Medzi mojimi jednoduchými funkciami. Medzi

Auto a moto
30.07.2020

Okolo tohto štatútu sa už dlhší čas motá primátor „mínus nedôslednosť“. Poďme sa pozrieť medzi polynómy, yakih. Princípy tejto metódy budú rovnaké ako v prvej časti lekcie, s malými nuansami.

Pozrime sa na 4 lupienky, ktoré budú potrebné na čerešňu praktické úlohy:

1) Vypočítateľné medzi

Význam hranice je menší ako nános, čriepky oblohy môžu rásť tým najusporiadanejším spôsobom. Yakscho niečo nekonečne veľké na modul Vidím číslo ČIERNEHO kroku, občas - vo štvrtom, a "plus nezrovnalosti": . konštantný ("dva") pozitívne k tomu:

2) Vypočítateľné medzi

Tu je opäť seniorský krok parna, Tom: . Pivo pred rotashuvavsya "mínus" ( negatívne konštanta -1), potom:

3) Vypočítateľné medzi

Hodnota medzivkladu je nižšia ako vіd. Ako si spomínate na tieto školy, nekonečne veľké na modul záporné číslo v nepárovej miere i "mínus nesúlad", v časoch: .
Konštantný ("štyri") pozitívne, znamenať:

4) Vypočítajte medzi

Prvý chlapec v krajine opäť máj nespárované krok navyše v lone negatívne konštantný a stredný: V tomto poradí:
.

zadok 5

Vedieť medzi

Vykoristovuyuchi vykladenі viac bodov, prídeme na vysnovka, scho tu bezvýznamnosť. Chiselnik a banner rovnakého poradia rastu, tiež medzi koncom posledného čísla. Poznáme dôkazy, keď sme videli všetky potery:

Riešenie je triviálne:

zadok 6

Vedieť medzi

Tse zadok pre nezávislé riešenie. Vonkajšie riešenie taká spomienka na lekciu.

A teraz možno ten najtenší z vipadkov:

zadok 7

Vedieť medzi

Pri pohľade na staršie dodanky prichádzame k visnovke, aká je tu nevinnosť. Číslica vyššieho rádu rastie, banner je nižšie, na to sa dá hneď povedať, že sú tam nejaké staré nezrovnalosti. Ale, aká nezrovnalosť, „plus“ alebo „mínus“? Prijatím toho istého - pri číslici a bannermanovi zobudíme dribnitsa:

Vidíme:



Rozdelili sme číslo a banner na

Analyzované nekonečne malý dodanki banner:

Yakscho, potom dodanki s chlapci kroky až neospravedlniteľne malý kladné čísla (označené ) a dodanki s nespárované kroky až neospravedlniteľne malý záporné čísla (označené cez).

Teraz položme jedlo, ako z tsikh chotiriokh dodankіv bude pragnet na nulu (nezáleží na žiadnom znamienku) najlepší? Uhádnime prvý trik: „ix“ poradie -10, potom -100, potom -1000 a tak ďalej. Naypovіlnіshe na nulu sa bude blížiť dodanok. Obrazne zdanlivo, tse "tučná" nula, akési "vyblednutie" všetkých ostatných núl. Z tsієї spôsobuje v záverečnej fáze a z'objavenie záznamu.

Ďalej uveďte, aké sú znaky neuveriteľne malý neštebotaj nám, črepy tam boli namaľované, dobromyseľná samota. Preto som dal do číselníka „len nuly“. Pred prejavom nemajú znaky pre nulu žiadny význam vo všetkých zadkoch, kde posledné číslo vychádza na hranici (príloha č. 5,6).

Bez zrad, potom vyhrať a matematická analýza, analyzovať =)

Vtim, asi nekonečne malé funkcie pіznіshe, inak v horách stlačíte malý krížik pravou rukou \u003d)

zadok 8

Vedieť medzi

Toto je príklad nezávislého riešenia.

Vymenovanie definitívnych a nesúlad medzi funkciami na nesúlad podľa Cauchyho. Označenie obojstranného a jednostranného medzi (nahnevaný a pravák). Aplikujte riešenie na problémy, pre ktoré, vikoristovuyuchi, označenie Kosh, je potrebné ukázať, že hranica nekonzistencie je bližšie k danej hodnote, .

Zmist

Div. tiež: Okraj bodu
Univerzálne označenie interfunkcií podľa Heinyho a Cauchyho

Kіntseva medzi funkciami na nesúlad

Medzi funkciami o nekonzistencii:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Cieľ medzi Kosh
Číslo a sa nazýva hranica funkcie f (X) v x, čo je nezrozumiteľné (),
1) іsnuє taka | >
2) pre akékoľvek, akokoľvek malé, kladné číslo ε > 0 toto je číslo N ε > K, čo uložiť vіd ε , čo všetkým x, |x| > N ε, hodnota funkcie leží ε - okolo bodu a:
|f (x) - a |< ε .
Hranica nekonzistentnosti funkcií je označená takto:
.
Čln .

Často je tiež víťazné, že takýto význam je:
.

Zapíšme si účel, vikoristovuyuuchi logické symboly základu tejto zagalnosti:
.
Tu je to na pokraji, čo je dôležité ležať v oblasti pridelenej funkcie.

Jednostranné hranice

Čiara medzi funkciami pri nekonzistencii:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Často dochádza k výkyvom, ak je funkcia pridelená len z pozitívnych dôvodov. záporné hodnoty zmeniť x (presnejšie na okraji bodu abo). Tiež môžu byť limity nekonzistencie pre kladné a záporné hodnoty x rozdielne hodnoty. Todі vikoristovuyut jednostranné interі.

Lіva hranica v nezreteľne vzdialených bodoch inak je hranica v x je pragne mínus nekonzistencia () je definovaná takto:
.
Hraničné práva v nekonečne vzdialených bodoch alebo hranica v x je až po plus nekonzistentnosť ():
.
Jednostranné hranice nesúladu často znamenajú toto:
; .

Neskіchenna medzi funkciami na neskіchennosti

Neskіchenna medzi funkciami na neskіchennosti:
|f(x)| > M pre |x| > N

Označenie neprerezanej hranice cez Kosh
Medzi funkciami f (X) pri x, Páči sa mi to
1) іsnuіє taka okolitsya neskіchenno vіddalenoї bod | > K , je priradená funkcia de (tu K je kladné číslo);
2) na čokoľvek, akokoľvek veľké číslo M > 0 , toto je číslo N M > K, vklad vіd M , takže všetky x, |x| > N M , hodnota funkcie leží okolo hraničného nekonečne vzdialeného bodu:
|f (x) | > M.
Neskіchennu mezhu at x, scho pragne to neskіchennosti, znamená takto:
.
Čln .

Pomocou logických symbolov, dôvod tejto zagalnosti, možno označenie nevyčerpateľnej interfunkcie napísať takto:
.

Podobne označenie nejednotných medzispevových znakov, rovné a i:
.
.

Označenie jednostrannosti hraničí s nejednotnosťou.
Žiť medzi.
.
.
.
Priamo medzi.
.
.
.

Vymenovanie inter-funkcií pre Gein

Číslo a (konečne alebo nekonečne ďaleko) sa nazýva hranica funkcie f (X) v bode x 0 :
,
yakscho
1) existuje také okolie nekonečne vzdialeného bodu x 0 , ktorá funkcia je priradená (tu abo );
2) kvôli konzistencii ( x n ), na čo ísť x 0 : ,
prvky, ktoré ležia okolo periférií, postupnosť (f(xn)) konvergovať k:
.

Podobne ako v susedstve, vezmite okolie nekonečne vzdialených bodov bez znamienka: Ako zobrať ľavú alebo pravú stranu hranice na neurčito vo vzdialenosti bodu x 0 : inak potom odoberieme označenie hranice v x, čo je samozrejme pragne mínus nekonzistentnosť a plus nekonzistencia.

Označenie hranice podľa Heineho a Kosha je ekvivalentné.

Použiť

zadok 1

Vikoristovuyuchi vyznachennya Koshі ukázať, čo
.

Predstavme si notáciu:
.
Poznáme rozsah pridelenej funkcie. Oskilki číslica a zlomok znamenníka є polynómy, potom sa funkcia priradí všetkým bodom x krіm, pre ktoré sa znamenník prevedie na nulu. Poznáme body qi. Virishuemo štvorec rovný. ;
.
Koreňová línia:
; .
Oskіlki, potom th.
Preto je funkcia priradená pre. Tse budeme víťazne nadali.

Zapíšme si označenie výslednej medzifunkcie na nekonzistencii podľa Cauchyho:
.
Prerábame rozdiel:
.
Vydeľte číslo a banner vynásobením -1 :
.

Poď.
Todi
;
;
;
.

Otzhe, vedeli sme, čo robiť,
.
.
Pozrite sa, čo nasleduje
pre , i .

Črepy sa dajú samozrejme vždy zväčšiť. Todi pre koho,
v .
Tse znamená čo.

zadok 2

Poď.
Vikoristovuyuchi vyznachennya mezhі podľa Koshі ukazujú, že:
1) ;
2) .

1) Rozhodnutie v x

Oskіlki, potom je funkcia priradená všetkým x .
Označenie interfunkcií zapíšeme s, čo je drahšie mínus nekonzistentnosť:
.

Poď. Todi
;
.

Otzhe, vedeli sme, čo robiť,
.
Zadajte kladné čísla:
.
Vidíme, že pre každé kladné číslo M є číslo, takže keď,
.

Tse znamená čo.

2) Riešenie pre x pragne to plus nekonzistentnosť

Prerobme funkciu exit. Vynásobme číslo a banner zlomku a nájdime vzorec pre rozdiel štvorcov:
.
Maemo:

.
Priradenie správnej interfunkcie si zapíšeme, keď:
.

Zavedieme zápis: .
Prerábame rozdiel:
.
Vynásobte číslo a banner:
.

Poď
.
Todi
;
.

Otzhe, vedeli sme, čo robiť,
.
Zadajte kladné čísla:
.
Pozrite sa, čo nasleduje
pri i.

Potom sa počítajú črepy pre každé kladné číslo
.

Wikoristanská literatúra:
CM. Mikilský. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983.

Div. tiež:

Prvá zázračná hranica sa nazýva taká ekvivalencia:

\začiatok(rovnica)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica)

Ak teda $ \ alpha \ to (0) $ môže byť $ \ sin \ alpha \ to (0) $, potom sa zdá, že prvý zázrak hranice medzi krivkami je nevýrazný v tvare $ \ frac (0) (0) $. Zdá sa, že vo vzorci (1) môže byť nahradenie meniaceho sa $ \ alpha $ pod znakom sínusu і v banneri rozstrapatené, či už je to výraz, - dve mysle boli ponorené:

  1. Vyslovlyuvannya v znamení sínusu a v znamení štandardnej jednej hodiny na skok nula, tobto. є bezvýznamnosť tvaru $\frac(0)(0)$.
  2. Virazi v znamení sínusu a štandardného znamenia beží.

Často sú tu aj stopy od prvej zázračnej hranice:

\begin(rovnica) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica) \begin(rovnica) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica)

Na tretej strane je napísaných jedenásť zadkov. Zadanie č. 1 k dôkazu vzorcov (2) - (4). 2, č. 3, č. 4 a č. 5 odpovedzte na rozhodnutie s komentárom správy. 6-10 k rozhodnutiu prakticky bez komentára, ale správa o vysvetlení bola podaná na predných zadkoch. Keď zvíťazíte, existujú trigonometrické vzorce, ktoré môžete poznať.

Rešpektujem prítomnosť goniometrické funkcie zároveň z bezvýznamnosti $\frac (0) (0)$ znamená aj o ob'yazkovy zastosuvannya prvej zázračnej hranici. Niekedy môžete dokončiť jednoduché trigonometrické transformácie, napríklad divas.

Zadok #1

Prineste čo $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Keďže $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$, potom:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skіlki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , potom:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Nahradím $ \ alpha = \ sin (y) $. Ak $\sin(0)=0$, potom si predstavte $\alpha\to(0)$ možno $y\to(0)$. Navyše, іsnuє okolo nuly, v rovnakom $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, k tomu:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ dokončené.

c) Dovoľte mi zmeniť $ alpha = tg (y) $. Ak $\tg(0)=0$, potom si myslite, že $\alpha\to(0)$ a $y\to(0)$ sú ekvivalentné. Okrem toho, ak zakladáte okolo nuly, takým spôsobom $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, potom, spoliehajúc sa na výsledky bodu a), môžeme:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ dokončené.

Rivnosti a), b), c) sú často víťazné v poradí od prvej zázračnej hranice.

Zadok #2

Vypočítajte medzi $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Miery $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, takže. Ak sa čitateľ a nápis zlomku okamžite dostanú na nulu, potom to môže byť správne s nevýznamnosťou tvaru $\frac(0)(0)$. viconano. Okrem toho je zrejmé, že virazi pod znakom sínus i v transparente bežia (tobto vikonana i):

Otzhe, urazená myseľ, prenesená do klasu boku, vikonan. Na tsimu vyplivaє, scho zastosovna vzorec, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 USD.

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 USD.

Zadok #3

Poznať $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Mierky $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, ale môžeme použiť $\frac(0) ( 0) $ teda. viconano. Prote virazi v znamení sínusu a štandardu neuniknú. Tu je potrebné dať viraz bannermanovi v potrebnej forme. Je pre nás nevyhnutné, ak má vlajkonoš roztashuvavsya $9x$ - potom sa stanete pravdou. V skutočnosti od bannermana nedostaneme multiplikátor $9$, čo nie je také jednoduché zaviesť - stačí vynásobiť viraz od bannermana $9$. Prirodzene, aby ste kompenzovali násobenie 9 $, musíte vynásobiť 9 $ a rozdeliť:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Teraz, pri zástave, že pod znamením sínusu sa motali. Umyte si myseľ medzi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonanі. Tiež $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A tse znamená, že:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Zadok #4

Poznať $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, potom môžeme správne vidieť, že $ \frac( 0) (0) $. Podoba prvej zázračnej hranice je však prelomená. Sekáč, ktorý pomstí $\sin(5x)$, znamená prítomnosť banneru $5x$. V tejto situácii je najjednoduchšie vydeliť číslo $5x$, - a vynásobiť $5x$. Okrem toho je pravdepodobné, že operácia je podobná tej so štandardom, vynásobením a vydelením $\tg(8x)$ $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Ak je konštanta $\frac(5)(8)$ rýchla na $x$ i, potom vezmeme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Rešpektujte, že $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ je viac než šťastný pre prvú krajinu zázrakov. Pre $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ je stagnujúci vzorec:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Zadok #5

Poznať $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Skіlki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (predpokladajte, že $\cos(0)=1$) a $ \ lim_(x\to(0))x^2=0$; Aby ste však zastosúvali prvú zázračnú hranicu, zasuňte kosínus do číselníka, presuňte sa na sínusy (aby sme zastúvali formulu) alebo tangenty (takže zastúvali formulu). Zrobiti tse môžu byť také transformácie:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Obráťme sa na hranicu:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\vpravo) $$

Zlomok $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ sa už blíži k tej forme, ktorá je potrebná pre prvú zázračnú hranicu. Trochy sú opravené zlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pіdganyayuchi її pіd pershu zázračná hranica (kurva, scho vrazi v číselníku a pіd sine kvôli zbіgtisya):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\vpravo)^2$$

Obráťme sa na hranicu:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25,$$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Zadok #6

Nájdite medzi $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Miery $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi možno práve z nevýznamnosti $\frac(0)(0)$. Rozkriёmo її o pomoc prvej zázračnej hranice. Pre ktoré prechádzame od kosínusov k sínusom. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, potom:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prechod v úlohe medzi sínusmi, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ ) frac(\sin(3x))(3x)\vpravo)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2\cdot(x ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_( x \to(0))\vľavo(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Zadok #7

Vypočítajte medzi $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ pre $\alpha\neq\ beta $.

Podrobné vysvetlenia boli uvedené skôr, tu je jednoducho dôležité, že $\frac(0)(0)$ je opäť bezvýznamné. Prejdime od kosínusov k sínusom, víťazný vzorec

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Je zobrazený vikoristický vzorec, je potrebné:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta ) )(2)\vpravo)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\vpravo))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac ) (\alpha-\beta)(2)\vpravo))(x)\vpravo)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\vľavo(\frac(\sin\left( x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\vpravo))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alfa- \beta)(2)\vpravo)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0) )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2) (2) $.

Zadok #8

Nájdite medzi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (hádajte $\sin(0)=\tg(0)=0$) a $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, potom môžeme pravou rukou s bezvýznamnosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Rozkriemo je takto:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\vpravo)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\vpravo) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Zadok č. 9

Nájdite medzi $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Miery $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, potom $ \ frac (0) (0) $ neexistuje. Predtým, ako prejdete na otvor її, manuálne zmeňte zmenu v takom poradí, aby sa nová zmena vyrovnala na nulu (odhalí, že vzorce sa menia $\alpha\na 0$). Jednoduchšie je zadať zmenu $t=x-3$. Avšak pre pohodlie vzdialených transformácií (vždy si môžete zapamätať hodinu rozhodnutia nižšie), môžete túto zmenu zmeniť: $t=\frac(x-3)(2)$. Vyhlásim, že som vás urazil tým, že som v tejto konkrétnej situácii nahradil zastosovnі, len aby som priateľovi umožnil nahradiť ho menej zlomkami. $x\to(3)$, potom $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\vpravo| =\left|\begin(zarovnané)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(zarovnané)\vpravo| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Zadok #10

Nájsť medzi $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Možno môžem obnoviť sprava $\frac(0)(0)$. Predtým, ako prejdete na otvor її, manuálne zmeňte zmenu v takom poradí, aby sa nová zmena vyrovnala na nulu (rešpektujte, že vzorce sa menia $\alpha\to(0)$). Najjednoduchší spôsob je zadať zmenu $t=\frac(\pi)(2)-x$. $x\to\frac(\pi)(2)$, potom $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(zarovnané)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(zarovnané)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) ( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to ( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac(1)(2)$.

Sklad #11

Nájsť medzi $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Nebudeme schopní prekonať prvú zázračnú hranicu na tomto vipadku. Aby som rešpektoval: ako v prvej, tak aj na druhej hranici sú len goniometrické funkcie toho čísla. Najčastejšie sa v takýchto zadkoch dá povedať prostitu vírus, roztashované pod znakom hranice. S pomocou uhádnutého odpustenia, že rýchlosť deaky spіvmulnіnіnіnіnіnіnіnіnіє znikає. Našiel som tento zadok iba jednou metódou: ukážte, že prítomnosť goniometrických funkcií pod znamienkom hranice nemusí nevyhnutne znamenať, že prvá zázračná hranica je zaseknutá.

Skіlki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (hádajte $\sin\frac(\pi)(2)=1$) i $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (hádajte, že $\cos\frac(\pi)(2)=0$), potom môžeme z bezvýznamnosti $ frac (0) (0) $. Tse zovsіm však neznamená, že je potrebné, aby sme pokorili prvú zázračnú hranicu. Ak chcete odhaliť bezvýznamnosť, povedzte pravdu o $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Podobný spôsob riešenia je rovnaký pre Grati Demidovich (č. 475). Pokiaľ ide o druhú hranicu, tie ako v predných zadkoch, ktoré som rozdelil, nemusíme vidieť $\frac(0)(0)$. Prečo obviňuje? Je to preto, že $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Vikoristovuєmo tsі význam s metódou transformácie virazіv na číslovku a na bannerman. Meta našich akcií: zapíšte si sumu do číselníka a banneru pred výtvorom. Pred prejavom, často v medziach podobného druhu, sa chechtalo nahradenie zmeny, takou ružičkou, aby sa nová zmena narovnala na nulu (div. napr. zadok č. 9 alebo č. 10 na druhej strane). Tento zadok však nemá zmysel vymieňať snímač, chcieť zmeniť $t=x-\frac(2\pi)(3)$ za bazhanya je nemotorné.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\vpravo))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\ sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+ \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi )(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)( 3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac (2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot \left(- \frac(1)(2)\vpravo)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Yak bachite, nemali sme možnosť zastosovuvat peršskú zázračnú hranicu. Zvichayno, za bazhannya tse môžete lúpiť (poznámka nižšie), ale nemôžete to konzumovať.

Aké bude riešenie prvého zázraku zázračnej hranice? ukázať skryť

S víťazstvom prvej zázračnej hranice je potrebné:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) vpravo ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Lekcia a prezentácia na tému: "Medzi funkciami o nekonzistencii"

Prídavné materiály
Shanovnі koristuvachі, nezabudnite zanechať svoje komentáre, komentáre, láskavosti! Všetky materiály boli prečítané antivírusovým programom.

Pomocníci a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre triedu 10 typu 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy na pobyt pre 7-10 ročníkov
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy na pobyt na voľnom priestranstve pre 10. a 11. ročník

Čo je dôležité:

1. Čo je to nekonzistentnosť?

5. Sila. 6. Použiť.

Deti, čudujme sa, aká je hranica medzi funkciami na nesúlade?
A čo je nekonzistentnosť?
Nedôslednosť- vykoristovuetsya charakterizovať neohraničené, neohraničené, neobmedzujúce predmety a javy, zároveň charakteristiku čísel.

Nedôslednosť- skіlki zavgodno veľké (malé), neobmedzené číslo.
Ak sa pozriete na rovinu súradníc, potom celá úsečka (ordináta) ide do nekonzistentnosti, takže môžete neobmedzene pokračovať doľava alebo doprava (dole alebo hore).

Teraz prejdime k interfunkcii o nekonzistencii:
Majme funkciu y=f(x), rozsahom našej funkcie je zmiesť a priamka y=b nech je vodorovná asymptota grafu funkcie y=f(x), napíšme to dole v matematickom vyjadrení:

Tiež naša spіvvіdnoshennia môže byť dosiahnutá v rovnakom čase:

Je akceptované zapísať ako:

Medzi funkciami y=f(x) pri x pragne do nekonečna drahšie b

Použiť

Vyvolajte graf funkcie y=f(x), ako napríklad:
1) Oblasť určenia - neosobné skutočné čísla.
2) f(x) - spojitá funkcia
3) 4)Riešenie: Potrebujeme vyvolať neprerušenú funkciu (-∞; +∞). Ukážme si niekoľko príkladov našich funkcií.

Hlavné právomoci

Pre výpočet hraníc na nesúlade sú kіlkom zvlnené

1) Pre akékoľvek prirodzené číslo m platí:

2) Čo sú to:
a) Medzi sumami drahšie sumy medzi:

B) Medzi stvorením a stvorením medzi:

c) Medzi súkromnými a súkromnými hranicami:


d) Konštantný násobiteľ môže byť obviňovaný z hraničného znaku:

príklad 1.

vedieť: Riešenie: Číslicu a banner zlomku vydeľte x. Zrýchlenie napájania medzi súkromnou hranicou a súkromnou hranicou:

Deti, hádajte medzi číselnou postupnosťou.

Berieme:

zadok 2.

Nájdite medzi funkciami y=f(x), ktorá s x je až do nekonečna.
Riešenie.

  • INTER, -a, m.

    1. Okraj, kіntseva chastina chogos l. Tu je extrémna hranica provincie Perm. Mamin-Sibiryak, Družki. Zdalo sa, že medzi nimi nič nie je a ani nebude. Belov, Kanuni. || prepínač Kіnets, zakіnchennya, dokončené chogos l. [Ill] nemysliac na jeho blízkom konci, - na tú hranicu, ku ktorej vínam sa ponáhľal s mätúcim swidkistyu. Gladkov, Energia. Vaughn bol pre nich starý človek, ktorý zostal za zvyškom ženskej izby - kambala jej matky. Lavrenov, Stará. Len katastrofa mohla postaviť Mikitu medzi seba a seba. Fedin, bratia.

    2. pl. rok. (medzi, -iv). Prirodzená chi umovna ryža, є nejaká hranica. územia; rubіzh. Pri zostupe vín [Svyatoslav], ktorý prekročil hranice ruskej krajiny do tichých kordónov, ako päťsto rokov, mal šancu znovu pokrstiť Ivana Hrozného. A. N. Tolstoj, Prišli hviezdy ruskej zeme. Shalyapin, opierajúci sa o pózu hraníc vlasti, zomrel v nostalgii - tesne za vlasťou. Gribachov, Berizka a oceán. || prečo alebo yaki. Mіstsevіst, prostіr, uložený v yakіs l. Mezhі. Ashaginove líšky vzali myslivtsiv na svoje príkazy. Tichonov, Podviyna Veselka. Tsієї jarné noci sú biele sláviky oslavujúce mrmlajúce hlasy hraníc lesa. Pasternak, nebolo nič. Komorná hudba sa krok za krokom presúvala mimo kaštieľov bohatých a ušľachtilých ľudí a začala vibrovať koncertnými sálami, ktoré znejú dnes. Kabalevsky, O troch veľrybách a veľa iných. || Trad.-spieva. Hrana, krajina. A knieža nasitiv nasitiv Jeho uši sluchu a s nimi smrť rozіslava To sudіdіv na cudzej hranici. Puškin, Anchar. Pamätám si, ako slnko pálilo, bol som vysoko na zimu ziyshov, ak letel let zo vzdialených miest do Moskvy. Smilakiv, Na pamiatku Dimitrova. || Prom_zhok hodina, obmezheniya yakimi l. podmienky medzi). Zdá sa, že môžem ísť s chavunkou do Orenburgu a možno aj pôjdem, ale všetko je do 14 dní. L. Tolstoj, Liszt Z. A. Tolstoj, 4. sept. 1876.

    3. zavolaj pl. rok. (medzi, -iv) prepínač mier, medzi niečím; rámec. Na hraniciach slušnosti. □ Nareshti, každej trpezlivosti 365 є medzi. Pisarev, posmrtný Virsh Heine. - Pokiaľ sa nevzdám práva veliť flotile, ktoré mi zatiaľ dáva zákon. Stepanov, Port Arthur. Vedomosti Fjodora Andrijoviča o minulosti jeho vlasti boli ešte skromnejšie, čo je dôležitejšie, na hraniciach „krátkeho kurzu“.Є. Nosov, Nie mája desať rubľov. || Vishcha kroky niečoho. Medzi svetom. □ Ľudské sily, fyzické a morálne, boli privedené na pokraj strnulosti. V. Koževnikov, parašutista. Moja krajina, tvoja krásna rana Na dosah zvyšku hranice! Vinokurov, International.

    4. Mat. Konštantná hodnota, ku ktorej sa približuje meniteľná hodnota, akoby sa ukladala do väčšej meniteľnej hodnoty, na poslednú zmenu zostávajúceho. Medzi číselnou postupnosťou.

    Na hranici- 1) v extrémnom stupni napätia. Nervy na hranici; 2) vkray razdratuvannya. [Galya:] Ja sama sa dnes bojím jogy. Víno na hranici. Pogodin, Kviti naživo.

Dzherelo (ručne vyrobená verzia): Ruský glosár: ​​V 4 zväzkoch / RAS, Inštitút lingvistiky. dátum splatnosti; Pre červenú. A. P. Evgenevoi. - 4. druh., Ster. - M: Rus. lang.; Polygrafické zdroje, 1999; (elektronická verzia):