Razkladannya ในแถวของ fur'є guys และ unpaired ทำหน้าที่ไร้ประสิทธิภาพของ parseval bezsel ค่าของประสิทธิภาพในแถวสำหรับ fur'єสูตร

ราวจับFur'єฟังก์ชัน f (x) บนช่วงเวลา (-π; π) เรียกว่าอนุกรมตรีโกณมิติในรูปแบบ:
, เดอ

ฟังก์ชันจับFur'є f (x) บนช่วงเวลา (-l; l) เรียกว่าอนุกรมตรีโกณมิติของรูปแบบ:
, เดอ

น่าชื่นชม เครื่องคิดเลขออนไลน์ของค่าสำหรับการขยายฟังก์ชัน f (x) สำหรับ Row Fur'є

สำหรับฟังก์ชันโมดูล (เช่น | x |) เลือก การกระจายโคไซน์.

กฎการแนะนำฟังก์ชั่น:

สำหรับฟังก์ชันของโมดูล ให้เลือกการแจกแจงแบบโคไซน์ ตัวอย่างเช่น สำหรับ | x | จำเป็นต้องสำรองฟังก์ชั่นโดยไม่มีโมดูลดังนั้น NS.

แถวของ Fur'є shmatkovo- โดยไม่หยุดชะงัก shmatkovo- ซ้ำซากจำเจและพันกันเป็นระยะ (- l;l) ฟังก์ชันเพื่อบรรจบกันตามแกนจำนวนเต็ม

Suma แถว Fur'є S (x):

• єฟังก์ชั่นเป็นระยะด้วยระยะเวลา 2 l... ฟังก์ชัน u (x) เรียกว่า คาบด้วยคาบ T (หรือ T-คาบ) สำหรับโดเมน x ทั้งหมด R, u (x + T) = u (x)
• ในช่วงเวลา (- l;l) เริ่มต้นใช้งานฟังก์ชัน NS(NS) เบื้องหลังจุดตัด
• ที่จุดตัด (แบบแรก คือ ฟังก์ชันถูกล้อมรอบ) ฟังก์ชัน NS(NS) และเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา ค่าเฉลี่ยคือ:

.
ที่จะบอกว่าฟังก์ชั่นของการพับเป็นแถวของFur'єในช่วงเวลา (- l;l): .

ยักโช NS(NS) เป็นฟังก์ชั่นที่จับคู่แล้วїїแพร่กระจายออกไปรับชะตากรรมของฟังก์ชั่นที่จับคู่ tobto ข น=0.
ยักโช NS(NS) - ฟังก์ชั่นที่ไม่มีการจับคู่จากนั้นก็กระจายออกไปใช้ชะตากรรมของการกีดกันฟังก์ชั่นที่ไม่ได้จับคู่ tobto NS=0

ราวจับFur'є ฟังก์ชั่น NS(NS) ในช่วงเวลา (0; l) ในโคไซน์ของหลายส่วนโค้ง เรียกว่าเป็นแถว:
, เดอ
.
ราวจับFur'є ฟังก์ชั่น NS(NS) ในช่วงเวลา (0; l) หลังไซน์ของหลายอาร์ค เรียกว่าเป็นแถว:
, เดอ .
รวมเข้ากับซีรีส์ Fur'є ที่อยู่เบื้องหลังโคไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วน є จับคู่ฟังก์ชันคาบกับคาบ2 l, scho zbіgaєatsya s NS(NS) ในช่วงเวลา (0; l) ที่จุดรบกวน
รวมแถวของFur'єด้านหลังไซน์ของส่วนโค้งหลาย ๆ єฟังก์ชันเป็นระยะที่ไม่จับคู่กับช่วงเวลา 2 l, scho zbіgaєatsya s NS(NS) ในช่วงเวลา (0; l) ที่จุดรบกวน
จำนวน Fur'єสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนดสามารถให้พลังของความเป็นโสด เพื่อให้สามารถประมวลผลในลักษณะเดียวกัน ด้านล่างการลงทะเบียนของสูตร ตัวอย่างเช่น สำหรับการเลือกประสิทธิภาพเพิ่มเติม รูปร่าง

ก้นหมายเลข 1 ช่องว่างที่มีฟังก์ชัน f (x) = 1:
a) ที่แถวบนสุดของ Fur'єในช่วงเวลา(-π ;π);
b) แถวหลังไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วนบนช่วงเวลา(0;π); ปลุกกราฟของผู้ที่ถูกตัดออกไปจำนวน Fur'є
การตัดสินใจ:
a) ขยายไปยังแถว Fur'є ในช่วงเวลา (-π; π) ma viglyad:
,
และคุณสมบัติทั้งหมด ข น= 0 เพราะ ฟังก์ชั่นได้รับ - คู่; อันดับดังกล่าว

เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันของวิโคนันจะเป็น
NS 0 =2, NS 1 =NS 2 =NS 3 =…=0
ฉันจะดูพลังของความสามัคคีและการทำงานแบบชูคานี่ ด้วยอันดับดังกล่าว การแจกแจงชูคาเนะ: ไคก็แค่ 1 = 1
ในกรณีเช่นนี้ เนื่องจากสามารถใช้ตัวเลขสำหรับฟังก์ชันได้ กราฟสำหรับ Fur'єจำนวนหนึ่งจึงสามารถใช้สำหรับฟังก์ชันจำนวนหนึ่งบนเส้นจำนวนทั้งหมดได้
b) ขยายเป็นช่วง (0; π) หลังไซน์ของหลายส่วนโค้งของ ma viglyad:
การยอมรับประสิทธิภาพนั้นแย่เกินไปอย่างเห็นได้ชัด สูตรSkoristaєmosyaสำหรับการคำนวณประสิทธิภาพ:


ในอันดับดังกล่าวสำหรับผู้ชาย NS (NS=2k) มะโม ข น= 0 สำหรับ unpaired ( NS=2k-1) -
อืม .
ปลุกกราฟของ otrimanny ของ Fur'єจำนวนหนึ่งโดยเร่งพลังของเขา (divine vishche)
ตอนนี้ จะมีกราฟของฟังก์ชันศูนย์กลางในช่วงเวลาที่กำหนด Dal เร่งซูมิที่ไม่จับคู่เป็นตัวเลข กราฟ prodovzhumo มีความสมมาตรกับ cob ของพิกัด:

Prodovzhumo เป็นระยะ ๆ บนแกนตัวเลขทั้งหมด:


ฉัน nareshti ที่จุดตัดตรงกลาง (เราปกครองและอาศัยอยู่ขอบเขต) ความหมาย:

ก้นหมายเลข 2 ฟังก์ชั่น บนช่วงเวลา (0; 6) หลังไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วน
การตัดสินใจ: การแจกจ่าย, ล้อเล่น, maє viglyad:

ความผันผวนและสิงโตและสิทธิของส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันเพื่อพิสูจน์การทำงานของบาปจากการโต้แย้งอื่น ๆ จากนั้นให้พิจารณาใหม่ซึ่งหายไปเมื่อมีความหมายใด ๆ ของ n (ธรรมชาติ!) ข้อโต้แย้งของไซนัสในบางส่วนที่ถูกต้อง:
สำหรับดาว n = 18 ซึ่งหมายความว่าการบริจาคดังกล่าวคือการแก้แค้นในส่วนที่ถูกต้องและหน้าที่มีความผิดในการเข้ายึดหน้าที่ในส่วนด้านซ้าย: NS 18 =1;
สำหรับดาว n = 4 หมายถึง, NS 4 =-5.
ด้วยอันดับดังกล่าว เพื่อช่วยในการเลือกการแสดง คุณสามารถแก้ไขเลย์เอาต์ในระยะไกลได้

จามรีแล้วกรุณา nabridli ฉันสามารถเห็นได้ว่าช่วงเวลานั้นได้รับคำสั่งแล้วเนื่องจากทุนสำรองเชิงกลยุทธ์ของทฤษฎีได้สอนชั่วโมงของอาหารกระป๋องใหม่ เหตุใดจึงไม่สามารถจัดเรียงฟังก์ชันในแถวเหมือน inaxe ได้ ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ไหมที่จะวาดเส้นตรงผ่านไซน์และโคไซน์? ให้มีชื่อเสียง อะลา ตะกิ นาเค็บโต มีหน้าที่อย่างหนึ่งอย่างใดอันหนึ่งอันไกลโพ้น
"vozz'єdnannya". ขั้นตอนที่คุ้นเคยมากมายในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ ไปที่ฟังก์ชันในแถว

ในตอนท้ายของวัน เราสามารถเรียนรู้เกี่ยวกับชุดวิชาตรีโกณมิติของ Fur'є โภชนาการของเศรษฐกิจและซูมิของมัน และเลือกจำนวนก้นสำหรับการกระจายของฟังก์ชันในแถวของ Fur'є อย่างน่าประหลาดใจ . ส่วนใหญ่ฉันต้องการตั้งชื่อบทความ "A row of Fur'єสำหรับกาน้ำชา", ale tse bulo ด้วยไหวพริบ, บางคนสำหรับคนรุ่นหลังที่จะรู้ความรู้เกี่ยวกับการกระจายของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และข้อมูลเชิงปฏิบัติ ถึงนักบินอวกาศฝึกนาคดูวาไทม์ =)

อย่างแรก จนกว่าวัสดุจะยกขึ้น ด้านข้างต้องเข้ารูปแบบใหม่ เรานอนหลับเราเห็นมันและมันเป็นเรื่องยาก ไม่มีอารมณ์รุนแรงจากแรงขับของอุ้งเท้าชั่วร้ายของหนูแฮมสเตอร์และความคิดที่ล่วงล้ำเกี่ยวกับชีวิตไทก้าของ aquarelle riboks Fur'єจำนวนหนึ่งไม่สามารถพับเก็บได้ในทันที แต่เป็นแนวทางปฏิบัติในการเพิ่มความเข้มข้นของความเคารพ - ในอุดมคติมีการพัฒนาสิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุดเพิ่มขึ้นอีก สถานการณ์จะเร่งขึ้นตามเวลา แต่ไม่ใช่วิธีง่ายๆ ในการพิจารณาวิธีแก้ปัญหาและรูปลักษณ์ใหม่ ด้วยอันดับดังกล่าว หากความภาคภูมิใจในตนเองของคุณต่ำกว่าค่าเฉลี่ย เราจะให้อภัยคุณอย่างสวยงามยิ่งขึ้น ไชปราฟดา

กล่าวอีกนัยหนึ่งก่อนที่จะบินสู่อวกาศจำเป็นต้องคว้าแผงสิ่งที่แนบมาของยานอวกาศ ส่วนใหญ่เนื่องจากความหมายของฟังก์ชั่นซึ่งมีความผิดจากการคลิกที่เครื่อง:

ด้วยความหมายที่เป็นธรรมชาติ:

1). อย่างแรก ไซนูซอยด์กำลัง "เย็บ" ฝีเย็บผ่านผิวหนัง "พาย":
... Scho ยอมรับความหมายเชิงลบในการโต้แย้งผลลัพธ์จะเหมือนกัน:

2). แต่พวกเขาไม่รู้ทุกอย่าง โคไซน์ "pi en" єเทียบเท่ากับ "กะพริบ":

อาร์กิวเมนต์เชิงลบไม่ต้องกังวล: .

มาบุต ก็พอ

หนึ่งในสามฉันเป็นนักบินอวกาศ shanovny zagіnจำเป็นต้องไป ... integraruvati.
โซเครมร้องเพลง ให้ฟังก์ชันกับเครื่องหมายอนุพันธ์, รวมชิ้นส่วนฉัน bootie ใน frets z โดยสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิทซ์... มันสำคัญมากที่ด้านหน้าด้านขวา ฉันไม่แนะนำให้ข้ามอย่างเด็ดขาดเพราะมันไม่ได้แบนเมื่อใช้งานไม่ได้:

ก้น 1

นับอินทิกรัล

de nabuwaєคุณค่าทางธรรมชาติ

การตัดสินใจ: บูรณาการดำเนินการสำหรับการเปลี่ยนแปลง "x" และในขั้นตอนที่กำหนด การเปลี่ยนแปลงแบบไม่ต่อเนื่อง "en" จะถูกใช้เป็นค่าคงที่ ในปริพันธ์ทั้งหมด มาพร้อมกับฟังก์ชันของเครื่องหมายอนุพันธ์:

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ จนกว่าคุณจะดีพอที่จะเล็งได้ มีลักษณะดังนี้:

Zvikaєmo:

Chotiri ถูกเว้นวรรคอย่างเป็นธรรมชาติ พยายามใช้เวลาให้เกิดประโยชน์สูงสุดในการผสานรวมให้สมบูรณ์ในระยะเวลาสั้นๆ โซลูชั่นการเรียนรู้สำหรับบทเรียน

Pislya yakisnogo vikonannya ถูกต้อง nadyagaєmo spacesuits
และพร้อมที่จะเริ่มต้น!

การกระจายของฟังก์ชันจากแถว Fur'є ถึง the

ฟังก์ชันเดยาคุ ยากะ กำหนดยืมล่วงหน้า (และบางทีสำหรับเงินล่วงหน้าที่มากขึ้น) เนื่องจากฟังก์ชั่นถูกรวมเข้ากับ แถวของ Fur'є:
เดอ - ที่เรียกว่า kofіtsієnti Fur'є.

เมื่อเรียกเลขหมาย ระยะเวลาจำหน่าย, และจำนวน - napіvperіodomการกระจาย.

เห็นได้ชัดว่าใน zagalny vipad แถวของFur'єพับเป็นไซนัสและโคไซน์:

Dіysnoเขียนบรรยาย:

เทอมศูนย์มีค่าต่ำเพื่อจดจามรี

ค่าสัมประสิทธิ์Fur'єจ่ายสำหรับสูตรต่อไปนี้:

การคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นเรื่องดี ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะรับฟังหัวข้อ ระยะเวลาจำหน่าย, ช่วงเวลา, kofіtsієnti Fur'єที่ไม่ตื่นตระหนกไม่ใช่เรื่องของ hvilyuvannyam ก่อนเข้าสู่อวกาศ ทุกอย่างถูกบันทึกไว้ในก้นที่ใกล้ที่สุดต่อหน้าผู้มาเยี่ยมมันมีเหตุผลที่จะตั้งค่าอาหารที่เป็นประโยชน์ทุกวัน:

สิ่งที่ต้องแก้ไขในการวางคำสั่งที่ต่ำกว่า?

ขยายฟังก์ชันไปที่แถวของ Fur'є Dodatkovo มันไม่ง่ายเลยที่จะวาดกราฟของฟังก์ชัน กราฟของผลรวมเป็นตัวเลข ผลรวมส่วนตัว และในจินตนาการระดับมืออาชีพขั้นสูง มีการพัฒนามากกว่านั้น

จะขยายฟังก์ชั่นเป็น Fur'єจำนวนหนึ่งได้อย่างไร?

ซักวันต้องรู้ kofіtsієnti Fur'єพับและนับสาม ร้องเพลงอินทิกรัล.

เป็นพังพอนเขียน zagalny viglyad ใหม่เป็นแถวของFur'єที่มีสามสูตรการทำงานให้กับตัวคุณเอง ฉันเป็นเรเดียมตัวเล็ก ๆ ดังนั้นคนที่เปิดไซต์ในสายตาของฉัน เด็กแห่งโลกกลายเป็นนักบินอวกาศ

ก้น2

แจกจ่ายฟังก์ชันในแถวของFur'єในบรรทัด กราฟโพบูดูวาติ กราฟสุมิ ถัดจากซูมิส่วนตัวนั้น

การตัดสินใจ: ส่วนแรกของโรงงานตั้งอยู่ที่ฟังก์ชันการกระจายในแถวของ Fur'є

หูเป็นมาตรฐาน, การเขียน obov'yazkovo, scho:

ในเวลาเดียวกัน เช่น ระยะเวลาการจำหน่าย

เราวางฟังก์ชั่นในแถวของFur'єในบรรทัด:

Vikoristovuchi ตามสูตรเรารู้ kofіtsієnti Fur'є... ตอนนี้คุณต้องวางมันลงแล้วนับสาม ร้องเพลงอินทิกรัล... เพื่อความสะดวกฉันจะนับคะแนน:

1) อินทิกรัลแรกนั้นง่ายที่สุด อย่างไรก็ตาม ปริพันธ์ของดวงตาเป็นดวงตาแล้ว:

2) Vikoristovumo เป็นเพื่อนกับสูตร:

Tsey integraral dobre znayomiy ฉัน ฉีกเป็นชิ้นๆ:

ด้วยความรู้ของวิโคริสตาโน วิธีการนำฟังก์ชันไปยังเครื่องหมายอนุพันธ์.

ที่ผู้จัดการทักทายทันที vikoristovuvati สูตรการรวมชิ้นส่วนโดยอินทิกรัลร้องเพลง :

ช่างเทคนิคสองสามคน Perche กำลังเขียนสูตร ต้องวางกลอนทั้งหมดไว้ที่คันธนูใหญ่, เรื่องที่สนใจก่อนอินทิกรัลเอาท์พุต єคงที่ ที่ขาดไม่ได้! คันธนูสามารถเปิดได้กับเป้าปลอมทุกชนิด ฉันกำลังพยายามแบ่งมันออกเป็นส่วนที่เหลือ Pershu มี "shmatku" Vyavlyaemo ความแม่นยำสูงที่สถานีจามรี bachite ค่าคงที่ไม่ได้อยู่ที่ด้านขวา แต่ระหว่างการรวมจะถูกนำเสนอที่ทีวี Qia Diya มองเห็นได้จากซุ้มสี่เหลี่ยม และอินทิกรัลของ "shmatka" อีกสูตรหนึ่งนั้นดีสำหรับคุณเพราะ trenuval ;-)

ฉัน naygolovnish - ความเข้มข้นของความเคารพ!

3) การประชุมครั้งที่สามของ Shukaymo Fur'є:

Otriman ของญาติของอินทิกรัลด้านหน้าซึ่งเหมือนกัน รวมเข้ากับชิ้นส่วน:

สำเนาโทรชาทั้งหมดถูกพับ ฉันจะให้ความเห็นในรายละเอียดด้านล่าง:

(1) วีราซจะผงาดลีลาที่ธนูใหญ่... ไม่อยากเบื่อ มักใช้ค่าคงที่

2 นับถือเป็นพิเศษครับมาถึง "shmat" ตัวแรก: ค่าคงที่ในการเผาขอบและดูแลชะตากรรมของการเปลี่ยนแปลงระหว่างการรวม (i) กับ tvir ผ่าน zakharaschen_st ฉันจะเขียนความรู้ qiu dіyuเพื่อดูด้วยส่วนโค้งสี่เหลี่ยม ด้วย "shmat" อื่น ทุกอย่างง่ายกว่า: ที่นี่คนอื่น ๆ ปรากฏขึ้นเพื่อเปิดส่วนโค้งอันยิ่งใหญ่และค่าคงที่เกิดจากการรวมอินทิกรัลที่รู้จัก ;-)

(3) ที่คันธนูสี่เหลี่ยม การจัดเรียงใหม่จะดำเนินการ และอินทิกรัลที่ถูกต้อง - การติดตั้งระหว่างการรวมเข้าด้วยกัน

(4) Vinosimo "ไฟกระพริบ" จากคันธนูสี่เหลี่ยม: หากคันธนูด้านในเปิดอยู่:.

(5) ระหว่าง 1 ถึง 1 ที่ส่วนโค้ง การเชื่อมต่อที่เหลือจะดำเนินการ

รู้จักคุณสมบัติทั้งสามของFur'є:

สูตรคือ :

ในขณะเดียวกันก็ไม่ลืมเรื่องการแจกนาฟปิล ในทางกลับกัน เวทีเป็นแบบคงที่ ("ลบสอง") เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะนอนข้างหลัง "en" ไวน์จึงอยู่หลังซูมิ

ในอันดับดังกล่าว เรารับรู้การกระจายของฟังก์ชันในแถวของ Fur'є ในช่วงเวลาหนึ่ง:

บำรุง Vivchimo zbіzhnostіต่ำFur'є ฉันจะอธิบายทฤษฎี โซเครม ทฤษฎีบทของ Dirichleแปลตรงตัวว่า "ติดนิ้ว" ดังนั้นหากต้องการสูตรที่ดี จะเป็น พังพอน โดนมือจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ตัวอย่างเช่น เล่มที่ 2 ของ Bokhan หรือเล่มที่ 3 ของ Fikhtengoltsya มีความสำคัญใหม่).

ในส่วนอื่น ๆ ขององค์กร มีความจำเป็นต้องวาดกราฟ กราฟของซูมิในแถว และกราฟของผลรวมส่วนตัว

กราฟฟังก์ชัน є ตรงจตุรัสจามรีวาดด้วยเส้นประสีดำ:

หยิบขึ้นมาจากกระเป๋าเป็นแถว ดังที่คุณทราบ แถวหน้าที่มาบรรจบกันเป็นฟังก์ชัน vypadnu ของเรากระตุ้นให้Fur'є .จำนวนหนึ่ง สำหรับค่าใด ๆ "x"ไปที่ฟังก์ชั่นตามที่แสดงด้วยสีของหนอน ฟังก์ชั่น Qia ที่จะทน เชียร์แบบที่ 1 ครับที่จุดแม้ว่าจะระบุไว้ในนั้น (จุดสีแดงบนเก้าอี้)

ในอันดับนี้: ... มันง่ายที่จะ bachiti ดังนั้นจึงง่ายต่อการดูจากฟังก์ชั่นเฉพาะในบันทึก มีการใส่ไอคอน "ตัวหนอน" และจี้ไม่ใช่สัญญาณของความเท่าเทียมกัน

อัลกอริทึม Vivchimo, yakim ด้วยตนเอง buuvati จำนวนหนึ่ง

ในช่วงเวลาตรงกลาง แถวของ Fur'єจะบรรจบกันเป็นฟังก์ชัน (เชอร์โวเนียตรงกลางจะลงเอยด้วยเส้นประสีดำของฟังก์ชันเส้น)

มีคำสองสามคำเกี่ยวกับธรรมชาติของเลย์เอาต์ตรีโกณมิติให้ดู มีFur'є .จำนวนหนึ่ง เพื่อป้อนเฉพาะฟังก์ชันคาบ (ค่าคงที่ ไซน์ และโคไซน์) จำนวนเท่ากับ ยังเป็นฟังก์ชันเป็นระยะ.

แอปพลิเคชันเฉพาะของเรามีความหมายอย่างไร และ tse หมายถึงสิ่งเหล่านั้น ซึ่งเป็นผลรวมของตัวเลข –ไม่สม่ำเสมอเป็นระยะและผู้ที่ส่งสีแดงในช่วงเวลานั้นมีความผิดในการทำซ้ำมือและมือขวาอย่างไม่มีกำหนด

ฉันคิดว่าในทันทีความหมายของวลี "ระยะเวลาของการกระจาย" ก็ชัดเจนเพียงพอ เห็นได้ชัดว่าอภัยให้ผ่านสถานการณ์ผิวหนังรู้และทำซ้ำอีกครั้ง

เพื่อให้แน่ใจว่าได้เสร็จสิ้นภาพสามครั้งเนื่องจากมันหักบนเก้าอี้นวม แม้แต่ "ตอไม้" ของช่วงเวลาsusidnіkh - bulo zrozulylo มากดังนั้นกราฟจึงดำเนินต่อไป

ที่น่าสนใจเป็นพิเศษที่จะนำเสนอ จุดตัดประเภทที่ 1... เมื่อถึงจุดดังกล่าว แถวของFur'єจะลงไปที่ค่าที่แยกได้เนื่องจากถูกคั่วตรงกลาง "ลาย" (จุดสีแดงบนเก้าอี้นวม) จามรีรู้พิกัดของจำนวนคะแนน? มีชุดของพิกัดที่รู้จักของ "บนสุด": เมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดขวาสุดของคาบศูนย์กลางของการแจกแจง: ในการคำนวณพิกัดของ "ล่างบน" ง่ายกว่าที่จะใช้ค่าสูงสุดของช่วงเวลา: ... พิกัดของค่ากลาง - ค่ากลางคือผลรวมของ "บนและล่าง": ให้เรายอมรับความจริงที่ว่าเมื่อแจ้งเก้าอี้คุณจะตีตรงกลางทันทีหากคำนวณตรงกลางอย่างไม่ถูกต้อง

หากผลรวมการกุศลต่ำ ความหมายของคำว่า "zbizhnist" สามารถทำซ้ำได้ในครั้งเดียว แรงจูงใจสำหรับบทเรียนเกี่ยวกับ ผลรวมของอนุกรมจำนวน... ความมั่งคั่งที่เรารายงานได้เขียนไว้:

Schob ที่ส่วนท้ายของ Chateau sum จำเป็นต้องเขียนศูนย์ + อีกสองส่วนติดต่อกัน ทอปโต

บนกราฟเก้าอี้นวมของฟังก์ชันของรูปภาพในสีเขียว เช่น bachite ฉันจะ "ห่อ" กระเป๋าของฉัน หากดูเศษเงินจากสมาชิกห้าคนติดต่อกัน กราฟของฟังก์ชันทั้งหมดจะแม่นยำกว่าเส้นสีแดง ถ้ามีสมาชิกเป็นร้อยแล้ว "งูเขียว" จะป่วยด้วย ตัวหนอนในที่อื่นๆ ในอันดับนี้ ซีรีย์ Fur'єมาบรรจบกับซูมิของพวกเขา

Tsіkavovіdnostviti, ผู้ซึ่ง be-yaka chastkova sum - tse ฟังก์ชันไม่ขาดตอนจำนวนการประท้วงยังคงเป็น razrivna

ตามความเป็นจริงแล้ว จำเป็นต้องดูกราฟของซูมิเอกชนทีเดียว จามรี zrobiti? หากคุณต้องการดูฟังก์ชัน ให้คำนวณค่าของตัวเลขที่จุดกึ่งกลาง (หากคุณเห็นจุดมากกว่า กราฟจะแม่นยำยิ่งขึ้น) จากนั้นทำตามความหมายของจุดบนเก้าอี้และวาดกราฟในช่วงเวลานั้นอย่างระมัดระวัง หากคุณต้องการ "roztirazhuvati" บนเส้นข้าง และจามรี inakshe? และความสนิทสนมเป็นสายโซ่ของการทำงานเป็นระยะๆ ... ... มีกราฟแสดงจังหวะการเต้นของหัวใจบนจอแสดงผลของอุปกรณ์การแพทย์

Viconuvati จะชักนำอย่างเลวทรามไม่แม้แต่ด้วยมือเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่เหนือกว่าความแม่นยำของแก้วไม่น้อยกว่าครึ่งมิลลิเมตร ในขณะที่อ่าน ฉันไม่เข้ากับเก้าอี้ ฉันจะได้โปรด - พนักงาน "ตัวจริง" ไม่ต้องการเก้าอี้ ในที่นี้ 50% ของผู้ตอบแบบสอบถามจำเป็นต้องขยายฟังก์ชันไปยัง Fur's จำนวนหนึ่งและทุกอย่าง

Pislya vikonannya อาร์มแชร์จะประกอบด้วย:

ดู:

ฟังก์ชั่น Bagato zavdan ที่จะทน ตัดแบบที่ 1โดยตรงในช่วงเวลาของการกระจาย:

ก้น 3

วางฟังก์ชันFur'єในแถวซึ่งกำหนดให้กับลิงก์ ปลูกฝังกราฟของฟังก์ชันและจำนวนสรุป

ฟังก์ชั่นที่เสนอจะได้รับจากอันดับก้อน (ยิ่งไปกว่านั้น เคารพฉัน เฉพาะใน vidrizka)และอดทน ตัดแบบที่ 1ที่จุด คุณจะได้รับฟังก์ชันการทำงานของ Fur'є มากแค่ไหน? ไม่มีปัญหา. อย่างแรกและสำคัญที่สุด สิทธิของส่วนหนึ่งของฟังก์ชันที่จะผสานรวมตามคำมั่นสัญญาของตน เพื่อการผสานรวมของสกินและของสูตรสามสูตรของภาษีถัดไป ในกรณีของผลรวมของอินทิกรัลทั้งสอง น่าแปลกใจ ตัวอย่างเช่น เราจะมีอัตราเป็นศูนย์ได้อย่างไร:

การรวมระบบอื่นถูกเพิ่มเป็นศูนย์ แต่หุ่นยนต์ได้เปลี่ยนไปแล้ว แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น

ในทำนองเดียวกัน ทั้งสองฟังก์ชันถูกเขียนออกมา

จามรีที่จะวาดกระเป๋าในแถว? บนlіvіnіrіvіlіเก้าอี้นวมไปข้างหน้าและในช่วงเวลาіdrizokตรง (ในตัวหนาและตัวหนาเราเห็นแกนของแกน) Tobto เกี่ยวกับความก้าวหน้าของการแพร่กระจายของผลรวม จำนวนของฟังก์ชันzbіgaєtsyaskrіzนอกเหนือจากจุด "น่ารังเกียจ" สามจุด ที่จุดตัดฟังก์ชั่น Fur'єจำนวนหนึ่งลงไปที่ค่าที่แยกได้เมื่อมันเติบโตตรงกลางของ "แถบ" ฉันตัด มันไม่สำคัญหรอกว่ามันจะดีและง่วงแค่ไหน: ขอบซ้าย: และแน่นอน พิกัดจุดกึ่งกลางถนนคือ 0.5

ฉันจะดูที่ระยะของซูมิ รูปภาพจะต้อง "คูณ" ในช่วงกลาง ควรวาดเมล็ดในช่วงเวลา ในเวลาเดียวกัน ณ จุด Fur'єแถว ziydetsya ถึงค่ากลาง

อย่างไรก็ตาม ไม่มีอะไรใหม่ที่นี่

พยายามทำตัวให้เข้ากับพนักงานของคุณเอง Zrazok ตกแต่งอย่างดีและเก้าอี้นวมสำหรับบทเรียน

การขยายฟังก์ชันของ Fur'єจำนวนหนึ่งในช่วงก่อนยุค

สำหรับผู้ที่มีแนวโน้มที่จะกระจายคำ de "โก้เก๋" - ไม่ว่าจะเป็นจำนวนบวก สูตรสำหรับจำนวนของFur'єและสัมประสิทธิ์ของFur'єจะได้รับสามโดยการเร่งอาร์กิวเมนต์ของไซน์และโคไซน์:

ทันทีที่สูตรออกไปพวกเขาก็ได้รับการซ่อมแซม

อัลกอริทึมและหลักการแก้ปัญหามักจะได้รับการบันทึก แต่ความซับซ้อนทางเทคนิคของการคำนวณนั้นล้ำหน้ากว่านั้น:

ก้น4

ขยายฟังก์ชันในแถวของFur'єที่จะสร้างกราฟของซูมิ

การตัดสินใจ: อันที่จริงเป็นอะนาล็อกของ Appliance No. 3 s แบบที่ 1ที่จุด ในเวลาเดียวกัน เช่น ระยะเวลาการจำหน่าย ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยอิงตามช่วงเวลาเท่านั้น แต่อย่าเปลี่ยนสิทธิ์ - สิ่งสำคัญคือต้องมีการรวมความผิดของ shmat เพื่อรวมเข้าด้วยกัน

ฟังก์ชั่นที่ขยายได้เป็นจำนวน Fur'є:

การสั่นของฟังก์ชันจะแสดงบน cob ของพิกัด จากนั้นฟังก์ชันของผิวหนัง Fur'є จะถูกเขียนไว้อย่างชัดเจนในอินทิกรัล viglyadi sumi สองอินทิกรัล:

1) อินทิกรัลแรกจะเขียนรายงานสูงสุด:

2) ประทับใจมากบนพื้นผิวของ Misyats:

อีกหนึ่งอินทิกรัล ฉีกเป็นชิ้นๆ:

ในขั้นตอนต่อไป ฉันจะเห็นการเคารพในความจริงที่ว่าฉันจะเห็นความก้าวหน้าที่ชัดเจนในการแก้ปัญหาหรือไม่

Perche ไม่ชัดเจน perchintegral เดอทันทีvikonuєmo เครื่องหมายการส่งมอบไปยังส่วนต่าง... อีกทางหนึ่งอย่าลืมความชั่วอยู่หน้าคันธนูใหญ่นั่น อย่าหลงทางในป้ายด้วยสูตรวิคตอเรียน ... คันธนูขนาดใหญ่เปิดโครเชต์ทันทีที่ขอบที่น่ารังเกียจ

ทางด้านขวาเป็นเทคโนโลยีที่สามารถพับเก็บจากการขาดข้อมูลที่เพียงพอเกี่ยวกับการบูรณาการ

ดังนั้นจึงไม่ใช่ของขวัญจากเพื่อนร่วมงานที่มีชื่อเสียงของ Fur'єนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่พวกเขาสะดุด - พวกเขาหัวเราะเยาะการแจกแจงฟังก์ชันอนุกรมตรีโกณมิติได้อย่างไร! =) ก่อนคำพูดไพเราะ tsіkaviyปฏิบัติทั้งหมดzmіstzmіstzmіst zvdannya Fur'єตัวเองทำงานเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการนำความร้อนและจากนั้นชื่อจำนวนหนึ่งสำหรับพวกเขาก็ถูกซ่อนไว้สำหรับการพัฒนากระบวนการเป็นระยะ ๆ ซึ่งมองไม่เห็นในกรณีของแสงใหม่ ก่อนกล่าวสุนทรพจน์ นำเชื้อไปให้ดูมาแต่มิใช่ด้วยการบิดกราฟของก้นอื่นตามจังหวะของหัวใจเป็นระยะๆ คุณสามารถเรียนรู้จากวิธีการดูดที่ใช้งานได้จริง การกลับชาติมาเกิดของ Fur'єจาก dzherelakh บุคคลที่สาม ... หากคุณต้องการให้สวยงามกว่านี้คุณไม่จำเป็นต้องใช้ - คุณจะเป็น zgaduvatisya, yak Perche Kohannya =)

3) Vrahoyuchi ชาวลังกาที่อ่อนแอซึ่งถูกเดาหลายครั้งโดยแยกแยะด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่สาม:

ส่วนประกอบสำคัญ:

โดยวิธีการที่เรารู้ว่าประสิทธิภาพของสูตร อย่าลืมที่จะเพิ่มประสิทธิภาพเป็นศูนย์:

ให้กราฟ sumi ต่ำ ทำซ้ำลำดับของการกระทำสั้น ๆ ในช่วงเวลาฉันจะตรง แต่ในช่วงเวลาฉันจะตรง ด้วยค่าศูนย์ "x" จุดจะถูกวางไว้ตรงกลางของ "แถบ" และกราฟ "หมุนเวียน" ที่ด้านข้างของช่วงเวลา:


บน "แท่ง" ของระยะเวลาของผลรวม มันยังเหมาะสำหรับตรงกลางของ "สตรีค" ที่จะฉีก

พร้อม. ฉันเดาว่า หน้าที่เบื้องหลังของจิตใจนั้นควรจะถูกลิดรอนจาก nap_interval และแน่นอนว่าต้องออกจากแถวเป็นช่วงๆ

ดู:

ฟังก์ชัน Inodi shmatkovo-set ถูกตั้งค่าโดยไม่หยุดชะงักสำหรับระยะเวลาการแจกจ่าย นักเรียนที่ง่ายที่สุด: ... การตัดสินใจ (Div. เล่มที่ 2 ของ Bohan)เหมือนกัน ชอบและก้นสองหน้า: ไม่ได้รับผลกระทบจาก ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเมื่อถึงจุดนั้นหนังkofіtsієnt Fur'єเปลี่ยนกระเป๋าของอินทิกรัลสองอัน

สำหรับการจำหน่าย จุดตัดประเภทที่ 1 that / abo ชี้ไปที่กราฟ "แท่ง" สามารถเป็นหรือมากกว่า (สอง, สามและ be-yake kintseveตัวเลข). แม้ว่าฟังก์ชันจะรวมเข้ากับส่วนผิวหนัง แต่ก็พับลงมาเป็นฟูริเยร์ที่ต่ำด้วย ฉันไม่สามารถนึกถึงความกระด้างได้หากไม่ได้ใช้งานจริง ทิมไม่ใช่น้อย ไม่สำคัญน้อย คุณจะเห็นความสำคัญของโครงการมากขึ้น คุณจะพิจารณาเป็นอย่างดี และตัวอย่างเช่น สถิติสำหรับผู้ที่มีความสำคัญ є ทำในแถวขั้นสูงของ Fur พับ.

และละความกระสับกระส่าย มองดูผลึกและมองออกไปที่รุ่งอรุณที่ไม่มีที่สิ้นสุดของอวกาศ:

ก้น 5

ขยายฟังก์ชันของ Fur'єจำนวนหนึ่งที่ขอบของเส้นและผลิตตัวเลข graphyk sumi จำนวนมาก

มีหลากหลายฟังก์ชั่น ไม่ขาดสายบน nap_v_interval_ ของการแจกจ่าย scho จะวางวิธีแก้ปัญหา ทุกอย่างคล้ายกับ Butt No. 2 มากขึ้น ไม่มีทางที่จะออกจากยานอวกาศ - มันจะเป็นไวรัส =) การสร้างภาพข้อมูลประยุกต์สำหรับกราฟบทเรียนเสร็จสมบูรณ์

ตำแหน่งในแถวของ Fur'є guys และฟังก์ชัน unpaired

กับผู้ชายและฟังก์ชั่นที่ไม่ได้จับคู่ กระบวนการต่ออายุก็เหมือนการบอกลา แกนแรกถึงโชมุ เปลี่ยนเป็นการเปิดฟังก์ชั่นไปที่แถวของFur'єในช่วงเวลา "สอง pi" ว่าถึงช่วงที่ค่อนข้างดี "สองสปรูซ" .

เป็นที่ยอมรับว่าหน้าที่ของเราคือคู่ สมาชิก Zagalniy ของแถวเช่นคุณ bachite แก้แค้นโคไซน์คู่และไซนัสที่ไม่มีคู่ และถ้ามีฟังก์ชัน EVEN แล้วไซนัสที่ไม่มีคู่ล่ะ? มารีเซ็ตประสิทธิภาพที่ไม่ได้ใช้กันเถอะ:.

ในตำแหน่งดังกล่าว ฟังก์ชั่นจับคู่เพื่อพับเป็นแถวของFur'єโดย cosines เท่านั้น:

ออสคิลกี การรวมฟังก์ชั่นที่จับคู่ตามระดับความสมมาตรของศูนย์ คุณสามารถเริ่มบูรณาการ จากนั้นบอกลาประสิทธิภาพการทำงานของFur'є

สำหรับpromіzhku:

สำหรับขั้นตอนขั้นสูงเพิ่มเติม:

จนกว่าตำราจะจัดวางฟังก์ชันที่จับคู่ไว้ ... นอกจากนี้ กลิ่นเหม็นยังถูกนำมาใช้ซ้ำแล้วซ้ำเล่าในการปฏิบัติพิเศษของฉัน:

ก้น 6

ฟังก์ชั่นจะได้รับ ที่จำเป็น:

1) การขยายฟังก์ชันไปที่ Fur'єต่ำด้วยจุด de - จำนวนบวกมากขึ้น

2) เพื่อเขียนการแจกแจงบนช่วงเวลาโดยให้ฟังก์ชันและกราฟเป็นจำนวนครั้ง

การตัดสินใจ: เมื่อถึงจุดแรกการมองเห็นของความกระตือรือร้นที่กระตือรือร้นจะรู้สึกได้และดียิ่งขึ้น! หากคุณต้องการ - เพียงแค่ส่งค่าของคุณ

1) ในช่วงเวลาของการกระจายงานเช่น เมื่อถึงวันอันไกลโพ้น เวลาของชั่วโมงคือการรวมเข้าด้วยกัน คำว่า "spruce" ถูกใช้เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชั่นถูกจับคู่ซึ่งหมายความว่าสามารถจัดเรียงในแถวของFur'єในโคไซน์เท่านั้น: .

สัมประสิทธิ์Fur'є shukaєmo เบื้องหลังสูตร ... เคารพอย่างโหดร้ายต่อแม่ชีที่คลั่งไคล้ ประการแรก การบูรณาการจะดำเนินการเพื่อการแจกแจงเชิงบวก ซึ่งหมายความว่าเราปล่อยโมดูลอย่างปลอดภัย มองออกไปจากสอง shmatkiv liche "ix" ในอีกทางหนึ่ง มันเหมือนกับบอกลาการบูรณาการ

สอง:

ส่วนประกอบสำคัญ:

ในอันดับนี้:
ที่ค่าคงที่ของมันเอง จามรีเพื่อนอนลงด้วย "en", winosimo mezhi sumi

ดู:

2) การแจกแจงแบบบันทึกได้สำหรับช่วงเวลา ซึ่งสูตรถูกกำหนดให้กับโฮมเพจสำหรับตัวอย่างต่อไปนี้:

การถอดเสียง

1 กระทรวงการประมาณการวิทยาศาสตร์ของกรม RF NOVOSIBIRSK ของคณะกายภาพ R.K.BELKHEVA ขอบเขตของขน' ในการใช้งานและปัญหา Navchalnyy posibnik1

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkhєєva R.K. ถือ ยกเลิก โนโวซีบีสค์, s. ISBN ในช่วงเริ่มต้นของการเยี่ยมชม ผู้ชมหลักเกี่ยวกับซีรี่ส์ Fur'єได้รับชัยชนะ การออกแบบรายละเอียดของก้นสำหรับวิธีFur'єก่อนที่จะแก้ปัญหาเกี่ยวกับสตริงสตริงตามขวาง มีภาพประกอบประกอบ Є zavdannya โซลูชั่นอิสระ งานที่มอบหมายสำหรับนักศึกษาและชัยชนะในคณะฟิสิกส์ของ สวทช. มาเป็นเพื่อนที่คณะกรรมการระเบียบวิริเชนนาแห่งคณะฟิสิกส์ของ NSU ผู้ตรวจทาน Dr. fiz. วิทยาศาสตร์ V. A. Aleksandrov ชุดของการเตรียมการภายในกรอบการดำเนินงานของโปรแกรมเพื่อการพัฒนา NDU-NSU ที่หน้า ISBN ของ Novosibirsk State University, 211 s Belkhova R.K., 211

3 1. ขยายฟังก์ชัน2π-คาบเป็นชุดของFur'є Viznachennya การกำหนดฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าอนุกรมฟังก์ชัน a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (1) ฟังก์ชัน an, bn คำนวณตามสูตร: an = 1 π bn = 1 π f (x) cosnxdx, n =, 1, ..., (2) f (x) sin nxdx, n = 1, 2, .... (3) สูตร (2) (3) เรียกว่า Euler Fur'є สูตร ความจริงที่ว่าฟังก์ชัน f (x) คล้ายกับชุด Fur'є (1) เขียนในรูปแบบ f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) (4) และดูเหมือนว่าส่วนขวาของ สูตร (4) єโดยชุดที่เป็นทางการFur'єของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ดูเหมือนว่าสูตร (4) หมายความว่าประสิทธิภาพ a n, b n ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับสูตร (2), (3) 3

4 วิซนาเชนยา ฟังก์ชัน 2π-คาบ f (x) เรียกว่า shmatkovo-smooth แม้ว่าในช่วงเวลา [, π] จะมีจำนวนจุด Kintsev = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 เล็ก. 1. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ประสิทธิภาพที่คำนวณได้ Fur'є a = 1 π f (x) dx = 1 π x 2 2 π = π, an = 1 π f (x) cosnxdx = 2 π = 2 () x บาป nx cos nx + π nn 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = bn = 1 π π = 2 π f (x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 สำหรับ n unpaired สำหรับ n คู่ f (x) บาป nxdx = ดังนั้นฟังก์ชัน f (x) จะถูกจับคู่ เราสามารถเขียนอนุกรม Fur'є อย่างเป็นทางการสำหรับฟังก์ชัน f (x): f (x) π 2 4 π k = 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2

6 เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชัน f (x) นั้นราบรื่นเป็นชิ้นๆ ดังนั้นโดยไม่หยุดชะงัก จึงนับเฉพาะระหว่าง (6) ที่จุดสิ้นสุดระหว่าง x = ± π และที่จุดชั่วร้าย x =: і f (π h) f (π) π h π f (+ h ) f (+) + h () lim = lim h + hh + hf (+ h) f (+) + h lim = lim = 1, h + hh + h = 1, f (h) f () h ( ) lim = lim = 1. h + hh + h ระหว่าง іsnyu และ іntsevі แม้ว่าฟังก์ชันจะลื่นไหลกว่าก็ตาม ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับ krapkov ค่าของอนุกรม Fuhr มาบรรจบกันเป็น f (x) ที่จุดสกิน ดังนั้น f (x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) ในรูปที่ 2, 3 บ่งชี้ถึงธรรมชาติของวิธีการของผลรวมบางส่วนในอนุกรม Fur'є S n (x), de S n (x) = an 2 + (ak coskx + bk sin kx), k = 1 ไปยังฟังก์ชัน f (x) ที่ช่วง [, π] 6

7 เล็ก. 2. กราฟของฟังก์ชัน f (x) โดยกำหนดผลรวมบางส่วนในกราฟ S (x) = a 2 และ S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x รูปที่ 3. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ถูกซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมพล็อต S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 ส่งใน (7) x = otrimaєmo: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2 ดวงดาวรู้ผลรวมของอนุกรมตัวเลข: = π2 8. เมื่อทราบผลรวมของแถวแล้ว จะทำได้ง่าย ทราบผลรวมของ Maєmo ถัดไป: S = ( ) S = () = π S แม้แต่ S = π2 6 ดังนั้น 1 n = π ผลรวมของซีรีส์ที่มีชื่อเสียงของ Leonard Eiler ที่รู้จักครั้งแรก Vona มักศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และอาหารเสริม ภาคผนวก 2 ในกราฟขนาดเล็ก เราทราบชุดของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร f (x) = x สำหรับ x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 เล็ก. 4. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ฟังก์ชัน f (x) จะมีความแตกต่างกันอย่างต่อเนื่องตามช่วงเวลา (, π) ที่จุด x = ± π มีจำนวนจุดระหว่าง (5): f () =, f (π) = π นอกจากนี้ มีความแตกต่างระหว่าง (6): f (+ h) f (+) lim = 1 і h + hf (π h) f (π +) lim = 1. h + h ฟังก์ชันที่ราบรื่น หากฟังก์ชัน f (x) ไม่ถูกจับคู่ ดังนั้น n = ประสิทธิภาพ bn ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ: bn = 1 π f (x) sin πnxdx = 1 [x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1) n π + (1) n π] = 2 ( 1) n + 1. n ชุดฟังก์ชันFur'єที่เป็นทางการมาก 2 (1) n + 1 f (x) บาป nx n 9 cosnxdx] =

10 ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการไหล ค่าของฟังก์ชันคาบ 2π-คาบที่หดตัว-เรียบ อนุกรม Fur ของฟังก์ชัน f (x) ลงมาเพื่อผลรวม: 2 (1) n + 1 sin nx = nf (x) = x เช่น π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 เล็ก. 6. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกซ้อนทับบนกราฟของผลรวมของแผนภาพ S2 (x) รูปที่ 7. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 3 (x) 11

12 เล็ก. 8. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมของ S 99 (x) พึ่งพาได้ (8) x = π / 2 Todi 2 () + ... = π 2 หรือ = n = (1) n 2n + 1 = π 4 เรารู้ผลรวมของตระกูล Leibniz ได้อย่างง่ายดาย มี poklavl ใน (8) x = π / 3 เรารู้ () + ... = π 2 3 หรือ (1+ 1) () (k) 3π + ... = 3k

13 ภาคผนวก 3 กราฟขนาดเล็ก เรารู้ว่าชุดของฟังก์ชันFur'є f (x) = sin x โดยยอมรับว่าระยะเวลาคือ 2π і 1 คำนวณเป็นผลรวมของชุดตัวเลข 4n 2 1. วิธีแก้ปัญหา กราฟของฟังก์ชัน f (x) แสดงในรูปที่ 9. แน่นอน f (x) = บาป x เป็นฟังก์ชันจับคู่อย่างต่อเนื่องจากคาบ π เบียร์ 2π เป็นคาบของฟังก์ชัน f (x) ด้วย เล็ก. 9. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ประสิทธิภาพที่คำนวณได้ Fur'є Usi b n = ความจริงที่ว่าฟังก์ชันถูกจับคู่ ครอบฟันด้วยสูตรตรีโกณมิติ มันถูกนับว่า a ที่ n 1: an = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx = = 1 ( ) π cos (1 + n) x cos (1 n) x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, เมื่อ n = 2k, = π n 2 1 เมื่อ n = 2k

14 การคำนวณไม่อนุญาตให้เราทราบค่าสัมประสิทธิ์ a 1 ดังนั้นสำหรับ n = 1 ตัวส่วนจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์ ในการนั้น สัมประสิทธิ์ a 1 ถูกคำนวณโดยไม่มีค่าตรงกลาง: a 1 = 1 π sin x cosxdx = ดังนั้นในขณะที่ f (x) มีความแตกต่างอย่างต่อเนื่องใน (,) і (, π) і ที่จุด kπ (k คือตัวเลข) หากมีตัวเลขระหว่าง (5) และ (6) แสดงว่าเป็นอนุกรมของ Fur' є ฟังก์ชั่นมาบรรจบกันโดยไม่มีจุดสกิน: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x รูปที่ 1. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ซ้อนทับบนกราฟของผลรวมของส่วน S (x) 14

15 เล็ก. 11. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมของส่วน S1 (x) รูปที่ 12. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกวางทับบนกราฟใหม่ของผลรวมของแผนภาพ S2 (x) 13. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 99 (x) 15

16 1 ผลรวมจำนวนมากของแถวตัวเลข สำหรับทั้ง 4n 2 1 เป็นที่น่าพอใจ (9) x = Todi cosnx = 1 สำหรับทั้งหมด n = 1, 2, ... i Otzhe, 2 π 4 π 1 4n 2 1 = 1 4n 2 1 = = 1 2. การใช้งาน 4. อาจเป็นไปได้ว่าฟังก์ชั่น f (x) นั้นราบรื่นและราบรื่นโดยไม่หยุดชะงัก ฉันมีความสุขกับ f (x π) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมด (ดังนั้นมันจึงเป็น π - เป็นระยะ) a 2n 1 = b 2n 1 = สำหรับ n 1 ทั้งหมด และ navpaki หาก a 2n 1 = b 2n 1 = สำหรับ n 1 ทั้งหมด ดังนั้น f (x) คือ π-ธาตุ การตัดสินใจ. ให้ฟังก์ชัน f (x) เป็น π-คาบ ประสิทธิภาพที่คำนวณได้ Fur'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx =) f (x ) cos (2n 1) xdx. ที่อินทิกรัลแรก ฉันสามารถแทนที่การเปลี่ยนแปลง x = t π: f (x) cos (2n 1) xdx = f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt ได้อย่างง่ายดาย 16

17 ลองคิดดูสิ cos (2n 1) (t + π) = cos (2n 1) t і f (t π) = f (t) เราจะเห็นได้: a 2n 1 = 1 π (f (x) cos (2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx =. ในทำนองเดียวกันควรทำ b 2n 1 = นภากิ ให้ a 2n 1 = b 2n 1 =. เนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้นตามทฤษฎีบท การปรากฎของฟังก์ชันที่จุดต่างๆ ของอนุกรมคือ F (x π) = f (x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n (x π) + b 2n sin 2n (x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f (x) ซึ่งหมายความว่า f (x) เป็นฟังก์ชัน π-คาบ ภาคผนวก 5 เราสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชัน f (x) นั้นราบรื่นและราบรื่น f (x) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมด จากนั้น a = і a 2n = b 2n = สำหรับ n 1 ทั้งหมด และ navpaki เช่น a = a 2n = b 2n = จากนั้น f (x π) = f (x) x ทั้งหมด การตัดสินใจ. ให้ฟังก์ชัน f (x) มีความสุขกับ f (xπ) = f (x) จำนวนมากїїkofіtsієnti Fur'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx =) f (x) cosnxdx เมื่อรวมเข้าด้วยกันครั้งแรก ฉันจะแทนที่การเปลี่ยนแปลง x = t π ได้อย่างง่ายดาย Todi f (x) cosnxdx = f (t π) cosn (t π) dt สีแดงเข้ม tim cos n (t π) = (1) n cosnt และ f (t π) = f (t) เรายอมรับได้: an = 1 π ((1) n) f (t) cosnt dt = ถ้า n จับคู่ = 2 π f (t) cos nt dt เมื่อ n ไม่ถูกจับคู่ π ทำในทำนองเดียวกัน b 2n = Nawpaki ให้ a = a 2n = b 2n = สำหรับ n 1 ทั้งหมด เนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้นทฤษฎีบทเกี่ยวกับความชัดเจนของฟังก์ชันที่จุดในอนุกรม Fur'є จึงถือได้ว่า f (x ) = (a 2n 1 cos (2n 1) x + b 2n 1 บาป (2n 1) x) สิบแปด

19 Todi = f (x π) = = = f (x) ภาคผนวก 6. Vivchimo จามรีถัดไปเพื่อดำเนินการต่อเพื่อรวมเข้ากับช่องว่าง [, π / 2] โดยฟังก์ชั่น f (x) บนช่องว่าง [, π] ดังนั้นแถวของ Fur'є mav viglyad: a 2n 1 cos ( 2n 1) x. (1) การตัดสินใจ ให้กราฟของฟังก์ชันของ ma viglyad ลอยอยู่ในรูปที่ 14. การสั่นในแถว (1) a = a 2n = b 2n = สำหรับ n ทั้งหมด จากนั้นก้นคือ 5 vyplyaє แต่ฟังก์ชัน f (x) มีความผิดในความเท่าเทียมกันที่เท่ากัน f (xπ) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมด มีวิธีปรับปรุงฟังก์ชัน f (x) ระหว่าง [, / 2]: f (x) = f (x + π), fig. 15.นอกจากนี้ แถวที่ (1) คือการล้างแค้นเฉพาะโคไซน์ มันถูกจัดเรียง แต่ฟังก์ชัน f (x) ยังคงดำเนินต่อไปเป็นคู่ (คือ กราฟสมมาตรกับแกน Oy) ข้าว

20 เล็ก. 14. กราฟของฟังก์ชัน f (x) เล็ก 15. กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง f (x) สำหรับล่วงหน้า [, / 2] 2

21 Otzhe หน้าที่ของ ma viglyad คำแนะนำในรูปที่ 16. เล็ก. 16. กราฟความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f (x) ล่วงหน้า [, π] [π / 2, π], กราฟของฟังก์ชัน f (x) มีความสมมาตรจากส่วนกลางจนถึงจุด (π / 2,), และในช่วงเวลา [, π] กราฟจะสมมาตรกับแกน Oy 21

22 แอปพลิเคชันอ้างอิง 3 6 Nekhai l>. ชัดเจนสองจิตใจ: a) f (l x) = f (x); b) f (l + x) = f (x), x [, l / 2] จากมุมมองทางเรขาคณิต จุด (a) หมายความว่ากราฟของฟังก์ชัน f (x) มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรงแนวตั้ง x = l / 2 และกราฟ (b) ที่กราฟ f (x) มีความสมมาตรจากศูนย์กลางกับจุด (l / 2;) บนแกน abscis ต่อไปนี้เป็นความจริง: 1) หากฟังก์ชัน f (x) จับคู่กับ Viconan Umov (a) แล้ว b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... =; 2) หากฟังก์ชัน f (x) จับคู่กับ Viconan Umov (b) แล้ว b 1 = b 2 = b 3 = ... =, a = a 2 = a 4 = ... =; 3) หากฟังก์ชัน f (x) ไม่ถูกจับคู่และ Viconan Umov (a) แล้ว a = a 1 = a 2 = ... =, b 2 = b 4 = b 6 = ... =; 4) หากฟังก์ชัน f (x) ไม่ถูกจับคู่และ Viconan Umov (b) แล้ว a = a 1 = a 2 = ... =, b 1 = b 3 = b 5 = ... = ZAVDANNA สำหรับงาน 1 7 วาดกราฟและรู้จักชุด Fur'єสำหรับฟังก์ชัน< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, ยักโช / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. การขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา [, π] หลังจากไซน์หรือหลังโคไซน์เท่านั้น ฟังก์ชัน f ถูกระบุในช่วงเวลา [, π] Bazhayuchi razklasti їїในความก้าวหน้าทั้งหมดจนถึงแถวของ Fur'є เราสามารถดำเนินการต่อที่ความก้าวหน้า [, π] ด้วยอันดับที่สูงกว่าและในขณะเดียวกันก็รวดเร็วด้วยสูตรของ Eiler Fur'є Svavilja ที่ฟังก์ชันขั้นสูงในการผลิตก่อนหน้านี้ สำหรับฟังก์ชันประเภทหนึ่ง f: [, π] R เราสามารถลบ Fur'єจำนวนหนึ่งได้ อีกวิธีหนึ่งคือ คุณสามารถ vikoristovuvat tse svavillya ดังนั้นเพียงแค่ตัดการแพร่กระจายเฉพาะหลังไซน์หรือโดยโคไซน์เท่านั้น: สำหรับ vipad แรกก็เพียงพอที่จะดำเนินการต่อด้วยอันดับที่ไม่มีคู่และในทางที่ต่างออกไปสำหรับผู้ชาย อัลกอริธึมโซลูชัน 1 ทำงานต่อด้วยอันดับที่ไม่จับคู่ (ผู้ชาย) (,) จากนั้นทุกๆ 2π จะทำงานต่อจนครบชุดเป็นระยะ 2. คำนวณประสิทธิภาพของFur'є 3. พับชุด Fur ของฟังก์ชัน f (x) 4. จิตใจในการทบทวนอยู่ในระดับต่ำ 5. แนะนำฟังก์ชันที่มีทั้งแถว ภาคผนวก 7. นำไปใช้กับฟังก์ชัน f (x) = cosx< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 เล็ก. 17. กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน f (x) ค่อนข้างเรียบ ประสิทธิภาพเชิงปริมาณ Fur'є: a n = ทั้งหมด n ในขอบเขตที่ฟังก์ชัน f (x) ไม่มีการจับคู่ ถ้า n 1 แล้ว bn = 2 π f (x) บาป πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = 1 = 1 (1 ) n (1) n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 โดยที่ n = 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) = π (n + 1) ( n 1) 2 2n โดยที่ n = 2k π n 2 1 เมื่อ n = 1 ตัวส่วนจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ที่ด้านหน้าของเครื่องคิดเลข ดังนั้นสัมประสิทธิ์ b 1 จะถูกคำนวณโดยไม่มีค่า 25 ที่นำหน้า

26 สลีป: b 1 = 2 π cosx บาป xdx = ชุดของฟังก์ชันFur'є f (x) พับได้: f (x) 8 π k = 1 k 4k 2 1 sin 2kx หากฟังก์ชัน f (x) เรียบและเกลี้ยงเกลา ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับ krapkov ค่าของอนุกรม Fur ของฟังก์ชัน f (x) จะไปที่ sumi: cosx โดยที่ π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 เล็ก. มะเดื่อ 18. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมชิ้น S1 (x) 19. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 2 (x) 27

28 เล็ก. 2. กราฟของฟังก์ชัน f (x) จะถูกซ้อนทับบนกราฟของผลรวมของส่วน S3 (x) 21 กราฟของฟังก์ชัน f (x) และผลรวมบางส่วน S 99 (x) จะแสดงขึ้น เล็ก. 21. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่ซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมแปลง S 99 (x) 28

29 ภาคผนวก 8. ขยายได้โดยฟังก์ชัน f (x) = e ax, a>, x [, π], มากถึงชุดของ Fur'єในโคไซน์เท่านั้น การตัดสินใจ. ต่อเนื่องด้วยฟังก์ชันอันดับชาย (,) (เพื่อให้แสดงค่าความเท่าเทียมกันของ f (x) = f (x) กับ x ทั้งหมด (, π)) ซึ่ง buv เป็นระยะด้วยคาบ 2π ขยายจำนวนยงขึ้น . เราสามารถยอมรับฟังก์ชัน f (x) กราฟของการแทนค่าดังกล่าวในรูปที่ 22. ฟังก์ชัน f (x) ที่จุด Mal 22. กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง f (x) x = kπ, k คือจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับน้ำมัน kofіtsієnti Fur'єจำนวนมาก: b n =, oskіlki f (x) จับคู่ บูรณาการในส่วน Mo 29

30 an = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd (e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f (x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ขวาน cos nxdx = + 2n บาปขวาน nxdx = πa บาป nxde ขวาน = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π บาป nx π a 2eax 2n2 e ขวาน cos nxd a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 aa n. 2 Otzhe, a n = 2a e aπ cos n π 1 π a 2 + n 2 Oscillations f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการไหลของอนุกรมของ fuhr เพื่อมาบรรจบกันเป็น f (x) นอกจากนี้ ทั้งหมด x [, π] maєmo f (x) = 1 π a (eaπ 1) + 2a π k = 1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) ข้าวแสดงให้เห็นถึงการกระทำของการเข้าใกล้ผลรวมบางส่วนไปยังจำนวน Fur'єไปยังฟังก์ชันการตัดที่กำหนด 3

31 เล็ก. 23. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S (x) Mal. 24. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S1 (x) เล็ก 25. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S2 (x) เล็ก 26. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S 3 (x) 31

32 เล็ก. 27. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S4 (x) Mal. 28. กราฟของฟังก์ชัน f (x) และ S 99 (x) นำเสนอ 9. วางฟังก์ชัน f (x) = cos x, x π ในแถวของ Fur'є ในโคไซน์เท่านั้น 1. ขยายฟังก์ชัน f (x) = e ax, a>, x π, ไปยังแถวของ Fur'є หลังไซน์เท่านั้น 11. วางฟังก์ชัน f (x) = x 2, x π ไปที่แถวของ Fur'є หลังไซน์เท่านั้น 12. กำหนดฟังก์ชัน f (x) = sin axe, x π, y series Fur'єในโคไซน์เท่านั้น 13. วางฟังก์ชัน f (x) = x sin x, x π ไปที่แถวของFur'єด้านหลังไซน์เท่านั้น วิดโพวิดี 9.cosx = cosx 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k บาป kx π a 2 + k2 k = 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) บาป nx 32

33 12. ถ้า a ไม่ใช่จำนวนเต็ม sin ax = 1 cosaπ (1 + + 2a cos 2nx) + π a 2 (2n) 2 + 2a 1 + cosaπ cos (2n 1) x π a 2 (2n 1) 2 ; ถ้าคู่ a = 2m เป็นตัวเลข ดังนั้น sin 2mx = 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; ถ้า a = 2m 1 เป็นจำนวนที่ไม่มีคู่บวก ดังนั้น sin (2m 1) x = 2 (cos 2nx) 1 + 2 (2m 1) π (2m 1) 2 (2n) π 16 n บาป x บาป 2nx 2 π (4n 2 1) 2 3. Series Fury ของฟังก์ชันที่มีคาบเวลาหนึ่ง สมมติว่าฟังก์ชัน f (x) ถูกตั้งค่าในช่วงเวลา [l, l], l> เมื่อทำการแทนที่ x = ly, y π เราสามารถอนุมานฟังก์ชัน g (y) = f (ly / π) ซึ่งหมายถึงในช่วงเวลา π [, π] ฟังก์ชันที่สาม g (y) สร้างอนุกรม (เป็นทางการ) Fur'є () ly f = g (y) a π 2 + (an cosny + bn sin ny) ประสิทธิภาพซึ่งอยู่เบื้องหลังสูตรของออยเลอร์ ฟูร์ : an = 1 π g (y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2, ..., 33

34 พันล้าน = 1 π g (y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2, .... π สำหรับฟังก์ชัน f (x) อนุกรมตรีโกณมิติสามารถเปลี่ยนเป็นรูปลักษณ์ได้อย่างง่ายดาย ชอบ: de f (x) a 2 + an = 1 lbn = 1 llll sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2, ..., ( 12) dx, n = 1, 2, . .. ภาคผนวก 9 เราทราบชุดของฟังก์ชัน Fur'є ในช่วงเวลา (l, l) โดย viraz (A โดยที่ l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 llf (x) dx = 1 l A dx + 1 ll B dx = A + B, llan = 1 lllf (x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 ll A cos πnx l = A + B π nlbn = 1 l dx + 1 ll B cos πnx l sin πn = โดยที่ n, ll A บาป πnx lf (x) บาป πnx l dx + 1 ll dx = B บาป πnx l = BA (1 cosπn) πn อนุกรม Fur ของฟังก์ชัน f (x) สามารถพับได้: f (x) A + B π (BA Scales cosπn = (1) n จากนั้น n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx) l สำหรับ n = 2k เป็นไปได้ b n = b 2k = สำหรับ n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2 (BA) π (2k 1)

36 ดาว f (x) A + B (BA)? ยักโชล< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 เล็ก. 29. กราฟของฟังก์ชัน f (x) โดยซ้อนทับบนกราฟใหม่ของฮาร์โมนิก S (x) = a 2 และ S 1 (x) = b 1 sinx สำหรับความจำเพาะของกราฟของฮาร์โมนิกอื่นๆ สามชนิด S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l และ S 7 (x) = b 7 sin 7πx แรงขับในแนวตั้ง l 37

38 เล็ก. 3. กราฟของฟังก์ชัน f (x) ถูกซ้อนทับบนกราฟใหม่ของผลรวมชิ้น S 99 (x) รูปที่ 31. ส่วนของมะเดื่อ 3 ในระดับ38

39 อย่างแน่นอน ในปัญหาของพื้นที่ในชุดของ Fur'є ฟังก์ชันถูกกำหนดให้กับตัวกลางที่กำหนด 14.f (x) = x 1, (1, 1) 15.f (x) = ch2x, (2, 2] f (x) = x (1 x), (1, 1] 17.f (x) = cos π x, [1, 1] f (x) ) = บาป π x, (1, 1). (2 1, โดยที่ 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18.f (x) = 8 (1) n n บาป nπx π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π บาป ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (ล. 22. а) f (x) = α 2) l b) f (x) = 4al (1) n 1 (2n 1 ) πx บาป π 2 (2n 1) 2 l 23.a) f (x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... b) f ( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x รูปแบบที่ซับซ้อนของอนุกรม Fur'є Distribution f (x) = cne inx, de cn = 1 2π f (x) e inx dx, n = ± 1, ± 2, ... จะถูกเรียกว่ารูปแบบที่ซับซ้อนของซีรีย์Fur'є ฟังก์ชั่นของการพับเป็นแถวที่ซับซ้อนของFur'єด้วยการมองเห็นของจิตใจที่สงบซึ่งพวกเขาสามารถวางไว้ในแถวคำพูดของFur'є 4

41 ภาคผนวก 1 เราทราบอนุกรม Fur ของรูปแบบซับซ้อนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร f (x) = e ax, y ระหว่าง [, π), de a speech number การตัดสินใจ. ประสิทธิภาพเชิงปริมาณ: = c n = 1 2π f (x) e inx dx = 1 2π e (a in) x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1) n sh aπ 2π (a in) π (a in) อนุกรม Fur เชิงซ้อนของฟังก์ชัน f ของเครื่อง f (x) sh aπ n = (1) n a ใน einx พิจารณาใหม่ ดังนั้นฟังก์ชัน f (x) จึงเป็นก้อน-เรียบ: ในช่วงเวลา (, π) จะมีความแตกต่างอย่างไม่สิ้นสุด และที่จุด x = ± π มีจุดอยู่ระหว่าง (5), (6) lim h + ea (+ h) = e aπ, lim h + ea (π h) = e aπ, ea (+ h) ea (+) lim h + h = ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h = เอ๋ เอ๋ พาย. นอกจากนี้ ฟังก์ชัน f (x) ยังแสดงด้วยคำสั่ง Fur'є sh aπ π n = (1) n a ใน einx ซึ่งหมายถึง sumi: (e S (x) = axe โดยที่ π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ภาคผนวก 11 เรารู้ชุด Fur สำหรับรูปแบบที่ซับซ้อนและคำพูดของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, de a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Nagadaєmoกระเป๋าแห่งความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมมาตรฐาน q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 ตอนนี้เรารู้จำนวนFur'єในรูปแบบคำพูดแล้ว สำหรับการสำเร็จกลุ่มใหญ่ด้วยตัวเลข n และ n สำหรับ n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Oskilki c = 1 จากนั้น 2 = 2a n cos nx f (x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx 2 ชุดของFur'єในรูปแบบคำพูดของฟังก์ชัน f (x) อันดับนี้ไม่นับอินทิกรัลทางเศรษฐกิจ เรารู้ว่าฟังก์ชันFur'єต่ำ เมื่อเรา virahuvali มีอินทิกรัลที่สำคัญซึ่งสามารถพบได้ในพารามิเตอร์ cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a (zz 1) f (x) = 2i (1 a (zz 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 za + a 1. za 1 Dermal iz เศษส่วนอย่างง่ายสามารถใส่ภายใต้สูตรของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: + aza = a 1 z 1 a = aanzzn, n = za 1 za = az = anza n n = ทั้งหมด เศษส่วน az = a / z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, abo, สั้นกว่า, c n = 1 2i a n sgnn ทิมเองรู้จักFur'єจำนวนหนึ่งในรูปแบบที่ซับซ้อน เมื่อรวมกลุ่มเพิ่มเติมด้วยตัวเลข n และ n เราสามารถอนุมานชุดของฟังก์ชัน Fur'є ในรูปแบบคำพูด: = f (x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = an sin nx ฉันรู้ในระยะทางที่ virahuvati อินทิกรัลพับเชิงรุก: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1 (16) 45

46 ZAVDANNYA 24. Vikoristovuchi (15) คำนวณอินทิกรัล cos nxdx 1 2a cosx + a 2 สำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ a> Vikoristovuchi (16) คำนวณอินทิกรัล sin x sin nxdx สำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ a, a> a cosx + a2 ในปัญหา Fur'єในรูปแบบที่ซับซ้อนสำหรับการทำงาน 26.f (x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. ทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของ Lyapunov (ความเท่าเทียมกันของ Lyapunov) ให้ฟังก์ชัน f: [, π] R เป็นอย่างนั้น f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f (x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn ดังนั้น ความสมมูลของ Lyapunov สำหรับฟังก์ชัน f (x) จึงขยายไปถึงตา: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π ความสมมูลที่เหลือของ π เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า sin 2 na n 2 = a (π a) 2 Vazayuchi a = π 2 เราสามารถหาค่า sin2 na = 1 สำหรับ n = 2k 1 และ sin 2 na = สำหรับ n = 2k Otzhe, k = 1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ภาคผนวก 14. ให้เราเขียนความเท่าเทียมกัน Lyapunov สำหรับฟังก์ชัน f (x) = x cosx, x [, π] ถ้าเราทราบผลรวมเพิ่มเติมของ ชุดตัวเลข (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4.1 π คำตอบ การคำนวณโดยตรงให้ = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x บาป 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Oskilki f (x) เป็นฟังก์ชันที่จับคู่กัน ดังนั้นสำหรับทั้งหมด n maєmo bn =, an = 2 π = 1 π 1 = π (n + 1) = f (x) cosnxdx = 2 π 1 cos (n + 1) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx = 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx = π (n 1 ) π π 1 + cos (n 1) x = π (n 1) 2 1 (= (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) = π (n + 1 ) 2 π (n 1) 2 () = (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n + 1) 1 nk π ( n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ถ้า n = 2k, 2, ถ้า n = 2k + 1 ต้องนับค่า a 1 okremo เศษส่วนในสูตรไกลสำหรับ n = 1 ตัวส่วนของ เศษส่วนกลายเป็นศูนย์ = 1 π a 1 = 2 π f (x) cosxdx = 2 π x (1 + cos 2x) dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = บาป 2xdx = π 2

50 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันของ Lyapunov สำหรับฟังก์ชัน f (x) ma viglyad: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PRESENTATION 32. เขียนสมการ Lyapunov สำหรับ ฟังก์ชัน (xf (x) = 2 πx โดยที่ x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π บาป 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; บาป 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2.1 π 35. f (x) g (x) dx = cndn, de cn ฟังก์ชัน f (x) และ dn ฟังก์ชันเชิงฟังก์ชัน g (x) . 6. ความแตกต่างของอนุกรมFur'є Nekhai f: R R แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน2π-เป็นระยะอย่างต่อเนื่อง ЇїชุดของFur'є ma viglyad: f (x) = a 2 + (n cos nx + b n sin nx) ฟังก์ชัน f (x) คล้ายกับฟังก์ชันคาบ 2π ซึ่งเราสามารถเขียนอนุกรมที่เป็นทางการ Fur'є: f (x) a 2 + (an cos nx + bn sin nx), de a, an, bn , n = 1, 2, ... ฟังก์ชันFur'єฟังก์ชัน f (x) 51

52 ทฤษฎีบท (การขยายระยะของอนุกรมเฟอร์) ในกรณีที่พังทลาย เป็นความจริงที่ a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. การใช้งาน 15. อย่าอายฟังก์ชั่นที่นุ่มนวล f (x) โดยไม่หยุดชะงักในช่วงเวลา [, π] เห็นได้ชัดว่าเราสามารถพูดได้ว่า f (x) dx = ความผิดปกติเล็กน้อยของ 2 dx 2 dx เนื่องจาก Steklov ไม่สามารถทำงานและเชื่อมต่อใหม่ได้ ดังนั้นฟังก์ชันใหม่จะสูญเสียฟังก์ชันของ f (x) ประเภท f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ ความอ่อนแอของ Steklov สมมติว่า เมื่อคุณเห็นว่ามีฟังก์ชันง่ายๆ สามฟังก์ชัน (ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลาง) จะมีฟังก์ชัน 3 ฟังก์ชัน (ในช่องกลาง) การตัดสินใจ. สนับสนุนโดยฟังก์ชัน f (x) ถึงช่วง [,] โดยอันดับผู้ชาย ฟังก์ชันนี้ขยายออกไปอย่างเห็นได้ชัดด้วยสัญลักษณ์ f (x) ฟังก์ชั่นจะดำเนินต่อไปโดยไม่หยุดชะงักและจะราบรื่นระหว่างทาง [, π] ดังนั้นเนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่มีการหยุดชะงัก ดังนั้น f 2 (x) จึงไม่หยุดชะงักในช่วงเวลาดังกล่าว และ 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Oskіlkiฟังก์ชั่นของทั้งคู่ดำเนินต่อไปจากนั้น b n =, a = หลังอ่างล้างจาน Otzhe ความเท่าเทียมกันของ Lyapunov nabuvєต่อตา 1 π 2 dx = a 2 π n (17) การพิจารณาใหม่ สำหรับ f (x) เพื่อยึดตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความแตกต่างของอนุกรม Fur'є ดังนั้น a =, an = nb n, bn = na n, n 1 ไม่ต้องการ f (x) ไม่ดีที่จุด x 1, x 2, ..., x N ที่ช่วง [, π] ให้ x = x N + 1 = π การเติบโตของการรวมกลุ่ม [, π] ในช่วงเวลา N +1 (x, x 1), ..., (x N, x N + 1), สภาพผิว f (x) นั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง Todi พลังอันชั่วร้ายของการบวกของอินทิกรัลและจากนั้นส่วนการบูรณาการเป็นที่จดจำ: bn = 1 π = 1 π = 1 π f (x) บาป nxdx = 1π j = xj + 1 xjx j + 1 xjnn π N j = xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) บาป nxdx = f (x) cosnxdx = f (x) cosnxdx = = 1 π [(f (x (x) 1) บาป nx 1 f (x) บาป nx) + + (f ( x 2) sinnx 2 f (x 1) บาป nx 1)

54 + (f (x N + 1) บาป nx N + 1 f (x N) บาป nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n x j + 1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = xj = 1 N x j + 1 f (x) π = 1 (f (π) f ()) = .. . x j π j = ยังคงเท่ากันโดยที่ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการเลื่อนตำแหน่งโดยตำแหน่งของผู้ชาย ดังนั้น f (π) = f () ในทำนองเดียวกัน เราสามารถจดจำ an = nbn เราได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของการขยายความแตกต่างของอนุกรม Fur'є สำหรับฟังก์ชัน shmatkovo-smooth 2π-คาบที่ไม่ขาดตอน ซึ่งคล้ายกับของระดับกลาง [, π] ภูมิใจในประเภทแรก vyrna จากค่าเดียวกัน f (x) a 2 + (an cosnx + bn sin nx) = (na n) sin nx, oskilki a =, an = nb n =, bn = na n, n = 1, 2, ... . Oskilki 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 ดังนั้น ตามเงื่อนไขทางผิวหนังในหนึ่งแถว (18) มันจึงเป็นสมาชิกเพิ่มเติมของแถว (17) ไม่มากก็น้อย จากนั้น 2 dx 2 dx คาดเดา scho f (x) єกับพวกในฟังก์ชั่นขั้นสูง maєmo 2 dx 2 dx เพื่อนำมาซึ่งความเท่าเทียมกันของ Steklov ทุกวันนี้ ความผิดปกติของ Steklov มีหลายหน้าที่ หากคุณต้องการประสิทธิภาพหนึ่ง n 2 n อันเป็นผลมาจากศูนย์ แล้ว 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 การรับรอง 37. อย่าอาย - ฟังก์ชัน f (x) ไม่ขาดตอนในช่วง [, π] แจ้งว่าเมื่อคุณได้รับชัยชนะ คุณต้อง f () = f (π) = มีข้อผิดพลาดเล็กน้อย 2 dx 2 dx เนื่องจากเรียกอีกอย่างว่าความอ่อนแอของ Steklov และข้ามไป แต่ก็ไม่เป็นไร f (x) .. 38. ให้ฟังก์ชัน f เป็นไปโดยไม่หยุดชะงักในช่วงเวลา [, π] และในฟังก์ชันใหม่ (หลังขอบมืดของจำนวนจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ฉันจะไปที่ f (x) เพื่อให้เรารวมเข้ากับกำลังสอง เพื่อแจ้งให้ทราบว่า หากมองในแง่หนึ่ง คุณคิดว่า f () = f (π) і f (x) dx = มีความเฉื่อยเล็กน้อย 2 dx 2 dx เนื่องจากเรียกว่าความไร้ประสิทธิภาพของ Wirtinger และฟังก์ชันอยู่ใน บางรูปแบบ f x) = A cosx + B บาป x 56

57 7. ความซบเซาของอันดับFur'єในการปรากฏตัวของเผ่าพันธุ์ที่แตกต่างกันในหมู่ผู้เสียชีวิตส่วนตัว เมื่อการทำให้เป็นชีวิตจริงของวัตถุจริง (การปรากฏตัวของธรรมชาติ, กระบวนการของไวรัส, ระบบควบคุมบางเกินไป) ก้าวไปสู่การพัฒนาของ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ในขั้นตอนของการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ หอกนั้นสั่น: แบบจำลองทางกายภาพคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ รูปแบบทางกายภาพ (แบบจำลอง) ของสนามในการรุกคือ: ปรากฏและพัฒนากระบวนการของปัจจัยหลักนั้นซึ่งถูกเทลงบนอันใหม่ สูตรทางคณิตศาสตร์ (แบบจำลอง) ของเขตข้อมูลในสินค้าคงคลังของการกำหนดปัจจัยและจิตใจในมุมมองของระบบและความเท่าเทียมกัน (พีชคณิต, ดิฟเฟอเรนเชียล, อินทิกรัล ฯลฯ ) ประมุขแห่งรัฐเรียกว่าการตั้งค่าที่ถูกต้องเช่นเดียวกับในพื้นที่ทำงานของการร้องเพลงเพื่อแก้ไขงานแห่งการคิดหนึ่งเดียวเท่านั้นและโดยไม่หยุดชะงักที่จะวางลงบนจิตใจที่ซังและชายแดน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงวัตถุเดียวที่จะดู แต่เราจะเข้าใกล้มันด้วยคำอธิบาย Viznovok pivnyannya vilnykh malikh เส้นขวาง ให้ร้อยเชือกผูกไว้ และเชือกนั้นก็แน่น หากคุณใส่สตริงจากตำแหน่งของเส้นตรง (เช่น ดึงมันออกมาหรือดึงมันตาม) แสดงว่าสายมีแนวโน้มที่จะเป็น 57

58 วากาติยา. ในเวลาเดียวกัน ทุกจุดของสตริงจะยุบในแนวตั้งฉากกับตำแหน่งของ ravnova (การเชื่อมต่อตามขวาง) นอกจากนี้ ในช่วงเวลาที่ผิวหนัง สตริงจะอยู่ในพื้นที่เดียวกัน มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม xou โทดี ถ้า ณ เวลา cob ที่ชั่วโมง t = สตริงได้เติบโตเป็นแกนของ Ox แล้ว u หมายถึงการคลายสตริงออกจากตำแหน่งของเส้นตรงเพื่อให้ตำแหน่งของจุดสตริงจาก abscissa x ในช่วงเวลาสุดท้ายของชั่วโมง t ของฟังก์ชัน tієvalue ด้วยค่าคงที่สกิน t กราฟของฟังก์ชัน u (x, t) แสดงถึงรูปร่างของสตริง ซึ่งสามารถหมุนได้ในเวลา t (รูปที่ 32) ด้วยค่าคงที่ของ x ฟังก์ชัน u (x, t) ให้กฎที่จุด abscissa x เส้นตรง ขนานกับแกน Ou t หายไป อีกอันหายไป 2 ut 2 ถูกเร่ง . เล็ก. 32. บังคับ นำไปใช้กับสตริงจำนวนน้อยอย่างไม่มีกำหนด Warehouse เพียงพอที่จะตอบสนองฟังก์ชัน u (x, t) ปล่อยให้พวกเขาให้อภัย สายแน่นมาก - 58

59 Coy, vvazhatimo เหตุใดจึงไม่ควรบิดสายโดย viginu; tse หมายถึงสปริง scho, scho ขยิบตาที่สตริง, ยืดให้ตรงเสมอตามเดียวกันกับโปรไฟล์ її mitten สตริงถูกส่งโดยสปริงและกฎของฮุก tse หมายความว่าการเปลี่ยนแปลงขนาดถูกดึงตามสัดส่วนของงูของเชือก ยอมรับได้ สตริงแบบเกลียวเดียว tse หมายถึง її її linea gustina ρ postіyna พลังปลุกไม่แข็งแรง Tse แสดงว่าเราเห็นได้อย่างไร Mi vivchatimo เช่าสตริงที่มีขนาดเล็ก หากเราแสดงด้วย ϕ (x, t) รอยตัดระหว่าง abscissa และเส้นประที่จุดจาก abscissa x ในขณะนี้ t ดังนั้นจิตใจของสนามของเด็กก็คือค่าของ ϕ 2 (x , t) ไม่สามารถระบุได้ทันที x, t) ดังนั้น ϕ 2 เนื่องจาก kut ϕ คือ malium ดังนั้น cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ і นอกจากนี้ ค่า (uxx,) 2 ก็สามารถละเว้นได้ ฟังทันที viplivay แต่ในระหว่างการสวดมนต์คุณสามารถ zehtuvati ด้วยงูได้แม้ว่าคุณจะเป็นคนตัดสาย อันที่จริง สตริงเล็กน้อย M 1 M 2 ควรได้รับการออกแบบในแกน abscis de x 2 = x 1 + x ถนน l = x 2 x () 2 u dx x x จะแสดงให้เห็นว่าค่าเผื่อของเรา ค่าของแรงดึง T จะเป็นความตึงคงที่ของเชือก ในเวลาเดียวกันเป็นครั้งแรกที่ฉันต้องการสตริง dilyanka M 1 M 2 (รูปที่ 32) ในเวลาของชั่วโมง เสื้อ และแทนที่จะมีส่วนร่วม - 59

60 kv โดยแรงดึง T 1 และ T 2 การสั่นสำหรับการระบายของจุดทั้งหมดของสตริงยุบขนานกับแกน Ou และแรงภายนอก จากนั้นผลรวมของการฉายภาพของแรงดึงบนเพลา Ox รับผิดชอบศูนย์: T 1 cosϕ (2 x 1, t) + (x 2, t) =. เริ่มจากจำนวนเล็กน้อยของ kutiv ϕ 1 = ϕ (x 1, t) і ϕ 2 = ϕ (x 2, t) การตั้งค่า แต่ T 1 = T 2 อย่างมีนัยสำคัญ ค่าเริ่มต้น T 1 = T 2 ถึง ต. ตอนนี้ผลรวมของเส้นโครง F สามารถคำนวณได้ u qix ของแรงบนเพลา Ou: F u = T บาป ϕ (x 2, t) T บาป ϕ (x 1, t) (2) Oskіlkiสำหรับ kutіv sin small (x, t) tg? T (ผิวสีแทน ϕ (x 2, เสื้อ) ผิวสีแทน ϕ (x 1, เสื้อ)) (u T x (x 2, เสื้อ) u) x (x 1, เสื้อ) xx T 2 ux 2 (x 1, เสื้อ) x ... หากจุด x 1 กลับด้าน ดังนั้น F u T 2 u x2 (x, t) x นอกจากนี้ เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่าแรงทั้งหมดไปที่ M 1 M 2 จึงยังมีกฎของนิวตันอีกข้อหนึ่ง ซึ่งหมายความว่ามีความจำเป็นต้องทำให้เกิดจำนวนแรงทั้งหมดเร่งขึ้น มวลสตริงคือ M 1 M 2 สำหรับถนน m = ρ l ρ x และสำหรับถนนที่มีการเร่งความเร็วคือ 2 u (x, t) เทียบเท่ากับ t 2 ของนิวตันในมุมมองของ: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x, de α 2 = T ρ เป็นจำนวนบวกถาวร 6

61 อย่างรวดเร็วบน x เราสามารถกำหนด mo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) (21) ด้วยเหตุนี้ เราจึงแสดงผลความแตกต่างเชิงเส้นระหว่างค่าส่วนบุคคล ลำดับความสำคัญต่างกัน โดยมีประสิทธิภาพที่ล้าสมัย Yogo เรียกสาย Chi เป็นชนิดเดียวกับสายเดียวกัน Rivnyannya (21) єกำหนดกฎของนิวตันใหม่และอธิบายการล่มสลายของสตริง เบียร์ที่การแสดงละครจริงของ boule vimogi เกี่ยวกับสายที่ผูกไว้และร้อยสายในชั่วโมงถัดไป ในทำนองเดียวกัน เขียนมันลงไปดังนี้: ก) สิ่งสำคัญ ที่จุดสิ้นสุดของสตริงได้รับการแก้ไขที่จุด x = і x = l ดังนั้นมันจึงสำคัญสำหรับ t visonans ของประสิทธิภาพ u (, t) =, u (ล. เสื้อ) = คุณ (ล. (22) b) อย่างมีสติ ในขณะนี้ t = ตำแหน่งของสตริงถูกวางไว้ใต้กราฟของฟังก์ชัน f (x) ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมด [, l] ความสมมูลคือ u (x,) = ฉ (x); (23) c) ในช่วงเวลาของชั่วโมง t = จุดของสตริงจาก abscissa x ความเร็วของ g (x) จะได้รับเช่นเดียวกัน u (x,) = g (x) (24) t Spіvdnoshennya (22) เรียกว่าจิตใจที่ชายแดนและspіvіdnoshennya (23) และ (24) เรียกว่าจิตใจซัง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของ vilnyh malikh ขวาง 61

62 strings of strings โดยที่จำเป็นต้องทำ string of strings (21) กับ boundary sinks (22) และ cob sinks (23) และ (24) การตัดสินใจของ vilny สตริงตามขวางขนาดเล็กของ strings โดยวิธี Fur' 'การท่องเที่ยวของภูมิภาค (21) xl,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >... ภายใต้ (25) (21) เราสามารถรับรู้: X T = α 2 X T, (26) หรือ T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) (27) ดูเหมือนว่าคนชั่วได้กลายเป็น ดังนั้นถ้า x ไม่ได้โกหกทางเดียว ส่วนด้านซ้าย (27) จะไม่โกหกเกี่ยวกับ x แต่ด้านขวาประมาณ t และค่าย้อนหลังของ cich ประมาณ 62

63 อาจเป็นโพสต์สเตจซึ่งมีความหมายผ่าน λ: T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ เราจะรู้จักค่าเทียบเท่าอนุพันธ์เฉพาะสองค่า: X (x) λx (x) =, (28) T (t) α 2 λt (t) = (29) สำหรับขอบเขตขนาดใหญ่ ให้คิดว่า (22) เห็น X () T (t) = і X (l) T (t) = กลิ่นเหม็นของOskіlkaสามารถมองเห็นได้ทั้งหมด t, t>, จากนั้น X () = X (l) = (3) เราทราบการตัดสินใจของ rivnyannya (28) เพราะมันจะทำให้จิตใจของเขตแดนพอใจ (3) สามมุมมองสามารถมองเห็นได้ วิภาดก 1:>. ให้ λ = β 2 เทียบเท่า (28) กับรูปลักษณ์ของ X (x) β 2 X (x) = ลักษณะ Yogo เท่ากับ k 2 β 2 = รูต k = ± β Otzhe หัวหน้าของการแก้ปัญหา (28) ma viglyad X (x) = C e βx + De βx หากคุณมีความผิดในความผิดพลาด C และ D เพื่อให้มีการระบายน้ำชายแดน (3) ดังนั้น X () = C + D =, X (l) = C e βl + De βl = Оskіlki β, ระบบ tsya ของสารละลายrіvnyan maє єdine C = D = Otzhe, X (x) ตา 63

64 ยู (x, t). ทิมเองที่วิปัทกุ 1 ไมล์ ได้ตัดสินใจเพียงเล็กน้อย เท่าที่ไม่สามารถสังเกตได้ ประเภท 2: λ =. Todi rіvnyannya (28) nabuvaєในมุมมอง X (x) = โซลูชันที่เห็นได้ชัดถูกกำหนดโดยสูตร: X (x) = C x + d เรามีวิธีแก้ปัญหาที่ขอบอ่าง (3) เราสามารถอ่านได้ X () = D = і X (l) = Cl = และ C = D = ในเวลาเดียวกัน X (x) และ u (x, t) และเราได้ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยแล้ว วิปาด็อก 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Nadal nadavatimo n เฉพาะค่าบวก n = 1, 2, ..., เศษส่วนที่มีค่าลบ n จะเป็นตัวตัดสินของสิ่งนั้น (ดังใน nπ) πnx ที่มีฟังก์ชันทรงพลังที่สุดของสมการเชิงอนุพันธ์ (28) กับ จิตใจในภูมิภาค (3). ตอนนี้เชื่อมต่ออย่างหลวม ๆ (29) สำหรับคุณลักษณะใหม่ของ ma viglyad k 2 α 2 λ = (32) l 2 Oskіlki vische mi z'yuvali แต่วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ X (x) іvnyannya (28) єถ้าเป็นลบ λ เท่ากับ λ = n2 π 2 จากนั้น λ ไมล์ เดียวกันและมองเห็นได้ไกล รากของเส้นตรง (32) є k = ± iα λ และคำตอบของเส้นตรง (29) อาจมีลักษณะดังนี้: T n (t) = A n บาป πnαt + B n cos πnαt, (33) ll de A n і B n ขัดขืนมากที่สุด เรานำเสนอสูตร (31) และ (33) ใน (25) เราทราบการตัดสินใจส่วนตัวของ rivnyannya (21) แต่เราพอใจกับความคิดของภูมิภาค (22): πnx lll แทรกตัวคูณ C n ที่ส่วนโค้ง і ค่าแทรก C n A n = bn และ B n C n = an, เขียน un (X, T) ที่ตัวแสดง (un (x, t) = an cos πnαt + bn sin πnαt ) บาป πnx. (34) ล ล ล 65

66 String jigs ซึ่งแสดงวิธีแก้ปัญหา u n (x, t) เรียกว่า power string jigs Oskilki rіvnyannya (21) และเส้นเขตชนะ (22) lіnіynіและทางเดียวจากนั้นรวมโซลูชันlіnіyna (34) (u (x, t) = cos πnαt + bn sin πnαt) บาป πnx (35) lll วัน ), ซึ่งเป็นที่น่าพอใจสำหรับจิตใจแนวเขต (22) ด้วยการสั่นสะเทือนพิเศษของประสิทธิภาพการทำงาน ซึ่งจะทำให้มั่นใจได้ถึงความปลอดภัยที่เท่าเทียมกันของตัวเลข ทุกวันนี้ประสิทธิภาพของโซลูชัน і bn (35) นั้นดีมากจนไม่ใช่แค่เส้นเขตแดนเท่านั้น แต่ยังได้รับฟังก์ชัน cob (23) ที่ (24), de f (x), g (x) (โดยที่ ฉ () = ฉ (ล.) = ก. () = ก. (ล.) =). น่าประทับใจที่ฟังก์ชัน f (x) และ g (x) จะตอบสนองจิตใจของการกระจายไปยัง Fur'є ที่ต่ำ ให้ (35) ค่า t = เราสามารถนำ u (x,) = a n บาป πnx l = f (x) การแยกอนุกรม (35) ใน t і ใช้ได้ t = เราสามารถจดจำ ut (x,) = πnα bn sin πnx ll = g (x) และทั้งหมดคือการแพร่กระจายของฟังก์ชัน f (x) และ g (x) ) ถึง Fur'є lavas นอกจากนี้ a n = 2 l f (x) บาป πnx l dx, b n = 2 l g (x) บาป πnx dx πnα l (36) 66

67 เราเสนอตัวเลือกที่หลากหลายสำหรับฟังก์ชันการทำงานและมากถึงพันล้าน (35) เรายอมรับวิธีแก้ปัญหาของ rivnyannya (21) เช่นเดียวกับความคิดแนวเขต (22) และความคิดแบบ cob (23) และ (24 ). ทิมเองได้ให้คำมั่นสัญญากับครอสสตริงขนาดเล็ก มีการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพในฟังก์ชันกำลัง u n (x, t) ของปัญหาเกี่ยวกับการร้อยสายตามที่กำหนดในสูตร (34) เขียนซ้ำได้їїที่viglyadі de n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) บาป πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n l a n จากสูตร (37) จะเห็นได้ว่าทุกจุดของสตริงมีความกลมกลืนกันโดยมีความถี่เดียวและความถี่เดียวกัน ω n = πnα และเฟส πnα δ n แอมพลิจูดของสตริงที่จะนอนลงจากจุด l l abscissi x ของสตริง і ถนน α n บาป πnx ด้วยตัวเลขดังกล่าว ทุกจุดในสตริงจะมองเห็นได้ชัดเจนสูงสุดในทิศทางนั้นทันที และผ่านตำแหน่งของเส้นไปหนึ่งชั่วโมง โกลีวันยาเหล่านี้เรียกว่ายืนสรรเสริญ ยืนเพื่อเพื่อน n + 1 จุดที่ไม่ทำลาย, วิธีการถามรากของบาป rivnyannya πnx = ในช่วงเวลา [, l]. จุดที่เกเรเรียกว่า vuzas ของ khvili ยืน ตรงกลางของโหนดนั้นจุดจะเติบโตซึ่งมีการดูสูงสุด จุดดังกล่าวเรียกว่าแอนติโนด สตริงผิวหนังสามารถใช้สำหรับความถี่การร้องเพลงอย่างเคร่งครัด n = πnα, n = 1, 2, .... และความถี่เรียกว่าความถี่กำลังของสตริง โทนเสียงต่ำที่สุด ซึ่งสามารถเห็นเป็นสตริงได้ เริ่มต้นที่ 67

68 ความถี่พลังงานต่ำ 1 = π T іเรียกว่าเสียงพื้นฐานของสตริง Інші โทนซึ่งสอดคล้องกับล ρ ความถี่ n, n = 2, 3, ... เรียกว่าหวือหวาหรือฮาร์โมนิก สำหรับความเฉพาะเจาะจงของประเภทของสตริง ประเภทของโทนเสียงหลัก (รูปที่ 33) โอเวอร์โทนแรก (รูปที่ 34) และโอเวอร์โทนอื่นๆ (รูปที่ 35) เล็ก. 33. โพรไฟล์ของสตริงซึ่งดูเหมือนโทนหลัก Mal. 34. โพรไฟล์ของสตริงที่ดูเหมือนโอเวอร์โทนแรก 35. โพรไฟล์ของสตริงที่ดูเหมือน overtone ต่าง ๆ เมื่อสตริงไปมันเริ่มต้นด้วย cob mind ฟังก์ชัน u (x, t) จะปรากฏขึ้นดังที่เห็นได้จากสูตร (35) ใน ดวงตาของ sumy มีฮาร์โมนิกอยู่บ้าง ยศดังกล่าวเพียงพอสำหรับอาณานิคม68

69 สาย є superposition ของตะขอยืน ในเวลาเดียวกัน ลักษณะของเสียงของสายอักขระ (เสียง ความแรงของเสียง เสียงต่ำ) อยู่ในรูปของ sp_vdnoshennya ระหว่างแอมพลิจูดของฮาร์โมนิก ความแรง ความสูง และความดังของเสียง พลังของเสียงนั้นโดดเด่นด้วยพลังงานของเสียง เสียงของเสียงเริ่มต้นด้วยความถี่ของช่วงเวลาไค: หากความถี่สูงกว่าเสียงก็จะสูงขึ้น เสียงต่ำเริ่มปรากฏออกมาเป็นเสียงหวือหวา พลังงานเพิ่มขึ้นหลังฮาร์โมนิก ดังนั้นในลักษณะของเสียง แอมพลิจูดของเสียงหวือหวานั้นดูเหมือนจะน้อยกว่าแอมพลิจูดของเสียงหลัก และเฟสของเสียงหวือหวาก็ค่อนข้างมีนัยสำคัญ Vuho ของเราไม่ไวต่อ Phasie Kolivan เปรียบเทียบ ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งทั้งสองในรูป 36 สงสัยโดย z. Tse บันทึกเสียงด้วยโทนเสียงพื้นฐาน บิดจากคลาริเน็ต (a) และแกรนด์เปียโน (b) เสียงที่ไม่เหมาะสมไม่ใช่เสียงไซน์ธรรมดา ความถี่พื้นฐานของเสียงทั้งสองประเภทจะเท่ากันและเท่ากันคือโทนเสียง เส้นโค้งเล็กน้อยของความจริงที่ว่าโอเวอร์โทนถูกนำไปใช้กับโทนสีหลัก ในความรู้สึกร้องเพลงของทารก ให้แสดงเสียงต่ำเหมือนกัน 69

เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก คอลัมน์ของสตริงที่ไม่ถูกยับยั้งและยังไม่เสร็จสิ้น วิธีของเฟอร์ วิธีของเฟอร์ ยืน chvili 4 การบรรยาย 4.1. เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก ของสะสมมีไม่สิ้นสุดเป็นต้น.

สถาบันเทคโนโลยีแห่งรัฐมอสโก พลเรือน AVIATSIN V.M. Lyubimov, Є.A. Zhukova, V.A. Ukhova, ยูเอ Shurinov M A T E M A T І K A R A D I POSIBNIK

กระทรวงการศึกษางบประมาณแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย การจัดตั้งสถาบันการศึกษาระดับมืออาชีพ MATI Russian State Technological University ได้รับการตั้งชื่อตาม K.E. Tsiolkovsky

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐ Bilorus EE "มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐ Vitebsk" “แถว” ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์และทฤษฎี. สลายโดย รศ. Є.บี. ดะนิโนะยุ. หลัก

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา หน่วยงานของรัฐบาลกลางสำหรับการจัดตั้งการศึกษาระดับมืออาชีพ PIVDENNY มหาวิทยาลัยของรัฐบาลกลาง R. M. Gavrilova, G. S. Kostetska Methodical

หัวข้อของ Riadi Fur'єการจ้างงานเชิงปฏิบัติของ Riadi Fur'єหลังระบบฟังก์ชั่นมุมฉาก

ทฤษฎีช่วง ทฤษฎีอนุกรม є การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของคลังสินค้า และเพื่อให้ทราบทั้งรายงานเชิงทฤษฎีและเชิงตัวเลข Razr_znyayut ตัวเลขและฟังก์ชั่นมากมาย

ЗМІСТ ROW FUR'Є 4 ทำความเข้าใจเกี่ยวกับฟังก์ชันคาบ 4 ฟิลด์ตรีโกณมิติ 6 3 ระบบมุมฉากของฟังก์ชัน 4 อนุกรมตรีโกณมิติ Fur'є 3 5 แถว Fur'єสำหรับเด็กชายและฟังก์ชันที่ไม่คู่กัน 6 6 เลย์เอาต์

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษามหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกแห่งมาตรและการทำแผนที่ (MІIGAIK)

การบรรยาย 4. การวิเคราะห์ความสามัคคี ชุดของฟังก์ชันเป็นระยะของFur'є การวิเคราะห์ความสามัคคี

THEME V ROW OF FUR'Є LECTURE 6 การจัดวางฟังก์ชันเป็นระยะในชุดของกระบวนการ Fur'є Bagato ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติและเทคโนโลยี อาจทำซ้ำผ่านการร้องเตือนเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง กระบวนการดังกล่าว

ระเบียบวิธี VKAZIVKI ก่อน ROZRAKHUNKOVIKH ZAVDAN ในหลักสูตรของคณิตศาสตร์ VISCHO "ZVICHAYNI DIFERENCY RIVNYANNYA RANGE Podviyni INTEGRALI" PART SH THEME ROW

6 แถวของFur'є 6 ระบบมุมฉากของฟังก์ชัน ชุดของ Fur'єในระบบมุมฉากของฟังก์ชันฟังก์ชัน ϕ () และ ψ () ค่าและการรวมที่ด้านบน [,] เรียกว่ามุมฉากโดยรวม

มูลค่าเต็ม อินทิกรัล ซูมิ อินทิกรัลเอกพจน์ Nehai ได้รับฟังก์ชัน y = f () กำหนดให้กับรูปแบบ [, b], de< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 แถวขั้นตอน 5 แถวขั้นตอน: ค่า พื้นที่ของความแตกต่าง แถวหน้าที่ของแบบฟอร์ม (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) de, a, a, K , ก , เลขเคเดะยะกิ , เรียกเลขชุดรัฐ

มหาวิทยาลัย BILORUSKIY DERZHAVNIY คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์และสารสนเทศ

ใส่เดยากิลงไป ก้น เราทราบผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตไม่รู้จบ สูตรของเทอมกระตือรือร้นคือ a + aq + ... + aq n + ... (a) n = aq น. หลายส่วนของซูมิ ถ้า q = แล้ว

ซาฟดันเนีย 1.1. หากต้องการทราบจากภูมิภาคที่กำหนด การตัดสินใจจากศูนย์เดียวกันคือการตัดสินใจ y = y (x) ของสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งพอใจกับการมอบหมายหน้าที่ของจิตใจระดับภูมิภาค (ผู้จัดการของ Sturm-Livilya)

หัวข้อการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: Singing Integral Nevlasny Integrals Lecturer Pakhomova Є.G. 2560 น. โรซดิล II ร้องเพลงอินทิกรัลของอาหารเสริม yogo นั้น 1. ร้องเพลงอินทิกรัลของพลัง yogo นั้น 1. หัวหน้า

บรรยาย 8 4 หัวหน้า Sturm-Livilya เป็นไปได้ที่จะเข้าใจปัญหา cob-edge สำหรับความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกันในบุคคลที่มีอายุมากกว่าในลำดับที่แตกต่างกันเมื่ออธิบายสตริงเล็ก ๆ ตามขวาง

อธิบายข้อความ: ป้ายอ่านว่า "เท่าเทียม" และหมายความว่าที่ rivnyans คนถนัดขวามาจากสัญลักษณ์และความชั่วร้ายมาจากสัญญาณ bezlich คำตอบสัญญาณ IR หมายถึงตัวเลขคำพูด bezlich เครื่องหมาย IN

82 4. Rozdil 4. หน้าที่และสถานะแถว 4.2 ไม่ว่าง 3 4.2. Busy 3 4.2 .. ใส่ฟังก์ชันใน Taylor series VALUE 4.2 .. ไม่ทราบว่าฟังก์ชัน y = f (x) ต่างกันไม่มีกำหนดในเขตชานเมือง

MINOBRNAUKI ROSIN FEDERALNA DERZHAVNA BUDGETNA OSVITALNAYA INSTANOVA VISCHOЇ PROFESSIONO ประมาณการ "SAMARSKY DERZHAVNIY เทคนิค

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการขนส่งทางรถไฟ Ural State University of Nobles กับภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์

การบรรยายครั้งที่ 3 แถว Taylor และ Maclaurin ความซบเซาของ State Rows การจัดเรียงหน้าที่ใน State Rows ของ Taylor และ Maclaurin Rows

ด้วย A Lavrenchenko wwwwrckoru Lecture Revision of Fur'є การทำความเข้าใจวิธีการสร้างใหม่แบบบูรณาการของ Integral Revision เป็นหนึ่งในวิธีการทำงานอย่างหนักในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์єโดยการแก้ไขอย่างเข้มข้น

การรวมฟังก์ชัน (สำหรับ Riman) เป็นอินทิกรัลเดียวกัน ใช้การแก้ปัญหา 1. ฟังก์ชัน f (x) = C ถูกรวมเข้าด้วยกัน ดังนั้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงหรือการสั่นสะเทือนของจุด ξ ผม อินทิกรัล

หลักสูตรปี 1 ดำเนินการฟังก์ชัน Riman ซึ่งก็คือ 0, m m R () ซึ่งก็คือ m, m 0 และฟังก์ชันอื่นๆ ที่ไม่สั้นคือ 0 ซึ่งไม่สมเหตุสมผล razrivna ในจุดที่มีเหตุผลของผิวหนังและไม่มีการหยุดชะงักของการระคายเคืองผิวหนัง การตัดสินใจ.

1 2 Zm_st 1 แถว Fur'є 5 1.1 ชุดตรีโกณมิติ Fur'є ............ 5 1.2 Tilki sin & cos ................. .... 7 1.3 The Fur series ในรูปแบบซับซ้อน 11 1.4 f (x) = ck? .......................

РІВНЯННЯ MATHEMATICHNO PHYSICS 1. ความสัมพันธ์ที่แตกต่างกับลูกส่วนตัว

การบรรยาย 4. Hvilyovi rivnyannya 1. Vivedennya pivnyannya strings 2. Rivnyannya ภายหลัง kolivan shearing 3. Earbuds, rims 4. คำอธิบายปัญหา 1. ชนะสตริง rivnyannya

1. ไฟฟ้าสถิต 1 1. ไฟฟ้าสถิต บทที่ 6 การพัฒนาการเปลี่ยนแปลงในพิกัดคาร์ทีเซียน 1.1 (การตั้งค่าจากโรงงาน 1.49) พื้นที่ z = ประจุจากความแรง σ (x, y) = σ sin (αx) บาป (βy), de σ, α, β post_yni

หัวข้อโมดูล ฟังก์ชั่นตอนจบและอนุกรม กำลังของความสำคัญเท่าเทียมกันและ series

เทียบเท่ากับประเภทพาราโบลา วิธีการเปลี่ยนภูมิภาคเดียวกัน หนึ่งภูมิภาคของโรงงาน หน้าที่ของอุปกรณ์ ไม่ใช่หนึ่งสำหรับการนำความร้อนแบบเดียวกัน 7 บรรยาย 7.1 เทียบเท่ากับประเภทพาราโบลา วิธีโพดิล

การบรรยายชุดตัวเลข สัญญาณของมูลค่า ชุดตัวเลข สัญญาณของมูลค่า ชุดตัวเลข สัญญาณของมูลค่า ชุดตัวเลข สัญญาณชุด หมายเลขชุด สัญญาณมูลค่า ชุดหมายเลข

35 7 ชุดตรีโกณมิติ Fur'є Rows Fur'єสำหรับฟังก์ชันเป็นระยะที่มีจุด T.

คณะโลหะวิทยา ภาควิชาคณิตศาสตร์อาหาร ช่วง คำแนะนำตามระเบียบ Novokuznetsk 5 หน่วยงานเพื่อการศึกษาของรัฐบาลกลาง

Department of Mathematics and Informatics Element of All Mathematics คอมเพล็กซ์ระเบียบวิธีเบื้องต้นสำหรับนักเรียนอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่เริ่มเรียนรู้จากเทคโนโลยีระยะไกล

9. ก่อนอื่นทั้งหมดที่ไม่ใช่ค่า integral 9 .. ให้ฟังก์ชัน f () ถูกตั้งค่าเป็นช่วง I R. ฟังก์ชัน F () เรียกว่าฟังก์ชันหลัก f () สำหรับช่วง I เนื่องจาก F () = f () สำหรับ I ใดๆ นั่นคือฟังก์ชันหลัก

ฟังก์ชันที่แตกต่าง ONE WINTER ความเข้าใจในความรู้สึกที่เรียบง่าย เรขาคณิต และทางกายภาพ Zavdannya เพื่อสร้างก่อนที่จะเข้าใจการกำหนดดั้งเดิมของ Stosovo S ถึงเส้น y f (x) ที่จุด A x; NS (

เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก คอลัมน์ของสตริงที่ไม่ถูกยับยั้งและไม่สิ้นสุด วิธีการของ D'Alembert สตริงที่ไม่มีกลิ่น สูตรของ D'Alembert สตริงไม่เชิงเส้น 3 การบรรยาย 3.1 เทียบเท่ากับประเภทไฮเปอร์โบลิก

Зміст Vstup. ความเข้าใจพื้นฐาน .... 4 1. Volterri Integral Rivne ... 5 ตัวเลือกครัวเรือน .... 8 2. ความละเอียดของ Volterri Integral Rivnyannya 10 ตัวเลือกครัวเรือน ... 11

พิสัย. แถวของตัวเลข ค่าหลักของ Nehai มอบให้กับหมายเลข Viraz ได้ไม่ จำกัด จำนวน (ไม่ จำกัด จำนวน) a, a 2, ..., an, ... ai = a + a 2 + + an + ... () i = ถึง จะเรียกว่าอนุกรมจำนวน ตัวเลข

8. แถวขั้นตอนที่ 8 .. แถวการทำงานของรูปแบบ cn (z) n, (8.) n = de cn เป็นลำดับตัวเลข R คือตัวเลขคงที่ และ z R เรียกว่าแถวสถานะที่มีพารามิเตอร์ c n . Vicone แทนที่ผู้ชนะ

~ ~ ปริพันธ์ที่ไม่สำคัญและไม่สำคัญ การทำความเข้าใจอินทิกรัลดั้งเดิมและไม่ได้กำหนด การกำหนด: ฟังก์ชัน F เรียกว่าแถวแรกซึ่งสัมพันธ์กับฟังก์ชัน f เช่นเดียวกับฟังก์ชันของการติด

3724 แถวของ CRATNI І KRIVOLINIINI INTEGRALS 1 โปรแกรม ROBOCH ของ ROSDILIV "แถวของ CRATNI І CRYVOLINIINI INTEGRALS" 11 ชุดตัวเลข เข้าใจชุดตัวเลข พลังของตัวเลข

กิน. RUDIUM MATHEMATICHNY ANALIZ. ตัวเลขและแถวการทำงาน NOVOSIBIRSK 200 2 MINOBRNAUKI ROSIN GOU VPO "มหาวิทยาลัย NOVOSIBIRSKY DERZHAVNIY PEDAGOGICHNY" О.М. Rudiy MATHEMATICHNY วิเคราะห์

LECTURE N 7. แถวของเทย์เลอร์และแถวของเทย์เลอร์ ... แถวของเทย์เลอร์ ... แถวของเทย์เลอร์ ...

SQUARE RIVNIANNYA Zmist SQUARE RIVNIANNYA ... 4.สี่เหลี่ยมสุดท้าย rivnyan ... 4 ..

ROSDIL ZAVDANNA พร้อมพารามิเตอร์ ความคิดเห็น การจัดการด้วยพารามิเตอร์นั้นมักจะเป็นสิ่งอำนวยความสะดวกแบบพับได้ที่โครงสร้างของ EDI เพื่อให้คุณสามารถใช้วิธีการและวิธีการทั้งหมดในการแก้เด็ก

การคำนวณเชิงอนุพันธ์ แนะนำให้รู้จักกับฟังก์ชันอินเตอร์เซกชันของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Rozkritta ของสิ่งที่ไม่ใช่ค่าที่ขอบเขต หน้าที่คล้ายคลึงกัน กฎความแตกต่าง Zasosuvannya obhіdnoї

ชุดของระบบฟังก์ชันตั้งฉากของFur'є จากมุมมองของพีชคณิต ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน de ของคลาส a - การแสดง R แต่ C หมายความว่าเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

1. ร้องเพลงอินทิกรัล 1.1. ให้ f ถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชันตั้งค่าเป็นรูปแบบ [, b] R. Rozbittyam vidrizka [, b] เรียกชุดคะแนนนี้ τ = (x, x 1, ..., xn 1, xn) [, b] , เอ่อ = x< x 1 < < x n 1

Head Stair Rows a a Row view a a a a () เรียกว่า statical, de, a, post-operative เรียกว่า functionaries ในแถว

2. ค่าของประสิทธิภาพต่ำสำหรับสูตรFur'є

ไม่มีฟังก์ชันคาบ ƒ (x) ที่มีคาบ 2π ซึ่งดูเหมือนอนุกรมตรีโกณมิติ แต่ให้ไปที่ฟังก์ชันทั้งหมดในช่วงเวลา (-π, π) เพื่อให้เป็นผลรวมของอนุกรม

สมมุติว่ามันถูกรวมเข้าในฟังก์ชัน ซึ่งยืนอยู่ที่ส่วนเดียวกันของห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน ในส่วนที่สำคัญที่สุดของการบูรณาการในทั้งชุด Tse bude vikonuvatisya ทันทีที่อนุกรมจำนวนพับกับสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติที่กำหนดมาบรรจบกันอย่างแน่นอนเพื่อให้ชุดจำนวนบวกมาบรรจบกัน

แถว (1) majorєmo іสามารถรวมคำศัพท์ตามระยะในช่วงเวลา (-π, π) Prointegruemo ของความผิดเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของ ryvnosti (2):

มีหมายเลข okremo kozenintegral ซึ่งสามารถมองเห็นได้ทางด้านขวา:

,

,

ในตำแหน่งดังกล่าว , ดวงดาว

. (4)

การประเมินการแสดงFur'є (บูกรีฟ)

ทฤษฎีบทที่ 1 หากฟังก์ชัน ƒ (x) สำหรับคาบ 2π ไม่ถูกขัดจังหวะ ฟังก์ชัน ƒ (x) สำหรับคาบ 2π จะไม่มีการหยุดชะงัก จะใช้ ƒ (s) (x) สำหรับคำสั่ง s เนื่องจากมีความสุขกับแกนของความผิดปกติทั้งหมด:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

Todi kofіtsієnti Fur'єทำหน้าที่เพื่อตอบสนองสิ่งผิดปกติ

ส่ง. รวมชิ้นส่วนและ vrahoyuchi,

ƒ (-π) = ƒ (π), maєmo

การรวมส่วนที่ถูกต้อง (7) สุดท้าย สุดท้าย แต่ไม่ท้ายสุด? 6).

ค่าประมาณอื่น (6) มีดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 2 สำหรับประสิทธิภาพของ Fur'єƒ (x) ไม่มีขาด

(8)

ส่ง. Maєmo

(9)

แนะนำในช่วงเวลาของการเปลี่ยนแปลงของการเปลี่ยนแปลงและการส่งมอบ scho ƒ (x) - ฟังก์ชั่นเป็นระยะ ๆ สามารถทำได้

การจัดเก็บ (9) และ (10) เราจะ

B k สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน

สลิดสโว เนื่องจากฟังก์ชัน ƒ (x) ไม่ขาดตอน ฟังก์ชัน (x) จึงเป็นศูนย์: a k → 0, b k → 0, k → ∞

พื้นที่ของฟังก์ชันจากครีมสเกลาร์

ฟังก์ชัน ƒ (x) เรียกว่าเป็นชิ้นต่อเนื่องกันบนพื้นฐานทางยาว ตราบใดที่ไม่มีการหยุดชะงัก อาจเป็นจำนวนจุดจำกัด de maє ถึงสกุลแรก จุดดังกล่าวสามารถเพิ่มในการคูณตามจำนวนและเพื่อตัดผลลัพธ์เพื่อทราบ shmatkovo- โดยไม่หยุดชะงักในฟังก์ชัน

เต้าหู้สเกลาร์ของสอง shmatkovo-bezperervnyh บน (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

ชัดเจนสำหรับผู้ที่เป็น shmatkovo- โดยไม่หยุดชะงักในหน้าที่ ƒ, φ ψ เพื่อยืนยันอำนาจ:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) іด้วยความเท่าเทียมกัน (ƒ, ƒ) = 0 vapingє แต่ (x) = 0 บนรวมถึงจำนวนจุดสิ้นสุด x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

de α, β - เป็นตัวเลขที่ดี

หากไม่มีฟังก์ชัน shmatkovo ทั้งหมดโดยไม่มีการหยุดชะงักซึ่งแนะนำ scalar tvir สำหรับสูตร (11) เราจะหมายถึง และพื้นที่

ความเคารพ 1

ในวิชาคณิตศาสตร์เรียกว่า ช่องว่าง = (a, b) จำนวนของฟังก์ชัน ƒ (x) ซึ่งรวมเข้าด้วยกันในความรู้สึกแบบ Lebesgue พร้อมกันกับกำลังสอง ซึ่งใช้สำหรับสูตรดังกล่าวแบบสเกลาร์ (11) มุมมองของพื้นที่єในบางส่วน ความกว้างใหญ่ไพศาลของอำนาจนั้นกว้างใหญ่ แต่ไม่ใช่ทุกสิ่ง

3 แห่งหน่วยงาน 1), 2), 3) ความเฉื่อยของ Bunyakovsky มีความสำคัญ | (ƒ, φ) | ≤ (,) ½ (φ, φ) ½ เช่นเดียวกับอินทิกรัลตัวแสดงของฉันดังนี้:

ขนาด

เรียกว่าบรรทัดฐานของฟังก์ชัน f

บรรทัดฐานของอำนาจดังกล่าว:

1) | ฉ || ≥ 0 หากความเท่าเทียมกันสามารถเป็นได้เฉพาะสำหรับฟังก์ชันศูนย์ f = 0 ฟังก์ชันซึ่งสามารถใช้กับศูนย์ได้อาจเป็นจำนวนจุดสุดท้าย

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || ฟาย ||;

3) | αƒ || = | α | · || ƒ ||,

de α - หมายเลขการออกแบบ

พลังแห่งการรวมของฉันอีกประการหนึ่งเป็นดังนี้:

และถูกเรียกว่าประสาทของ Minkovsky

เพื่อบอกว่าฟังก์ชันสุดท้าย (f n) สืบหา, สืบเชื้อสายมาจากฟังก์ชัน, ติดตามความรู้สึกของค่าเฉลี่ยกำลังสองถึง (อย่างไรก็ตาม เกินบรรทัดฐาน) ถ้า

อย่างมีนัยสำคัญ ถ้าความคงอยู่ของฟังก์ชัน n (x) มาบรรจบกันกับฟังก์ชัน ƒ (x) ในอีกด้านหนึ่ง ดังนั้นสำหรับการไปถึงความแตกต่างที่ยิ่งใหญ่ ƒ (x) - n (x) ในค่าสัมบูรณ์ ความรู้สึกผิดก็น้อย ทั้งสามครั้ง

ถ้า n (x) เป็นจริงถึง ƒ (x) ในแง่ของกำลังสองมีค่าเฉลี่ย ความแตกต่างก็อาจไม่น้อยสำหรับ n ที่ยิ่งใหญ่ในทุกๆ ที่ ในบริเวณโดยรอบของเดือน การเติบโตอาจจะยิ่งใหญ่ ที่สำคัญกว่านั้น แต่รวมเข้ากับจัตุรัสตามความยาวของถนนสำหรับ n ที่ยิ่งใหญ่

ก้น ให้ภาพแก่เด็กน้อยโดยไม่หยุดชะงักในฟังก์ชัน shmatkovo-line n (x) (n = 1, 2, ... ) นอกจากนี้

(Bugrov ด้าน 281 รูปที่ 120)

หากคุณเป็น n . ที่เป็นธรรมชาติ

ในฟังก์ชั่นสุดท้ายฉันต้องการไปที่ศูนย์ที่ n →∞แม้ว่าจะไม่สม่ำเสมอ ทีมMіzh

กล่าวคือ ฟังก์ชันสุดท้ายของฟังก์ชัน (f n (x)) ถึงศูนย์ ในแง่ของค่าเฉลี่ยกำลังสองบน

จะมีฟังก์ชั่นต่างๆ 1, 2, 3, ...

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

ผลรวมของสมาชิก yogo n คนแรก

σ n = 1 + 2 + + n

єฟังก์ชั่น scho ที่จะวางถึง วิธีการดักฟังฟังก์ชั่นเป็นเช่นนั้น

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

ดูเหมือนว่าอนุกรม (12) จะมาบรรจบกับฟังก์ชันในแง่ของค่าเฉลี่ยกำลังสองและเขียน

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

โน้ต 2.

คุณสามารถเห็นช่องว่าง = (a, b) ฟังก์ชันมูลค่าซับซ้อน ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), de ƒ 1 (x) และ ƒ 2 (x) - การกระทำ shmatkovo - โดยไม่หยุดชะงัก บนฟังก์ชัน ในฟังก์ชันที่หลากหลาย ให้คูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนและการเพิ่มสเกลาร์ของฟังก์ชัน ƒ (x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) และ φ (x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x ) แต่เริ่มต้นด้วยอันดับที่น่ารังเกียจ:

และบรรทัดฐานเริ่มต้นเป็นค่า

ชุดของฟังก์ชันเป็นระยะของFur'єจากช่วงเวลา2π

Fur'єจำนวนหนึ่งช่วยให้มีฟังก์ชั่นเป็นระยะที่สามารถพับลงบนส่วนประกอบได้ การเปลี่ยนสตรัมและสปริง การแทนที่ ความเร็วและความเร็วของกลไกข้อเหวี่ยงและระบบเสียง hvili - ก้นทุกประเภทที่ใช้งานได้จริงของการจัดเก็บฟังก์ชันตามระยะในบัญชีรายชื่อทางวิศวกรรม

วางในแถว Fur'єวิ่งอยู่บนชุด แต่ฟังก์ชั่นทั้งหมด แต่มีความหมายในทางปฏิบัติในช่วงเวลา -π ≤x≤ π เป็นไปได้ที่จะย้ายในมุมมองของแถวตรีโกณมิติที่คล้ายกัน (สมาชิกที่คล้ายกันจำนวนหลังจาก

สัญกรณ์มาตรฐาน (= zvychany) ผ่านผลรวม sinx และ cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

de a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. - ค่าคงที่อ้างอิง tobto

De สำหรับช่วงจาก -π ถึง π ไปจนถึงประสิทธิภาพของ Fur'є จำนวนหนึ่งที่ต้องจ่ายตามสูตร:

คุณสมบัติ a o, a n і b n เรียกว่า kofіtsієntami Fur'єและถ้ารู้ได้ก็เรียกอนุกรม (1) ว่า สั่งซื้อFur'єโดยฟังก์ชัน f (x) สำหรับชุด (1) คำว่า (a 1 cosx + b 1 sinx) เรียกว่าตัวแรกหรือ ฮาร์มอนิกหลัก,

วิธีที่ดีที่สุดในการเขียนแถวคือวิคตอเรีย sp_vvidnoshennya acosx + bsinx = csin (x + α)

f (x) = a o + c 1 บาป (x + α 1) + c 2 บาป (2x + α 2) + ... + c n บาป (nx + α n)

De ao เป็นค่าคงที่ s 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, sn = (an 2 + bn 2) 1/2 คือแอมพลิจูดของส่วนประกอบอื่นๆ และสำหรับถนน a = arctan an / ข น.

สำหรับอนุกรม (1) คำว่า (a 1 cosx + b 1 sinx) หรือ c 1 sin (x + α 1) เรียกว่า first หรือ ฮาร์มอนิกหลัก,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) หรือ c 2 sin (2x + α 2) เรียกว่า ฮาร์มอนิกอื่น ๆและจนถึงตอนนี้

เพื่อการตรวจจับที่ถูกต้องของสัญญาณพับ ต้องไม่จำกัดจำนวนสมาชิก อย่างไรก็ตามเจ้าหน้าที่ภาคปฏิบัติของ bagatyokh มีสมาชิกกลุ่มแรกเพียงพอ

ชุดของฟังก์ชันที่ไม่ใช่เป็นระยะของFur'єจากคาบ2π

การกระจายฟังก์ชันที่ไม่เกิดซ้ำไปยัง Fur'єจำนวนหนึ่ง

เนื่องจากฟังก์ชัน f (x) ไม่เป็นระยะ หมายความว่าไม่สามารถจัดวางในแถวของ Fur'є สำหรับค่าทั้งหมดของ x อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะสร้าง Fur'єจำนวนหนึ่ง ซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันในช่วงใดๆ ที่มีความกว้าง 2?

หากมีการตั้งค่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง คุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันใหม่ได้ ค่า f (x) ในช่วงการร้องเพลงจะสั่น และตำแหน่งจะทำซ้ำด้วยช่วงที่มีช่วงห่าง 2π การสั่นเป็นฟังก์ชันใหม่ є เป็นระยะด้วยคาบ 2π, їїสามารถขยายเป็นแถวของ Fur'є สำหรับค่าทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f (x) = x ไม่ใช่คาบ อย่างไรก็ตาม หากจำเป็นต้องขยาย її ในแถวของ Fur'є ในช่วงเวลาจากสูงสุด 2π ตำแหน่งของช่วงเวลาจะเป็นฟังก์ชันแบบคาบที่มีคาบ 2π (ดังแสดงในรูปด้านล่าง)

สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นระยะ เช่น f (x) = x ผลรวมของจำนวนค่า Fur'є ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า f (x) ที่ทุกจุดของช่วงที่กำหนด แต่ไม่ใช่ f (x) สำหรับจุดในโพสต์- พิสัย. สำหรับความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ระยะของ Fur'є จำนวนหนึ่งในช่วง 2π จะใช้สูตรสัมประสิทธิ์ของ Fur'є เดียวกันทั้งหมด

ฟังก์ชันจับคู่และไม่จับคู่

สมมติว่าฟังก์ชัน y = f (x) พาร์นาโดยที่ f (-x) = f (x) สำหรับค่าทั้งหมดของ x กราฟของฟังก์ชันที่จับคู่จะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสมมาตร (แสดงในลักษณะคล้ายกระจก) ฟังก์ชั่นจับคู่ก้นสองแบบ: y = x 2 і y = cosx

สมมติว่าฟังก์ชัน y = f (x) ไม่มีคู่โดยที่ f (-x) = - f (x) ค่าทั้งหมดของ x กราฟของฟังก์ชันที่ไม่จับคู่จะขึ้นอยู่กับพิกัดสมมาตร

ฟังก์ชัน Bagato ไม่ใช่ผู้ชาย พวกเขาไม่ได้จับคู่

ขยายในแถวของFur'єในโคไซน์

ชุดของฟังก์ชันคาบที่จับคู่Fur'є f (x) ที่มีคาบ 2π สามารถลบสมาชิกออกจากโคไซน์ (เพื่อไม่ให้ลบสมาชิกออกจากไซน์) และคุณยังสามารถรวมสมาชิกถาวรได้ด้วย ออตเช่

de kofizinti จำนวนFur'є

อนุกรมของฟังก์ชันคาบที่ไม่จับคู่ของเฟอร์ f (x) ที่มีคาบ 2π คือการแทนที่สมาชิกด้วยไซน์ (เพื่อไม่ให้แก้แค้นสมาชิกด้วยโคไซน์)

ออตเช่

de kofizinti จำนวนFur'є

Row Fur'єบน pivperiodi

เนื่องจากฟังก์ชันนี้มีไว้สำหรับช่วง พูดตั้งแต่ 0 ถึง π และไม่เพียงแต่จาก 0 ถึง 2π เท่านั้น จึงสามารถวางในแถวที่มีไซน์เท่านั้นหรือโคไซน์เท่านั้น Otrimany จำนวน Fur'єถูกเรียก สั่งซื้อFur'єบนnapіvperіodі

จำเป็นต้องแก้ไขการแจกจ่าย Fur'єบน napivperiodi บนโคไซน์ฟังก์ชัน f (x) ในช่วง 0 ถึง π จำเป็นต้องเพิ่มฟังก์ชันคาบคู่ ในรูป ฟังก์ชัน f (x) = x แสดงอยู่ด้านล่าง โดยได้รับแจ้งในช่วงเวลาตั้งแต่ x = 0 ถึง x = π การสั่นของฟังก์ชันที่จับคู่มีความสมมาตร แต่แกน f (x) กระทำโดยเส้น AB ซึ่งแสดงในรูปที่ ต่ำกว่า. แค่ปล่อยมันไป แต่ท่าทางของช่วงเวลาที่มองจะถูกตัดแต่งให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม є เป็นระยะๆ ด้วยคาบ 2π จากนั้นเฟรมกราฟิกจะปรากฏขึ้น ในรูป ต่ำกว่า. ความผันผวนจำเป็นต้องปฏิเสธเลย์เอาต์ของFur'єโดยโคไซน์และก่อนหน้านี้ประสิทธิภาพที่คำนวณได้Fur'є a o і a n

หากจำเป็นต้องแก้ไขฟังก์ชัน f (x) ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง π ก็จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันคาบที่ไม่จับคู่ ในรูป ฟังก์ชัน f (x) = x แสดงอยู่ด้านล่าง โดยได้รับแจ้งในช่วงเวลาตั้งแต่ x = 0 ถึง x = π ไม่มีการจับคู่การสั่น ฟังก์ชั่นสมมาตรกับ cob ของพิกัด มันจะเป็นเส้น CD ดังแสดงในรูปที่ ปล่อยมันไป แต่ตำแหน่งของสัญญาณคล้ายไฟล์เป็นระยะที่มีคาบ 2π ท่าทางของสัญญาณคล้ายไฟล์ที่มีคาบ 2π จากนั้นจึงอ่านค่าในรูปที่ จำเป็นต้องปฏิเสธการสั่นสำหรับเลย์เอาต์ของ Furin บนพื้นฐานของไซนัส ทั้งก่อนหน้าและก่อนหน้า ซึ่งคำนวณโดยค่าของ Fur NS

จำนวน Fur'єสำหรับช่วงก่อน

การขยายฟังก์ชันคาบจากคาบ L.

ฟังก์ชันเป็นระยะ f (x) ซ้ำจากการเพิ่ม x L ดังนั้น ฉ (x + ล) = ฉ (x) การย้ายจากฟังก์ชันที่แสดงก่อนหน้านี้จากช่วงเวลา 2π ไปยังฟังก์ชันจากจุด L เพื่อทำให้เป็นฟังก์ชันแบบง่าย บางส่วนสามารถทำได้เพื่อการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม

จะทราบได้อย่างไรว่าชุดของฟังก์ชัน Fun'є f (x) ในช่วง -L / 2≤x≤L / 2 เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงใหม่ u ในตำแหน่งที่ฟังก์ชัน f (x) เป็นคาบ 2π และ แล้วคุณ ถ้า u = 2πx / L แล้ว x = -L / 2 สำหรับ u = -π และ x = L / 2 สำหรับ u = π นอกจากนี้ อย่าให้ f (x) = f (Lu / 2π) = F (u) ชุดของ Fur'є F (u) maє viglyad

De kofizinti จำนวนFur'є

แต่สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดคือการผลิตสูตรจนเหลือใบ การสั่น u = 2πх / L, แม้แต่ du = (2π / L) dx และระหว่างการรวม - จาก -L / 2 ถึง L / 2, เปลี่ยน - π เป็น π Otzhe จำนวนFur'єสำหรับความรกร้างจาก x maє viglyad

อยู่ในช่วงตั้งแต่ -L / 2 ถึง L / 2 ประสิทธิภาพถึง Fur'єจำนวนหนึ่ง

(ระหว่างการรวมสามารถแทนที่ช่วงใดก็ได้จนถึง L เช่น จาก 0 ถึง L)

ชุดของFur'єสำหรับช่วงเวลา napіvสำหรับฟังก์ชั่นที่ตั้งไว้ในช่วงเวลา L ≠ 2π

สำหรับการติดตั้ง u = πх / L ช่วงเวลาตั้งแต่ x = 0 ถึง x = L คือช่วงจาก u = 0 ถึง u = π อ็อตเช่ ฟังก์ชันสามารถขยายได้ในแถวเท่านั้นโดยโคไซน์หรือโดยไซน์เท่านั้น tobto วี แถว Fur'єบน pivperiodi.

ขยายโคไซน์ในช่วงจาก 0 ถึง L ma viglyad