Матаналіз простою мовою. Вища математика для чайників чи з чого почати? Що таке функція в математиці

01.01.2021

Нагромадження страшних формул, посібники з вищої математики, які відкриєш і відразу закриєш, болісні пошуки рішення здавалося б дуже простий завдання…. Подібна ситуація не рідкість, особливо коли підручник з математики востаннє відкривався у далекому 11 класі. А тим часом у ВНЗ навчальні плани багатьох спеціальностей передбачають вивчення всіма улюбленою вищою математикою. І в цій ситуації нерідко відчуваєш себе повним чайником перед нагромадженням жахливої математичної абракадабри. Причому, схожа ситуація може скластися щодо будь-якого предмета, особливо з циклу природничих наук.

Що робити? Для студента-очника все значно простіше, якщо, звичайно, предмет не запущений. Можна проконсультуватися у викладача, одногрупників та й просто списати у сусіда по парті. Навіть повний чайник у вищій математиці за таких розкладів сесію переживе.

А якщо людина навчається на заочному відділенніВНЗ, і вища математика, м'яко кажучи, навряд чи знадобиться в майбутньому? До того ж немає часу на заняття. Так воно, в більшості випадків так, але ніхто не скасовував виконання контрольних робіт і складання іспиту (найчастіше, письмового). З контрольними роботами з вищої математики все простіше, чи чайник, чи не чайник – контрольну роботу з математики можна замовити. Наприклад, у мене. І з інших предметів теж можна замовити. Вже не тут. Але виконання та здавання на рецензію контрольних робіт ще не призведе до заповітного запису в заліковій книжці. Часто буває, що витвір мистецтва, виконаний на замовлення, потрібно захищати, і пояснити, чому з цих літер випливає та формула. Крім того, чекають іспити, а там уже доведеться вирішувати визначники, межі та похідні САМОСТІЙНО. Якщо, звичайно, викладач не приймає цінних подарунків, чи ні найнятого доброзичливця за стінами аудиторії.

Дозвольте, дам дуже важлива порада. На заліках, іспитах з точних і природничих наук Дуже важливо хоч щось розуміти. Запам'ятайте, хоч щось. Повна відсутність розумових процесів просто дратує викладача, мені відомі випадки, коли студентів-заочників загортали по 5-6 разів. Пам'ятається, один молодик здавав контрольну роботу 4 рази, і після кожної перездавання звертався до мене за безкоштовною гарантійною консультацією. Зрештою, я помітив, що у відповіді він замість літери «пі» писав літеру «пе», за що й були жорсткі санкції з боку рецензента. Студент НАВІТЬ НЕ ХОТІВ ВНИКАТИ в завдання, яке він недбало переписав

Можна бути повним чайником у вищій математиці, але дуже бажано знати, що похідна константи дорівнює нулю. Тому що, якщо Ви відповісте якусь дурість на елементарне питання, то велика ймовірність того, що на цьому навчання у ВНЗ для Вас закінчиться. Викладачі набагато прихильніше ставляться до того студента, який ХОЧЕ НАМАГАЄТЬСЯ розібратися в предметі, до того, хто, хай і помилково, але намагається щось вирішити, пояснити або довести. І це твердження є справедливим для всіх дисциплін. Тому слід рішуче відсунути позицію «я нічого не знаю, нічого не розумію».

Друга важлива порада – відвідувати лекції, навіть якщо їх небагато. Про це я вже згадував на головній сторінці сайту Математика для заочників. Повторюватися немає сенсу, чому це дуже важливо, читайте там.

Отже, що робити, якщо на носі залік, іспит з вищої математики, а справи плачевні - стан повного, а точніше кажучи, порожнього чайника?

Один із варіантів – найняти репетитора. З найбільшою базою репетиторів можна ознайомитись (переважно, Москва) або (переважно, Санкт-Петербург). За пошуковою системою можна знайти репетитора у своєму місті, або подивитися місцеві рекламні газети. Ціна на послуги репетитора може змінюватись від 400 і більше рублів за годину в залежності від кваліфікації викладача. Слід зазначити, що дешево це не означає погано, особливо якщо у Вас непогана математична підготовка. У той же час за 2-3К рублів Ви й отримаєте НЕМАЛО. Даремно таких грошей ніхто не бере, і даремно таких грошей ніхто не платить;-). Єдиний важливий момент– намагайтеся обрати репетитора з профільною педагогічною освітою. І справді, ми ж не ходимо за юридичною допомогою до стоматолога.

У Останнім часомнабирає популярності сервіс онлайн репетиторів. Він дуже зручний, коли необхідно терміново вирішити одну-дві задачі, розібратися в темі або підготуватися до іспиту. Безумовною перевагою є ціни, які у кілька разів нижчі, ніж у офлайн репетитора + економія часу на проїзд, що є особливо актуальним для мешканців мегаполісів.

У курсі вищої математики деякі речі без репетитора освоїти дуже важко, потрібне саме «живе» пояснення.

Тим не менш, у багатьох типах завдань цілком можна розібратися самостійно, і мета даного розділу сайту – навчити Вас вирішувати типові прикладита завдання, які практично завжди зустрічаються на іспитах. Більше того, для низки завдань існують «жорсткі» алгоритми, де від правильного рішення взагалі «нікуди не подітися». І, в міру моїх знань, я спробую Вам допомогти, тим більше є педагогічна освіта та досвід роботи зі спеціальності.

Почнемо розгрібати математичні абракадабри. Нічого страшного, навіть якщо Ви чайник, вища математика - це дійсно просто і доступно.

А почати треба з повторення шкільного курсуматематики. Повторення – мати муки.

Перш ніж, Ви приступите до вивчення моїх методичних матеріалів, та й взагалі приступите до вивчення будь-яких матеріалів з вищої математики, я насправді рекомендую, прочитати нижченаведене .

Для того щоб успішно вирішувати завдання з вищої математики НЕОБХІДНО:

ЗАПАСІТЬСЯ МІКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ.

З програм - Ексель (відмінний вибір!). Мануал для «чайників» я завантажив у бібліотеку.

Чи є? Вже добре.

– Від перестановки доданків – сума не змінюється: .
А ось це зовсім різні речі:

Переставляти «ікс» та «четвірку» просто так не можна. Заодно згадуємо культову літеру "ікс", яка в математиці позначає невідому або змінну величину.

– Від перестановки множників – твір не змінюється: .
З поділом такий фокус не пройде, і це два зовсім різні дроби і перестановка чисельника зі знаменником без наслідків не обходиться.
Також згадуємо, що знак множення («точки») найчастіше прийнято не писати: ,

– Згадуємо правила розкриття дужок:
– тут знаки у доданків не змінюються
- А тут міняються на протилежні.
І для множення:

Взагалі, достатньо пам'ятати, що ДВА МІНУСУ ДАЮТЬ ПЛЮС, а ТРИ МІНУСУ – ДАЮТЬ МІНУС. І, постаратися при вирішенні завдань з вищої математики в цьому не заплутатися (дуже часта і прикра помилка).

– Згадуємо приведення подібних доданків, Ви повинні добре розуміти таку дію:

– Згадуємо що таке ступінь:

, , , .

Ступінь – це лише звичайне множення.

–Згадуємо, що дроби можна скорочувати: (Скоротили на 2), (Скоротили на п'ять), (Скоротили на ).

– Згадуємо дії з дробами:

а також дуже важливе правилоприведення дробів до спільного знаменника:

Якщо ці приклади малозрозумілі, дивіться шкільні підручники.
Без цього ТУГО буде.

ПОРАДА: усі ПРОМІЖНІ обчислення у вищій математиці краще проводити в ЗВИЧАЙНИХ ПРАВИЛЬНИХ І НЕПРАВИЛЬНИХ ДРОБЯХ, навіть якщо будуть виходити страшні дроби на кшталт . Ось цей дріб НЕ ТРЕБА представляти у вигляді , і, тим більше, НЕ ТРЕБА ділити на калькуляторі чисельник на знаменник, отримуючи 4,334552102….

ВИКЛЮЧЕННЯМ з правила є кінцева відповідь завдання, тоді якраз краще записати або .

– Рівняння. У нього є ліва частина та права частина. Наприклад:

Можна перенести будь-який доданок в іншу частину, змінивши у нього знак:
Перенесемо, наприклад, всі складові в ліву частину:

Або в праву:

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в цій статті, ми розповімо про це. Не заглиблюватимемося в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектована у зошитах. Якщо цього немає, то можна почитати підручники взяті в бібліотеці навчального закладуабо інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливе у вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленням і зрозумієте зв'язок між межею та інтегралом. У цьому матеріалі будуть розглянуті прості приклади, а також способи їх вирішення.

Приклади рішень

Приклад 1
Обчислити а) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Рішення
а) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Нам часто надсилають ці межі із проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладом і пояснити, що ці межі необхідно просто запам'ятати, як правило. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!
Відповідь
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( б))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Приклад 3
Вирішити $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Рішення
Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ у вираз, що стоїть під знаком межі. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Що тепер далі? Що ж має вийти у результаті? Оскільки це невизначеність, це ще відповідь і продовжуємо обчислення. Так як у чисельники у нас багаточлен, то розкладемо його на множники, допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Згадали? Чудово! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :) Отримуємо, що чисельник $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продовжуємо вирішувати враховуючи вищенаведене перетворення: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Відповідь
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Спрямуємо межу останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Приклад 5
Обчислити $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Рішення
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, бо неможливе – можливо. Потрібно винести за дужки і в чисельнику і в знаменнику ікс, а потім скоротити його. Після цього межу спробувати обчислити. Пробуємо... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи місце х нескінченність отримуємо: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Відповідь
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підіб'ємо підсумок розібраним прикладам і складемо алгоритм розв'язання меж:

Підставити точку х вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певне число, або нескінченність, то межа вирішена повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль", потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити такі. Підставити точку х у вираз, що стоїть під знаком межі.
Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Скорочуємо ікси. Підставляємо значення ікса з-під межі в вираз, що залишився.

У цій статті Ви ознайомилися з основами вирішення меж, які часто використовуються в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спочатку необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, ступеня, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо Вам не вдається самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!

У категорії Математичний аналіз зібрані безкоштовні онлайн відео уроки на цю тему. Математичний аналіз – це сукупність розділів математики, які займаються вивченням функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислення. Сюди відносяться: функціональний аналіз, включаючи теорію інтеграла Лебега, комплексний аналіз(ТФКП), що вивчає функції, задані на комплексній площині, теорія рядів та багатовимірних інтегралів, нестандартний аналіз, що вивчає нескінченно малі та нескінченно великі числа, векторний аналіз, а також варіаційне обчислення. Вивчення математичного аналізу з відео уроків буде корисно як початківців, так досвідчених математиків. Відеоуроки з рубрики Математичний аналіз Ви можете дивитися безкоштовно у будь-який зручний час. До деяких відео уроків з математичного аналізу додано додаткові матеріали, які можна завантажити Приємного навчання!

Усього матеріалів: 12
Показано матеріалів: 1-10

Що таке похідна функції

Хочете дізнатися, що таке похідна функції математики? Ти звичайно багато разів чув про похідну і навіть, напевно, брав цю похідну в школі, зовсім не розуміючи сенсу своїх дій. У цьому відео я не навчатиму тебе формул, а поясню сенс похідної на пальцях так, щоб навіть круглому чайнику було зрозуміло. Але спочатку тобі краще подивитися моє попереднє відео, де я також доступно розповідаю про функції. У цьому відеоуроці ми просто, зрозуміло і наочних прикладах життя...

Введення у аналіз. Потужність множин

Онлайн урок «Вступ до аналізу. Потужність множин» присвячений питанню такого поняття як потужність множин. Це питання стосується кількісної характеристики множин. Якщо безліч звичайно, можна говорити про кількість його елементів. Але як бути з нескінченними множинами? Адже в цьому випадку не буде поняття більше чи менше. Для вирішення цього завдання вводиться таке поняття, як потужність. Потужність - це інструмент кількісного порівняння нескінченних множин. У цьому занятті дається...

Межа функції у точці - визначення, приклади

У цьому онлайн уроці розповідається про таке поняття як межа функції у точці – визначення, приклади. Більшість елементів дослідження функцій спираються на поняття межі функції. Тут буде розглянуто межу функції у точці на простому прикладі, після чого буде дано строго визначення межі функції в точці з докладною ілюстрацією на графіку для кращого засвоєння матеріалу. На цьому занятті також розглядаються інші приклади, і сформульовано суворе визначення односторонніх...

Збіжність статечних рядів - приклад як знайти область збіжності, дослідження

У цьому відео уроці розповідається про таке поняття як збіжність статечних рядів, як знайти область збіжності, дослідження. Ступіньовий ряд - це окремий випадок функціонального ряду, коли його члени статечні функціїаргументу x. Область збіжності є всі значення змінної x, у яких відповідні числові ряди сходяться. Для дослідження можна використовувати ознаку Даламбера і за допомогою нього показати, що статечний ряд сходиться або розходиться, і при...

Що таке первісна

У цьому відео я розповім тобі про первісну, яка є близькою родичкою похідною. Насправді ти про неї і так уже майже все знаєш, якщо переглянув мої попередні відео, і нам залишилося тільки розставити крапки над i. Первісна - це «батьківська» функція для похідної. Знайти первісну - це означає відповісти на запитання: а чия дитина? Якщо відома донька, то ми маємо знайти маму. Раніше ми навпаки шукали доньку по заданій мамі. Зараз ми робимо зворотний перехід - від...

Геометричний зміст похідної

У цьому відео я розповім про геометричне значення похідної. Ти дізнаєшся, що геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна та кут нахилу дотичної - це майже одне й те саме. Я говорю «майже» тому що похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної. Можна вважати, що похідна та нахил дотичної – вони тісно пов'язані. Якщо кут нахилу великий, те й похідна велика, а функція у цій точці різко зростає. Якщо кут нахилу маленький, то й похідна...

Що таке функція в математиці

Бажаєте дізнатися, що таке функція в математиці? У цьому відеоуроці ми просто і зрозуміло, з використанням графічних ілюстрацій і на наочних життєвих прикладах розповімо, що таке функція, що таке її аргумент, які бувають функції (зростаючі, спадні, змішані), як можна задати функцію (за допомогою графіка, таблиці, формули). Ви побачите, що залежність, яка показує, як одна величина пов'язана з іншою величиною, називається функцією. Будь-яка функція – це зв'язок між величинами...

Межа функції на нескінченності - визначення, приклади

Урок "Межа функції на нескінченності - визначення, приклади" присвячений питанню про те, що таке межі на нескінченності. Більшість елементарних функцій визначено для будь-коли великого значенняаргументу. І тут важливо знати поведінка функції на нескінченності. Один із елементів дослідження такої поведінки є знаходження межі функції на нескінченності. Хоча нескінченність не є числом, і їй не відповідає жодна точка на числовій прямій, визначення межі на...

А якщо людина навчається на заочному відділенні ВНЗ, і вища математика, м'яко кажучи, навряд чи знадобиться в майбутньому? До того ж немає часу на заняття. Так воно, в більшості випадків так, але ніхто не скасовував виконання контрольних робіт і складання іспиту (найчастіше, письмового). З контрольними роботами з вищої математики все простіше, чи чайник, чи не чайник – контрольну роботу з математики можна замовити. Наприклад, у мене. І з інших предметів теж можна замовити. Вже не тут. Але виконання та здавання на рецензію контрольних робіт ще не призведе до заповітного запису в заліковій книжці. Часто буває, що витвір мистецтва, виконаний на замовлення, потрібно захищати, і пояснити, чому з цих літер випливає та формула. Крім того, чекають іспити, а там уже доведеться вирішувати визначники, межі та похідні САМОСТІЙНО. Якщо, звичайно, викладач не приймає цінних подарунків, чи ні найнятого доброзичливця за стінами аудиторії.

Дозвольте, дам дуже важливу пораду. На заліках, іспитах з точних і природничих наук Дуже важливо хоч щось розуміти. Запам'ятайте, хоч щось. Повна відсутність розумових процесів просто дратує викладача, мені відомі випадки, коли студентів-заочників загортали по 5-6 разів. Пам'ятається, один молодик здавав контрольну роботу 4 рази, і після кожної перездавання звертався до мене за безкоштовною гарантійною консультацією. Зрештою, я помітив, що у відповіді він замість літери «пі» писав літеру «пе», за що й були жорсткі санкції з боку рецензента. Студент НАВІТЬ НЕ ХОТІВ ВНИКАТИ в завдання, яке він недбало переписав

Один із варіантів – найняти репетитора. З найбільшою базою репетиторів можна ознайомитись (переважно, Москва) або (переважно, Санкт-Петербург). За пошуковою системою можна знайти репетитора у своєму місті, або подивитися місцеві рекламні газети. Ціна на послуги репетитора може змінюватись від 400 і більше рублів за годину в залежності від кваліфікації викладача. Слід зазначити, що дешево це не означає погано, особливо якщо у Вас непогана математична підготовка. У той же час за 2-3К рублів Ви й отримаєте НЕМАЛО. Даремно таких грошей ніхто не бере, і даремно таких грошей ніхто не платить;-). Єдиний важливий момент – намагайтеся обрати репетитора з профільною педагогічною освітою. І справді ми ж не ходимо за юридичною допомогою до стоматолога.

Останнім часом набирає популярності сервіс онлайн репетиторів. Він дуже зручний, коли необхідно терміново вирішити одну-дві задачі, розібратися в темі або підготуватися до іспиту. Безумовною перевагою є ціни, які у кілька разів нижчі, ніж у офлайн репетитора + економія часу на проїзд, що є особливо актуальним для мешканців мегаполісів.

У курсі вищої математики деякі речі без репетитора освоїти дуже важко, потрібне саме «живе» пояснення.

Тим не менш, у багатьох типах завдань цілком можна розібратися самостійно, і мета даного розділу сайту – навчити Вас вирішувати типові приклади та завдання, які практично завжди зустрічаються на іспитах. Більше того, для низки завдань існують «жорсткі» алгоритми, де від правильного рішення взагалі «нікуди не подітися». І, в міру моїх знань, я спробую Вам допомогти, тим більше є педагогічна освіта та досвід роботи зі спеціальності.

А розпочати треба з повторення шкільного курсу математики. Повторення – мати муки.

Для того щоб успішно вирішувати завдання з вищої математики НЕОБХІДНО:

ЗАПАСІТЬСЯ МІКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ.

З програм - Ексель (відмінний вибір!). Мануал для «чайників» я завантажив у бібліотеку.

Чи є? Вже добре.

– Від перестановки доданків – сума не змінюється: .
А ось це зовсім різні речі:

– Згадуємо приведення подібних доданків, Ви повинні добре розуміти таку дію:

– Згадуємо що таке ступінь:

, , , .

Ступінь – це лише звичайне множення.

–Згадуємо, що дроби можна скорочувати: (Скоротили на 2), (Скоротили на п'ять), (Скоротили на ).

– Згадуємо дії з дробами:

а також дуже важливе правило приведення дробів до спільного знаменника:

Якщо ці приклади малозрозумілі, дивіться шкільні підручники.
Без цього ТУГО буде.