එය නව අවකලනයක කාර්යය බව තහවුරු කරන්න. අනෙකුත් අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණය

$P \ වම් (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy = 0 $ හි සම්මත පෙනුම කුමක්ද, මෙම අවස්ථාවෙහි වම් කොටස අවසාන අවකලනය වේ සත්‍ය ශ්‍රිතය $ F \ වම් ( x,y\ right)$, වෙනත් අවකලනයට සමාන ලෙස හැඳින්වේ.

නවතම අවකලනයන්හි සමීකරණය $dF \ left (x, y \ right) = 0 $, de $ F \ left (x, y \ right) $ ලෙස නැවත ලිවිය හැක - $ dF \ වම් (x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

$dF\left(x, y\right) = 0$: $\int dF\left(x, y\right) = F\left(x, y\right)$; වඩා මිල අධික තරමක් නියත $C$ හි ශුන්‍ය දකුණු කොටසෙහි අනුකලනය. මේ අනුව, ව්‍යංග ආකාරයෙන් මෙම සමීකරණයේ අවසාන විසඳුම $ F \ වම් (x, y \ right) = C $ ලෙස පෙනිය හැක.

මෙම අවකල සමානාත්මතාවය අනෙකුත් අවකලනයන්හි සමාන වීම සඳහා, Umov $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ. Smart vikonan පවරන්නේ නම්, $F\left(x,y\right)$ වැනි ශ්‍රිතයක් ඇත, ඒ සඳහා ඔබට ලිවිය හැක: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+ \frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ partial F)(\partial x) = P\left(x,y\right)$ i $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x,y\right)$.

$\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ට වඩා $x$ සහ $F\left(x,y\right)=\int P\ left( x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, මෙහි $U\left(y\right)$ යනු $y$ හි ප්‍රමාණවත් ශ්‍රිතයකි.

අපි එය මෙසේ ගනිමු, එවිට තවත් කැරකීමක් $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$ තෘප්තිමත් වේ. ඒ සඳහා අපට $y$ ට සාපේක්ෂව $F\left(x,y\right)$ වෙන්කර $Q\left(x,y\right)$ ට සමාන කළ හැක. විකල්ප: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left( x,y\දකුණ)$.

වැඩිදුර විසඳුම වන්නේ:

• ඉතිරි සමානාත්මතාවය සඳහා අපි දන්නවා $U"\left(y\right)$;
• අනුකලනය කළ හැකි $U"\left(y\right)$ සහ දන්නා $U\left(y\right)$;
• $U\left(y\right)$ සමාන $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ සහ $F\left(x,y\right)$ ශ්‍රිතය ඉතිරිව ඇත.

\

අපි වෙනස දන්නවා:

$U"\left(y\right)$ $y$ සහ $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ සම්බන්ධයෙන් අනුකලනය වේ දන්නා බව ය.

දන්නා ප්‍රතිඵලය: $F\left(x, y\right) = V\left(x, y\right) + U\left(y\right) = 5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

අපට විසඳුම පහත පරිදි ලිවිය හැක: $F \ වම් (x, y \ right) = C $, සහ එයම:

දන්නා පුද්ගලික විසඳුම $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, මෙහි $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

පුද්ගලික විසඳුම පෙනෙන්නේ: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = $102.

ගැටළු ප්රකාශය තුළ ද්වි-ලෝක ආකල්පය

її නව අවකලනය පිටුපස ඇති වෙනස්කම් ගණනේ කාර්යයන් නැවත සොයා ගැනීම

9.1 ද්වි-ලෝක දර්ශනයකින් ගැටලුවේ ප්‍රකාශය. 72

9.2 විසඳුම පිළිබඳ විස්තරය. 72

මෙය දෙවන ආකාරයේ curvilinear අනුකලනයට එකතු කිරීමකි.

වෙනස්කම් දෙකක කාර්යයේ සම්පූර්ණ අවකලනයක් ලබා දී ඇත:

කාර්යය දැනගන්න.

1. එබැවින්, සෑම මනසක්ම ගායන කාර්යයක නව අවකලනයක් ලෙස දැකිය නොහැක යූ(x,y), එවිට කාර්යයේ ප්‍රකාශයේ නිරවද්‍යතාවය ආපසු හැරවීමට අවශ්‍ය වේ, එය ආපසු හැරවීම සඳහා, මනසට ප්‍රමාණවත් තරම් නව අවකලනයක් ඇති බව නැවත සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ, 2-x වෙනස් වීමේ ක්‍රියාකාරිත්වය මෙන් පෙනේ. Tsya umova vyplivaet z සමානතා ප්රකාශ (2) සහ (3) පෙර ඡේදයේ ප්රමේයය තුළ. umova vikonan පත් කළ විගසම, කාර්යය තීරණයක් ගැනීම, එම කාර්යය ඉටු විය යූ(x,y) අලුත් කළ හැක; මනස නොමරන්නේ නම්, විසඳුමක් නැත, එබැවින් කාර්යය යථා තත්ත්වයට පත් කළ නොහැක.

2. її ඉහළ අවකලනය පිටුපස ඇති ශ්‍රිතය දැනගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, II ආකාරයේ අතිරේක වක්‍ර අනුකලනය සඳහා, රේඛාවේ යෝගෝ ගණනය කිරීමෙන්, ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යය ( x 0 ,y 0) එම වෙනස් කිරීමේ ලක්ෂ්‍යය ( x;y) (මල් දහඅට):

මෙම ශ්‍රේණියේ දී, 2 වැනි ආකාරයේ වක්‍ර රේඛීය අනුකලනය සම්පූර්ණ අවකලනයක් වැනි බව ඉවත් කරන ලදී. dU(x,y) කාර්යයේ හොඳ අගය යූ(x,y) ඒකාබද්ධ කිරීමේ රේඛාවේ අවසානයේ සහ ඉරිඟු ස්ථානවල.

දැන් ප්රතිඵලය දැන ගැනීමෙන්, ආදේශකයක් සැපයීම අවශ්ය වේ dU curvilinear integral virase තුලට සහ laman පිටුපස අනුකලය ගණනය කිරීම සිදු කරන්න ( ACB), vrakhovuyuchi යෝගෝ ස්වාධීනත්වය ඒකාබද්ධ කිරීමේ රේඛා ආකාරයෙන්:

මත ( AC): මත ( එස්ඩබ්ලිව්) :

(1)

මෙම ශ්‍රේණියේ දී, සූත්‍රය ඉවත් කර ඇත, ඒ සඳහා її ඉහළ අවකලනය සඳහා 2 වන ප්‍රතිස්ථාපන කාර්යය භාවිතා කරයි.

3. її ඉහළ අවකලනය පිටුපස ඇති කාර්යය වැඩිදියුණු කිරීමට හැකි වේ ඈ(යූ+ const) = dU. එබැවින්, කර්තව්යය ඉටුකිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ස්ථීර අතිරේකයක් මත එක් එක් වර්ගයක් ක්රියා කරන පුද්ගල නොවන කාර්යයන් සැලකිල්ලට ගනී.

අයදුම් කරන්න (තුන්වන අවකලනය සඳහා ප්‍රතිස්ථාපන දෙකක කාර්යයන් ප්‍රතිනිර්මාණය කිරීම)

1. දැනගන්න යූ(x,y), පරිදි dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

වෙනස්කම් දෙකක ක්‍රියාකාරිත්වයේ මනසේ සම්පූර්ණ අවකලනය අපි නැවත තහවුරු කරමු:

නව අවකලනය මනසට, vikonano, ද, කාර්යය යූ(x,y) අලුත් කළ හැක.

Perevіrka: - හරි.

යෝජනාව: යූ(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + සී.

2. වැනි කාර්යයක් දැන ගන්න

අපි වෙනස් කිරීම් තුනක ශ්‍රිතවල සම්පූර්ණ අවකලනය පිළිබඳ අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් දැනුම සමාලෝචනය කරමු: , , viraz විසින් ලබා දී ඇති පරිදි.

rozvyazuvanіy කාර්යයන් දී

viconan හි නව අවකලනය පිළිබඳ සියලු මනස, එබැවින්, කාර්යය ප්රතිෂ්ඨාපනය කළ හැකිය (කාර්යය නිවැරදිව සකසා ඇත).

අපි ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යය සහ වෙනස්වන ලක්ෂ්‍යය වන රේඛාව ඔස්සේ එය ගණනය කර, දෙවන ආකාරයේ curvilinear අනුකලයක උපකාරය සඳහා ශ්‍රිතයක් එකතු කරමු.

(Tsya rivnіst vyvoditsya එසේ ම, ද්වි-ලෝක මනෝභාවයක් මෙන්).

අනෙක් අතට, සම්පූර්ණ අවකලනයකදී දෙවන ආකාරයේ වක්‍ර රේඛීය අනුකලනයක් ඒකාබද්ධ කිරීමේ රේඛාවක ස්වරූපයෙන් තැබිය නොහැක, එය සුළඟට සමාන්තරව සෑදී ඇති ලාමනය පිටුපස තැබීම පහසුය. සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ. ලක්ෂ්‍යයක් ස්ථාවර වූ විට, සරල බව සඳහා, ඊට වඩා වැඩි නිශ්චිත සංඛ්‍යාත්මක ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයක් ගන්න, එවිට ලක්ෂ්‍ය සහ සමස්ත අනුකලනයෙහි වක්‍ර රේඛීය අනුකලයේ මානසික පදනමක් ඇත (එසේ නම් ශ්‍රිත, i, බාධා කිරීම් වේ. -නිදහස්). මෙම කාර්යය සඳහා මෙම ගෞරවය වැඩි දියුණු කිරීම සඳහා, ඔබට ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, ලක්ෂ්යය M 0. ලැමනෝයි මාතිමෝගේ කකුල් වලින් සම මත ටෝඩි

10.2 පළමු වර්ගයේ මතුපිට අනුකලනය ගණනය කිරීම. 79

10.3 පළමු ආකාරයේ මතුපිට අනුකලනයේ Deyaki වැඩසටහන්. 81

එය අවකල සමීකරණයේ අවසාන කොටස විය හැක

є povny අවකල ක්රියාකාරී කාර්යයන්:

සහ පසුව, සමාන (7) පෙනුම .

ශ්‍රිතය විසඳුම් (7) ට සමාන නම් , i, ද,

de - postina, සහ navpaki, deak ශ්‍රිතය අවසාන සමානාත්මතාවයේ (8) සමානතාවයට පරිවර්තනය කරයි නම්, පසුව, සමානතාවයෙන් වෙනස් කිරීම, එය ඉවත් කරනු ලැබේ, එවිට, de - ප්රමාණවත් බවට පත් වී ඇත, є zagalnym integrand of the බාහිර සමානාත්මතාවය.

ආරම්භක අගයක් ලබා දෙන්නේ නම්, එය ස්ථිරව තීරණය වන්නේ (8) සහ

є පුද්ගලික අනුකලනය. ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස, සමීකරණය (9) යනු ව්‍යංග ශ්‍රිතයක් ලෙස හඟවයි vіd .

සමීකරණයේ වම් කොටස (7) වත්මන් ශ්‍රිතයේ ඉහළ අවකලනය වීමට නම්, එය අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

Euler විසින් පෙන්වා දෙන ලද මනස, vikonan නම්, සමාන (7) අනුකලනය කිරීම පහසුය. නිවැරදි, . අනෙක් පැත්තෙන්, . ඔට්ෂේ,

අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී, අගය එය බවට පත් වී ඇති පරිදි පිළිගනු ලැබේ, එය පෝරමයේ ප්රමාණවත් ශ්රිතයක් වේ. ශ්‍රිතයේ අරමුණ සඳහා අවකල ශ්‍රිතය දනියි

සමානත්වය තීරණය කරන පදනම මත, එය අනුකලනය වේ, එය දනී.

ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාවට අනුව, ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් සහ මාර්ගයක් ඔස්සේ ඛණ්ඩාංක වෙනස් කරන ලක්ෂ්‍යයක් අතර වක්‍ර රේඛීය අනුකලනය ගැනීමෙන් її ඉහළ අවකලනය පිටුපස ශ්‍රිතයක් පැවරීම පහසුය:

අනුකලනය කිරීම සඳහා වඩාත් පොදු ක්රමය වන්නේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට සමාන්තරව කකුල් දෙකකින් නැමුණු ලමනය අතින් ගැනීමයි; කුමන දිශාවටද

බට්. .

වම් කොටස වත්මන් ශ්‍රිතයේ ඉහළ අවකලනයට සමාන වේ, කැබලි

Otzhe, ගැඹුරු අනුකලනය පෙනුම විය හැක

ඔබට ශ්‍රිතයක් පැවරීමේ තවත් ක්‍රමයක් එක් කළ හැක:

cob point සඳහා, අපි තෝරා ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස, ඛණ්ඩාංකවල cob, ඒකාබද්ධ කිරීමට ක්රමයක් වැනි - laman. ටෝඩි

ගැඹුරු අනුකලනයක් පෙනෙන බව

පෙර ප්රතිඵලය සමග කුමක්ද zbіgaєtsya, නිදා බැනරය ගෙන ඒමට scho.

සමහර අවස්ථා වලදී, සමාන (7) හි වම් කොටස එකම අවකලනය නොවේ නම්, සමාන (7) හි වම් කොටසෙන් ගුණ කිරීමෙන් පසු නව අවකලනය බවට පරිවර්තනය කිරීමෙන් පසුව ශ්‍රිතය වෙනස් කිරීම පහසුය. එවැනි කාර්යයක් ලෙස හැඳින්වේ ගුණකය ඒකාබද්ධ කිරීම. ගෞරවාන්විතව, මෙම ගුණකය බිංදුවට ඔතා ඇති වෙනත් විසඳුම් කිහිපයක් දර්ශනය වීමට පෙර අනුකලනය කරන ගුණකය මගින් කුමන ගුණ කිරීමද නිපදවිය හැක.

බට්. .

නිසැකවම, ගුණකයකින් ගුණ කිරීමෙන් පසු වම් කොටස නව අවකලනයකට පරිවර්තනය වේ. ඇත්ත, otrimaemo මගින් ගුණ කිරීමෙන් පසුව

එසේ නොමැති නම්, ඒකාබද්ධ කිරීම, . 2 න් ගුණ කිරීම සහ විභව කිරීම, matimemo.

පැහැදිලිවම, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සාධකය එතරම් පහසුවෙන් ලබා ගත නොහැකි ය. අනුකලනය වන ගුණකයක වටිනාකම සොයා ගැනීමට නම්, ම්ලේච්ඡයෙකුට එකම ශුන්‍යයට සමාන නොවන, පුද්ගලික සමාන ඒවාවල සමානාත්මතාවයේ පුද්ගලික විසඳුම, නමුත් ගොරවන පෙනුමකින් යුත් එකක් තෝරාගත යුතුය.

ඉන් පසුව මෙන් මම එම දොඩංකිව්ස් කිහිපයක් සමානාත්මතාවයේ අනෙක් කොටස වෙත මාරු කිරීමට ගියෙමි

පුද්ගලික ඥාතීන් අතර tsgogo rivnyanya ඒකාබද්ධ කිරීමේ වල් ආකාරයෙන්, අපට ඊටත් වඩා සමාව දිය නොහැක, vyhіdny rivnyannya හි අඩු අනුකලනය, කෙසේ වෙතත්, සමහර අවස්ථාවලදී, පුද්ගලික අපසරනය (11) ඒකාබද්ධ කිරීම අපහසු නොවේ.

ඊට අමතරව, අනුකලනය කරන ගුණකය යනු එක් තර්කයක ශ්‍රිතයක් වීම වැදගත් වේ (උදාහරණයක් ලෙස, එකම හෝ එකම ශ්‍රිතයක්, හෝ එකම හෝ එකම ශ්‍රිතයක්, ආදිය), ඔබට පහසුවෙන් සමාන අනුකලනය කළ හැක (11) මෙම වර්ගයේ ගුණකය භාවිතා වේ. ටිම්ට සමාන පන්තිය දැකිය හැකිය, එය පහසුවෙන් දැනගත හැකි අනුකලනය කරන ගුණකය.

උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ දන්නවා, සමහර සමානයන්ට අනුකලිත ගුණකයක් තිබිය හැකි බව මතක තබා ගන්න, කිහිපයක් පමණක් තැබීමට, tobto. . ඒ අතරම (11) ඇසීමට සහ දර්ශනය දෙස බලන්න, තරු, vvazhuyuchi බාධාවකින් තොරව දර්ශනයේ කාර්යය, ගන්න.

එය vіd ලෙස පමණක් ක්‍රියා කරන නමුත්, vіd ට වඩා අඩුවෙන් තැන්පත් කළ යුතු අනුකලිත ගුණකය, іsnuє i dоrіvnyuє (12), එසේ නොමැති නම් අනුකලනය කිරීමේ ගුණකය නොමැත.

Umov іsnuvannya іntegryuchy ගුණකය, scho තැන්පතු පමණක් vіd, vykonano, උදාහරණයක් ලෙස, රේඛීය іvnyannya abo සඳහා. හරි, otzhe. නිරපේක්ෂ වශයෙන් සමානව, පෝරමයේ සහ යනාදිය තුළ සාධක ඒකාබද්ධ කිරීමට හේතුව සොයාගත හැකිය.

බට්.චි maє සමාන අනුකලනය ගුණක මනස?

සැලකිය යුතු ලෙස. Rivnyanya (11) ඇස් දෙස බලන විට, තරු එක්කෝ

ලබා දී ඇති වර්ගයක අනුකලනය කරන ගුණකයක පදනම සඳහා, එය අවශ්‍ය වන අතර ක්‍රියා කිරීම සඳහා පමණක් අඛණ්ඩ පැවැත්ම සඳහා දීමනාව ප්‍රමාණවත් වේ. ඒ සමගම, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සාධකය є th dorіvnyuє (13) වේ. ගත් විට. vihіdne සමාන ගුණ කිරීම

මාටිමෝ, හෝ ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක තුළ - ලඝුගණක සර්පිලාකාර පවුලක් අනුකලනය කිරීම, අඩු කිරීම සහ පසුව බලගතු කිරීම.

බට්. දී ඇති ලක්ෂ්‍යයෙන් පිටවන සියලුම වෙනස්කම් මෙම සරල රේඛාවට සමාන්තරව පිළිබිඹු කරන දර්පණයේ හැඩය දැනගන්න.

ඛණ්ඩාංකවල cob එක දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක තබා, කාර්යයේ මනසෙහි ලබා දී ඇති එකට සමාන්තරව සියලුම abscissas සෘජුවම යොමු කරමු. ලක්ෂ්‍යයේ කණ්ණාඩිය මතට වැටීමට පසුබට නොවන්න. අපට පැතලි මතුපිටක් සහිත දර්පණය දෙස බැලිය හැකි අතර, එය සම්පූර්ණ abscissa සහ ස්පෙකියුලම් හරහා ගමන් කළ හැකිය. දර්පණයේ මතුපිට ලකුණු වලින් වෙන් කරන තෙක් අපි එය කරමු. ඉතින්, kut යනු වැටීමක් ලෙස, මම vidbittya ක dorіvnyuє kutu හුවමාරු කරමි, එවිට tricoutnik යනු rіvnobradrenny වේ. ඔට්ෂේ,

Otrimane සමානව සමාන වේ වෙනස්කම් වෙනුවට පහසුවෙන් ඒකාබද්ධ කළ හැකි අතර, ඊටත් වඩා සරලව, bannerman හි අතාර්කිකත්වයේ ස්වරූපයෙන් වෙනස් වී, යෝග යක් නැවත ලියන්න. පැහැදිලි අනුකලනය ගුණකයක් ඇත , , , (parabolas වල උපන් ස්ථානය).

ඛණ්ඩාංක තුළ ගමන් කිරීම පහසුය i, එය දෙස බලන විට මතුපිට ශබ්දය කපා හැරීමට සමාන වේ.

ක්‍රියාකාරී ප්‍රදේශයේ පුද්ගලික (11) හි සමානාත්මතාවයේ ශුන්‍ය නොවන විසඳුමක පදනම ඒකාබද්ධ කරන ගුණකයක පදනම ගෙන ඒමට හැකි වේ, මන්ද ශ්‍රිතයන් බාධාවකින් තොරව නැති වී මෙම ශ්‍රිතවලින් එකක් පිළිගත හැකි බැවිනි. බිංදුවට හැරෙන්නේ නැත. එසේම අනුකලනය කරන ගුණක ක්‍රමය මනසට සමාන ගැඹුරු අනුකලනය කිරීමේ ක්‍රමයක් ලෙස සැලකිය හැක, කෙසේ වෙතත්, අනුකලනය කරන ගුණකය දැනගැනීමේ අපහසුව නිසා, මෙම ක්‍රමය නිශ්ශබ්ද අවස්ථා වල සිරවීමට බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත, සංයුක්ත ගුණකය පැහැදිලි නම්. .

නවතම අවකලනය තුළ අවකල සමානාත්මතාවය හඳුනා ගන්නේ කෙසේදැයි පෙන්වයි. Induced methodi yoga virishennya. rozv'yazuvannya හි බට් එක ආකාර දෙකකින් බාහිර අවකලනය ඉලක්ක කර ඇත.

Zmist

ඇතුල්වීම

නවතම අවකලනයන්හි පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අවකලනය - මනස පෙළගැස්වීම:
(1) ,
U ක්‍රියාකාරී ශ්‍රිතයේ ඉහළ අවකලනය සමඟ සමීකරණයේ වම් කොටස (x, y) x, y වෙනස් කිරීම සඳහා:
.
කා සමග ද.

එවැනි කාර්යයක් කවදා හෝ සොයාගෙන ඇත යූ (x, y), එතකොට මම වගේ
dU (x, y) = 0.
යෝග ගෝලීය අනුකලනය:
යූ (x, y) = C,
de C - වේගවත්.

පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණයක් ලෙස, එය ප්‍රතිලෝම හරහා ලියා ඇත:
,
එවිට යෝගය යථා තත්ත්වයට පත් කිරීම පහසුය (1) . කවුරුන් සඳහාද අපි සමාන අගය dx මගින් ගුණ කරමු. ටෝඩි. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අප උමතු ලෙස සමාන වන අතර, අවකලනය තුළින් ප්‍රකාශිත වේ:
(1) .

අනෙකුත් අවකලනයන්හි අවකල සමීකරණයේ බලය

සමාන වීම සඳහා (1) එය නවතම අවකලනයට සමාන විය, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් විය, එවිට spіvvіdnoshennia ජයග්රාහී විය:
(2) .

ගේනවා

සාධනයෙහි ජයග්‍රාහී වන සියලුම කාර්යයන් තීරණය කර ඇති අතර වෙනස් වූ x සහ y අගයන් එකම ප්‍රදේශය තුළ වෙනස් විය හැකි බව අපි තවදුරටත් සටහන් කරමු. ක්‍රප්කා x 0, y0ඒ නිසා නිදාගන්න tsіy galuzі.

අපි අවශ්‍යතාවය මතකයට නඟමු (2).
අපි ගඟේ වම් පැත්තට යමු (1) є ක්රියාකාරී ශ්රිතයේ අවකලනය U (x, y):
.
ටෝඩි
;
.
මිතුරෙකුගේ කැබලි අවකලනය අනුපිළිවෙලට බොරු කීම හොඳයි, එසේ නම්
;
.
පහත දැක්වෙන දේ බලන්න. මනසෙහි අවශ්යතාවය (2) ගෙන.

අපි සිහිය ගෙනෙමු (2).
පිස්සු හැදෙමු (2) :
(2) .
එවැනි ශ්රිතයක් U දැනගත හැකි බව අපි පෙන්වමු (x, y), අවකලනය කුමක්ද:
.
Tse යනු එවැනි ශ්රිතයක් U (x, y), සමාන අය සමඟ සතුටු වන පරිදි:
(3) ;
(4) .
එවැනි කාර්යයක් අපි දනිමු. සමෝධානිකව සමානයි (3) x වර්ගය x මගින් 0 y යනු කුමක් වුවත්, x දක්වා:
;
;
(5) .
y මගින් අවකලනය වැදගත් වේ, x යනු නියත සහ ස්ථායී වේ (2) :

.
රිව්නියානියා (4) bude vikonano, yakscho
.
y vіd y සම්බන්ධයෙන් අනුකලනය 0 y වෙත:
;
;
.
තුළ ඉදිරිපත් කර ඇත (5) :
(6) .
පියාණෙනි, අපි කාර්යය දැන සිටියෙමු, අවකලනය වේ
.
සෑහීමට පත් විය.

සූත්රය (6) , යූ (x0, y0)є නියත - ක්රියාකාරී අගයන් U (x, y) x ලක්ෂයේ 0, y0. එය සැලකිය යුතුද යන්න ලබා දිය හැකිය.

නවතම අවකලනයන්හි අවකල්‍ය පෙළගැස්ම හඳුනා ගන්නේ කෙසේද

අවකල පෙළගැස්ම දෙස බලමු:
(1) .
නවතම අවකලනය තුල සමාන දේ තීරණය කිරීම සඳහා, එය ආපසු හැරවීමට අවශ්ය වේ (2) :
(2) .
එය පෙනෙන පරිදි, එය නවතම අවකලනය තුළ එය වටී. Yakshcho nі - tse වෙනත් අවකලනයන්හි සමාන නොවේ.

බට්

තහවුරු කරන්න, chi є නවතම අවකලනයට සමාන:
.

මෙතන
, .
x නියතය සැලකිල්ලට ගනිමින් y සම්බන්ධයෙන් අවකලනය:


.
වෙනස් ලෙස


.
ඔස්කිල්කි:
,
එවිට කාර්යය සමාන වේ - අනෙකුත් වෙනස්කම් සඳහා.

rozvyazannya අවකලනයේ ක්රම නවතම අවකලනයට සමාන වේ

අවකලනය පසුකාලීනව නිරීක්ෂණය කිරීමේ ක්රමය

විශාලතම සරල ක්රමයනවතම අවකලනයන්හි පෙළගැස්මේ පරිපූර්ණත්වය යනු අවකලනය පසුව නිරීක්ෂණය කිරීමේ ක්‍රමයයි. කුමන mi zastosovuєmo අවකලනය කිරීමේ සූත්‍ර සඳහා, අවකල ආකාරයෙන් ලියා ඇත:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
මෙම සූත්‍රවල, u සහ v හාත්පසින්ම වෙනස්, ඕනෑම වෙනස්වීම් සංයෝජනයකින් නැවී ඇත.

තට්ටම් 1

Rozvyazati rivnyanya:
.

මිල අලුත්ම අවකලනයට සමාන බව අපි කලින් දැන සිටියෙමු. අපි යෝග නැවත සකස් කරමු:
(P1) .
විරිෂුෙමෝ සමව, අනුක්‍රමයෙන් අවකලනය දකියි.
;
;
;
;

.
තුළ ඉදිරිපත් කර ඇත (P1):
;
.

අනුක්‍රමික ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමය

U ශ්‍රිතය පරීක්ෂා කිරීමට භාවිතා කරන ක්‍රමය කුමක්ද? (x, y), රිව්නියන් සතුටු කරන දේ:
(3) ;
(4) .

සමෝධානිකව සමානයි (3) x මගින්, y නියතයට ගරු කරමින්:
.
මෙන්න φ (y)- නම් කිරීමට අවශ්‍ය වන පරිදි, y ආකාරයෙන් ප්‍රමාණවත් ශ්‍රිතයක්. Vaughn යනු ස්ථිර ඒකාබද්ධතාවයකි. සමාන ලෙස ඉදිරිපත් කර ඇත (4) :
.
Zvіdsi:
.
අනුකලනය කිරීම, අපි φ දනිමු (y)මම, එම අවස්ථාවේදීම, යූ (x, y).

තට්ටම් 2

නවතම අවකලනයට සමාන Virishity:
.

මිල අලුත්ම අවකලනයට සමාන බව අපි කලින් දැන සිටියෙමු. අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
, .
Shukaemo කාර්යය යූ (x, y), අවකලනය වම් කොටස සමාන වේ:
.
ටෝඩි:
(3) ;
(4) .
සමෝධානිකව සමානයි (3) x මගින්, y නියතයට ගරු කරමින්:
(P2)
.
y සම්බන්ධයෙන් අවකලනය:

.
අපි සිතින් මවා ගනිමු (4) :
;
.
ඒකාබද්ධ කළ හැකි:
.
අපි සිතින් මවා ගනිමු (P2):

.
ගෝලීය අනුකලිත සමීකරණය:
යූ (x, y) = const.
තනතුරු දෙකක් එකකට ඒකාබද්ධ කරන්න.

කූඤ්ඤ වක්රය ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රමය

ශ්‍රිතය U , එය පහත ඒවාට පවරා ඇත:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
ලකුණු සම්බන්ධ කරන වක්‍ර වක්‍රයේ පෙළගැස්ම ඒකාබද්ධ කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබට දැනගත හැකිය (x0, y0)і (x, y):
(7) .
ඔස්කිල්කි
(8) ,
එවිට අනුකලනය තැන්පත් කළ යුත්තේ cob හි ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් පමණි (x0, y0)සහ kіntseva (x, y)ලක්ෂ්‍යය i වක්‍රයක ස්වරූපයෙන් පවතී. ඩබ්ලිව් (7) і (8) අපි දන්නවා:
(9) .
මෙන්න x 0 සහ වයි 0 - ඉන්න. ටොම් යූ (x0, y0)- ඉතා වේගවත්.

එවැනි හමුවීමක බට් U සාක්ෂි සඳහා අඩු කිරීම් ලිපි:
(6) .
මෙහිදී, ලක්ෂ්‍යයේ y අක්ෂයට සමාන්තරව, කුඤ්ඤය දිගේ පසුපසට අනුකලනය සිදු කෙරේ. (x 0, y 0)කාරණය දක්වා (x0, y). ලක්ෂ්‍යයේ x අක්ෂයට සමාන්තරව දුම්රිය මාර්ගය ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කෙරේ. (x0, y)කාරණය දක්වා (x, y) .

විශාල හැරීමක් සඳහා, සම්බන්ධක ලක්ෂ්‍ය වන වක්‍රවල පෙළගැස්ම පෙන්වීම අවශ්‍ය වේ. (x 0, y 0)і (x, y)පරාමිතික දර්ශනය:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (ටී); y=r (ටී);
සහ t මත ඒකාබද්ධ කරන්න 1 t වර්ගය 0 ටී වෙත.

බොහෝ සරලව vykonuetsya іntegruvannya vіdrіzkom scho z'ednuє ලකුණු (x 0, y 0)і (x, y). කුමන දිශාවටද:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
ටී 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, අනුකලිත t in ඇතුල් කරන්න 0 පෙර 1 .
Tsei sposіb, කෙසේ වෙතත්, dosit bulky calculus වෙත ගෙන ඒමට.

විකොරිස්ථාන සාහිත්‍යය:
V.V. ස්ටෙපනොව්, අවකල සමීකරණ පාඨමාලාව, LKI, 2015.