1. naloga. Z'yasuvati, chi є sistem vektorjev je linearno neodvisen. Sistem vektorjev bo postavljen z matriko sistema, katere stolpce seštejemo iz koordinat vektorjev.

.

Rešitev. Pridi kombinacija enaka nič. Ko zapišemo vrednost v koordinatah, bomo vzeli sistem izravnave:

.

Takšen sistem enakih se imenuje trikut. Obstaja samo ena rešitev . Oče, vektorji linearno neodvisna.

2. naloga. Z'yasuvati, chi є linearno neodvisen sistem vektorjev.

.

Rešitev. vektorji linearno neodvisna (razdel. problem 1). Recimo, da je vektor linearna kombinacija vektorjev . Koeficienti porazdelitve po vektorjih vynachayutsya iz sistema enako

.

Sistem Tsya, tako kot trikutna, predstavlja eno rešitev.

Oče, sistem vektorjev linearno leha.

spoštovanje. Matrike te vrste, kot v nalogi 1, se imenujejo zapleteno , In v nalogi 2 - pogosto zapleteno . Pri informacijah o linearnosti sistema vektorjev je enostavno zmotiti, saj je matrika sestavljena iz koordinat teh vektorjev in je pogosto zapletena. Če matrica nima posebne oblike, potem za pomoč elementarna transformacija vrstic , Scho zberіgayut linearno spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її je mogoče zmanjšati na podobno zapleten videz.

Elementarne transformacije vrstic matrike (EPC) se imenujejo takšne operacije na matriki:

1) permutacija vrstic;

2) množenje vrstice na dano ničelno število;

3) dodatek k vrstici naslednje vrstice, pomnožen z določeno številko.

3. naloga. Poiščite največji linearno neodvisen podsistem in izračunajte rang vektorskega sistema

.

Rešitev. Usmerimo matriko sistema po pomoči EPC na podobno-pogosto zapleten videz. Da bi pojasnili vrstni red dneva, se vrstica s številko pretvori v matriko s smiselnim simbolom. Na zadnji strani stolpca so puščice prikazane nad vrsticami, matrike se preoblikujejo, kot da je za odstranitev vrstic nove matrike potreben viconate.

.

Očitno je, da sta prva dva stolpca odstranjene matrike linearno neodvisna, tretji stolpec je linearna kombinacija, četrtega stolpca pa ni mogoče najti v prvih dveh. vektorji se imenujejo osnovni. Vzpostavljajo maksimalno linearno neodvisen podsistem sistema , In rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

4. naloga. Poiščite osnovo in koordinate vektorjev v tej osnovi na anonimnih geometrijskih vektorjih, katerih koordinate ugajajo umu .

Rešitev. Brezlich je ravno, scho za prehod skozi storž koordinat. Dodatna osnova na ravnini je sestavljena iz dveh nekolinearnih vektorjev. Koordinate vektorjev v obrnjeni bazi so pripisane rešitvam ustreznega sistema linearnih poravnav.

Іsnuє th іnshіy sposіb vyvіshennya tsgogo zavdannya, če lahko poznate osnovo za koordinate.

koordinate prostor niso koordinate na stanovanju, zato smrad , Tobto ni neodvisen. Neodvisne spremenljivke i (smrad se imenujejo proste) enolično dodelijo vektor na območju i, tako da jih je mogoče vzeti s koordinatami. enaka osnova je sestavljen iz vektorjev, ki ležijo v i različnih nizih v prostih spremenljivkah і , potem .

5. naloga. Poišči osnovo in koordinate vektorjev v tej bazi na neosebnih vseh vektorjih v prostoru, ki imajo med seboj enake neparne koordinate.

Rešitev. Vibero, tako kot jaz v nalogi za naprej, koordinira v prostoru.

tako jag , To se bo spremenilo enolično dodeli vektorju koordinate z і, otzhe, є. Spremenljiva osnova je sestavljena iz vektorjev.

6. naloga. Poišči osnovo in koordinate vektorjev v tej bazi na neosebnih vseh matrikah v obliki , de - kar nekaj.

Rešitev. Matrika kože s je edinstveno predstavljena na prvi pogled:

Tse spіvvіdnoshennia є razladannyam vektor z na podlagi
s koordinatami .

7. naloga. Spoznajte širitev in osnovo linearne ovojnice vektorskega sistema

.

Rešitev. Pretvorimo s pomočjo matrike EPC iz koordinat vektorja v sistemu v podobno zapleten videz.

.

stovptsi preostale matrike so linearno neodvisne, preostale pa matrike linearno upognite skozi njih. Oče, vektorji vzpostaviti osnovo , і .

spoštovanje. osnova v izbrani dvoumno. Na primer vektor vzpostaviti tudi osnovo .

Imenovanje 1. Sistem vektorjev imenujemo linearno uparjen, saj je eden od vektorjev sistema lahko predstavljen z linearno kombinacijo drugih vektorjev v sistemu, linearno neodvisen pa v drugi smeri.

Imenovanje 1'. Sistem vektorjev se imenuje linearna leža, saj obstajajo številke h 1 , h 2 , …, h k, niso vsi enaki nič, tako da je linearna kombinacija vektorjev z danimi koeficienti enaka nič vektorju: =, v drugem primeru sistem imenujemo linearno neodvisen.

Pokazalo se bo, da so vrednosti enakovredne.

Izberimo oznako 1, potem je eden od vektorjev v sistemu dobra linearna kombinacija drugih:

Linearna kombinacija sistema vector_v na nič vektorja, poleg tega pa skupaj obsіzі kofіtsієnti tsієї vієї komіnatsії pojdi na nič, nato vykonuєtsya vznachennya 1 '.

Naj osvojijo sestanek 1'. Linearna kombinacija sistema vektorjev je dražja, na splošno pa so koeficienti kombinacije enaki nič, na primer koeficienti vektorja.

Eden od vektorjev v sistemu je bil predstavljen v navidezno linearni kombinaciji drugih, tako da je vektor 1.

Imenovanje 2. Imenuje se en sam vektor ali vektor vektor n-sveta, WHO jaz-ta koordinata je enaka eni, reshta pa nič.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Izrek 1. Različni posamezni vektorji n mirna širina linearno neodvisna.

Prinašanje. Naj linearna kombinacija teh vektorjev z zadostnimi koeficienti doseže ničelni vektor.

Z ієї rіvnostі vyplivaє, scho vse koefіtsієnti dorivnyuyut nič. Sneli so ga.

usnjeni vektor n miren prostor ā (ampak 1 , ampak 2 , ..., ampak n) lahko obstajajo predstavitve za linearno kombinacijo posameznih vektorjev s koeficienti, ki so enaki koordinatam vektorja

2. izrek. Če naj sistem vektorjev nadomesti ničelni vektor, potem je linearno neodvisen.

Prinašanje. Naj bo podan sistem vektorjev i eden od vektorjev ê null, na primer =. Torej je z vektorji tega sistema mogoče dodati linearno kombinacijo, enako nič vektorju, in na splošno bodo koeficienti enaki nič:

Otzhe, sistem je linearno zapuščen.

3. izrek. Če je podsistem vektorskega sistema linearno zapuščen, potem je celoten sistem linearno puščen.

Prinašanje. Podan sistem vektorjev. Predvideva se, da je sistem linearno zapuščen, tako da obstajajo številke h 1 , h 2 , …, h r , Niso vsi enaki nič, torej, sho =. tudi

Izkazalo se je, da je linearna kombinacija vektorjev v vseh sistemih zdrava, poleg tega so na splošno koeficienti kombinacije enaki nič. Prav tako je vektorski sistem linearno uparjen.

Posledica. Tako kot je vektorski sistem linearno neodvisen, je tudi podsistem linearno neodvisen.

Prinašanje.

Sprejemljivo je voditi, tako da je podsistem deak linearno puščen. Iz izreka je razvidno, da je celoten sistem linearno zapuščen. Prišli smo do protirichcha.

izrek 4 (Steinitzov izrek). Kot koža z vektorji in linearno kombinacijo vektorjev in m>n, potem je vektorski sistem linearno uparjen.

Posledica. Za kateri koli sistem vektorjev n-svetov ne more biti več kot n linearno neodvisnih.

Prinašanje. usnje n-mirni vektor se kaže v navidezno linearni kombinaciji n posameznih vektorjev. Ker je sistem za maščevanje m vektor_v i m>n, Potem, za izrek, danemu sistemu linearno leha.

V teh statistikah smo rozpovimo:

• kaj so vektorji Kolіnearnі;
• kako razumeti kolinearnost vektorjev;
• kako ugotoviti moč kolinearnih vektorjev;
• kakšna je linearna pojavnost kolinearnih vektorjev.

sestanek 1

Kolіnearnі vektorji - vektorji tse, kot so vzporednice ena ravna črta ali ležijo na eni ravni črti.

zadnjica 1

Izperite kolinearnost vektorjev

Dva vektorja sta kolinearna, kot da bi zmagal proti napredujočim umom:

• umova 1 . Vektorja a in b sta kolinearna, če je prisotno tako število λ, da je a = λ b;
• umova 2 . Vektorja a in b sta kolinearna z istim nizom koordinat:

a = (a 1; a 2), b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• umova 3 . Vektorja a in b sta kolinearna za inteligenco ustvarjanja vektorja in vektorja nič:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

spoštovanje 1

Umova 2 zastosovuetsya, kot da je ena od koordinat vektorja enaka nič.

spoštovanje 2

Umova 3 zastosovuetsya manj do tihih vektorjev, kot so naloge v vesolju.

Uporabite nalogo za preverjanje kolinearnosti vektorjev

zadnjica 1

Dolіdzhuєmo vektori a = (1; 3) in b = (2; 1) za kolinearnost.

Kako prisegati?

V tem načinu je treba pospešiti 2. mentalno kolinearnost. Za vektorske naloge je videti takole:

Ljubosumje je napačno. Možno je generirati visnovoke tako, da sta vektorja a in b nekolinearna.

dokaz : A | | b

zadnjica 2

Kako je potrebna vrednost m vektorja a = (1; 2) in b = (- 1; m), da sta vektorja kolinearna?

Kako prisegati?

Vykoristovuyuchi drugo mentalno kolinarnost, vektorji bodo kolinearni, zato bodo njihove koordinate sorazmerne:

Vidimo, da je m = - 2.

namig: m = - 2.

Kriteriji za linearno pojavljanje in linearno neodvisnost vektorskih sistemov

izrek

Sistem vektorjev v vektorskem prostoru je linearno neodvisen le v tem primeru, če je mogoče enega od vektorjev v sistemu zaslediti skozi druge vektorje danega sistema.

Prinašanje

Naj bo sistem e 1, e 2,. . . , E n є linearna leha. Zapišimo linearno kombinacijo sistema na ničelni vektor:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + A n e n = 0

v yakіy hoče b eden od koeficientov kombinacije ni enak nič.

Naj bo a k ≠ 0 k ∈ 1, 2,. . . , N.

Dilema, užaljena zaradi dela ljubosumja za koeficient, ki ni nič:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k +. . . + (A k - 1 a n) e n = 0

pomembno:

A k - 1 a m, de m ∈ 1, 2,. . . , K - 1, k + 1, n

V tem smislu:

β 1 e 1 +. . . + Β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + Bn e n = 0

ali e k \u003d (- β 1) e 1 +. . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) e n

Kaže, da je eden od vektorjev sistema projiciran skozi vse druge vektorje sistema. Kaj je bilo potrebno prinesti (ch.t.d.).

zadostnost

Naj je eden od vektorjev linearno povezan skozi vse druge vektorje sistema:

e k = γ 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 +. . . + Γ n e n

Vektor e k se prenese na desni del tehtnice:

0 = γ 1 e 1 +. . . + Γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 +. . . + Γ n e n

Oskіlki koeficient vektorja e k je drag - 1 ≠ 0, imamo netrivialno manifestacijo nič s sistemom vektorjev e 1, e 2,. . . , E n in tse sami po sebi pomenijo, da je dani sistem vektorjev linearno puščen. Kaj je bilo potrebno prinesti (ch.t.d.).

posledica:

• Sistem vektorjev je linearno neodvisen, če se je mogoče premikati skozi vse druge vektorje sistema.
• Sistem vektorjev, na primer za odpravo ničelnega vektorja ali dveh enakih vektorjev, je linearno neodvisen.

Prevlada linearnih vektorjev

1. Za vektorje 2. in 3. sveta zmaga um: dva linearna ležeča vektorja sta kolinearna. Dva kolinearna vektorja - linearni depoziti.
2. Za vektorje 3-svetov so umi zmagovalni: trije linearni vektorji so koplanarni. (3 koplanarni vektorji - linearni depoziti).
3. Za vektorje n-svetov je Umov zmagovit: n + 1 vektor je vedno linearno deponiran.

Rešitev nalog uporabite za linearno neodvisnost ali linearno neodvisnost vektorjev

zadnjica 3

Reverzibilni vektorji a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 za linearno neodvisnost.

Rešitev. Vektorji so linearno neodvisni, majhno število vektorjev je manjše.

zadnjica 4

Reverzibilni vektorji a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 za linearno neodvisnost.

Rešitev. Poznamo vrednosti koeficientov, za katere bo linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Zapišemo vektorsko poravnavo linearne:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ta sistem preverimo po Gaussovi metodi:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Iz 2. vrstice lahko vidite 1., iz 3. vrstice - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Iz 1. vrstice vidimo 2., v 3. dodamo 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Rešitev je očitna, da ima sistem neosebno rešitev. Tse pomeni, da obstaja neničelna kombinacija vrednosti takšnih številk x 1, x 2, x 3, za katere je linearna kombinacija a, b, c enaka ničelnemu vektorju. Otzhe, vektorji a, b, c є linearna ledina. ​​​​​​​

Kako ste se spomnili pomilostitve v besedilu, bodite prijazni, poglejte in pritisnite Ctrl + Enter

Linearna neodvisnost in linearna neodvisnost vektorjev.
Osnova vektorjev. Afini koordinatni sistem

V avditoriju so kozarci s čokoladami, nekaj sladkega korena pa je danes mogoče odstraniti na oko - analitična geometrija z linearno algebro. Ta članek bo razdeljen na dva dela napredna matematika, čudim se, kako smrad sobiva v enem griču. Vzemite si odmor, s'zh "Tviks"! ... prekleto, no, ni spora. Ker hočem dobro, ne bom zadel, na koncu je za trening krivo pozitivno razpoloženje.

Linearna lega vektorjev, linearna neodvisnost vektorjev, vektorska osnova to v. izrazi morda niso le geometrijska interpretacija, ampak predvsem algebraični smisel. Sam koncept "vektorja" z vidika linearne algebre še zdaleč ni enak "superiornemu" vektorju, ki ga lahko upodobimo na ravnini ali v prostoru. Za dokaz ni treba iti daleč, poskusite naslikati vektor petdimenzionalnega prostora . Abo, samo počakaj, za kar sem šel samo na G_smeteo: - temperatura in atmosferski tlak sta dobra. Zadnjica očitno ni pravilna z vidika avtoritete vektorskega prostora, a hkrati nič manj nihče ne ovira formalizacije parametrov in vektorja. Dih jeseni....

Živjo, ne bom vas poskušal zamikati s teorijo, linearnimi vektorskimi prostori, težava je v tem, razumeti definicijo tega izreka. Novi izrazi (linearni depozit, neodvisnost, linearna kombinacija, osnova itd.) se določijo za vse vektorje z vidika algebre, nato pa se uporabijo geometrijski podatki. V tem rangu je vse preprosto, dostopno in na mestu. Krіm zavdan analitična geometrija obravnava in tipične naloge algebre. Za obvladovanje snovi se je treba naučiti lekcije Vektorji za čajnikeі Kako izračunati vyznachnik?

Linearna ledina in neodvisnost vektorja v ravnini.
Ravninska osnova in afini koordinatni sistem

Poglejmo vaše območje računalniška miza(Samo miza, nočne omarice, pіdlogi, steli, kdor potrebuje). Vodja področja v prihodnjih dneh:

1) Izberite osnovo območja. Približno se zdi, da ima slog dolžino in širino, zato je bilo intuitivno razumljeno, da sta za induciranje osnove potrebna dva vektorja. En vektor očitno ni dovolj, trije vektorji so preveč.

2) Na podlagi obrnjene osnove nastavite koordinatni sistem(Koordinatna mreža), da vnesete koordinate vseh, ki so na mizi predmetov.

Ne bodite presenečeni, razlaga bo na prstih. Poleg tega na vašem. Bodi prijazen, odpusti izrazen prst leve roke do roba sloga, tako da sem se čudil monitorju. Tse bo vektor. zdaj shrani mezinec desne roke na robu mize na enak način - shob vin ravnanje na zaslonu monitorja. Tse bo vektor. Smej se, izgledaš čudovito! Kaj lahko rečete o vektorjih? vektorji podatkov kolinearno, kar pomeni linearno obrni enega skozi enega:
, No, abo navpaki:, de - deake številka, vіdmіnne vіd nič.

Na lekciji si lahko ogledate sliko tega dejanja Vektorji za čajnike, De sem razložil pravilo množenja vektorja s številom.

Chi bodo vaši prsti postavili osnovo na računalniško mizo? Očitno ne. Kolіnearnі vektorji in dvig cen tu in tam naprej sam naravnost, pri ravnem pa je golob in širina.

Takšni vektorji se imenujejo linearna ledina.

zaključek: Besede "linearno", "linearno" pomenijo dejstvo, da v matematičnih enačbah, izrazih ni kvadratov, kock, višjih stopnic, logaritmov, sinusov itd. Є tіlki lіnіynі (1. stopnja) zavoj in padca.

Dva območna vektorja linearne depozite takrat in samo takrat, če je smrad kolinearen.

Prekrižite prste na mizi, tako da boste med njimi kot kut, krim 0 ali 180 stopinj. Dva območna vektorjalinearno NE ugar v tem in samo tistem padcu, kot da smrad ni kolinearen. Otzhe, osnova je odvzeta. Ni treba biti dobronameren, da je podlaga pogledov nepravokotno »pokošena« z vektorji različnih dolžin. Kmalu bomo upali, da pri jogi dodatek ni odrezan samo pod kotom 90 stopinj in ne samo sam, enak za vektor dozhina

Be-yaky ploščati vektor en čin razširjeno glede na osnovo:
, De - dіysnі številke. klicne številke vektorske koordinate v tej podlagi.

Tako se zdi vektornastopi na ogled linearna kombinacija baznih vektorjev. Tobto, viraz klic vektorska postavitevosnova oz linearna kombinacija baznih vektorjev.

Na primer, lahko rečemo, da je vektor postavitve na ortonormalni osnovi ravnine, ali pa lahko rečemo, da so predstavitve linearne kombinacije vektorjev.

formulirati dodelitev na osnovo formalno: osnova območja par linearno neodvisnih (nekolinearnih) vektorjev se imenuje, , pri katerem Bodi kot ravninski vektor je linearna kombinacija osnovnih vektorjev.

Suttevly trenutek imenovanja je dejstvo, da so vektorji prevzeti po vrstnem redu pesmi. osnova - tse dve popolnoma različni osnovi! Kot se zdi, mezinca leve roke ni mogoče preurediti na mezinec desne roke.

Izdelali smo osnovo, vendar ni dovolj, da nastavite koordinatno mrežo in dodate koordinate skin objekta v vašo računalniško tabelo. Zakaj ga manjka? Vektorji so prosti in svetijo po celotnem območju. Kako torej dodati koordinate tem majhnim nejasnim točkam na mizi, ki so ostale za sabo po nevihtnih počitnicah? Nujno vodilo. I tak mejnik je vsem znana točka - storž koordinat. Izberemo iz koordinatnega sistema:

Začnite s sistemom "shkіlnoї". Že pri uvodni lekciji Vektorji za čajnike Videl sem dejanja prepoznavanja med pravokotnim koordinatnim sistemom in ortonormalno osnovo. Standardna slika osi:

Ko govorimo o pravokotni koordinatni sistem, Najpomembneje pa je, da nataknete storž koordinat, koordinatno os in merilo vzdolž osi. Poskusite v iskalno polje vtipkati "pravokotni koordinatni sistem" in povedali boste, da vam bodo veliko povedali o poznavanju 5-6. razreda koordinatnih osi in o tem, kako postaviti točke na ravnino.

Po drugi strani pa obstaja učinek, da je pravokotni koordinatni sistem mogoče v celoti določiti z ortonormalno osnovo. І tse mayzhe so. Formula, ki zveni kot žaljiv čin:

storž koordinat, і ortonormalno postaviti osnovo Kartezijev pravokotni koordinatni sistem ravnine . Tobto, pravokotni koordinatni sistem vsekakor označeno z eno točko in dvema enojnima ortogonalnima vektorjema. Prav zaradi tega potrebujete fotelj, v katerem imam nave vishche - v geometrijske težave pogosto (čeprav daleč od zavzhd) barva і vektorje, і koordinatne osi.

Mislim, da so vsi to razumeli za dodatno točko (koordinatni storž) in ortonormalno osnovo BODI TOČKE ravnine in BODI TOČKA ravnine lahko dodate koordinate. Figurativno, očitno, "na kvadratu je mogoče vse oštevilčiti."

Ali ste prepričani, da so koordinatni vektorji enojni? Nі, smrad lahko mati dovіlnu ne-nič dovzhina. Poglejmo točko in dva ortogonalna vektorja dokaj neničelne dolžine:

Takšna osnova se imenuje ortogonalno. Koordinatni storž z vektorji določa koordinatno mrežo in naj bo to točka ravnine, pa naj bo to vektor, ki nariše svoje koordinate v tej osnovi. Na primer, chi. Očitno je, da je motnost v tem, da so koordinatni vektorji na vrhu hribažalujejo za različnimi življenji, vіdminnі vіd odinitsі. Takoj, ko so samski enakovredni, se bo pojavila primarna ortonormalna osnova.

! Opomba : V ortogonalni osnovi in ​​tudi nižje v atenskih osnovah se upoštevajo ravnine in prostor ene vzdolž osi duševno. Na primer, v eni enoti vzdolž osi abscise je 4 cm, v eni enoti vzdolž ordinatne osi 2 cm. Te informacije so dovolj, da "nestandardne" koordinate prenesemo v "naše standardne centimetre".

In druga hrana, za katero je res dan odgovor - kaj obov'yazkovo kut med osnovnimi vektorji je kriv za 90 stopinj? Živjo! Kako uskladiti sestanke, osnovne vektorje in napake manj nekolinearno. Vіdpovіdno kut mozhe buti be-yakim, krіm 0 in 180 stopinj.

Točka stanovanja, kot se imenuje storž koordinat, і nekolinearno vektorji, , set afini koordinatni sistem ravnine :

Z drugimi besedami, tak koordinatni sistem se imenuje pletena sistem. Kako uporabiti točke in vektorje na sliko fotelja:

Kot veste, je afinski koordinatni sistem manj priročen, v njem ne morete uporabljati formul vektorjev in vdrіzkіv, kot smo si ogledali drugi del lekcije Vektorji za čajnike, Bogate slane formule, pov'yazanі z skalarno ustvarjanje vektorjev. Potem so pravila za seštevanje vektorja in množenje vektorja s številom poštena, formule za reševanje razdelka v danem kontekstu, pa tudi nasveti za deaking, ki si jih bomo kmalu ogledali.

In visnovok je tak, da ga bomo okrasili z najlepšim vipadkom afinski sistem koordinat je kartezijev pravokoten sistem. Na to njeno, draga, najpogosteje moram pogledati. ... Vtіm, vse v tem življenju je izvedljivo - malo je situacij, v katerih je sama reka Kosokutna (na primer Nabuda іnsha, npr. polarno) koordinatni sistem. Tisti humanoidi se lahko zaljubijo v takšne sisteme =)

Preidimo na praktični del. Vse naloge te lekcije veljajo tako za pravocrtni koordinatni sistem kot za afiniteto zagal. Tukaj ni nič zložljivega, vse gradivo je dostopno šolarjem.

Kako določiti kolinearnost vektorja v ravnini?

Tipična reka. Da bi imeli dva območna vektorja balinanje kolinearno, potrebno in zadostno, schob.Pravzaprav je to koordinatna podrobnost očitne spivvіdnoshennia.

zadnjica 1

a) Reverzni, kolinearni vektorji .
b) Chi vzpostavi osnovo vektorja ?

rešitev:
a) Zakaj, kaj velja za vektorje koeficient sorazmernosti, tako da so zmagale enakosti:

Obov'yazkovo rozpovіm o "pіzhonskoy" raznovidnya zastosuvannya dano pravilo, kot celota uveden v praksi. Ideja je, da določite razmerje in se vprašate, ali boste imeli prav:

Dodajmo delež vіdnosin vіdpovіdnih koordinat vektorіv:

hitro:
, V tem vrstnem redu so ustrezne koordinate sorazmerne,

Nastavitev je mogoče zložiti in zložiti, dragocena možnost:

Za samopreverjanje lahko zasukate situacijo kolinearni vektorji in linearno upognete enega skozi enega. V tej vipadki je mesto enakovrednosti . Njihova pravičnost je zlahka previryaєє z osnovnimi dії z vektorji:

b) Dva vektorja površine izpolnjujeta osnovo, ker nista kolinearna (linearno neodvisna). Dosledzhuєmo o kolinearnosti vektorjev . Zgradimo sistem:

Od prvega enakega, naslednjega, šo, od drugega enakega, škripajočega, šo, zlobnega, sistem je nor(Ni rešitve). Na ta način koordinate vektorjev niso sorazmerne.

visnovok: Vektorji so linearno neodvisni in vzpostavljajo osnovo.

Poenostavljena različica rešitve izgleda takole:

Dodamo delež danih koordinat vektorjev :
, Torej so ti vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

Pokličite to možnost, ne zavrnite pregledovalcev, ampak krivite težavo v mirnih situacijah, če so koordinate enake nič. os takole: . Abo takole: . Abo takole: . Kako lahko delam tukaj prek sorazmerja? (Resnično, ne morete deliti z nič). Iz istega razloga sem preprosto rešitev poimenoval "pizhonsky".

namig: a), b) odobriti.

Majhna ustvarjalna zadnjica za samostojna rešitev:

zadnjica 2

Za katero koli vrednost vektorskega parametra bo kolinearna?

Rešitev ima parameter znanja skozi razmerje.

Uporabljamo algebrski način ponovnega preverjanja kolinearnosti vektorjev, sistematiziramo svoje znanje in peta točka je samo dodamo jogo:

Za dva vektorja v območju enakovredne trdote:

2) vektorji in vzpostaviti osnovo;
3) vektorji NISO kolinearni;

+ 5) oscilator, ki se zloži iz koordinat teh vektorjev, vіdminny vіd nič.

očitno, enakovredna protratilna trdota stopala:
1) vektorski in linearni depoziti;
2) vektorji ne izpolnjujejo osnove;
3) vektorji in kolinearji;
4) vektorje je mogoče linearno povezati enega skozi enega;
+ 5) vektor, ki se zloži iz koordinat teh vektorjev, kar vodi do nič.

V to sem vedno bolj prepričan danem trenutku ste že razumeli vse pogoje in potrditev.

Poglejmo si podrobneje nov, peti odstavek: dva območna vektorja kolіnearnі thodі і tіlki tіlki todі, če se vyznachnik, zloži iz koordinat teh vector_v, do_vnyuє nič:. Da bi ustavili te znake, se je seveda treba spomniti poznajo vizionarje.

očitno Primer 1 na drugačen način:

a) Izračunavanje števila vektorjev, seštevanja iz koordinat vektorjev :
, Torej, dani vektorji so kolinearni.

b) Dva vektorja površine izpolnjujeta osnovo, ker nista kolinearna (linearno neodvisna). Izračunavanje števila vektorjev, seštevanja iz koordinat vektorjev :
, Vektorji so torej linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

namig: a), b) odobriti.

Izgleda bistveno bolj kompakten in privlačen, nižja ločljivost z razmerji.

S pomočjo pregledanega gradiva je mogoče ugotoviti ne le kolinearnost vektorjev, temveč tudi vzporednost črt, ravnih črt. Oglejmo si nekaj nalog s posebnimi geometrijskimi oblikami.

zadnjica 3

Glede na vrhove čotirikutnika. Prinesi, da je čotirikutnik paralelogram.

Prinašanje: Naslanjači v pisarni ne bodo potrebni, osklici odločitve bodo zgolj analitične. Ugibamo namen paralelograma:
paralelogram imenuje se čotirikutnik, ki ima nasprotne strani v parih vzporedno.

V tem vrstnem redu je potrebno prinesti:
1) vzporednost nasprotnih stranic i;
2) vzporednost nasprotnih stranic i.

prinesel:

1) Vektorje poznamo:

2) Vektorje poznamo:

Viyshov je en in isti vektor ("po šoli" - enaki vektorji). Kolіnearnіst zovsіm je očiten, vendar je bolje urediti rešitev jasno, z razporeditvijo. Izračunajmo število dodatkov iz koordinat vektorjev:
, Srednja vrednost, dani vektorji so kolinearni, tj.

visnovok: Protilezhnі strani chotirikutnik so parno vzporedne, kar pomeni, vіn є paralelogram za oznake. Kaj je bilo potrebno prinesti.

Več dobrih in drugačnih številk:

zadnjica 4

Glede na vrhove čotirikutnika. Prinesti, scho chotirikutnik є trapezієyu.

Za bolj suvoro formular, dokažite ga lepše, sijajno, izvlecite določen trapez in ga samo dokončajte in samo ugibajte, kot da gledate ven.

Tse zavdannya za neodvisno rešitev. zunaj rešitve na koncu lekcije.

In zdaj je čas, da počasi preidemo iz stanovanja na prosto:

Kako določiti kolinearnost vektorja v prostoru?

Pravilo je podobno. Da sta dva vektorja kolinearna, je potrebno in zadostno, da so njune koordinate sorazmerne.

zadnjica 5

Z'yasuvati, kaj bodo kolinearni ofenzivni vektorji in prostor:

ampak);
b)
v)

rešitev:
a) Reverzibilno, kolikšen je koeficient sorazmernosti za različne koordinate vektorjev:

Sistema ni mogoče razrešiti, kar pomeni, da vektorji NISO kolinearni.

"Sproschenka" je sestavljena s ponovnim razmerjem. V tem pogledu:
- koordinate niso sorazmerne, zato vektorji NISO kolinearni.

namig: vektorji NISO kolinearni.

b-c) Vse točke za neodvisno rešitev. Poskusite jogo na dva načina.

Uporabite metodo ponovnega preverjanja kolinearnosti vektorjev prostora in uporabo spremenljivke tretjega reda Vektor doboot vector_v.

Podobno kot pri ploski nagodi lahko pogled na komplet orodij zastane pri metodi ohranjanja vzporednosti odprtih prostorov in ravnih črt.

Vljudno vas prosimo v drugo divizijo:

Linearna ledina in neodvisnost vektorja v trivialnem prostoru.
Prostorna osnova in afini koordinatni sistem

Veliko zakonov, kot smo videli na trgu, bo pravičnih in prostorskih. Povzetek sem poskušal minimizirati po teoriji, kosi levega dela informacij so že razviti. Prote, priporočam, da pozorno preberete uvodni del, da uvedete nove izraze in razumete.

Zdaj je zamenjava območja računalniške mize razširjena na tridimenzionalni prostor. Ustvarimo osnovo za jogo. Kdo ve naenkrat na mestu, kdo je na ulicah, v vsakem primeru pa ne moremo priti nikamor v treh vimirivih: širini, dolžini in višini. Zato so za induciranje osnove potrebni trije prostorni vektorji. En ali dva vektorja nista dovolj, četrtine so zayviy.

Spet romam na prste. Bodite prijazni, dvignite roko navzgor in dvignite mozolj na različnih straneh super, impresivno sredinec . Tse bodo vektorji, smrad se bo čudil na različnih straneh, žaloval ob različnih časih in žaloval ob različnih časih med seboj. Vіtayu, osnova trivimirskega prostranstva je pripravljena! Pred govorom ni treba demonstrirati takšnih vikladov, na primer ne zvijajte prstov, vendar ne morete priti nikamor =)

Dali sprašuje pomembno hrano, ali trije vektorji zadovoljujejo osnovo trivi-svetovnega prostora? Bodite prijazni, trdno stisnite tri prste ob računalniško mizo. Kaj se je zgodilo? Trije vektorji so bili raztreseni v isti ravnini in, na videz nesramno, smo izgubili enega od vimiriv - višino. Takšni vektorji komplanarno In povsem očitno je, da osnove trivimernega prostora ni mogoče ustvariti.

Če to pomeni, da koplanarni vektorji in ne golše ležijo v isti ravnini, je smrad lahko v vzporednih ravninah (samo ne oropati nekoga s prsti, tako da je navijal samo Salvador Dali =)).

sestanek: Vektorji so poimenovani komplanarno, Kot ravno območje, kot vzporedni smrad. Tukaj je logično dodati, da če taka ravnina ne obstaja, potem vektorji ne bodo komplanarni.

Trije koplanarni vektorji za dolgo vrsto depozitov, Tobto linearno vrazhayutsya enega skozi enega. Zaradi enostavnosti bom spet opazil, da smrad leži v enem stanovanju. Prvič, vektorji in ne samo to, ker so koplanarni, so lahko nadalje kolinearni, čeprav je vektor viden skozi vektor. Na drug način, na primer, vektorji NISO kolinearni, potem se tretji vektor obrne skozi njih v enem samem vrstnem redu: (In zakaj - za materiale sprednje divizije je enostavno uganiti).

Pošteno in neusmiljeno: trije nekoplanarni vektorji so vedno linearno neodvisni, Tobto isti čin ni virazhayutsya enega skozi enega. In očitno lahko le takšni vektorji predstavljajo osnovo trivimernega prostora.

sestanek: Osnova trivimirnega prostranstva imenujemo trio linearno neodvisnih (nekomplanarnih) vektorjev, vzeto po vrstnem redu, S katerim koli vektorskim prostorom en čin razpršene iz dane baze, de-koordinate vektorja v dani bazi

Če ugibate, lahko rečete tudi, da je vektor reprezentacij linearna kombinacija baznih vektorjev.

Koncept koordinatnega sistema je predstavljen na popolnoma enak način, kot za ravno pobočje zadostuje ena točka in ali obstajajo tri linearne neodvisni vektorji:

storž koordinat, і nekoplanarno vektorji, vzeto po vrstnem redu, set afini koordinatni sistem trivi-svetovnega prostora :

Očitno nam omogoča koordinatna mreža »pletenice« in ne preveč priročna ale, ne manj, kar nam omogoča koordinatni sistem vsekakor označite koordinate katerega koli vektorja in koordinate katere koli točke v prostoru. Podobno kot pri ravnini tudi v afinem koordinatnem sistemu prostor ne dela enakih formul, o katerih sem že ugibal.

Najbolj očiten in najbolj priročen način je padec afinskega koordinatnega sistema, kot vsi ugibajo, є pravokotni koordinatni sistem:

Pokažite na prostor, kot se imenuje storž koordinat, і ortonormalno postaviti osnovo Kartezijev pravokotni koordinatni sistem . znana slika:

Pred tem, kako preiti na praktične naloge, bom ponovno sistematiziral informacije:

Za tri vektorje v prostoru, ki ustrezajo nastanku trdote:
1) vektorji so linearno neodvisni;
2) vektorji in vzpostaviti osnovo;
3) vektorska in NE koplanarnost;
4) vektorje je mogoče linearno povezati enega skozi enega;
5) vyznachnik, zlaganje iz koordinat teh vektorjev, vіdminny vіd nič.

Protilezhnі vyslovlyuvannya, mislim, zrozumіlі.

Linearni padec / neodvisnost vektorja v prostoru se tradicionalno pregleda s pomočjo vodje (točka 5). Rasht praktične naloge bo jasno algebraične narave. Čas je, da obesite geometrijski ključ na rože in mahnete z bejzbolsko palico linearne algebre:

Trije vektorji prostora doslednost teh vektorjev in le, če so enaki, če so enaki, prepognjeno iz koordinat teh vektorjev, pred ničlo: .

Spoštujem majhen tehnični odtenek: koordinate vektorjev lahko zapišemo ne le v stolpce, ampak v vrstice (vrednost vektorja se ne spremeni - glej Moč vektorjev). Ale je bogateje bogatejši s stovptsі, oskіlki tse vigіdnіshe za opravljanje nekaterih praktičnih nalog.

Tim bralcem, tako kot troške, so pozabili metode rozrahunke diplomantov in morda so v njih slabo usmerjeni, priporočam eno mojih najstarejših lekcij: Kako izračunati vyznachnik?

zadnjica 6

Preverite, ali naslednji vektorji določajo osnovo trivialne širine:

Rešitev: Pravzaprav se vse odločitve sprejemajo do obračuna glavnice.

a) Izračunajte spremenljivko, prepognite iz koordinat vektorja_v (spremenljivka razširitve vzdolž prve vrstice):

, Vektorji so torej linearno neodvisni (NIso koplanarni) in vzpostavljajo osnovo trivialnega prostora.

dokaz: Dani vektorji in zadovoljijo osnovo

b) Ta točka je za neodvisno rešitev. Več odločitev in pregledov na koncu lekcije.

Zustrichayutsya in ustvarjalni delavci:

zadnjica 7

Pri kateri vrednosti parametra bodo vektorji komplanarni?

Rešitev: Vektorji in complanarnі odі і tіlki іtіlki іt, če vyznachnik, se zloži iz koordinat teh vektorіv dorіvnyuє nič:

Pravzaprav je treba biti enak vyznachniku. Polije se na nič kot šuliki na jerboe - označevalec navigatorja, da ugotovi v drugi vrsti in v vrsti, bo iskal minuse:

Izvedemo nadaljnjo razširitev in zavijemo desno na najpreprostejšo linearno poravnavo:

dokaz: pri

Tukaj je enostavno premisliti, za kar je treba vrednost dati v končnem piscu in premisliti, torej , Rozkrivshi joga na novo.

Na koncu si bomo ogledali še enega tipična naloga, Yaka biti bolj algebraične narave in tradicionalno vključen v tečaj linearne algebre. Tla so razširjena, kar je zasluga vrha:

Da bi prinesli te 3 vektorje, vzpostavimo osnovo trivimernega prostora
poznam koordinate 4. vektorja v dani bazi

zadnjica 8

Podan vektor. Pokažite, da vektorji izpolnjujejo osnovo trivialnega prostora in poznajo koordinate vektorja v tej bazi.

Rešitev: Pobiramo ga z umom. Za umom je dan chotiri vektorja, i, yak bachite, že imajo ê koordinate v deaky osnovi. Kaj je osnova - ne dražite nas. In krik je žaljiv: trije vektorji kot celota lahko vzpostavijo novo osnovo. Prva stopnja spet temelji na rešitvah primera 6, preveriti je treba, ali so vektorji dejansko in linearno neodvisni:

Izračunajmo število dodatkov iz koordinat vektorjev:

, Vektorji so torej linearno neodvisni in zadovoljujejo osnovo prostora, podobnega trivumu.

! spoštljivo : Vektorske koordinate obov'azkovo posneti v prestolnici vyznachnika, ne v vrstah. V nasprotnem primeru boste goljuf v nadaljnji algoritmski rešitvi.

Z drugimi besedami, linearnost skupine vektorjev pomeni, da obstaja srednji vektor, ki ga je mogoče identificirati z linearno kombinacijo drugih vektorjev v skupini.

Sprejemljivo. tudi

otzhe vektor x linearni odpad iz vektorja v skupini.

vektorji x, y, ..., z imenujemo linearno neodvisni vektorji, Yakshcho z rivnosti (0)

α=β= ...= γ=0.

Skupine vektorjev so torej linearno neodvisne, tako kot vektorja ni mogoče predstaviti z linearno kombinacijo drugih vektorjev v isti skupini.

Označevanje linearnega pojavljanja vektorjev

Nalogom dajte m vektorjev v vrsti v vrstnem redu n:

Zrobivshi Gausov vynyatok, inducirana matrika (2) do zgornjega trikutnega videza. Elementi preostalega stolpca se spremenijo le enkrat, če se vrstice prerazporedijo. Po m krajših odcepih zapeljemo:

de jaz 1 , jaz 2 , ..., jaz m - indeksi vrstic, odvzeti v primeru možne permutacije vrstic. Če pogledamo okrnjene vrstice s іndexіv іnіkіv іnclіvaєmо і, yakі іnіdpodіdat іn іdіvіdіy іnіtіv іrіkіv. Reshta vrstice vzpostavljajo linearno neodvisne vektorje. Pomembno je, da je pri zlaganju matrike (2) in spreminjanju zaporedja vektorjev v vrsticah možno izbrati drugo skupino linearno neodvisnih vektorjev. Ale pіdprostіr, yaku užaljen tsі skupine vectorіv utvoryuyuyut zbіgayutsya.