Vstup

Cylindrické funkcie sa nazývajú riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice iného rádu

de - komplexné zmeny,

Parameter, ktorý možno použiť pre reč alebo komplexné hodnoty.

Pojem "valcové funkcie" pletenia plodín na ich výlety do tohto druhu zariadenia, ktorý (1) sa rozvíja pri pohľade na regionálne zariadenia, teória potenciálu valcovej oblasti.

Špeciálne triedy cylindrických funkcií sa v literatúre uvádzajú ako Besselove funkcie a v niektorých prípadoch sú priradené k celej triede cylindrických funkcií.

Teória funkcií je dobre rozpracovaná, vzhľad prednášacích stolov a široká plocha stasosuvanu sú dostatočným prostriedkom na prinesenie valcových funkcií k najdôležitejším špeciálnym funkciám.

Rivnyannya Bessel winykє pіd hodina známa rіshennya rіvnyannya Laplace a rіvnyannya Helmholtz na valcových a guľových súradniciach. Táto funkcia Bessela bude stagnovať v prípade vírusovej záťaže o expanzii hwil, statický potenciál je príliš malý, napríklad:

1) elektromagnetické hvily vo valcovom hvilevodі;

2) tepelná vodivosť na valcových predmetoch;

3) vytvorenie tenkej okrúhlej membrány;

4) tekutosť častíc vo valci, ktorý je uložený pri vedení a obalený okolo jeho osi.

Besselove funkcie uviazli v hornej časti zoznamu, napríklad pred hodinou spracovania signálu.

Besselove cylindrické funkcie sú zo všetkých špeciálnych funkcií najrozšírenejšie. Vôňa číselných doplnkov vo všetkých prírodných a technických vedách (najmä v astronómii, mechanike a fyzike). Na spodnom konci matematickej fyziky sa rozvíjajú cylindrické funkcie, pre ktoré je argumentom index (jeden a jediný), pridávajú komplexné hodnoty. Na numerické určenie takýchto projektov je potrebné vyvinúť algoritmy, ktoré umožnia presný výpočet Besselovej funkcie.

Účel robota v kurze: vivchennya funkts_ Bessel a zasosuvannya їkh orgány v virіshennі diferenciálnej іvnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel a upravená Rivnyannya Bessel.

2) Určte základnú mohutnosť Besselových funkcií, asymptotické prejavy.

3) Viditeľnosť diferenciálu pre doplnkovú funkciu Bessela.

Bessel funguje s pozitívnou ikonou

Na riešenie problémov spojených s úlohami cylindrických funkcií stačí prispôsobiť špeciálne triedy funkcií, ktoré sa zobrazujú v daný deň, ak sa parameter rovný kladnému číslu (1) rovná nule.

Predtým, než sa tejto triede prisúdi elementárnejší charakter, nižšia teória, možno ju považovať za najvýznamnejšiu hodnotu a môžeme byť k zavedenej teórii láskaví.

Ukáže sa, že jedna z odpovedí je

0, 1, 2, …, (1.1)

є Besselova funkcia je prvá v poradí, yak pre akýkoľvek význam, začiatok yak súčet v rade

Pre ďalšie znaky D'Alemberta je ľahké prevrátiť, ale rad, dávať pozor, zbiehať sa v celej oblasti komplexnej zmeny, ktorá tiež predstavuje celú funkciu všetkého.

Yaksho označuje ľavú časť ryvnyannya (1.1) tým, že zadáva rýchlosť zaznamenávania výkonu v sérii (1.2)

potom v dôsledku substitúcie môžeme

Vyraz viraz hviezdy na chramoch stlme na nulu. Otzhe, funkcia vyhovuje štandardu (1.1), to znamená valcovej funkcii.

Najjednoduchšie funkcie pre triedu, ako vyzerajú, sú Besselove funkcie v poradí nula a jedna:

Ukáže sa, že Besselovými funkciami nižších rádov možno rotovať cez tieto funkcie. Pre dôkaz je prípustné, že a je kladnejšie číslo, rad (1.2) sa násobí a diferencuje. Mi otrimaєmo todі

Analogické poradie, vynásobenie série známymi

Po vykonaní diferenciácie v rovnosti (1,4 - 1,1) a vynásobení sa dostaneme k vzorcom:

hviezdy bez prednej línie:

Otrimaniho vzorce dostali názov opakujúce sa vzťahy pre Besselove funkcie.

Prvým krokom je umožnenie funkcie funkcie podľa poradia prostredníctvom funkcie nula a jedna objednávka, aby sa robot mohol rýchlo presunúť zo skladacích stolov Besselových funkcií.

Ostatné spіvdnoshennya umožňuje dane stratených z funkcií Bessel prostredníctvom funkcií Bessel. Pre celý spіvvіdnoshennya maє buti je nahradený vzorcom

bez prednastavenia týchto funkcií.

Funkcie Bessela prvého rodu sú jednoducho spojené s funkciami Laurentovho radu):

Koeficienty rozdelenia možno vypočítať vynásobením štátne riadky:

že zdieľanie členov, ako sa pomstiť rovnakými krokmi. Viconavshi tse, otrimaєmo:

viglyad hviezdy

Funkcia sa nazýva funkcia, scho viroblyaє, pre Besselove funkcie s celou ikonou; Znalosť komunikácie (1.12) je uvedená v teórii týchto funkcií.

Aby bolo možné poprieť domácu integráciu ryvnyannya (1.1), ktorá poskytuje širokú škálu valcových funkcií s jednou ikonou, je potrebné použiť iné riešenia rovnakej dôležitosti. V kapacite takéhoto riešenia možno zastávať funkciu Bessela iného rodu, aj keď nie je dôležité uvažovať o analogickom virase z hľadiska množstva

(- Post-Eiler) і, občas peršu іak sa súčet dostane na nulu.

Funkcia je pravidelná v oblasti s rastom. Samotná zvláštnosť letmého rozhodnutia poľa spočíva v tom, že sa dá zmeniť na nezmysel, ak áno. Zagalny viraz cylindrickej funkcie je lineárna kombinácia podnetných riešení

de і - dobrý postіynі,

Aby sme prešli k riešeniu problémov s tvorbou kruhovej membrány, musíme sa najprv dozvedieť o funkciách Bessela. Besselove funkcie є riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice rôzneho rádu v dôsledku meniaceho sa výkonu

Cena sa volá Besselova rodina. Prvá vec a druhé riešenie nie je len v úlohách okrúhlej membrány, ale v ďalšom veľkom počte budov.

Parameter k, ktorý by mal byť zadaný na úrovni (10.1), sa môže zdať ako zagal, ale existujú nejaké kladné hodnoty. Pre dané k sa riešenia nazývajú bezsemenné funkcie rádu k (nazývajú sa aj cylindrické funkcie). Je ľahké vidieť v detailoch, či nemáme jednoduché prepady, ak sa pokúsime zbaviť nevýraznej funkcie nuly prvého rádu, ak ostatné víťazstvá majú nejaké známky.

Pre zalny vivchennya bezsemenných funkcií od čitateľa po špeciálne knihy (odd., Napríklad / n, (4.5)

de 1, 2, ..., n - vypadkovі potrat;

n - počet vimiriv.

Stredná kvadratická korekcia je založená na vyššie uvedenom kritériu na posúdenie presnosti vimirivu. Pozrite sa na malý počet krát, aby ste dosiahli štýl a dobre si predstavte prejav veľkého druhu omilostenia, ktorý, mimochodom, začína ako fakt.

Vzorec (4.5) je pevný na výpočet strednej kvadratickej odchýlky, ak pre veličinu existuje referenčná hodnota. Ceny za prax sú ešte horšie. Referenčná hodnota určitej hodnoty je spravidla nedostupná, ale je možné odpočítať najdôležitejší výsledok - aritmetický priemer. Môžeme akceptovať vzorec na výpočet stredného kvadratického nesprávneho správania pre dodatočné zafixovanie výsledkov v aritmetickom priemere pre takzvané ymovy zlé správanie V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - výsledky presných hodnôt rovnakej veľkosti, ktorých význam je X a aritmetický priemer je L. Todi možno vypočítať n typov chýb

Δ i = l i - X (4,6)

a najúspešnejšie chyby

V i = l i - L. (4,7)

Suma peňazí (4.7)

[V] = [l] - nL. (4,8)

Ale podľa ekvivalencie (4.4) nL = [l], že

takže súčet najnovších zneužití má nulové náklady.

Ekvivalencia (4.6) Ekvivalencia (4.7), rozpoznateľná

Δ i - V i = L - X. (4.10)

V pravej časti ryvnosti (4.10) je trik aritmetického priemeru. Nechajte її cez ε. Todi

Ai = Vi + ε. (4.11)

Vložíme druhú mocninu rovnosti (4.11), vezmeme súčet a dáme n:

[A2] / n = / n + nε2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva je súčasťou ceny peňazí є nie tak іnshe yak m2. Zvyšok pravej časti cez rovnosť (4.9) sa rovná nule.

m2 = / n + e2. (4,13)

Vipadkovovo chybné správanie ε je nahradené strednými hodnotami, to znamená stredným štvorcom, stredným aritmetickým priemerom. Dno bude prinesené, oh stredný kvadratický rozdiel aritmetického priemeru

M2 = e2 = m2/n. (4,14)

m2 - m2 / n = / n alebo m2 (n - 1) / n = / n,

hviezdy ___________

m2 = / (n - 1), alebo m = √ / (n - 1). (4,15)

Vzorec (4.15) sa nazýva podľa Besselovho vzorca ten veľký je praktickejší. Vaughn vám umožňuje vypočítať priemerné kvadratické vylepšenie pre lahodné vylepšenia výsledkov vo forme aritmetického priemeru.

Za priemerné kvadratické nesprávne správanie môže priemerný rásť, môžem si byť istý nesprávnym správaním.

Stredné nesprávne správanie (Θ) sa nazýva aritmetický priemer absolútnych hodnôt nesprávneho správania, tobto.

Θ = (| Δ 1 | + | Δ 2 | +… + | Δ n |) / n = [| Δ |] / n. (4,16)

Teoreticky môže nastať chyba, n → ∞ = 0,8 m, ale pre m = 1,25 ?.

V prípade aplikovanej potravy sa sťažujú som hladný r. Rovnaký význam sa nazýva bezbožný podvod v jednom rade rovnakých vimirivov, ale je to tak veľmi, ako je možné ho poprieť, takže je to nižšia hodnota, absolútna hodnota. Pre znakhozhennya r usi zvyky dané číslo môžu vo svojom vlastnom poradí v poradí rastu v absolútnej hodnote a vybrať tieto hodnoty, ako je požičanie strednej pozície, takže je to menej ako tento štýl, ale viac a viac. Ymovіrna interrupcia je viazaná, ak stredná štvorcová menejcennosť r = 2/3 m = 0,67 m pre m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> Θ і m> r, ako odvodiť, že stredné kvadratické nesprávne správanie lepšie charakterizuje presnosť vimirіv, nіzh stredná і imovirna popierať.

Posúdenie presnosti takýchto premenných hodnôt, ako sú čiary, plochy a plochy, sa často strieda prípustné klamanie... Názov absolútneho zlého správania až do hodnoty vimrianskej hodnoty je skutočným zlým správaním. Bežnou chybou je zapísať zlomok, ktorého číslo je jedna, a štandardne číslo, ktoré vám ukazuje časť hodnoty veľkosti, je dovolené urobiť chybu. Napríklad na strane D = 150 m vimiriána s absolútnym sklonom m d = 0,05 m. Rozdiel k výsledku wimiru je tiež m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Hodnota 1/3000 znamená, že na 3000 m od porastu je povolený abdukcia na 1 m. Presnosť všetkých lineárnych meraní v geodézii je potrebné zisťovať, aby boli presné, pretože by sa mali riadiť všeobecnými pokynmi a pokynmi na vykonávanie tohto typu geodetických robotov.

FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE ZRIADENIE

STERLITAMATSKA FILIA

DOMÁCA KNIHA

VISCHOЇ PROFESSIONO EVOLVE

UNIVERZITA BASHKIRSKIY DERZHAVNIY

Ekonomická fakulta

Katedra matematiky a informatiky

Samozrejme robot

k téme:

Besselove funkcie

Vikonav študent 2 kurz

skupina PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___" ____________ 2010r.

Naukovy Kerivnik

Ph.D., čl. ін.

Sidorenko O. G. _______

"___" ____________ 2010r.

Sterlitamak 2010

Vstup

1 Bessel funguje s kladným znamienkom

2 Besselove funkcie s jediným znakom

3 Domov manifestácie Cylindrické funkcie. Besselove funkcie iného rodu

4 Rozšírenie množstva Besselových funkcií iného rodu o celú ikonu

5 Besselových funkcií tretieho druhu

6 Besselove funkcie explicitného argumentu

7 Cylindrické funkcie s indexom, ktoré stoja polovicu nepárového celého čísla

8 Asymptotické určenie cylindrických funkcií pre veľké argumentačné hodnoty

9 Funkcie nulového valca

Višňovok

Zoznam literatúry

Vstup

Cylindrické funkcie sa nazývajú riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice iného rádu

, (1) - komplexná zmena, - parameter, ktorý možno použiť pre reč alebo komplexný význam.

Pojem "valcové funkcie" pletenia plodín na ich výlety do tohto druhu zariadenia, ktorý (1) sa rozvíja pri pohľade na regionálne zariadenia, teória potenciálu valcovej oblasti.

Špeciálne triedy cylindrických funkcií sa v literatúre uvádzajú ako Besselove funkcie a v niektorých prípadoch sú priradené k celej triede cylindrických funkcií.

Teória funkcií je dobre rozpracovaná, vzhľad prednášacích stolov a široká plocha stasosuvanu sú dostatočným prostriedkom na prinesenie valcových funkcií k najdôležitejším špeciálnym funkciám.

Rivnyannya Bessel winykє pіd hodina známa rіshennya rіvnyannya Laplace a rіvnyannya Helmholtz na valcových a guľových súradniciach. Táto funkcia Bessela bude stagnovať v prípade vírusovej záťaže o expanzii hwil, statický potenciál je príliš malý, napríklad:

1) elektromagnetické hvily vo valcovom hvilevodі;

2) tepelná vodivosť na valcových predmetoch;

3) vytvorenie tenkej okrúhlej membrány;

4) tekutosť častíc vo valci, ktorý je uložený pri vedení a obalený okolo jeho osi.

Besselove funkcie uviazli v hornej časti zoznamu, napríklad pred hodinou spracovania signálu.

Besselove cylindrické funkcie sú zo všetkých špeciálnych funkcií najrozšírenejšie. Vôňa číselných doplnkov vo všetkých prírodných a technických vedách (najmä v astronómii, mechanike a fyzike). Na spodnom konci matematickej fyziky sa rozvíjajú cylindrické funkcie, pre ktoré je argumentom index (jeden a jediný), pridávajú komplexné hodnoty. Na numerické určenie takýchto projektov je potrebné vyvinúť algoritmy, ktoré umožnia presný výpočet Besselovej funkcie.

Účel robota v kurze: vivchennya funkts_ Bessel a zasosuvannya їkh orgány v virіshennі diferenciálnej іvnyans.

Zavdannya:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel a upravená Rivnyannya Bessel.

2) Určte základnú mohutnosť Besselových funkcií, asymptotické prejavy.

3) Viditeľnosť diferenciálu pre doplnkovú funkciu Bessela.

1 Bessel funguje s kladným znamienkom

Pri pohľade na problémy súvisiace s funkciami cylindra stačí umiestniť špeciálne triedy funkcií, ktoré sa zobrazujú v daný deň, ak parameter

v rodine (1) je nula a celé kladné číslo.

Až do konca triedy nosiť elementárnejšiu postavu, nižšiu teóriu, považovať za prevládajúcu hodnotu

, і môže byť dobrým úvodom do teórie.

Ukáže sa, že jedna z odpovedí je

0, 1, 2, …, (1.1)

є Besselova funkcia prvého druhu

yak pre hodnotu be-yak pozri počiatočnú sumu yak v rade (1.2)

Pre dodatočné znaky D'Alemberta je ľahké prevrátiť, ale rad, na ktorý sa dá pozerať, sa zbieha do celej oblasti komplexnej zmeny, ktorá tiež predstavuje celú funkciu

.

Ako označiť ľavú časť rovnice (1.1) cez

a do riadku (1.2) uveďte rýchlostný záznam výkonu

potom v dôsledku substitúcie môžeme

ďalšie hviezdy

Okrem toho sú krivky na spánkoch stlmené na nulu. Otzhe, funkcia vyhovuje štandardu (1.1), to znamená valcovej funkcii.

Najjednoduchšie funkcie pre triedu, ako vyzerajú, sú Besselove funkcie v poradí nula a jedna:

(1.3)

Ukáže sa, že Besselovými funkciami nižších rádov možno rotovať cez tieto funkcie. Pre potvrdenie sa predpokladá, že a je kladné číslo, rad (1.2) sa vynásobí

і poradil. Mi otrimaєmo todi (1.4)

Analogická hodnosť, vynásobenie riadku

známy (1.5)

Diferenciácia v rovnosti (1,4 - 1,1) a multiplikátor

, Dostávame sa k vzorcom: (1.6)

hviezdy bez prednej línie:

(1.7) (1.8)

Otrimaniho vzorce dostali názov opakujúce sa vzťahy pre Besselove funkcie.

Objednať.

Chcem (- α) (\ štýl zobrazenia (- \ alpha)) plemeno rovnaké rivnyannya, zavolajte domov o tých, ktorí videli rôzne funkcie (skúste napríklad, aby bola Besselova funkcia hladká α (\ štýl zobrazenia \ alfa)).

Besselove funkcie prvýkrát pomenoval švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli a pomenoval ich po Fridrikhovi Beselovi.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Zmіshane zavdannya kolі. Besselove funkcie

✪ Diferenciálny Rivnyannya | Rivnyannya Bessel a pidhid k revízii joga

✪ Metódy matematickej fyziky. Profesor Tichonov Mykola Andriyovich (1. prednáška)

✪ Diferenciálny Rivnyannya | Integrálna detekcia Besselových funkcií 1

✪ 13. Stimuly pre Walshove funkcie

Podnadpis

Grganie

Rivnyannya Besselova winnyaє pіd hodina rіvnyannya rіvnyannya Laplace a rіvnyannya Helmholtz vo valcových a guľových súradniciach. Táto funkcia Bessela bude stagnovať v prípade vírusovej záťaže o expanzii hwil, statický potenciál je príliš malý, napríklad:

• elektromagnetické hvily vo valcovom hvilevodі;
• tepelná vodivosť na valcových predmetoch;
• tvorba kolónie tenkej okrúhlej membrány;
• ruža intenzity svetla, difraktovaná na okrúhlom otvore;
• drobnosť častíc vo valci, zapamätaná čiarou a obalená okolo svojej osi;
• Hvilyovi funguje na sféricky symetrických potenciálových clonách.

Besselove funkcie uviazli v hornej časti zoznamu, napríklad pred hodinou spracovania signálu.

Viznachennya

Oskіlki nominoval іvnyannya є linіynim rozdiel rovný v inom poradí má nový maє dve na linke nezávislé riešenia. Hlboko z okolia však vibruje nárast počtu rozhodnutí. Deyaki z nich ukazuje nižšie.

Besselove funkcie prvého rodu

Funkcie Bessela prvého rodu, čo znamená, є riešenie, kintsev v bodoch x = 0 (\ štýl zobrazenia x = 0) so všetkými ľuďmi, ktorí nie sú α (\ štýl zobrazenia \ alfa)... Vibir špecifických funkcií a normalizácia sú iniciované úradmi. Funkciu je možné použiť na dodatočné umiestnenie do Taylorovho nulového radu (alebo do väčšieho stavového riadku s α (\ štýl zobrazenia \ alfa)):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (−1) m m! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α (\ štýl zobrazenia J _ (\ alpha) (x) = \ súčet _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (m)) (m! \, \ Gamma (m + \ alfa +1))) (\ vľavo ((\ frac (x) (2)) \ vpravo)) ^ (2 m + \ alpha))

Tu Γ (z) (\ displaystyle \ Gamma (z))- Eulerova gama funkcia, pripisujúca faktor necieľovým hodnotám. Graf Besselových funkcií je podobný sínusoide, ktorej počet úmerne mizne 1 x (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (\ sqrt (x)))), Želám si kvôli nulovej funkcii rozety nie pravidelne.

Grafy sú umiestnené nižšie J α (x) (\ štýl zobrazenia J _ (\ alpha) (x)) pre 1 a 2:

Neumannove funkcie sa nazývajú aj Besselove funkcie iného druhu. Linková kombinácia funkcií Besselovej prvej a druhej strany є mimo rozhodnutia Rivnyannya Bessel:

y (x) = C1Ja (x) + C2Ya (x). (\ displaystyle y (x) = C_ (1) J _ (\ alpha) (x) + C_ (2) Y _ (\ alpha) (x).)

Graf je uvedený nižšie Y α (x) (\ štýl zobrazenia Y _ (\ alpha) (x)) pre α = 0 (\ štýl zobrazenia \ alpha = 0), 1 a 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) dx = (0; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alpha) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alpha) (\ mu _ (2) x) dx) = \ vľavo \ ((\ begin (matica) 0 & (\ mbox (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alpha) (\ mu _ (1)) ) ^ ( 2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ koniec (matica)) \ vpravo ..)

Asymptotické

Pre funkcie Bessela je prvý a ďalší druh daný asymptotickými vzorcami. S malými argumentmi (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 to nie je α (\ štýl zobrazenia \ alfa) smrad vyzerá takto:

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α, (\ štýl zobrazenia J _ (\ alpha) (x) \ šípka doprava (\ frac (1) (\ Gamma (\ alpha +1))) \ vľavo ((\ frac (x) (2)) \ vpravo) ^ (\ alpha),) Y α (x) → (2 π [ln ⁡ (x / 2) + γ]; α = 0 - Γ (α) π (2 x) α; α> 0,) \ šípka vpravo \ vľavo \ ((\ začať (matica) (\ frac (2) (\ pi)) \ vľavo [\ ln (x / 2) + \ gama \ vpravo] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alpha)) (\ pi)) \ vľavo ((\ frac (2) (x)) \ vpravo) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ koniec (matica)) \ vpravo.,)

de γ (\ štýl zobrazenia \ gama)- Postyna Eyler-Maskeroni (0,5772 ...), a Γ (\ štýl zobrazenia \ Gamma)- Eulerova gama funkcia. Za skvelé argumenty ( x ≫ | α 2 - 1/4 | (\ displaystyle x \ gg | \ alpha ^ (2) -1/4 |)) vzorce vyzerajú takto:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x - α π 2 - π 4), (\ štýl zobrazenia J _ (\ alpha) (x) \ šípka doprava (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x) ) ) \ cos \ vľavo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ vpravo),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x - α π 2 - π 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ šípka doprava (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ vľavo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ vpravo).)

Hypergeometrické série

Besselove funkcie možno otáčať pomocou hypergeometrickej funkcie:

Ja (z) = (z/2) αΓ (a + 1) 0 F1 (a + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alpha)) (\ Gamma (\ alpha +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alfa +1; -z ^ (2) / 4).)

V takom rangu, za celok α (\ štýl zobrazenia \ alfa) Besselova funkcia jednoznačný analytický, a pre netsіlich - zmysluplné analytické.

Funkcia Virobnycha

Existuje jasné vyhlásenie o funkciách Bessela prvého druhu a v celom poradí prostredníctvom funkcií Laurenta, funkcie jednotného čísla a samotnej:

e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ vľavo (w - (\ frac (1) (w)) \ vpravo)) = \ sum _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)