Postupnosť sa nazýva nekonečne skvelá. Nekonečne malé a nekonečne skvelé funkcie

Def.: funkcia sa volá nekonečne malý mysli na to, yakscho .

Pri vstupe „“ to umožníme x0 môžete to brať ako kіntseve význam: x0= konšt, Takže a bez kože: x0= ∞.

Sila nekonečne malých funkcií:

1) Algebraický súčet konečného čísla je nekonečne malý pre funkcie a nekonečne malý pre funkcie.

2) Twir posledného čísla je nekonečne malý pre funkcie a nekonečne malý pre funkcie.

3) Funkcia Tvіr zamezhennuyu na nekonečne malej funkcii є nekonečne malej funkcii.

4) Časť delenia je nekonečne malá v prípade funkcie na funkcii, medzi ktorými je virtuálna nula, a nekonečne malá v prípade funkcie.

zadok: funkciu r = 2 + Xє nekonečne malý, k tomu.

Def.: funkcia sa volá nekonečne skvelé mysli na to, yakscho .

Sila nekonečne skvelých funkcií:

1) Súčet neúprosne veľkého v prípade funkcií je neúprosne veľký v prípade funkcie.

2) Twіr nekonečne veľký v prípade funkcie na funkcii, medzi ktorými je to isté ako nula, a nekonečne veľký v prípade funkcie.

3) Súčet je nekonečne veľký s funkciou a ohraničená funkcia je nekonečne veľká funkcia.

4) Časť delenia, ktorá je vo funkcii funkcie nekonečne veľká, ktorá môže byť koncom hranice, je vo funkcii nekonečne veľká.

zadok: funkciu r\u003d Є nekonečne skvelé na to .

Veta.Spojenie medzi nekonečne malými a nekonečne veľkými veličinami. Ak je funkcia v nekonečne malá, potom je funkcia v nekonečne veľká. І späť, ak je funkcia nekonečne veľká v, potom je funkcia nekonečne malá v.

Narodenie dvoch nekonečne malých sa berie ako symbol, dvoch nekonečne veľkých - symbol. Urazení blues sú v tom zmysle neviditeľní, čo sa dá použiť ako hranica, takže sa to nedá použiť, ale sa rovnať skutočnému počtu, alebo byť nevyčerpateľné v lade v podobe špecifických funkcií, ktoré sú zahrnuté medzi neviditeľné rozdiely.

Zločin bezvýznamnosti pre myseľ a bezvýznamnosti є so virazi:

Maloobchodný predaj nekonečne skvelých produktov rovnakého znamenia;

Tvіr nekonečne malý až nekonečne veľký;

Funkcia zobrazenia krokov, ktorej základ je až 1 a indikátor - až;

Funkcia show-step, ktorej základ je nekonečne malý a showman nekonečne veľký;

Funkcia krokovania, pidstava a pokaznik yakoї є nekonečne malý;

Funkcia show-step, ktorej základ je nekonečne veľký a showman nekonečne malý.

Zdá sa, že je tu miesto bezvýznamnosti zjavnej mysle. Výpočet medzinázvov v ich kategóriách otvorenosť voči bezvýznamnosti. Odhaliť bezvýznamnosť virazu, ktorý stojí pod znamením hranice, premeniť sa na pohľad, ktorý nepomstí bezvýznamnosť.

Pri počítaní medzi vikaristami sila medzi, ako aj sila nekonečne malých a nekonečne veľkých funkcií.

Poďme sa pozrieť na výpočet rozdielu medzi.

1) . 2) .

4) , Pretože tvir je nekonečne malá funkcia, keď je funkcia vymenená є nekonečne malý.

5) . 6) .

7) = =

. V tejto situácii je malý priestor pre bezvýznamnosť typu, pokiaľ to bolo možné rozšíriť pomocou usporiadania polynómov do násobiteľov a skratky na divokú násobilku.

= .

V tejto situácii je malý priestor pre bezvýznamnosť typu, pokiaľ bolo možné pomocou násobiteľa čísla a bannera na viráze zistiť víťazný vzorec a najväčšiu rýchlosť zlomku. na (+1).

9)
. V tomto zadku nevýznamnosť typu buly otvoril rozpodilom číslice a zástavy zlomku na seniorskom stupni.

zázračné hranice

Prvá zázračná hranica : .

Prinášanie. Pozrime sa na jeden kruh (obr. 3).

Obr.3. jednofarebné

poď X- Radianna sveta centrálneho kutu MOA(), Todi OA = R= 1, MK= hriech X, AT=tg X. Porіvnyuyuchi štvorcový trikutnikov OMA, OTA i sektory OMA, Berieme:

,

.

Zvyšok nervozity rozdeľme na hriech X, Berieme:

.

Takže ako kedy, tak podľa mocniny 5) medzi

Zvіdki i zvorotna hodnotu pri, scho th bolo potrebné priniesť.

rešpekt: Ako funkcia je nekonečne malá at, tobto , Potom môže vyzerať prvá zázračná hranica:

.

Pozrite sa na výpočet medzi víťazstvami prvej zázračnej zeme.

Pri výpočte ceny medzi hodnotami sa vypočítal trigonometrický vzorec: .

.

Pozrime sa na výpočet medzi víťazstvami ďalšej zázračnej zeme.

2) .

3) . Existuje miesto bezvýznamné pre typ. Zrobimo zaminu teda; pri.

funkcia sa volá nekonečne malý pri
alebo pri
, Páči sa mi to
alebo
.

Napríklad: funkcia
nekonečne malý pri
; funkciu
nekonečne malý pri
.

Rešpekt 1. Nie je možné pomenovať žiadnu funkciu bez vloženia priamo do argumentu nekonečne malého. Áno, funkcia
pri
є nekonečne malý a kedy
nebude príliš malý (
).

Rešpekt 2. Z definície hraníc funkcie v bode sa pre nekonečne malé funkcie uvažuje s nerovnomernosťou
.Cim fakt mi nadі budeme opakovane koristuvatisya.

Uveďme niekoľko dôležitých vecí sila nekonečne malých funkcií.

teorém (O väzbe funkcie, її medzi a nekonečne malé): Čo je to funkcia
môžu byť prezentované pri pohľade na súčet rýchleho čísla A a nekonečne malé funkcie
pri
, potom číslo

Dokončené:

Pozor na vety, je zrejmé, že funkcia
.

vieme svіdsi
:
. funkcia hrebenatky
neúprosne malá, je to pre ňu spravodlivé
, To isté pre výraz (
) Nerіvnіst tiež vyhráva

A tse to znamená
.

teorém (Zvorotna): jakscho
, potom funkciu
mozhe buti je reprezentované číslom vilyadі sumi A a neúprosne malý pri
funkcie
, Tobto
.

Dokončené:

tak jaka
, potom pre
nerіvnіst
(*) Poďme sa pozrieť na funkciu
ako jednota a nejednotnosť (*) prepísaná pri pohľade

Zo zvyšku nerovností, hodnota (
) Є nekonečne malý pri
. zmysluplne її
.

hviezdy
. Veta bola dokončená.

veta 1 . Algebraický súčet konečného počtu nekonečne malých funkcií je nekonečne malá funkcia.

Dokončené:

Urobme dôkaz pre dva dodanky, takže pre akýkoľvek konečný počet dodankov to bude vyvolané podobne.

poď
і
nekonečne malý pri
funkcie a
- súčet funkcií. Dajte nám vedieť za čo
, Užitočné
Čo je pre každého XČo uspokojí nervozitu
,
.

Takže ako funkcia
nekonečne malá funkcia,
Čo je pre každého
nerіvnіst
.

Takže ako funkcia
nekonečne malá funkcia,
, A tiež Čo je pre každého
nerіvnіst
.

vezmi to rovná sa najmenšiemu z čísel і , Todi v -okolie bodu ale bude nervozita
,
.

Funkcie pamäťového modulu
a vieme odhadnúť jeho význam.

Tobto
, Potom je funkcia nekonečne malá, čo bolo potrebné priniesť.

Veta 2. Twir nekonečne malé funkcie
pri
na vymenenú funkciu
є nekonečne malá funkcia.

Dokončené:

Takže ako funkcia
fringed, potom je to tiež kladné číslo
Čo je pre každého nerіvnіst
.

Takže ako funkcia
nekonečne malý pri
, potom -okolie bodu Čo je pre každého Okolie
.

Pozrime sa na funkciu
odhadujem її modul

Otzhe
, A potom
- neuveriteľne malý.

Veta bola dokončená.

Teória o hraniciach.

Veta 1. Medzi algebraickým súčtom konečného počtu funkcií

Dokončené:

Aby ste to dokázali, pozrite sa na dve funkcie bez toho, aby ste zničili integritu sveta.

poď
,
.

Podľa vety o spájaní funkcií, її medzi a nekonečne malých funkcií
і
viete si predstaviť
de
і
- nekonečne malý pri
.

Poznáme súčet funkcií
і

rozsah
є konštantná hodnota,
- hodnota je nekonečne malá. Teda funkcia
reprezentovaný zdanlivo súčtom konštantnej veľkosti a nekonečne malej funkcie.

rovnaké číslo
є hraničná funkcia
, Tobto

Veta bola dokončená.

veta 2 . Vytvorte medzi posledným počtom funkcií

Dokončené:

Bez narušenia integrity zrkadla vykonáme dôkaz pre dve funkcie
і
.

Poďme, poďme
,

Spoznajte funkcie svojho televízora
і

rozsah
є konštantná hodnota, nekonečne malá funkcia. Otec, číslo
є hraničná funkcia
, Tobto spravodlivá ekvivalencia

následok:
.

Veta 3. Hranica medzi privátnymi dvoma funkciami je rovnaká ako privátna medzi týmito funkciami, ako hranica medzi štandardom vіdmіnny vіd nula

.

Dôkaz: No tak
,

tiež
,
.

poznáme súkromne a vznášame sa nad ním pre skutky tej istej premeny

rozsah rýchle, suché
neúprosne malý. Otec, funkcia reprezentovaný zdanlivo súčtom konštantného čísla a nekonečne malej funkcie.

tiež
.

Rešpekt. Vety 1-3 privedené k veci
. Avšak, smradi môžu byť stagnujúce, keď
, Oskіlki provedennya teorémy rovnakým spôsobom vykonávať podobne.

Napríklad. Vedieť medzi:

Prvý a ďalšie zázraky medzi nimi.

funkciu nepridelené o
. Hodnoty її v blízkosti bodu nula sú však jasné. Preto môžete vidieť medzi funkciami
. Qia medzi zvonením najprv Zázračný medzi .

Vin môže vyzerať:
.

napríklad . Poznať hranice: 1.
. znamenať
, Páči sa mi to
, potom
.
; 2.
. Prerobme tento výraz tak, aby hranica zvonila až po prvú zázračnú hranicu.
; 3..

Pozrime sa na zmenu veľkosti mysle
, v yakіy akceptovať hodnoty prirodzených čísel v poradí ich rastu. damo rôzne významy: yakscho

dávať nadchádzajúce významy od neosobných
, Nemá význam rozprávať, scho viraz
pri
bude
. Viac než to, treba priniesť, scho
môže byť medzi. Qia medzi sa označuje písmenom :
.

číslo iracionálne:
.

Teraz sa pozrime na interfunkcie
pri
. Hranica je tzv ďalšia zázračná hranica

Vіn maє vyglyad
.

Napríklad.

ale)
. viraz
namiesto kreativity tí istí spoločníci
, Zastosuєmo veta o vytvorení hranice a ďalšej zázračnej hranice; b)
. fit
, potom
,
.

Ďalšie zázračné hranice vikoristovuєtsya v úlohy o neprerušovanej akumulácii vody

Pri zarábaní halierových príjmov za vklady sú často pokryté vzorcom skladacieho príjmu, ako vidím:

,

de - záloha klasu,

- banková banka vіdsotok,

- počet narahuvan vіdsotkіv za rіk,

- hodina, v skalách.

V teoretických štúdiách sa však pri zaokrúhľovaní investičných rozhodnutí na ne často vzťahuje vzorec exponenciálneho (show) zákona o raste

.

Vzorec na znázornenie zákona rastu bol odstránený v dôsledku pridania ďalšej nádhernej krajiny k vzorcu pre skladacie okná

Nepretržité funkcie.

Pozrime sa na funkciu
spievať v deakіy bode i deyakomu blízko bodu . Nech má funkcia v bode hodnotu
.

Funkcia 1. Funkcia
volal neprerušovaný do bodky , ako je znázornené v blízkosti bodu, vrátane samotného bodu i
.

Význam kontinuity možno formulovať rôzne.

nechajte funkciu
priradená v skutočnej hodnote ,
. ako argument dať zvýšenie
, potom funkcia získať zbіlshennya

Nechajte funkciu ísť k veci nestále (z dôvodu prvého označenia nestálosti funkcie v bode),

Pretože funkcia nie je v bode prerušená , potom nekonečne malý nárast argumentu
v tomto bode ukazuje nekonečne malý nárast funkcie.

Je to spravodlivé a neodvolateľné tvrdenie: ak nekonečne malý nárast argumentu vedie k nekonečne malému zvýšeniu funkcie, funkcia nie je prerušená.

Funkcia 2. Funkcia
sa nazýva neprerušovaný, keď
(K veci );
.

Pri spätnom pohľade na prvý a druhý je možné vziať do úvahy dôležitosť neprerušovanej funkcie v bode, keď dôjde k vytvrdzovaniu:

alebo
, pivo
, potom
.

Tiež, aby ste poznali rozdiel medzi nonstop funkciou, kedy
pridať do analytického pohľadu funkcie nahradiť argument Predložte svoj význam .

Vymenovanie 3. Funkcia, bez prerušenia v kožnom bode aktívnej oblasti sa nazýva neprerušovaný v tomto regióne.

napríklad:

Príklad 1. Uveďte, aká je funkcia
je súvislá vo všetkých bodoch cieľovej oblasti.

Zrýchľujeme sa k ďalším priradeniam kontinuity funkcie do bodky. Pre koho je možné vziať hodnotu argumentu a damo youmu prírastok
. Poznáme inkrementálnu funkciu

Príklad 2. Uveďte, aká je funkcia
nekontinuálne vo všetkých bodoch h
.

argument damo rast
, Rovnaká funkcia na získanie zvýšenia

Poznáme to ako funkciu
, Tobto má okraje.

Podobne možno konštatovať, že všetky hlavné elementárne funkcie sú neprerušiteľné vo všetkých bodoch oblasti ich priradenia, takže oblasť priradenia elementárnej funkcie sa rozširuje z oblasti kontinuity.

Vymenovanie 4. Aká je funkcia
kontinuálne v kožnom bode aktuálneho intervalu
, potom povedzte, že funkcia je na tomto intervale nestála.

Význam tejto sily je nekonečne malý a nekonečne veľké funkcie až do bodky. Dokážte mocniny a vety. Spojenie medzi nekonečne malými a nekonečne veľkými funkciami.

zmist

Div. tiež: Neospravedlniteľne malé dôsledky - vymenovanie a moc
Sila nekonečne veľkých sekvencií

Určené nekonečne malé a nekonečne skvelé funkcie

dajte mi vedieť x 0 є koniec alebo nekonečne vzdialený bod: ∞, -∞ alebo + ∞.

Určené nekonečne malé funkcie
funkcia α (X) volal nekonečne malý pri x pragne do x 0 0 , І він dorivnuє nula:
.

Vyznačuje sa nekonečne skvelou funkciou
funkcia f (X) volal nekonečne skvelé pri x pragne do x 0 , Ako môže byť funkcia medzi ako x → x 0 , I vin dorivnyu neskіchennosti:
.

Sila nekonečne malých funkcií

Sila súčtu, maloobchodu a dobutku nekonečne malých funkcií

Suma, maloobchod a TV koncový počet nekonečne malých funkcií ako x → x 0 є nekonečne malá funkcia ako x → x 0 .

Sila Tsya je priamym potomkom aritmetických schopností medzi funkciami.

Veta o otáčaní funkcie, ktorá je redukovaná na nekonečne malú

TV funkcie na deakіy prepichnutých okrajoch bodu x 0 , Nekonečne malé, ako x → x 0 , Є nekonečne malá funkcia ako x → x 0 .

Moc o danej funkcii pri pohľade na súčet stálych a nekonečne malých funkcií

Aby funkcia f (X) malá hraničná hranica, potrebná a postačujúca, schob
,
de - nekonečne malá funkcia ako x → x 0 .

Sila nekonečne skvelých funkcií

Veta o súčte obmedzenej funkcie a nekonečne veľkej

Súčet alebo rozdiel ohraničenej funkcie na skutočnom prerazenom okraji bodu x 0 , I nekonečne skvelá funkcia, ako x → x 0 , Є nekonečne veľká funkcia ako x → x 0 .

Veta o súkromnom pohľade na delenie funkcie podmnožiny na nekonečne veľkú

Ako funkcia f (X)є nekonečne veľké ako x → x 0 , A funkcia g (X)- ohraničené na deakіy prerazenom okraji bodu x 0 , potom
.

Veta o súkromnom pohľade na delenie funkcie zredukovanej zdola na nekonečne malú

Podobne je funkcia na aktuálnom prepichnutom bode blízko bodu obklopená kladným číslom zdola v absolútnej hodnote:
,
a funkcia je nekonečne malá ako x → x 0 :
,
a іsnuє prepichnutý blízko bodu, na yakіy, teda
.

Sila nekonzistentností nekonečne veľkých funkcií

Táto funkcia je nekonečne skvelá pri:
,
a funkcie a na skutočnom prerazení okolo bodu sú body spokojné s nerovnomernosťou:
,
potom je funkcia tiež nekonečne veľká pre:
.

Tse vlastіst maє dva okremih vpadki.

No tak, na deyakіy prepichnutých okrajoch bodu, funkcie a uspokojte nezrovnalosti:
.
Tak či onak, potom i.
Yakscho, potom i.

Spojenie medzi nekonečne veľkými a nekonečne malými funkciami

Z dvoch čelných síl existuje silné prepojenie medzi nekonečne veľkými a nekonečne malými funkciami.

Ak je funkcia nekonečne veľká v, potom je funkcia nekonečne malá v.

Ak je funkcia nekonečne malá pri, i, potom je funkcia nekonečne veľká pri.

Spojenie medzi nekonečne malou a nekonečne veľkou funkciou možno zavesiť v symbolickom poradí:
, .

Keďže funkcia má nekonečne malé znamienko at, ktoré je kladné (alebo záporné) na skutočnej punktovanej oblasti okolo bodu, možno ju zapísať takto:
.
Presne rovnakým spôsobom je funkcia hlavného znaku at nekonečne veľká, potom napíšte:
, Abo.

Rovnaké symbolické prepojenie medzi nekonečne malými a nekonečne veľkými funkciami môže byť doplnené o útočné spivdeny:
, ,
, .

Ďalšie vzorce, ktoré spájajú symboly nesúladu, nájdete na bočnej strane
"Nekonečne vo vzdialenosti bodov a їх sily".

Dôkaz mocnín a viet

Dôkaz vety o otáčaní funkcie, ktorá je redukovaná na nekonečne malú

Aby sme vetu dostali do popredia, urýchlime ju. A tiež víťazná sila nespočetne malých sekvencií,

Nech je funkcia nekonečne malá pri a funkcia je obklopená odumierajúcou punktovanou oblasťou okolo bodu:
pri.

Črepy hranice, potom sa prepichne bod okolo bodu, na ktorom je priradená funkcia. Nech є peretín okolo i. To isté pre priradenú funkciu i.

.
,
postupnosť je nekonečne malá:
.

Zrýchlime, že točenie opísanej postupnosti na nekonečne malej a nekonečne malej postupnosti:
.
.

Veta bola dokončená.

Dôkaz sily o priradení funkcie zdanlivo súčtu trvalých a nekonečne malých funkcií

nevyhnutnosť. Nech je funkcia v bode konca hranice
.
Poďme sa pozrieť na funkciu:
.
Vicoristická sila medzi rôznymi funkciami, možno:
.
To je nekonečne malá funkcia.

dostatočnosť. Poď i. V závislosti od sily medzi súčtom funkcií:
.

Prinesená sila.

Dôkaz vety o súčte obmedzenej funkcie a nekonečne veľkej

Aby sme priniesli vetu, rýchlo nastavíme hranice funkcie podľa Heineho

pri.

Črepy hranice, potom sa prepichne bod okolo bodu, pre ktorý je priradená funkcia. Nech є peretín okolo i. To isté pre priradenú funkciu i.

Nech je dostatočná postupnosť, ktorá konverguje k prvkom, ktoré ležia okolo:
.
Todi vymenoval sekvenciu i. Okrem toho je postupnosť obmezhenoy:
,
sekvencia je nekonečne skvelá:
.

Oskіlki suma alebo roznitsa zamezhena sledovnosti a nekonečne skvelé
.
Todі, zgіdno z stretnutí medzi sekvenciami od Heineho,
.

Veta bola dokončená.

Dôkaz vety o súkromnom pohľade na delenie funkcie podmnožiny na nekonečne veľkú

Pre dôkaz urýchľujeme označenie hraníc funkcie podľa Heineho. Je to tiež víťazstvo pre silu nekonečne veľkých sekvencií, zgіdno z yakim a nekonečne malých sekvencií.

Nech je funkcia nekonečne veľká pri a funkcia je obklopená unikajúcou prepichnutou oblasťou okolo bodu:
pri.

Ak je funkcia neúprosne veľká, potom je bod okolo bodu prepichnutý, na ktorom je označený a nevráti sa na nulu:
pri.
Nech є peretín okolo i. To isté pre priradenú funkciu i.

Nech je dostatočná postupnosť, ktorá konverguje k prvkom, ktoré ležia okolo:
.
Todi vymenoval sekvenciu i. Okrem toho je postupnosť obmezhenoy:
,
postupnosť je nekonečne skvelá s vedúcimi nulovými členmi:
, .

Úlomky časti vo vzdialenosti ohraničenej postupnosti na nekonečne veľkej a nekonečne malej postupnosti, potom
.
Todі, zgіdno z stretnutí medzi sekvenciami od Heineho,
.

Veta bola dokončená.

Dôkaz vety o súkromnom pohľade na delenie funkcie rozdelenej zdola na nekonečne malý

Aby sme túto silu dokázali, rýchlo sme stanovili hranice funkcie podľa Heineho. Čiže víťazná sila nekonečne veľkých sekvencií veľká postupnosť.

Nech je funkcia nekonečne malá a funkcia je v absolútnej hodnote zdola obklopená kladným číslom v bode, ktorý je okolo tohto bodu prerazený:
pri.

Za mysľou je prepichnutý bod okolo bodu, ktorému je priradená funkcia a neklesne na nulu:
pri.
Nech є peretín okolo i. To isté pre priradenú funkciu i. A prečo ja.

Nech je dostatočná postupnosť, ktorá konverguje k prvkom, ktoré ležia okolo:
.
Todi vymenoval sekvenciu i. Okrem toho je sekvencia ohraničená zdola:
,
a postupnosť je neúprosne malá s identickými nulovými členmi:
, .

Oskіlki chastka vіd dіlennya zamezhennya znіdovnostі na neskіchenno malé є neskіchenno veľké sledovnistyu, potom
.
І nechajte to є prepichnúť v blízkosti bodu, na yakіy
pri.

Vіzmemo dovіlnu sledovnіst, scho konvergujú k. Todi, počnúc deyakogo číslom N, prvky sekvencie budú ležať vedľa:
pri.
tiež
pri.

Hraničné funkcie Zgіdno z vznachennyam podľa Heineho,
.
Todі za silu nekonzistencií nekonečne veľkých sekvencií,
.
Postačuje Oskіlkiho sekvenovanie, ktoré konverguje až po, potom za určené hranice funkcie podľa Heineho,
.

Prinesená sila.

Wikoristanská literatúra:
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.

Div. tiež:

Počíta sa nespočetne malých a veľkých

Výpočet nekonečne malého- Výpočet, variabilita s nekonečne malými hodnotami, s takým biednym výsledkom to vyzerá ako nekonečný súčet nekonečne malých. Výpočet nekonečne malých veličín є hlboké pochopenie pre diferenciálne a integrálne čísla, ktoré tvoria základ modernej vyššej matematiky. Pojem nekonečne malej veľkosti úzko súvisí s chápaním hranice.

neuveriteľne malý

nástupníctvo a n volal nekonečne malý, Yakscho. Napríklad postupnosť čísel je nekonečne malá.

funkcia sa volá nekonečne malý v blízkosti bodu X 0, áno .

funkcia sa volá nekonečne malý na nekonečne malý, Páči sa mi to alebo .

Je to tiež nekonečne malá funkcia, ktorá predstavuje rozdiel vo funkciách a її medzi, takže , potom f(X) − a = α( X) , .

Neúprosne veľká hodnota

nástupníctvo a n volal nekonečne skvelé, Páči sa mi to .

funkcia sa volá nekonečne veľký v blízkosti bodu X 0, áno .

funkcia sa volá neúprosne skvelý na neúprosnosť, Páči sa mi to alebo .

Vo všetkých režimoch je pravák praváka z dôvodu ekvivalencie na hrane spevu (buď „plus“, alebo „mínus“). Napríklad funkcia Tobto X hriech X nie je nepredstaviteľne skvelý v.

Sila nekonečne malého a nekonečne veľkého

Párovanie nekonečne malých množstiev

Ako spárovať nekonečne malé množstvá?
Nastavenie nekonečne malých hodnôt z toho robí takzvanú bezvýznamnosť.

vymenovanie

Predpokladajme, že máme є nekonečne malé pre jednu a tú istú hodnotu α ( X) І β ( X) (V opačnom prípade, ak vymenovanie nemá žiadny význam, existujú nekonečne malé sekvencie).

Na výpočet podobných čísel je jednoduché použiť Lopitalovo pravidlo.

použiť pár

K víťazstvám Pro-v ofenzíve môžu byť napísané symboly zrušenia výsledkov X 5 = o(X 3). V tomto prípade sú záznamy spravodlivé 2X 2 + 6X = O(X) і X = O(2X 2 + 6X).

ekvivalentné hodnoty

vymenovanie

Nazývajú sa však nekonečne malé množstvá α a β ekvivalent ().
Je zrejmé, že ekvivalentné hodnoty є sa budú nazývať množstvom nekonečne malých hodnôt rovnakého rádu.

So spravodlivým začiatkom ekvivalencie spivvіdnoshnja:,, .

teorém

Hranicu medzi súkromným (viditeľná modrá) dvoch nekonečne malých veličín nemožno zmeniť, takže jedno z nich (alebo protiprávne) by sa malo nahradiť ekvivalentnou hodnotou.

Je daná veta, ktorá má praktický význam, keď je rozdiel medzi (div. Applied).

victoria zadok

nahradenie sin 2X ekvivalentná hodnota 2 X, berieme

historická kresba

Pojem „nesmierne malý“, o ktorom sa hovorilo v staroveku v spojení s konceptom nekonzistentných atómov, sa do klasickej matematiky nedostal. Znovu sa znovuzrodila, keď sa v 16. storočí objavila „nesprávna metóda“ - rozbitie starej postavy na nekonečne malej peretine.

V 17. storočí bola zavedená algebraizácia počítania nekonečne malých. Smrad sa začal objavovať ako číselná hodnota, menšia ako akákoľvek koncová (nenulová) hodnota, a predsa sa nerovná nule. Veda analýzy bola vložená do zloženého spіvvіdshennya, scho pomstiť nekonečne malé (rozdiely), a potom - v integrácii jogy.

Matematici starej školy dali koncept neuveriteľne malý tvrdá kritika. Michel Rolle napísal, že nové doslovné číslo je „ zbierka brilantných milostí»; Voltaire, pozoruhodne rešpektujúci, že počítanie je umením počítať a presne simulovať reči, ktorých základ nemožno vyniesť na svetlo. Navit Huygens vedel, že nerozumie zmyslu diferenciálov vyšších rádov.

Iróniou je, že sa možno pozrieť na zdanie uprostred storočia neštandardných analýz, čo znamená, že primárny bod úsvitu – v skutočnosti nie príliš malý – tiež nie je vynikajúci a mohol by byť založený na základoch. analýzy.

Div. tiež

Nadácia Wikimedia. rock 2010.

Zaujíma vás, čo je „neuveriteľne skvelé“ v iných slovníkoch:

Zmenená hodnota Y, obrátená nekonečne malá hodnota X, takže Y = 1 / X ... Veľký encyklopedický slovník

Zmenená hodnota y, obrátená nekonečne malá hodnota x, takže y = 1 / x. * * * NEUVERITEĽNE SKVELÉ NEUVERITEĽNE SKVELÉ, premenná hodnota Y, obrátená nekonečne malá hodnota X, potom Y = 1 / X ... encyklopedický slovník

V matematike sa hodnota zmeny, rovnako ako v danom procese zmeny, stáva a je zahltená v absolútnej hodnote viac ako akékoľvek vopred dané číslo. Vivchennya B. b. hodnoty možno dostať až na hranicu nekonečne malých (odd. ... ... Veľká Radianska encyklopédia

Nekonečne malé funkcie

Zavolá sa funkcia %% f (x) %%. nekonečne malý(B.m.) v %% x \ na \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, aj keď je argument medzi funkciami rovný nule.

Pochopte b.m. funkcie sú neoddeliteľne spojené so zadaniami o zmene argumentu. Môžete hovoriť o b.m. funkcie pre %% a \ do a + 0 %% i pre %% a \ do a - 0 %%. Krúžok b.m. funkcie označujú prvé písmená gréckej abecedy %% \ alpha, \ beta, \ gama, \ ldots %%

uplatniť

1. Funkcia %% f (x) = x %% є b.m. pri %% x \ na 0 %%, škálovanie її rozhranie pri %% a = 0 %% na nulu. Zgіdno z veta o väzbách obojstranného rozhrania s jednostrannými funkciami - b.m. ako s %% x \ až + 0 %%, tak i s %% x \ až -0 %%.
2. Funkcia %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. s %% x \ do \ infty %% (a tiež s %% x \ do + \ infty %% i s %% x \ do - \ infty %%).

Vidieť nulu je konštantné číslo, ako keby to nebolo malé pre absolútne hodnoty, nie є b.m. funkciu. Pre konštantné počty viniča je to menej ako nula;

teorém

Funkcia %% f (x) %% max v bode %% a \ v \ overline (\ mathbb (R)) pridajte súčet čísla %% b %% i b.m. funkcie %% \ alpha (x) %% pre %% x \ na %%, alebo $$ \ existuje ~ \ lim \ limity_ (x \ do a) (f (x)) = b \ v \ mathbb (R )\Šípka doľava doprava \doľava(f(x)=b+\alpha(x)\doprava)\krajina\doľava(\lim\limits_(x\to a)(\alpha(x)=0)\vpravo). $$

Sila nekonečne malých funkcií

Pre pravidlá prechodu hraníc pre %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %% nasledujú nasledujúce tvrdenia:

1. Súčet koncového čísla b.m. funguje pri %% x \ až %% є b.m. pri %% x \ na %%.
2. Tvir byť-aké číslo b.m. funguje pri %% x \ až %% є b.m. pri %% x \ na %%.

Tvir b.m. funkcie v %% x \ až %% i funkcie, rozptýlené v skutočnej prepichnutej oblasti %% \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) (a) %% bodov a, є b.m. pri %% x \ na funkciu %%.

Je jasné, že tvir trvalé funkcie a b.m. pri %% x \ až %% є b.m. funkcia na %% x \ na %%.

Ekvivalentné nekonečne malé funkcie

Volajú sa nekonečne malé funkcie %% \ alfa (x), \ beta (x) %% pre %% x \ až %% ekvivalent i sa píše %% \ alfa (x) \ sim \ beta (x) %%, t.j.

$$ \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\beta (x) )(\alpha(x))) = 1,$$

Veta o nahradení b.m. funkcie ekvivalentné

Nech %% \alpha (x), \alpha_1 (x), \beta (x), \beta_1 (x) %% - b.m. funkcie pre %% x \ až %% a %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %% potom $$ \ lim \ limity_ (x \ až a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \ limity_ (x\to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcie.

Nech %% \ alfa (x) %% - b.m. funkciu na %% x \ na %%, potom

1. %%\sin(\alpha(x))\sim\alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 -\cos(\alpha(x))\sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
6. %%\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x)%%
7. %%\displaystyle \sqrt[n](1+\alpha(x)) - 1\sim\frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x))-1\sim\alpha(x)\ln(a)%%

zadok

$$\begin(pole)(ll)\lim\limits_(x\to 0)(\frac(\ln\cos x)(\sqrt(1+x^2)-1))&=\lim\limits_ (x \ až 0) (\frac (\ln (1 + (\cos x - 1))) (\frac (x^2) (4))) = \\ & = \lim \limits_(x \to 0)(\frac (4(\cos x - 1))(x^2)) = \\&=\lim \limits_(x\to 0)(-\frac(4x^2)(2x^ 2) ) = -2 \ koniec (pole) $$

Nekonečne skvelé funkcie

Zavolá sa funkcia %% f (x) %%. nekonečne skvelé(B.B.) s %% x \ na \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, takže s týmto platným argumentom sa funkcia nemôže prekryť.

Podobne ako b.m. funkcie porozumenia B.B. funkcie sú neoddeliteľne spojené so zadaniami o zmene argumentu. Môžete hovoriť o B.B. funkcie pri %% x \ do a + 0 %% i %% x \ do - 0 %%. Pojem „nesmierne veľký“ nie je o absolútnom význame funkcie, ale o charaktere zmeny v okolí daného bodu. Žiadne konštantné číslo, bez ohľadu na to, aké skvelé to nebolo pre absolútne hodnoty, nie nekonečne veľké.

uplatniť

1. Funkcia %% f (x) = 1 / x %% - B.B. pri %% x \ až 0 %%.
2. Funkcia %% f (x) = x %% - B.B. na %%x\to\infty %%.

Ak ste vikonan, myslite na $$ \begin(pole)(l)\lim\limits_(x\to a)(f(x))=+\infty,\\\lim\limits_(x\to a )(f( x)) = - \infty, \end(pole)$$

potom hovoriť o pozitívne alebo negatívne B.B. pri funkcii %% a %%.

zadok

Funkcia %% 1 / (x ^ 2) %% - kladná B.B. pri %% x \ až 0 %%.

Zvyazok mizh B.B. ja b.m. funkcie

Yakscho %%f(x)%% - B.B. s %% x \ na funkciu %%, potom %% 1 / f (x) %% - b.m.

pri %% x \ na %%. Yakscho %% \ alfa (x) %% - b.m. na %% x \ k funkcii %%, vіdminna vіdnna vіd nо nula na deykoї prerazený nої nої bod %% a %%, potom %% 1 / \ alfa (x) %% - B.B. pri %% x \ na %%.

Sila nekonečne skvelých funkcií

Predstavujeme oštep autority B.B. funkcie. Cі orgány bez sprostredkovateľského kvičania od vymenovania B.B. funkcie a dominancia funkcií, ktoré vykresľujú koniec hraníc, ako aj vety o väzbách medzi B.B. ja b.m. funkcie.

1. Tvir posledného čísla B.B. funkcie na %% x \ až %% є B.B. funkcia na %% x \ na %%. Dobre, takže %% f_k(x), k = \overline(1, n) %% - B.B. funkcia pri %% x \ až %%, potom v skutočnej prerazenej oblasti okolo bodu %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i podľa vety o väzbách B.B. ja b.m. funkcie %% 1 / f_k (x) %% - b.m. funkcia na %% x \ na %%. Prejdite %%\displaystyle \prod ^(n)_(k=1)1/f_k(x)%% - funkcia B.M na %%x\na %% a %%\displaystyle \prod ^(n) _ (k = 1) f_k (x) %% - BB funkcia na %% x \ na %%.
2. Tvir B.B. funkcie pri %% x \ až %% i funkcie, ako v skutočnej punkcii blízko bodu %% a %% pre absolútne hodnoty väčšie ako kladná konštanta, є B.B. funkcia na %% x \ na %%. Zokrema, TVir B.B. funkcie na %% x \ na %% i funkcie, ktoré môžu byť v bode %% a %% konečná nenulová hranica, budú B.B. funkcia na %% x \ na %%.

Množstvo vymenených v deakіy prerazených blízko bodu %% a %% funkcie i B.B. funkcie na %% x \ až %% є B.B. funkcia na %% x \ na %%.

Napríklad funkcie %% x - \ sin x %% i %% x + \ cos x %% - B.B. na %%x\to\infty %%.

3. Suma dva B.B. funkcie na %% x \ na %% є nevýznamnosť. Zalezhno v podobe znaku dodankiv, povaha zmeny takejto sumy môže byť najviac vysoko manipulatívna.

   zadok

   Dajme funkciu %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. funguje na %% x \ až \ infty %%. potom:

   • %% f(x) + g(x) = 3x %% - B.B. funkcia na %% x \ až \ infty %%;
   • % % f (x) + h (x) = 0 % % - b.m. funkcia na %% x \ až \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) \u003d \ sin x %% nezáleží medzi %% x \ až \ infty %%.