Razkladannya ในแถวของ fur'є guys และ unpaired ทำหน้าที่ไร้ประสิทธิภาพของ parseval bezsel Riadi Fur'є: ประวัติศาสตร์และการแช่ของกลไกทางคณิตศาสตร์ในการพัฒนาวิทยาศาสตร์

Riadi Fur'є - ราคาของฟังก์ชันที่ใช้อย่างเป็นธรรมพร้อมช่วงเวลาเฉพาะจากแถว viglyadi ที่วิวเวอร์ที่หันออกด้านนอก วิธีแก้ปัญหาเรียกว่าเลย์เอาต์ขององค์ประกอบบนพื้นฐานมุมฉาก การใช้งานฟังก์ชันสำหรับ Fur'єจำนวนหนึ่งเพื่อให้สมบูรณ์ด้วยเครื่องมือที่รัดกุมเมื่อพัฒนาคนทำงานด้านการพัฒนาให้กับหน่วยงานของการนำกลับมาใช้ใหม่นี้ด้วยการบูรณาการ การแยกความแตกต่าง ตลอดจนการใช้อาร์กิวเมนต์และอาร์กิวเมนต์

Lyudin ผู้ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ แต่ยังเกี่ยวกับรากเหง้าของ Fur'єที่หมักในฝรั่งเศสซึ่งดีกว่าสำหรับทุกสิ่งไม่ใช่สำหรับเสียง แต่สำหรับ "แถว" และสำหรับผู้ที่มีกลิ่นเหม็น และในระหว่างนี้ กระบวนการของการตรากฎหมายใหม่จนเสร็จสิ้นได้ล่วงไปในชีวิตของเรา พวกเขาประณามไม่ได้โดยไม่มีคณิตศาสตร์ แต่ฟิสิกส์, เคมี, แพทย์, นักดาราศาสตร์, นักแผ่นดินไหววิทยา, สมุทรศาสตร์และอื่น ๆ อีกมากมาย แจ้งให้เราทราบอย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้นกับบรรพบุรุษของผู้ผลิตไวน์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ ราวกับเหลือบมองของเสียงร้องเมื่อเวลาผ่านไป

Lyudina ที่กลับชาติมาเกิดของFur'є

ชุดของ Fur'є єในวิธีใดวิธีหนึ่ง (ลำดับของการวิเคราะห์และ іnshim) กระบวนการนี้สร้างขึ้นโดยเสียง หากบุคคลนั้นมีเสียง วูโฮของเราในโหมดอัตโนมัติคือการสร้างอนุภาคมูลฐานขึ้นใหม่ในศูนย์สปริง ซึ่งวางเรียงเป็นแถว (เกินสเปกตรัม) ของค่าความบริสุทธิ์ในวันสุดท้ายสำหรับโทนสีของการเติบโต ใจที่ห่างไกลสร้างส่วยเสียงที่เราได้รับใหม่ งานทั้งหมดจะต้องล้อมรอบด้วยความรู้ของเราเกี่ยวกับหลักฐานด้วยตัวมันเอง และเพื่อให้เข้าใจกระบวนการ จำเป็นต้องรู้วิธีการทำในวิชาคณิตศาสตร์

รายงานเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของ Fur'є

การกลับชาติมาเกิดของ Fur'єสามารถทำได้โดยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและแบบอินซิม แถวของ Fur'єถูกอ้างถึงวิธีการเชิงตัวเลขในการจัดวางกระบวนการ colival - จากกระแสน้ำในมหาสมุทรและแสงที่หนาวเย็นไปจนถึงรอบที่ง่วงนอน (กระบวนการทางดาราศาสตร์ส่วนใหญ่) สามารถเลือกฟังก์ชันที่แสดงกระบวนการจัดเก็บแบบไซน์จำนวนหนึ่งได้ เช่น ชุดของคลังสินค้าแบบไซน์ ซึ่งย้ายจากค่าต่ำสุดไปสูงสุดและย้อนกลับ การนำฟังก์ชัน Fur'є กลับมาใช้ใหม่ ซึ่งอธิบายเฟสและแอมพลิจูดของไซนัสซึ่งแสดงความถี่การร้องเพลง กระบวนการทั้งหมดสามารถได้รับชัยชนะในการพัฒนา rivnyans แบบพับได้มากขึ้น ซึ่งอธิบายกระบวนการไดนามิกที่เกิดขึ้นจากความร้อน แสง และพลังงานไฟฟ้า ในทำนองเดียวกัน Fur'єจำนวนหนึ่งช่วยให้มองเห็นโกดังอย่างต่อเนื่องที่สัญญาณการชนกันแบบพับ ด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปได้ที่จะตีความข้อควรระวังในการทดลองในด้านการแพทย์ เคมี และดาราศาสตร์ได้อย่างถูกต้อง

คำแถลงทางประวัติศาสตร์

พ่อของทฤษฎีนี้เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jean Bathist Joseph Fur'є Yogo im'yam zgod i bulo เรียกว่าการสร้างใหม่ พบแนวคิดมากมายในวิธีการนี้สำหรับการฝังตัวและคำอธิบายเกี่ยวกับกลไกการนำความร้อน - การขยายตัวของความร้อนในตัววัตถุที่เป็นของแข็ง Fur'єปล่อยมันไปด้วยการโรยของการเติบโตที่ไม่สม่ำเสมอมันเป็นไปได้ที่จะแพร่กระจายบนไซนูซอยด์ที่ง่ายที่สุดอุณหภูมิผิวต่ำสุดและสูงสุดตลอดจนเฟสของมันเอง ด้วยความหลากหลายของผิว ส่วนประกอบดังกล่าวจะหายไปจากต่ำสุดไปข้างหลังสูงสุด ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งอธิบายยอดบนและล่างของเส้นโค้ง เช่นเดียวกับเฟสของฮาร์โมนิกของผิวหนัง เรียกว่าการสร้าง Fur'є ขึ้นใหม่ในรูปแบบของการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิ ผู้เขียนทฤษฎีของฟังก์ชัน out-of-the-box เนื่องจากเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องปฏิบัติตามคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ กับคู่มือมากขึ้นในชุดของโคไซน์และไซน์ แต่โดยรวมแล้ว ให้ค่านอกกรอบ เต้าเสียบ

หลักการออกกฎหมายใหม่และดูถูกพรรคการเมือง

ผู้เข้าร่วมในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ - นักคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของศตวรรษที่ 19 - ไม่ยอมรับทฤษฎีนี้ Fur' กล่าวถึงเนื้อหาหลักเกี่ยวกับผู้ที่มีฟังก์ชัน วิธีการอธิบายเส้นตรงหรือเส้นโค้ง วิธีการเปิด เป็นไปได้ที่จะจ่ายภาษีที่ผลรวมของคลื่นไซน์ซึ่งไม่มีการหยุดชะงัก ก้นจามรีคุณสามารถเห็น "การรวบรวม" ของเฮฟวีไซด์ คุณภาพของฟังก์ชันเกิดจากการสะสมของดีดไฟฟ้าตั้งแต่เวลาของวันที่ lantsyug สับสน ผู้เข้าร่วมทฤษฎีในขณะนั้นไม่ได้ยึดติดกับสถานการณ์ดังกล่าว แม้ว่า viraz จะถูกอธิบายโดยการรวมกันของฟังก์ชันพิเศษที่ไม่สามารถทำซ้ำได้ เช่น เลขชี้กำลัง, ไซนูซอยด์, เส้นเป็น abo-quadratic

เหตุใดนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจึงได้รับประโยชน์จากทฤษฎีเฟอร์

แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะสนใจในความแน่วแน่ของเขา แต่ถ้ามีชุดวิชาตรีโกณมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ Fur'є ก็เป็นไปได้ที่จะอนุมานได้อย่างแม่นยำมากขึ้นถึงการปรากฎของผลัดกันบ่อยครั้งในการตกประเภทนั้น ราวกับว่าไม่มีสิ่งนั้น . ที่หูของศตวรรษที่ 19 ความแข็งแกร่งดูเหมือนไร้สาระ แม้ว่าจะไม่สำคัญในความรู้ทั้งหมด นักคณิตศาสตร์จำนวนมากได้ขยายขอบเขตของการแนะนำปรากฏการณ์ มีชีวิตขึ้นในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาของการนำความร้อน ส่วนใหญ่ นักเรียนส่วนใหญ่ดิ้นรนหาอาหาร: "ผลรวมของอนุกรมไซน์จะบรรจบกับค่าที่แน่นอนของฟังก์ชันการกระจายได้อย่างไร"

ความคล้ายคลึงกันของแถว Fur'є: butt

โภชนาการเกี่ยวกับความต้องการตัวเลขเพิ่มเติม เพื่อความสบายยิ่งขึ้น จะเห็นก้นแบบคลาสสิก เป็นไปได้ไหมถ้าไม่มีทางไปถึงจุดนั้น จระเข้ที่น่ารังเกียจตัวผอมจะตัวเล็กที่สุดสำหรับตัวต่อไปได้อย่างไร? สมมติว่าคุณอยู่ห่างจากถนนสองเมตร ส้มอยู่ใกล้กับเครื่องหมายครึ่งทาง เชิงรุกอยู่ถึงเครื่องหมายสามในสี่ และหลังจากหนึ่งถัดไป คุณจะถึงถนน 97 อย่างไรก็ตาม คำว่า b และ v ไม่ได้ทำให้เบี้ยว เครื่องหมายที่ตั้งใจไว้ซึ่งคุณจะไม่ไปถึงในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด Vikoristovuchi ตัวเลข rosrahunka เป็นไปได้ที่จะนำมาซึ่งหากได้รับอนุญาตก็เป็นไปได้ที่จะเข้าใกล้ชุดข้อมูลที่เล็กที่สุด เดนมาร์กพิสูจน์ให้เห็นว่าเทียบเท่ากับการแสดงให้เห็นว่ามูลค่ารวมของอีกส่วนหนึ่ง หนึ่งในสี่ จะนำไปปฏิบัติได้จริงเพียงค่าเดียว

โภชนาการของธุรกิจ: มิตรที่จะมาเพื่อปรีลาดของลอร์ดเคลวิน

ราคาอาหารถูกทำซ้ำเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 เนื่องจาก Fur'єจำนวนหนึ่งพยายามใช้ zasosuvati เพื่อทำนายความรุนแรงของกระแสน้ำที่เพิ่มขึ้นและสูง ในตอนท้ายของชั่วโมง Lord Kelvin buv vinaydeny ติดอยู่ซึ่งเป็นสิ่งที่แนบมากับตัวเลขแบบอะนาล็อกซึ่งทำให้ลูกเรือของกองทัพเรือรัสเซียและกองเรือเดินสมุทรสามารถแสดงปรากฏการณ์ทางธรรมชาติได้ กลไกของเดนมาร์กโดยเริ่มการคัดเลือกเฟสและแอมพลิจูดตามตารางความถี่ของฟลัชและช่วงเวลาปัจจุบันซึ่งถูกแช่แข็งชั่วคราวในท่าเรือนี้ซึ่งทอดยาวไปถึงหิน พารามิเตอร์ของผิวหนังมีองค์ประกอบไซน์ของอัตราการไหลและหนึ่งในคลังสินค้าทั่วไป ผลลัพธ์ของ vimiryuvan ถูกนำเข้าสู่แคลคูลัสของ Lord Kelvin ซึ่งสังเคราะห์เส้นโค้งซึ่งโอนความสูงของผู้นำไปสู่การทำงานของทีมของชะตากรรมที่น่ารังเกียจ เส้นโค้งที่ไม่สร้างความรำคาญของลูกเปตองนั้นพับเก็บอยู่ในท่าเรือทั้งหมดของโลก

และกระบวนการจะถูกทำลายโดยฟังก์ชั่นการค้าปลีกอย่างไร?

ในชั่วโมงนั้น เห็นได้ชัดว่าไม่เป็นไร ส่งต่อไปยังโรคที่หลั่งไหล เนื่องจากองค์ประกอบจำนวนมากใน rakhunka คุณจึงสามารถนับเฟสและแอมพลิจูดจำนวนมากได้ ดังนั้นเพื่อป้องกันการแพร่เชื้อที่แม่นยำยิ่งขึ้น การประท้วงปรากฏขึ้นเพื่อไม่ให้คนปกติเห็นความสม่ำเสมอหากคลื่น viraz ซึ่งเป็นสไลด์ของการสังเคราะห์เผยให้เห็น stribok ที่แข็งแกร่งเพื่อที่จะได้เป็นสีดอกกุหลาบ ในเวลาเดียวกัน หากจำเป็นต้องป้อนข้อมูลจากตารางช่วงเวลา ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณจำนวนอัตราเดซิลโคห์ของ Fur'є ฟังก์ชันเฉพาะได้รับการอัพเดตเป็นส่วนประกอบไซน์ (ตามประสิทธิภาพที่ทราบ) ความทนทานระหว่าง viraz ขาออกและหมุนเวียนใหม่เป็นไปได้ทุกจุด เมื่อทำการคำนวณใหม่ตามคำสั่งนั้น จะเห็นได้ว่า มูลค่าการอภัยโทษสูงสุดไม่เปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตาม กลิ่นเหม็นจะกระจายอยู่ในบริเวณนั้น โดยจะแสดงจุดตัด และหากเป็นจุด แสดงว่าไม่มีจุดศูนย์กลาง ในปี พ.ศ. 2442 ผลการยืนยันทางทฤษฎีของ Joshua Willard Gibbs จาก Ulsky University ได้รับการยืนยัน

ความคล้ายคลึงกันของชุดของFur'єและการพัฒนาของคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

Analiz Fur'єไม่ได้หยุดนิ่งเพื่อหยุดพัก แต่ใช้จำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดในช่วงเวลาร้องเพลง ในชุดทั้งหมดของ Fur'є ฟังก์ชันของ cob นั้นแสดงโดยผลลัพธ์ของ vimir ทางกายภาพที่แท้จริงซึ่งมาบรรจบกันเสมอ โภชนาการของกระบวนการที่กำหนดสำหรับชั้นเรียนเฉพาะของฟังก์ชันถูกนำมาสู่การปรากฏตัวของสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีของหน้าที่ทางสังคม Vona ผูกติดอยู่กับชื่อเช่น L. Schwartz, J. Mikusinsky และ J. Temple ภายในกรอบของทฤษฎี Bula การอ่านจะถูกวางไว้และพื้นฐานทางทฤษฎีที่แน่นอนสำหรับ virazi เช่นฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac (ฉันจะอธิบายพื้นที่ของพื้นที่เดียวที่กระจุกตัวอยู่ในเขตชานเมืองเล็ก ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด จุด) และ "ขั้นตอน" ของเฮวิราซ ผู้กำกับซีรีส์หุ่นยนต์ของ Fur'є ถูกซ่อนไว้สำหรับการออกอากาศของอาคารในชนบทและอุตสาหกรรม ซึ่งรูปร่างของสัญชาตญาณคือ: ประจุจุด มวลจุด ไดโพลแม่เหล็ก และระบบสำหรับการติดตั้ง บอลล์

วิธีการของเฟอร์є

ชุดของFur'єตามหลักการของการรบกวนสามารถซ่อมแซมได้จากการพับรูปแบบพับที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนแปลงของการไหลของความร้อนอธิบายได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงผ่านการเปลี่ยนจากวัสดุฉนวนความร้อนไปเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง ไม่ว่าจะโดยพื้นผิวที่ชั่วร้ายของโลก - โดยดิน, โดยวงโคจรกลับกลอกของสวรรค์ - โดย การไหลเข้าของดาวเคราะห์ ตามกฎแล้ว ryvnyannya เล็กน้อยจะอธิบายระบบคลาสสิกที่เรียบง่ายเพื่อตรวจจับสภาพผิวในเบื้องต้นได้อย่างไร Fur'єแสดงให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาง่าย ๆ สามารถใช้เพื่อปฏิเสธสิ่งปลูกสร้างที่พับได้มากขึ้น Vislovlyuyuchis คณิตศาสตร์ของฉัน ชุดของ Fur'є - วิธีการทั้งหมดในการส่งผลรวมของฮาร์โมนิกแบบหมุนเวียน - โคไซนัสอยด์และไซนัสอยด์ ด้วยเหตุนี้ การวิเคราะห์ vidomies จึงมีวัตถุประสงค์เพื่อ "การวิเคราะห์ที่กลมกลืนกัน" ด้วย

Fur'єจำนวนหนึ่ง - เทคนิคในอุดมคติสำหรับ "คอมพิวเตอร์ dobi"

ก่อนที่จะมีการสร้างเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ วิธีการของ Fur'є Bull เป็นส่วนเสริมที่สวยงามที่สุดในคลังแสงของหุ่นยนต์ทั้งหมดที่มีธรรมชาติของแสงของเรา Fur'єจำนวนหนึ่งในรูปแบบที่ซับซ้อนทำให้ virishuvati ไม่ถูกกีดกันจากความเรียบง่ายขององค์กร เนื่องจากมีความเป็นไปได้ที่จะขัดขวางกฎของกลไกของนิวตันโดยตรง แต่เป็นไปตามหลักการพื้นฐาน ข้อมูลเชิงลึกส่วนใหญ่เกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ของนิวตันในศตวรรษที่สิบเก้ามีมากเกินพอที่จะรู้วิธีการของเฟอร์

Riadi Fur'є seogodnі

ด้วยการพัฒนาคอมพิวเตอร์ การพัฒนาขื้นใหม่ของ Fur'є มี rivn ใหม่อย่างชัดเจน วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาในทางปฏิบัติในทุกด้านของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี จามรีก้นคุณสามารถควบคุมสัญญาณเสียงและวิดีโอดิจิตอลได้ การนำ Yogo มาใช้กลายเป็นการกีดกันทฤษฎีอย่างเลวร้าย โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่แยกทางกับซังของศตวรรษที่ 19 ดังนั้น Fur'єจำนวนหนึ่งในรูปแบบที่ซับซ้อนทำให้สามารถเติบโตของรูในอวกาศจักรวาล vivchenna นอกจากนี้ ราคายังเชื่อมโยงกับการพัฒนาฟิสิกส์ของวัสดุนำไฟฟ้าและพลาสมา อะคูสติกไมโครโครม สมุทรศาสตร์ การระบุตำแหน่งด้วยคลื่นวิทยุ และวิทยาคลื่นไหวสะเทือน

ชุดตรีโกณมิติ Fur'є

ในวิชาคณิตศาสตร์ ชุดของ Fur'є єในลักษณะของการกำหนดฟังก์ชันการพับที่เพียงพอโดยผลรวมของฟังก์ชันง่ายๆ ในวิปัสสนารอบนอก จำนวนวิราศดังกล่าวมีนับไม่ถ้วน หากมีจำนวนมากกว่าความเสียหายระหว่างกระบวนการ ผลลัพธ์สุดท้ายจะแม่นยำยิ่งขึ้น ส่วนใหญ่มักจะเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีชัยชนะที่ง่ายที่สุดของโคไซน์หรือไซน์ ในซีรีส์ดังกล่าว Fur'єเรียกว่าตรีโกณมิติและการแสดงรูปแบบดังกล่าวเรียกว่าการกระจายฮาร์มอนิก วิธีการสร้างภาพข้อมูลทั้งหมดในวิชาคณิตศาสตร์ ด้านหน้า ชุดตรีโกณมิติมีไว้สำหรับรูปภาพ เช่นเดียวกับการแนะนำฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเครื่องมือหลักของทฤษฎี นอกจากนี้ ไวน์ยังทำให้ขาดความรู้ด้านฟิสิกส์คณิตศาสตร์อีกด้วย Nareshty ทฤษฎีทั้งหมดได้ไปถึงจุดต่ำสุดของการพัฒนาสาขาที่สำคัญยิ่งกว่าของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (ทฤษฎีของปริพันธ์, ทฤษฎีของฟังก์ชันธาตุ). นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นจุดที่เหมาะสมสำหรับการพัฒนาฟังก์ชั่นที่น่ารังเกียจของการเปลี่ยนแปลงแบบไดนามิกตลอดจนการวิเคราะห์ที่กลมกลืนกัน

ชุดของฟังก์ชันเป็นระยะของFur'єจากช่วงเวลา2π

Fur'єจำนวนหนึ่งช่วยให้มีฟังก์ชั่นเป็นระยะที่สามารถพับลงบนส่วนประกอบได้ การเปลี่ยนสตรัมและสปริง การแทนที่ ความเร็วและความเร็วของกลไกข้อเหวี่ยงและระบบเสียง hvili - ก้นที่ใช้งานได้จริงทุกประเภทของการจัดเก็บฟังก์ชันตามระยะในบัญชีรายชื่อทางวิศวกรรม

วางในแถว Fur'єวิ่งบนชุด แต่ฟังก์ชั่นทั้งหมด แต่มีความหมายในทางปฏิบัติในช่วงเวลา -π ≤x≤ π เป็นไปได้ที่จะย้ายในมุมมองของแถวตรีโกณมิติที่คล้ายกัน (สมาชิกที่คล้ายกันจำนวนหลังจาก

สัญกรณ์มาตรฐาน (= zvychany) ผ่านผลรวม sinx และ cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - ค่าคงที่อ้างอิง tobto

De สำหรับช่วงจาก -π ถึง π ไปจนถึงประสิทธิภาพของ Fur'є จำนวนหนึ่งที่ต้องจ่ายตามสูตร:

คุณสมบัติ a o, a n і b n เรียกว่า kofіtsієntami Fur'єและถ้ารู้ได้ก็เรียกอนุกรม (1) ว่า สั่งซื้อFur'єโดยฟังก์ชัน f (x) สำหรับชุด (1) คำว่า (a 1 cosx + b 1 sinx) เรียกว่าตัวแรกหรือ ฮาร์มอนิกหลัก,

วิธีที่ดีที่สุดในการเขียนแถวคือวิคตอเรีย sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 บาป (x + α 1) + c 2 บาป (2x + α 2) + ... + c n บาป (nx + α n)

De ao เป็นค่าคงที่ s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 คือแอมพลิจูดของส่วนประกอบอื่นๆ และสำหรับถนน a = arctan an / ข น.

สำหรับอนุกรม (1) คำว่า (a 1 cosx + b 1 sinx) หรือ c 1 sin (x + α 1) เรียกว่า first หรือ ฮาร์มอนิกหลัก,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) หรือ c 2 sin (2x + α 2) เรียกว่า ฮาร์มอนิกอื่น ๆและจนถึงตอนนี้

เพื่อการตรวจจับที่ถูกต้องของสัญญาณพับ ต้องไม่จำกัดจำนวนสมาชิก อย่างไรก็ตามเจ้าหน้าที่ภาคปฏิบัติของ bagatyokh มีสมาชิกกลุ่มแรกเพียงพอ

ชุดของฟังก์ชันที่ไม่ใช่เป็นระยะของFur'єจากคาบ2π

การกระจายของฟังก์ชันที่ไม่เกิดซ้ำ

เนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่เป็นระยะ หมายความว่าไม่สามารถจัดวางในแถวของ Fur'є สำหรับค่าทั้งหมดของ x อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะสร้าง Fur'єจำนวนหนึ่ง ซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันในช่วงใดๆ ที่มีความกว้าง 2?

หากกำหนดฟังก์ชันที่ไม่เป็นช่วง คุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันใหม่ได้ ค่า f (x) ในช่วงการร้องเพลงจะสั่น และตำแหน่งจะทำซ้ำด้วยช่วงที่มีช่วงห่าง 2π การสั่นเป็นฟังก์ชันใหม่ є เป็นระยะโดยมีคาบ 2π, їїสามารถขยายเป็นแถวของ Fur'є สำหรับค่าทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f (x) = x ไม่ใช่คาบ อย่างไรก็ตาม หากจำเป็นต้องขยาย її ในแถวของ Fur'є ในช่วงเวลาจากสูงสุด 2π ตำแหน่งของช่วงเวลาจะเป็นฟังก์ชันแบบคาบที่มีคาบ 2π (ดังแสดงในรูปด้านล่าง)

สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นระยะ เช่น f (x) = x ผลรวมของจำนวน Fur'є คือค่าที่เหมาะสมของ f (x) ที่จุดทุกจุดของช่วงที่กำหนด แต่ไม่ใช่ f (x) สำหรับจุดในตำแหน่ง ของช่วง สำหรับความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ระยะของ Fur'є จำนวนหนึ่งในช่วง 2π จะใช้สูตรสัมประสิทธิ์ของ Fur'є เดียวกันทั้งหมด

ฟังก์ชันจับคู่และไม่จับคู่

สมมติว่าฟังก์ชัน y = f (x) พาร์นาโดยที่ f (-x) = f (x) สำหรับค่าทั้งหมดของ x กราฟของฟังก์ชันที่จับคู่จะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสมมาตร (แสดงในลักษณะคล้ายกระจก) ฟังก์ชั่นจับคู่ก้นสองแบบ: y = x 2 і y = cosx

สมมติว่าฟังก์ชัน y = f (x) ไม่มีคู่โดยที่ f (-x) = - f (x) ค่าทั้งหมดของ x กราฟของฟังก์ชันที่ไม่จับคู่จะขึ้นอยู่กับพิกัดสมมาตร

ฟังก์ชัน Bagato ไม่ใช่ผู้ชาย ไม่ได้แยกเป็นคู่

ขยายในแถวของFur'єในโคไซน์

ชุดของฟังก์ชันคาบที่จับคู่Fur'є f (x) ที่มีคาบ 2π สามารถลบสมาชิกออกจากโคไซน์ (เพื่อไม่ให้ลบสมาชิกออกจากไซน์) และคุณสามารถรวมสมาชิกถาวรได้ ออตเช่

de kofizinti จำนวนFur'є

อนุกรมของฟังก์ชันคาบที่ไม่จับคู่ของเฟอร์ f (x) ที่มีคาบ 2π คือการแทนที่สมาชิกด้วยไซน์ (เพื่อไม่ให้แก้แค้นสมาชิกด้วยโคไซน์)

ออตเช่

de kofizinti จำนวนFur'є

Row Fur'єบน pivperiodi

เนื่องจากฟังก์ชันนี้มีไว้สำหรับช่วง ให้พูดตั้งแต่ 0 ถึง π และไม่เพียงแต่จาก 0 ถึง 2π เท่านั้น จึงสามารถวางในแถวที่มีไซน์เท่านั้นหรือโคไซน์เท่านั้น Otrimany จำนวน Fur'єถูกเรียก สั่งซื้อFur'єบนnapіvperіodі

จำเป็นต้องแก้ไขการแจกจ่าย Fur'єบน napivperiodi บนโคไซน์ฟังก์ชัน f (x) ในช่วง 0 ถึง π จำเป็นต้องเพิ่มฟังก์ชันคาบคู่ ในรูป ฟังก์ชัน f (x) = x แสดงอยู่ด้านล่าง โดยได้รับแจ้งในช่วงเวลาตั้งแต่ x = 0 ถึง x = π การสั่นของฟังก์ชันที่จับคู่มีความสมมาตร แต่แกน f (x) ดำเนินการโดยเส้น AB ซึ่งแสดงในรูปที่ ต่ำกว่า. แค่ปล่อยมันไป แต่ท่าทางของช่วงเวลาที่มองจะถูกตัดแต่งให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม є เป็นระยะด้วยคาบ 2π จากนั้นเฟรมกราฟิกจะปรากฏขึ้น ในรูป ต่ำกว่า. ความผันผวนจำเป็นต้องปฏิเสธเลย์เอาต์ของFur'єโดยโคไซน์และก่อนหน้านี้ประสิทธิภาพที่คำนวณได้Fur'є a o і a n

จำเป็นต้องแก้ไข การกระจายของFur'єบนnapіvperіodіหลัง sinesฟังก์ชัน f (x) ในช่วง 0 ถึง π จำเป็นต้องมีฟังก์ชันคาบที่ไม่ตรงกัน ในรูป ฟังก์ชัน f (x) = x แสดงอยู่ด้านล่าง โดยได้รับแจ้งในช่วงเวลาตั้งแต่ x = 0 ถึง x = π ไม่มีการจับคู่การสั่น ฟังก์ชั่นสมมาตรกับ cob ของพิกัด มันจะเป็นเส้น CD ดังแสดงในรูปที่ ปล่อยมันไป แต่ตำแหน่งของสัญญาณคล้ายไฟล์เป็นระยะที่มีคาบ 2π ท่าทางของสัญญาณคล้ายไฟล์ที่มีคาบ 2π จากนั้นจึงอ่านค่าในรูปที่ จำเป็นต้องปฏิเสธการสั่นสำหรับเลย์เอาต์ของ Furin บนพื้นฐานของไซนัส ทั้งก่อนหน้าและก่อนหน้า โดยคำนวณโดยค่าของ Fur NS

จำนวน Fur'єสำหรับช่วงก่อน

การขยายฟังก์ชันคาบจากคาบ L.

ฟังก์ชันธาตุ f (x) ซ้ำจากการเพิ่ม x L ดังนั้น ฉ (x + ล) = ฉ (x) การย้ายจากฟังก์ชันที่แสดงก่อนหน้านี้จากช่วงเวลา 2π ไปยังฟังก์ชันจากจุด L เพื่อทำให้เป็นฟังก์ชันแบบง่าย บางส่วนสามารถทำได้สำหรับการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมของการเปลี่ยนแปลง

จะทราบได้อย่างไรว่าชุดของฟังก์ชัน Fun'є f (x) ในช่วง -L / 2≤x≤L / 2 เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงใหม่ u ในตำแหน่งที่ฟังก์ชัน f (x) เป็นคาบ 2π และ แล้วคุณ ถ้า u = 2πx / L แล้ว x = -L / 2 สำหรับ u = -π และ x = L / 2 สำหรับ u = π นอกจากนี้ อย่าให้ f (x) = f (Lu / 2π) = F (u) ชุดของ Fur'є F (u) maє viglyad

(ระหว่างการรวมสามารถแทนที่ช่วงใดก็ได้จนถึง L เช่น จาก 0 ถึง L)

ชุดของFur'єสำหรับช่วงเวลา Napіvสำหรับฟังก์ชั่นที่ตั้งไว้ในช่วงเวลา L ≠ 2π

สำหรับการติดตั้ง u = πх / L ช่วงเวลาตั้งแต่ x = 0 ถึง x = L คือช่วงจาก u = 0 ถึง u = π อ็อตเช่ ฟังก์ชันสามารถขยายได้ในแถวเท่านั้นโดยโคไซน์หรือโดยไซน์เท่านั้น tobto วี แถว Fur'єบน pivperiodi.

ขยายโคไซน์ในช่วงจาก 0 ถึง L ma viglyad

Riadi Fur'є- วิธีการนำเสนอฟังก์ชันการพับด้วยผลรวมของง่าย ดี
ไซน์และโคไซน์ - ฟังก์ชันคาบ แม้แต่กลิ่นเหม็นของฐานตั้งฉาก พลัง Qiu สามารถอธิบายได้ด้วยการเปรียบเทียบกับแกน X X NSі วาย วาย Yบนพื้นที่พิกัด ดังนั้น ในขณะที่เราสามารถอธิบายพิกัดของจุดตามแนวแกน เราสามารถอธิบายได้ว่าฟังก์ชันของทั้งไซนัสและโคไซน์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียนรู้ได้ง่ายจากคณิตศาสตร์

การปรากฏตัวของไซน์และโคไซน์เป็นไปได้สำหรับผู้ดู hwil:

ไซน์ - tse โคไซน์, chervonі - ไซน์ พวกเขายังเรียกพวกเขาว่าฮาร์โมนิก โคไซน์เป็นผู้ชาย, ไซน์ไม่ได้รับการจับคู่ คำว่าฮาร์โมนิกมาจากสมัยโบราณและการตกแต่งและคำเตือนเกี่ยวกับการเชื่อมต่อระหว่างเสียงจากดนตรี

Sho ยังแถวFur'є

ชุดดังกล่าวเนื่องจากอธิบายฟังก์ชันของไซน์และโคไซน์ได้ง่ายที่สุดเรียกว่าตรีโกณมิติ ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ Jean Batist Joseph Fur'єผู้รักไวน์ของเขาเช่น XVIII - หูแห่งศตวรรษที่ XIX ได้พิสูจน์แล้วว่า ไม่ว่าฟังก์ชันสามารถนำเสนอใน viglyad ได้หรือไม่ การผสมผสานของฮาร์โมนิกดังกล่าว และยิ่งรับมาก ยิ่งรับมาก ยิ่งรับมาก ตัวอย่างเช่น รูปภาพต่ำกว่า: เป็นไปได้ที่จะกระตุ้นด้วยฮาร์โมนิกจำนวนมากนั่นคือสมาชิกมี Fur'єต่ำ กราฟสีแดงเก่าพอที่จะเข้าใกล้สีน้ำเงินมากขึ้น - ฟังก์ชั่นชั่วร้าย

ในทางปฏิบัติการจัดเก็บที่svitі .ที่ขมขื่น

แล้วการบริโภคหลายครั้งล่ะ? คุณจะติดอยู่ในทางปฏิบัติและปฏิบัติได้อย่างไร? Vyavlyayetsya, Fur'єสำหรับสิ่งนั้นและ vidomy สำหรับทั้งโลก แต่อบเชยในทางปฏิบัติของความรัก yogo นั้นไม่ได้รับการจำแนกประเภทอย่างแท้จริง โอ้ มันง่ายที่จะแก้ไขที่นั่น de be-yaki chi khvili: อะคูสติก ดาราศาสตร์ วิศวกรรมวิทยุด้วย ตา. ก้นที่ง่ายที่สุดของ yogo victoriannya: กลไกของหุ่นยนต์และกล้องและกล้องวิดีโอ ฉันจะอธิบายในเวลาอันสั้นว่าไม่ใช่แค่รูปภาพที่สามารถเพิ่มได้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงประสิทธิภาพของซีรี่ส์ Fur ด้วย І pratsyuє tse skrіz - ดูภาพบนอินเทอร์เน็ตดูหนังหรือฟังเพลงเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง คุณสามารถอ่านบทความจากโทรศัพท์มือถือของคุณได้หากคุณเป็นแฟนตัวยงของอันดับ Fur'є vi หากไม่มีการคิดค้น Fur'є เราไม่ได้รับแบนด์วิดท์อินเทอร์เน็ตที่ดีที่สุด แต่เพียงแค่ดูวิดีโอบน YouTube แล้วดูที่คุณภาพมาตรฐาน

ในโครงการทั้งหมดของการเปลี่ยนแปลงสองโลกของFur'єเป็น vikoristovuyutsya สำหรับการกระจายของภาพบนออร์แกนออร์แกนเพื่อให้คลังสินค้าพื้นฐาน บนไดอะแกรม ค่า -1, bilim ถูกเข้ารหัสเป็นสีดำ ความถี่จะเพิ่มขึ้นทางด้านขวาและด้านล่างหลังกราฟ

เปิดตัวในแถวของFur'є

เพียงอย่างเดียว vzhe vzhe vtomilsya อ่านเช่นเดียวกันกับสูตร
สำหรับวิธีการทางคณิตศาสตร์เช่นการกระจายฟังก์ชันในแถวของ Fur'є พี่น้องจะถูกรวมเข้าด้วยกัน Bagato Integral ที่ viglyad แบบสำเร็จรูป ฉันเขียนแถวของ Fur'є ที่ viglyad ของ sumi ที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (nx) + bn sin ⁡ (nx)) f (x) = A + \ displaystyle \ sum_ (n = 1) ^ (\ infty) (a_n \ cos (nx) + b_n \ บาป (nx))ฉ (x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (NS NS​ cos (n x) +NS NS​ บาป (n x))
เดอ
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxเอ =2 ปี1 ​ − π ∫ π ​ ฉ (x) d x
an = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (nx) dx a_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ unlimited _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (nx) dxNS NS​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ - π π f (x) บาป ⁡ (nx) dx b_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ บาป (nx) dxNS NS​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) บาป (n x) d x

เป็นไปได้ที่จะมีจำนวนครั้งไม่สิ้นสุด น a_n NS NS​ і ข น b_n NS NS​ (กลิ่นและเรียกว่าการประชุมเพื่อแจกจ่ายFur'є อา NS- tse เพียงหลังการแจกจ่าย) ดังนั้นข้อผิดพลาดจำนวนหนึ่งในผลลัพธ์จะถูกบันทึก 100% จากฟังก์ชันเอาต์พุต ฉ (x) ฉ (x) ฉ (x)บนพื้นฐานของ - π - \ pi − π ก่อน พาย \ พาย π ... นี่คือตัวอย่างของการรวมพลังของไซน์และโคไซน์ ชิมมากกว่า น น NSสำหรับการออกแบบฟังก์ชันใดๆ การกระจายฟังก์ชันในแถวจะมีความแม่นยำมากขึ้น

ก้น

ง่ายต่อการใช้ y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) dx = 1 2 π ∫ - π π 5 xdx = 0 A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dx = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5xdx = 0เอ =2 ปี1 ​ − π ∫ π ​ ฉ (x) d x =2 ปี1 ​ − π ∫ π ​ 5 x ลึก x =0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) dx = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ cos (x) dx = 0NS 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) บาป ⁡ (x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x บาป ⁡ (x) dx = 10 b_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x \ บาป (x) dx = 10NS 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) บาป (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x บาป (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (2 x) dx = 0 a_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ ( \ pi ) 5x \ cos (2x) dx = 0NS 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) บาป ⁡ (2 x) dx = 1 π ∫ - π π 5 x บาป ⁡ (2 x) dx = - 5 b_2 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ จำกัด _ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \ บาป (2x) dx = -5NS 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ NS(NS) บาป(2 NS) NSNS= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 NSบาป(2 NS) NSNS= − 5

ฉันอยู่ไกลมาก ด้วยฟังก์ชั่นดังกล่าวเราสามารถพูดได้ทันทีว่าทั้งหมด n = 0 a_n = 0NSNS​ = 0 , kofіtsієнti ข น b_nNSNS​ เกิดขึ้นเพื่อนับ Yakshho mi vizmemo pershi chotiri สมาชิกถูกจัดวางในแถวFur'єสำหรับฟังก์ชั่น y = 5 x y = 5xy= 5 NS, Otrimaєmo:

$5NS\approx 10\cdot \mathrm{บาป}(NS)-5\cdot \mathrm{บาป}(2\cdot NS)+310\cdot \mathrm{บาป}(3\cdot NS)-25\cdot \mathrm{บาป}(4\cdot NS)$

กราฟของฟังก์ชันที่เข้าสู่ตำแหน่งที่น่ารังเกียจจะถูกจับตามอง:

การเปิดตัว scho ได้หายไปในแถวของ Fur'є ใกล้เคียงกับฟังก์ชันที่พร้อมใช้งานทันทีของเรา เนื่องจากมีสมาชิกมากขึ้นในแถว เช่น 15 จึงมีแนวโน้มในขั้นตอนต่อไป:

สมาชิกมากขึ้นในแถวที่ถูกต้องมากขึ้น
อย่างไรก็ตาม สเกลของกราฟเป็นตัวแปร เป็นไปได้ที่จะสังเกตคุณลักษณะเพิ่มเติมของการนำกลับมาใช้ใหม่อีกครั้งหนึ่ง: ต่ำ Fur'є - ฟังก์ชันเป็นระยะที่มีจุด 2 π 2 \ พาย2 π .

ในอันดับดังกล่าว คุณสามารถจินตนาการได้ว่ามันเป็นฟังก์ชัน เช่น є โดยไม่รบกวน [- พาย; π] [- \ pi; \ pi][ − π ; π ] ... ราคาทั้งหมดจำเป็นเพื่อให้สามารถวิเคราะห์วิธีวิเคราะห์ลักษณะที่ปรากฏ และอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันการพับ ฉันไม่ต้องการที่จะวิเคราะห์ (tobto สำหรับสูตร) ​​ฉันจะสูญเสียมันไป แต่ฉันไม่มีปัญหากับชุดของไซนัสและปัญหา ส่วนใหญ่เป็นไปได้ที่จะแสดง Fur'єจำนวนหนึ่ง แต่บ่อยครั้งที่มันเป็นไปได้ที่จะแสดงมันในเชิงวิเคราะห์ในโมเดลง่าย ๆ อย่างใดอย่างหนึ่งจากการใช้งานของบางตัวและชุดของ Fur'є

การถอดเสียง

1 กระทรวงประมาณการวิทยาศาสตร์ของ RF NOVOSIBIRSKY DERZHAVNY UNIVERSITY ของคณะกายภาพ R.K.BELKHEVA RANGE OF FUR' ในการใช้งานและปัญหา Navchalny Posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. ถือ ยกเลิก โนโวซีบีสค์, s. ISBN ในช่วงเริ่มต้นของการเยี่ยมชม ผู้ชมหลักเกี่ยวกับซีรี่ส์ Fur'єได้รับชัยชนะ การออกแบบรายละเอียดของก้นสำหรับวิธีFur'єก่อนที่จะแก้ปัญหาเกี่ยวกับสตริงสตริงตามขวาง มีภาพประกอบประกอบ Є zavdannya โซลูชั่นอิสระ งานที่มอบหมายสำหรับนักศึกษาและชัยชนะในคณะฟิสิกส์ของ สวทช. มาเป็นเพื่อนที่คณะกรรมการระเบียบวิริเชนนาแห่งคณะฟิสิกส์ของ NSU ผู้ตรวจทาน Dr. fiz. วิทยาศาสตร์ V. A. Aleksandrov ชุดของการเตรียมการภายในกรอบการดำเนินงานของโปรแกรมเพื่อการพัฒนา NDU-NSU ที่หน้า ISBN ของ Novosibirsk State University, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. ขยายฟังก์ชัน2π-คาบเป็นชุดของFur'є Viznachennya การกำหนดสำหรับฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าอนุกรมฟังก์ชัน a 2 + (an cosnx + bn sin nx), (1) de-performance an, bn สามารถคำนวณได้ตามสูตร: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) สูตร (2) (3) เรียกว่า Euler Fur ' สูตร ความจริงที่ว่าฟังก์ชัน f (x) คล้ายกับชุด Fur'є (1) เขียนในรูปแบบ f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) และดูเหมือนว่าส่วนขวาของ สูตร (4) єโดยชุดที่เป็นทางการFur'єของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ดูเหมือนว่าสูตร (4) หมายความว่าประสิทธิภาพ a n, b n ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับสูตร (2), (3) 3

4 วิซนาเชนยา ฟังก์ชัน 2π-คาบ f (x) เรียกว่า shmatkovo-smooth แม้ว่าในช่วงเวลา [, π] จะมีจำนวนจุด Kintsev = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 เล็ก. 1. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ประสิทธิภาพที่คำนวณได้ Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x บาป nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 สำหรับ n unpaired สำหรับ n คู่ f (x) บาป nxdx = ดังนั้นฟังก์ชัน f (x) จะถูกจับคู่ เราสามารถเขียนอนุกรม Fur'є อย่างเป็นทางการสำหรับฟังก์ชัน f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2

6 เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชัน f (x) นั้นราบรื่นเป็นชิ้นๆ ดังนั้นโดยไม่หยุดชะงัก จึงนับเฉพาะระหว่าง (6) ที่จุดสิ้นสุดระหว่าง x = ± π และที่จุดชั่วร้าย x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h ระหว่าง іsnyu และ іntsevі แม้ว่าฟังก์ชันจะลื่นไหลกว่าก็ตาม ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับ krapkov ค่าของอนุกรม Fuhr มาบรรจบกันเป็น f (x) ที่จุดสกิน ดังนั้น f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) ในรูปที่ 2, 3 บ่งชี้ถึงธรรมชาติของวิธีการของผลรวมบางส่วนในอนุกรม Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 ไปยังฟังก์ชัน f (x) ที่ช่วง [, π] 6

7 เล็ก. 2. กราฟของฟังก์ชัน f (x) โดยกำหนดผลรวมบางส่วนในกราฟ S (x) = a 2 และ S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x รูปที่ 3. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ถูกซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมพล็อต S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 ส่งใน (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2 ดวงดาวรู้ผลรวมของอนุกรมตัวเลข: = π2 8. เมื่อทราบผลรวมของแถวแล้ว จะทำได้ง่าย ทราบผลรวมของ Maєmo ถัดไป: S = ( ) S = () = π S แม้แต่ S = π2 6 ดังนั้น 1 n = π ผลรวมของซีรีส์ที่มีชื่อเสียงของ Leonard Eiler ที่รู้จักครั้งแรก Vona มักศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และอาหารเสริม ภาคผนวก 2 ในกราฟขนาดเล็ก เราทราบชุดของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร f (x) = x สำหรับ x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 เล็ก. 4. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ฟังก์ชัน f (x) จะมีความแตกต่างกันอย่างต่อเนื่องตามช่วงเวลา (, π) ที่จุด x = ± π มีจำนวนจุดระหว่าง (5): f () =, f (π) = π นอกจากนี้ มีความแตกต่างระหว่าง (6): f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h ฟังก์ชันที่ราบรื่น หากฟังก์ชัน f (x) ไม่ถูกจับคู่ ดังนั้น n = ประสิทธิภาพ bn ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n ชุดฟังก์ชันFur'єที่เป็นทางการมาก 2 (1) n + 1 f (x) บาป nx n 9 cosnxdx] =

10 ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการไหล ค่าของฟังก์ชันคาบ 2π-คาบที่หดตัว-เรียบ อนุกรม Fur ของฟังก์ชัน f (x) ลงมาเพื่อผลรวม: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x เช่น π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 เล็ก. 6. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกซ้อนทับบนกราฟของผลรวมของแผนภาพ S2 (x) รูปที่ 7. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 3 (x) 11

12 เล็ก. 8. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมของ S 99 (x) พึ่งพาได้ (8) x = π / 2 Todi 2 () + ... = π 2 หรือ = n = (1) n 2n + 1 = π 4 เรารู้ผลรวมของตระกูล Leibniz ได้อย่างง่ายดาย มี poklavl ใน (8) x = π / 3 เรารู้ () + ... = π 2 3 หรือ (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 ภาคผนวก 3 กราฟขนาดเล็ก เรารู้ว่าชุดของฟังก์ชันFur'є f (x) = sin x โดยยอมรับว่าระยะเวลาคือ 2π і 1 คำนวณเป็นผลรวมของชุดตัวเลข 4n 2 1. วิธีแก้ปัญหา กราฟของฟังก์ชัน f (x) แสดงในรูปที่ 9. แน่นอน f (x) = บาป x เป็นฟังก์ชันจับคู่อย่างต่อเนื่องจากคาบ π เบียร์ 2π เป็นคาบของฟังก์ชัน f (x) ด้วย เล็ก. 9. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ประสิทธิภาพที่คำนวณได้ Fur'є Usi b n = ความจริงที่ว่าฟังก์ชันถูกจับคู่ ครอบฟันด้วยสูตรตรีโกณมิติ มันถูกนับว่า a ที่ n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, เมื่อ n = 2k, = π n 2 1 เมื่อ n = 2k

14 การคำนวณไม่อนุญาตให้เราทราบค่าสัมประสิทธิ์ a 1 ดังนั้นสำหรับ n = 1 ตัวส่วนจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์ ในการนั้น สัมประสิทธิ์ a 1 ถูกคำนวณโดยไม่มีค่าตรงกลาง: a 1 = 1 π sin x cosxdx = ดังนั้นในขณะที่ f (x) มีความแตกต่างอย่างต่อเนื่องใน (,) і (, π) і ที่จุด kπ (k คือตัวเลข) หากมีตัวเลขระหว่าง (5) และ (6) แสดงว่าเป็นอนุกรมของ Fur' є ฟังก์ชั่นมาบรรจบกันโดยไม่มีจุดสกิน: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x รูปที่ 1. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ซ้อนทับบนกราฟของผลรวมของส่วน S (x) 14

15 เล็ก. 11. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมของส่วน S1 (x) รูปที่ 12. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกวางทับบนกราฟใหม่ของผลรวมของแผนภาพ S2 (x) 13. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 99 (x) 15

16 1 ผลรวมจำนวนมากของแถวตัวเลข สำหรับทั้ง 4n 2 1 เป็นที่น่าพอใจ (9) x = Todi cosnx = 1 สำหรับทั้งหมด n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 = 1 4n 2 1 = = 1 2. การใช้งาน 4. อาจเป็นไปได้ว่าฟังก์ชั่น f (x) นั้นราบรื่นและราบรื่นโดยไม่หยุดชะงัก ฉันมีความสุขกับ f (x π) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมด (ดังนั้นมันจึงเป็น π - เป็นระยะ) a 2n 1 = b 2n 1 = สำหรับ n 1 ทั้งหมด และ navpaki หาก a 2n 1 = b 2n 1 = สำหรับ n 1 ทั้งหมด ดังนั้น f (x) คือ π-ธาตุ การตัดสินใจ. ให้ฟังก์ชัน f (x) เป็น π-คาบ ประสิทธิภาพที่คำนวณได้ Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. ที่อินทิกรัลแรก ฉันสามารถแทนที่การเปลี่ยนแปลง x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt ได้อย่างง่ายดาย 16

17 ลองคิดดูสิ cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t) เราจะเห็นได้: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. ในทำนองเดียวกันควรทำ b 2n 1 = นภากิ ให้ a 2n 1 = b 2n 1 =. เนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้นตามทฤษฎีบท การปรากฎของฟังก์ชันที่จุดต่างๆ ของอนุกรมคือ F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x) ซึ่งหมายความว่า f (x) เป็นฟังก์ชัน π-คาบ ภาคผนวก 5 เราสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชัน f (x) นั้นราบรื่นและราบรื่น f (x) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมด จากนั้น a = і a 2n = b 2n = สำหรับ n 1 ทั้งหมด และ navpaki เช่น a = a 2n = b 2n = จากนั้น f (x π) = f (x) x ทั้งหมด การตัดสินใจ. ให้ฟังก์ชัน f (x) มีความสุขกับ f (xπ) = f (x) จำนวนมากїїkofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx เมื่อรวมเข้าด้วยกันครั้งแรก ฉันจะแทนที่การเปลี่ยนแปลง x = t π ได้อย่างง่ายดาย Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt สีแดงเข้ม tim cos n (t π) = (1) n cosnt และ f (t π) = f (t) เรายอมรับได้: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt = ถ้า n จับคู่ = 2 π f (t) cos nt dt เมื่อ n ไม่ถูกจับคู่ π ทำในทำนองเดียวกัน b 2n = Nawpaki ให้ a = a 2n = b 2n = สำหรับ n 1 ทั้งหมด เนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้นทฤษฎีบทเกี่ยวกับความชัดเจนของฟังก์ชันที่จุดในอนุกรม Fur'є จึงถือได้ว่า f (x ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 บาป (2n 1) x) สิบแปด

19 Todi = f (x π) = = = f (x) ภาคผนวก 6. Vivchimo จามรีถัดไปเพื่อดำเนินการต่อเพื่อรวมเข้ากับช่องว่าง [, π / 2] โดยฟังก์ชั่น f (x) บนช่องว่าง [, π] ดังนั้นแถวของ Fur'є mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) การตัดสินใจ ให้กราฟของฟังก์ชันของ ma viglyad ลอยอยู่ในรูปที่ 14. การสั่นในแถว (1) a = a 2n = b 2n = สำหรับ n ทั้งหมด จากนั้นก้นคือ 5 vyplyaє แต่ฟังก์ชัน f (x) มีความผิดในความเท่าเทียมกันที่เท่ากัน f (xπ) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมด มีวิธีปรับปรุงฟังก์ชัน f (x) ระหว่าง [, / 2]: f (x) = f (x + π), fig. 15.นอกจากนี้ แถวที่ (1) คือการล้างแค้นเฉพาะโคไซน์ มันถูกจัดเรียง แต่ฟังก์ชัน f (x) ยังคงดำเนินต่อไปเป็นคู่ (คือ กราฟสมมาตรกับแกน Oy) ข้าว

20 เล็ก. 14. กราฟของฟังก์ชัน f (x) เล็ก 15. กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง f (x) สำหรับล่วงหน้า [, / 2] 2

21 Otzhe หน้าที่ของ ma viglyad คำแนะนำในรูปที่ 16. เล็ก. 16. กราฟความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f (x) ล่วงหน้า [, π] [π / 2, π], กราฟของฟังก์ชัน f (x) มีความสมมาตรจากส่วนกลางจนถึงจุด (π / 2,), และในช่วงเวลา [, π] กราฟจะสมมาตรกับแกน Oy 21

22 แอปพลิเคชันอ้างอิง 3 6 Nekhai l>. ชัดเจนสองจิตใจ: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2] จากมุมมองทางเรขาคณิต จุด (a) หมายความว่ากราฟของฟังก์ชัน f (x) มีความสมมาตรตามแนวเส้นตรงแนวตั้ง x = l / 2 และกราฟ (b) โดยที่กราฟ f (x) อยู่ตรงกลาง สมมาตรเกี่ยวกับจุด (l / 2;) บนแกน abscis ต่อไปนี้เป็นความจริง: 1) หากฟังก์ชัน f (x) จับคู่กับ Viconan Umov (a) แล้ว b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) หากฟังก์ชัน f (x) จับคู่กับ Viconan Umov (b) แล้ว b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) หากฟังก์ชัน f (x) ไม่ถูกจับคู่และ Viconan Umov (a) แล้ว a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) หากฟังก์ชัน f (x) ไม่ถูกจับคู่และ Viconan Umov (b) แล้ว a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... = ZAVDANNA สำหรับงาน 1 7 วาดกราฟและรู้จักชุด Fur'єสำหรับฟังก์ชัน< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, ยักโช / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. การขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา [, π] หลังจากไซน์หรือหลังโคไซน์เท่านั้น ฟังก์ชัน f ถูกระบุในช่วงเวลา [, π] เราจะขยายพื้นที่ในขอบเขตทั้งหมดจนถึงแถว Fur'є เราสามารถดำเนินต่อไปที่จุดที่โดดเด่น [, π] ด้วยอันดับที่สูงกว่า และในขณะเดียวกันก็จะเร็วขึ้นด้วยสูตรของ Eiler Fur' ต. Svavilja ที่ฟังก์ชันขั้นสูงในการผลิตก่อนหน้านี้ สำหรับฟังก์ชันประเภทหนึ่ง f: [, π] R เราสามารถลบ Fur'єจำนวนหนึ่งได้ อีกวิธีหนึ่ง คุณสามารถ vikoristovuvat tse svavillya ดังนั้นเพียงแค่ตัดการแพร่กระจายเฉพาะหลังไซน์หรือโดยโคไซน์เท่านั้น: vipad แรกมีเพียงพอที่จะส่งเสริม f ด้วยยศที่ไม่มีคู่และในทางที่แตกต่างกันสำหรับผู้ชาย อัลกอริธึมโซลูชัน 1 ทำงานต่อด้วยอันดับที่ไม่จับคู่ (ผู้ชาย) (,) จากนั้นทุกๆ 2π จะทำงานต่อจนครบชุดเป็นระยะ 2. คำนวณประสิทธิภาพของFur'є 3. พับชุด Fur ของฟังก์ชัน f (x) 4. จิตใจในการทบทวนอยู่ในระดับต่ำ 5. แนะนำฟังก์ชันที่มีทั้งแถว ภาคผนวก 7. นำไปใช้กับฟังก์ชัน f (x) = cosx< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 เล็ก. 17. กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน f (x) ค่อนข้างเรียบ Fur'єที่ใช้งานได้มากมาย: a n = all n เท่าที่ฟังก์ชัน f (x) ไม่ได้รับการจับคู่ ถ้า n 1 แล้ว bn = 2 π f (x) บาป πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 โดยที่ n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n โดยที่ n = 2k π n 2 1 เมื่อ n = 1 ตัวส่วนจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ที่ด้านหน้าของเครื่องคิดเลข ดังนั้นสัมประสิทธิ์ b 1 จะถูกคำนวณโดยไม่มีค่า 25 ที่นำหน้า

26 สลีป: b 1 = 2 π cosx บาป xdx = ชุดของฟังก์ชันFur'є f (x) พับได้: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx หากฟังก์ชัน f (x) เรียบและเกลี้ยงเกลา ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับ krapkov ค่าของอนุกรม Fur ของฟังก์ชัน f (x) จะไปที่ sumi: cosx โดยที่ π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 เล็ก. มะเดื่อ 18. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมชิ้น S1 (x) 19. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 2 (x) 27

28 เล็ก. 2. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกซ้อนทับบนกราฟของผลรวมของส่วน S3 (x) 21 กราฟของฟังก์ชัน f (x) และผลรวมบางส่วน S 99 (x) จะแสดงขึ้น เล็ก. 21. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 99 (x) 28

29 ภาคผนวก 8. ขยายได้โดยฟังก์ชัน f (x) = e ax, a>, x [, π], มากถึงชุดของ Fur'єในโคไซน์เท่านั้น การตัดสินใจ. ต่อเนื่องด้วยฟังก์ชันอันดับชาย (,) (เพื่อให้แสดงค่าความเท่าเทียมกันของ f (x) = f (x) กับ x ทั้งหมด (, π)) ซึ่ง buv เป็นระยะด้วยคาบ 2π ขยายจำนวนยงขึ้น . เราสามารถยอมรับฟังก์ชัน f (x) กราฟของการแทนค่าดังกล่าวในรูปที่ 22. ฟังก์ชัน f (x) ที่จุด Mal 22. กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง f (x) x = kπ, k คือจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับน้ำมัน kofіtsієnti Fur'єจำนวนมาก: b n =, oskіlki f (x) จับคู่ บูรณาการในส่วน Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ขวาน cos nxdx = + 2n บาปขวาน nxdx = πa บาป nxde ขวาน = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π บาป nx π a 2eax 2n2 e ขวาน cos nxd a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1 π a 2 + n 2 Oscillations f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการไหล อนุกรม Fur มาบรรจบกันเป็น f (x) นอกจากนี้ ทั้งหมด x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) ข้าวแสดงให้เห็นถึงการกระทำของการเข้าใกล้ผลรวมบางส่วนไปยังจำนวน Fur'єไปยังฟังก์ชันการตัดที่กำหนด 3

31 เล็ก. 23. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S (x) Mal. 24. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S1 (x) เล็ก 25. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S2 (x) เล็ก 26. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S 3 (x) 31

32 เล็ก. 27. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S4 (x) Mal. 28. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S 99 (x) นำเสนอ 9. วางฟังก์ชัน f (x) = cos x, x π ในแถวของ Fur'є ในโคไซน์เท่านั้น 1. ขยายฟังก์ชัน f (x) = e ax, a>, x π, ไปยังแถวของ Fur'є หลังไซน์เท่านั้น 11. วางฟังก์ชัน f (x) = x 2, x π ไปที่แถวของ Fur'є หลังไซน์เท่านั้น 12. กำหนดฟังก์ชัน f (x) = sin axe, x π, y series Fur'єในโคไซน์เท่านั้น 13. วางฟังก์ชัน f (x) = x sin x, x π ไปที่แถวของFur'єด้านหลังไซน์เท่านั้น วิดโพวิดี 9.cosx = cosx 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k บาป kx π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) บาป nx 32

33 12. ถ้า a ไม่ใช่จำนวนเต็ม sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; ถ้าคู่ a = 2m เป็นตัวเลข ดังนั้น sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; ถ้า a = 2m 1 เป็นจำนวนที่ไม่มีคู่บวก ดังนั้น sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1) π (2m 1) 2 (2n) π 16 n บาป x บาป 2nx 2 π (4n 2 1) 2 3. Series Fury ของฟังก์ชันที่มีคาบเวลาหนึ่ง สมมติว่าฟังก์ชัน f (x) ถูกตั้งค่าในช่วงเวลา [l, l], l> เมื่อทำการแทนที่ x = ly, y π เราสามารถอนุมานฟังก์ชัน g (y) = f (ly / π) ซึ่งหมายถึงในช่วงเวลา π [, π] ฟังก์ชันที่สาม g (y) สร้างอนุกรม (เป็นทางการ) Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny) ประสิทธิภาพซึ่งอยู่เบื้องหลังสูตรของออยเลอร์ ฟูร์ : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 พันล้าน = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π สำหรับฟังก์ชัน f (x) อนุกรมตรีโกณมิติสามารถเปลี่ยนเป็นรูปลักษณ์ได้อย่างง่ายดาย ชอบ: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 llll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. ภาคผนวก 9 เราทราบชุดของฟังก์ชัน Fur'є ในช่วงเวลา (l, l) โดย viraz (A โดยที่ l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn = โดยที่ n, ll A บาป πnx lf (x) บาป πnx l dx + 1 ll dx = B บาป πnx l = BA (1 cosπn) πn อนุกรม Fur ของฟังก์ชัน f (x) สามารถพับได้: f (x) A + B π (BA Scales cosπn = (1) n จากนั้น n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx) l สำหรับ n = 2k เป็นไปได้ b n = b 2k = สำหรับ n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1)

36 ดาว f (x) A + B (BA)? ยักโชล< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 เล็ก. 29. กราฟของฟังก์ชัน f (x) โดยซ้อนทับบนกราฟใหม่ของฮาร์โมนิก S (x) = a 2 และ S 1 (x) = b 1 sinx สำหรับความจำเพาะของกราฟของฮาร์โมนิกอื่นๆ สามชนิด S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l และ S 7 (x) = b 7 sin 7πx แรงขับในแนวตั้ง l 37

38 เล็ก. 3. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ถูกซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมชิ้น S 99 (x) รูปที่ 31. ส่วนของมะเดื่อ 3 ในระดับ38

39 อย่างแน่นอน ในปัญหาของพื้นที่ในชุดของ Fur'є ฟังก์ชันถูกกำหนดให้กับตัวกลางที่กำหนด 14.f (x) = x 1, (1, 1) 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1] 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = บาป π x, (1, 1). (2 1, โดยที่ 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n บาป nπx π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π บาป ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (ล. 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx บาป π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x รูปแบบที่ซับซ้อนของอนุกรม Fur'є Distribution f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ... จะถูกเรียกว่ารูปแบบที่ซับซ้อนของซีรีย์Fur'є ฟังก์ชั่นของการพับเป็นแถวที่ซับซ้อนของFur'єด้วยการมองเห็นของจิตใจที่สงบซึ่งพวกเขาสามารถวางไว้ในแถวคำพูดของFur'є 4

41 ภาคผนวก 1 เราทราบอนุกรม Fur ของรูปแบบซับซ้อนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร f (x) = e ax, y ระหว่าง [, π), de a speech number การตัดสินใจ. ประสิทธิภาพเชิงปริมาณ: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ 2π (a in) π (a in) อนุกรม Fur เชิงซ้อนของฟังก์ชัน f ของเครื่อง f (x) sh aπ n = (1) n a ใน einx เมื่อพิจารณาใหม่ ดังนั้นฟังก์ชัน f (x) จึงเป็นก้อน-เรียบ: ในช่วงเวลา (, π) จะมีความแตกต่างอย่างไม่สิ้นสุด และที่จุด x = ± π มีจุดอยู่ระหว่าง (5), (6) lim h + ea ( + h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = เอ๋ เอ๋ย นอกจากนี้ ฟังก์ชัน f (x) ยังแสดงด้วยคำสั่ง Fur'є sh aπ π n = (1) n a ใน einx ซึ่งหมายถึง sumi: (e S (x) = axe โดยที่ π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ภาคผนวก 11 เรารู้ชุด Fur สำหรับรูปแบบที่ซับซ้อนและคำพูดของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmoกระเป๋าแห่งความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมมาตรฐาน q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 ตอนนี้เรารู้จำนวนFur'єในรูปแบบคำพูดแล้ว สำหรับการสำเร็จกลุ่มใหญ่ด้วยตัวเลข n และ n สำหรับ n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1 จากนั้น 2 = 2a n cos nx f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx 2 ชุดของFur'єในรูปแบบคำพูดของฟังก์ชัน f (x) อันดับนี้ไม่นับอินทิกรัลทางเศรษฐกิจ เรารู้ว่าฟังก์ชันFur'єต่ำ เมื่อเรา virahuvali มีอินทิกรัลที่สำคัญซึ่งสามารถพบได้ในพารามิเตอร์ cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz เศษส่วนอย่างง่ายสามารถใส่ภายใต้สูตรของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anza n n = ทั้งหมด เศษส่วน az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, สั้นกว่า, c n = 1 2i a n sgnn ทิมเองรู้จักFur'єจำนวนหนึ่งในรูปแบบที่ซับซ้อน เมื่อรวมกลุ่มเพิ่มเติมด้วยตัวเลข n และ n เราสามารถอนุมานชุดของฟังก์ชัน Fur'є ในรูปแบบคำพูด: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx ฉันรู้ในระยะทางที่ virahuvati อินทิกรัลพับเชิงรุก: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1 (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15) คำนวณอินทิกรัล cos nxdx 1 2a cosx + a 2 สำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ a> Vikoristovuchi (16) คำนวณอินทิกรัล sin x sin nxdx สำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ a, a> a cosx + a2 ในปัญหา Fur'єในรูปแบบที่ซับซ้อนสำหรับการทำงาน 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. ทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของ Lyapunov (ความเท่าเทียมกันของ Lyapunov) ให้ฟังก์ชัน f: [, π] R เป็นอย่างนั้น f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn ดังนั้น ความสมมูลของ Lyapunov สำหรับฟังก์ชัน f (x) จึงขยายไปถึงตา: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π ความสมมูลที่เหลือของ π เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2 เราสามารถหาค่า sin2 na = 1 สำหรับ n = 2k 1 และ sin 2 na = สำหรับ n = 2k Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ภาคผนวก 14. ให้เราเขียนความเท่าเทียมกัน Lyapunov สำหรับฟังก์ชัน f (x) = x cosx, x [, π] ถ้าเราทราบผลรวมเพิ่มเติมของ ชุดตัวเลข (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π คำตอบ การคำนวณโดยตรงให้ = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x บาป 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) เป็นฟังก์ชันที่จับคู่กัน ดังนั้นสำหรับทั้งหมด n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ถ้า n = 2k, 2, ถ้า n = 2k + 1 ต้องนับค่า a 1 okremo เศษส่วนในสูตรสำเร็จรูปสำหรับ n = 1 ตัวส่วนของเศษส่วนกลายเป็นศูนย์ = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = บาป 2xdx = π 2

50 ดังนั้น Lyapunov parity สำหรับฟังก์ชัน f (x) maviglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, 2 1) = π π PRESENTATION 32. เขียนสมการ Lyapunov สำหรับ ฟังก์ชัน (xf (x) = 2 πx โดยที่ x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π บาป 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; บาป 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn ฟังก์ชัน f (x) และ dn ฟังก์ชันเชิงฟังก์ชัน g (x) . 6. ความแตกต่างของอนุกรมFur'є Nekhai f: R R แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน2π-เป็นระยะอย่างต่อเนื่อง ЇїชุดของFur'є ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx) คล้ายกับ f (x) ฟังก์ชันศูนย์กลางจะเป็นฟังก์ชันเป็นระยะ 2π ซึ่งเราสามารถเขียนอนุกรมที่เป็นทางการ Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx) de a , an, bn, n = 1, 2, ... ฟังก์ชันFur'єฟังก์ชัน f (x) 51

52 ทฤษฎีบท (การขยายระยะของอนุกรมเฟอร์) ในกรณีของ pripushennya บี้ มันเป็นความจริงที่ a =, an = nb n, bn = na n, n 1. การใช้งาน 15. อย่าอาย - ฟังก์ชันที่ราบรื่น f (x) โดยไม่หยุดชะงักในช่วงเวลา [, π] . เห็นได้ชัดว่าเราสามารถพูดได้ว่า f (x) dx = ความผิดปกติเล็กน้อยของ 2 dx 2 dx เนื่องจาก Steklov ไม่สามารถทำงานและเชื่อมต่อใหม่ได้ ดังนั้นฟังก์ชันใหม่จะสูญเสียฟังก์ชันของ f (x) ประเภท f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ ความอ่อนแอของ Steklov สมมติว่า เมื่อคุณเห็นว่ามีฟังก์ชันง่ายๆ สามฟังก์ชัน (ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลาง) จะมีฟังก์ชัน 3 ฟังก์ชัน (ในช่องกลาง) การตัดสินใจ. สนับสนุนโดยฟังก์ชัน f (x) ถึงช่วง [,] โดยอันดับผู้ชาย ฟังก์ชันนี้ขยายออกไปอย่างเห็นได้ชัดด้วยสัญลักษณ์ f (x) ฟังก์ชั่นจะดำเนินต่อไปโดยไม่หยุดชะงักและระหว่างทางจะราบรื่นและราบรื่น [, π] ดังนั้นในขณะที่ฟังก์ชัน f (x) ไม่ขาดตอน ดังนั้น f 2 (x) จะไม่ถูกขัดจังหวะตลอดระยะเวลาและ 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlkiฟังก์ชั่นของทั้งคู่ดำเนินต่อไปจากนั้น b n =, a = หลังอ่างล้างจาน Otzhe ความเท่าเทียมกันของ Lyapunov nabuvєต่อตา 1 π 2 dx = a 2 π n (17) การพิจารณาใหม่ สำหรับ f (x) เพื่อยึดตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความแตกต่างของอนุกรม Fur'є ดังนั้น a =, an = nb n, bn = na n, n 1 ไม่ต้องการ f (x) ไม่ดีที่จุด x 1, x 2, ..., x N ที่ช่วง [, π] ให้ x = x N + 1 = π การเติบโตของการรวมกลุ่ม [, π] ในช่วงเวลา N +1 (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), สภาพผิว f (x) นั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง Todi พลังอันชั่วร้ายของการบวกของอินทิกรัลและจากนั้นส่วนการบูรณาการเป็นที่จดจำ: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) บาป nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) บาป nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) บาป nx 1 f (x) บาป nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) บาป nx 1)

54 + (f (x N + 1) บาป nx N + 1 f (x N) บาป nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = ยังคงเท่ากันโดยที่ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการเลื่อนตำแหน่งโดยตำแหน่งของผู้ชาย ดังนั้น f (π) = f () ในทำนองเดียวกัน เราสามารถจดจำ an = nbn เราได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของการขยายความแตกต่างของอนุกรม Fur'є สำหรับฟังก์ชัน shmatkovo-smooth 2π-คาบที่ไม่ขาดตอน ซึ่งคล้ายกับของระดับกลาง [, π] ภูมิใจในประเภทแรก vyrna จากค่าเดียวกัน f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... . Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 ดังนั้น ตามเงื่อนไขทางผิวหนังในหนึ่งแถว (18) มันจึงเป็นสมาชิกเพิ่มเติมของแถว (17) ไม่มากก็น้อย จากนั้น 2 dx 2 dx คาดเดา scho f (x) єกับพวกในฟังก์ชั่นขั้นสูง maєmo 2 dx 2 dx เพื่อนำมาซึ่งความเท่าเทียมกันของ Steklov ทุกวันนี้ ความผิดปกติของ Steklov มีหลายหน้าที่ หากคุณต้องการประสิทธิภาพหนึ่ง n 2 n อันเป็นผลมาจากศูนย์ แล้ว 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 การรับรอง 37. อย่าอาย - ฟังก์ชัน f (x) ไม่ขาดตอนในช่วง [, π] แจ้งว่าเมื่อคุณได้รับชัยชนะ คุณต้อง f () = f (π) = มีข้อผิดพลาดเล็กน้อย 2 dx 2 dx เนื่องจากเรียกอีกอย่างว่าความอ่อนแอของ Steklov และข้ามไป แต่ก็ไม่เป็นไร f (x) .. 38. ให้ฟังก์ชัน f เป็นไปโดยไม่หยุดชะงักในช่วงเวลา [, π] และในฟังก์ชันใหม่ (หลังขอบมืดของจำนวนจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ฉันจะไปที่ f (x) เพื่อให้เรารวมเข้ากับกำลังสอง เพื่อแจ้งให้ทราบว่า หากมองในแง่หนึ่ง คุณคิดว่า f () = f (π) і f (x) dx = แสดงว่ามีความไร้ประสิทธิภาพเพียงเล็กน้อย 2 dx 2 dx เนื่องจากเรียกว่าความไม่แน่ใจของ Wirtinger และฟังก์ชันคือ ไม่ง่ายนักสำหรับ x) = A cosx + B sin x 56

57 7. ความซบเซาของอันดับFur'єในการปรากฏตัวของเผ่าพันธุ์ที่แตกต่างกันในหมู่ผู้เสียชีวิตส่วนตัว เมื่อการทำให้เป็นชีวิตจริงของวัตถุจริง (การปรากฏตัวของธรรมชาติ, กระบวนการของไวรัส, ระบบควบคุมบางเกินไป) ก้าวไปสู่การพัฒนาของ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ในขั้นตอนของการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ หอกนั้นสั่น: แบบจำลองทางกายภาพคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ รูปแบบทางกายภาพ (แบบจำลอง) ของสนามในการรุกคือ: ปรากฏและพัฒนากระบวนการของปัจจัยหลักนั้นซึ่งถูกเทลงบนอันใหม่ สูตรทางคณิตศาสตร์ (แบบจำลอง) ของเขตข้อมูลในสินค้าคงคลังของการกำหนดปัจจัยและจิตใจในมุมมองของระบบและความเท่าเทียมกัน (พีชคณิต, ดิฟเฟอเรนเชียล, อินทิกรัล ฯลฯ ) ประมุขแห่งรัฐเรียกว่าการตั้งค่าที่ถูกต้องเช่นเดียวกับในพื้นที่ทำงานของการร้องเพลงเพื่อแก้ไขงานแห่งการคิดหนึ่งเดียวเท่านั้นและโดยไม่หยุดชะงักที่จะวางลงบนจิตใจที่ซังและชายแดน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงวัตถุเดียวที่จะดู แต่เราจะเข้าใกล้มันด้วยคำอธิบาย Viznovok pivnyannya vilnykh malikh เส้นขวาง ให้ร้อยเชือกผูกไว้ และเชือกนั้นก็แน่น หากคุณใส่สตริงจากตำแหน่งของเส้นตรง (เช่น ดึงมันออกมาหรือดึงมันตาม) แสดงว่าสายมีแนวโน้มที่จะเป็น 57

58 วากาติยา. ในเวลาเดียวกัน ทุกจุดของสตริงจะยุบในแนวตั้งฉากกับตำแหน่งของ ravnova (การเชื่อมต่อตามขวาง) นอกจากนี้ ในช่วงเวลาที่ผิวหนัง สตริงจะอยู่ในพื้นที่เดียวกัน มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม xou โทดี ถ้า ณ เวลา cob ที่ชั่วโมง t = สตริงได้เติบโตเป็นแกนของ Ox แล้ว u หมายถึงการคลายสตริงออกจากตำแหน่งของเส้นตรงเพื่อให้ตำแหน่งของจุดสตริงจาก abscissa x ในช่วงเวลาสุดท้ายของชั่วโมง t ของฟังก์ชัน tієvalue ด้วยค่าคงที่สกิน t กราฟของฟังก์ชัน u (x, t) แสดงถึงรูปร่างของสตริง ซึ่งสามารถหมุนได้ในเวลา t (รูปที่ 32) ด้วยค่าคงที่ของ x ฟังก์ชัน u (x, t) ให้กฎที่จุด abscissa x เส้นตรง ขนานกับแกน Ou t หายไป อีกอันหายไป 2 ut 2 ถูกเร่ง . เล็ก. 32. บังคับ นำไปใช้กับสตริงจำนวนน้อยอย่างไม่มีกำหนด Warehouse เพียงพอที่จะตอบสนองฟังก์ชัน u (x, t) ปล่อยให้พวกเขาให้อภัย สายแน่นมาก - 58

59 Coy, vvazhatimo เหตุใดจึงไม่ควรบิดสายโดย viginu; tse หมายถึงสปริง scho, scho ขยิบตาที่สตริง, ยืดให้ตรงเสมอตามเดียวกันกับโปรไฟล์ її mitten สตริงถูกส่งโดยสปริงและกฎของฮุก tse หมายความว่าการเปลี่ยนแปลงขนาดถูกดึงตามสัดส่วนของงูของเชือก ยอมรับได้ สตริงแบบเกลียวเดียว tse หมายถึง її її linea gustina ρ postіyna พลังปลุกไม่แข็งแรง Tse แสดงว่าเราเห็นได้อย่างไร Mi vivchatimo เช่าสตริงที่มีขนาดเล็ก หากเราแทนด้วย ϕ (x, t) รอยตัดระหว่าง abscissa กับเส้นประที่จุดจาก abscissa x ที่เวลา t ดังนั้นจิตใจของสนามของเด็กจะอยู่ในนั้นด้วยค่า ϕ 2 (x , t) เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พร้อมกัน (บางครั้ง x, t) ดังนั้น ϕ 2 เนื่องจาก kut ϕ คือ malium ดังนั้น cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і เช่นกัน ค่า (uxx,) 2 ก็สามารถเป็นได้ ละเว้น ฟังทันที viplivay แต่ในระหว่างการสวดมนต์คุณสามารถ zehtuvati ด้วยงูได้แม้ว่าคุณจะเป็นคนตัดสาย อันที่จริง สตริงเล็กน้อย M 1 M 2 ควรได้รับการออกแบบในแกน abscis de x 2 = x 1 + x ถนน l = x 2 x () 2 u dx x x จะแสดงให้เห็นว่าค่าเผื่อของเรา ค่าของแรงดึง T จะเป็นความตึงคงที่ของเชือก ในเวลาเดียวกันเป็นครั้งแรกที่ฉันต้องการสตริง dilyanka M 1 M 2 (รูปที่ 32) ในเวลาของชั่วโมง เสื้อ และแทนที่จะมีส่วนร่วม - 59

60 kv โดยแรงดึง T 1 และ T 2 การสั่นสำหรับการระบายของจุดทั้งหมดของสตริงยุบขนานกับแกน Ou และแรงภายนอก จากนั้นผลรวมของการฉายภาพของแรงดึงบนเพลา Ox รับผิดชอบศูนย์ : T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. เริ่มจากคูทีฟจำนวนเล็กน้อย ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = โครงสร้าง ϕ (x 2, t) แต่ T 1 = T 2 อย่างมีนัยสำคัญ ค่าเริ่มต้น T 1 = T 2 ถึง T ตอนนี้ผลรวมของเส้นโครง F u qix ของแรงบนเพลา Ou: F u = T บาป ϕ (x 2, t) T บาป ϕ (x 1, t) (2) Oskіlkiสำหรับ kutіv sin small (x, t) tg? T (ผิวสีแทน ϕ (x 2, เสื้อ) ผิวสีแทน ϕ (x 1, เสื้อ)) (u T x (x 2, เสื้อ) u) x (x 1, เสื้อ) xx T 2 ux 2 (x 1, เสื้อ) x ... หากจุด x 1 กลับด้าน ดังนั้น F u T 2 u x2 (x, t) x นอกจากนี้ เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่ากองกำลังทั้งหมดไปที่ M 1 M 2 จึงยังมีกฎของนิวตันอีกข้อหนึ่ง ซึ่งหมายความว่ามีความจำเป็นที่จะต้องจัดหากองกำลังทั้งหมดของวันนั้นอย่างรวดเร็ว มวลสตริงคือ M 1 M 2 สำหรับถนน m = ρ l ρ x และสำหรับถนนที่มีการเร่งความเร็วคือ 2 u (x, t) เทียบเท่ากับ t 2 ของนิวตันในมุมมองของ: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ เป็นจำนวนบวกถาวร 6

61 อย่างรวดเร็วบน x เราสามารถกำหนด mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) (21) ด้วยเหตุนี้ เราจึงแสดงผลความแตกต่างเชิงเส้นระหว่างค่าส่วนบุคคล ลำดับความสำคัญต่างกัน โดยมีประสิทธิภาพที่ล้าสมัย Yogo เรียกสาย Chi เป็นชนิดเดียวกับสายเดียวกัน Rivnyannya (21) єกำหนดกฎของนิวตันใหม่และอธิบายการล่มสลายของสตริง เบียร์ที่การแสดงละครจริงของ boule vimogi เกี่ยวกับสายที่ผูกไว้และร้อยสายในชั่วโมงถัดไป ในทำนองเดียวกัน เราควรเขียนมันลงไปดังนี้: a) เป็นสิ่งสำคัญที่จุดสิ้นสุดของสตริงได้รับการแก้ไขที่จุด x = і x = l ดังนั้นมันจึงสำคัญสำหรับประสิทธิภาพ vikonanіทั้งหมด u (, t) =, ยู (ล. เสื้อ) = คุณ (ล. เสื้อ); (22) b) อย่างมีสติ ในขณะนี้ t = ตำแหน่งของสตริงถูกวางไว้ใต้กราฟของฟังก์ชัน f (x) ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมด [, l] ความสมมูลคือ u (x,) = ฉ (x); (23) c) ในช่วงเวลาของชั่วโมง t = จุดของสตริงจาก abscissa x ความเร็วของ g (x) จะได้รับเช่นเดียวกัน u (x,) = g (x) (24) t Spіvdnoshennya (22) เรียกว่าจิตใจที่ชายแดนและspіvіdnoshennya (23) และ (24) เรียกว่าจิตใจซัง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของ vilnyh malikh ขวาง 61

62 strings of strings โดยที่จำเป็นต้องทำ string of strings (21) กับ boundary sinks (22) และ cob sinks (23) และ (24) การตัดสินใจของ vilny สตริงตามขวางขนาดเล็กของ strings โดยวิธี Fur' 'การท่องเที่ยวของภูมิภาค (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... ภายใต้ (25) (21) เราสามารถรับรู้: X T = α 2 X T, (26) หรือ T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) (27) ดูเหมือนว่าคนชั่วได้กลายเป็น ดังนั้นถ้า x ไม่ได้โกหกทางเดียว ส่วนด้านซ้าย (27) จะไม่โกหกเกี่ยวกับ x แต่ด้านขวาประมาณ t และค่าย้อนหลังของ cich ประมาณ 62

63 อาจเป็นโพสต์สเตจซึ่งมีความหมายผ่าน λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ เราจะรู้จักค่าเทียบเท่าอนุพันธ์เฉพาะสองค่า: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) = (29) สำหรับขอบเขตขนาดใหญ่ ให้คิดว่า (22) เห็น X () T (t) = і X (l) T (t) = กลิ่นเหม็นของOskіlkaสามารถมองเห็นได้ทั้งหมด t, t>, จากนั้น X () = X (l) = (3) เราทราบการตัดสินใจของ rivnyannya (28) เพราะมันจะทำให้จิตใจของเขตแดนพอใจ (3) สามมุมมองสามารถมองเห็นได้ วิภาดก 1:>. ให้ λ = β 2 เทียบเท่า (28) กับรูปลักษณ์ของ X (x) β 2 X (x) = ลักษณะ Yogo เท่ากับ k 2 β 2 = รูต k = ± β Otzhe หัวหน้าของการแก้ปัญหา (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx หากคุณทำผิด C และ D เพื่อให้มีการระบายน้ำชายแดน (3) ดังนั้น X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl = Оskіlki β, ระบบ tsya ของสารละลายrіvnyan maє єdine C = D = Otzhe, X (x) ตา 63

64 ยู (x, t). ทิมเองที่วิปัทกุ 1 ไมล์ ได้ตัดสินใจเพียงเล็กน้อย เท่าที่ไม่สามารถสังเกตได้ ประเภท 2: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaєในมุมมอง X (x) = โซลูชันที่เห็นได้ชัดถูกกำหนดโดยสูตร: X (x) = C x + d เรามีวิธีแก้ปัญหาที่ขอบอ่าง (3) เราสามารถอ่านได้ X () = D = і X (l) = Cl = และ C = D = ในเวลาเดียวกัน X (x) และ u (x, t) และเราได้ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยแล้ว วิปาด็อก 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal navatimo n เฉพาะค่าบวก n = 1, 2, ..., ส่วนที่เป็นลบ n จะเป็นการตัดสินใจของสิ่งนั้น (nπ) ค่า​​λ n = เรียกว่าจำนวนสัมบูรณ์และฟังก์ชัน X n (x) = C n บาป πnx ที่มีฟังก์ชันทรงพลังที่สุดของสมการอนุพันธ์ (28) กับความคิดในระดับภูมิภาค (3) ตอนนี้เชื่อมต่ออย่างหลวม ๆ (29) สำหรับคุณลักษณะใหม่ของ ma viglyad k 2 α 2 λ = (32) l 2 Oskіlki vishche mi s'yasuvali แต่วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ X (x) іvnyannya (28) єถ้าเป็นลบ λ เท่ากับ λ = n2 π 2 จากนั้น λ ไมล์ เดียวกันและมองเห็นได้ไกล รากของเส้นตรง (32) є k = ± iα λ และคำตอบของเส้นตรง (29) อาจมีลักษณะดังนี้: T n (t) = A n บาป πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n มีความสอดคล้องกันมากขึ้น เรานำเสนอสูตร (31) และ (33) ใน (25) เราทราบการตัดสินใจส่วนตัวของ rivnyannya (21) แต่เราพอใจกับความคิดของภูมิภาค (22): πnx lll แทรกตัวคูณ C n ที่ส่วนโค้ง і ค่าแทรก C n A n = bn และ B n C n = an, เขียน un (X, T) ที่ตัวแสดง (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) บาป πnx. (34) ล ล ล 65

66 String jigs ซึ่งแสดงวิธีแก้ปัญหา u n (x, t) เรียกว่า power string jigs Oskilki rіvnyannya (21) และเส้นเขตชนะ (22) lіnіynіและทางเดียวจากนั้นรวมโซลูชันlіnіyna (34) (u (x, t) = cos πnαt + bn sin πnαt) บาป πnx (35) lll วัน ), ซึ่งเป็นที่น่าพอใจสำหรับจิตใจแนวเขต (22) ด้วยการสั่นสะเทือนพิเศษของประสิทธิภาพการทำงาน ซึ่งจะทำให้มั่นใจได้ถึงความปลอดภัยที่เท่าเทียมกันของตัวเลข ทุกวันนี้ ประสิทธิภาพของโซลูชัน a และ bn (35) นั้นดีมากจนไม่ใช่แค่เส้นเขตแดนเท่านั้น แต่ยังได้รับฟังก์ชัน cob (23) ที่ (24), de f (x), g (x) (โดยที่ ฉ () = ฉ (ล.) = ก. () = ก. (ล.) =). น่าประทับใจที่ฟังก์ชัน f (x) และ g (x) จะตอบสนองจิตใจของการกระจายไปยัง Fur'є ที่ต่ำ ให้ (35) ค่า t = เราสามารถนำ u (x,) = a n บาป πnx l = f (x) การแยกอนุกรม (35) ใน t และการนำเสนอ t = เราสามารถทำให้เป็น ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x) และฟังก์ชันการแพร่กระจาย f (x) และ g (x) ไปยัง Fur' є ลาวาส นอกจากนี้ a n = 2 l f (x) บาป πnx l dx, b n = 2 l g (x) บาป πnx dx πnα l (36) 66

67 เราสามารถเสนอตัวเลือกที่หลากหลายสำหรับฟังก์ชันต่างๆ และมากถึงพันล้าน (35) เรายอมรับวิธีแก้ปัญหาของ rivnyannya (21) เช่นเดียวกับความคิดแนวเขต (22) และความคิดแบบ cob (23) และ ( 24). ทิมเองได้ให้คำมั่นสัญญากับครอสสตริงขนาดเล็ก มีการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพในฟังก์ชันกำลัง u n (x, t) ของปัญหาเกี่ยวกับการร้อยสายตามที่กำหนดในสูตร (34) เขียนซ้ำได้їїที่viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) บาป πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n l a n จากสูตร (37) จะเห็นได้ว่าทุกจุดของสตริงมีความกลมกลืนกันโดยมีความถี่เดียวและความถี่เดียวกัน ω n = πnα และเฟส πnα δ n แอมพลิจูดของสตริงที่จะนอนลงจากจุด l l abscissi x ของสตริง і ถนน α n บาป πnx ด้วยตัวเลขดังกล่าว ทุกจุดในสตริงจะมองเห็นได้ชัดเจนสูงสุดในทิศทางนั้นทันที และผ่านตำแหน่งของเส้นไปหนึ่งชั่วโมง โกลีวันยาเหล่านี้เรียกว่ายืนสรรเสริญ ยืนเพื่อเพื่อน n + 1 จุดที่ไม่ทำลาย, วิธีการถามรากของบาป rivnyannya πnx = ในช่วงเวลา [, l]. จุดที่เกเรเรียกว่า vuzas ของ khvili ยืน ตรงกลางของโหนดนั้นจุดจะเติบโตซึ่งมีการดูสูงสุด จุดดังกล่าวเรียกว่าแอนติโนด สตริงผิวหนังสามารถใช้สำหรับความถี่การร้องเพลงอย่างเคร่งครัด n = πnα, n = 1, 2, .... และความถี่เรียกว่าความถี่กำลังของสตริง โทนเสียงต่ำที่สุด ซึ่งสามารถเห็นเป็นสตริงได้ เริ่มต้นที่ 67

68 ความถี่พลังงานต่ำ 1 = π T іเรียกว่าเสียงพื้นฐานของสตริง Інші โทนซึ่งสอดคล้องกับล ρ ความถี่ n, n = 2, 3, ... เรียกว่าหวือหวาหรือฮาร์โมนิก สำหรับความเฉพาะเจาะจงของประเภทของสตริง ประเภทของโทนเสียงหลัก (รูปที่ 33) โอเวอร์โทนแรก (รูปที่ 34) และโอเวอร์โทนอื่นๆ (รูปที่ 35) เล็ก. 33. โพรไฟล์ของสตริงซึ่งดูเหมือนโทนหลัก Mal. 34. โพรไฟล์ของสตริงที่ดูเหมือนโอเวอร์โทนแรก 35. โพรไฟล์ของสตริงที่ดูเหมือน overtone ต่าง ๆ เมื่อสตริงไปมันเริ่มต้นด้วยความคิดของ cob ฟังก์ชัน u (x, t) จะปรากฏขึ้นดังที่เห็นได้จากสูตร (35) ใน ดวงตาของ sumy มีฮาร์โมนิกอยู่บ้าง ยศดังกล่าวเพียงพอสำหรับอาณานิคม68

69 สาย є superposition ของตะขอยืน ในเวลาเดียวกัน ลักษณะของเสียงของสายอักขระ (เสียง ความแรงของเสียง เสียงต่ำ) อยู่ในรูปของ sp_vdnoshennya ระหว่างแอมพลิจูดของฮาร์โมนิก ความแรง ความสูง และความดังของเสียง พลังของเสียงนั้นโดดเด่นด้วยพลังงานของเสียง เสียงของเสียงเริ่มต้นด้วยความถี่ของช่วงเวลาไค: หากความถี่สูงกว่าเสียงก็จะสูงขึ้น เสียงต่ำเริ่มปรากฏออกมาเป็นเสียงหวือหวา พลังงานเพิ่มขึ้นหลังฮาร์โมนิก ดังนั้นในลักษณะของเสียง แอมพลิจูดของเสียงหวือหวานั้นดูเหมือนจะน้อยกว่าแอมพลิจูดของเสียงหลัก และเฟสของเสียงหวือหวาก็ค่อนข้างมีนัยสำคัญ Vuho ของเราไม่ไวต่อ Phasie Kolivan เปรียบเทียบ ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งทั้งสองในรูป 36 สงสัยโดย z. Tse บันทึกเสียงด้วยโทนเสียงพื้นฐาน บิดจากคลาริเน็ต (a) และแกรนด์เปียโน (b) เสียงที่ไม่เหมาะสมไม่ใช่เสียงไซน์ธรรมดา ความถี่พื้นฐานของเสียงทั้งสองประเภทจะเท่ากันและเท่ากันคือโทนเสียง เส้นโค้งเล็กน้อยของความจริงที่ว่าโอเวอร์โทนถูกนำไปใช้กับโทนสีหลัก ในความรู้สึกร้องเพลงของทารก ให้แสดงเสียงต่ำเหมือนกัน 69

เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก คอลัมน์ของสตริงที่ไม่ถูกยับยั้งและยังไม่เสร็จสิ้น วิธีของเฟอร์ วิธีของเฟอร์ ยืน chvili 4 การบรรยาย 4.1. เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก ของสะสมมีไม่สิ้นสุดเป็นต้น.

สถาบันเทคโนโลยีแห่งรัฐมอสโก พลเรือน AVIATSIN V.M. Lyubimov, Є.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

กระทรวงการศึกษางบประมาณแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย การจัดตั้งการศึกษาระดับมืออาชีพ MATI Russian State Technological University ได้รับการตั้งชื่อตาม K.E. Tsiolkovsky

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐ Bilorus EE หัวข้อ "มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐ Vitebsk" “แถว” ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์และทฤษฎี. สลายโดย รศ. Є.บี. ดะนิโนะยุ. หลัก

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา หน่วยงานของรัฐบาลกลางสำหรับการจัดตั้งการศึกษาระดับมืออาชีพ PIVDENNY มหาวิทยาลัยของรัฐบาลกลาง R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Methodical

หัวข้อของ Riadi Fur'єการจ้างงานเชิงปฏิบัติของ Riadi Fur'єหลังระบบฟังก์ชั่นมุมฉาก

ทฤษฎีช่วง ทฤษฎีอนุกรม є การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของคลังสินค้า และเพื่อให้ทราบทั้งรายงานเชิงทฤษฎีและเชิงตัวเลข Razr_znyayut ตัวเลขและฟังก์ชั่นมากมาย

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 ทำความเข้าใจเกี่ยวกับฟังก์ชันคาบ 4 ฟิลด์ตรีโกณมิติ 6 3 ระบบมุมฉากของฟังก์ชัน 4 อนุกรมตรีโกณมิติ Fur'є 3 5 แถว Fur'єสำหรับเด็กชายและฟังก์ชันที่ไม่คู่กัน 6 6 เลย์เอาต์

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษามหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกแห่งมาตรและการทำแผนที่ (MІIGAIK)

การบรรยาย 4. การวิเคราะห์ความสามัคคี ชุดของฟังก์ชันเป็นระยะของFur'є การวิเคราะห์ความสามัคคี

THEME V ROW OF FUR'Є LECTURE 6 การจัดวางฟังก์ชันเป็นระยะในชุดของกระบวนการ Fur'є Bagato ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติและเทคโนโลยี อาจทำซ้ำผ่านการร้องเตือนเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง กระบวนการดังกล่าว

ระเบียบวิธี VKAZIVKI ก่อน ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDAN ในหลักสูตรของคณิตศาสตร์ VISCHO "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANNYA RANGE Podviyni INTEGRALI" PART SH THEME ROW

6 แถวของ Fur'є 6 ระบบมุมฉากของฟังก์ชัน ชุดของ Fur'єในระบบมุมฉากของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน ϕ () และ ψ () ค่าและการรวมที่ด้านบน [,] เรียกว่ามุมฉากโดยรวม

มูลค่าเต็ม อินทิกรัล ซูมิ อินทิกรัลเอกพจน์ Nehai ได้รับฟังก์ชัน y = f () กำหนดให้กับรูปแบบ [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 แถวขั้นตอน 5 แถวขั้นตอน: ค่า พื้นที่ของความแตกต่าง แถวหน้าที่ของแบบฟอร์ม (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , ก , เลขเคเดะยะกิ , เรียกเลขชุดรัฐ

มหาวิทยาลัย BILORUSKIY DERZHAVNIY คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์และสารสนเทศ

ใส่เดยากิลงไป ก้น เราทราบผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตไม่รู้จบ สูตรของเทอมกระตือรือร้นคือ a + aq + ... + aq n + ... (a) n = aq น. หลายส่วนของซูมิ ถ้า q = แล้ว

ซาฟดันเนีย 1.1. หากต้องการทราบจากภูมิภาคที่กำหนด การตัดสินใจจากศูนย์เดียวกันคือการตัดสินใจ y = y (x) ของสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งพอใจกับการมอบหมายหน้าที่ของจิตใจระดับภูมิภาค (ผู้จัดการของ Sturm-Livilya)

หัวข้อการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: Singing Integral Nevlasny Integrals Lecturer Pakhomova Є.G. 2560 น. โรซดิล II ร้องเพลงอินทิกรัลของอาหารเสริม yogo นั้น 1. ร้องเพลงอินทิกรัลของพลัง yogo นั้น 1. หัวหน้า

บรรยาย 8 4 หัวหน้า Sturm-Livilya เป็นไปได้ที่จะเข้าใจปัญหา cob-edge สำหรับความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกันในบุคคลที่มีอายุมากกว่าในลำดับที่แตกต่างกันเมื่ออธิบายสตริงเล็ก ๆ ตามขวาง

อธิบายข้อความ: ป้ายอ่านว่า "เท่าเทียม" และหมายความว่าที่ rivnyans คนถนัดขวามาจากสัญลักษณ์และความชั่วร้ายมาจากสัญญาณ bezlich คำตอบสัญญาณ IR หมายถึงตัวเลขคำพูด bezlich เครื่องหมาย IN

82 4. Rozdil 4. หน้าที่และสถานะแถว 4.2 ไม่ว่าง 3 4.2. Busy 3 4.2 .. ใส่ฟังก์ชันใน Taylor series VALUE 4.2 .. ไม่ทราบว่าฟังก์ชัน y = f (x) ต่างกันไม่มีกำหนดในเขตชานเมือง

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA งบประมาณ OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO ประมาณการ "SAMARSKY DERZHAVNIY เทคนิค

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการขนส่งทางรถไฟ Ural State University of Nobles กับภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์

การบรรยายครั้งที่ 3 แถว Taylor และ Maclaurin ความซบเซาของ State Rows การจัดเรียงหน้าที่ใน State Rows ของ Taylor และ Maclaurin Rows

ด้วย A Lavrenchenko wwwwrckoru Lecture Revision of Fur'єการทำความเข้าใจวิธีการสร้างใหม่แบบบูรณาการของ Integral Revision เป็นหนึ่งในวิธีการที่ทำงานหนักในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์єโดยการแก้ไขอย่างมีพลัง

การรวมฟังก์ชัน (สำหรับ Riman) เป็นอินทิกรัลเดียวกัน ใช้การแก้ปัญหา 1. ฟังก์ชัน f (x) = C ถูกรวมเข้าด้วยกัน ดังนั้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงหรือการสั่นสะเทือนของจุด ξ ผม อินทิกรัล

หลักสูตรปี 1 ดำเนินการฟังก์ชัน Riman ซึ่งเท่ากับ 0, m m R () ซึ่งก็คือ m, m 0 และฟังก์ชันอื่นๆ ที่ไม่สั้น 0 ซึ่งไม่สมเหตุสมผล razrivna ในจุดที่มีเหตุผลของผิวหนังและไม่มีการหยุดชะงักของการระคายเคืองผิวหนัง การตัดสินใจ.

1 2 Zm_st 1 แถว Fur'є 5 1.1 ชุดตรีโกณมิติ Fur'є ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 The Fur series ในรูปแบบซับซ้อน 11 1.4 f (x) = ck? .......................

RIVNYANNYA MATHEMATICHNO PHYSICS 1. rivnyannya ที่แตกต่างกันพร้อมลูกส่วนตัว

การบรรยาย 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya strings 2. Rivnyannya ภายหลังการตัด kolivan 3. Earbuds, rims 4. คำชี้แจงของปัญหา 1. ชนะสาย rivnyannya

1. ไฟฟ้าสถิต 1 1. ไฟฟ้าสถิต บทที่ 6 การพัฒนาการเปลี่ยนแปลงในพิกัดคาร์ทีเซียน 1.1 (การตั้งค่าจากโรงงาน 1.49) พื้นที่ z = ประจุจากความแรง σ (x, y) = σ sin (αx) บาป (βy), de σ, α, β post_yni

หัวข้อโมดูล การสิ้นสุดการทำงานและอนุกรม กำลังของความสำคัญเท่าเทียมกันและอนุกรม

เทียบเท่ากับประเภทพาราโบลา วิธีการเปลี่ยนภูมิภาคเดียวกัน หนึ่งภูมิภาคของโรงงาน หน้าที่ของอุปกรณ์ ไม่ใช่หนึ่งสำหรับการนำความร้อนแบบเดียวกัน 7 บรรยาย 7.1 เทียบเท่ากับประเภทพาราโบลา วิธีโพดิล

การบรรยายชุดตัวเลข สัญญาณของมูลค่า ชุดตัวเลข สัญญาณของมูลค่า ชุดตัวเลข สัญญาณของมูลค่า ชุดตัวเลข สัญญาณชุด หมายเลขชุด สัญญาณมูลค่า ชุดหมายเลข

35 7 ชุดตรีโกณมิติFur'є Rows Fur'єสำหรับฟังก์ชันเป็นระยะที่มีจุด T.

คณะโลหะวิทยา ภาควิชาคณิตศาสตร์อาหาร ช่วง คำแนะนำตามระเบียบ Novokuznetsk 5 หน่วยงานเพื่อการศึกษาของรัฐบาลกลาง

Department of Mathematics and Informatics Element of All Mathematics คอมเพล็กซ์ระเบียบวิธีเบื้องต้นสำหรับนักเรียนอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่เริ่มเรียนรู้จากเทคโนโลยีระยะไกล

9. ก่อนอื่นทั้งหมดที่ไม่ใช่ค่า integral 9 .. ให้ฟังก์ชัน f () ถูกตั้งค่าเป็นช่วง I R. ฟังก์ชัน F () เรียกว่าฟังก์ชันหลัก f () สำหรับช่วง I เนื่องจาก F () = f () สำหรับ I ใดๆ นั่นคือฟังก์ชันหลัก

ฟังก์ชันที่แตกต่าง ONE ZMINNOI ความเข้าใจในความรู้สึกที่เรียบง่าย เรขาคณิต และทางกายภาพ Zavdannya เพื่อสร้างก่อนที่จะเข้าใจการกำหนดที่ไม่ชัดเจนของ Stosovo S ถึงเส้น y f (x) ที่จุด A x; NS (

เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก คอลัมน์ของสตริงที่ไม่ถูกยับยั้งและยังไม่เสร็จสิ้น วิธีการของ D'Alembert สตริงที่ไม่มีกลิ่น สูตรของ D'Alembert สตริงที่ไม่ใช่เชิงเส้น 3 การบรรยาย 3.1 เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก

Зміст Vstup. ความเข้าใจพื้นฐาน .... 4 1. Volterri Integral Rivne ... 5 ตัวเลือกครัวเรือน .... 8 2. ความละเอียดของ Volterri Integral Rivnyannya 10 ตัวเลือกครัวเรือน ... 11

พิสัย. แถวของตัวเลข ค่าหลักของ Nehai มอบให้กับหมายเลข Viraz ได้ไม่ จำกัด จำนวน (ผลรวมไม่ จำกัด ) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = ถึง จะเรียกว่าอนุกรมจำนวน ตัวเลข

8. แถวขั้นตอนที่ 8 .. แถวที่ใช้งานได้ของรูปแบบ cn (z) n, (8.) n = de cn เป็นลำดับตัวเลข R คือตัวเลขคงที่ และ z R เรียกว่าแถวสถานะที่มีพารามิเตอร์ c n . Vicone แทนที่ผู้ชนะ

~ ~ ปริพันธ์ที่ไม่สำคัญและไม่สำคัญ การทำความเข้าใจอินทิกรัลดั้งเดิมและไม่ได้กำหนด การกำหนด: ฟังก์ชัน F เรียกว่าแถวแรกซึ่งสัมพันธ์กับฟังก์ชัน f เช่นเดียวกับฟังก์ชันของการติด

3724 แถวของ CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALS 1 โปรแกรม ROBOCH ของ ROSDILIV "แถวของ CRATNI І CRYVOLINIINI INTEGRALS" 11 ชุดตัวเลข เข้าใจชุดตัวเลข พลังของตัวเลข

กิน. RUDIUM MATHEMATICHNY ANALIZ. ตัวเลขและแถวการทำงาน NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "มหาวิทยาลัย NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY" О.М. Rudiy MATHEMATICHNY วิเคราะห์

LECTURE N 7. แถวของเทย์เลอร์และแถวของเทย์เลอร์ ... แถวของเทย์เลอร์ ... แถวของเทย์เลอร์ ...

SQUARE RIVNIANNYA Zmist SQUARE RIVNIANNYA ... 4.สี่เหลี่ยมสุดท้าย rivnyan ... 4 ..

ROZDIL ZAVDANNIA พร้อมพารามิเตอร์ ความคิดเห็น การจัดการด้วยพารามิเตอร์นั้นมักจะเป็นสิ่งอำนวยความสะดวกแบบพับได้ที่โครงสร้างของ EDI เพื่อให้คุณสามารถใช้วิธีการและวิธีการทั้งหมดในการแก้เด็ก

การคำนวณเชิงอนุพันธ์ แนะนำให้รู้จักกับฟังก์ชันอินเตอร์เซกชันของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Rozkritta ของสิ่งที่ไม่ใช่ค่าที่ขอบเขต หน้าที่คล้ายคลึงกัน กฎความแตกต่าง Zasosuvannya obhіdnoї

ชุดของฟังก์ชัน Fur'єมุมฉาก จากมุมมองของพีชคณิต ความสมมูลของฟังก์ชัน de ของคลาส a - ประสิทธิภาพจาก R แต่ C หมายความว่าเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

1. ร้องเพลงอินทิกรัล 1.1. ให้ f ถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชันตั้งค่าเป็นรูปแบบ [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] เรียกชุดนี้ของคะแนน τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , เอ่อ = x< x 1 < < x n 1

Head Stair Rows a a Row view a a a a () เรียกว่า statical, de, a, post-operative เรียกว่า functionaries ในแถว

จัดวางเป็นแถวของพวก FUR และฟังก์ชั่นที่ไม่ได้จับคู่

เลย์เอาต์ของแถวของฟังก์ชัน FUR'є ที่จับคู่และไม่จับคู่ ฟังก์ชัน f (x) ที่กำหนดให้กับรูปแบบ \ -1, de I> 0 จะถูกเรียกว่าเป็นคู่ เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันที่จับคู่จะสมมาตรและแกนของพิกัด ฟังก์ชัน f (x) กำหนดให้อยู่ในรูปแบบ J) de I> 0 เรียกว่า unpaired เนื่องจากกราฟของฟังก์ชัน unpaired จะสมมาตรกับ cob ของพิกัด ก้น a) ฟังก์ชั่น єจับคู่บนทางเลือก | -jt, jt) รวมถึงสำหรับ x e ทั้งหมด b) ฟังก์ชั่นที่ไม่ได้จับคู่นั่นคือการแสดงรายการในแถว Fur'є guys และฟังก์ชั่นที่ไม่ได้จับคู่ Fur'єสำหรับฟังก์ชั่นที่มีสัญกรณ์ที่ซับซ้อนสำหรับ a เป็นเวลานาน จำนวน Fur'є Riadi Fur'єสำหรับระบบมุมฉากจำนวนหนึ่งจำนวน Fur'єสำหรับระบบมุมฉาก กำลังน้อยที่สุดของฟังก์ชันของระบบ ความหลวมของระบบ (x) จากผู้ชายถึงผู้ชาย ฟังก์ชั่นที่ไม่จับคู่, oskіlki Nekhai ฟังก์ชั่น f (x), เช่นเดียวกับความคิดของทฤษฎีบท 1, єจับคู่เหมือน x |. Todi ทั้งหมด tobto / (x) cos nx เป็นฟังก์ชันจับคู่ และ f (x) sinnx เป็นฟังก์ชันที่ไม่จับคู่ ด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันของฟังก์ชันคู่ / (f) ทำให้ฟังก์ชัน Otzhe สมบูรณ์ จำนวนฟังก์ชันคู่ของเครื่องคือ 00 Yaksho f (x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่จับคู่สำหรับเอาต์พุต [-tg, ir | แล้ว ฟังก์ชั่นไม่ได้จับคู่กับฟังก์ชันเดียวกับ และการเพิ่ม f (x) sin nx เป็นฟังก์ชันคู่ ในอันดับดังกล่าว ซีรีย์ Fur'є ของฟังก์ชันที่ไม่จับคู่สามารถเห็นได้ ภาคผนวก 1 การเติมในซีรีย์ Fur'є ในลักษณะที่คล้ายกัน -x ^ x ^ n ฟังก์ชั่น 4 ดังนั้นตามฟังก์ชันของคู่และหากเราพอใจ ทฤษฎีบท 1 ถ้าอย่างนั้นเราก็รู้kofіtsієnti Fur'є การรวม Mamo Dvіchіในส่วนต่าง ๆ otrimamo เพื่อให้จำนวน Fur'єของฟังก์ชั่นนี้ของผู้ดูเป็นดังนี้: อย่างไรก็ตามในมุมมองที่เปิดโล่งค่านั้นยุติธรรมสำหรับ x €ใด ๆ ดังนั้นในคะแนน x = ± ir มีจำนวน f (x) = x2 แฟรกเมนต์ กราฟของฟังก์ชัน f (x) = x และผลรวมของแถวที่กำหนดจะแสดงในรูปที่ เคารพ. Fur'єทั้งชุดช่วยให้คุณทราบผลรวมของชุดตัวเลขชุดใดชุดหนึ่งซึ่งมาบรรจบกันและตัวมันเองที่ x = 0 ถูกปิดใช้งาน แต่แอปพลิเคชัน 2 ขยายในชุด Fur'єในช่วงเวลาของ ฟังก์ชัน / (x) = x ฟังก์ชัน / (x) เป็นที่น่าพอใจสำหรับทฤษฎีบท 1 และยังสามารถขยายเป็นแถวของ Fur ซึ่งเมื่อรวมฟังก์ชันที่ไม่มีการจับคู่ของฟังก์ชันเข้าด้วยกัน เราทราบฟังก์ชันของฟังก์ชันฟังก์ชันของฟังก์ชัน ให้แถวของ Fur ทั้งหมด x คะแนน x - ± tg ผลรวมของ Fur'єจำนวนหนึ่งอย่ากำจัดค่าของฟังก์ชัน / (x) = x ท่าทางที่สำคัญที่สุดบางส่วนอยู่ในลักษณะเดียวกัน [- *, i-] รวมเป็นจำนวน є ฟังก์ชันขั้นสูงเป็นระยะ / (x) = x; กราฟїїแสดงในรูปที่ 6. § 6. การจัดเรียงของฟังก์ชันที่มอบให้กับไดรฟ์ในแถวหลังไซน์หรือโคไซน์ ความสำคัญของฟังก์ชันกลางสำหรับการจัดส่ง 0 | มีความเป็นไปได้ที่จะมียศต่างกัน ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ฟังก์ชัน / บนรถ] ดังนั้น schob /. ฉันมีวิปัสกุมากมายที่จะพูดอย่างนั้น) "เลื่อนยศเป็น vidrizok 0] โดยยศหนุ่ม"; їїจำนวน Fur'є revenge lishe kosinusi เนื่องจากฟังก์ชัน / (f) มีความสำคัญต่อรูปแบบ [-l-, mc] ดังนั้น หากฟังก์ชันไม่มีการจับคู่ หากดูเหมือนว่า / "ได้รับการเลื่อนระดับเป็น [- *, 0] โดยอันดับที่ไม่มีการจับคู่" แถวของ Fur'єทั้งหมดจะสับสนกับไซนัสเท่านั้น นอกจากนี้ ผิวหนังยังถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชั่นที่ซ้ำซากจำเจ / (f) มันถูกกำหนดให้เป็นอย่างอื่น เป็นไปได้ที่จะขยายในแถว Fur'є і ตามไซน์, іตามโคไซน์ แอปพลิเคชัน 1. ฟังก์ชั่นในแถวของดอกกุหลาบ 'є: a) โดยโคไซน์; b) หลังไซนัส M ฟังก์ชั่นนี้มีไว้สำหรับการโปรโมตแบบจับคู่และไม่จับคู่ในvіdrizoks | -x, 0) หากมีการพันกันที่ shmatkovo-monotonous a) ต่อเนื่อง / (z) ในเวอร์ชัน 0) a) ต่อเนื่อง j \ x) ในเวอร์ชัน (-tg, 0 | อันดับหนุ่ม (รูปที่ 7), todi їїแถวของ Fur'є i matime viglyad П = 1 de kofіtsієnti Fur ' є, b) ดำเนินการต่อ / (z) ในรูปแบบ [-x, 0] unpaired (รูปที่ 8) Todi їїจำนวนFur'є§7 ชุดของFur'єสำหรับฟังก์ชันที่มีการแก้ไขฟังก์ชัน Nehai ในช่วงเวลาหนึ่ง) є วารสารที่มีระยะเวลา 21.1 ^ 0 ฟังก์ชันนั้น F (t) = / ^ tj จะเป็นฟังก์ชันคาบของอาร์กิวเมนต์ t จากคาบ และสามารถขยายได้ถึงแถวของ Fur'є , เพื่อให้อยู่ในอำนาจและสำหรับการทำงานเป็นระยะด้วยระยะเวลาหนึ่ง 21. การเติบโตได้รับความแข็งแกร่งและเพียงพอที่จะทำเครื่องหมายการกระจายของฟังก์ชั่นในแถวของFur'є แอปพลิเคชัน 1 การขยายชุดของ Fur'єเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ 21 ซึ่งกำหนดให้กับรูปแบบ [- /, /] โดยสูตร (รูปที่ 9) ดังนั้นเมื่อได้รับฟังก์ชั่นของคู่แล้ว Fur'є maє viglyad จำนวนหนึ่งจะได้รับ Fur'єจำนวนหนึ่งที่ทราบค่าของฟังก์ชั่นของ Fur'єเราคำนึงถึงความสำคัญที่สำคัญอย่างหนึ่งของพลัง ของฟังก์ชันเป็นระยะ ทฤษฎีบท 5. ถ้าฟังก์ชันของคาบ T และถูกรวมเข้าด้วยกัน ให้เป็นจำนวนและความเท่าเทียมกันของ m นั่นคือ การรวมเข้าด้วยกันไม่ได้ขึ้นอยู่กับความแตกต่างระหว่างระยะถนน T แต่ความหมายเดียวกันนั้นถูกต้องจากตำแหน่งของไดรฟ์บนแกนตัวเลข ค่อนข้างยุติธรรม Robimo จะเข้ามาแทนที่การเปลี่ยนแปลงจาก Integral อื่น vvazhayuchi Tse daєและіเช่นกันพลังทางเรขาคณิตหมายความว่าพื้นที่แรเงาในรูปที่ 10 ภูมิภาคเท่ากัน Zokrem สำหรับฟังก์ชัน f (x) ที่มีจุด เป็นที่ยอมรับได้เมื่อแถวของ FUR' guys และฟังก์ชัน unpaired ถูกวางไว้ในแถวหลังไซน์หรือโดยโคไซน์ Fur'є function Fur' series ตามระบบมุมฉาก พลังขั้นต่ำของประสิทธิภาพของ Bessel Equality ของระบบ Parseval Closed การหมุนและการปิดของระบบ แอปพลิเคชัน 2 ฟังก์ชัน x є เป็นระยะจากคาบ เนื่องจากลักษณะที่ไม่มีคู่ของฟังก์ชันนี้ โดยไม่นับอินทิกรัล จึงสามารถใช้งานได้ แต่ถ้าใครได้รับพลัง สปริง ซึ่งเป็นฟังก์ชันของฟังก์ชันคาบเวลา f (x) จำนวน (ความหมายคือ ฟังก์ชันคือ cos - และ sin อาจเป็นคาบ 2 /) แอปพลิเคชัน 3 การเปิดจำนวน Fur'єจะได้รับในช่วงเวลาโดยฟังก์ชันที่มีระยะเวลา 2x (รูปที่ 11) 4 เรารู้หน้าที่ของฟังก์ชัน Otzhe ชุดของFur'єจะเห็นดังนี้: ณ จุด x = jt (จุดตัดของสกุลแรก) maєmo §8 สัญกรณ์ที่ครอบคลุมสำหรับ Fur'єจำนวนหนึ่ง ในย่อหน้าทั้งหมด องค์ประกอบ vikoristovuyutsya deyaki ของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (div. Razdil XXX, de all diy ซึ่งดำเนินการที่นี่ด้วย virases ที่ซับซ้อน suvoro rimmed) ปล่อยให้ฟังก์ชัน f (x) พอใจกับพื้นที่เพียงพอในแถวของ Fur'є ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะแสดงประเภทของสูตรออยเลอร์ของ Vikorist ในรูปแบบที่ซับซ้อน (3) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า virazi kofіtsієntіvผ่านปริพันธ์ ในทำนองเดียวกัน สูตรที่เหลือสำหรับ с „, с_п і с สามารถเขียนได้ดังนี้:. ... คุณสมบัติเรียกว่าฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฟังก์ชันFur'є สำหรับฟังก์ชันเป็นระยะจากจุด) รูปแบบที่ซับซ้อนถูกใช้ในจำนวนคนFur'єจะสามารถดู de kofitsinti Cn ที่คำนวณตามสูตรของค่า w เช่นเดียวกับ ระหว่างแอปพลิเคชัน ช่องว่างในชุดฟังก์ชันFur'єที่ซับซ้อนของช่วงเวลา ฟังก์ชั่นนี้มอบให้กับจิตใจที่เพียงพอของการกระจายในแถวของFur'є ฟังก์ชั่น Nekhai Know-how ที่ซับซ้อน ฟังก์ชั่น Fur'єส่วนกลาง Mahmo สำหรับ unpaired สำหรับผู้ชาย n หรือสั้นกว่า ความหมาย Predstavlyayuchi) ที่เหลือเป็นที่รู้จัก ยิ่งใหญ่ แต่ตัวเลขสามารถเขียนได้ดังนี้: Row Fur'єหลังระบบมุมฉากของฟังก์ชัน 9.1 ระบบมุมฉากของฟังก์ชันแบบไร้ความหมายผ่านฟังก์ชัน (การกระทำ) ทั้งหมด ซึ่งมีความหมายและรวมเข้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส [a, 6] เพื่อให้เป็นเช่นนั้น สำหรับอินทิกรัลธรรมดาบางตัว โซเครมา ฟังก์ชันทั้งหมด f (x) โดยไม่หยุดชะงักกับรูปแบบ [a, 6] เป็น 6] และความหมายของอินทิกรัลของ Lebesgue รวมอยู่ในความหมายของอินทิกรัลของ Riman วิซนาเชนยา ระบบของฟังก์ชัน de เรียกว่ามุมฉากกับรูปร่าง [a, b \ เช่น Umov (1) การถ่ายโอน zokrem แต่ฟังก์ชันไม่เหมาะสำหรับศูนย์เดียวกัน อินทิกรัลที่จะพูดคุยกับอาจารย์ Lebesgue หากค่านี้เรียกว่าบรรทัดฐานของฟังก์ชันในระบบมุมฉากสำหรับเครื่องใดๆ ระบบของฟังก์ชันจะเรียกว่าออร์โธนอร์มัล หากระบบ (y> „(g)) เป็นมุมฉาก แสดงว่าแอปพลิเคชันระบบ 1 ระบบตรีโกณมิติมีทิศทางตั้งฉาก ระบบของฟังก์ชัน єระบบออร์โธนอร์มัลของฟังก์ชัน ภาคผนวก 2 ระบบโคไซน์ในระบบไซน์เป็นแบบออร์โธปกติ แนะนำค่าєเป็นมุมฉากกับทิศทางของ (0, f | แต่ไม่ใช่ orthonormal (ที่ I F-2) ดังนั้นตามบรรทัดฐานของ COS COS ภาคผนวก 3 การบรรจุหีบห่อเมื่อเริ่ม ravnistyu สามารถเรียกได้ว่า bagatole ( พหุนาม) Legendre เพื่อนำฟังก์ชันมาสร้างระบบ orthonormal ของฟังก์ชันระหว่างทาง ดูเหมือนว่า orthogonality ของพหุนาม Legendre ขึ้นไปตามลำดับ ม. - โดยรวมแล้ว จะถูกแปลงเป็นศูนย์ที่ส่วนท้ายของ แบบฟอร์ม [-1,1). วิซนาเชนยา ระบบของฟังก์ชัน (pn (x)) เรียกว่ามุมฉากบนช่วงเวลา (a, b) โดยมีฟังก์ชัน p (x) โดยที่: 1) สำหรับทุก n = 1,2, ... ถูกกำหนดให้เป็นบวกทุกที่ บนช่วง (a, b) หลังขอบมืดที่เป็นไปได้ของจำนวนจุดสิ้นสุด โดยที่ p (x) สามารถเปลี่ยนเป็นศูนย์ได้ เมื่อสร้างความแตกต่างในสูตร (3) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว จะเห็นได้ว่าการหมุนของ Chebishev-Ermit เป็นมุมฉากบนช่วง การใช้งาน 4. ระบบของฟังก์ชัน Bessel (jL (pix) ^ เป็นมุมฉากบนช่วงศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel ระบบมุมฉากของฟังก์ชันใน ช่วงเวลา (a, 6) และแถว (cj = const) มาบรรจบกันบนช่วงเวลาทั้งหมดไปยังฟังก์ชัน f (x): ระบบคือ otrimaєmo, scho tsyaopertsіya maє เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเรื่องปกติ ทิมไม่ใช่ส่วนน้อยสำหรับบางคน ตัวอย่างเช่น ถ้าอนุกรม (4) มาบรรจบกัน ฟังก์ชันทั้งหมดจะไม่ขาดตอนและช่วงห่าง (a, 6) จะไม่ชัด และการดำเนินการนั้นถูกกฎหมาย สำหรับเรา การตีความที่เป็นทางการเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราในทันที โอ้ ปล่อยให้ฟังก์ชั่นถูกตั้งค่า ตัวเลขที่มี * นั้นใช้ได้สำหรับสูตร (5) และเราสามารถเขียนอนุกรมซึ่งอยู่ทางขวามือได้ จะเรียกว่าอนุกรมของฟังก์ชันFur'є f (x) และระบบ (^ n (i) ) - ตัวเลข Cn เรียกว่าฟังก์ชันของฟังก์ชัน Fur'є f (x ) สำหรับทั้งระบบ สูตรการลงชื่อเข้าใช้ ~ (6) หมายความว่าตัวเลข Cn เชื่อมโยงกับฟังก์ชัน / (g) โดยสูตร (5) (หากไม่ได้โอน แต่แถวทางด้านขวาจะบรรจบกัน แต่จะบรรจบกับฟังก์ชัน f มากขึ้น (NS)). การกินอาหารเป็นเรื่องปกติ: มีพลังแบบไหน? ค่าใด "แสดงถึง" ฟังก์ชัน f (x) 9.3. มูลค่าของมูลค่าเฉลี่ย สุดท้ายมาบรรจบกันที่องค์ประกอบ] ตรงกลางเป็นบรรทัดฐานในทฤษฎีบทที่กว้างใหญ่ 6 สุดท้าย) มาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันไม่มาบรรจบกันตรงกลาง M อย่าปล่อยให้ตัวสุดท้าย () ตรงไปยังทิศทาง [a, b] ไปยังฟังก์ชัน / (x) Tse หมายความว่าสำหรับผิวที่จะไปถึง mamo Otzhe ผู้ยิ่งใหญ่เสียงของความแข็งแรงของเรานั้นแข็งแกร่ง ความแข็งแกร่งของ zvorotne นั้นผิด: สุดท้าย () อาจมาบรรจบกันตรงกลางเป็น / (x) แต่ไม่เหมือนกันทุกประการ ก้น ง่ายที่จะเห็นสิ่งสุดท้าย สำรองข้อมูลง่าย แต่ Ale tsya ไม่ทำงานที่ด้านหลัง ตัวอย่างเช่น ฉันจะไม่ยอดเยี่ยม แต่ส่วนใหญ่ ฉันกำลังเริ่มแถวที่มีผู้ชายสี่คนและฟังก์ชันที่ไม่มีใครเทียบได้ cosines Row Fur'єสำหรับฟังก์ชันที่มีช่วงเวลาก่อนช่วงเวลา สัญกรณ์ที่ซับซ้อนสำหรับชุดของ Fur'є Riadi Fur'єสำหรับระบบมุมฉากภายนอกของฟังก์ชัน Row Fur'єด้านหลัง ระบบมุมฉาก กำลังน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ระบบการเย็บด้วยความโกรธ ระบบหลวม ระบบออร์โธนอร์มัลไลซ์ การรวมกันเชิงเส้น de n ^ 1 - แก้ไขจำนวนเต็ม และเราทราบค่าของจำนวนสุดท้าย ซึ่งอินทิกรัลคือค่าต่ำสุด รายงานที่เป็นลายลักษณ์อักษรมีความน่าสนใจเป็นระยะ ๆ เนื่องจากความปกติของระบบ เป็นไปได้ที่จะรับรู้สองความสำเร็จครั้งแรกที่ส่วนขวาของดุลยภาพ (7) ไม่โกหก และอันที่สามไม่สามารถ พบ. ในการนี้ อินทิกรัล (*) บวกค่าต่ำสุดที่ ak = ck อินทิกรัลเรียกว่าค่าประมาณกำลังสองเฉลี่ยของฟังก์ชัน / (x) การรวมกันเชิงเส้น Tn (x) ในอันดับดังกล่าว ค่าเฉลี่ยกำลังสองโดยประมาณของฟังก์ชัน / ยอมรับ คือค่าต่ำสุด ถ้า ถ้า Tn (x) є 71-a ส่วนหนึ่งของผลรวมของจำนวนฟังก์ชัน / (x) หลังระบบ (. Vazhayuchi ak = ck, s (7) เราสามารถยอมรับความเท่าเทียมกัน (9) เรียกว่า Bessel เดียวกัน , ดังนั้นเนื่องจากความเฉื่อยของ Bessel Oskilka ฉันจึงค่อนข้างอยู่ที่นี่ ดังนั้นความไม่สอดคล้องกันของ Bessel จึงเป็นไปได้ในรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่า นั่นคือสำหรับฟังก์ชันใด ๆ / จำนวนฟังก์ชันกำลังสอง ดังนั้นเนื่องจากระบบได้รับการออร์โธนอร์มัลไลซ์บนพื้นฐาน [-x, tg] ดังนั้นความไม่สอดคล้องกัน (10) ที่คานประตูบนสัญกรณ์พื้นฐานของอนุกรมตรีโกณมิติFur'єใช่ หาก f2 (x) ถูกรวมเข้าด้วยกันแล้วเราจะยอมรับมันผ่านจิตใจที่จำเป็นของสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในส่วนด้านซ้ายของเส้นประสาท (11) ความเท่าเทียมกันของ Parseval สำหรับบางระบบ (^ „(x)) เครื่องหมายของความไม่เหมาะสมในสูตร (10) สามารถแทนที่ได้ (สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด / (x) 6 ปี) เป็นสัญญาณของความเท่าเทียมกัน ความเท่าเทียมกันของ Otriman เรียกว่า Parseval-Steklov's parity (ใจ) อัตลักษณ์ของเบสเซล (9) ทำให้เราสามารถเขียน umov (12) ในรูปแบบเทียบเท่าทิมได้ด้วยตัวเอง ชื่อจิต หมายถึง ส่วนของซูมิ Sn (x) ต่ำสำหรับฟังก์ชัน / (x) เพื่อบรรจบกับ ฟังก์ชั่น / (x) อยู่ตรงกลาง tobto เกินมาตรฐาน 6]. วิซนาเชนยา ระบบถูกทำให้เป็นมาตรฐาน (เรียกว่ามากกว่าใน b2 [ay b] ราวกับว่าฟังก์ชันสามารถแม่นยำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในการผสมผสานระหว่างบรรทัดกลาง สามารถส่งพร้อมกับการส่งจำนวนมาก เพื่อที่จะได้เป็นฟังก์ชันสำหรับ , B \ i สำหรับ e> 0 ใด ๆ มีจำนวนธรรมชาติ nq іตัวเลข a \, a2y ... สำหรับทั้งระบบไปที่ f (x) ตรงกลางเพื่อให้สำหรับบรรทัดฐาน คุณสามารถแสดงว่าตรีโกณมิติ ระบบเบาบาง ดวงดาวแน่นเต็มตา ทฤษฎีบทที่ 8 ถ้าฟังก์ชันของอนุกรมตรีโกณมิติ Fur มาบรรจบกันในค่าเฉลี่ย 9.5. ระบบปิด. ศักยภาพและการปิดล้อมของระบบ Visnachennya ระบบของฟังก์ชัน \ เป็นแบบออร์โธปกติ เรียกว่าปิด ราวกับว่าอยู่ในอวกาศ Li \ a, b) ไม่ใช่ฟังก์ชันที่เป็นมุมฉากของฟังก์ชันทั้งหมด ขวา 1. วางแถวของ Fur'єในช่วงเวลา (-ya-, z) ฟังก์ชั่น 2. วางแถวของ Fur'єในช่วงเวลา (-tg, tg) ฟังก์ชั่น 3. วางแถวของ Fur'є ฟังก์ชันช่วงเวลา (-tg, tg) 4. วางชุด Fur'єในช่วงเวลา (-jt, tg) ให้กับฟังก์ชัน 5. วางชุด Fur'n ในช่วงเวลา (-tg, tg) ด้วยฟังก์ชัน f (x) = x + x 6. วางถึงแถวFur'єในช่วงเวลา (-jt, tg) ฟังก์ชัน n 7. วางถึงแถว Fur'є ในช่วงเวลา (-tg, z) ฟังก์ชัน / (x) = sin2 x 8. วางถึงแถวFur'єในช่วงเวลา (-tg, jt) ฟังก์ชั่น f (x) = y 9 วางถึงแถว Fur'єในช่วงเวลา (-tt, -k) ฟังก์ชัน / (x ) = | บาป x |. 10. วางชุดของFur'єในช่วงเวลา (-ya-, mr) ฟังก์ชั่น / (x) = § 11. วางฟังก์ชัน f (x) = sin § ถึงแถวของ Fur'є ในช่วงเวลา (-tg, tg) 12. ในการขยายแถวของ Fur'єด้วยฟังก์ชัน f (x) = n -2x กำหนดไว้ในช่วงเวลา (0, x) ผลักเข้าไปในช่วงเวลา (-x, 0): a) ในฐานะผู้ชาย b) อันดับไม่มีคู่ 13. วางแถว Fur ไว้ด้านหลังไซน์ของฟังก์ชัน f (x) = x2 ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (0, x) 14. แยกย่อยชุดของฟังก์ชันFur'є / (x) = 3 ให้ในช่วงเวลา (-2.2) 15. ขยายฟังก์ชัน f (x) = | x | ไปยังแถวของ Fur'є ในช่วงเวลา (-1,1) 16. วางแถว Fur ไว้ด้านหลังไซน์ด้วยฟังก์ชัน f (x) = 2x ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (0,1)