Enumeración de áreas de figurillas rodeadas de líneas, configuradas paramétricamente. ¿Cómo calcular el área de la figura y el volumen del envoltorio, cómo se da la línea de forma paramétrica? Yak conoce el área en una amplia gama.

Conferencias 8. Programas Integrales de Canto.

Dodatok del Integral a las empresas físicas runtu sobre el poder de aditividad del Integral para fallas. A eso, detrás de la integral adicional, se pueden calcular tales cantidades, que a su vez son aditivas en términos de multiplicidad. Por ejemplo, el área de la carretera es la suma del área de las partes de Dovzhin del arco, el área de la superficie, el volumen del piso, masa tila puede tener la misma potencia. Este valor se puede contar con la ayuda de la integral de canto.

Puede vikoristovuvati dos métodos para resolver problemas: método de sumas integrales y método de diferenciales.

El método de sumas integrales repite el diseño de la integral cantada: habrá rosbitty, se indicarán puntos, para lo cual se calcula la función, se calcula la suma integral, se violará la transición de límite. En general, todos los métodos se basan en el plegado, para traer, al mismo tiempo, los mismos que se requieren.

Método diferencial para no valores integrales y fórmula de Newton-Leibnitz. Calcule el diferencial del valor, ya que el valor es requerido, es decir, integrando el diferencial, de acuerdo con la fórmula de Newton-Leibnitz, encuentre el valor requerido. Al mismo tiempo, todos los métodos son básicos: llevar el diferencial del valor requerido a calcular, y no solo el mismo.

Enumeración de áreas de figuras planas.

1. La figura está rodeada por una gráfica de una función dada por un sistema de coordenadas cartesiano.

Mi comprensión de la integral de canto provino del establecimiento del área del trapecio curvo (de hecho, el método vikorista de sumas integrales). Dado que la función se acepta solo no vіd'ємні significados entonces el área debajo del gráfico de la función se puede calcular mediante la integral de canto. Querido, scho Aquí puede utilizar el método de diferenciales.

Al igual que la función, puede aceptar significados negativos, de modo que haya un área negativa, de modo que haya mucho espacio.

Puedes contar el área para la fórmulaS=. Hay un cambio claro en el signo de función en las zonas tranquilas, en algunas de ellas hay significados negativos.

Si necesita contar el área del figuri, rodeado por un gráfico de funciones en la parte superior y un gráfico de funciones en la parte inferior, entonces puedes usar la fórmulaS= , entonces yak.

extremo. Cuenta el área de las figuras entre las líneas x = 0, x = 2 y las gráficas de las funciones y = x 2, y = x 3.

Sorprendentemente, para el intervalo (0.1), la irregularidad vicono x 2> x 3, y para x> 1, la irregularidad vicono x 3> x 2. Tomás

2. La figura está rodeada por un gráfico de la función establecida en el sistema de coordenadas polares.

Deje el gráfico de la función de tareas para los sistemas de coordenadas polares y le gustaría calcular el área del sector curvo, delimitado por dos intercambios y el gráfico de las funciones en el sistema de coordenadas polares.

Aquí se puede utilizar el método de sumas integrales, calculando el área del sector curvo, entre la suma de las áreas de los sectores elementales, en algunas gráficas de función se reemplaza por un arco de estaca. .

Puede elegir el método diferencial: .

Mіrkuvati se puede hacer así. Sector curvo elemental de Zamіnyuchi, que forma un sector circular en el kut central, proporción maєmo. Zvidsi ... Integrando la fórmula vicorista de Newton-Leibnitz, vamos a .

extremo. Se calcula el área de la apuesta (la fórmula se puede revisar). Vvazhaєmo. Zona de cola .

extremo. Numerosa zona, rodeada de cardioide .

3 La figura está rodeada por un gráfico de la función establecida por los parámetros.

La función se puede especificar paramétricamente como. Fórmula de Vikorist S= , presentado al inicio de la integración para nuevos desarrollos. ... Al calcular la integral, puede ver las regiones, la función desintegral del signo y el tamaño del área con este signo.

extremo. Cuente el área, rodeada de puntos suspensivos.

Vikoristovuєmo simetría de elips, calculada por el área de cuatro elips, justo al lado del primer cuadrante. En todo un cuadrante. Tomás.

Enumeración de obsyagiv tel.

1. Enumeración de obsyag_v tl detrás de las áreas del paralelo pererez_v.

No es necesario calcular el volumen de deyakogo tila V detrás de las áreas dadas de anulación hasta por áreas perpendiculares a la línea recta OX, dibujando a través del punto x a lo largo de la línea recta OX.

Método de diferenciales de Zastosuєmo. Volumen elemental de Vvazhayuchi, sobre el volumen de remolino de un cilindro circular recto con un área de base que es visible ... Integrando la fórmula de estasis de Newton - Leibniz,

2. Enumeración de la envoltura obsyag_v t_l.

Nehay necesitaba virahuvati BUEY.

Todi .

Similar, ob'єm tila envolviendo alrededor del ejeOY Si la función la da el espectador, se puede calcular mediante la fórmula.

Como la función está configurada en el visor y es necesaria para el tamaño del volumen envuelto alrededor del ejeOY la fórmula para el cálculo de la obligación puede reconocerse por el rango ofensivo.

Vaya a los términos cuadráticos diferenciales y no pegajosos, maєmo ... Integrando la fórmula de estasis de Newton - Leibniz, maєmo.

extremo. Cuente los obsyag kuli.

extremo. Cuente el volumen de un cono circular recto, encerrado por la superficie de esa área.

Numeroso es el volumen, yak el volumen de la envoltura, ajustado a las envolturas alrededor del eje OZ del triciclo rectangular en el área OXZ, las patas que se encuentran en el eje OZ y la línea recta z = H, y la hipotenusa se encuentran en la recta.

Virazayuchi x a z, .

Cálculo del arco.

Para corregir las fórmulas para calcular el arco, adivinará en el primer semestre las fórmulas para el diferencial antes del arco.

Gráfico de arco de Yakscho є sin interrupción de funciones diferenciadas, el diferencial antes del arco se puede calcular mediante la fórmula

... Tomás

Se da un arco suave de forma paramétrica, entonces

... Tomás .

Donde el arco se especifica en sistemas de coordenadas polares, entonces

... Tomás .

extremo. Rozrahuvati hasta el final del arco gráfico de funciones. .

Primero vaya a las fórmulas para el área de la superficie del envoltorio, pero en una forma abreviada para la superficie del envoltorio en sí. La superficie de la envoltura, abo, scho esos mismos: la superficie de la envoltura es la figura espaciosa, colocada en las envolturas en la forma AB torcido cerca del eje Buey(La siguiente figura).

Un trapecio claramente curvado, enmarcado en la parte superior por una curva curva. Tilo, encajado en las envolturas del trapecio alrededor del mismo eje Bueyі є tilo envoltura. Y el área de la superficie se envuelve o la superficie se envuelve: el nombre completo del caparazón, no envuelto alrededor del eje recto X = aі X = B .

Sorprendentemente, es solo envoltura y, aparentemente, esta superficie también se puede instalar para envolver figuras que no estén cerca del eje. Buey, y cerca del eje Ay.

Calcular el área de la superficie de la envoltura dada en las coordenadas rectangulares

Ir a las coordenadas en línea recta en el área y = F(X) se da una curva, las vueltas alrededor del eje de coordenadas simplemente se ajustan.

La fórmula para calcular el área de la superficie de la envoltura es la siguiente:

(1).

stock 1. Conozca el área de la superficie del paraboloide, envuelto alrededor del eje Buey arcos de una parábola X desde X= 0 a X = a .

Decisión. Virazimo explícitamente a una función que establece un arco de una parábola:

Sé que perderé toda la función:

Primero, aceleraremos la fórmula para el área conocida de la superficie de la envoltura, escribiremos esa parte del її pіdіntegralny viraz, como є por la raíz, y tal vez sé que solo me iré :

Vista: curva adicional de camino torcido

.

stock 2. Conozca el área de la superficie, cómo fingir estar envuelto alrededor del eje. Buey astroide.

Decisión. Basta contar el área de la superficie, cómo pasar por la envoltura de un gilka del astroide, que se ha expandido al primer cuarto, y multiplicarlo por 2. Es claramente la función del espacio que necesitamos saber sobre el futuro.

.

Integración de Viroblyaєmo de 0 a a:

Cálculo del área de la superficie del envoltorio, dado paramétricamente

El vipadok es claro, si la curva está torcida, envolveré la superficie en la superficie, se establece por equivalentes paramétricos

El área de la superficie de la envoltura se calcula de acuerdo con la fórmula

(2).

stock 3. Conozca el área de la superficie envuelta alrededor del eje. Ay figuri, rodeado por una cicloide que recta y = a... El ciclo viene dado por parámetros paramétricos

Decisión. Conocemos el punto de volcar cicloide y recto. Priryvnyuchi rivnyannya cicloide y rivnyannya recta y = a, sabemos

Vaya, como integrarlo

Ahora podemos arreglar la fórmula (2). Sabemos que es viejo:

Es posible escribir el viraz en la fórmula, dada la pérdida:

Conocemos la raíz del viraz:

.

Por cierto, conocemos la fórmula (2):

.

Instalación de Zrobimo:

Yo, nareshty, se sabe

El viraz reinterpretado de boules vicoristani fórmulas trigonométricas

Vista: superficie para cerramiento de puertas.

Cálculo del área de la superficie de la envoltura dada en las coordenadas polares

Vamos, la curva, las envolturas como la superficie está configurada, está configurada en las coordenadas polares.

¡Les doy la bienvenida, estudiantes Shanovny de VNZ Argemoni!

Aún tres, y el curso habrá terminado, y el eje se ocupará de inmediato.

Chzhouli Trohi hizo un gesto con la mano y, en cada turno, pareció publicar. Más precisamente, la bala es un trapecio recto. Vona simplemente colgaba en el crepúsculo, brillaba con energía mágica, fluía a los lados y también se arremolinaba en el medio del trapecio, a través del cual se derramaba toda la vibración.
Después del fin de semana, las trochas hicieron añicos una gorguera circular con los dedos de sus manos, y el trapecio comenzó a envolverse alrededor del eje invisible. De hecho, todo es mejor y mejor, por lo que, de vez en cuando, la postración se ha vuelto molesta para publicar. Cuando estaba construyendo, la energía mágica estaba creciendo.

Trapilia distante también: los estrechos contornos de la figurilla y el interior empezaron a recordarse como un discurso, la luz se recordaba cada vez menos, pero la figurilla en sí se parecía cada vez más a lo que se veía. Los granos de material se distribuyeron gradualmente de acuerdo con las cifras. El eje І está todo estropeado: envuelto, velas. Por el poder del objeto colgante, similar al virva. Chzhouli empujó con cuidado su yogo sobre el cristal.

Bueno, el eje. Aproximadamente, por lo que es posible materializar una gran cantidad de objetos, una forma envolvente como figuras planas cerca de líneas rectas claras. Obviamente, para la materialización, se necesitan varias palabras, como para memorizar todo el volumen, para fingir y establecerse para una energía mágica adicional durante una hora. Y el eje para que sea lo más preciso posible, con las palabras de la demanda, y es necesario que la nobleza obsyag tila, se deshaga de él. Inakshe, en cuanto se habla poco, es imposible memorizar todo el volumen y solo uno puede hablar alemán, con los vads. Y el material es tan utrimuvati, el gran excedente del habla, todo el vitrati no consumible de energía mágica.
Bueno, ¿y de cuántas palabras estamos hablando? Todi, puedes contar la cantidad de dinero, puedes pensar en ello, como en el tamaño del hasta que puedas crecer sin vitratos especiales de energía mágica.
Excedente del material recibido y del maniquí. ¿Encajará el exceso de habla? ¿Perderse sin tener una copia de seguridad? Chi se pega en tilo abiyak?
Zagalom aquí є sobre qué pensar. Tan pronto como tus pensamientos hayan aparecido con un éxtasis, te escucharé con satisfacción. Y el resto se transferirá al cálculo del obsyag_v tl, otrimanih de esa manera.
Aquí puede ver una pequeña cantidad de vipadks.

Vipadoc 1.

La zona, como nos veremos envueltos, es un trapezoide muy curvo.

Obviamente, envuélvalo solo alrededor del eje OH. Además de un trapecio, destruya el diestro horizontalmente para que OY no vuelque el peso de OY, es posible envolverlo hacia arriba y hacia abajo del eje. Las fórmulas de conjuro para ambos tipos son:

Ya dominamos la magia básica en las funciones, así que para ti, creo que no es importante si necesitas colocar la figura, así que en los ejes de coordenadas, es útil para el robot.

Vipadok 2

Puede envolver no solo el trapecio curvo clásico, sino la figura de un viglyad de este tipo:

Cuando se envuelve, podemos hacer una envoltura gratis. Y habiendo movido la figura al área positiva, podemos envolverla y comenzar con el eje OY. Tezh otrimaєmo kіlce chi nі. Todos se acuestan por el hecho de que la figura crece: si pasa la línea exactamente a lo largo del eje OY, entonces el círculo no irá. Razrahuvati obsyachi tal envoltura hasta es posible, vicoristyuchi tal encantamiento:

Vipadok 3.

Sgadaimo, tenemos curvas milagrosas, así que, cómo preguntarnos no de una manera que llamamos, sino de una vista paramétrica. Estas curvas suelen estar cerradas. El parámetro t es culpable de cambiar por tal rango, cuando la figura se cierra cuando gira alrededor de las curvas (límites), no hay maldad.

Todi para el cálculo del volumen de la envoltura alrededor del eje del OH o OY requiere un vicoristovuvati tal hechizo:

Las fórmulas pueden salir victoriosas en forma de curvas no cerradas: si la infracción se encuentra en el eje OX, el eje OY. Figura de alguna manera para ir cerrado:

Vipadoc 4.

Parte de las curvas extrañas se establecen mediante coordenadas polares (r = r (fi)). La primera figura se puede envolver alrededor del eje polar. Al mismo tiempo, el sistema de coordenadas cartesianas se moverá a la polar y alineará
x = r (fi) * cos (fi)
y = r (fi) * sin (fi)
En tal rango, llegamos a la forma paramétrica de una curva, de la cual el parámetro fi se encarga de cambiar de modo que cuando se da la vuelta a la región curva, se pierde la mano.
I corystus con fórmulas de encantamiento 3.

Sin embargo, para la caída de las coordenadas polares є і, se conjura su propia fórmula:

Obviamente, las figurillas planas se pueden enrollar hacia arriba y hacia abajo, no solo en los ejes OX y OY, sino también en los ejes de OX y OY, sino también para la manipulación de los pliegues, que se entrelazan con estos vapores, que aparecerán en las conferencias.

Y de una vez tarea... No les daré cifras específicas. Ya hemos desarrollado funciones ricas, y quiero hacerlo, pero tú mismo has diseñado de la misma manera que puedes conocer en la práctica mágica. Creo que el chotiroh aplicado a todas las instrucciones de la conferencia será suficiente.

Como hemos perdido la serpiente geométrica de la integral cantada, tenemos una fórmula, para la cual se puede conocer el área del trapecio curvo, bordeado por la abscisa, por líneas rectas. x = a, x = b, así como una función ininterrumpida (no muy positiva) y = f (x). De alguna manera podemos poner una función que entrelaza una figura, un viglyad paramétrico, tobto. pasar el rato funcionalidad a través del parámetro t. Dentro del marco del material dado, se muestra cómo se puede conocer el área de la figurilla, si está rodeada por una curva dada paramétricamente.

Para la explicación de la teoría y la introducción de las fórmulas, seleccionamos unos topes característicos para cambiar el área de dichos ítems.

La fórmula básica para calcular

Suponga que tenemos є trapecio curvo, entre las rectas x = a, x = b, eje O x y la curva x = φ (t) y = ψ (t) está paramétricamente dada, y la función x = φ (t ) і y = ψ (t) sin interrupción en el intervalo α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Valor empresarial 1

Para calcular el área del trapecio para tales mentes, es necesario usar la fórmula S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.

Hemos mostrado la fórmula para el área del trapezoide curvo S (G) = ∫ a b f (x) d x por el método de sustitución x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ una segundo f (x) re x = ∫ α β ψ (t) re (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) re t

Valor empresarial 2

Vrahoyuchi cambio monótono en la función x = φ (t) en el intervalo β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Si la función x = φ (t) no se aplica a los elementos básicos, entonces necesitaremos establecer las reglas básicas para el crecimiento y cambio de la función en el intervalo, lo cual es importante, si crecerá o disminuirá.

Al mismo tiempo, se le quitan todos los puntos a la pizca de la receta de la fórmula, la dieta vivedeno.

Trasero 1

Umova: conoce el área de la figurilla, que establecerá la línea, se da en la forma x = 2 cos t y = 3 sin t.

Decisión

La línea se establece de forma paramétrica. Gráficamente, se puede visualizar en una vista de elipse con dos pares de ejes 2 y 3. Div en іlustratsіyu:

Intentaré conocer el área 1 4 del otriman figuri, el yaka ocupa el primer cuadrante. La región está ubicada en el intervalo x ∈ a; b = 0; 2. La distancia se multiplica por el valor de 4 y se sabe que es el área de toda la figura.

El eje fue invadido por nuestros números:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

En k, donde la carretera es 0, podemos aceptar el intervalo β; α = 0; π 2. La función x = φ (t) = 2 cos t disminuirá monótonamente sobre una nueva base (el informe se da en el artículo div. Sobre las funciones elementales básicas y el poder). Además, es posible fijar la fórmula para calcular el área y conocer la integral singular, la fórmula vicorista de Newton-Leibnitz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Esto significa que el área de la figura, dada por la curva hacia afuera, es S (G) = 4 3 π 2 = 6 π.

Me gusta: S (G) = 6 π

Para ser más precisos, al resolver tareas, es posible tomar no menos de un cuarto de elipse, y la segunda mitad, hacia arriba y hacia abajo. La mitad se soldará en el intervalo x ∈ a; b = - 2; 2. Tenemos muchos problemas con nosotros:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

En tal rango, cuando k es igual a 0, se rechazó β; α = 0; π. La función x = φ (t) = 2 cos t disminuirá monótonamente al mismo intervalo.

Déjame contar el área de la mitad de la elipse:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Es importante que sea posible tomar solo la parte superior y la parte inferior, pero la parte derecha no es posible.

Es posible establecer la alineación paramétrica de esta elipse, cuyo centro se moverá a la mazorca de coordenadas. Wono matime viglyad x = a cos t y = b sen t. Diyuchi por lo que es, como en la culata, podemos aceptar la fórmula para calcular el área de la elipse S elip a = πab.

Puede establecer el centro de la costura en la mazorca de coordenadas, es posible un ajuste adicional x = R · cos t y = R · sen t, parámetro de t є y R - el radio de la estaca dada. Tan pronto como usamos la fórmula para el área de la elipse, aceptamos la fórmula, para la cual podemos calcular el área de la estaca con el radio R: S ap y r a = πR 2.

Recoge una zavdannya más.

Trasero 2

Umova: saber, por qué es el área de la figuri, el yak está rodeado por una curva dada paramétricamente x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Decisión

De inmediato se aclara que la curva astroide es muy curvada. Llame a astroida para que gire para obtener una forma igual adicional x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Ahora que el informe ha sido recogido, yak estará tan torcido. Viconaєmo me quedaré detrás de los puntos circundantes. El método más popular, que se puede utilizar para grandes empresas. Más trasero plegable para realizar el cálculo diferencial, crear una función paramétrica.

Tenemos x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Estas funciones se basan en los valores de todos los valores válidos t. Para el pecado, porque vіdomo, cómo el hedor є período periódico y їх se convierte en 2 pі. Habiendo calculado los valores de las funciones x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t para las acciones t = t 0 ∈ 0; 2 π 8, π 4, 3 π 8, π 2 ,. ... ... , 15 ? 8, se puede ver en el punto x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)).

Tabla de almacén de valores pidsumkovyh:

Escribir una serie de puntos claramente requeridos en el área y de una línea a otra.

Ahora necesitamos saber el área de esta parte del figuri, que se encuentra en la primera coordenada cuatro. Para ello, x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Si k caminos son 0, entonces veremos un intervalo β; α = 0; π 2 і función x = φ (t) = 3 cos 3 t decreciendo monótonamente en un nuevo nivel. Ahora tomamos la fórmula para el área que es importante:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Tenemos cantando integrales, que se puede calcular con la ayuda de la fórmula de Newton-Leibnitz. Para toda la fórmula, podemos saber que la fórmula recursiva J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x), de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Virahuvali el cuadrado de las cuatro figurillas. Carretera ganada 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16-15 π 96 = 9 π 16.

Si multiplicamos el valor por 4, el área total de todas las figuras es 9 π 4.

Entonces nosotros mismos podemos traer, que el área de astrocia, dada por el igual x = a cos 3 ty = a sin 3 t, se puede encontrar mediante la fórmula que está rodeada por una línea x = a cos 3 ty = b sin 3 t que se utilizará para la fórmula S = 3 πab 8.

Yaksho Vi ha marcado un perdón en el texto, sea comadreja, vea y natisnit Ctrl + Enter