මගේ සරල කාර්යයන් අතර. අතර

නගරාධිපති "අසංකූලතාවය අඩු කිරීම" දිගු කලක් තිස්සේ මෙම ප්‍රඥප්තිය මත රැඳී තිබේ. අපි බහුපද අතර බලමු, yakih. එම ක්‍රමයේ මූලධර්ම කුඩා සූක්ෂ්මතා සහිතව පාඩමේ පළමු කොටසේ ඇති මූලධර්මවලට සමාන වනු ඇත.

චෙරි සඳහා අවශ්ය වන චිප්ස් 4 ක් දෙස බලමු ප්රායෝගික කාර්යයන්:

1) අතර ගණනය කළ හැක

මායිමේ අර්ථය තැන්පතුවකට වඩා අඩුය, අහසේ කැබලි වඩාත් පිළිවෙලට වර්ධනය විය හැකිය. Yakscho දෙයක් මොඩියුලයකට අනන්ත විශාලයිමම BLACK පියවරේ අංකය දකිමි, සමහර අවස්ථාවලදී - හතරවන, සහ "plus නොගැලපීම්": . නියත ("දෙක") ධනාත්මකඑයට:

2) අතර ගණනය කළ හැක

මෙන්න ජ්යෙෂ්ඨ පියවර නැවතත් පර්නා, ටොම්:. Rotashuvavsya "minus" ට පෙර Ale ( සෘණනියත -1), පසුව:

3) අතර ගණනය කළ හැක

අන්තර් තැන්පතු වල අගය vіd ට වඩා අඩුය. ඔබට මෙම පාසල් මතක කෙසේද, මොඩියුලයකට අනන්ත විශාලයියුගල නොකළ උපාධියේ සෘණ අංකය i "අනනුකූලතාවය අඩු", කාලවලදී: .
නියත ("හතර") ධනාත්මක, අදහස් කිරීමට:

4) අතර ගණනය කරන්න

රටේ පළමු කොල්ලා නැවතත් මැයි යුගල නොකළපියවර, එපමනක් නොව, ළය තුළ සෘණනියත, සහ මධ්යන්ය: මෙම ශ්රේණියේ:
.

තට්ටම් 5

අතර දන්නවා

Vykoristovuyuchi vykladenі වැඩි ලකුණු, අපි vysnovka පැමිණ, මෙහි නොවැදගත් scho. Chiselnik සහ එම වර්ධනයේ අනුපිළිවෙලෙහි බැනරය, ද, අවසාන අංකයේ අවසානය අතර. සියලුම පැටවුන් දැක ඇති අපි සාක්ෂි දනිමු:

විසඳුම සුළු වේ:

තට්ටම් 6

අතර දන්නවා

Tse බට් සඳහා ස්වාධීන විසඳුම. බාහිර විසඳුමඒ වගේ පාඩම මතක් කිරීමක්.

දැන්, සමහර විට, vipadkiv හි සිහින්ම:

තට්ටම් 7

අතර දන්නවා

වැඩිහිටි දොඩන්කි දෙස බලමින්, අපි විස්නොව්කා වෙත පැමිණෙමු, මෙහි ඇති අහිංසකත්වය කුමක්ද? ඉහළ අනුපිළිවෙලක ඉලක්කම් වැඩෙමින් පවතී, බැනරය පහත් වේ, එයට පැරණි නොගැලපීම් කිහිපයක් ඇති බව කෙනෙකුට එකවර පැවසිය හැකිය. අලේ, "ප්ලස්" හෝ "අඩු" යනු කුමක්ද? එයම පිළිගැනීමෙන් - ඉලක්කම් සහ බැනර්මන්හිදී, අපි ඩ්‍රිබ්නිට්සා අවදි කරන්නෙමු:

අපි දකිනවා:

අපි අංකය සහ බැනරය බෙදුවෙමු

විශ්ලේෂණය කර ඇත අනන්ත කුඩා දොඩන්කි බැනරය:

යක්ෂෝ, පසුව දොඩංකි එස් පිරිමි ළමයිදක්වා පියවර සමාව දිය නොහැකි තරම් කුඩාධන සංඛ්‍යා (ගින් පෙන්වා ඇත), සහ දොඩන්කි s යුගල නොකළදක්වා පියවර සමාව දිය නොහැකි තරම් කුඩාසෘණ සංඛ්යා (හරහා දක්වනු ලැබේ).

දැන් අපි කෑම දෙමු, z tsikh chotiriokh dodankіv වගේ pragnet බිංදුවට වෙයි (කිසිම ලකුණකින් වැඩක් නෑ) විශිෂ්ටම? අපි පළමු උපක්‍රමය අනුමාන කරමු: "ix" අනුපිළිවෙල -10, පසුව -100, පසුව -1000 සහ යනාදිය. Naypovіlnіshe බිංදුවට dodanok වෙත ළඟා වනු ඇත. සංකේතාත්මකව පෙනෙන පරිදි, tse "මේද" ශුන්‍යය, අනෙක් සියලුම බිංදු "මැකී යාම" ආකාරයකි. Z tsієї අවසාන අදියරේදී සහ z'පෙනෙන වාර්තාවේ හේතු වේ.

ඊළඟට, සංඥා මොනවාදැයි සඳහන් කරන්න ඇදහිය නොහැකි තරම් කුඩාඅපට කිචිබිචි ගාන්න එපා, එහි කැබලි තීන්ත ආලේප කර ඇත, හොඳ ස්වභාවයක් ඇති තනිකමක්. ඒකයි මම අංක පොතට "නිකන් බිංදු" දැම්මේ. කථාවට පෙර, ශුන්ය සඳහා සංඥා සියලු බට් වල තේරුමක් නැත, අවසාන අංකය මායිමෙන් පිටතට පැමිණේ (උපග්රන්ථ අංක 5,6).

Zrad නොමැතිව, පසුව ජයග්රහණය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණය, විශ්ලේෂණය කිරීමට =)

Vtim, ගැන අසීමිත කුඩා කාර්යයන් pіznіshe, එසේ නොමැතිනම් ඔබ කඳුකරයේ කුඩා කුරුසයක් දකුණු අත මිරිකනු ඇත \u003d)

තට්ටම් 8

අතර දන්නවා

මෙය ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයකි.

Cauchy අනුව අනනුකූලතාවය මත කාර්යයන් අතර අවසාන සහ නොගැලපීම පත් කිරීම. ද්විපාර්ශ්වික සහ ඒකපාර්ශ්වික (කෝපාවිෂ්ට සහ දකුණු අත) අතර නම් කිරීම. ගැටළු සඳහා විසඳුමක් යොදන්න, ඒ සඳහා, vikoristovuyuchi, Kosh නම් කිරීම, එය නොගැලපීම මත මායිම ලබා දී ඇති අගයට සමීප බව පෙන්වීමට අවශ්ය වේ, .

Zmist

Div තවද: ලක්ෂ්යයෙන් පිටත
Heiny සහ Cauchy අනුව අන්තර් ක්‍රියාකාරීත්වයේ විශ්වීය නම් කිරීම

නොගැලපීම මත කාර්යයන් අතර Kіntseva

නොගැලපීම මත කාර්යයන් අතර:
|f(x) - a|< ε при |x| >එන්

කොෂ් අතර ගමනාන්තය
a අංකය ශ්‍රිතයේ මායිම ලෙස හැඳින්වේ f (x) x හි, තේරුම්ගත නොහැකි (),
1) ISnuє taka | >
2) ඕනෑම දෙයක් සඳහා, කෙසේ වෙතත්, ධනාත්මක අංකය ε > 0 මෙය N ε අංකයයි > කේ, තැන්පත් කළ යුතු දේ vіd ε , සියල්ලට කුමක් x, |x| > N ε, ශ්‍රිතයේ අගය ε - ලක්ෂ්‍යය වටා a:
|f (x) - a |< ε .
නොගැලපීම මත ශ්රිතවල මායිම පහත පරිදි දැක්වේ:
.
බෝට්ටුවක් .

එවැනි අර්ථයක් යනු බොහෝ විට ජයග්රාහී වේ:
.

එම zagalnosti පදනමේ අරමුණ, vikoristovuyuuchi තාර්කික සංකේත ලියා තබමු:
.
මෙන්න එය අද්දර ඇත, එය පවරා ඇති කාර්යයේ ප්රදේශය තුළ වැතිරීම වැදගත් වේ.

ඒකපාර්ශ්වික මායිම්

නොගැලපීම මත කාර්යයන් අතර රේඛාව:
|f(x) - a|< ε при x < -N

ධනාත්මක හේතූන් මත පමණක් කාර්යය පැවරෙන්නේ නම්, බොහෝ විට උච්චාවචනයන් ඇත. සෘණ අගයන් x වෙනස් කරන්න (වඩාත් නිවැරදිව, abo ලක්ෂ්‍යයට පිටතින්). එසේම, x හි ධනාත්මක සහ සෘණ අගයන් සඳහා නොගැලපීම පිළිබඳ සීමාවන් විය හැකිය විවිධ අගයන්. Todі vikoristovuyut ඒකපාර්ශ්වික interі.

නොපැහැදිලි දුරස්ථ ස්ථානවල Lіva මායිමඑසේ නොමැති නම්, x හි මායිම pragne minus inconsistency () පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ:
.
අසීමිත දුරස්ථ ස්ථානවල මායිම් අයිතිවාසිකම්හෝ x හි මායිම නොගැලපීම () එකතු කිරීම දක්වා නිවැරදි වේ:
.
නොගැලපීම මත ඒකපාර්ශ්වික මායිම් බොහෝ විට අදහස් කරන්නේ මෙයයි:
; .

neskіchennosti මත කාර්යයන් අතර Neskіchenna

neskіchennosti මත කාර්යයන් අතර Neskіchenna:
|f(x)| > M සඳහා |x| > එන්

කොෂ් හරහා නොකැපූ මායිමක් නම් කිරීම
කාර්යයන් අතර f (x) x හි, මෙන්
1) іsnuіє taka okolitsya neskіchenno vіddalenoї point | > K , de ශ්‍රිතය පවරා ඇත (මෙහි K යනු ධන අංකයකි);
2) කුමක් සඳහාද, කොපමණ විශාල සංඛ්‍යාවක් M > 0 , මෙය NM අංකයයි > කේ, තැන්පත් vіd M , එසේ සියලු x, |x| > N M , ශ්‍රිතයේ අගය මායිම වටා අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍යයක් ඇත:
|f (x) | > එම්.
Neskіchennu mezhu at x, scho pragne to neskіchennosti, පහත පරිදි අදහස් කෙරේ:
.
බෝට්ටුවක් .

තාර්කික සංකේතවල උපකාරය සඳහා, එම zagalnost සඳහා හේතුව, විස්තර කළ නොහැකි අන්තර් ක්රියාකාරිත්වයේ නම් කිරීම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.

ඒ හා සමානව, නොගැලපෙන අන්තර් ගායන සංඥා නම් කිරීම, සමාන සහ i:
.
.

නොගැලපීම මත ඒකපාර්ශ්වික මායිම් නම් කිරීම.
අතර ජීවත් වේ.
.
.
.
හරි අතර.
.
.
.

Gein සඳහා අන්තර් කාර්යයන් පත් කිරීම

a (අවසානයේ හෝ අනන්ත දුරින්) අංකය f ශ්‍රිතයේ මායිම ලෙස හැඳින්වේ (x) x ලක්ෂයේ 0 :
,
යක්ෂෝ
1) අපරිමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍ය x හි එවැනි අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත 0 , (මෙහි abo) වෙත පවරා ඇති කාර්යය කුමක්ද;
2) අනුකූලතාව සඳහා (x n), x වෙත යා යුතු දේ 0 : ,
මායිම් වටා ඇති මූලද්රව්ය, අනුප්රාප්තිකය (f(xn)) a වෙත අභිසාරී වේ:
.

අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ මෙන්, ලකුණක් නොමැතිව අසීමිත දුරස්ථ ස්ථානවල අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ගන්න: x ලක්ෂ්‍යයේ දුරින් මායිමේ වම් පස හෝ දකුණු පස අසීමිත ලෙස ගන්නේ කෙසේද? 0 : එසේ නොමැති නම්, අපි පැහැදිලිවම x හි මායිම නම් කිරීම ඉවත් කරමු, එය pragne minus inconsistency සහ plus inconsistency, පැහැදිලිවම.

Heine සහ Kosh අනුව මායිම නම් කිරීම සමාන වේ.

අයදුම් කරන්න

තට්ටම් 1

Vikoristovuyuchi vyznachennya Koshі දේ පෙන්වන්න
.

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
.
පවරා ඇති කාර්යයේ විෂය පථය අපි දනිමු. Oskilki සංඛ්‍යා සහ znamennik භාග є බහුපද, එවිට ශ්‍රිතය සියලු x krіm ලක්ෂ්‍ය වෙත පවරා ඇත, ඒ සඳහා znamennik ශුන්‍යයට පරිවර්තනය වේ. අපි qi ලකුණු දන්නවා. Virishuemo වර්ග සමාන. ;
.
මූල රේඛාව:
; .
Oskіlki, පසුව th.
එබැවින්, කාර්යය සඳහා පවරා ඇත. Tse අපි දිනනවා nadali.

Cauchy ට අනුව නොගැලපීම මත අවසාන අන්තර්-ක්‍රියාකාරීත්වයේ නම් කිරීම ලියා තබමු:
.
අපි වෙනස නැවත සකස් කරමු:
.
සංඛ්‍යා සහ බැනරය එම ගුණයෙන් බෙදන්න -1 :
.

ඉදිරියට එන්න.
ටෝඩි
;
;
;
.

Otzhe, අපි දැනගෙන හිටියා මොනවා කරන්නද කියලා,
.
.
පහත දැක්වෙන දේ බලන්න
සඳහා, අයි.

ඇත්ත වශයෙන්ම, කැබලි සෑම විටම වැඩි කළ හැක. ටෝඩි කවුරුන් සඳහාද,
හිදී .
Tse කියන්නේ මොකක්ද කියලා.

තට්ටම් 2

ඉදිරියට එන්න.
Koshі අනුව Vikoristovuyuchi vyznachennya mezhі පෙන්නුම් කරන්නේ:
1) ;
2) .

1) x හි තීරණය

Oskіlki, එවිට ශ්‍රිතය සියල්ලටම පවරා ඇත x .
අපි අන්තර්-ක්‍රියාකාරීත්වයේ නම් කිරීම ලියන්නෙමු, එය වඩා මිල අධික අනනුකූලතාවයෙන් අඩු වේ:
.

ඉදිරියට එන්න. ටෝඩි
;
.

Otzhe, අපි දැනගෙන හිටියා මොනවා කරන්නද කියලා,
.
ධන අංක ඇතුලත් කරන්න ta:
.
ඕනෑම ධන අංකයක් M є අංකයක් සඳහා බව අපට පෙනේ, එසේ නම්,
.

Tse කියන්නේ මොකක්ද කියලා.

2) x pragne සිට plus නොගැලපීම සඳහා විසඳුම

පිටවීමේ කාර්යය නැවත සකස් කරමු. අපි භාගයේ අංකය සහ බැනරය ගුණ කර වර්ගවල වෙනස සඳහා සූත්‍රය සොයා ගනිමු:
.
Maemo:

.
අපි නිවැරදි අන්තර් ක්‍රියාකාරීත්වයේ පැවරුම ලියන්නේ:
.

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු: .
අපි වෙනස නැවත සකස් කරමු:
.
අංකය සහ බැනරය ගුණ කරන්න:
.

ඉදිරියට එන්න
.
ටෝඩි
;
.

Otzhe, අපි දැනගෙන හිටියා මොනවා කරන්නද කියලා,
.
ධන අංක ඇතුලත් කරන්න ta:
.
පහත දැක්වෙන දේ බලන්න
i හි.

ඕනෑම ධන අංකයක් සඳහා කැබලි ගණන් කරනු ලැබේ, එවිට
.

විකොරිස්ථාන සාහිත්‍යය:
සෙමී. මිකිල්ස්කි. ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව. වෙළුම 1. මොස්කව්, 1983.

Div තවද:

පළමු ආශ්චර්යමත් මායිම එවැනි සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ:

\begin(සමීකරණය)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය)

එබැවින් $ \ alpha \ සිට (0) $ දක්වා $ \ sin \ alpha \ සිට (0) $ දක්වා විය හැකි නම්, වක්‍ර අතර මායිමේ පළමු ආශ්චර්යය $ \ frac (0) ආකාරයෙන් නොපැහැදිලි බව පෙනේ. (0) $. පෙනෙන විදිහට, සූත්‍රයේ (1) බැනරයේ සයින් і ලකුණ යටතේ වෙනස් වන $ \ alpha $ ආදේශ කිරීම ප්‍රකාශනයක් වේවා, එය ප්‍රකාශනයක් වේවා, - සිත් දෙකක් අගාධයට පත් විය:

1. Vyslovlyuvannya සයින් ලකුණ යටතේ සහ සම්මත එක් පැය ලකුණ දී ශුන්ය, tobto පනින්න. є $\frac(0)(0)$ පෝරමයේ නොවැදගත්කම.
2. සයින් ලකුණ යටතේ විරාසි සහ සම්මත ලකුණ ධාවනය.

බොහෝ විට පළමු ආශ්චර්යමත් මායිමෙන් සලකුණු ද ඇත:

\begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \අවසන්(සමීකරණය)

තුන්වන පැත්තේ බට් එකොළහක් ලියා ඇත. සූත්‍ර (2) - (4) සාධනය සඳහා බට් අංක 1 පැවරුම්. වාර්තාවේ අදහස් සමඟ තීරණයට පිළිතුරු දීමට අංක 2, අංක 3, අංක 4 සහ අංක 5 අයදුම් කරන්න. ප්‍රායෝගිකව අදහස් දැක්වීමකින් තොරව තීරණයට අංක 6-10 යොදන්න, නමුත් පැහැදිලි කිරීමේ වාර්තාව ඉදිරිපස බට් එකේ ලබා දී ඇත. ජයග්‍රහණය කරන විට, ඔබට දැනගත හැකි ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර කිහිපයක් තිබේ.

ඒ පැමිණීමට මම ගරු කරනවා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතඒ සමගම නොවැදගත් $\frac (0) (0)$ යන්නෙන් අදහස් වන්නේ ob'yazkovy zastosuvannya පළමු ආශ්චර්යමත් මායිම ගැන ය. සමහර විට ඔබට සරල ත්රිකෝණමිතික පරිවර්තනයන් සම්පූර්ණ කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, දිවාස්.

බට් #1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) දේ ගෙන එන්න (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

අ) $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$ නිසා, එවිට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skіlki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , එවිට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ආ) මම $ \ alpha = \ sin (y) $ ආදේශ කරන්නම්. $\sin(0)=0$ නම්, $\alpha\to(0)$ සමහරවිට $y\to(0)$ යැයි සිතන්න. ඊට අමතරව, එම $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ හි, බිංදුව වටා іsnuє, එයට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ සම්පුර්ණ කර ඇත.

c) මට $ alpha = tg (y) $ වෙනස් කිරීමට ඉඩ දෙන්න. $\tg(0)=0$ නම්, $\alpha\to(0)$ සහ $y\to(0)$ සමාන යැයි සිතන්න. ඊට අමතරව, ඔබ බිංදුව වටා පදනම් වන්නේ නම්, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, එවිට, ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිඵල මත විශ්වාසය තබා, අපට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ සම්පුර්ණ කර ඇත.

Rivnosti a), b), c) පළමු ආශ්චර්යමත් මායිමේ සිට අනුපිළිවෙලින් බොහෝ විට ජයග්රාහී වේ.

බට් #2

$\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

පරිමාණයන් $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, එසේ. භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ බැනරය වහාම බිංදුවට ගියහොත්, එය $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ නොවැදගත්කම සමඟ නිවැරදි විය හැක. viconano. ඊට අමතරව, බැනරයේ සයින් i ලකුණ යටතේ virazi ධාවනය වන බව පැහැදිලිය (tobto vikonana i):

Otzhe, සිත් රිදවා, පැත්තේ cob වෙත මාරු, vikonan. tsimu vyplivaє මත, scho zastosovna සූත්රය, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)(x+7 )) = $1.

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\වම(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)(x +7)) = $1.

බට් #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ දැනගන්න.

පරිමාණයන් $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, නමුත් අපට $\frac(0 ) (0) භාවිතා කළ හැක. $, එහෙනම්. viconano. සයින් සහ සම්මත ලකුණ යටතේ Prote virazi ගැලවී නොයන්න. මෙහිදී බැනර්මන්ට අවශ්‍ය ස්වරූපයෙන් Viraz එකක් ලබා දිය යුතුය. එය අපට අවශ්‍ය වේ, කොඩිකරුට $9x$ $ 9ක් තිබේ නම් - එවිට ඔබ සැබෑ වනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට හඳුන්වාදීම එතරම් පහසු නොවන බැනර්මෑන්ගෙන් $9$ ගුණකයක් නොලැබේ - බැනර්මෑන්ගෙන් viraz $9$ කින් ගුණ කරන්න. ස්වාභාවිකවම, $9$ ගුණ කිරීම සඳහා වන්දි ගෙවීමට, ඔබ $9$ න් ගුණ කර බෙදිය යුතුය:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

දැන්, බැනරය අසල, සයින් ලකුණ යටතේ, ඔවුන් රස්තියාදු විය. අන්තර් $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonanі සඳහා ඔබේ මනස සෝදන්න. එසේම, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. සහ tse යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

බට් #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ දැනගන්න.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, එවිට අපට $ \frac( 0)(0)$. කෙසේ වෙතත්, පළමු ආශ්චර්යමත් මායිමේ ස්වරූපය කැඩී ඇත. $\sin(5x)$ පළිගන්නා chiselnik යන්නෙන් අදහස් වන්නේ $5x$ බැනරය තිබීමයි. මෙම තත්වය තුළ, අංකය $5x$ කින් බෙදීම පහසුම වේ - සහ $5x$ න් ගුණ කිරීම. ඊට අමතරව, ක්‍රියාව සම්මතයට සමාන වන අතර, එය ගුණ කිරීම සහ $\tg(8x)$ $8x$ න් බෙදීම සම්භාවිතාවකි:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

නියත $\frac(5)(8)$ $x$ i මත වේගවත් නම්, අපි ගන්නේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ පළමු විස්මලන්තයට වඩා සතුටට පත්වන බව සලකන්න. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ සඳහා, එකතැන පල්වෙන සූත්‍රය වන්නේ:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

බට් #5

දැනගන්න $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Skіlki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) සහ $ \ lim_(x\to(0))x^2=0$; කෙසේ වෙතත්, පළමු ආශ්චර්යමත් මායිම zastosuvat කිරීම සඳහා, කෝසයින් අංක පොතට ලිස්සා, සයිනස් වෙත ගමන් කරන්න (එසේ නම් අපි සූත්‍රය zastosuvat කරනු ඇත) හෝ ස්පර්ශක (එබැවින් අපි සූත්‍රය zastosuvat කරන්නෙමු). Zrobiti tse එවැනි පරිවර්තනයන් විය හැකිය:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\දකුණ)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

අපි සීමාව වෙත හැරෙමු:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\දකුණ) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ කොටස දැනටමත් පළමු ආශ්චර්යමත් මායිම සඳහා අවශ්‍ය වන එම ආකෘතියට ආසන්නය. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pіdganyayuchi її pіd pershu ආශ්චර්යමත් මායිම (fuck, scho vrazi in number book සහ pіd sine නිසා zbіgtisya) යන කොටස සමඟ Trochs නිවැරදි කර ඇත:

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2$$

අපි සීමාව වෙත හැරෙමු:

$$ \lim_(x\to(0))\වම(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\දකුණ) =\lim_(x\to(0) ) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25.$$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

බට් #6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ අතර සොයන්න.

පරිමාණයන් $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi $\frac(0)(0)$ හි නොවැදගත්කම නිසා විය හැක. පළමු ආශ්චර්යමත් මායිමේ උපකාරය සඳහා Rozkriёmo її. ඒ සඳහා අපි කොසයින සිට සයින් දක්වා ගමන් කරමු. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, එවිට:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

සයිනස් අතර කාර්යය හරහා ගමන් කිරීම, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\\ ) frac(\sin(3x))(3x)\දකුණ)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\දකුණ)^2)(\displaystyle\lim_( x \to(0))\වම(\frac(\sin(x))(x)\දකුණ)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

බට් #7

$\alpha\neq\ beta සඳහා $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x))(x^2)$ අතර ගණනය කරන්න $.

සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් කලින් ලබා දී ඇත, මෙහි $\frac(0)(0)$ නැවත නොවැදගත් බව සරලව සැලකිය යුතුය. අපි කොසයින් වලින් සයින් වෙත යමු, ජයග්‍රාහී සූත්‍රය

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

vicorist සූත්රය පෙන්වා ඇත, එය අවශ්ය වේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) ) )(2)\දකුණ)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) ) (\alpha-\beta)(2)\දකුණ))(x)\දකුණ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left) x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0) )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ඇල්ෆා^2) (2) $.

බට් #8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ අතර සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (අනුමාන $\sin(0)=\tg(0)=0$) සහ $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, එවිට අපට $\frac(0)(0)$ පෝරමයේ නොවැදගත්කම සමඟ දකුණට කළ හැක. Rozkriemo її මේ වගේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\දකුණ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\දකුණ))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\වම(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

බට් #9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ අතර සොයන්න.

පරිමාණයන් $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, එවිට $ \ frac (0) (0) $ නොපවතියි. ඊට පෙර, ඔබ її විවෘත කිරීමට යන විට, එවැනි ශ්‍රේණියක වෙනස අතින් වෙනස් කරන්න, එවිට නව වෙනස ශුන්‍යයට කෙළින් වේ (සූත්‍ර $\alpha\ 0$ දක්වා වෙනස් වන බව හෙළි කරන්න). $t=x-3$ වෙනස් කිරීම ඇතුළු කිරීම වඩාත් පහසු වේ. කෙසේ වෙතත්, දුරස්ථ පරිවර්තනවල පහසුව සඳහා (ඔබට සෑම විටම පහත තීරණයේ පැය මතක තබා ගත හැක), ඔබට මෙම වෙනස වෙනස් කළ හැක: $t=\frac(x-3)(2)$. මෙම විශේෂිත තත්වය තුළ zastosovnі ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් මම ඔබව අමනාප කළ බව මම පත් කරමි, මිතුරෙකුට ඔහුව අඩුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට ඉඩ දෙන්න. $x\to(3)$, පසුව $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\වම|\frac (0)(0)\දකුණ| =\වම|\ආරම්භය(පෙළගැසී)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(පෙළගැසී)\දකුණ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

බට් #10

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2 අතර සොයන්න ) $.

සමහර විට මට නිවැරදි $\frac(0)(0)$ වලින් අලුත් කළ හැක. ඊට පෙර, ඔබ її විවෘත කිරීම වෙත යන විට, එවැනි ශ්‍රේණියක වෙනස අතින් වෙනස් කරන්න, එවිට නව වෙනස ශුන්‍යයට කෙළින් වේ (සූත්‍ර $\alpha\to(0)$ දක්වා වෙනස් වන බවට ගරු කරන්න). පහසුම ක්‍රමය නම් change $t=\frac(\pi)(2)-x$ ඇතුලත් කිරීමයි. $x\to\frac(\pi)(2)$, පසුව $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2) =\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\වම|\ආරම්භය(පෙළගැසී)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(පෙළගැසී)\දකුණ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) (t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to (0))\වම (\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\දකුණ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2 ) = frac(1)(2). $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2) = frac(1)(2)$.

කොටස් #11

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) අතර සොයන්න )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

මෙම vipadka හි පළමු පුදුමාකාර සීමාව ජය ගැනීමට අපට නොහැකි වනු ඇත. ගෞරවය ලබා දීමට: පළමු වැන්නෙහි මෙන්, අනෙකෙහි, එම සංඛ්‍යාවෙහි තවත් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත නොමැත. බොහෝ විට එවැනි බට් වල මායිමේ ලකුණ යටතේ prostit viraz, roztashovane කිරීමට කෙනෙකුට පැවසිය හැකිය. අනුමාන කළ සමාවක ආධාරයෙන්, deaky spіvmulnіnіnіnіnіnіnіnіnіє znikає එම ඉක්මන්කම. මට මෙම බට් එක ඇත්තේ එක් ක්‍රමයක් සමඟ පමණි: මායිමේ ලකුණ යටතේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත තිබීමෙන් පළමු ආශ්චර්යමත් මායිම සිරවී ඇති බව අවශ්‍යයෙන්ම අදහස් නොවන බව පෙන්වන්න.

Skіlki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (අනුමාන $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (අනුමාන කරන්න $\cos\frac(\pi)(2)=0$), එවිට අපට නොවැදගත් $ frac (0) (0) $. කෙසේ වෙතත්, tse zovsіm යනු පළමු ආශ්චර්යමත් මායිම ජය ගැනීමට අපට අවශ්ය බව නොවේ. නොවැදගත්කම හෙළි කිරීමට, $\cos^2x=1-\sin^2x$ ගැන ඇත්ත කියන්න:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

විසඳුමේ සමාන ක්රමයක් Grati Demidovich (අංක 475) සඳහා සමාන වේ. අනෙක් මායිම දක්වා, මා බෙදූ ඉදිරිපස බට් වල මෙන්, අපට $\frac(0)(0)$ නොපෙනේ. ඇය බනින්නේ ඇයි? ඒ $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $ නිසා. Vikoristuєmo tsі යන්නෙහි තේරුම සංඛ්‍යාලේඛන සහ බැනර්මන්හි virazіv පරිවර්තනය කිරීමේ ක්‍රමය සමඟිනි. අපගේ DIY හි මෙටා: අංක පොතේ එකතුව සහ නිර්මාණය ඉදිරිපිට ඇති බැනරය ලියන්න. කථාවට පෙර, බොහෝ විට සමාන ආකාරයේ සීමාවන් තුළ, එවැනි රෝස මලක් සමඟ, වෙනස් කිරීම වෙනුවට සිනහවක් ඇති විය, එවිට නව වෙනස ශුන්යයට කෙළින් විය (div., උදාහරණයක් ලෙස, බට් අංක 9 හෝ අංක 10 අනෙක් අතට). කෙසේ වෙතත්, මෙම බට් එක ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමේ තේරුමක් නැත, ඔබට බජන් සඳහා $t=x-\frac(2\pi)(3)$ වෙනස් කිරීමට අවශ්‍ය නම්, එය සෑදීම අවුල් සහගතය.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\වම(\cos(x)+\frac(1)(2)\දකුණ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\දකුණ))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\\ sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x++) \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi) )(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)( 3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac) (2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot \වම (- \frac(1)(2)\දකුණ)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Yak bachite, අපි Persh ආශ්චර්යමත් මායිම zastosovuvat කිරීමට අවස්ථාවක් තිබුණේ නැහැ. Zvichayno, bazhannya tse සඳහා ඔබට කොල්ලකෑමට හැකිය (පහත දී div. සටහන), නමුත් ඔබට එය පරිභෝජනය කළ නොහැක.

ආශ්චර්යමත් මායිමේ පළමු ආශ්චර්යයට විසඳුම කුමක්ද? පෙන්වන්න / සඟවන්න

පළමු ආශ්චර්යමත් මායිමේ ජයග්රහණය සමඟ, එය අවශ්ය වන්නේ:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi ) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\වම(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) දකුණ ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\දකුණ) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

විඩ්පොවිඩ්: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම සහ ඉදිරිපත් කිරීම: "නොගැලපීම මත කාර්යයන් අතර"

ආකලන ද්රව්ය
Shanovnі koristuvachі, ඔබේ අදහස්, අදහස්, අනුග්රහය දැක්වීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්රව්ය ප්රති-වයිරස වැඩසටහනක් මගින් කියවා ඇත.

10 වන පන්තියේ 1C වර්ගයේ "Integral" අන්තර්ජාල වෙළඳසැලේ උපකාරකයින් සහ සිමියුලේටර්
අපි ජ්යාමිතිය තුළ ගැටළු විසඳන්නෙමු. 7-10 ශ්රේණි සඳහා රැඳී සිටීම සඳහා අන්තර් ක්රියාකාරී කාර්යයන්
අපි ජ්යාමිතිය තුළ ගැටළු විසඳන්නෙමු. 10 සහ 11 ශ්‍රේණි සඳහා විවෘත අවකාශයේ රැඳී සිටීම සඳහා අන්තර්ක්‍රියාකාරී කාර්යයන්

වැදගත් වන්නේ කුමක්ද:

1. නොගැලපීම යනු කුමක්ද?

5. බලය. 6. අයදුම් කරන්න.

ළමයි, අපි කල්පනා කරමු, නොගැලපීම මත කාර්යයන් අතර මායිම කුමක්ද?
සහ නොගැලපීම යනු කුමක්ද?
නොගැලපීම- vykoristovuetsya මායිම් නොවන, මායිම් නොවන, සීමා නොවන වස්තූන් සහ සංසිද්ධි, එම අවස්ථාවේදීම සංඛ්යා වල ලක්ෂණය.

නොගැලපීම- skіlki zavgodno විශාල (කුඩා), අසීමිත සංඛ්යාව.
ඔබ ඛණ්ඩාංක තලය දෙස බැලුවහොත්, සම්පූර්ණ abscissa (ordinate) නොගැලපීම කරා යයි, එබැවින් ඔබට සීමාවකින් තොරව වමට හෝ දකුණට (පහළට හෝ ඉහළට) ඉදිරියට යා හැකිය.

දැන් අපි අනනුකූලතාවය මත අන්තර් කාර්යය වෙත යමු:
අපට y=f(x) ශ්‍රිතය ඇත, අපගේ ශ්‍රිතයේ විෂය පථය අතුගා දැමීම වේ, සහ සරල රේඛාව y=b යනු y=f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ තිරස් අසමමිතිය වේ, අපි එය ලියමු. ගණිතමය පද වලින් පහත:

එසේම, අපගේ spіvvіdnoshennia එකම අවස්ථාවේදීම ළඟා විය හැකිය:

පහත පරිදි ලිවීමට පිළිගනු ලැබේ:

ශ්‍රිත අතර y=f(x) x pragne සිට අනන්තය දක්වා මිල අධික b

අයදුම් කරන්න

y=f(x) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය ප්‍රේරණය කරන්න, වැනි:
1) ගමනාන්ත ප්‍රදේශය - පුද්ගල තාත්වික සංඛ්‍යා.
2) f(x) - අඛණ්ඩ ශ්‍රිතය
3) 4)විසඳුම: අපි බාධාවකින් තොරව ශ්‍රිතයක් (-∞; +∞) ඇති කළ යුතුයි. අපගේ කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් පෙන්වමු.

ප්රධාන බලතල

නොගැලපීම මත මායිම් ගණනය කිරීම සඳහා, kіlkom රැලි සහිත වේ

1) ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් m සඳහා, පහත දැක්වෙන්නේ සාධාරණ ය:

2) ඒවා මොනවාද:
අ) අතර වඩා මිල අධික එකතු කිරීම් අතර:

B) නිර්මාණය සහ නිර්මාණය අතර:

ඇ) පුද්ගලික සහ පුද්ගලික මායිම් අතර:

d) මායිම් ලකුණ සඳහා නියත ගුණකය දොස් පැවරිය හැකිය:

උදාහරණ 1.

දැනගන්න: විසඳුම: භාගයේ සංඛ්‍යා සහ බැනරය x න් බෙදන්න. පුද්ගලික මායිම සහ පුද්ගලික මායිම අතර බලය වේගවත් කිරීම:

ළමයි, සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙල අතර අනුමාන කරන්න.

අපි ගන්නේ:

තට්ටම් 2.

x සමඟ අනන්තයට නිවැරදි වන y=f(x) ශ්‍රිත අතර සොයන්න.
විසඳුමක්.

• අන්තර්, -ඒ, එම්.

  1. දාරය, kіntseva chastina chogos l. පර්ම් පළාතේ අන්ත මායිම මෙන්න. Mamin-Sibiryak, Druzhki. ඔවුන් අතර කිසිවක් නොමැති බවත් ඔවුන් අතර නොසිටින බවත් පෙනෙන්නට තිබුණි.බෙලෝව්, කනුනි. || මාරු කරන්න Kіnets, zakіnchennya, සම්පූර්ණ කරන ලද chogos l. [අසනීප] ඔහුගේ සමීප අවසානය ගැන නොසිතා, - එම මායිම ගැන, ඔහු හොල්මන් සුළඟක් සමඟ වේගයෙන් දිව ගියේය. Gladkov, Energia. වෝන් ඔවුන්ට මහලු පුද්ගලයෙකි, එය කාන්තාවගේ කාර්තුවේ ඉතිරි කොටස - මවගේ ටර්බෝට් හැර ගියේය.ලැව්රනොව්, ස්ටාරා. මිකිටා තමා සහ තමා අතර තැබිය හැක්කේ ව්‍යසනයකට පමණි.ෆෙඩින්, සහෝදරවරුනි.

  2. pl. වර්ෂය. (අතර, -iv) ස්වභාවික චි umovna සහල්, є යම් ආකාරයක මායිමක්. භූමි ප්‍රදේශ; rubіzh. වයින් බැස යන විට [ස්වාටොස්ලාව්] රුසියානු දේශයේ දේශසීමා තරණය කර නිහඬව වටලෑමට ගිය අතර, වසර පන්සියයක් පුරා ඔහුට අයිවන් ද ටෙරිබල් ලෙස නැවත බෞතිස්ම කිරීමට අවස්ථාවක් ලැබුණි. A. N. ටෝල්ස්ටෝයි, රුසියානු දේශයේ තරු ආවා. මාතෘ භූමියේ මායිම්වල ඉරියව්ව මත හේත්තු වී, ෂල්යාපින් මිය ගියේ නොස්ටැල්ජියාවෙන් - මාතෘ භූමියට දැඩි ලෙස ය. Gribachov, Berizka සහ සාගරය. || ඇයිහෝ යකි Mіstsevіst, prostіr, yakіs l තුළ ගබඩා කර ඇත. Mezhі. Ashagin ගේ හිවලුන් ඔවුන්ගේ අණ පරිදි myslivtsiv ගත්තා. Tikhonov, Podviyna Veselka. Tsієї වසන්ත රාත්‍රීන් යනු වනාන්තර මායිම්වල මැසිවිලි නඟන හඬ උත්කර්ෂයට නංවන සුදු නයිටිංගේල්ස් ය.පැස්ටර්නැක්, කිසිවක් නොවීය. පියවරෙන් පියවර, කුටීර සංගීතය ධනවත් හා උතුම් මිනිසුන්ගේ මන්දිරවලින් ඔබ්බට ගොස් අපේ කාලයේ ඇසෙන ප්‍රසංග ශාලා වල කම්පනය වීමට පටන් ගත්තේය. Kabalevsky, තල්මසුන් තිදෙනෙකු සහ තවත් බොහෝ අය ගැන. || වෙළඳාම - ගායනා කරයි.එජ්, රට. නාසිටිව් නාසිටිව් කුමරු ඔහුගේ අසන්නන් නාඳුනන කෙනෙකුගේ මායිමේදී රොසිස්ලාව්ගේ මරණයට වෙඩි තැබුවේය.පුෂ්කින්, ඇන්චාර්. ඔවුන් ඈත මායිම්වල සිට මොස්කව් වෙත පියාසර කළේ නම්, ශීත ඍතුවේ zіyshov මත ඔහු අහස උසට නැඟී සිටි ආකාරය මට මතකයි.ස්මිලකිව්, දිමිත්‍රොව් සිහිවීම පිණිස. || Prom_zhok පැය, obmezheniya yakimi l. කොන්දේසි අතර). මට චවුන්කා සමඟ ඔරෙන්බර්ග් වෙත යා හැකි බව පෙනේ, සමහර විට මම යන්නෙමි, නමුත් සියල්ල දින 14 ක් ඇතුළත. L. Tolstoy, Liszt Z. A. Tolstoy, 4 සැප්තැම්බර්. 1876.

  3. අමතන්න pl. වර්ෂය. (අතර, -iv) මාරු කරන්නසාමය, යමක් අතර; රාමුව. විනීතභාවයේ මායිම්වල. □ නරෙෂ්ටි, සෑම ඉවසීමකටම 365 є අතර.පිසාරෙව්, මරණින් පසු විර්ෂ් හයින්. - නීතියෙන් මට ලබා දී ඇති කාලය සඳහා නාවික හමුදාවට අණ දීමේ අයිතිය මා අත් නොහරින තාක් කල්.ස්ටෙපනොව්, පෝර්ට් ආතර්. Fyodor Andriyovich ඔහුගේ මාතෘ භූමියේ අතීතය පිළිබඳ දැනුම වඩාත් නිහතමානී විය, වඩා වැදගත් වන්නේ, "කෙටි පාඨමාලාවේ" මායිම්වල ය.එෆ්. නොසොව්, මැයි දහය රූබල් නොවේ. || විශ්ච යම් දෙයක පියවර. ලෝකය අතර. □ මිනිසුන්ගේ භෞතික හා සදාචාරාත්මක බලවේගයන් මෝඩකමේ අද්දරට ගෙන එන ලදී. V. Kozhevnikov, පැරෂුටිස්ට්. මගේ රට, ඔබේ ලස්සන පහර මායිමේ ඉතිරි කොටසේ! Vinokurov, ජාත්යන්තර.

  4. මැට්.වෙනස් කළ හැකි අගයක් ළඟා වන නියත අගයක්, ඉතිරි අගයේ අවසාන වෙනස සඳහා විශාල වෙනස් කළ හැකි අගයක තැන්පත් කරන්නාක් මෙන්. සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙල අතර.

  මායිමේ- 1) ආතතියේ ආන්තික මට්ටමේ. මායිමේ ස්නායු; 2) vkray razdratuvannya. [ගල්යා:] මම අද යෝග වලට බයයි. මායිමේ වයින්. Pogodin, Kviti සජීවී.

Dzherelo (අතින් සාදන ලද අනුවාදය):රුසියානු පාරිභාෂික ශබ්දකෝෂය: වෙළුම් 4 කින් / RAS, වාග් විද්‍යා ආයතනය. ගෙවිය යුතු දිනය; රතු සඳහා. A. P. Evgenevoi. - 4 වන විශේෂ., ස්ටර්. - එම්: රුස්. lang.; Polygraphic සම්පත්, 1999; (ඉලෙක්ට්‍රොනික අනුවාදය):