Serija Taylorovih operatera. Raspored funkcija u statičkom redu

Vivechayuchim traži matematiku krivo je biti svjestan da se sa zbrojem takvog statičnog niza, koji bi trebao ležati unutar intervala zadanog niza, funkcija pojavljuje bez prekida i bez prekida. Okrivljavanje prehrane: kako možete potvrditi da je data dovoljna funkcija f (x) - zbroj tako složenog niza? Dakle, za neke umove, funkcija f (x) može biti prikazana stanjem pored nje? Važnost takve prehrane je u tome što je funkciju f(x) moguće približno zamijeniti zbrojem deset prvih članova niza stanja, odnosno polinomom. Takva zamjena funkcije može se izvesti jednostavnom virase - bogatim izrazom - ê pri ruci i s virišenima dnevnih zadataka i samom sobom: s varijansom integrala, s proračunom itd.

Pokazalo se da je za sing f-íí̈ f(x), u kojem je moguće izračunati sljedeći pored (n + 1)-ti red, uključujući ostatak, u blizini (α - R; x 0 + R) deakacijske točke x = α fair ê formula:

Tsya formula za nošenje im'ya u ime velike Brooke Taylor. Red koji se uzima s prednje strane naziva se Maclaurinov red:

U pravilu, ako mogu izložiti Maclaurin seriju:

1. Označite prvu, drugu, treću ... narudžbu.
2. Izračunajte zašto vrijedi x=0.
3. Zapišite Maclaurinov niz za zadanu funkciju, nakon čega se određuje interval jogijske učinkovitosti.
4. Izračunajte interval (-R;R), de-redundantni dio Maclaurinove formule

R n (x) -> 0 za n -> nedosljednost. Kao takva, funkcija f(x) je kriva za zbroj Maclaurinovog reda.

Pogledajmo sada brojne Maclaurinove funkcije.

1. Od sada će prvi biti f (x) \u003d e x. Očito je da, zbog svojih osobitosti, takva funkcija može biti slična najčešćim redovima, štoviše, f (k) (x) = e x, de k je vjerojatnije da je x = 0. Oduzimamo f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2...

2. Maclaurinov red za funkciju f(x) = sin x. Pa, jasno je da je funkcija dobra za sve nedomične majke, prije toga f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \ u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x) = sin(x+k*n/2), prirodni broj. Dakle, nakon što smo napravili nedosljedne rezove, možemo napraviti šavove, tako da će niz za f (x) = sin x izgledati ovako:

3. Pokušajmo sada pogledati funkciju f(x) = cos x. Osvojio sve nevídomih može pokhídní dovoljno reda, štoviše |f (k) (x)| = | cos(x + k * n/2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Također, revidirali smo najvažnije funkcije, koje se mogu proširiti na Maclaurin seriju, prote ih kako bi nadopunili Taylorov niz ovih funkcija. Nini mi pererahuêmo i ih. Varto također znači da su Taylorov i Maclaurinovi redovi važan dio prakse usavršavanja redova u cijeloj matematici. Oče, voli Taylora.

1. Prvi red će biti f-íí̈ f (x) \u003d ln (1 + x). Poput prednjih kundaka, da bismo dobili f (x) = ln (1 + x), možemo sastaviti red koji izgleda kao Maclaurinov red. međutim, za ovu funkciju Maclaurinov niz može biti puno jednostavniji. Integrirajući ovaj geometrijski niz, uzimamo niz za f (x) \u003d ln (1 + x) takvog elementa:

2. Drugom, što ćemo zaključiti u našem članku, bit će niz za f(x) = arctg x. Za x, koji bi trebao biti razmaknut [-1; 1] pošten ê raspored:

Na kome sve. U ovim statistikama, redovi Taylora i Maclaurina promatrani su u drugoj matematici, znanosti, na ekonomskim i tehničkim sveučilištima.

Koja je funkcija f(x) Svibanj u sljedećem intervalu, da se osveti bod a, slično svim narudžbama, tada se Taylorova formula može zaglaviti ispred nje:

de rn- dakle naslovi suvišnog člana ili suvišnog retka, koji se mogu procijeniti uz pomoć Lagrangeove formule:

, de broj x je postavljen između xі a.

Yakshcho za deyakogo značenje x r n®0 u n®¥, zatim se između Taylorove formule pretvara za ovu vrijednost u sličnu Taylor serija:

Dakle, funkcija f(x) može se položiti u Taylorov red na mjestu koje možete vidjeti x, Kao:

1) može biti gore od svih narudžbi;

2) niz poticaja konvergira u tsíy točkama.

Na a=0 otrimuemo red, redovi Maclaurinov zastavnik:

guza 1 f(x)= 2x.

Riješenje. Znamo vrijednost funkcije i í̈ slična pri x=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x u 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ln n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Zamjenjujući vrijednosti sličnih formula Taylorovom nizu, uzimamo:

Radijus života ovog reda skuplji je od nedosljednosti, pa je ova distribucija pravedna za -<x<+¥.

guza 2 x+4) za funkciju f(x)= e x.

Riješenje. Znamo slične funkcije x ista vrijednost u točki x=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n) (x)= e x, f(n) ( -4) = e -4 .

Opet se može vidjeti niz Taylorovih funkcija:

Ova raspodjela vrijedi i za -¥<x<+¥.

guza 3 . Proširite funkciju f(x)=ln x u redu iza stepenica ( X- 1),

(Tobto u seriji Taylor u blizini točke x=1).

Riješenje. Znamo slične funkcije.

Zamjenjujući vrijednosti formule, uzimamo Taylorov niz:

Za dodatnu pomoć, d'Alembertovi znakovi se mogu mijenjati, tako da se red konvergira na

½ X- 1½<1. Действительно,

Broj konvergiraju, yakscho? X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x\u003d 2 uzimamo red, koji je nacrtan, što se sviđa umovima znakova Leibnitza. Na x=0 funkcija nije dodijeljena. Ovim redoslijedom, područje zbízhností do niza Taylor ê napívvídkritiy interval (0; 2).

Oduzmimo sličan rang širenja Maclaurinovom redu (tj. u blizini točke x=0) za stvarne elementarne funkcije:

(2) ,

(3) ,

( ostatak rasporeda se zove bínomim sljedeći)

zadnjica 4 . Izložite funkciju u nizu

Riješenje. Na preklopu (1) zamjenjiv x na - x 2, prihvaćamo:

guza 5 . Proširite Maclaurinovu funkciju u nizu

Riješenje. Maymo

Koristeći formulu (4), možemo napisati:

koji zastupa zamjenika x formula -X, Uzimamo:

Znamo:

Izvijanje lukova, preuređivanje članova reda i roblyachi s obzirom na sličan dodankív, moguće je

Čiji se nizovi konvergiraju u intervalu

(-1; 1), krhotine vina koje se oduzimaju od dva reda, čije se kore spajaju u ovom intervalu.

Poštovanje .

Formule (1)-(5) se mogu koristiti za proširenje rekurzivnih funkcija na Taylorov niz, tj. za postavljanje funkcija za više pozitivnih koraka ( Ha). Za koje je nad zadanom funkcijom potrebno napraviti takvu transformaciju da bi se preuzela jedna od funkcija (1) - (5), na način x cijena k( Ha) m, gdje je k konstantan broj, m je cijeli pozitivan broj. Često, s kim, ručno zamijenite zmiju t=Ha i proširiti funkciju t Maclaurinovog niza.

Ova metoda ilustrira teorem o jedinstvu proširenja funkcije u niz. Bit ovog teorema leži u činjenici da se u blizini jedne te iste točke ne mogu oduzeti dva različita niza stanja, kao da su konvergirali jednoj te istoj funkciji, na koji god način proširenje nije izvršeno. .

guza 6 . Proširite funkciju u Taylorov niz na periferiji točke x=3.

Riješenje. Stoga se zadatak može mijenjati, kao i do sada, za dodatnu svrhu Taylorovog niza, za koji je potrebno poznavati slične funkcije i njihove vrijednosti za x=3. Međutim, bit će lakše ubrzati očite izglede (5):

Redovi oduzimanja konvergiraju za ili -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

guza 7 . Napišite Taylorov niz iza stepenica ( x-1) funkcije .

Riješenje.

Red konvergirati za , ili -2< x£5.

Prikazana je metoda razdvajanja između, vikorističkih, dekomponirajućih funkcija na Taylorov niz. Inducirati zastoj u ovoj metodi snage malog i rasporeda elementarnih funkcija do Maclaurinovog niza. Navodno je analizirano kako bi se primijenila razlika između, za osvetu beznačajnosti ∞ - ∞, nerazgovjetnosti jednog koraka i 0/0.

Zmist

Metoda trešnje

Jedna od najnaprednijih metoda za rješavanje nedosljednosti i izračunavanje između funkcija je Taylorov niz. Zastosuvannya ove metode se formira iz nadolazećih faza.
1) Inducibilna nevidljivost uma 0/0 pri promjeni x, koji je jednak nuli. Kome je, kako je potrebno, potrebno transformirati i robusno zamijeniti promjenu.
2) Postavite broj i natpis za Taylorov niz na rubu točke x = 0 . Kad god je to moguće, moguće je proširiti se na takav korak x n, koji je neophodan za usvajanje beznačajnosti. Ostali članovi uključeni u o (xn).

Ova metoda se može zastosuvat, akscho slijedeći točku 1), funkcije u brojčanoj knjizi i banneru mogu se postaviti u niz.

Podesite raspored funkcija preklapanja i zbroj funkcija ručno iza napadačke sheme. A) Indikatorom postavljamo pozornicu n na koju izvodimo raspored.
B) Zastosovuêmo snižavanje formule za proširenje funkcija u Taylorovom nizu, uzimajući pojmove do uključivo u njih, i brisanje pojmova iz , ili njihovo zamjenu s .
C) Za sklopive funkcije, razumno je zamijeniti one koje se mijenjaju tako da se argument dijela kože poveća na nulu na . Na primjer,
.
Ovdje u . Zatim možete izokrenuti izgled funkcije na rubu točke.

Bilješka. Zove se ekspanzija funkcije u Taylorov red u blizini točke Maclaurinov zastavnik. Na to za zastosovuvanih na naše ciljeve, nazivaju se brojni prije-rechní prekršaji.

Zastosovuvani snaga mala

Svrha tog dokaza autoriteta o malom je ukazati na strane: „O velikom, to o malom. Por_vnyannya funktsii". Ovdje smo potaknuti od strane vlasti, koje su pobjednici kada rozvyazanny između rozladannyam do Maclaurin reda (tobto at).

Dali m i n su prirodni brojevi, .
;
;
, yakscho;
;
;
;
, de;
, de c ≠ 0 - Postiyna;
.

Da bismo dokazali ove moći, potrebno je malo reći kroz beskonačno malu funkciju:
de .

Dekompozicija elementarnih funkcija u Taylorov (Maclaurin) niz

;
;
,
de;
;
;
,
de - Bernoullijevi brojevi: , ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Prijavite se

guza 1

Izračunajte između sekvenci, zamjensko polaganje do Taylorovog reda.
.

Tse beznačajnost um nedosljednost minus nedosljednost. Naveden í̈í̈ na beznačajni um 0/0 . Za koga je transformacija vikonuemo.

.
Ovdje smo lagali da broj elementa niza n može poprimiti više od pozitivnih vrijednosti. Tom. Robimo će zamijeniti promjenu. Na . Shukatimemo između vvazhayuchi, scho x je pravi broj. Kao granica između bitnih stvari, tada su vina bitna i za to postoji li ili ne slijed koji ide na nulu. Osim toga, radi dosljednosti.

.
Proširimo funkciju u brojevnu knjigu u nizu Taylor. Zastosovuêmo formulu:
.
Potreban nam je samo linearni član.
.
.
Ovdje smo lagali, da su krhotine dvostrane granice, onda su jednake jednostrane granice. Tom.

guza 2

Pokažite da se značenje još jedne čudesne granice može oduzeti postavljanjem u Taylorov niz.

Robimo će zamijeniti promjenu. Todi. Na . Zamislimo se.
.

Za izračun granice, možete uzeti u obzir značenje promjene t, bilo da je iza stražnje strane ograde, probušite točke oko periferije. Brinemo se, šo. Pobjednici su oni kojima su eksponent i prirodni logaritam obrnuti funkcijama jedan prema jedan. Todi
.

Izračunavanje granice između emisije, vikorist, istupajući naprijed do reda Taylor:
.
.

Ako je eksponent nestalna funkcija za sve vrijednosti argumenta, tada teorem između nestalne funkcije i funkcije može biti:
.

guza 3

Izračunajte granicu, vikorist i proširite na red Taylor.
.

Tse beznačajnost um 0/0 . Koristimo takvu raspodjelu funkcija na rubovima točke:
;
;
.

Proširimo na točne kvadratne članove:
;
.
Podijelimo broj i natpis na i znamo između:
.

zadnjica 4

Virishiti između za pomoć Taylorovog reda.
.

Lako bachiti, scho tse beznačajnost uma 0/0 . Proširujući krivulju, zastosovuchi uređenje funkcija na Taylor seriju. Vikoristovuemo pokazujući više:
(P4.1) .
Zamijenite x s -x u izgledu eksponenta:
(P4.2) .
Dali - sklopiva funkcija. Zamijenimo promjenu. Na . U tu svrhu možemo izokrenuti izgled prirodnog logaritma na rubu točke. Vykoristovuêmo induciramo širi raspored, u kojem mijenjamo x u t:
(P4.3) .

Važno je da funkciju smanjimo za . Nije moguće zamisliti da će sprijeda krhotine stagnirati na rubu točke. U svakom raspoloženju trebamo vikonati takvu transformaciju:
.
Čak i kad bih mogao zastosuvat rozladannya (P4.3).

Pokušajmo prijeći granicu, namigujući na prvi korak promjene x: . Tobto popunjavamo samo post-članove, kako ne bi lagali u x:, i linearno. Ostale ćemo provjeriti. Točnije prijenos na .
;
;
.
Oskílki, zatim na izgledu logaritma možemo vidjeti članove, počevši od koraka 2. Zastosovuchi, donoseći više snage malom maêmo:

.
Zamjena na granici:

.
Opet smo oduzeli beznačajnost uma 0/0 . Dakle, aranžman nije dovoljan.

Kako idemo gore na nivo, onda ću opet uzeti beznačajno:
.

Vikonaëmo razkladannya do koraka. Tobto zalishatime manje post_yni članova i članova s ​​množiteljima. Ostali uključeni u .
;
;

;

.
Prisjetimo se toga. Stoga je u proširenju logaritma potrebno dodavati pojmove, počevši od koraka, povećavajući ih. Koristimo raspored (P4.3), zamjenjujući t:


.

Zamijenite izlaznu funkciju.


.
Znamo između.
.

guza 5

Znajte granicu za pomoć Taylorovom nizu.
.

Izvodimo raspored broja i natpisa u seriji Maclaurin do zaključno četvrtog koraka.

Prisjetimo se transparenta. Koristimo to.

;
;

.

A sada prijeđimo na broj. Na . Stoga, nije moguće instalirati i zastosuvati rozkladannya, krhotine rozkladannya mogu se zastosuvat na, ali u nas. Poštujemo što. Stoga, napravimo transformaciju.
.
Sada možete stvoriti zamjenu, krhotine na.

Proširujemo funkciju tog njezinog koraka u Taylorovom nizu na rubu točke. Zastosovuemo.
;
;

;
;
;
;
Dali s poštovanjem, scho. Stoga, kako bismo uzeli u obzir izgled funkcije preklapanja na točnost od , moramo ga proširiti na točnost od .

Izračunajte prvi logaritam.


; ;
;
.

Uzmimo još jedan logaritam. Jogu usmjeravamo na vid, de at.
,
de.

Razlažemo z Taylorov niz u blizini točke s točnošću do .
Nužno je:
.
Zamijeni x sa:
. Todi
;

;
Poštujemo što. Stoga, kako bismo uzeli u obzir izgled funkcije preklapanja na točnost od , moramo ga proširiti na točnost od .

Reći ćemo vam točno do i vrakhovuêmo, scho.


;
.

Znamo raspored broja.

;
;
.

Predstavljamo raspored broja i transparenta i znamo granicu.
;
.

Wikoristan literatura:
L.D. Kudryavtsev, A.D. Kutasov, V.I. Čehlov, M.I. Šabunin. Zbirka voditelja matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.

2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Dostavite letjelicu na Mars s elektroničkim nosačem s imenima svih prijavljenih sudionika ekspedicije.

Registracija sudionika u glasovanju. Oduzmi svoju kartu za Mars radi blagoslova.

Lajkajte ovu objavu, nakon što ste riješili svoj problem, ili jednostavno ste bili dostojni, podijelite svoju snagu sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Morate kopirati i zalijepiti jednu od ovih opcija koda u kod svoje web stranice, između oznaka і ili odmah nakon oznake . Iza prve verzije MathJaxa preferira se manja i manje ljepljiva strana. Natomist druga opcija automatski odabire i nadograđuje na najnoviju verziju MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, strane će se više zainteresirati, tako da nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Omogućite MathJax na najjednostavniji način u Bloggeru ili WordPressu: na navigacijskoj ploči web-mjesta dodajte widget, zadatke za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju naprednog koda prikazanu iznad i promijenite veličinu widgeta bliže vrh predloška (prije govora, ne trebamo novi 'S obzirom na jezik, MathJax skripte se pozivaju asinkrono). Od mene sve. Sada provjerite sintaksu MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula na web stranice svoje stranice.

Chergovy prije Nove stijene... vrijeme je mraz, oni snizhinki na shibtsí... Sve me je potaknulo da ponovno pišem o... fraktalima, i o onima koji znaju za Wolfram Alpha. Íz thogo pogon ê tsíkava stattya, u yakíy ê stražnjice dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Svijet odmah može vidjeti presavijene stražnjice trivijalnih fraktala.

Fraktal se može vizualno manifestirati (opisati) kao geometrijski lik, kao da je tijelo (koji se prostire po površini, u zadanom smjeru, neosobna točka), detalji poput oblika, kao sama vidljiva figura. Tobto tse sebi slična struktura, gledajući na detalje kao da su uvećani, oponašaju sam oblik koji je bez povećanja. Slično, u vizualno upečatljivom geometrijskom liku (ne fraktalu), s više manjih detalja, kao da se može napraviti jednostavan oblik, vidljiv je niži lik. Na primjer, kada završite veliki dio elipse, izgleda kao ravno stablo. To nije slučaj s fraktalima: za bilo koju vrstu poboljšanja, ponovit ćemo isti oblik preklapanja, kao da s poboljšanjima kože, ponavljati iznova i iznova.

Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i znanost u ime znanosti: "Fraktali su geometrijski oblici, ali su sklopivi u svojim detaljima, kao iu svom zagalníy obliku. To je dio fraktala će se svesti na cjelinu, izgledat će kao cjelina, ili točno, ili, možda, s malom deformacijom.