Wejście

Funkcje cylindryczne nazywane są rozwiązaniem liniowego równania różniczkowego innego rzędu

de - złożone zmiany,

Parametr, którego można używać do mowy lub wartości złożonych.

Termin „funkcje cylindryczne” upraw dziewiarskich do ich wypraw do tego rodzaju wyposażenia, które (1) rozwija się patrząc na zakłady regionalne, to teoria potencjału regionu cylindrycznego.

Specjalne klasy funkcji cylindrycznych są podane w literaturze dla nazw funkcji Bessela, aw niektórych przypadkach są one przypisane do całej klasy funkcji cylindrycznych.

Teoria funkcji jest dobrze rozłożona, wygląd stołów wykładowych i szeroki obszar stasosuvan służą jako wystarczający środek do sprowadzenia funkcji cylindrycznych do najważniejszych funkcji specjalnych.

Kubuś Rivnyannya Bessela po godzinie rіvnyannya rіvnyannya Laplace i rіvnyannya Helmholtz we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Ta funkcja Bessela ulegnie stagnacji w przypadku wirusowego bagażu o ekspansji hwil, potencjał statyczny jest zbyt mały, na przykład:

1) elektromagnetyczny hvily w cylindrycznym hvilevodі;

2) przewodność cieplna na obiektach cylindrycznych;

3) tworzenie cienkiej okrągłej błony;

4) płynność cząstek w cylindrze, która jest magazynowana przez linię i owijana wokół jej osi.

Funkcje Bessela utknęły na górze listy, na przykład przed godziną przetwarzania sygnału.

Cylindryczne funkcje Bessela są najbardziej rozpowszechnione spośród wszystkich funkcji specjalnych. Zapach uzupełnień numerycznych we wszystkich naukach przyrodniczych i technicznych (zwłaszcza w astronomii, mechanice i fizyce). Na dole fizyki matematycznej rozwijają się funkcje cylindryczne, dla których argumentem jest indeks (jedyny i jedyny), dodają one wartości złożone. Do numerycznego określenia takich projektów konieczne jest opracowanie algorytmów pozwalających na precyzyjne obliczenie funkcji Bessela.

Cel robota kursu: vivchennya funkts_ Bessel i zasosuvannya їkh władze w virіshennі różnicowych іvnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel i zmodyfikowana Rivnyannya Bessel.

2) Określ podstawową moc funkcji Bessela, przejawy asymptotyczne.

3) Widoczność dyferencjału dla dodatkowej funkcji Bessela.

Funkcje Bessela z pozytywną ikoną

Aby uporać się z problemami związanymi z zagadnieniami funkcji cylindrycznych, wystarczy uwzględnić specjalne klasy funkcji, które są pokazywane w danym dniu, jeśli parametr równy liczbie dodatniej (1) jest równy zero.

Zanim tej klasie nadamy bardziej elementarny charakter, niższą teorię, można ją uznać za wartość najważniejszą i możemy być uprzejmi dla wprowadzonej teorii.

Zostanie wykazane, że jedną z odpowiedzi jest

0, 1, 2, …, (1.1)

є Funkcja Bessela jest pierwsza do zamówienia, jaka w jakimkolwiek znaczeniu, zacznij jaka suma z rzędu

O dodatkowe znaki D'Alemberta łatwo się odwrócić, ale szereg, wypatrywać, zbiegać się na całym obszarze złożonej zmiany, również reprezentującej całą funkcję wszystkiego.

Yaksho oznaczają lewą część rywniania (1.1) przez to, aby wprowadzić prędkość rejestrowania występu w serii (1.2), przez

wtedy w wyniku podstawienia możemy

Gwiazdy Vyraz viraz na świątyniach są przyciemnione do zera. Otzhe, funkcja spełnia normę (1.1), czyli funkcję cylindryczną.

Najprostsze funkcje dla klasy, jak wyglądać, to funkcje Bessela w porządku od zera i jedynki:

Zostanie wykazane, że funkcje Bessela niższych rzędów można obracać za pomocą tych funkcji. Dla dowodu dopuszcza się, że a jest liczbą bardziej dodatnią, szereg (1.2) jest mnożony i różnicowany przez. Mi otrimaєmo todі

Analogiczna ranga, mnożąca serię przez znane

Po zróżnicowaniu w równości (1,4 - 1,1) i pomnożeniu dochodzimy do wzorów:

gwiazdy bez linii frontuє:

Wzory Otrimaniego nazwane relacjami rekurencyjnymi dla funkcji Bessela.

Pierwszym krokiem jest umożliwienie funkcji działania zgodnie z rozkazem poprzez funkcję rozkazów zero i jedynki, aby robot mógł szybko przemieszczać się ze składanych stołów funkcji Bessela.

Inne spіvdnoshennya zezwala na podatki utraconych z funkcji Bessela poprzez funkcje Bessela. Dla całego spіvvіdnoshennya maє buti zastępuje się formułą

bez wstępnego ustawiania tych funkcji.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju są po prostu związane z funkcjami rzędu Laurenta:

Współczynniki rozkładu można obliczyć mnożąc rządowe rzędy:

to dzielenie się członkami, jak zemścić się na tych samych krokach. Viconavshi tse, otrimaєmo:

gwiazdy wigilii

Funkcja nazywa się funkcją scho viroblyaє, ponieważ Bessel działa z całą ikoną; Znajomość komunikacji (1.12) podana jest w teorii tych funkcji.

Aby odmówić integracji domowej ryvnyannya (1.1), która daje szeroki zakres funkcji cylindrycznych za pomocą jednej ikony, konieczne jest zastosowanie innych rozwiązań o równym znaczeniu. W ramach takiego rozwiązania można przyjąć funkcję Bessela innego rodzaju, choć nie jest ważne rozważanie analogicznego viraza ze względu na szereg

(- Post-Eiler) czasami pershu, jeśli suma spada do zera.

Funkcja jest regularna na obszarze ze wzrostem. Sama osobliwość dostrzeżonej decyzji pola polega na tym, że można ją obrócić w bzdury, jeśli tak jest. Zagalny viraz funkcji cylindrycznej jest liniową kombinacją rozwiązań podpowiadających

de і - dobry postіynі,

Aby przejść do rozwiązania problemów związanych z tworzeniem się membrany kołowej, winniśmy najpierw poznać funkcje Bessela. Funkcje Bessela є rozwiązania liniowego równania różniczkowego innego rzędu ze względu na zmieniającą się wydajność

Cena nazywana jest rodziną Bessela. Pierwsza sprawa, a drugie rozwiązanie, dotyczy nie tylko zadań okrągłej membrany, ale także wielu innych budynków.

Parametr k, który należy wprowadzić na poziomie (10,1) może wydawać się zagal, ale są pewne wartości dodatnie. Dla danego k rozwiązania nazywamy funkcjami bezziarnistymi rzędu k (nazywa się je również funkcjami cylindrycznymi). Łatwo jest zobaczyć szczegółowo, czy nie mamy żadnych prostych spadków, jeśli próbujemy pozbyć się funkcji nieselekcyjnej zera pierwszego rzędu, jeśli inne zwycięstwa mają jakieś ślady.

Dla zalnego vivchennya funkcji bez pestek od czytelnika do specjalnych książek (div., Na przykład / n, (4.5)

de 1, 2, ..., n - aborcja vypadkovі;

n - liczba vimirivów.

Średnia korekcja kwadratowa opiera się na wyżej wymienionym kryterium oceny dokładności vimirivu. Przyjrzyj się kilka razy, aby osiągnąć styl i dobrze sobie wyobrazić manifestację wielkiego rodzaju ułaskawienia, które, nawiasem mówiąc, zaczyna się w rzeczywistości.

Wzór (4.5) jest ustalony do obliczania średniego odchylenia kwadratowego, jeśli istnieje wartość odniesienia dla ilości. Ceny za praktykę są jeszcze gorsze. Z reguły wartość referencyjna pewnej wartości jest niedostępna, ale można odjąć najważniejszy wynik - średnią arytmetyczną. Możemy przyjąć wzór na obliczenie średniej kwadratowej nieprawidłowego zachowania na dodatkowe ustalenie wyników w średniej arytmetycznej dla tzw. złego zachowania ymovy V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - wyniki dokładnych wartości o tym samym rozmiarze, których znaczenie to X, a średnia arytmetyczna to L. Todi można obliczyć n rodzajów błędów

Δ i = l i - X (4.6)

i najbardziej udane błędy

V i = l i - L. (4.7)

Suma pieniędzy (4.7)

[V] = [l] - nL. (4.8)

Ale, zgodnie z równoważnością (4.4) nL = [l], że

aby suma ostatnich nadużyć była zerowa.

Równoważność (4.6) Równoważność (4.7), rozpoznawalna

Δ i - V i = L - X. (4.10)

W prawej części rywnosty (4.10) znajduje się sztuczka średniej arytmetycznej. Niech її do ε. Todi

Δi = V i + ε. (4.11)

Wstawiamy do kwadratu równości (4.11), bierzemy sumę i dajemy ją n:

[Δ 2] / n = / n + nε 2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva jest częścią ceny pieniędzy – nie tak jak m2. Pozostała część prawej przez równość (4.9) jest równa zero.

m 2 = / n + ε 2. (4.13)

Niewłaściwe zachowanie Vipadkowa przy ε zastępuje średnie wartości, czyli średni kwadrat, średnią arytmetyczną. Dno zostanie przyniesione, oh średnia kwadratowa różnica średniej arytmetycznej

M 2 = ε 2 = m 2 / n. (4.14)

m 2 - m 2 / n = / n lub m 2 (n - 1) / n = / n,

gwiazdy ___________

m2 = / (n - 1) lub m = √ / (n - 1). (4.15)

Formuła (4.15) nazywa się według formuły Bessela tak duży jest bardziej praktyczny. Vaughn umożliwia obliczenie średniej kwadratowej poprawki dla pysznej poprawy wyników w postaci średniej arytmetycznej.

Dla przeciętnego kwadratowego złego zachowania, przeciętny może wzrosnąć, mogę być pewien złego zachowania.

Średnie złe zachowanie (Θ) nazywa się średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości złego zachowania, tobto.

Θ = (| Δ 1 | + | Δ 2 | +… + | Δ n |) / n = [| Δ |] / n. (4.16)

Teoretycznie można popełnić błąd, n → ∞ = 0,8 m, ale dla m = 1,25 ?.

W przypadku stosowanej żywności narzekają jestem głodny r. To samo znaczenie nazywa się nikczemnym oszustwem w jednym rzędzie równych vimirivów, ale jest tak samo, jak można temu zaprzeczyć, więc jest to mniejsza wartość, dla wartości bezwzględnej. Dla nawyków znakhozhennya r usi otrzymał numer mogą na swoim miejscu w kolejności wzrostu wartości bezwzględnej i wybrać te wartości, jak pożyczanie środkowej pozycji, tak aby było mniej niż ten styl, ale coraz więcej. Aborcja Ymovіrna jest związana, jeśli środkowy kwadrat niższości r = 2/3 m = 0,67 m dla m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> Θ і m> r, jak wywnioskować, że średnie kwadratowe złe zachowanie lepiej charakteryzuje dokładność vimirіv, nіzh środkowy w imovirna zaprzeczyć.

Ocena trafności takich wartości zmiennych, jak linie, pola i pola, jest często dla pomocy obracana dopuszczalne oszustwo... Nazwa absolutnego złego zachowania do wartości wimriańskiej wartości jest istnym złym zachowaniem. Częstym błędem jest zapisywanie jako ułamek, w liczbie którego jest jeden, a standardowo - liczba, pokazująca część wartości rozmiaru, dopuszcza się pomyłkę. Na przykład po stronie D = 150 m wimirian z bezwzględnym pochyleniem m d = 0,05 m. Również różnica w wyniku wimira wynosi m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Wartość 1/3000 oznacza, że ​​w odległości 3000 m od trybuny dopuszczalne jest uprowadzenie na 1 m. Dokładność wszystkich pomiarów liniowych w geodezji musi być potwierdzona jako dokładne, gdyż należy kierować się ogólnymi instrukcjami i instrukcjami wykonania tego typu robotów geodezyjnych.

FEDERALNA AGENCJA ZAKŁADU

STERLITAMATSKA FILIA

KSIĄŻKA KRAJOWA

VISCHOЇ PROFESSIONO EVOLVE

UNIWERSYTET BASHKIRSKIY DERZHAVNIY

Wydział Ekonomii

Katedra Matematyki i Informatyki

Robot kursu

na temat:

Funkcje Bessela

Uczeń Vikonav 2 kurs

grupa PMII-08

Aleksandrowa A.Ju._______

„___” ____________ 2010r.

Naukowy Kerivnik

doktorat, art. wn.

Sidorenko O. G. _______

„___” ____________ 2010r.

Sterlitamak 2010

Wejście

1 Funkcje Bessela ze znakiem dodatnim

2 funkcje Bessela z jednym znakiem

3 Dom manifestacji Funkcje cylindryczne. Funkcje Bessela innego rodzaju

4 Rozszerzenie szeregu funkcji Bessela innego rodzaju o całą ikonę

5 funkcji Bessela trzeciego rodzaju

6 Funkcje Bessela argumentu jawnego

7 funkcji cylindrycznych z indeksem, które kosztują połowę niesparowanej liczby całkowitej

8 Asymptotyczne wyznaczanie funkcji cylindrycznych dla wielkich wartości argumentów

9 funkcji cylindra zerowego

Visnovok

Lista literatury

Wejście

Funkcje cylindryczne nazywane są rozwiązaniem liniowego równania różniczkowego innego rzędu

, (1) - zmiana złożona, - parametr, który można wykorzystać do mowy lub złożonego znaczenia.

Termin „funkcje cylindryczne” upraw dziewiarskich do ich wypraw do tego rodzaju wyposażenia, które (1) rozwija się patrząc na zakłady regionalne, to teoria potencjału regionu cylindrycznego.

Specjalne klasy funkcji cylindrycznych są podane w literaturze dla nazw funkcji Bessela, aw niektórych przypadkach są one przypisane do całej klasy funkcji cylindrycznych.

Teoria funkcji jest dobrze rozłożona, wygląd stołów wykładowych i szeroki obszar stasosuvan służą jako wystarczający środek do sprowadzenia funkcji cylindrycznych do najważniejszych funkcji specjalnych.

Kubuś Rivnyannya Bessela po godzinie rіvnyannya rіvnyannya Laplace i rіvnyannya Helmholtz we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Ta funkcja Bessela ulegnie stagnacji w przypadku wirusowego bagażu o ekspansji hwil, potencjał statyczny jest zbyt mały, na przykład:

1) elektromagnetyczny hvily w cylindrycznym hvilevodі;

2) przewodność cieplna na obiektach cylindrycznych;

3) tworzenie cienkiej okrągłej błony;

4) płynność cząstek w cylindrze, która jest magazynowana przez linię i owijana wokół jej osi.

Funkcje Bessela utknęły na górze listy, na przykład przed godziną przetwarzania sygnału.

Cylindryczne funkcje Bessela są najbardziej rozpowszechnione spośród wszystkich funkcji specjalnych. Zapach uzupełnień numerycznych we wszystkich naukach przyrodniczych i technicznych (zwłaszcza w astronomii, mechanice i fizyce). Na dole fizyki matematycznej rozwijają się funkcje cylindryczne, dla których argumentem jest indeks (jedyny i jedyny), dodają one wartości złożone. Do numerycznego określenia takich projektów konieczne jest opracowanie algorytmów pozwalających na precyzyjne obliczenie funkcji Bessela.

Cel robota kursu: vivchennya funkts_ Bessel i zasosuvannya їkh władze w virіshennі różnicowych іvnyans.

Zawdannia:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel i zmodyfikowana Rivnyannya Bessel.

2) Określ podstawową moc funkcji Bessela, przejawy asymptotyczne.

3) Widoczność dyferencjału dla dodatkowej funkcji Bessela.

1 Funkcje Bessela ze znakiem dodatnim

Aby przyjrzeć się problemom związanym z funkcjami cylindra, wystarczy uwzględnić specjalne klasy funkcji, które są pokazywane w danym dniu, jeśli parametr

w rodzinie (1) jest zero i cała liczba dodatnia.

Do końca zajęć nosić bardziej elementarny charakter, niższą teorię, uważaną za o wartości dominującej

, może być dobrym wprowadzeniem do teorii.

Zostanie wykazane, że jedną z odpowiedzi jest

0, 1, 2, …, (1.1)

є Funkcja Bessela pierwszego rodzaju

jaka dla wartości be-jak, czyli zacznij jaka suma z rzędu (1.2)

O dodatkowe znaki d'Alemberta łatwo się odwrócić, ale szereg, wypatrując, zbiegają się na całym obszarze złożonej zmiany, również reprezentując całą funkcję

.

Jak oznaczyć lewą część równania (1.1) do

i wprowadź rekord prędkości występu w rzędzie (1.2), do

wtedy w wyniku podstawienia możemy

następne gwiazdki

Dodatkowo krzywe na skroniach są przyciemnione do zera. Otzhe, funkcja spełnia normę (1.1), czyli funkcję cylindryczną.

Najprostsze funkcje dla klasy, jak wyglądać, to funkcje Bessela w porządku od zera i jedynki:

(1.3)

Zostanie wykazane, że funkcje Bessela niższych rzędów można obracać za pomocą tych funkcji. W celu potwierdzenia przyjmuje się, że a jest liczbą dodatnią, szereg (1.2) mnoży się przez

doradzał. Mi otrimaєmo todi (1.4)

Analogiczna ranga, mnożąc rząd przez

znany (1.5)

Różnicowanie w równości (1.4 - 1.1) i mnożnik

, Dochodzimy do wzorów: (1.6)

gwiazdy bez linii frontuє:

(1.7) (1.8)

Wzory Otrimaniego nazwane relacjami rekurencyjnymi dla funkcji Bessela.

Zamówienie.

chcę (- α) (\ styl wyświetlania (- \ alfa)) wyhoduj tę samą rivnyannya, zadzwoń do domu o tych, którzy widzieli różne funkcje (spróbuj na przykład, aby funkcja Bessela była płynna α (\ styl wyświetlania \ alfa)).

Funkcje Bessela zostały po raz pierwszy nazwane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego i nazwane na cześć Fridrikha Besela.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

✪ Zmіshane zavdannya kolі. Funkcje Bessela

✪ Różnicowa Riwniania | Rivnyannya Bessel i pidhid do rewizji Yogo

✪ Metody fizyki matematycznej. Profesor Tichonow Mykoła Andrijowicz (Wykład 1)

✪ Różnicowa Riwniania | Całkowa detekcja funkcji Bessela 1

✪ 13. Zachęty do funkcji Walsha

Podtytuł

Kneblowanie

Rivnyannya Bessel's winnyaє po godzinie rіvnyannya rіvnyannya Laplace i rіvnyannya Helmholtz we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Ta funkcja Bessela ulegnie stagnacji w przypadku wirusowego bagażu o ekspansji hwil, potencjał statyczny jest zbyt mały, na przykład:

• elektromagnetyczny hvily w cylindrycznym hvilevodі;
• przewodność cieplna w obiektach cylindrycznych;
• tworzenie kolonii cienkiej okrągłej błony;
• róża natężenia światła, dyfrakcyjna na okrągłym otworze;
• małość cząstek w cylindrycznym kształcie, zapamiętana przez linię i owinięta wokół jej osi;
• Hvilyovi działa na sferycznie symetrycznych ekranach potencjału.

Funkcje Bessela utknęły na górze listy, na przykład przed godziną przetwarzania sygnału.

Viznachennya

Oskіlki nominowany іvnyannya є linіynim różnica równa w innej kolejności nowa firma ma dwa rozwiązania niezależne od linii. Jednak głęboko z otoczenia wibruje wzrost liczby decyzji. Deyakі z nich jest skierowany poniżej.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju, czyli є rozwiązanie, kincew w punktach x = 0 (\ styl wyświetlania x = 0) ze wszystkimi ludźmi, którzy nie są α (\ styl wyświetlania \ alfa)... Wibracje określonych funkcji i normalizację inicjują władze. Możliwe jest użycie funkcji do dodatkowego umieszczenia w wierszu Taylora zera (lub w większym wierszu stanu z α (\ styl wyświetlania \ alfa)):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (−1) m m! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) = \ suma _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (m)) (m! \, \ Gamma (m + \ alfa +1))) (\ lewo ((\ frac (x) (2)) \ prawo)) ^ (2m + \ alfa))

Tutaj Γ (z) (\ styl wyświetlania \ Gamma (z))- Funkcja gamma Eulera, przypisująca czynnik wartościom innym niż cel. Wykres funkcji Bessela jest podobny do sinusoidy, której liczba proporcjonalnie zanika 1 x (\ styl wyświetlania (\ frac (1) (\ sqrt (x)))), życzę sobie ze względu na zerową funkcję rozetowania nie okresowo.

Wykresy unoszą się poniżej J α (x) (\ styl wyświetlania J _ (\ alfa) (x)) za, 1 i 2:

Funkcje Neumanna są również nazywane funkcjami Bessela innego rodzaju. Kombinacja liniowa funkcji Bessela pierwszej i drugiej strony є poza decyzją Riwniania Bessel:

y(x) = C1Jα(x) + C2Yα(x). (\ styl wyświetlania y (x) = C_ (1) J _ (\ alpha) (x) + C_ (2) Y _ (\ alpha) (x).)

Wykres jest wskazany poniżej Y α (x) (\ styl wyświetlania Y _ (\ alfa) (x)) dla α = 0 (\ styl wyświetlania \ alfa = 0), 1 i 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) dx = (0; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alpha) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alpha) (\ mu _ (2) x) dx) = \ left \ ((\ początek (macierz) 0 & (\ mbox (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alfa) (\ mu _ (1)) ) ^ (2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ end (macierz)) \ prawo ..)

Asymptotyki

W przypadku funkcji Bessela pierwszy i drugi rodzaj są podane za pomocą wzorów asymptotycznych. Z małymi kłótniami (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 to nie jest α (\ styl wyświetlania \ alfa) smród wygląda tak:

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α, (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ rightarrow (\ frac (1) (\ Gamma (\ alfa +1))) \ lewy ((\ frac (x) (2)) \ prawy) ^ (\ alfa),) Y α (x) → (2 π [ln ⁡ (x / 2) + γ]; α = 0 - Γ (α) π (2 x) α; α> 0,) \ rightarrow \ left \ ((\ początek (macierz) (\ frac (2) (\ pi)) \ left [\ ln (x / 2) + \ gamma \ right] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alpha)) (\ pi)) \ lewo ((\ frac (2) (x)) \ prawo) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ koniec (matryca)) \ prawy.,)

de γ (\ styl wyświetlania \ gamma)- Postyna Eyler-Maskeroni (0.5772...) oraz Γ (\ styl wyświetlania \ Gamma)- Funkcja gamma Eulera. Za wielkie argumenty ( x | α2 - 1/4 | (\ displaystyle x \ gg | \ alfa ^ (2) -1/4 |)) formuły wyglądają tak:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x - α π 2 - π 4), (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ rightarrow (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x) ) ) \ cos \ lewo (x - (\ frac (\ alfa \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ prawo),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x - α π 2 - π 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ rightarrow (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ left (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ prawo).)

Szeregi hipergeometryczne

Funkcje Bessela można obracać za pomocą funkcji hipergeometrycznej:

J a (z) = (z / 2) aΓ (a + 1) 0 F 1 (a + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alpha)) (\ Gamma (\ alpha +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alfa +1; -z ^ (2) / 4).)

W takiej randze na całość α (\ styl wyświetlania \ alfa) Funkcja Bessela jednoznaczny analityczny, a dla nie-tsіlich - sensowne analityczne.

Funkcja Virobnycha

Jest jasne stwierdzenie dla funkcji Bessela pierwszego rodzaju iw całym porządku poprzez funkcje Laurenta, funkcję formy liczby pojedynczej i samą siebie:

e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ left (w - (\ frac (1) (w)) \ right)) = \ suma _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)