যা।

পিরিয়ড এল থেকে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রসারিত করা।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f (x) বৃদ্ধি x L থেকে পুনরাবৃত্তি হয়, তাই। f (x + L) = f (x)। যে ফাংশনগুলি পূর্বে 2π পিরিয়ড থেকে প্রদর্শিত হয়েছিল সেই ফাংশনগুলি থেকে সরানো L সময়কাল থেকে ফাংশনগুলি সরল সম্পূর্ণ করার জন্য, এর মধ্যে কিছু পরিবর্তনের অতিরিক্ত পরিবর্তনের জন্য করা যেতে পারে।

-L / 2≤x≤L / 2 রেঞ্জে Fun'є ফাংশন f (x) এর সিরিজটি কীভাবে জানবেন, আমরা এমন একটি র্যাঙ্কে একটি নতুন পরিবর্তন u প্রবর্তন করি যে ফাংশন f (x) ছোট পিরিয়ড 2π এবং তারপর u. u = 2πx/L হলে, x = -L/2 এর জন্য u = -π এবং x = L/2 এর জন্য u = π। এছাড়াও, f (x) = f (Lu / 2π) = F (u) দেবেন না। Fur'є F (u) maє viglyad এর একটি সিরিজ

(একীকরণের মধ্যে L পর্যন্ত যেকোনো ব্যবধানের জন্য প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 0 থেকে L পর্যন্ত)

ব্যবধান L ≠ 2π এ সেট করা ফাংশনের জন্য একটি napіvperiod-এর জন্য Fur'є-এর একটি সিরিজ।

ইনস্টলেশনের জন্য u = πх / L, x = 0 থেকে x = L থেকে ব্যবধান হল u = 0 থেকে u = π পর্যন্ত। এছাড়াও, ফাংশন একটি সারিতে শুধুমাত্র cosine দ্বারা বা শুধুমাত্র sine দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে, tobto. v পিভপেরিওডিতে সারি Fur'є.

0 থেকে L মা ভিগ্লিয়াড পরিসরে কোসাইনগুলিতে প্রসারিত হচ্ছে

রিয়াদি ফুর'- সহজ, ভালগুলির যোগফল দ্বারা ভাঁজ ফাংশন উপস্থাপন করার উপায়।
সাইন এবং কোসাইন - পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। এমনকি একটি orthogonal ভিত্তিতে দুর্গন্ধ. কুইউ শক্তিকে অক্ষের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে X X এক্সі Y Y Yস্থানাঙ্ক এলাকায়. তাই নিজেই, যেমন আমরা অক্ষ বরাবর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক বর্ণনা করতে পারি, আমরা সাইনাস এবং কোসাইন উভয়ের একটি ফাংশন কিনা তা বর্ণনা করতে পারি। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি গণিত থেকে শেখা সহজ।

সাইন এবং কোসাইন এর উপস্থিতি এই জাতীয় hwil এর দর্শকের জন্য সম্ভব:

সাইন - tse cosines, chervonі - sine. তারা তাদের হারমোনিক্সও বলে। কোসাইনগুলি হল ছেলে, সাইনগুলি জোড়াবিহীন৷ সুরেলা শব্দটি প্রাচীনকাল থেকে এসেছে এবং ড্রেসিং এবং সঙ্গীত থেকে শব্দের আন্তঃসংযোগ সম্পর্কে সতর্কতা।

Sho এছাড়াও সারি Fur'є

সাইন এবং কোসাইনের কাজ বর্ণনা করা সবচেয়ে সহজ বলে এই ধরনের সিরিজকে ত্রিকোণমিতিক বলা হয়। তার ওয়াইন-প্রেমিক জিন ব্যাটিস্ট জোসেফ ফুর'এর সম্মানে নামকরণ করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ XVIII - XIX শতাব্দীর কান। কোনোভাবে প্রমাণ করে যে, কোনো ফাংশনকে এই ধরনের হারমোনিক্সের সমন্বয়ে একটি viglyad উপস্থাপন করা যায় কিনা। এবং আপনি যত বেশি এটি গ্রহণ করেন, তত বেশি আপনি এটি গ্রহণ করেন, তত বেশি গ্রহণ করেন। উদাহরণ স্বরূপ, ছবি কম: অনেক সংখ্যক হারমোনিক্স সহ খোঁচা দেওয়া সম্ভব, অর্থাৎ সদস্য কম Fur'є, লাল গ্রাফটি নীলের কাছাকাছি হওয়ার জন্য যথেষ্ট পুরানো - দুষ্ট ফাংশন।

কার্যত তিক্ত svitі এ সংরক্ষণ করা

আর কয়েকবার সেবন করলে কি হবে? কিভাবে আপনি একটি বাস্তব এবং ব্যবহারিক উপায়ে আটকে যেতে পারেন? Vyavlyayetsya, Fur'є যে এবং পুরো বিশ্বের জন্য vidomy, কিন্তু yogo প্রেমের ব্যবহারিক দারুচিনি আক্ষরিকভাবে অশ্রেণীবদ্ধ। ওহ, সেখানে এটি ঠিক করা সহজ, ডি বে-ইয়াকি চি খভিলি: ধ্বনিবিদ্যা, জ্যোতির্বিদ্যা, রেডিও ইঞ্জিনিয়ারিংও। কুঁড়ি একটি যোগো ভিক্টোরিয়ানিয়ার সহজতম বাট: একটি রোবট এবং একটি ক্যামেরা এবং একটি ভিডিও ক্যামেরার প্রক্রিয়া৷ আমি অল্প সময়ের মধ্যে ব্যাখ্যা করব যে এটি শুধু ছবিই যোগ করা যায় না, কিন্তু ফার সিরিজের পারফরম্যান্স। І pratsyuє tse skrіz - ইন্টারনেটে ছবি, সিনেমা বা গান শোনার জন্য এক ঘন্টার জন্য। আপনি যদি Fur'є vi র‌্যাঙ্কের ভক্ত হন তবে আপনি আপনার মোবাইল ফোন থেকে নিবন্ধটি পড়তে পারেন। Fur'є এর পুনঃউদ্ভাবন ছাড়া, আমরা সেরা ইন্টারনেট ব্যান্ডউইথ পাইনি, তবে শুধু YouTube-এ ভিডিওটি দেখুন এবং মানক মানের দিকে তাকান।

Fur'є এর দুই-বিশ্বের রূপান্তরের পুরো স্কিমটিতে, হারমোনিকার উপর চিত্রের বিতরণের জন্য vikoristovuyutsya হিসাবে, যাতে মৌলিক গুদামগুলি। ডায়াগ্রামে, মান -1, বিলিম কালো রঙে এনকোড করা হয়েছে। গ্রাফের পিছনে ডানদিকে এবং নীচে, ফ্রিকোয়েন্সি বৃদ্ধি পায়।

Fur'є সারিতে লঞ্চ হচ্ছে

এককভাবে, vzhe vzhe vtomilsya পড়া, একই সূত্র যায়।
এই ধরনের একটি গাণিতিক পদ্ধতির জন্য, Fur'є এর সারিতে ফাংশনগুলির বিতরণের মতো, ভাইগুলিকে একীভূত করা হয়েছে। Bagato Integral আউট-অফ-দ্য-বক্স বিগ্ল্যাদে, আমি অন্তহীন সুমির বিগ্ল্যাদে ফুর'-এর একটি সারি লিখি:

F(x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f (x) = A + \ displaystyle \ sum_ (n = 1) ^ (\ infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ sin (nx))f (x) =ক +n = 1∑ ∞ ​ (ক n​ cos (n x) +খ n​ পাপ (n x))
ডি
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxক =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
an = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \ frac (1) (\pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (nx) dxক n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (nx) dx b_n = \ frac (1) (\pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \pi) ^ (\pi) f (x) \sin (nx) dxখ n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

অবিরাম সংখ্যক বার থাকা সম্ভব। an a_n ক n​ і b n b_n খ n​ (গন্ধ পাওয়া যায় এবং Fur'є বিতরণের জন্য সম্মেলন বলা হয়, ক ক ক- tse শুধু পোস্ট-ডিস্ট্রিবিউশন), তাহলে ফলাফলের বেশ কয়েকটি ত্রুটি আউটপুট ফাংশন থেকে 100% সংরক্ষিত হবে চ (এক্স) চ (এক্স) চ (এক্স)এর ভিত্তিতে - π - \ পাই − π আগে π \ পাই π ... এটি সাইন এবং কোসাইনের একীকরণের ক্ষমতার উচ্চারণের একটি উদাহরণ। আরো চিম n n nফাংশনের যেকোনো ডিজাইনের জন্য, সারিবদ্ধ ফাংশনগুলির বন্টন আরও সঠিক হবে।

বাট

ব্যবহার করা সহজ y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) dx = 1 2 π ∫ - π π 5 xdx = 0 A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dx = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5xdx = 0ক =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ cos (x) dx = 0ক 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \ frac (1) (\pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ sin (x) dx = 10খ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) পাপ (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \ frac (1) (\pi) \ displaystyle \int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ ( \ pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0ক 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) dx = - 5 b_2 = \ frac (1) (\pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits _ (- \ pi) ^ (\pi) 5x \sin (2x) dx = -5খ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ চ(এক্স) পাপ(2 এক্স) dএক্স= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 এক্সপাপ(2 এক্স) dএক্স= − 5

আমি অনেক দূরে। যেমন একটি ফাংশন সঙ্গে, আমরা অবিলম্বে যে সব বলতে পারেন a n = 0 a_n = 0কn​ = 0 , kofіtsієнti b n b_nখn​ গণনা ঘটবে Yakshho mi vizmemo pershi chotiri ফাংশনের জন্য সদস্যদের সারিবদ্ধভাবে সাজানো হয়েছে y = 5 x y = 5xy= 5 এক্স, Otrimaєmo:

$5এক্স\approx 10\cdot পাপ(এক্স)-5\cdot পাপ(2\cdot এক্স)+310\cdot পাপ(3\cdot এক্স)-25\cdot পাপ(4\cdot এক্স)$

ফাংশনের গ্রাফ, যা প্রবেশ করেছে, আক্রমণাত্মক র্যাঙ্ক দ্বারা দেখা হবে:

লঞ্চ হচ্ছে, scho চলে গেছে, এক সারিতে Fur'є আমাদের আউট-অফ-দ্য-বক্স ফাংশনের কাছাকাছি চলে আসুন। যেহেতু একটি সারিতে আরও সদস্য রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, 15, তাহলে পরবর্তী ধাপে সম্ভবত:

এক সারিতে আরও সদস্য, আরও সঠিক।
যাইহোক, গ্রাফের স্কেল পরিবর্তনশীল, এটি পুনরায় বাস্তবায়নের আরও একটি বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা সম্ভব: নিম্ন Fur'є - পিরিয়ডের সাথে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন 2 π 2 \ pi2 π .

এই ধরনের র‍্যাঙ্কে, আপনি কল্পনা করতে পারেন যে এটি একটি ফাংশন কিনা, যেমন є-তে বাধা ছাড়াই [- π; π] [- \ pi; \ pi][ − π ; π ] ... উপস্থিতিগুলি কীভাবে বিশ্লেষণ করা হয় তা বিশ্লেষণ করতে সক্ষম হওয়ার জন্য এবং ভাঁজ ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করার জন্য সমস্ত মূল্য প্রয়োজনীয়। আমি বিশ্লেষণাত্মক হতে চাই না (একটি সূত্রের জন্য), আমি এটি হারাবো, কিন্তু সাইনাস এবং সমস্যাগুলির একটি সেট নিয়ে আমার কোনো সমস্যা নেই। বেশিরভাগ সময় এটিকে অনেকগুলি Fur'є পর্যন্ত দেখানো সম্ভব, তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে সাধারণ মডেলগুলিতে প্রদর্শন করা সম্ভব হয়, একটির প্রয়োগ থেকে একটি এবং Fur'є এর একটি সিরিজ।

প্রতিলিপি

1 RF নভোসিবিরস্ক ডিপার্টমেন্ট ইউনিভার্সিটি অফ ফিজিক্যাল ফ্যাকাল্টি R.K.Belkheva রেঞ্জ অফ ফারের সেই বিজ্ঞানের অনুমান মন্ত্রনালয় আবেদন এবং সমস্যায়

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. অধিষ্ঠিত un-t নভোসিবিরস্ক, এস। ISBN পরিদর্শনের শুরুতে, Fur'є সিরিজ সম্পর্কে প্রধান দর্শক বিজয়ী; ট্রান্সভার্স স্ট্রিং স্ট্রিং সম্পর্কে সমস্যাগুলি সমাধান করার আগে Fur'є পদ্ধতির জন্য বাট স্টকের বিশদ নকশা। দৃষ্টান্তমূলক উপাদান প্রদান করা হয়. Є zavdannya স্বাধীন সমাধান. NSU এর পদার্থবিদ্যা অনুষদে ছাত্রদের এবং বিজয়ের জন্য অ্যাসাইনমেন্ট। এনএসইউ-এর পদার্থবিদ্যা অনুষদের বিরিশেন্না পদ্ধতিগত কমিটিতে বন্ধু হন। ফিজ রিভিউয়ার ড. বিজ্ঞান V. A. Aleksandrov pp এ NDU-NSU এর উন্নয়নের জন্য প্রোগ্রাম বাস্তবায়নের কাঠামোর মধ্যে প্রস্তুতির একটি সংগ্রহ। আইএসবিএন এর নভোসিবিরস্ক স্টেট ইউনিভার্সিটি, 211 এর বেলখোভা আরকে, 211

3 1. 2π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলিকে Fur'є Viznachennya-এর একটি সিরিজে প্রসারিত করা। ফাংশন f (x) এর জন্য নির্ধারিত কার্যকে বলা হয় কার্যকরী সিরিজ a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) ফাংশন an, bn সূত্র অনুসারে গণনা করা হয়: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) সূত্র (2) (3) কে অয়লার ফুর'є বলে সূত্র যে ফাংশনটি f (x) সিরিজ Fur'є (1) এর সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ তা f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) আকারে লেখা হয়েছে এবং মনে হচ্ছে এর ডান অংশটি সূত্র (4) є ফাংশন f (x) এর একটি আনুষ্ঠানিক সিরিজ Fur'є দ্বারা। অন্য কথায়, মনে হয় যে সূত্র (4) এর অর্থ হল কার্যকারিতা a n, b n সূত্র (2), (3) এর জন্য পরিচিত নয়। 3

4 ভিজনাচেনিয়া। 2π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f (x) বলা হয় shmatkovo-মসৃণ, এমনকি যদি ব্যবধানে [, π] বিন্দুর একটি কিন্টসেভ সংখ্যা থাকে = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 ছোট। 1. ফাংশনের গ্রাফ (x) গণনাযোগ্য দক্ষতা Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, n আনপেয়ারের জন্য, n জোড়ার জন্য, f (x) sin nxdx =, তাই ফাংশন f (x) জোড়া হয়েছে। আমরা f (x) ফাংশনের জন্য আনুষ্ঠানিক Fur'є সিরিজ লিখতে পারি: f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2।

6 এটা স্পষ্ট যে ফাংশন f (x) টুকরো টুকরো মসৃণ। সুতরাং এটি বাধা ছাড়াই, এটি শুধুমাত্র (6) এর মধ্যে গণনা করা হয় x = ± π এবং মন্দের বিন্দুতে x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h) ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h іsnyu এবং іntsevі এর মধ্যে, যদিও ফাংশনটি স্লিকার-মসৃণ। ক্রাপকভ সম্পর্কে উপপাদ্য অনুসারে, ফুহর সিরিজের মান ত্বকের বিন্দুতে f (x) এ রূপান্তরিত হয়, যাতে f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) ডুমুরে। 2, 3 Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 ফাংশন f ফাংশনে আংশিক যোগফলের পদ্ধতির প্রকৃতি নির্দেশ করে (x) ব্যবধানে [, π]। 6

7 ছোট। 2. S (x) = a 2 এবং S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x Fig গ্রাফে আংশিক যোগফল আরোপ সহ f (x) ফাংশনের গ্রাফ। 3. f (x) ফাংশনের গ্রাফটি প্লট যোগফল S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7 এর নতুন গ্রাফের উপর চাপানো হয়েছে

8 (7) x = otrimaєmo এ জমা দেওয়া: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2, নক্ষত্রগুলি সাংখ্যিক সিরিজের যোগফল জানে: = π2 8. সারির যোগফল জেনে, এটি করা সহজ Maєmo এর পরবর্তী যোগফল জানুন: S = ( ) S = () = π S, এমনকি S = π2 6, তাই 1 n = π প্রথম পরিচিত লিওনার্ড আইলারের বিখ্যাত সিরিজের যোগফল। Vona প্রায়ই গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং পরিপূরক অধ্যয়ন. পরিশিষ্ট 2. একটি ছোট গ্রাফে, আমরা x এর জন্য f (x) = x সূত্র দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের সিরিজ জানি< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 ছোট। 4. ফাংশনের গ্রাফ (x) ফাংশন f (x) ক্রমাগত ব্যবধান (, π) দ্বারা পৃথক করা হয়। x = ± π বিন্দুতে, (5): f () =, f (π) = π এর মধ্যে অনেকগুলি বিন্দু রয়েছে। উপরন্তু, (6) মধ্যে পার্থক্য আছে: f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h মসৃণ ফাংশন। যদি ফাংশন f(x) জোড়াবিহীন হয়, তাহলে a n =। পারফরম্যান্স bn অংশ দ্বারা একত্রিত বলে পরিচিত: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n Fur'є ফাংশনের একটি খুব আনুষ্ঠানিক সিরিজ 2 (1) n + 1 f (x) sin nx। n 9 cosnxdx] =

10 প্রবাহ সম্পর্কে উপপাদ্য অনুসারে, একটি সঙ্কুচিত-মসৃণ 2π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের মান, ফাংশনের ফার সিরিজ f (x) যোগফল পর্যন্ত নেমে আসে: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x, π এর মত< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 ছোট। 6. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি প্লট যোগফল S2 (x) চিত্রের গ্রাফের উপর ওভারলেড করা হবে। 7. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি S 3 (x) 11 প্লট যোগফলের নতুন গ্রাফের উপর আচ্ছাদিত

12 ছোট। 8. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি S 99 (x) এর যোগফলের নতুন গ্রাফের উপর চাপানো হবে। নির্ভরযোগ্য (8) x = π/2। Todi 2 () + ... = π 2, or = n = (1) n 2n + 1 = π 4. আমরা সহজেই লিবনিজ পরিবারের যোগফল জানতাম। (8) x = π / 3 তে পোকলাভ থাকলে, আমরা জানি () + ... = π 2 3, বা (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 পরিশিষ্ট 3. একটি ছোট গ্রাফ, আমরা Fur'є ফাংশনগুলির সিরিজ জানি f (x) = sin x, স্বীকার করছি যে সময়কাল 2π, і 1 সংখ্যা সিরিজ 4n 2 1 এর যোগফল হিসাবে গণনা করা হয়। সমাধান। F (x) ফাংশনের গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 9. স্পষ্টতই, f (x) = sin x হল একটি নিরবচ্ছিন্ন জোড়া ফাংশন π থেকে। Ale 2π হল ফাংশনের সময়কাল f (x)। ছোট। 9. ফাংশনের গ্রাফ (x) গণনাযোগ্য দক্ষতা Fur'є। Usi b n = যে ফাংশন জোড়া হয়েছে। ত্রিকোণমিতিক সূত্র দ্বারা মুকুট করা, এটি n 1 এ an সংখ্যা করা হয়: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, যখন n = 2k, = π n 2 1, যখন n = 2k

14 গণনা আমাদের সহগ a 1 জানতে দেয় না, তাই n = 1 এর জন্য হরটি শূন্যে পুনরায় সেট করা হবে। তার জন্য, মাঝামাঝি ছাড়া a 1 সহগ গণনা করা হয়: a 1 = 1 π sin x cosxdx =। সুতরাং f (x) ক্রমাগত পার্থক্য করা হয় (,) і (, π) і বিন্দুতে kπ, (k হল সংখ্যা), যদি (5) এবং (6) এর মধ্যে একটি সংখ্যা থাকে, তাহলে Fur' এর সিরিজ є ফাংশনগুলি কোন স্কিন পয়েন্টে একত্রিত হয় না: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Fig. 1. ফাংশন f (x) এর গ্রাফটি S (x) 14 সেকশনের গ্রাফের উপর চাপানো হয়েছে

15 ছোট। 11. সেকশনের যোগফল S1 (x) Fig-এর নতুন গ্রাফের উপর ওভারলেড ফাংশন f (x) এর গ্রাফ। 12. ফাংশনের গ্রাফটি F (x) প্লট যোগফল S2 (x) চিত্রের নতুন গ্রাফের উপরে স্থাপন করা হবে। 13. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি S 99 (x) 15 প্লট যোগফলের নতুন গ্রাফের উপর আচ্ছাদিত

16 1 একটি সংখ্যা সারির অসংখ্য যোগফল। পুরো 4n 2 1 এর জন্য এটি সন্তোষজনক (9) x =। Todi cosnx = 1 সবার জন্য n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =। 1 4n 2 1 = = 1 2. আবেদন 4. সম্ভবত, যে ফাংশন f (x) কোনো বাধা ছাড়াই মসৃণ এবং মসৃণ, আমি সমস্ত x এর জন্য f (x π) = f (x) নিয়ে খুশি (তাই এটি π) -পর্যায়ক্রমিক), a 2n 1 = b 2n 1 = সকল n 1 এর জন্য, এবং navpaki, যদি একটি 2n 1 = b 2n 1 = সমস্ত n 1 এর জন্য, তাহলে f (x) হল π-পর্যায়ক্রমিক। সিদ্ধান্ত. ফাংশন f (x) π-পর্যায়ক্রমিক হতে দিন। গণনাযোগ্য її দক্ষতা Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x) ) cos (2n 1) xdx. প্রথম ইন্টিগ্রালে, আমি সহজেই x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt পরিবর্তন করতে পারি। 16

17 এটাকে ক্লাউন আপ করুন, cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t), আমরা এটি দেখতে পারি: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =। একইভাবে, এটি করা উচিত, b 2n 1 =। নওপাকি, যাক a 2n 1 = b 2n 1 =। যেহেতু ফাংশন f (x) বাধাবিহীন, তাই, উপপাদ্য অনুসারে, এর সিরিজের বিন্দুতে ফাংশনের প্রকাশ হল F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx)। (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x), যার মানে f (x) একটি π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। পরিশিষ্ট 5. আমরা বলতে পারি যে ফাংশন f (x) মসৃণ এবং মসৃণ, f (x) = f (x) সমস্ত x এর জন্য, তারপর a = і a 2n = b 2n = সমস্ত n 1 এর জন্য, এবং navpaki, যেমন a = a 2n = b 2n =, তারপর f (x π) = f (x) সব x। সিদ্ধান্ত. ফাংশন f (x) f (xπ) = f (x) দিয়ে খুশি হতে দিন। অসংখ্য її kofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx। প্রথম ইন্টিগ্রেশনে আমি সহজেই x = t π পরিবর্তনটি প্রতিস্থাপন করব। Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt. ক্রিমসন টিম, cos n (t π) = (1) n cosnt এবং f (t π) = f (t), আমরা গ্রহণ করতে পারি: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt =, যদি n পেয়ার করা = 2 π f (t) cos nt dt, যখন n যুক্ত হয় না। π এটি একইভাবে করা হয়, b 2n =। নাওপাকি, ধরুন a = a 2n = b 2n =, সমস্ত n 1 এর জন্য। যেহেতু f (x) ফাংশনটি বাধাবিহীন, তাই এর সিরিজ Fur'є-এর বিন্দুতে ফাংশনের স্পষ্টতা সম্পর্কিত উপপাদ্যটি f (x) ধারণ করে ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x)। আঠার

19 টোডি = f (x π) = = = f (x)। পরিশিষ্ট 6. Vivchimo ইয়াক পরের ব্যবধানে [, π / 2] ফাংশন f (x) দ্বারা ফাঁক [, π]-এ একীভূত হতে থাকবে, তাই Fur'є mav viglyad এর সারি: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) সিদ্ধান্ত। মা viglyad এর ফাংশন গ্রাফ যাক, ডুমুর মধ্যে ঝুলছে. 14. সারিতে দোলন (1) a = a 2n = b 2n = সব n এর জন্য, তারপর বাটটি 5 vyplyaє, কিন্তু ফাংশন f (x) সমান সমতার জন্য দোষী f (xπ) = f (x) সব x এর জন্য। [, / 2] এর মধ্যে f (x) ফাংশনটি উন্নত করার একটি উপায় রয়েছে: f (x) = f (x + π), ডুমুর। 15. উপরন্তু, সারি (1) শুধুমাত্র কোসাইনগুলির প্রতিশোধ নিতে হয়, এটি সাজানো হয়, তবে ফাংশন f (x) একটি জোড়া হিসাবে অব্যাহত থাকে (অর্থাৎ, গ্রাফটি অক্ষ Oy এর সাথে প্রতিসম), চাল

20 ছোট। 14. ফাংশনের গ্রাফ (x) ছোট। 15. অগ্রিম [, / 2] 2 এর জন্য অবিরত ফাংশন f (x) এর গ্রাফ

21 Otzhe, ma viglyad এর কাজ, ডুমুরে নির্দেশিকা। 16. ছোট। 16. অগ্রিম [, π] [π / 2, π] এর জন্য ফাংশন f (x) এর ধারাবাহিকতার গ্রাফ, ফাংশন f (x) এর গ্রাফটি বিন্দুতে কেন্দ্রীয়ভাবে প্রতিসম (π / 2,), এবং ব্যবধান [, π] পর্যন্ত, গ্রাফটি Oy অক্ষের প্রতিসম। 21

22 রেফারেন্স অ্যাপ্লিকেশন 3 6 নেখাই l>। স্পষ্টতই দুটি মন: ক) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l/2]। জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে বিন্দু (a) এর অর্থ হল f (x) ফাংশনের গ্রাফটি উল্লম্ব সরলরেখা x = l / 2 এর সাপেক্ষে প্রতিসম, এবং গ্রাফ (b) যে গ্রাফটি f (x) অক্ষের অ্যাবসিসে বিন্দু (l / 2;) সহ কেন্দ্রীয়ভাবে প্রতিসম। নিম্নলিখিতটি সত্য: 1) যদি ফাংশন f (x) Viconan Umov (a) এর সাথে জোড়া হয়, তাহলে b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) যদি ফাংশন f (x) Viconan Umov (b) এর সাথে জোড়া হয়, তাহলে b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) যদি ফাংশন f (x) আনপেয়ার করা হয় এবং Viconan Umov (a), তাহলে a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) যদি ফাংশন f (x) আনপেয়ার করা হয় এবং Viconan Umov (b), তাহলে a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... =। কাজ 1 7 এর জন্য ZAVDANNA, গ্রাফগুলি আঁকুন এবং ফাংশনের জন্য Fur'є সিরিজ জানুন,< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, যক্ষ/2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. ফাংশনটি প্রসারিত করা, ইন্টারভালে দেওয়া [, π], শুধুমাত্র সাইনগুলির পরে বা শুধুমাত্র কোসাইনগুলির পরে। ফাংশনটি ব্যবধানে [, π] নির্দিষ্ট করা হয়েছে। Bazhayuchi razklasti її Fur'є এর সারি পর্যন্ত পুরো অগ্রগতিতে, আমরা একটি উচ্চতর পদে অগ্রগতি [, π] এ f চালিয়ে যেতে পারি এবং একই সময়ে এটি Eiler Fur'є এর সূত্রগুলির সাথে দ্রুত। উন্নত ফাংশনে Svavilja আগে তৈরি করতে, এক ধরনের ফাংশনের জন্য f: [, π] R আমরা অনেকগুলি Fur'є মুছে ফেলতে পারি। বিকল্পভাবে, আপনি vikoristovuvat tse svavillya করতে পারেন তাই, শুধুমাত্র সাইনের পিছনে বা শুধুমাত্র কোসাইন দ্বারা ছড়ানো ছাঁটাই করুন: প্রথম ভাইপ্যাডের জন্য এটি একটি জোড়াবিহীন র্যাঙ্কের সাথে f চালিয়ে যাওয়া এবং ছেলেদের জন্য ভিন্ন উপায়ে যথেষ্ট। সমাধান অ্যালগরিদম 1. একটি জোড়াবিহীন (গায়) র‍্যাঙ্ক (,) সহ ফাংশনটি চালিয়ে যান এবং তারপরে পর্যায়ক্রমে, প্রতি 2π, সম্পূর্ণভাবে ফাংশনটি চালিয়ে যান। 2. Fur'є এর কর্মক্ষমতা গণনা করুন। 3. ফাংশন f (x) এর Fur সিরিজ ভাঁজ করুন। 4. রিভিশন মন কম। 5. যে ফাংশনটিতে একটি সম্পূর্ণ সারি রয়েছে তার পরিচয় দিন। পরিশিষ্ট 7. f (x) = cosx ফাংশনে প্রয়োগ করা হয়েছে,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 ছোট। 17. অব্যাহত ফাংশনের গ্রাফ স্পষ্টতই, ফাংশন f (x) লাজুক-মসৃণ। পরিমাপযোগ্য দক্ষতা Fur'є: একটি n = সমস্ত n যে পরিমাণে ফাংশন f (x) জোড়াহীন। যদি n 1 হয়, তাহলে bn = 2 π f (x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1) ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, যেখানে n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n, যেখানে n = 2k। π n 2 1 যখন n = 1, ক্যালকুলেটরগুলির সামনে হরটি শূন্যে পরিণত হয়, তাই বি 1 সহগটি পূর্ববর্তী 25 ছাড়াই গণনা করা হয়

26 ঘুম: b 1 = 2 π cosx sin xdx =। Fur'є ফাংশনের সিরিজ f (x) ভাঁজযোগ্য: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx। যদি ফাংশন f (x) লাজুক-মসৃণ হয়, তাহলে ক্র্যাপকভ সম্পর্কে উপপাদ্যের পরে, ফাংশন f (x) এর Fur সিরিজের মান sumi: cosx-এ যায়, যেখানে π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 ছোট। Fig. 18. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি S1 (x) Fig-এর নতুন গ্রাফের উপর আবৃত। 19. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি S 2 (x) 27 প্লট যোগফলের নতুন গ্রাফের উপর আচ্ছাদিত

28 ছোট। 2. ফাংশন f (x) এর গ্রাফটি বিভাগীয় যোগফল S3 (x) এর গ্রাফের উপরে স্থাপন করা হবে। 21 ফাংশনের গ্রাফগুলি f (x) এবং আংশিক যোগফল S 99 (x) প্রদর্শিত হয়। ছোট। 21. ফাংশনের গ্রাফটি প্লট যোগফল S 99 (x) 28 এর নতুন গ্রাফের উপর আচ্ছাদিত

29 পরিশিষ্ট 8. ফাংশন দ্বারা সম্প্রসারণযোগ্য f (x) = e ax, a>, x [, π], শুধুমাত্র কোসাইনে Fur'є এর একটি সিরিজ পর্যন্ত। সিদ্ধান্ত. ক্রমাগতভাবে একটি গাই র‍্যাঙ্ক (,) (যাতে প্যারিটি f (x) = f (x) সমস্ত x (, π)) এর ফাংশন সহ, যে buv পর্যায়ক্রমে 2π এর পিরিয়ড সহ, ইয়ং সংখ্যাকে প্রসারিত করে . আমরা f (x) ফাংশনটি গ্রহণ করতে পারি, চিত্রে এই জাতীয় উপস্থাপনার গ্রাফ। 22. Mal এর বিন্দুতে ফাংশন f (x)। 22. ক্রমাগত ফাংশনের গ্রাফ f (x) x = kπ, k হল পূর্ণ সংখ্যা, তেলের মতো। অসংখ্য kofіtsієnti Fur'є: b n =, oskіlki f (x) জোড়া। Mo 29 অংশে একীভূত করুন

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e dx π a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Oscillations f (x) কোনো বাধা ছাড়াই, তারপর, ফুহর সিরিজের প্রবাহ সম্পর্কে উপপাদ্য অনুসারে, f (x) এ একত্রিত হয়। এছাড়াও, সমস্ত x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π)। ধান কাটার একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের জন্য অনেকগুলি Fur'є-এর আংশিক যোগফলের কাছে যাওয়ার ক্রিয়া প্রদর্শন করে। 3

31 ছোট। 23. f (x) এবং S (x) Mal ফাংশনের গ্রাফ। 24. f (x) এবং S1 (x) ছোট ফাংশনের গ্রাফ। 25. f (x) এবং S2 (x) ছোট ফাংশনের গ্রাফ। 26. ফাংশনের গ্রাফ f (x) এবং S 3 (x) 31

32 ছোট। 27. ফাংশন f (x) এবং S4 (x) Mal এর গ্রাফ। 28. ফাংশনের গ্রাফগুলি f (x) এবং S 99 (x) উপস্থাপন করা হয়েছে 9. ফাংশনটি f (x) = cos x, x π, Fur'є এর একটি সারিতে শুধুমাত্র কোসাইনগুলিতে রাখুন। 1. ফাংশন f (x) = e ax, a>, x π, শুধুমাত্র সাইনের পিছনে Fur'є-এর সারিতে প্রসারিত করুন। 11. ফাংশনটি f (x) = x 2, x π, শুধুমাত্র সাইনের পিছনে Fur'є-এর সারিতে রাখুন। 12. শুধুমাত্র কোসাইনগুলিতে f (x) = sin ax, x π, y সিরিজ Fur'є ফাংশনটি নির্ধারণ করুন। 13. ফাংশনটি f (x) = x sin x, x π, শুধুমাত্র সাইনের পিছনে Fur'є-এর সারিতে রাখুন। Vidpovidi 9.cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 (1) n 1) sin nx. 32

33 12. a একটি পূর্ণ সংখ্যা না হলে, sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2; যদি a = 2m জোড়া একটি সংখ্যা হয়, তাহলে sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; যদি a = 2m 1 একটি ধনাত্মকভাবে জোড়াহীন সংখ্যা হয়, তাহলে sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1)। π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx। 2 π (4n 2 1) 2 3. একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে ফাংশনের সিরিজ ফিউরি ধরুন যে ফাংশনটি f (x) ব্যবধানে [l, l], l> সেট করা আছে। x = ly, y π প্রতিস্থাপন করার পরে, আমরা ফাংশনটি বের করতে পারি g (y) = f (ly / π), যার অর্থ ব্যবধানে π [, π]। তৃতীয় ফাংশন g (y) একটি (আনুষ্ঠানিক) সিরিজ গঠন করে Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny), যার কার্যকারিতা অয়লার Fur'є সূত্রগুলির পিছনে রয়েছে : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 bn = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π ফাংশন f (x) এর জন্য, একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ দেখতে সহজেই পরিবর্তন করা যেতে পারে যেমন: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 lllll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., (12) dx, n = 1, 2, . .. পরিশিষ্ট 9. আমরা ভিরাজ (A, যেখানে l) দ্বারা ব্যবধানে (l, l) দেওয়া Fur'є ফাংশনের সিরিজটি জানি< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn =, যেখানে n, ll A sin πnx lf (x) sin πnx l dx + 1 ll dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn)। πn ফাংশনের ফার সিরিজ f (x) ভাঁজযোগ্য: f (x) A + B π (B A Scales cosπn = (1) n, তারপর n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx)। n = 2k এর জন্য l অনুমেয় b n = b 2k =, n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1)।

36টি তারা চ (x) A + B (BA)? যক্ষ l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 ছোট। 29. ফাংশন f (x) এর গ্রাফ যার সাথে হারমোনিক্স S (x) = a 2 এবং S 1 (x) = b 1 sinx-এর নতুন গ্রাফগুলিতে সুপারইম্পোজ করা হয়েছে। তিনটি অন্য হারমোনিক্সের গ্রাফের নির্দিষ্টতার জন্য S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l এবং S 7 (x) = b 7 sin 7πx থ্রাস্ট উল্লম্বভাবে চড়াই l 37

38 ছোট। 3. F (x) ফাংশনের গ্রাফটি S 99 (x) চিত্রের অংশ সমষ্টির নতুন গ্রাফের উপরে স্থাপন করা হয়েছে। 31. ডুমুরের টুকরো। 38 স্কেলে 3

39 নিশ্চিতভাবে Fur'є সিরিজে স্থানের সমস্যায়, ফাংশনগুলি প্রদত্ত মধ্যবর্তীকে বরাদ্দ করা হয়। 14.f(x) = x 1, (1, 1)। 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1]। 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = sin π x, (1, 1)। (2 1, যেখানে 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1) ) πx পাপ। π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... খ) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Fur'є ডিস্ট্রিবিউশন f (x) = cne inx, de cn সিরিজের জটিল ফর্ম = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ..., Fur'є সিরিজের জটিল রূপ বলা হবে। শান্ত মনের ভিশন দিয়ে Fur'є এর একটি জটিল সারিতে ভাঁজ করার ফাংশন, যার জন্য তারা Fur'є-এর বক্তৃতা সারিতে স্থাপন করা যেতে পারে। 4

41 পরিশিষ্ট 1. আমরা f (x) = e ax, y এর মধ্যে [, π), de a স্পীচ নম্বর সূত্র দ্বারা প্রদত্ত একটি ফাংশনের জটিল ফর্মের Fur সিরিজ জানি। সিদ্ধান্ত. পরিমাপযোগ্য কর্মক্ষমতা: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 (1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ। 2π (a in) π (a in) যন্ত্রের f ফাংশনের জটিল পশম সিরিজ f (x) sh aπ n = (1) n a in einx। পুনর্বিবেচনা, তাই ফাংশন f (x) লম্পি-মসৃণ: ব্যবধানে (, π), এটি অসীমভাবে পার্থক্য করা হয় এবং x = ± π বিন্দুতে (5), (6) lim h + ea এর মধ্যে বিন্দু রয়েছে (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = ae aπ। এছাড়াও, ফাংশন f (x) ক্রম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় Fur'є sh aπ n = (1) n a in einx, যা সুমিতে যেতে হয়: (e S (x) = ax, যেখানে π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 পরিশিষ্ট 11. আমরা সূত্র f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের জটিল এবং বক্তৃতা ফর্মের জন্য Fur সিরিজ জানি।< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmo, একটি স্ট্যান্ডার্ড q সহ অবিরাম জ্যামিতিক অগ্রগতির একটি ব্যাগ (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 এখন আমরা বক্তৃতা আকারে অনেকগুলি Fur'є জানি। n এর জন্য n এবং n সংখ্যা সহ পূর্ণতার একটি বড় গ্রুপের জন্য: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1, তারপর 2 = 2a n cos nx। f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 ফাংশন f (x) এর স্পিচ ফর্মে Fur'є এর একটি সিরিজ। এই পদমর্যাদা, অর্থনৈতিক অবিচ্ছেদ্য গণনা না করে, আমরা কম Fur'є ফাংশন জানতাম। যখন আমরা ভিরাহুভালি করি, তখন একটি গুরুত্বপূর্ণ অবিচ্ছেদ্য থাকে, যা cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a প্যারামিটারে পাওয়া যায়।< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz সরল ভগ্নাংশগুলিকে জ্যামিতিক অগ্রগতির সূত্রের অধীনে রাখা যেতে পারে: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anz n। n = সম্পূর্ণরূপে, টুকরা az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, ছোট, c n = 1 2i a n sgn. টিম নিজেই, একটি জটিল আকারে অনেকগুলি Fur'є পরিচিত। n এবং n সংখ্যার সাথে গোষ্ঠীবদ্ধ সংযোজন করার পরে, আমরা স্পিচ ফর্মে Fur'є ফাংশনগুলির সিরিজ নির্ণয় করতে পারি: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx। আমি বিরহুবতী দূরত্বে জানি আক্রমণাত্মক ভাঁজ অবিচ্ছেদ্য: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15), বক্তৃতার জন্য integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 গণনা করুন a, a> Vikoristovuchi (16), বক্তৃতার integral sin x sin nxdx গণনা করুন a, a> a + 2 সমস্যা ফাংশন জন্য জটিল ফর্ম এ Fur'є. 26.f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. লিয়াপুনভ সমতা উপপাদ্য (লিয়াপুনভ সমতা)। ফাংশন f: [, π] R এমন হতে দিন যে f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. অতএব, ফাংশন f (x) এর জন্য Lyapunov সমতুল্যতা চোখের কাছে ফুলে যায়: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π। একটি π-এর অবশিষ্ট সমতুল্য sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2, আমরা n = 2k 1 এর জন্য sin2 na = 1 এবং n = 2k এর জন্য sin 2 na = 2 কে নিতে পারি। Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. পরিশিষ্ট 14. আসুন f (x) = x cosx, x [, π] ফাংশনের জন্য Lyapunov সমতা লিখি, যদি আমরা এর অতিরিক্ত যোগফল জানি। সংখ্যা সিরিজ (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π সমাধান। সরাসরি গণনা দেয় = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f(x) হল একটি পেয়ার করা ফাংশন, তারপর সকলের জন্য n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1) ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1) ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 যদি n = 2k, 2, যদি n = 2k + 1। মান a 1 গণনা করা প্রয়োজন okremo, n = 1 এর দূরের সূত্রে খন্ডগুলি, এর হর ভগ্নাংশটি শূন্যে পরিণত হয়। = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2।

50 সুতরাং, f (x) ma viglyad ফাংশনের জন্য Lyapunov সমতা: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π উপস্থাপনা 32. এর জন্য Lyapunov সমতা লিখুন ফাংশন (xf (x) = 2 πx, যেখানে x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn ফাংশন f (x), এবং dn কার্যকরী ফাংশন g (x) . 6. Fur'є নেখাই f সিরিজের পার্থক্য: R R ক্রমাগত 2π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের পার্থক্য। Fur'є ma viglyad এর Її সিরিজ: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx)। ফাংশন f (x) একটি 2π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের অনুরূপ, যার জন্য কেউ একটি আনুষ্ঠানিক সিরিজ Fur'є লিখতে পারে: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... কার্যকারিতা Fur'є ফাংশন f (x)। 51

52 উপপাদ্য (পশম সিরিজের বর্ধিত শব্দ পার্থক্য)। ভেঙে পড়ার ক্ষেত্রে, এটা সত্য যে a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. আবেদন 15. ব্যবধানে বাধা ছাড়াই লাজুক-মসৃণ ফাংশন f (x) হবেন না [, π]। স্পষ্টতই, আমরা বলতে পারি যে f (x) dx = 2 dx 2 dx এর সামান্য দুর্ব্যবহার, স্টেক্লভের অক্ষমতার কারণে, এবং পুনঃসংযোগ, যাতে নতুন ফাংশনগুলি f (x) টাইপের f (x) ফাংশন হারাবে। অন্য কথায়, স্টেক্লভের অযোগ্যতা, ধরা যাক, আপনি যখন দেখেন যে তিনটি সাধারণ ফাংশন রয়েছে (গড় বর্গক্ষেত্রে), তিনটি ফাংশন রয়েছে (গড় বর্গক্ষেত্রে)। সিদ্ধান্ত. ব্যবধান [,] থেকে ফাংশন f (x) দ্বারা সমর্থিত একটি গাই র্যাঙ্ক দ্বারা। উল্লেখযোগ্যভাবে ফাংশন নিজেই চিহ্ন f (x) দ্বারা প্রসারিত। ফাংশনটি বাধা ছাড়াই চলতে থাকবে এবং পথে মসৃণ এবং মসৃণ হবে [, π]। সুতরাং যেমন f (x) ফাংশনটি বাধাবিহীন, তাই f 2 (x) সময়কালের জন্য বাধা ছাড়াই এবং 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlki জোড়ার ফাংশন অব্যাহত থাকে, তারপর b n =, a = সিঙ্কের পিছনে। Otzhe, চোখের কাছে Lyapunov nabuvє এর সমতা 1 π 2 dx = a 2 π n। (17) পুনর্বিবেচনা, f (x) সিরিজের Fur'є এর পার্থক্য সম্পর্কে উপপাদ্যগুলি মেনে চলার জন্য, যাতে a =, an = nb n, bn = na n, n 1। চাই না f (x) ব্যবধানে x 1, x 2, ..., x N বিন্দুতে খারাপ হতে হবে [, π]। ধরুন x = x N + 1 = π। N +1 ব্যবধানে [, π] একীকরণের বৃদ্ধি (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), ত্বকের অবস্থা f (x) পুরোপুরি আলাদা। টোডি, অখণ্ডের সংযোজনের দুষ্ট শক্তি, এবং তারপরে একত্রিতকারী অংশগুলি, স্বীকৃত: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f ( x 2) sinx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (f (x N + 1) sin nx N + 1 f (x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = একে অপরের সমান থাকা যেখানে f (x) ফাংশনটি একজন লোকের পদমর্যাদার দ্বারা উন্নীত হয়েছিল এবং তাই f (π) = f ()। একইভাবে, আমরা একটি = nbn চিনতে পারি। আমরা দেখিয়েছি যে নিরবচ্ছিন্ন shmatkovo-মসৃণ 2π-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য Fur'є সিরিজের বর্ধিত পার্থক্যের উপপাদ্য, যা মধ্যবর্তী [, π]-এর অনুরূপ, প্রথম ধরনের, ভীর্নার জন্য গর্বিত। একই থেকে f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 সুতরাং, একটি সারিতে একটি ডার্মাল শব্দ হিসাবে (18), এটি কমবেশি একটি সারির অতিরিক্ত সদস্য (17), তারপর 2 dx 2 dx। অনুমান করা, উন্নত ফাংশনে ছেলেদের জন্য scho f(x) є, maєmo 2 dx 2 dx. স্টেক্লভের সমতা আনতে। আজকাল Steklov এর অনিয়ম অনেক ফাংশন আছে। আপনি যদি শূন্যের ফলস্বরূপ এক n 2 দক্ষতা a n চান, তাহলে একটি 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 এনডোর্সমেন্ট 37. লাজুক-মসৃণ হবেন না ফাংশন f (x) বিরতি [, π] এ নিরবচ্ছিন্ন। জানিয়ে দিন যে, আপনি যখন বিজয়ী হন, তখন আপনাকে অবশ্যই f () = f (π) = সামান্য ত্রুটি 2 dx 2 dx আছে, কারণ এটিকে স্টেক্লভের অযোগ্যতাও বলা হয়, এবং ক্রস ওভার, তবে এটি ঠিক f (x) মনের কথা নয়। .. 38. ব্যবধান [, π] এবং নতুন (অন্তহীন সংখ্যক বিন্দুর ভিগনেটের পিছনে) ফাংশন f কে বাধা ছাড়াই হতে দিন, আমি f (x) যাব, যাতে আমরা বর্গক্ষেত্রের সাথে একীভূত হই। জানানোর জন্য, যদি একটি নির্দিষ্ট ভিশনে, আপনি মনে করেন f () = f (π) і f (x) dx =, তাহলে সামান্য জড়তা 2 dx 2 dx আছে, কারণ এটিকে বলা হয় উইর্টিংগারের অযোগ্যতা, এবং ফাংশনটি একটি নির্দিষ্ট ফর্ম f x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. প্রাইভেট মৃতদের মধ্যে ডিফারেনশিয়াল রেসের উপস্থিতির উপর Fur'є এর পদের স্থবিরতা যখন একটি বাস্তব বস্তুর প্রাণবন্ত হয় (প্রকৃতির প্রকাশ, ভাইরাল প্রক্রিয়া, নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা খুব পাতলা।) বিকাশের দিকে পদক্ষেপ নেয়। গাণিতিক যন্ত্রপাতি। বৈজ্ঞানিক অধ্যয়নের পর্যায়ে, এই ধরনের একটি ল্যান্স ঝাঁকুনি দেওয়া হয়েছে: একটি শারীরিক মডেল একটি গাণিতিক মডেল। আক্রমণাত্মক ক্ষেত্রের শারীরিক গঠন (মডেল) হল: এটি সেই প্রধান ফ্যাক্টরের প্রক্রিয়াটি প্রদর্শিত এবং বিকাশ করে, যা নতুনটির উপর ঢেলে দেওয়া হয়। সিস্টেম এবং সমান (বীজগণিত, ডিফারেনশিয়াল, ইন্টিগ্রাল, ইত্যাদি) এর দৃষ্টিতে ফ্যাক্টর এবং মনের শারীরিক গঠনের ইনভেন্টরিতে ক্ষেত্রের গাণিতিক ফর্মুলেশন (মডেল)। রাষ্ট্রের প্রধানকে একটি সঠিক সেটিং বলা হয়, যেমন গাওয়া ফাংশনাল স্পেসে চিন্তাভাবনার কাজগুলি সমাধান করার জন্য, এক এবং একমাত্র এবং বাধা ছাড়াই কোব এবং সীমানা মনের উপর শুয়ে থাকা। গাণিতিক মডেলটি দেখতে একই বস্তু নয়, তবে আমরা একটি বর্ণনা দিয়ে এটির সাথে যোগাযোগ করব। Viznovok pivnyannya vilnykh malikh তির্যক স্ট্রিং। স্ট্রিং fastened করা যাক, এবং স্ট্রিং নিজেই টাইট হয়. আপনি যদি সরলরেখার অবস্থান থেকে স্ট্রিংটি সন্নিবেশ করেন (উদাহরণস্বরূপ, এটি টানুন বা এটি বরাবর টানুন), তাহলে স্ট্রিংটি 57 হওয়ার সম্ভাবনা বেশি

58 বগাতিস্য। একই সময়ে, স্ট্রিংটির সমস্ত বিন্দু রাভনোভা (ট্রান্সভার্স সংযোগ) এর অবস্থানের সাথে লম্ব হয়ে পড়ে, উপরন্তু, ত্বকের মুহুর্তে, স্ট্রিংটি এক এবং একই এলাকায় থাকে। একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম xou আছে। তাই, যদি ঘণ্টার সময় t = স্ট্রিংটি ষাঁড়ের অক্ষে বেড়ে ওঠে, তাহলে u মানে সরলরেখার অবস্থান থেকে স্ট্রিংটির মুক্তি, যাতে স্ট্রিংটির বিন্দুর অবস্থান থেকে ফাংশনের ঘন্টা t এর চূড়ান্ত মুহুর্তে abscissa x, tіє ​​মান স্কিন ফিক্সড ভ্যালু t সহ, ফাংশন u (x, t) এর গ্রাফটি স্ট্রিংয়ের আকৃতিকে প্রতিনিধিত্ব করে, যা t সময়ে কাটা যেতে পারে (চিত্র 32)। x এর ধ্রুবক মানের সাথে, ফাংশন u (x, t) অ্যাবসিসা x বিন্দুতে একটি নিয়ম দেয়, রেখাটি সোজা, অক্ষ Ou এর সমান্তরাল, t হারিয়ে গেছে, এবং অন্যটি হারিয়েছে 2 ut 2 ত্বরিত . ছোট। 32. ফোর্স, অনির্দিষ্টভাবে অল্প সংখ্যক স্ট্রিং ওয়্যারহাউসে প্রয়োগ করা হয়েছে u (x, t) ফাংশনটি সন্তুষ্ট করার জন্য যথেষ্ট। নৃশংস ছিটিয়ে একটি সম্পূর্ণ গুচ্ছ জন্য, তাদের ক্ষমা করা যাক. স্ট্রিং একেবারে টাইট - 58

59 কোয়, তাই ভ্যাজাটিমো, কেন স্ট্রিংটি ভিজিনু দ্বারা পেঁচানো উচিত নয়; tse মানে, scho স্প্রিংস, স্ট্রিং এ scho উইঙ্কস, সবসময় її মিটেন প্রোফাইলের ঠিক একই অনুসারে সোজা করা হয়। স্ট্রিংটি স্প্রিং এবং হুকের নিয়মে প্রেরণ করা হয়; tse এর মানে হল যে মাত্রার পরিবর্তনটি স্ট্রিংয়ের সাপের সমানুপাতিকভাবে টানা হয়েছিল। গ্রহণযোগ্য, একটি একক-স্ট্র্যান্ড স্ট্রিং; tse মানে, її її linea gustina ρ postіyna। জাগ্রত শক্তি অস্বাস্থ্যকর। Tse বোঝায় কিভাবে আমরা এটি দেখতে পারি। Mi vivchatimo ইজারা স্ট্রিং ছোট হয়. যদি আমরা ϕ (x, t) দ্বারা চিহ্নিত করি ϕ (x, t) মুহুর্তে abscissa x থেকে বিন্দুতে বিন্দুযুক্ত রেখার মধ্যে কাটা, তাহলে শিশুর ক্ষেত্রের মন এই সত্য যে ϕ 2 (x) এর মান , t) সহজে x, t) হতে পারে না, যাতে ϕ 2. যেহেতু kut ϕ হল ম্যালিয়াম, তাহলে cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і এছাড়াও, মান (uxx,) 2 বাদ দেওয়া যেতে পারে। একবারে বিপ্লিভায় শোনাচ্ছে, কিন্তু জপ করার প্রক্রিয়ায়, আপনি সাপের দ্বারা ঘেটুভাতি করতে পারেন এমনকি যদি আপনি স্ট্রিং এর ডিলিঙ্কার হন। আসলে, কিছুটা স্ট্রিং M 1 M 2 অ্যাবসিস অক্ষে ডিজাইন করা উচিত, de x 2 = x 1 + x, রাস্তা l = x 2 x () 2 u dx x। x এটি দেখানো হবে যে আমাদের ভাতাগুলির জন্য টান বল T এর মান স্ট্রিংটির একটি ধ্রুবক টান হবে। একই সময়ে, আমি প্রথমবারের মতো ডিলিয়াঙ্ক স্ট্রিংগুলি এম 1 এম 2 (চিত্র 32) ঘন্টার সময় t এবং পরিবর্তে অংশ নিতে চাই - 59

T 1 এবং T 2 টানিয়ে 60 kv। অক্ষ Ou এবং বহির্মুখী বলের সমান্তরালে স্ট্রিং ধসের সমস্ত বিন্দুর ড্রেনের জন্য দোলন, তারপর অক্ষ অক্সে টান ফোর্সের অভিক্ষেপের যোগফল শূন্যের জন্য দায়ী: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =। কুটিভ ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) সেট-আপের মাধ্যমে শুরু হয়, কিন্তু T 1 = T 2। উল্লেখযোগ্যভাবে, প্রাথমিক মান T 1 = T 2 এর মাধ্যমে T. এখন অভিক্ষেপের যোগফল F হল গণনাযোগ্য u qix অক্ষের শক্তির Ou: F u = T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t)। (2) ছোট kutіv sin ϕ (x, t) tg জন্য Oskіlki? T (tan ϕ (x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) xx T 2 ux 2 (x 1, t) x ... বিন্দু x 1 বিপরীত হলে, F u T 2 u x2 (x, t) x। উপরন্তু, যেহেতু সমস্ত শক্তি M 1 M 2-এ যাওয়ার জন্য পরিচিত, তখনও নিউটনের আরেকটি সূত্র রয়েছে, যার অর্থ হল সমস্ত শক্তির ত্বরিত পরিমাণ আনতে হবে। স্ট্রিং ভর হল M 1 M 2 রাস্তার জন্য m = ρ l ρ x, এবং ত্বরিত রাস্তার জন্য হল 2 u (x, t)। দৃষ্টিকোণ থেকে নিউটনের t 2 এর সমতুল্য: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ একটি স্থায়ী ধনাত্মক সংখ্যা। 6

61 এক্সে দ্রুত, আমরা mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) সংজ্ঞায়িত করতে পারি। (21) ফলস্বরূপ, আমরা প্রাইভেটগুলির মধ্যে রৈখিক পার্থক্য রেন্ডার করেছি, পুরানো কর্মক্ষমতা সহ বিভিন্ন মাত্রার ক্রম। ইয়োগো চি স্ট্রিংগুলিকে একই ধরণের হিসাবে একই রকমের কল করে। Rivnyannya (21) є নিউটনের সূত্রের সংস্কার এবং স্ট্রিং এর পতনের বর্ণনা। আলে ফিজিক্যাল স্টেজিং এ বাউল ভিমোগি সেই স্ট্রিংগুলি সম্পর্কে যা বেঁধে দেওয়া হয় এবং স্ট্রিংগুলি পরের ঘন্টায় রাখা হয়। সমানভাবে, এটিকে এইভাবে লিখুন: ক) এটি গুরুত্বপূর্ণ, স্ট্রিংগুলির শেষটি x = і x = l বিন্দুতে স্থির করা হয়েছে, যাতে এটি গুরুত্বপূর্ণ, সমস্ত টি ভিসোনান্সের কর্মক্ষমতা u (, t) =, u (l, t) =, u (l, (22) খ) মন দিয়ে, এই মুহুর্তে t = স্ট্রিংটির অবস্থান f (x) ফাংশনের গ্রাফের নীচে স্থাপন করা হয়েছে, যাতে, সমস্ত x [, l] এর জন্য, সমতুল্য হয় u (x,) = f(x); (23) c) আচ্ছা, ঘন্টার সময় t = abscissa x থেকে স্ট্রিংটির বিন্দুতে, g (x) এর গতি দেওয়া হয়, তাই, u (x,) = g (x)। (24) t Spіvdnoshennya (22) কে বর্ডার মাইন্ড বলা হয়, এবং spіvіdnoshennya (23) এবং (24) কে cob minds বলা হয়। ভিলনিহ মালিখ ট্রান্সভার্সের গাণিতিক মডেল 61

62 স্ট্রিং এর স্ট্রিং এই যে সীমানা সিঙ্ক (22) এবং কোব সিঙ্ক (23) এবং (24) ফুর' পদ্ধতি দ্বারা স্ট্রিংগুলির ভিলনি ছোট ট্রান্সভার্স স্ট্রিংিংয়ের সাথে স্ট্রিংগুলির একটি স্ট্রিং (21) তৈরি করা প্রয়োজন। 'অঞ্চলের রোভিং (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... (25) (21) এর সাপেক্ষে, আমরা চিনতে পারি: X T = α 2 X T, (26) বা T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x)। (27) মনে হয় দুষ্টরা হয়ে গেছে। সুতরাং, যদি x і t একের একভাবে মিথ্যা না বলে, তাহলে বাম অংশ (27) x সম্পর্কে মিথ্যা বলে না, তবে t সম্পর্কে ডান এবং cich এর পিছনের মান প্রায় 62

63 পোস্ট-স্টেজ হতে পারে, যা λ এর মাধ্যমে অর্থপূর্ণ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ। আমরা দুটি নির্দিষ্ট ডিফারেনশিয়াল সমতুল্য চিনব: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) =। (29) একটি বড় সীমানার জন্য, ভাবুন (22) X () T (t) = і X (l) T (t) = দেখতে। Oskіlka দুর্গন্ধ সব দেখা যায় t, t>, তারপর X () = X (l) =। (3) আমরা rivnyannya (28) এর সিদ্ধান্ত জানি, কারণ এটি সীমান্তরেখার মনকে খুশি করবে (3)। তিনটি দৃশ্য দেখা যাচ্ছে। Vipadoc 1:>. ধরা যাক λ = β 2। X (x) β 2 X (x) = এর চেহারার সমতুল্য (28)। যোগো চরিত্রগত সমান k 2 β 2 = মূল k = ± β। Otzhe, সমাধান প্রধান (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx। যদি আপনি ভুল করার জন্য দোষী হন, তাহলে C এবং D যাতে বর্ডার ড্রেন (3) ধরা পড়েছিল, যাতে X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl =। Оskіlki β, tsya সিস্টেম এর rіvnyan maє єdine সমাধান C = D =। Otzhe, X (x) ta 63

64 u (x, t)। টিম নিজে, vipadku 1 মাইল এ, একটি তুচ্ছ সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন, যতদূর পর্যন্ত বোঝা যায় নি। টাইপ 2: λ =। Todi rіvnyannya (28) nabuvaє দৃশ্যে X (x) = і তম সমাধান, স্পষ্টতই, সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে: X (x) = C x + d। আমরা সীমানা সিঙ্ক (3) এ একটি সমাধান প্রদান করি, আমরা এটি X () = D = і X (l) = Cl =, এছাড়াও, C = D = পড়তে পারি। একই সময়ে, X (x) এবং u (x, t), এবং আমরা ইতিমধ্যে একটি তুচ্ছ সমাধান প্রত্যাখ্যান করেছি। Vipadoc 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal nadavatimo n শুধুমাত্র ধনাত্মক মান n = 1, 2, ..., ঋণাত্মক n সহ খণ্ড হবে তার সিদ্ধান্ত (nπ হিসাবে)। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সবচেয়ে শক্তিশালী ফাংশন (28) সহ πnx আঞ্চলিক মন (3)। এখন এটি আলগাভাবে সংযুক্ত (29)। একটি ma viglyad k 2 α 2 λ = একটি নতুন বৈশিষ্ট্যের জন্য। (32) l 2 Oskіlki vische mi z'yuvali, কিন্তু nontrivial সমাধান X (x) іvnyannya (28) є যদি ঋণাত্মক λ এর জন্য, সমান λ = n2 π 2, তাহলে একই λ mi এবং অনেক দূরে দৃশ্যমান। রেখার মূল (32) є k = ± iα λ, এবং রেখার সমাধান (29) দেখতে এরকম হতে পারে: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n সবচেয়ে অবিরাম। আমরা (25) মধ্যে সূত্র (31) এবং (33) উপস্থাপন করি, আমরা rivnyannya (21) এর ব্যক্তিগত সিদ্ধান্ত জানি, কিন্তু আমরা আঞ্চলিক মন (22): πnx. lll ধনুক এ গুণক C n সন্নিবেশ করান і মান C n A n = bn এবং B n C n = an, ভিউয়ারে un (X, T) লিখুন (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) sin πnx. (34) l l 65

66 স্ট্রিং জিগস, যা u n (x, t) সমাধানগুলি দেখায়, তাকে পাওয়ার স্ট্রিং জিগ বলা হয়। Oskilki rіvnyannya (21) এবং বর্ডারলাইন জয় (22) lіnіynі এবং একমুখী, তারপর সমাধানগুলির lіnіyna সমন্বয় (34) (u (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) দিন যা বর্ডারলাইন মাইন্ডস (22) এর পারফরম্যান্সের একটি বিশেষ কম্পনের সাথে সন্তোষজনক একটি ibn, যা একটি সংখ্যার সমান নিরাপত্তা নিশ্চিত করবে। আজকাল, একটি і bn সমাধান (35) এর কার্যকারিতা এতটাই ভাল যে এটি শুধুমাত্র সীমান্তরেখাই নয়, বরং cob (23) যে (24), de f (x), g (x) ফাংশন দেওয়া হয়েছিল (যেখানে f () = f (l) = g () = g (l) =)। চিত্তাকর্ষকভাবে, ফাংশন f (x) এবং g (x) নিম্ন Fur'є-তে বিতরণ করার মনকে সন্তুষ্ট করবে। (35) মান t = দেওয়া হলে, আমরা u (x,) = a n sin πnx l = f (x) নিতে পারি। (35) সিরিজের পার্থক্য করা t і এ উপলব্ধ t =, আমরা চিনতে পারি ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x), এবং সমগ্রটি হল f (x) এবং g (x) ফাংশনগুলির বিস্তার। ) থেকে Fur'є লাভাস। এছাড়াও, a n = 2 l f (x) sin πnx l dx, b n = 2 l g (x) sin πnx dx। πnα l (36) 66

67 আমরা একটি সংখ্যা (35) পর্যন্ত কার্যকারিতার জন্য বিভিন্ন বিকল্প অফার করি, আমরা একটি রিভন্যানিয়া (21) এর সমাধান গ্রহণ করি, সেইসাথে বর্ডারলাইন মাইন্ডস (22) এবং কোব মাইন্ডস (23) এবং (24) ) টিম নিজেদের ছোট ক্রস স্ট্রিং একটি প্রতিশ্রুতি তৈরি করেছে. স্ট্রিং স্ট্রিং সংক্রান্ত সমস্যার পাওয়ার ফাংশন u n (x, t) এর একটি শারীরিক পরিবর্তন আছে, যেমন সূত্র (34) দ্বারা দেওয়া হয়েছে। পুনর্লিখনযোগ্য її এ viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n। l a n সূত্র (37) থেকে দেখা যায় যে স্ট্রিংয়ের সমস্ত বিন্দু এক এবং একই ফ্রিকোয়েন্সি ω n = πnα এবং ফেজ πnα δ n এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে চলে। স্ট্রিং і রাস্তা α n sin πnx এর l l abscissi x বিন্দু থেকে শুয়ে থাকা স্ট্রিংয়ের প্রশস্ততা। এই ধরনের সংখ্যার সাথে, স্ট্রিংয়ের সমস্ত বিন্দু অবিলম্বে সেই দিকে তাদের সর্বাধিক দৃশ্যমানতায় পৌঁছায় এবং এক ঘন্টা লাইনের অবস্থান অতিক্রম করে। এই kolyvannya স্থায়ী প্রশংসা বলা হয়. একটি সাথী n + 1 অ-ধ্বংসাত্মক বিন্দু জন্য দাঁড়িয়ে, কিভাবে rivnyannya sin πnx = ব্যবধানে শিকড় জিজ্ঞাসা [, l]। অনিয়ন্ত্রিত পয়েন্টগুলিকে দাঁড়িয়ে থাকা খভিলির ভুজ বলা হয়। নোডের মাঝখানে, পয়েন্টগুলি বৃদ্ধি পায়, যেখানে তারা সর্বাধিক পৌঁছায়; এই ধরনের পয়েন্টগুলিকে অ্যান্টিনোড বলা হয়। n = πnα, n = 1, 2, .... এবং ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে স্ট্রিংটির পাওয়ার ফ্রিকোয়েন্সি বলা হয়। সর্বনিম্ন l টোন, যা একটি স্ট্রিং হিসাবে দেখা যায়, 67 এ শুরু হয়

68 কম শক্তি ফ্রিকোয়েন্সি 1 = π T і যাকে স্ট্রিংয়ের মৌলিক স্বর বলা হয়। Інші টোন, যা l ρ ফ্রিকোয়েন্সি n, n = 2, 3, ... এর সাথে মিলে যায়, তাকে বলা হয় ওভারটোন বা হারমোনিক্স। স্ট্রিংগুলির প্রকারের নির্দিষ্টতার জন্য, প্রধান স্বরের ধরন (চিত্র 33), প্রথম ওভারটোন (চিত্র 34) এবং অন্যটি ওভারটোন (চিত্র 35)। ছোট। 33. স্ট্রিং এর প্রোফাইল, যা দেখতে প্রধান টোন Mal এর মত। 34. স্ট্রিংয়ের প্রোফাইল, যা প্রথম ওভারটোনের মতো দেখায়। 35. স্ট্রিংয়ের প্রোফাইল, যা দেখতে একটি ভিন্ন ওভারটোনের মতো। স্ট্রিংটি যাওয়ার সাথে সাথে এটি কোব মাইন্ড দিয়ে শুরু হয়, ফাংশন u (x, t) প্রদর্শিত হয়, যেমনটি সূত্র (35) থেকে দেখা যায় সুমির চোখ, কিছু সুর আছে. উপনিবেশ 68 এর জন্য এই জাতীয় পদ যথেষ্ট

69টি স্ট্রিং є স্ট্যান্ডিং হুকের সুপারপজিশন। একই সময়ে, স্ট্রিং এর ধ্বনির চরিত্র (স্বর, শব্দের শক্তি, কাঠ) সুরের প্রশস্ততার মধ্যে sp_vdnoshennya আকারে থাকে। শব্দের শক্তি, উচ্চতা এবং কাঠিন্য। শব্দের শক্তি শব্দের শক্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। চি পিরিয়ডের ফ্রিকোয়েন্সি দিয়ে শব্দের ধ্বনি শুরু হয়: ফ্রিকোয়েন্সি বেশি হলে শব্দ উচ্চতর হয়। শব্দের টিম্ব্র ওভারটোনে নিজেকে প্রকাশ করতে শুরু করে, হারমোনিক্সের পিছনে শক্তি বৃদ্ধি পায়, যাতে স্বরকে ধ্বনিত করার উপায়ে। ওভারটোনের প্রশস্ততা, দৃশ্যত, প্রধান স্বরের প্রশস্ততার চেয়ে কম, এবং ওভারটোনের পর্যায়গুলি বেশ তাৎপর্যপূর্ণ হতে পারে। আমাদের ভুহো ফাসি কলিভানের প্রতি সংবেদনশীল নয়। তুলনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, ডুমুরে দুটি বক্ররেখা। 36, জেড দ্বারা সন্দেহ. ক্লারিনেট (ক) এবং গ্র্যান্ড পিয়ানো (বি) থেকে পাকানো খুব মৌলিক স্বর দিয়ে শব্দটি রেকর্ড করুন। আপত্তিকর শব্দগুলি সাধারণ সাইনোসয়েডাল শব্দ নয়। উভয় প্রকার শব্দের মৌলিক কম্পাঙ্ক একই এবং স্বরও একই। মূল সুরে ওভারটোন প্রয়োগ করা হয় এই বিষয়টিতে সামান্য বক্ররেখা। শিশুর গান গাওয়া অর্থে, একই কাঠি দেখাও। ৬৯

হাইপারবোলিক টাইপের সমতুল্য। বাধাহীন এবং অ-সমাপ্ত স্ট্রিংয়ের কলাম। পশমের পদ্ধতি পশমের পদ্ধতি স্ট্যান্ডিং চভিলি 4 লেকচার 4.1. হাইপারবোলিক টাইপের সমতুল্য। সংগ্রহ অন্তহীন এবং তাই না.

মস্কো স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি সিভিল অ্যাভিয়েটসিন ভিএম লুবিমভ, Є.A. Zhukova, V.A. উখোভা, ইউ.এ. Shurinov M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

রাশিয়ান ফেডারেল রাজ্য বাজেট শিক্ষা মন্ত্রক কে.ই. সিওলকোভস্কির নামে নামকরণ করা হয়েছে MATI রাশিয়ান স্টেট টেকনোলজিক্যাল ইউনিভার্সিটি পেশাগত শিক্ষা প্রতিষ্ঠা

বিলোরাস প্রজাতন্ত্রের শিক্ষা মন্ত্রণালয় ইই "ভিটেবস্ক স্টেট টেকনোলজিক্যাল ইউনিভার্সিটি" বিষয়। "সারি" তাত্ত্বিক ও ফলিত গণিত বিভাগ। Assoc দ্বারা বিচ্ছেদ. Є.বি. দুনিনয়ু। প্রধান

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন ফেডারেল স্টেট এজেন্সি ফর দ্য এস্টাব্লিশমেন্ট অফ প্রফেশনাল এডুকেশন পিভডেনি ফেডারেল ইউনিভার্সিটি আর.এম. গ্যাভরিলোভা, জি.এস. কোস্টেটস্কা মেথডিকাল

ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেমের পিছনে Riadi Fur'є এর ব্যবহারিক নিয়োগের বিষয়

রেঞ্জের তত্ত্ব সিরিজের তত্ত্ব হল সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গুদাম গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং তাত্ত্বিক এবং সংখ্যাগত ব্যবহারিক প্রতিবেদন উভয়ই জানা। Razr_znyayut সংখ্যা এবং ফাংশন একটি সংখ্যা।

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 পর্যায়ক্রমিক ফাংশন বোঝা 4 ত্রিকোণমিতিক ক্ষেত্র 6 3 ফাংশনগুলির অর্থোগোনাল সিস্টেম 4 ত্রিকোণমিতিক সিরিজ Fur'є 3 5 ছেলেদের জন্য সারি Fur'є এবং জোড়াহীন ফাংশন 6 6 লেআউট

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ জিওডেসি অ্যান্ড কার্টোগ্রাফি (MІIGAIK)

লেকচার 4. হারমনি বিশ্লেষণ। Fur'є পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি সিরিজ। হারমনি বিশ্লেষণ

FUR'Є লেকচারের থিম V সারি 6 প্রকৃতি এবং প্রযুক্তিতে ঘটে যাওয়া Fur'є Bagato প্রক্রিয়াগুলির একটি সিরিজে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলি স্থাপন করা, এক ঘন্টার জন্য গানের প্রম্পটের মাধ্যমে পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে এই জাতীয় প্রক্রিয়াগুলি

রোজরাখুনকোভিখ জাভদানের আগে পদ্ধতিগত ভকাজিভকি ভিস্কো গণিতের কোর্সে "জভিচায়নি ডিফারেন্সি রিভন্ন্যা রেঞ্জ পোডভিনি ইন্টিগ্রলি" অংশ শ থিম রো

Fur'є এর 6 সারি 6 ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেম ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেমে Fur'є এর সিরিজ ফাংশন ϕ () এবং ψ (), মান এবং শীর্ষে একীকরণ [,], সামগ্রিকভাবে অর্থোগোনাল বলা হয়

মান অখণ্ড। অখণ্ড সুমি এবং একবচন অখণ্ড নেহাইকে ফাংশন y = f () দেওয়া হয়, ফর্ম [, b], de-এ বরাদ্দ করা হয়< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 ধাপের সারি 5 ধাপের সারি: মান, পার্থক্যের ক্ষেত্রফল ফর্মের কার্যকরী সারি (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , a, k deyaki সংখ্যা, রাজ্য সিরিজ নম্বর কল

বিলোরুস্কি দেরজাভনি বিশ্ববিদ্যালয়ের ফলিত গণিত এবং তথ্যবিদ্যা অনুষদ

তার উপর deyaki রাখুন. বাট আমরা অবিরাম জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল জানি। উদ্যোগ শব্দের সূত্র হল a + aq + ... + aq n + ... (a)। a n = aq n. সুমির অসংখ্য অংশ। যদি q =, তাহলে

জাভদান্যা 1.1। নির্দিষ্ট অঞ্চল থেকে জানার জন্য একই শূন্য থেকে সিদ্ধান্ত হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিদ্ধান্ত y = y (x), যা আঞ্চলিক মন (স্টুরম-লিভিলিয়ার ম্যানেজার) এর নিয়োগের সাথে সন্তুষ্ট।

গাণিতিক বিশ্লেষণের বিষয়: গান গাওয়া ইন্টিগ্রাল নেভলাসনি ইন্টিগ্রালস লেকচারার পাখোমোভা Є.জি. 2017 পি. রোজদিল ২. সেই যোগ সম্পূরকের গাওয়া অবিচ্ছেদ্য 1. সেই যোগ শক্তির অবিচ্ছেদ্য গাওয়া 1. মাথা,

লেকচার 8 4 Head of the Sturm-Livilya স্ট্রিংগুলির একটি ছোট ট্রান্সভার্স স্ট্রিং বর্ণনা করার সময়, একটি ভিন্ন অর্ডারের প্রাইভেট পুরানোদের মধ্যে ডিফারেনশিয়াল সমতার জন্য কোব-এজ সমস্যা বোঝা সম্ভব।

পাঠ্যটিতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে: চিহ্নটি ইয়াক "ন্যায়সঙ্গতভাবে" এবং অর্থ হল, রিভনিয়ানদের কাছে ডান হাতের ব্যক্তিটি চিহ্ন থেকে এবং মন্দটি চিহ্নটি বেজলিচ উত্তর থেকে, IR চিহ্নটির অর্থ বেজলিচ স্পিচ নম্বর, সাইন ইন

82 4. রোজডিল 4. কার্যকরী এবং রাষ্ট্রীয় সারি 4.2। ব্যস্ত 3 4.2। ব্যস্ত 3 4.2 .. টেলর সিরিজ VALUE 4.2-এ ফাংশনটি রাখা

মিনোব্রনাউকি রোজিন ফেদেরালনা দেরজাভনা বাজেটনা ওসভিটালনায়া ইন্সটানোভা ভিস্কোচ প্রফেশনো এস্টিমেট "সামারস্কি দেরজাভনি টেকনিক্যাল

ফলিত গণিত বিভাগের সাথে রেলপথ পরিবহনের জন্য ফেডারেল এজেন্সি ইউরাল স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ নোবলস

লেকচার 3 টেলর এবং ম্যাকলরিন সারি স্টেটেশন অফ স্টেট সারির স্থবিরতা টেলর এবং ম্যাকলরিন সারিগুলির স্টেট সারিগুলিতে ফাংশনের ব্যবস্থা

A Lavrenchenko-এর সাথে wwwwrckoru লেকচার রিভিশন অফ ফার'є বোঝার অখণ্ড পুনর্গঠন পদ্ধতি গাণিতিক পদার্থবিদ্যার একটি কঠোর পরিশ্রমী পদ্ধতি є জোরপূর্বক পুনর্বিবেচনার মাধ্যমে।

ফাংশনের ইন্টিগ্রেশন (রিমানের জন্য) একই ইন্টিগ্রেল সমস্যার সমাধান প্রয়োগ করুন 1. ফাংশন f (x) = C এ ইন্টিগ্রেট করা হয়েছে, তাই বিন্দুর যেকোনো ধরনের পরিবর্তন বা কম্পনের ক্ষেত্রে ξ i integral

১ম বর্ষের কোর্স। রিমন ফাংশনটি পরিচালনা করুন, যা 0, m m R (), যা m, m 0 এবং অন্যান্য অ-সংক্ষিপ্ত, 0, যা অযৌক্তিক, razrivna ত্বকের যৌক্তিক বিন্দুতে এবং ত্বকের জ্বালায় বাধা ছাড়াই। সিদ্ধান্ত.

1 2 Zm_st 1 সারি Fur'є 5 1.1 ত্রিকোণমিতিক সিরিজ Fur'є ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 জটিল আকারে পশম সিরিজ 11 1.4 f (x) = ck? ......................

РІВНЯННЯ গাণিতিক পদার্থবিদ্যা 1. ব্যক্তিগত শিশুদের সাথে পার্থক্যমূলক সম্পর্ক।

বক্তৃতা 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya স্ট্রিং 2. Rivnyannya পরে কলিভান শিয়ারিং 3. Earbuds, rims 4. সমস্যার বিবৃতি 1. বিজয়ী rivnyannya স্ট্রিং

1. ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক্স 1 1. ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক্স পাঠ 6 কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে পরিবর্তনের বিকাশ 1.1। (ফ্যাক্টরি সেটিং 1.49) এলাকা z = শক্তি σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), de σ, α, β post_yni থেকে চার্জ করা হয়েছে।

মডিউল বিষয় কার্যকরী সমাপ্তি এবং সমান গুরুত্ব এবং সিরিজের ক্ষমতা

প্যারাবোলিক টাইপের সমতুল্য। একই অঞ্চল পরিবর্তন করার পদ্ধতি ফ্যাক্টরির একটি অঞ্চল ডিভাইসের কার্যকারিতা একই ধরণের তাপ সঞ্চালনের জন্য একটি নয় 7 লেকচার 7.1 প্যারাবোলিক ধরণের জন্য সমতুল্য। পডিল পদ্ধতি

সংখ্যা সিরিজের লেকচার মানের চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ মানের চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ মানের চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ মানের চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ মানের চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ

35 7 পিরিয়ড T সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য ত্রিকোণমিতিক সিরিজ Fur'є সারি Fur'є।

খাদ্য গণিত রেঞ্জের ধাতুবিদ্যা বিভাগের অনুষদ পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী Novokuznetsk 5 শিক্ষার জন্য ফেডারেল এজেন্সি

গণিত এবং তথ্যবিদ্যা বিভাগ সমস্ত গণিতের উপাদান একটি প্রাথমিক-পদ্ধতিগত জটিল মাধ্যমিক বৃত্তিমূলক শিক্ষার শিক্ষার্থীদের জন্য, যারা দূরবর্তী প্রযুক্তি থেকে শিখতে শুরু করে।

9. প্রথমে অ-মূল্য অবিচ্ছেদ্য 9 .. ফাংশন f() ব্যবধান I R-এ সেট করা যাক। ব্যবধান I-এর জন্য F () ফাংশনটিকে প্রাথমিক ফাংশন f () বলা হয়, যে কোনো I-এর জন্য F () = f () হিসাবে এটি প্রাথমিক

ভিন্ন ক্রিয়াকলাপ এক শীতকালীন সহজ, জ্যামিতিক এবং দৈহিক বোধ জাভদান্যার বোঝা, A x বিন্দুতে y f (x) লাইনে Stosovo S-এর আদিম পদবী বোঝার আগে তৈরি করা; চ (

হাইপারবোলিক টাইপের সমতুল্য। বাধাহীন এবং অ-সমাপ্ত স্ট্রিংয়ের কলাম। D'Alembert এর পদ্ধতি Unscented স্ট্রিং। ডি'আলেমবার্টের সূত্র নন-লিনিয়ার স্ট্রিং 3 লেকচার 3.1. হাইপারবোলিক টাইপের সমতুল্য।

Vstup. মৌলিক বোঝাপড়া .... 4 1. Volterri Integral Rivne ... 5 গৃহস্থালী বিকল্প .... 8 2. Volterri Integral Rivnyannya রেজোলিউশন। 10টি পারিবারিক বিকল্প ... 11

রেঞ্জ। সংখ্যার সারি। নেহাই-এর প্রধান মান দেওয়া হয় সীমাহীন সংখ্যক ভিরাজ সংখ্যা (সীমাহীন যোগফল) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = to একটি সংখ্যা সিরিজ বলা হবে। সংখ্যা

8. ধাপ সারি 8 .. cn (z) n, (8.) n = de cn ফর্মের একটি কার্যকরী সারি হল একটি সংখ্যাগত ক্রম, R একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, এবং z R কে প্যারামিটার সহ একটি রাষ্ট্রীয় সারি বলা হয় c n . Vicone বিজয়ীদের প্রতিস্থাপন

~ ~ গুরুত্বহীন এবং গুরুত্বহীন অবিচ্ছেদ্য আদিম এবং অনির্ধারিত অবিচ্ছেদ্য বোঝা। উপাধি: ফাংশন F কে ফাংশন f, সেইসাথে সংযুক্ত করার ফাংশন সম্পর্কিত প্রথম-সারি বলা হয়

3724 CRATNI І ক্রিভোলিনিনি ইন্টিগ্রালস 1 রোবচ প্রোগ্রাম অফ রসডিলিভ "ক্র্যাটনির সারি І ক্রিভোলিনিনি ইন্টিগ্রালস" 11 নম্বর সিরিজ সংখ্যা সিরিজ বুঝুন সংখ্যার শক্তি

খাওয়া. রুডিয়াম ম্যাথমেটিচনি বিশ্লেষণ। নম্বর এবং কার্যকরী সারি নভোসিবিরস্ক 200 2 মিনোব্রনাউকি রোজিন গউ ভিপিও "নভোসিবিরস্কি ডারজাভনি পেডাগোজিচনি বিশ্ববিদ্যালয়" ও.এম. রুডি ম্যাথমেটিচনি অ্যানালিজ।

লেকচার N 7. টেলরের সারি এবং টেলরের সারি ... টেলরের সারি ... টেলরের সারি ...

স্কয়ার রিভনিয়ান জমস্ট স্কয়ার রিভনিয়ান ... 4. যে শেষ বর্গ রিভনিয়ান ... 4 ..

প্যারামিটার মন্তব্যের সাথে রসডিল জাভদান্না পরামিতি সহ ব্যবস্থাপনা ঐতিহ্যগতভাবে EDI এর কাঠামোতে ভাঁজযোগ্য সুবিধা, যাতে আপনি শিশুদের সমাধানের সমস্ত পদ্ধতি এবং পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন।

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলেশন গাণিতিক বিশ্লেষণে ইন্টারসেকশনাল ফাংশন চালু করা হয়েছে। সীমারেখায় অ-মূল্যবোধের রোজকৃত। ফাংশন অনুরূপ. পার্থক্যের নিয়ম। Zasosuvannya obhіdnoї

ফাংশনগুলির অর্থোগোনাল সিস্টেমগুলির একটি সিরিজ বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি প্রদত্ত শ্রেণির ডি - ফাংশনের সমতা - কর্মক্ষমতা R কিন্তু C এর সহজ অর্থ হল একটি ভেক্টর ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ

1. গাওয়া ইন্টিগ্রাল 1.1। f একটি ফাংশন দ্বারা বেষ্টিত করা যাক, ফর্ম [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] এই বিন্দুগুলির সেটটিকে কল করুন τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , uh = x< x 1 < < x n 1

হেড সিঁড়ি সারি a a a রো ভিউ a a a a a () স্ট্যাটিকাল, de, a, পোস্ট-অপারেটিভ বলা হয়, এক সারিতে কার্যকারী বলা হয়।

FUR এর একটি সারিতে লেয়িং আউট' বলছি এবং unpaired ফাংশন.

FUR'є পেয়ার করা এবং আনপেয়ার করা ফাংশনগুলির একটি সারির বিন্যাস ফাংশন f (x), ফর্ম \ -1, de I> 0-এ বরাদ্দ করা, পেয়ার করা বলা হয়, কারণ পেয়ার করা ফাংশনগুলির গ্রাফ প্রতিসম এবং অর্ডিনেটের অক্ষ। ফাংশন f (x), ফর্ম J-এ বরাদ্দ করা হয়েছে, de I> 0, কে আনপেয়ার করা বলা হয়, কারণ আনপেয়ার করা ফাংশনগুলির গ্রাফ স্থানাঙ্কের কোবের সাথে প্রতিসম। বাট a) ফাংশনগুলি є জোড়া বিকল্পে | -jt, jt), এছাড়াও সকল x e এর জন্য b) ফাংশনগুলি জোড়াবিহীন, অর্থাৎ, একটি সারিতে তালিকাভুক্ত করা Fur'є guys এবং unpaired ফাংশনগুলি; Fur'є একটি দীর্ঘ সময়ের সাথে ফাংশনের জন্য জটিল স্বরলিপি অনেকগুলি অর্থোগোনাল সিস্টেমের ফাংশনের জন্য Fur'є এর সংখ্যা রিয়াদি Fur'є একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমের জন্য একটি সংখ্যক Fur'є একটি সিস্টেমের একটি ফাংশনের ন্যূনতম শক্তি একটি সিস্টেমের শিথিলতা। (x) ছেলেদের কাছে, nі থেকে জোড়াবিহীন ফাংশন, oskіlki Nekhai ফাংশন f (x), থিওরেমস 1 এর মনের মতো, є পেয়ারড অন লাইক x |। তোদি সব তোবতো। / (x) cos nx একটি পেয়ার করা ফাংশন, এবং f (x) sinx হল unpaired. তার জন্য, পেয়ার ফাংশনের ফাংশন / (f) ওটজে ফাংশনটি সম্পূর্ণ করে, মেশিনের পেয়ার ফাংশনের সংখ্যা হল 00 ইয়াক্ষো f (x) আউটপুট [-tg, ir | এর জন্য একটি আনপেয়ার ফাংশন, তারপর ফাংশন একই ফাংশনের সাথে পেয়ার করা হয় না, এবং f(x) sin nx যোগ করে একটি পেয়ার ফাংশন। এই ধরনের র‌্যাঙ্কে, জোড়াবিহীন ফাংশনগুলির Fur'є সিরিজ পরিশিষ্ট 1 দেখা যেতে পারে। Fur'є সিরিজের মতো -x ^ x ^ n ফাংশন 4 পূরণ করা তাই একটি জোড়ার ফাংশন হিসাবে এবং যদি আমরা এতে সন্তুষ্ট হই উপপাদ্য 1, তারপর আমরা kofіtsієnti Fur'є জানি। অংশে Mamo Dvіchі ইন্টিগ্রেশন, otrimamo, যাতে দর্শকের এই ফাংশনের Fur'є সংখ্যাটি এরকম হয়: যাইহোক, খোলা দৃশ্যে, মানটি যেকোন x € এর জন্য ন্যায্য, তাই পয়েন্ট x = ± হিসাবে ir সেখানে f (x) = x2 এর একটি সংখ্যা রয়েছে, খণ্ডগুলি f (x) = x ফাংশনের গ্রাফ এবং প্রদত্ত সারির যোগফল চিত্রে দেওয়া হয়েছে। সম্মান. Fur'є-এর পুরো সিরিজটি আপনাকে একটি সংখ্যাসূচক সিরিজের যোগফল জানতে দেয়, যা একত্রিত হয় এবং নিজেই x = 0 এ নিষ্ক্রিয় হয়ে যায়, কিন্তু অ্যাপ্লিকেশন 2। Fur'є সিরিজের ব্যবধানে প্রসারিত হয় ফাংশন / (x) = x। ফাংশন / (x) উপপাদ্য 1-এর কাছে সন্তোষজনক, এবং এটি পশমের একটি সারিতে প্রসারিত করাও সম্ভব, যেটি ফাংশনের জোড়াবিহীন ফাংশনের মাধ্যমে একসাথে একত্রিত হয়, আমরা জানি যে ফাংশনের ফাংশনটির ফাংশন প্রদত্ত, Fur-এর সারি সমস্ত x পয়েন্ট x - ± tg যোগফলের সাথে Fur'є এর একটি সংখ্যা [- *, i-] পর্যায়ক্রমিক উন্নত ফাংশনের একটি সংখ্যার যোগফল / (x) = x; її গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 6. § 6. ফাংশনের বিন্যাস, ড্রাইভকে দেওয়া, সাইনের পিছনে বা কোসাইনগুলির দ্বারা সারিবদ্ধভাবে। প্রসবের জন্য কেন্দ্রীয় ফাংশনের তাৎপর্য 0 | এটি একটি ভিন্ন পদের হতে পারে. উদাহরণস্বরূপ, এটি ব্যবহার করা সম্ভব ফাংশন / যানবাহনে] তাই, schob /। আমার কাছে অনেক বিপদকু আছে যে) "একজন তরুণ পদমর্যাদার দ্বারা vidrizok 0] পদোন্নতি হয়েছে"; її একটি সংখ্যা Fur'є প্রতিশোধ lishe kosinusi. যেহেতু ফাংশনটি [-l-, mc] ফর্মের জন্য গুরুত্বপূর্ণ তাই, যদি ফাংশনটি আনপেয়ার করা হয়, যদি মনে হয় যে / "ফর্মটি [- *, 0] তে উন্নীত করা হয়েছে অসংযোজিত র্যাঙ্ক দ্বারা"; Fur'є-এর সমস্ত সারি শুধুমাত্র সাইনাসের সাথে বিভ্রান্ত হবে। এছাড়াও, ত্বক একটি lumpy-একঘেয়ে ফাংশন / (f) দ্বারা বেষ্টিত হয়, এটি একটি বিকল্পের জন্য নির্ধারিত হয়, এটি একটি সারিতে Fur'є і প্রসারিত করা সম্ভব সাইন বরাবর, і বরাবর কোসাইন। অ্যাপ্লিকেশন 1. গোলাপের সারিতে কাজ করে 'є: ক) কোসাইন দ্বারা; খ) সাইনাসের পিছনে। এম ফাংশন দেওয়া হয় vidrizoks মধ্যে জোড়া এবং unpaired পদোন্নতির ক্ষেত্রে দেওয়া হয় | -x, 0) যে shmatkovo-একঘেয়ে হবে. ক) ক্রমাগত / (z) সংস্করণে 0) ক) ক্রমাগত j \ x) সংস্করণে (-tg, 0 | তরুণ পদমর্যাদা (চিত্র 7), todi її সারি Fur'є i matime viglyad П = 1 de kofіtsієnti Fur ' є, b) [-x, 0] জোড়াবিহীন আকারে / (z) এগিয়ে যান (চিত্র 8)। Todi її একটি সংখ্যা Fur'є §7। একটি নির্দিষ্ট সময়ের নেহাই ফাংশন ফিক্স সহ একটি ফাংশনের জন্য Fur'є এর একটি সিরিজ) 21.1 ^ 0 এর সময়কাল সহ একটি সাময়িকী। যে ফাংশন F(t) = / ^ tj হবে পিরিয়ড থেকে আর্গুমেন্ট t এর একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন এবং এটিকে Fur'є এর সারি পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। , ক্ষমতায় থাকা এবং একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির জন্য 21. বৃদ্ধি, তার শক্তি অর্জন করেছে এবং Fur'є এর একটি সারিতে ফাংশনগুলির বিতরণ চিহ্নিত করার জন্য যথেষ্ট। প্রয়োগ 1. Fur'є-এর একটি সিরিজ প্রসারিত করা হল একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন যার সময়কাল 21, ফর্মুলা দ্বারা [- /, /] ফর্মে দেওয়া হয়েছে (চিত্র 9)। সুতরাং যেমন একটি জোড়ার ফাংশন দেওয়া হয়, তারপর অনেকগুলি Fur'є maє viglyad দেওয়া হয় Fur'є এর ফাংশনের মানগুলি জানে, এটি স্পষ্টভাবে স্বীকৃত যে একটি গুরুত্বপূর্ণ শক্তি রয়েছে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। উপপাদ্য 5. যদি পিরিয়ড T এর ফাংশন এবং একীভূত হয়, তাহলে এটি একটি সংখ্যা এবং m এর সমতা হোক। অর্থাৎ, ইন্টিগ্রেশনটি রাস্তার সময়কাল T-এর মধ্যে পার্থক্যের উপর ভিত্তি করে নয়, তবে সংখ্যাসূচক অক্ষের উপর ড্রাইভের অবস্থান থেকে একই অর্থ সঠিক। যথেষ্ট ন্যায্য, Robimo অন্য Integral, vvazhayuchi থেকে পরিবর্তন প্রতিস্থাপন করবে। Tse daє এবং і এছাড়াও, জ্যামিতিকভাবে শক্তির অর্থ হল চিত্রে ছায়াযুক্ত এলাকাগুলি। 10টি অঞ্চল একে অপরের সমান। Zokrem, পিরিয়ডের সাথে f (x) ফাংশনের জন্য, এটি গ্রহণযোগ্য হয় যখন FUR'є guys এবং unpaired functions এর সারিতে সাইনের পরে বা cosines দ্বারা সেট করা ফাংশনের সারিতে যোগ করা হয় শেষ পিরিয়ডের সাথে সারির ফাংশন Fur'є ফাংশন অর্থোগোনাল সিস্টেম অনুসারে Fur'є সিরিজের কার্যক্ষমতার ন্যূনতম শক্তি বেসেল ইকুয়ালিটি অফ পার্সেভাল ক্লোজড সিস্টেমের ঘূর্ণন এবং সিস্টেমের বন্ধত্ব অ্যাপ্লিকেশন 2। ফাংশন x є পিরিয়ড থেকে পর্যায়ক্রমিক এই ফাংশনটির জোড়াহীন প্রকৃতির কারণে, অখণ্ড সংখ্যা গণনা না করে, এটি ব্যবহার করা সম্ভব, তবে যদি কাউকে ক্ষমতা দেওয়া হয় তবে স্প্রিং, যা পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফাংশন f (x) সংখ্যা (অর্থাৎ, ফাংশনটি cos - এবং sin হতে পারে period 2 /)। আবেদন 3. Fur'є সংখ্যা খোলার সময় 2x (চিত্র 11) এর একটি ফাংশন দ্বারা ব্যবধানে দেওয়া হয়। 4 আমরা ফাংশনের কার্যকারিতা জানি। Otzhe, Fur'є এর একটি সিরিজ এভাবে দেখা যাবে: x = jt বিন্দুতে (প্রথম গণের কাটার বিন্দু) maєmo §8। বেশ কয়েকটি Fur'є-এর জন্য বিস্তৃত স্বরলিপি সম্পূর্ণ অনুচ্ছেদে জটিল বিশ্লেষণের ভিকোরিস্টোভ্যুয়িত্স্যা ডেয়াকি উপাদান (ডিভি. রাজডিল XXX, ডি অল ডিআই, যা এখানে জটিল ভাইরাসেস, সুভোরো রিমড সহ বাহিত হয়)। f(x) ফাংশনটি Fur'є এর একটি সারিতে যথেষ্ট জায়গা নিয়ে সন্তুষ্ট হতে দিন। উদাহরণস্বরূপ, জটিল আকারে (3) অয়লারের ভিকোরিস্টের সূত্রের ধরন দেখানো সম্ভব। এটা integrarals মাধ্যমে virazi kofіtsієntіv পরিচিত হয়। একইভাবে, с „, с_п і с এর অবশিষ্ট সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:। ... বৈশিষ্ট্যগুলিকে বলা হয় জটিল ফাংশন Fur'є ফাংশন পিরিয়ড থেকে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির জন্য), একটি জটিল ফর্ম ব্যবহার করা হয় Fur'є একটি সংখ্যায় মানুষ w এর সূত্র অনুসারে গণনা করা de kofitsinti Cn দেখতে সক্ষম হবে, পাশাপাশি অ্যাপ্লিকেশনের মধ্যে। সময়কালের Fur'є ফাংশনের একটি জটিল সিরিজে স্থান। ফাংশনটি Fur'є-এর একটি সারিতে বিতরণের পর্যাপ্ত মনকে দেওয়া হয়। Nekhai জানি-কীভাবে জটিল কার্যকারিতা Fur'є কেন্দ্রীয় ফাংশন। বলছি n, বা ছোট জন্য unpaired জন্য Mahmo. Predstavlyayuchi অর্থ), স্বীকৃত অবশিষ্টাংশ মহান, কিন্তু একটি সংখ্যা এভাবে লেখা যেতে পারে: ফাংশন 9.1 এর অর্থোগোনাল সিস্টেমের পিছনে সারি Fur'є। অর্থোগোনাল সিস্টেম অফ ফাংশন অর্থহীনভাবে সমস্ত (ক্রিয়া) ফাংশনের মাধ্যমে, যা অর্থপূর্ণ এবং একটি বর্গক্ষেত্র [a, 6]-এ একীভূত হয়, যাতে কিছু সাধারণ অবিচ্ছেদ্য জন্য। Zokrema, সমস্ত ফাংশন f (x), ফর্মে বাধা ছাড়াই [a, 6], to be 6], এবং Lebesgue's integrals এর অর্থ রিমনের integrals এর অর্থের অন্তর্ভুক্ত। ভিজনাচেনিয়া। ফাংশন সিস্টেম, ডি, আকৃতির অর্থোগোনাল বলা হয় [a, b \, Umov (1) স্থানান্তর, zokrem এর মতো, কিন্তু ফাংশনগুলি একই শূন্যের জন্য উপযুক্ত নয়। সেনসেই লেবেসগুয়ের সাথে কথা বলার জন্য অবিচ্ছেদ্য। যদি মানটিকে কোনো মেশিনের জন্য অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফাংশনের আদর্শ বলা হয়, তবে ফাংশনের সিস্টেমটিকে অর্থনর্মাল বলা হয়। যদি সিস্টেম (y> „(g)) অরথোগোনাল হয়, তবে সিস্টেম অ্যাপ্লিকেশন 1. ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমটি দিক থেকে অর্থোগোনাল। ফাংশনের সিস্টেম є ফাংশনের অর্থনর্মাল সিস্টেম, পরিশিষ্ট 2. কোসাইন-সিস্টেম і সাইন-সিস্টেম হল অর্থনর্মাল। প্রবর্তন করা হয়েছে, মানগুলি (0, f | এর দিক থেকে অর্থোগোনাল, কিন্তু অর্থোনোর্মাল নয় (I F-2 এ)। তাই їх আদর্শ হিসাবে COS পরিশিষ্ট 3. ব্যাগিং, যখন এটি ravnistyu শুরু হয়, তাকে বলা যেতে পারে ব্যাগাটোল ( বহুপদী) কিংবদন্তী। পথে ফাংশনগুলির একটি অর্থনর্মাল সিস্টেম স্থাপনের জন্য ফাংশন আনার জন্য। মনে হচ্ছে, উদাহরণস্বরূপ, Legendre বহুপদীর অর্থগোনালিটি। ক্রম m - I পর্যন্ত, এটি শেষে শূন্যে রূপান্তরিত হয় ফর্ম [-1,1)। ভিজনাচেনিয়া। ফাংশনের সিস্টেমকে (pn (x)) ফাংশন p (x) সহ ব্যবধানে (a, b) অর্থোগোনাল বলা হয়, যেখানে: 1) সমস্ত n = 1,2, ... এটি সর্বত্র ইতিবাচকভাবে মনোনীত হয় ব্যবধানে (a, b) বিন্দুর শেষ সংখ্যার সম্ভাব্য ভিগনেটের পিছনে, de p (x) শূন্যে পরিণত করা যেতে পারে। সূত্রে পার্থক্য তৈরি করে (3), এটি জানা যায়। এটি দেখানো যেতে পারে যে চেবিশেভ-এরমিটের বাঁক ব্যবধানে অর্থোগোনাল। প্রয়োগ 4. বেসেল ফাংশনের সিস্টেম (jL (পিক্স) ^ বেসেল ফাংশনের শূন্যের ব্যবধানে অর্থোগোনাল। ব্যবধান (a, 6) এবং সারি (cj = const) সম্পূর্ণ ব্যবধানে f (x) ফাংশনে একত্রিত হয়: সিস্টেমটি otrimaєmo, scho tsya operatsіya maє, স্পষ্টতই, এটি একটি আনুষ্ঠানিক প্রকৃতি। টিম কম নয়, কিছু লোকের জন্য, উদাহরণস্বরূপ, যদি সিরিজ (4) সমানভাবে একত্রিত হয়, তবে সমস্ত ফাংশন নিরবচ্ছিন্ন এবং ব্যবধান (a, 6) নিস্তেজ, এবং অপারেশনটি আইনি৷ আমাদের জন্য, খুব আনুষ্ঠানিক ব্যাখ্যা আমাদের জন্য একবারে আরও গুরুত্বপূর্ণ। Otzhe, ফাংশন সেট করা যাক. * সহ সংখ্যাগুলি সূত্র (5) এর জন্য বৈধ এবং আমরা লিখতে পারি সিরিজ, যা ডান অংশে দাঁড়িয়ে আছে, তাকে Fur'є ফাংশনের সিরিজ বলা হবে f (x) এবং সিস্টেম (^ n (i) ) - Cn সংখ্যাগুলিকে পুরো সিস্টেমের জন্য Fur'є ফাংশন f (x ) এর ফাংশন বলা হয়। ~ সাইন ইন সূত্র (6) এর মানে হল যে সংখ্যাগুলি Cn ফাংশন / (g) এর সাথে সূত্র (5) দ্বারা বাঁধা হয়েছে (যদি এটি স্থানান্তরিত না হয়, তবে ডান পাশের সারিটি একত্রিত হয়, তবে ফাংশনে আরও একত্রিত হয় (এক্স)). সেই জন্য, খাবার খাওয়া স্বাভাবিক: কী ধরনের শক্তি আছে? কোন মান f (x) ফাংশনটিকে "প্রতিনিধিত্ব করে"? 9.3। গড় মান মান. শেষটি, উপাদানে একত্রিত হয়] মাঝখানে, বিশালতা উপপাদ্য 6-এর আদর্শ হিসাবে। শেষ) সমান দূরত্বে একত্রিত হয়, এটি মাঝখানে একত্রিত হয় না। M শেষ ()কে সরাসরি [a, b] ফাংশনে / (x) দিকে যেতে দেবেন না। Tse এর মানে হল যে ত্বকের জন্য মোটেও মহান মামো ওটজে পৌঁছানোর জন্য, আমাদের প্রাণশক্তির শব্দগুলি প্রবল। zvorotne দৃঢ়তা ভুল: শেষ () মাঝখানে একত্রিত হতে পারে / (x), কিন্তু ঠিক একই রকম নয়। বাট শেষ জিনিসটি দেখা সহজ। ব্যাক আপ করা সহজ, কিন্তু আলে tsya পিছনে কাজ করে না: এটি, উদাহরণস্বরূপ, এটি, উদাহরণস্বরূপ, আমি দুর্দান্ত হতে যাচ্ছি না, তবে বেশিরভাগ অংশে, আমি চারটি ছেলে এবং অতুলনীয় ফাংশনগুলির একটি সারি শুরু করছি৷ প্রাক-পিরিয়ড সহ ফাংশনের জন্য কোসাইন সারি Fur'є পিছনে ফাংশনের বাইরের অর্থোগোনাল সিস্টেমগুলির জন্য Fur'є Riadi Fur'є-এর একটি সিরিজের জন্য জটিল স্বরলিপি একটি অর্থোগোনাল সিস্টেম ফাংশনের ন্যূনতম শক্তি ফিউরি-স্টিচড সিস্টেম লুজ সিস্টেম অর্থনরমালাইজড সিস্টেম রৈখিক সংমিশ্রণ ডি n ^ 1 - পুরো সংখ্যা স্থির করে, এবং আমরা শেষগুলির মান জানি, যার জন্য অবিচ্ছেদ্য সর্বনিম্ন মান। লিখিত প্রতিবেদনটি টার্ম-বাই-টার্ম আকর্ষণীয়, সিস্টেমের অর্থ-স্বাভাবিকতার কারণে, ভারসাম্যের ডান অংশে প্রথম দুটি সমাপ্তি সনাক্ত করা সম্ভব (7) মিথ্যা বলবেন না এবং তৃতীয়টি হতে পারে না। পাওয়া গেছে এতে, integral (*) ak = ck-এ ন্যূনতম মান যোগ করে, অখণ্ডকে ফাংশনের গড় চতুর্ঘাতিক অনুমান বলা হয় / (x) একটি রৈখিক সমন্বয় Tn (x)। এই ধরনের র‌্যাঙ্কে, ফাংশনের গড় বর্গক্ষেত্রের আনুমানিক/গ্রহণ হল সর্বনিম্ন মান, যদি। যদি Tn (x) є 71- সিস্টেমের পিছনে ফাংশন / (x) সংখ্যার যোগফলের একটি অংশ (. ভ্যাজায়ুচি ak = ck, s (7) আমরা সমতা (9) গ্রহণ করতে পারি তবে একই বেসেল বলা হয়। , তারপরে, বেসেলের জড়তা ওস্কিলকার কারণে, আমি এখানে প্রায়ই আছি, তাহলে বেসেলের অসামঞ্জস্যতা শক্তিশালী আকারে সম্ভব, অর্থাৎ যেকোন ফাংশন / ফাংশনের বেশ কয়েকটি বর্গক্ষেত্রের জন্য। সুতরাং, যেহেতু সিস্টেমটি [-x, tg] এর ভিত্তিতে অর্থনর্মালাইজ করা হয়েছে, তাহলে ত্রিকোণমিতিক সিরিজ Fur'є এর প্রাথমিক স্বরলিপিতে ক্রসবারে অসামঞ্জস্যতা (10) যদি f2 (x) একীভূত হয়, তবে প্রয়োজনীয় মনের মাধ্যমে স্নায়ুর বাম অংশে অনিবার্যতার একটি সংখ্যা (11) আমরা তা গ্রহণ করব। পার্সেভালের সমতা কিছু সিস্টেমের জন্য (^„(x)), সূত্রে অশালীনতার চিহ্ন (10) প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে (সমস্ত ফাংশনের জন্য / (x) 6 বছরের জন্য) সমতার চিহ্ন হিসাবে। ওট্রিম্যানের সমতাকে পার্সেভাল-স্টেক্লভের সমতা (মন) বলা হয়। বেসেলের পরিচয় (9) আমাদেরকে umov (12) সমতুল্য আকারে Tim নিজে নিজে লিখতে দেয়, মনের নামের অর্থ হল সুমি Sn (x) এর অংশগুলি ফাংশন / (x) এর সাথে একত্রিত হওয়ার জন্য কম। ফাংশন / (x) মাঝখানে, যাতে। আদর্শের বাইরে 6]। ভিজনাচেনিয়া। সিস্টেমটি অর্থনর্মাল (যাকে b2 [ay b] তে আরও বলা হয়, যেন একটি ফাংশন একটি মধ্য-রেখার সংমিশ্রণে যথাসম্ভব নির্ভুল হতে পারে, প্রচুর সংখ্যক জমা সহ, যাতে , B \i এর জন্য একটি ফাংশন হতে পারে any e> 0 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা আছে nq і numbers a \, a2y ... পুরো সিস্টেমের জন্য, মাঝখানে f (x) এ যান, যাতে আদর্শের জন্য আপনি দেখাতে পারেন যে ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমটি স্পারস, তারা vividly দৃঢ় হয়. উপপাদ্য 8. যদি ত্রিকোণমিতিক পশম সিরিজের ফাংশন গড় এটিতে একত্রিত হয়। 9.5। বন্ধ সিস্টেম. Visnachennya সিস্টেমের সম্ভাব্য এবং বন্ধতা। ফাংশনের সিস্টেম \ অর্থনর্মাল, যাকে বন্ধ বলা হয়, যেমন Li \ a, b) এটি শূন্য ফাংশন থেকে স্বাভাবিক নয়, সমস্ত ফাংশনে অর্থোগোনাল। ডানদিকে 1. ব্যবধান (-ya-, z) ফাংশনে Fur'є-এর সারি রাখুন 2. ব্যবধান (-tg, tg) ফাংশনে Fur'є-এর সারি রাখুন 3. Fur'є-এর সারিটি রাখুন ব্যবধান (-tg, tg) ফাংশন 4. ফাংশনের ব্যবধানে (-jt, tg) Fur'є সিরিজ রাখুন 5. ফাংশনের সাথে ব্যবধানে (-tg, tg) Fur'n সিরিজ রাখুন (x) = x + x। 6. ব্যবধানে Fur'є সারি পর্যন্ত রাখুন (-jt, tg) ফাংশন n 7. ব্যবধানে Fur'є সারি পর্যন্ত রাখুন (-tg, z) ফাংশন / (x) = sin2 x। 8. ব্যবধানে Fur'є সারি পর্যন্ত রাখুন (-tg, jt) ফাংশন f (x) = y 9. ব্যবধানে Fur'є সারি পর্যন্ত রাখুন (-tt, -k) ফাংশন / (x ) = | পাপ x |। 10. ব্যবধান (-ya-, mr) ফাংশন / (x) = § এ Fur'є-এর একটি সিরিজ রাখুন। 11. ব্যবধানে (-tg, tg) ফাংশনটি f (x) = sin § Fur'є এর সারি পর্যন্ত রাখুন। 12. ব্যবধানে (0, x) দেওয়া f (x) = n -2x ফাংশন দিয়ে Fur'є-এর সারিটি প্রসারিত করতে, এটিকে ব্যবধানে ঠেলে (-x, 0): একটি লোক হিসাবে; খ) জোড়াবিহীন পদ। 13. ব্যবধানে (0, x) দেওয়া f (x) = x2 ফাংশনের সাইনের পিছনে পশম সারি রাখুন। 14. ব্যবধানে (-2.2) দেওয়া Fur'є ফাংশন / (x) = 3 এর একটি সিরিজ পচন। 15. ব্যবধানে (-1,1) দেওয়া Fur'є এর একটি সারিতে f (x) = | x | ফাংশনটি প্রসারিত করুন। 16. ব্যবধানে (0,1) দেওয়া f (x) = 2x ফাংশন সহ সাইনের পিছনে পশম সারি রাখুন।