Antara fungsi sederhana saya. Di antara

Walikota "minus inkonsistensi" telah melayang-layang di sekitar undang-undang ini untuk waktu yang lama. Mari kita lihat di antara polinomial, yakih. Prinsip-prinsip metode itu akan sama dengan bagian pertama pelajaran, dengan sedikit nuansa.

Mari kita lihat 4 keripik, yang akan dibutuhkan untuk ceri tugas praktek:

1) Dapat dihitung antara

Arti batas kurang dari deposit, pecahan langit dapat tumbuh dengan cara yang paling teratur. Yakscho sesuatu sangat besar per modul Saya melihat nomor langkah HITAM, di kali - di keempat, dan "ditambah inkonsistensi": . Konstanta ("dua") positif untuk itu:

2) Dapat dihitung antara

Ini langkah senior lagi parna, Tomi: . Ale sebelum rotashuvavsya "minus" ( negatif konstanta -1), maka:

3) Dapat dihitung antara

Nilai antar-deposit kurang dari vіd. Bagaimana Anda mengingat sekolah-sekolah ini, sangat besar per modul bilangan negatif dalam derajat tidak berpasangan i "minus inkonsistensi", di kali: .
Konstanta ("empat") positif, berarti:

4) Hitung antara

Anak laki-laki pertama di negara ini lagi Mei tidak berpasangan langkah, apalagi, di dada negatif konstan, dan mean: Dalam peringkat ini:
.

pantat 5

Tahu antara

Vykoristovuyuchi vykladenі lebih banyak poin, kami datang ke vysnovka, scho sini tidak signifikan. Pahat dan spanduk dengan urutan pertumbuhan yang sama, juga, di antara ujung nomor terakhir. Kami tahu buktinya, setelah melihat semua gorengan:

Solusinya sepele:

pantat 6

Tahu antara

pantat untuk solusi mandiri. Solusi luar semacam pengingat pelajaran.

Dan sekarang, mungkin, vipadkiv tertipis:

pantat 7

Tahu antara

Melihat dodanki yang lebih tua, kami datang ke visnovka, apa yang tidak bersalah di sini. Angka dari urutan yang lebih tinggi tumbuh, lebih rendah adalah spanduk, yang dapat dikatakan sekaligus bahwa ada beberapa inkonsistensi lama. Ale, inkonsistensi apa, "plus" atau "minus"? Dengan penerimaan yang sama - di nomor dan spanduk, kami akan membangunkan dribnitsa:

Kami melihat:

Kami membagi nomor dan spanduk di

Dianalisis sangat kecil spanduk dodanki:

Yakscho, lalu dodanki s anak laki-laki melangkah ke sangat kecil bilangan positif (ditunjukkan dengan ), dan dodanki s tidak berpasangan melangkah ke sangat kecil angka negatif (ditunjukkan melalui).

Sekarang mari kita taruh makanan, seperti z tsikh chotiriokh dodankіv akan pragnet ke nol (tidak masalah dengan tanda apa pun) terbaik? Mari kita tebak trik pertama: urutan "ix" -10, lalu -100, lalu -1000 dan seterusnya. Naypovіlnіshe ke nol akan mendekati dodanok. Secara kiasan, tse "gemuk" nol, semacam "memudar" semua nol lainnya. Z tsієї menyebabkan pada tahap akhir dan z'appearing record.

Selanjutnya, tunjukkan apa tanda-tandanya sangat kecil jangan berkicau pada kami, pecahan dicat di sana, kesepian yang baik hati. Itu sebabnya saya menempatkan "hanya nol" di buku nomor. Sebelum pidato, tanda nol tidak ada artinya di semua puntung, di mana angka terakhir keluar di batas (Lampiran No. 5,6).

Tanpa zrad, maka menang dan analisis matematis, untuk menganalisis =)

Vtim, tentang fungsi yang sangat kecil pіznіshe, jika tidak, Anda akan meremas salib kecil dengan tangan kanan di pegunungan \u003d)

pantat 8

Tahu antara

Ini adalah contoh dari solusi independen.

Penunjukan final dan inkonsistensi antar fungsi pada inkonsistensi menurut Cauchy. Penunjukan bilateral dan sepihak antara (marah dan tangan kanan). Terapkan solusi untuk masalah, yang, vikoristovuyuchi, penunjukan Kosh, perlu untuk menunjukkan bahwa batas pada inkonsistensi lebih dekat dengan nilai yang diberikan, .

Zmist

Div. juga: Pinggiran titik
Penunjukan universal dari interfungsi menurut Heiny dan Cauchy

Kіntseva antara fungsi pada inkonsistensi

Antara fungsi pada inkonsistensi:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Tujuan antara Kosh
Bilangan a disebut batas fungsi f (x) di x, yang tidak dapat dipahami (),
1) snuє taka | >
2) untuk apa pun, betapapun kecilnya, bilangan positif > 0 ini adalah nomor N > K, apa yang harus disetor vіd , berapa semua x, |x| > N , nilai fungsi terletak - di sekitar titik a:
|f (x) - sebuah |< ε .
Batas fungsi pada inkonsistensi ditunjukkan sebagai berikut:
.
Sebuah perahu .

Juga sering menang bahwa makna seperti itu adalah:
.

Mari kita tuliskan tujuannya, simbol logis vikoristovuyuuchi dari dasar zagalnosti itu:
.
Ini dia di ambang, yang penting terletak di area fungsi yang ditugaskan.

Batas satu sisi

Garis antar fungsi pada inkonsistensi:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Sering ada fluktuasi, jika fungsi ditetapkan hanya untuk alasan positif. nilai negatif ubah x (lebih tepatnya di pinggiran titik abo). Juga, batas inkonsistensi untuk nilai positif dan negatif dari x dapat menjadi nilai yang berbeda. Todі vikoristovuyut inter sepihak.

Batas Lіva di titik-titik yang jauh tidak jelas jika tidak, batas di x adalah pragne dikurangi inkonsistensi () didefinisikan sebagai berikut:
.
Hak batas di titik-titik yang jauh tak terhingga atau batas di x tepat ditambah dengan inkonsistensi () :
.
Batas satu sisi pada inkonsistensi sering berarti ini:
; .

Neskіchenna antar fungsi di neskіchennosti

Neskіchenna antara fungsi di neskіchennosti:
|f(x)| > M untuk |x| > Tidak

Penunjukan perbatasan yang belum dipotong melintasi Kosh
Antara fungsi f (x) di x, menyukai
1) snuіє taka okolitsya neskіchenno vіddalenoї titik | > K , fungsi de ditetapkan (di sini K adalah bilangan positif);
2) untuk apapun, seberapa besar jumlah M > 0 , ini adalah nomor N M > K, setor vіd M , jadi semua x, |x| > N M , nilai fungsi terletak di sekitar perbatasan titik jauh tak terhingga:
|f (x) | > saya.
Neskіchennu mezhu at x, scho pragne to neskіchennosti, artinya sebagai berikut:
.
Sebuah perahu .

Untuk bantuan simbol logis, alasan zagalnost itu, penunjukan antar-fungsi yang tidak ada habisnya dapat ditulis sebagai berikut:
.

Demikian pula, penunjukan tanda antar nyanyian yang tidak konsisten, sama dengan dan i:
.
.

Penunjukan batas satu sisi pada inkonsistensi.
Hidup di antara.
.
.
.
Tepat di antara.
.
.
.

Penunjukan antar-fungsi untuk Gein

Bilangan a (akhirnya atau jauhnya tak terhingga) disebut batas dari fungsi f (x) di titik x 0 :
,
yakscho
1) ada lingkungan titik x yang jauh tak terhingga 0 , fungsi mana yang ditetapkan (di sini abo );
2) demi konsistensi ( x n ), apa yang harus pergi ke x 0 : ,
elemen yang terletak di sekitar pinggiran, suksesi (f(xn)) konvergen ke:
.

Seperti di lingkungan, ambil lingkungan dari titik-titik yang jauh tak berhingga tanpa tanda: Bagaimana mengambil sisi kiri atau sisi kanan perbatasan tanpa batas di jarak titik x 0 : jika tidak, maka kita hilangkan penunjukan batas di x, yaitu pragne dikurangi inkonsistensi dan inkonsistensi plus, tentunya.

Penunjukan batas menurut Heine dan Kosh adalah setara.

Menerapkan

pantat 1

Vikoristovuyuchi vyznachennya Kosh tunjukkan apa
.

Mari kita perkenalkan notasi:
.
Kita tahu ruang lingkup fungsi yang ditugaskan. Bilangan Oskilki dan pecahan znamennik polinomial, maka fungsi tersebut ditetapkan ke semua titik x krіm, yang znamenniknya diubah menjadi nol. Kita tahu poin qi. Virishuemo persegi sama. ;
.
Garis akar:
; .
Oskіlki, lalu th.
Oleh karena itu, fungsi ditugaskan untuk. Tse kita akan menang nadali.

Mari kita tuliskan penunjukan interfungsi terakhir pada inkonsistensi menurut Cauchy:
.
Kami membuat ulang perbedaan:
.
Bagilah angka dan spanduk dengan dikalikan dengan -1 :
.

Ayo.
Todi
;
;
;
.

Otzhe, kami tahu apa yang harus dilakukan,
.
.
Lihat apa yang berikut
untuk , saya .

Pecahan selalu dapat ditingkatkan, tentu saja. Todi untuk menjadi siapa,
pada .
Tse maksudnya apa.

pantat 2

Ayo.
Vikoristovuyuchi vyznachennya mezhі menurut Kosh menunjukkan bahwa:
1) ;
2) .

1) Keputusan pada x

Oskіlki, maka fungsi tersebut ditetapkan ke semua x .
Kami menuliskan penunjukan antar-fungsi dengan, yang lebih mahal dikurangi inkonsistensi:
.

Ayo. Todi
;
.

Otzhe, kami tahu apa yang harus dilakukan,
.
Masukkan angka positif ta:
.
Kita melihat bahwa untuk sembarang bilangan positif M bilangan , jadi ketika ,
.

Tse maksudnya apa.

2) Solusi untuk x pragne ke plus inkonsistensi

Mari kita buat ulang fungsi exit. Mari kalikan bilangan dan spanduk pecahan dan temukan rumus selisih kuadrat:
.
Maemo:

.
Kami menuliskan penugasan antar-fungsi yang tepat ketika:
.

Mari kita perkenalkan notasi: .
Kami membuat ulang perbedaan:
.
Kalikan nomor dan spanduk dengan:
.

Ayo
.
Todi
;
.

Otzhe, kami tahu apa yang harus dilakukan,
.
Masukkan angka positif ta:
.
Lihat apa yang berikut
di saya.

Pecahan dihitung untuk angka positif apa pun, lalu
.

Sastra Wikoristan:
cm. Mikilsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.

Div. juga:

Batas ajaib pertama disebut kesetaraan seperti itu:

\begin(persamaan)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)

Jadi jika $ \ alpha \ to (0) $ dapat menjadi $ \ sin \ alpha \ to (0) $, maka tampaknya keajaiban pertama dari batas antara kurva tidak jelas dalam bentuk $ \ frac (0) (0) $. Tampaknya, dalam rumus (1) penggantian $ \ alpha $ yang berubah di bawah tanda sinus di spanduk dapat diacak, baik itu ekspresi, - dua pikiran terperanjat:

1. Vyslovlyuvannya di bawah tanda sinus dan pada tanda standar satu jam untuk melompat nol, tobto. bentuk tidak penting $\frac(0)(0)$.
2. Virazi di bawah tanda sinus dan tanda standar run.

Seringkali ada juga jejak dari batas ajaib pertama:

\begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan) \begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan) \begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)

Sebelas puntung ditulis di sisi ketiga. Butt No. 1 penugasan pada pembuktian rumus (2) - (4). Terapkan No 2, No 3, No 4 dan No 5 untuk menjawab keputusan dengan komentar laporan. Terapkan No 6-10 untuk keputusan praktis tanpa komentar, tetapi laporan penjelasan diberikan di pantat depan. Saat menang, ada beberapa rumus trigonometri yang bisa Anda ketahui.

Saya menghargai kehadirannya fungsi trigonometri pada saat yang sama keluar dari signifikansi $\frac (0) (0)$ juga berarti tentang ob'yazkovy zastosuvannya batas ajaib pertama. Terkadang Anda dapat menyelesaikan transformasi trigonometri sederhana, misalnya, diva.

Pantat #1

Bawa apa $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Karena $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$, maka:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skіlki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , kemudian:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Saya akan mengganti $ \ alpha = \ sin (y) $. Jika $\sin(0)=0$, maka pikirkan $\alpha\to(0)$ mungkin $y\to(0)$. Selain itu, snuє sekitar nol, dalam $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ yang sama, dengan:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(y\ke(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\ke(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ selesai.

c) Biarkan saya mengubah $ alpha = tg (y) $. Jika $\tg(0)=0$, maka anggaplah $\alpha\to(0)$ dan $y\to(0)$ setara. Selain itu, jika Anda mendasarkan di sekitar nol, dengan cara $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, maka, dengan mengandalkan hasil poin a), kita dapat:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(y\ke(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\ke(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ selesai.

Rivnosti a), b), c) sering menang dalam urutan dari batas ajaib pertama.

pantat #2

Hitung antara $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Skala $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, jadi. Jika pembilang dan panji pecahan langsung menjadi nol, maka bisa jadi benar dengan non-signifikansi dari bentuk $\frac(0)(0)$, maka. viconano. Selain itu, jelas bahwa virazi di bawah tanda sinus i di spanduk sedang berjalan (tobto vikonana i):

Otzhe, pikiran tersinggung, dipindahkan ke tongkol samping, vikonan. Pada tsimu vyplivaє, rumus scho zastosovna, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = $1.

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x +7)) = $1.

pantat # 3

Ketahui $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Skala $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ $\lim_(x\to(0))x=0$, tetapi kita dapat menggunakan $\frac(0 ) ( 0) $, lalu. viconano. Prote virazi di bawah tanda sinus dan standar tidak luput. Di sini perlu untuk memberikan viraz kepada pembuat spanduk dalam bentuk yang diperlukan. Hal ini diperlukan bagi kami, jika flagman memiliki roztashuvavsya $9x$ - maka Anda akan menjadi kenyataan. Faktanya, kami tidak mendapatkan pengganda $9$ dari pembuat spanduk, yang tidak begitu mudah untuk diperkenalkan - cukup kalikan viraz dari pembuat spanduk dengan $9. Secara alami, untuk mengimbangi perkalian $9$, Anda perlu mengalikan dengan $9$ dan membagi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Sekarang, di spanduk, di bawah tanda sinus, mereka bergegas. Cuci pikiran Anda untuk inter $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonanі. Juga, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Dan tse berarti bahwa:

$$ 9\lim_(x\ke(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

pantat #4

Ketahui $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, maka kita dapat melihat bahwa $ \frac( 0)(0)$. Namun, bentuk batas ajaib pertama rusak. Chiselnik, yang membalas $\sin(5x)$, berarti keberadaan spanduk $5x$. Dalam situasi ini, paling mudah untuk membagi angka dengan $5x$, - dan mengalikannya dengan $5x$. Selain itu, kemungkinan operasinya mirip dengan operasi standar, mengalikannya dan membagi $\tg(8x)$ dengan $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Jika konstanta $\frac(5)(8)$ cepat pada $x$ i, maka kita ambil:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Hormati bahwa $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ lebih dari senang untuk negeri ajaib pertama. Untuk $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, rumus stagnannya adalah:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

pantat #5

Ketahui $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Sklki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (tebak $\cos(0)=1$) dan $ \ lim_(x\ke(0))x^2=0$; Namun, untuk zastosuvat batas ajaib pertama, geser kosinus ke dalam buku bilangan, pindah ke sinus (sehingga kita akan zastosuvat rumusnya) atau garis singgung (jadi kita akan zastosuvat rumusnya). Zrobiti tse dapat berupa transformasi seperti itu:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Mari kita beralih ke batas:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$

Pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ sudah mendekati bentuk itu, yang diperlukan untuk batas ajaib pertama. Troch dikoreksi dengan pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pіdganyayuchi pіd pershu batas ajaib (fuck, scho vrazi di buku bilangan dan pіd sinus karena zbіgtisya):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2$$

Mari kita beralih ke batas:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25.$$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

pantat #6

Temukan antara $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Skala $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi mungkin langsung dari $\frac(0)(0)$ yang tidak signifikan. Rozkriёmo atas bantuan batas ajaib pertama. Untuk itu kita beralih dari cosinus ke sinus. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, maka:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Melewati tugas antara ke sinus, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ ) frac(\sin(3x))(3x)\kanan)^2\cdot(9x^2))(\kiri(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2\cdot(x ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_( x \ke(0))\kiri(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

pantat #7

Hitung antara $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ untuk $\alpha\neq\ beta $.

Penjelasan rinci diberikan sebelumnya, di sini cukup signifikan bahwa $\frac(0)(0)$ sekali lagi tidak signifikan. Mari kita beralih dari cosinus ke sinus, formula kemenangan

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Rumus vicorist ditampilkan, perlu:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta ) )(2)\kanan)\cdot\sin\kiri(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac ) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left( x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0 )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2) (2) $.

pantat #8

Temukan antara $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (tebak $\sin(0)=\tg(0)=0$) dan $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, maka kita dapat menangani bentuk non-insignifikansi $\frac(0)(0)$. Rozkriemo menyukai ini:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\kanan))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\kanan) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

pantat #9

Temukan antara $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Skala $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, maka $ \ frac (0) (0) $ tidak ada. Sebelum itu, saat Anda pergi ke pembukaan , ubah secara manual perubahan peringkat tersebut, sehingga perubahan baru diluruskan menjadi nol (mengungkapkan bahwa rumus berubah $\alpha\ke 0$). Lebih mudah memasukkan perubahan $t=x-3$. Namun, untuk kemudahan transformasi jarak jauh (Anda selalu dapat mengingat jam pengambilan keputusan di bawah), Anda dapat mengubah perubahan ini: $t=\frac(x-3)(2)$. Saya akan menunjukkan bahwa saya menyinggung Anda dengan mengganti zastosovn dalam situasi khusus ini, hanya untuk mengizinkan seorang teman menggantinya dengan pecahan. $x\ke(3)$, lalu $t\ke(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\kiri|\begin(sejajar)&t=\frac(x-3)(2);\&t\ke(0)\end(sejajar)\kanan| =\lim_(t\ke(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\ke(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\ke(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ ke(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\ke(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\ke(0))\kiri(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\kanan) =\ lim_(t\ke(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\ke(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

pantat # 10

Temukan antara $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Mungkin saya dapat memperbarui dari $\frac(0)(0)$ yang benar. Sebelum itu, saat Anda pergi ke pembukaan , ubah secara manual perubahan peringkat tersebut, sehingga perubahan baru diluruskan ke nol (menghargai bahwa rumus berubah $\alpha\to(0)$). Cara termudah adalah memasukkan perubahan $t=\frac(\pi)(2)-x$. $x\to\frac(\pi)(2)$, lalu $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\kanan)^2) =\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\ke(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\kanan))(t^2) =\lim_(t\ke(0 ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\ke(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) ( t^2) =2\lim_(t\ke(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\ke(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\ke ( 0))\kiri(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\kanan)^2) = frac(1)(2)$.

Stok #11

Temukan antara $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Kami tidak akan dapat memenangkan batas ajaib pertama di vipadk ini. Untuk menghormati: seperti pada yang pertama, jadi di batas lain hanya ada fungsi trigonometri dari angka itu. Paling sering di pantat seperti itu orang dapat mengatakan kepada prostit viraz, roztashovane di bawah tanda batas. Dengan bantuan pengampunan ditebak, bahwa kecepatan dari znikає deaky spіvmulnnnіnnnnn. Saya telah nave pantat ini hanya dengan satu metode: menunjukkan bahwa kehadiran fungsi trigonometri di bawah tanda batas tidak berarti bahwa batas ajaib pertama macet.

Skіlki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (tebak $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (tebak $\cos\frac(\pi)(2)=0$), maka kita dapat keluar dari $ yang tidak signifikan pecahan (0) (0) $. Namun, tse zovsіm tidak berarti bahwa kita perlu menaklukkan batas ajaib pertama. Untuk mengungkapkan ketidakpentingan, katakan yang sebenarnya tentang $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Metode penyelesaian yang serupa juga sama untuk Grati Demidovich (No. 475). Sejauh batas lainnya, seperti pada bagian depan yang saya bagi, kita mungkin tidak melihat $\frac(0)(0)$. Kenapa dia menyalahkan? Itu karena $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Vikoristovuєmo ts artinya dengan metode transformasi virazіv pada penomoran dan pada panji. Meta tindakan kami: tuliskan jumlah di buku angka dan spanduk di depan ciptaan. Sebelum pidato, seringkali dalam batas-batas semacam itu, penggantian perubahan itu terkekeh, dengan mawar seperti itu, sehingga perubahan baru diluruskan menjadi nol (div., misalnya, pantat No. 9 atau No. 10 di sisi lain). Namun, pantat ini tidak masuk akal dalam mengganti sensor, ingin mengubah $t=x-\frac(2\pi)(3)$ untuk bazhanya adalah kikuk.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\kanan )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\ sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+ \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi )(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)( 3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac (2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot \kiri(- \frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Yak bachite, kami tidak memiliki kesempatan untuk zastosovuvat Persh batas ajaib. Zvichayno, untuk bazhannya tse Anda bisa merampok (catatan div. di bawah), tetapi Anda tidak bisa mengkonsumsinya.

Apa yang akan menjadi solusi untuk keajaiban pertama dari batas ajaib? tunjukan Sembunyikan

Dengan kemenangan batas ajaib pertama, perlu:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi ) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) kanan ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Antara fungsi pada inkonsistensi"

Bahan tambahan
Shanovnі koristuvachі, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, komentar, bantuan Anda! Semua materi telah dibaca oleh program anti-virus.

Pembantu dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 tipe 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk masa inap untuk kelas 7-10
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk menginap di ruang terbuka untuk kelas 10 dan 11

Apa yang penting:

1. Apa itu inkonsistensi?

5. Kekuatan. 6. Terapkan.

Anak-anak, mari kita bertanya-tanya, apa batas antara fungsi pada inkonsistensi?
Dan apa itu inkonsistensi?
inkonsistensi- vykoristovuetsya untuk mengkarakterisasi objek dan fenomena yang tidak terbatas, tidak terbatas, tidak terbatas, pada saat yang sama karakteristik angka.

inkonsistensi- skіlki zavgodno besar (kecil), jumlah tak terbatas.
Jika Anda melihat bidang koordinat, maka seluruh absis (ordinat) menjadi tidak konsisten, sehingga Anda dapat melanjutkan tanpa batas ke kiri atau ke kanan (turun atau menanjak).

Sekarang mari kita beralih ke inter-fungsi pada inkonsistensi:
Misalkan fungsi y=f(x), ruang lingkup fungsi kita adalah menyapu, dan biarkan garis lurus y=b menjadi asimtot horizontal dari grafik fungsi y=f(x), tuliskan turun dalam istilah matematika:

Juga, spіvvіdnoshennia kami dapat dihubungi pada saat yang sama:

Diterima untuk ditulis sebagai:

Antara fungsi y=f(x) di x pragne hingga tak terhingga lebih mahal b

Menerapkan

Induksikan grafik fungsi y=f(x), seperti:
1) Daerah tujuan - nomor aktual impersonal.
2) f(x) - fungsi kontinu
3) 4)Solusi: Kita perlu menginduksi fungsi tak terputus (-∞; +∞). Mari kita tunjukkan beberapa contoh fungsi kita.

Kekuatan Utama

Untuk perhitungan batas pada inkonsistensi, kіlkom bergelombang

1) Untuk sembarang bilangan asli m, berikut ini adil:

2) Apa itu:
a) Antara jumlah jumlah yang lebih mahal antara:

B) Antara penciptaan dan penciptaan antara:

c) Antara perbatasan pribadi dan pribadi:

d) Pengganda konstan dapat disalahkan untuk tanda batas:

Contoh 1.

Tahu: Solusi: Bagilah angka dan spanduk pecahan dengan x. Mempercepat kekuatan antara perbatasan pribadi dan perbatasan pribadi:

Anak-anak, tebak antara urutan numerik.

Kami ambil:

pantat 2.

Temukan di antara fungsi-fungsi y=f(x), yang, dengan x, tepat hingga tak terhingga.
Larutan.

• ANTAR, -sebuah, m.

  1. Tepi, kіntseva chastina chogos l. Inilah batas ekstrim provinsi Perm. Mamin-Sibiryak, Druzhki. Tampaknya tidak ada apa-apa dan tidak akan ada di antara mereka. Belov, Kanuni. || mengalihkan Kіnets, zakіnchennya, selesai chogos l. [Sakit] tidak memikirkan akhir dekatnya, - tentang batas itu, yang anggurnya dia buru dengan swidkistyu yang membingungkan. Gladkov, Energi. Vaughn adalah orang tua bagi mereka, yang tertinggal dari kamar wanita lainnya - turbot ibunya. Lavrenov, Stara. Hanya bencana yang bisa menempatkan Mikita di antara dirinya dan dirinya sendiri. Fedin, Saudara.

  2. hal. tahun. (di antara, -iv). Beras chi umovna alami, semacam batas. wilayah; rubzh. Saat turunnya anggur [Svyatoslav] setelah melintasi perbatasan tanah Rusia ke barisan yang tenang, seperti selama lima ratus tahun ia memiliki kesempatan untuk membaptis kembali Ivan the Terrible. A. N. Tolstoy, Bintang Tanah Rusia Datang. Bersandar pada pose perbatasan tanah air, Shalyapin meninggal dalam nostalgia - ketat untuk tanah air. Gribachov, Berizka dan lautan. || mengapa atau yaki. Mіstsevіst, prostr, disimpan dalam yakіs l. Mezh. Rubah Ashagin mengambil myslivtsiv atas perintah mereka. Tikhonov, Podviyna Veselka. Malam musim semi Ts adalah Nightingales putih yang memuliakan suara gumaman dari perbatasan hutan. Pasternak, bukan apa-apa. Selangkah demi selangkah, musik kamar bergerak melampaui rumah-rumah orang kaya dan bangsawan dan mulai bergetar di aula konser, yang terdengar di zaman kita. Kabalevsky, Tentang tiga paus dan banyak lainnya. || Trad.-bernyanyi. Ujung, negara. Dan pangeran nasitiv nasitiv Telinganya mendengar, dan bersama mereka kematian rozіslav To sudіdіv di perbatasan orang asing. Pushkin, Anchar. Saya ingat bagaimana matahari membakar, saya setinggi langit untuk ziyshov musim dingin, jika penerbangan terbang dari tempat yang jauh ke Moskow. Smilakiv, Untuk mengenang Dimitrov. || Jam prom_zhok, obmezheniya yakimi l. ketentuan di antara). Sepertinya saya bisa pergi ke Orenburg dengan chavunka, dan, mungkin, saya akan pergi, tetapi semuanya dalam 14 hari. L. Tolstoy, Liszt Z. A. Tolstoy, 4 Sep. 1876.

  3. panggilan tahun. (di antara, -iv) mengalihkan perdamaian, antara sesuatu; kerangka. Di batas kesopanan. □ Nareshti, untuk setiap kesabaran 365 antara. Pisarev, Virsh Heine Anumerta. - Selama saya tidak melepaskan hak memimpin armada untuk waktu yang diberikan kepada saya oleh hukum. Stepanov, Port Arthur. Pengetahuan Fyodor Andriyovich tentang masa lalu tanah airnya bahkan lebih sederhana, yang lebih penting, di perbatasan "kursus singkat".. Nosov, Bukan Mei sepuluh rubel. || Wischa langkah sesuatu. Antara dunia. □ Kekuatan manusia, fisik dan moral, dibawa ke ambang pingsan. V. Kozhevnikov, penerjun payung. Negaraku, pukulan indahmu Di jangkauan sisa perbatasan! Vinokurov, Internasional.

  4. Tikar. Nilai konstan, yang mendekati nilai yang dapat diubah, seolah-olah disimpan dalam nilai yang dapat diubah yang lebih besar, untuk perubahan terakhir dari yang tersisa. Antara urutan numerik.

  Di perbatasan- 1) dalam tingkat ketegangan yang ekstrim. saraf di perbatasan; 2) vkray razdratuvannya. [Galya:] Saya sendiri takut yoga hari ini. Anggur di perbatasan. Pogodin, Kviti langsung.

Dzherelo (versi kerajinan tangan): Glosarium Rusia: Dalam 4 volume / RAS, Institute of Linguistics. batas waktu; Untuk merah. A.P. Evgenevoi. - spesies ke-4., Ster. - M: Rus. lang.; Sumber daya poligrafik, 1999; (versi elektronik):