Tieto právomoci autority sú neúprosne veľké. Určená neúprosne skvelá sekvencia

30.07.2020

Počítanie nekonečne malých a veľkých

Výpočet nekonečne malého- výpočet, vypočítaný s nekonečne malými hodnotami, pre nejaký zlý výsledok sa akceptuje ako nekonečný súčet nekonečne malých. Výpočet nekonečne malých veličín є hlboké pochopenie pre diferenciálne a integrálne výpočty, ktoré tvoria základ modernej vyššej matematiky. Pojem nekonečne malej veľkosti úzko súvisí s chápaním hranice.

Neúprosne malý

Sekvencia a n volal nekonečne malý yakscho. Napríklad postupnosť čísel je nekonečne malá.

Funkcia sa volá nekonečne malý na okraji bodu X 0, teda .

Funkcia sa volá nekonečne malý na nekonečne malý, Páči sa mi to alebo .

Je to tiež nekonečne malá funkcia, čo je rozdiel vo funkcii a її medzi, takže , potom f(X) − a = α( X) , .

Neúprosne veľká hodnota

Sekvencia a n volal nekonečne skvelé, Páči sa mi to .

Funkcia sa volá nekonečne skvelé na okraji bodu X 0, teda .

Funkcia sa volá neúprosne skvelý na neúprosnosť, Páči sa mi to alebo .

Vo všetkých režimoch môže byť pravák praváka v prípade ekvivalencie na uchu, spev (buď „plus“, alebo „mínus“). Napríklad funkcia Tobto X hriech X nie je nepredstaviteľne skvelý v.

Sila nekonečne malého a nekonečne veľkého

Párovanie nekonečne malých množstiev

Ako spárovať nekonečne malé množstvá?
Nastavenie nekonečne malých hodnôt z toho robí takzvanú bezvýznamnosť.

Vymenovanie

Predpokladajme, že máme є nekonečne malé s rovnakou hodnotou α( X) a β( X) (inak, ak pre tento účel neexistuje žiadny význam, postupnosť je nekonečne malá).

Na výpočet takýchto sprostredkovateľov je ľahké použiť pravidlo Lopital.

Použiť zhodu

K víťazstvám Pro-V útoku môžu byť napísané symboly zrušenia výsledkov X 5 = o(X 3). V tomto prípade sú záznamy spravodlivé 2X 2 + 6X = O(X) і X = O(2X 2 + 6X).

Ekvivalentné hodnoty

Vymenovanie

Yakscho, potom sa nazývajú nekonečne malé množstvá α a β ekvivalent ().
Je zrejmé, že ekvivalentné hodnoty є sa budú nazývať množstvom nekonečne malých hodnôt rovnakého rádu.

So spravodlivosťou nasledujúcich pomerov ekvivalencie: , , .

Veta

Hranicu medzi súkromným (viditeľná modrá) dvoch nekonečne malých veličín nemožno zmeniť, takže jedno z nich (alebo protiprávne) by sa malo nahradiť ekvivalentnou hodnotou.

Tsya veta môže byť použitá hodnota, keď rozdiel medzi (div. zadok).

Zadok vikoristannya

Výmena sin 2X ekvivalentná hodnota 2 X, berieme

historická kresba

Pojem „nesmierne malý“, o ktorom sa hovorilo v staroveku v súvislosti s konceptom nekonzistentných atómov, sa do klasickej matematiky nedostal. Znovu sa znovuzrodila, keď sa v 16. storočí objavila „nesprávna metóda“ - rozbitie starej postavy na malom kríži.

V 17. storočí bola algebra čísel nekonečne malá. Smrad sa začal označovať ako číselná hodnota, ako menší pre akúkoľvek konečnú (nenulovú) hodnotu a predsa sa nule nerovná. Veda analýzy mala byť zložená spivvіdnoshennia, scho pomstiť nekonečne malé (rozdiely), že buv - na integráciu jogy.

Matematici starej školy dali koncept neuveriteľne malý tvrdá kritika. Michel Roll napísal, že nové číslo je „ zbierka brilantných milostí»; Voltaire, ktorý úzkostlivo rešpektoval, že to počíta veda o počítaní a presnom počítaní prejavov, ktorých základ nemožno odhaliť. Navit Huygens vedel, že rozumie zmyslu diferenciálov vyšších rádov.

Iróniou je, že sa možno pozrieť na zdanie uprostred storočia neštandardných analýz, čo znamená, že primárny bod úsvitu – v skutočnosti nie príliš malý – tiež nie je vynikajúci a mohol by byť založený na základoch. analýzy.

Div. tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Zaujíma vás, čo je „neuveriteľne skvelé“ v iných slovníkoch:

Hodnota Y sa zmení, zabalí do nekonečne malej hodnoty X, takže Y = 1/X ... Veľký encyklopedický slovník

Hodnota y sa zmení, obalí sa na nekonečne malú hodnotu x, takže y = 1/x. * * * RÝCHLO SKVELÉ, NEKONEČNE SKVELÉ, premenná hodnota Y, spätná nekonečne malá hodnota X, potom Y = 1/X … Encyklopedický slovník

V matematike sa hodnota zmeny, rovnako ako v danom procese zmeny, stáva a je naplnená absolútnou hodnotou väčšou ako akékoľvek vopred dané číslo. Vivchenya Bi. b. veľkosti je možné zmenšiť na hranicu nekonečne malých. Veľká Radianska encyklopédia

Def.: Funkcia sa volá nekonečne malý v , yakscho .

Pri zázname „“ to priznáme x0 môžete to brať ako kіntseve význam: x0= Konšt, tak a bez kože: x0= ∞.

Sila nekonečne malých funkcií:

1) Algebraický súčet konečného čísla je nekonečne malý na funkciu a nekonečne malý na funkciu.

2) Dobutok posledného čísla nekonečne malé pre funkciu a nekonečne malé pre funkciu.

3) Dobutok vymenil funkciu na nekonečne malej funkcii є nekonečne malej funkcii.

4) Súkromne rozpodіlu nekonečne malé v prípade funkcie na funkciu, medzi ktorými vіdminna v tvare nuly, a nekonečne malé v prípade funkcie.

zadok: Funkcia r = 2 + Xє nekonečne malý na , pretože .

Def.: Funkcia sa volá nekonečne skvelé v , yakscho .

Sila nekonečne skvelých funkcií:

1) Súčet nekonečne skvelých funkcií a nekonečne veľkých funkcií.

2) Twir je neúprosne skvelý v prípade funkcie nad funkciou, medzi ktorými je vіdmіnna v tvare nuly, je neúprosne skvelý v prípade funkcie.

3) Súčet je pre funkciu neúprosne veľký a ohraničená funkcia je nevyčerpateľná skvelá funkcia.

4) Súkromne sa považuje za nekonečne skvelý z hľadiska funkcie, čo môže byť koniec radu, a nekonečne skvelý z hľadiska funkcie.

zadok: Funkcia r= є nekonečne skvelý v , pretože .

Veta.Spojenie medzi nekonečne malými a nekonečne veľkými veličinami. Ak je funkcia nekonečne malá pri , potom je funkcia nekonečne veľká pri . Po prvé, pretože funkcia je nekonečne veľká v , potom je funkcia nekonečne malá v .

Narodenie dvoch nekonečne malých sa berie ako symbol, dvoch nekonečne veľkých - symbol. Urazený modrou a neviditeľný v tom zmysle, ktorý a hranica môže byť použitá, a іsnuvati, pridať do počtu piesní, ale nie je obmedzený vo forme špecifických funkcií, ako sú zahrnuté v neviditeľnej reči.

Krém bezvýznamnosti sa zdá byť nedôležitý a tak virazi:

Cena je nekonečne väčšia za jednu postavu;

Tvіr nekonečne malý až nekonečne veľký;

Indikatívna-kroková funkcia, ktorej základom je pragne 1, a ukazovateľ je až;

Funkcia show-step, ktorej základ je nekonečne malý a showman nekonečne veľký;

Funkcia show-state, základ tejto show je, že je nekonečne malá;

Funkcia show-state, ktorej základ je nekonečne veľký a showman je nekonečne malý.

Jasným spôsobom povedať, že existuje miesto bezvýznamnosti. Výpočet inter-named v tsikh vipadkah otvorenosť voči bezvýznamnosti. Aby odhalili bezvýznamnosť virazu, ktorý stojí pod znamením hranice, pretvoria ho na pohľad, ktorý sa za bezvýznamnosť nepomstí.

Pri počítaní medzi vikaristami, moc medzi, a navit moc nekonečne malých a nekonečne veľkých funkcií.

Poďme sa pozrieť na výpočet rozdielu medzi.

1) . 2) .

4) , pretože pridanie nekonečne malej funkcie pri dosadzovaní funkcie є nekonečne malý.

5) . 6) .

7) = =

. V tejto situácii je miesto bezvýznamnosti pre typ malé, keďže bolo možné otvoriť na pomoc usporiadanie bohato členitých multiplikátorov, že skratka k divokému multiplikátoru.

= .

V tejto situácii je malý priestor na nevýznamnosť typu, keďže sa pomocou násobilky číslovky a bannera na virázi podarilo zistiť zámenu vzorca a vzdialeného krátkeho zlomku. na (+1).

9)
. V tomto zadku sa bezvýznamnosť typu buly prezrádzala členitým delením číslovky a práporom zlomku na seniorskom stupni.

Úžasné hranice

Persha zázračná hranica : .

Prinášanie. Pozrime sa na jeden stĺpec (obr. 3).

Obr.3. Sám Colo

Poď X– radiálny prístup centrálneho kut MOA(), potom OA = R= 1, MK= hriech X, AT=tg X. Porіvnyuyuchi štvorcový trikutnikov OMA, OTA tohto sektora OMA, Berieme:

Zvyšok nervozity rozdeľme na hriech X, Berieme:

Tak yak at, potom pre yakistyu 5) medzi

Hviezdičky a hodnota je zabalená, vzhľadom na to, že bolo potrebné priniesť.

Poznámka: Táto funkcia je potom ešte malá. , potom prvý zázrak medzi tým môže vyzerať:

Poďme sa pozrieť na výpočet medzi víťazstvami prvej zázračnej hranice.

Pri výpočte ceny medzi hodnotami sa vypočítal trigonometrický vzorec: .

Poďme sa pozrieť na výpočet medzi víťazstvami ďalšej zázračnej hranice.

2) .

3) . Existuje miesto bezvýznamné pre typ. Zrobimo zaminu teda; v .

Funkcia y=f(x) volal nekonečne malý pri x→a alebo pri X→∞, ako abo, thatto. nekonečne malá funkcia - funkcia ce, medzi ktorými sa v bodoch ts_y rovná nule.

uplatniť.

1. Funkcia f(x)=(X-1) 2 є nekonečne malý pri X→1, črepy (div. malé).

2. Funkcia f(x)=tg X- nekonečne malý pri X→0.

3. f(x)= log(1+ X) - nekonečne malý pri X→0.

4. f(x) = 1/X- nekonečne malý pri X→∞.

Zoberme si dôležitejšiu pomoc:

Veta. Aká je funkcia y=f(x) zastupiteľné pri x→a pri pohľade na súčet rýchleho čísla b tá nekonečne malá hodnota α(x): f(x)=b+ α(x) tie.

Späť, áno, potom f(x)=b+α(x), de a(x)- nekonečne malý pri x→a.

Prinášanie.

1. Prinášame prvú časť tuženia. Z rivnosti f(x)=b+α(x)Ďalšie | f(x) - b | = | α|. Ale tak jaka a(x)- nekonečne malý, potom pri dostatočnom ε existuje δ - okolie bodu a, vôbec X pre akýkoľvek význam a(x) prosím |α(x)|< ε. Todi |f(x) – b|< ε. A tse znamená čo.

2. Yakscho, potom pre čokoľvek ε >0 pre všetkých X z deykoї δ - okolie bodu a bude |f(x) – b|< ε. Ale, aké významné f(x) - b = α, potom |α(x)|< ε a tse to znamená a- neuveriteľne malý.

Poďme sa pozrieť na hlavnú silu nekonečne malých funkcií.

Veta 1. Algebraický súčet dvoch, troch a jedného posledného čísla je nekonečne malý a funkcia je nekonečne malá.

Prinášanie. Dovoľte nám poskytnúť dôkaz o dvoch dodankіv. Poď f(x)=α(x)+β(x), de i. Musíme priniesť, scho s dosť ako malý? > 0 treba nájsť δ> 0, tak načo X, na uspokojenie nervozity | x – a |<δ , vyhrať |f(x)|< ε.

Tiež sme opravili pomerne veľa ε > 0. Čriepky za mentálnou vetou α(x)- nekonečne malá funkcia, potom niečo také existuje? > 0 za čo | x – a |< δ 1 majonéza |α(x)|< ε / 2. Podobne aj hrebenatky β(x)- nekonečne malý, potom je tu aj δ 2 > 0 za čo | x – a |< δ 2 možno | β(x)|< ε / 2.

Vіzmemo δ=min(δ1 , δ2 } . Todi na okraji bodu a polomer δ prekonať podráždenosť pokožky |α(x)|< ε / 2 to | β(x)|< ε / 2. Otzhe, na vašom okraji budúcnosti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tobto. |f(x)|< ε, ktoré bolo potrebné priniesť.

Veta 2. Dobutok nekonečne malých funkcií a(x) na vymenenú funkciu f(x) pri x→a(inak kedy x→∞) je nekonečne malá funkcia.

Prinášanie. Funkcia Oskilki f(x) lemovaný, potom іsnuє kіlkіst M tak aky to ma zmysel X z deyakoї okraja bodu a|f(x)|≤M. Okrem toho črepiny a(x)- nekonečne malá funkcia pri x→a, potom pre dostatočné ε > 0 nájdených okolo bodu a, v ktorom vládne nepokoj |α(x)|< ε /M. Todі v menej s tsikh blízko maєmo | αf|< ε /M= ε. A tse to znamená af- neuveriteľne malý. Pre vipadu x→∞ Dôkaz sa vykonáva podobným spôsobom.

Vychádzajú z nasledujúcich teorémov:

Posledná 1. Yakscho ja teda.

Posledné 2. Yakshcho i c= const, teda .

Veta 3. Návrh nekonečne malej funkcie α(x) za funkciu f(x), medzi ktorými je viditeľná od nuly, je nekonečne malá funkcia.

Prinášanie. Poď. Todi 1 /f(x)є Funkcia je obmedzená. Preto drіb є tvіr neskіchenno ї malї ї ї ї ї ї ї ї ї zamezhenu FUNKCIE, to. funkcia je nekonečne malá.

Počítanie nekonečne malých a veľkých

Výpočet nekonečne malého- výpočet, vypočítaný s nekonečne malými hodnotami, pre nejaký zlý výsledok sa akceptuje ako nekonečný súčet nekonečne malých. Výpočet nekonečne malých veličín je základným pojmom pre diferenciálne a integrálne výpočty, ktoré tvoria základ modernej matematiky. Pojem nekonečne malej veľkosti úzko súvisí s chápaním hranice.