Szeregi operatorów Taylora. Rozmieszczenie funkcji w rzędzie statycznym

30.07.2020

Vivechauchim szukam matematyki winnym jest mieć świadomość, że przy sumie takiego szeregu statycznego, która powinna leżeć w przedziale danego szeregu, funkcja pojawia się bez przerwy i bez przerwy. Winić odżywianie: jak potwierdzić, że podana jest wystarczająca funkcja f(x) – suma tak ułożonego szeregu? Więc dla niektórych umysłów funkcję f (x) można przedstawić za pomocą stanu obok niej? Znaczenie takiego odżywiania polega na tym, że można w przybliżeniu zastąpić funkcję f(x) sumą dziesięciu pierwszych członów szeregu stanów, czyli wielomianem. Taka zamiana funkcji może być wykonana za pomocą prostego virase - bogatego terminu - є poręcznego i virishenni zadań dnia i samej siebie: z wariancją całek, z obliczeniami itp.

Wykazano, że dla znaku f-ії f(x), w którym można obliczyć następny w (n + 1)-tym rzędzie, w tym resztę, w pobliżu (α - R; x 0 + R) punktu rozdzielczego x = α dostateczna є formuła:

Formuła Tsya do noszenia im'ya w imię wielkiej Brooke Taylor. Rząd wzięty z przodu to rząd Maclaurina:

Z reguły, jeśli mogę rozłożyć serię Maclaurina:

Wyznacz pierwsze, drugie, trzecie… rozkazy.
Oblicz dlaczego warto x=0.
Zapisz szereg Maclaurina dla danej funkcji, po którym wyznacza się przedział wydajności jogicznej.
Oblicz przedział (-R;R), de-redundantną część wzoru Maclaurina

R n (x) -> 0 dla n -> niespójność. Jako taka, funkcja f(x) jest odpowiedzialna za sumę szeregu Maclaurina.

Przyjrzyjmy się teraz kilku funkcjom Maclaurina.

1. Odtąd pierwszym będzie f (x) \u003d e x. Jest oczywiste, że ze względu na swoją specyfikę taka funkcja może być podobna do najczęstszych rzędów, ponadto f (k) (x) = e x, de k jest bardziej prawdopodobne, że będzie x = 0. Zabieramy f (k) (0) = e 0 =1, k = 1.2...

2. Szereg Maclaurina dla funkcji f(x) = sin x. Cóż, jasne jest, że funkcja jest dobra dla wszystkich matek nie-domicznych, wcześniej f „(x) \u003d cos x \u003d grzech (x + n / 2), f „” (x) \u003d -sin x \ u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x) = sin(x+k*n/2), Liczba naturalna. Tak więc po wykonaniu niespójnych cięć możemy wykonać ściegi, aby szereg dla f (x) = sin x wyglądał tak:

3. Spróbujmy teraz przyjrzeć się funkcji f(x) = cos x. Wygrał wszystkie nevіdomih może pokhіdnі wystarczającą kolejność, ponadto |f (k) (x)| = | cos(x + k * n/2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Dokonaliśmy również przeglądu najważniejszych funkcji, które można rozszerzyć do szeregu Maclaurina, prote їх, aby uzupełnić szereg Taylora tych funkcji. Nini mi pererahuєmo i їх. Varto oznacza również, że rzędy Taylora i Maclaurina są ważną częścią praktyki doskonalenia rzędów w całej matematyce. Ojcze, kochaj Taylora.

1. Pierwszy rząd będzie f-ії f (x) \u003d ln (1 + x). Podobnie jak przednie tyłki, aby dać nam f (x) = ln (1 + x), możemy złożyć wiersz, który wygląda jak wiersz Maclaurina. jednak dla tej funkcji seria Maclaurin może być znacznie prostsza. Po zintegrowaniu tej serii geometrycznej bierzemy serię dla f (x) \u003d ln (1 + x) takiego elementu:

2. Do drugiego, co zakończymy w naszym artykule, będzie szereg dla f(x) = arctg x. Dla x, który powinien być oddzielony [-1; 1] sprawiedliwy układ є:

Na kogo wszystko. W tych statystykach rzędy Taylora i Maclaurina były analizowane w innych matematykach, naukach ścisłych, na uniwersytetach ekonomicznych i technicznych.

Jaka jest funkcja f(x) Maj w następnej przerwie, aby pomścić punkt a, podobnie jak we wszystkich zamówieniach, można przed nią utknąć formułę Taylora:

de rn- a więc tytuły członka zbędnego lub wiersz zbędny, które można ocenić za pomocą wzoru Lagrange'a:

, liczba de x jest umieszczona pomiędzy Xі a.

Yakshcho dla znaczenia deyakogo x r n®0 w n®¥, to pomiędzy formułą Taylora przekształca się dla tej wartości na zbliżoną Seria Taylora:

Tak więc funkcja f(x) można ułożyć w rzędzie Taylora w widocznym miejscu X, lubić:

1) może być gorszy ze wszystkich zamówień;

2) seria podpowiedzi zbiega się w punktach.

Na a=0 wiersz otrimuemo, szeregi chorąży Maclaurina:

tyłek 1 f(x)= 2x.

Rozwiązanie. Znamy wartość funkcji i її podobne w X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x w 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ja n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ja n 2 = ln n 2.

Podstawiając wartości podobnych wzorów do szeregu Taylora, przyjmujemy:

Promień życia tego rzędu jest droższy niż niespójność, więc ten rozkład jest sprawiedliwy dla -<x<+¥.

tyłek 2 X+4) dla funkcji f(x)= mi x.

Rozwiązanie. Znamy podobne funkcje x ta sama wartość w punkcie X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n) (x)= e x, f(n) ( -4) = e -4 .

Ponownie można zobaczyć szereg funkcji Taylora:

Ta dystrybucja obowiązuje również dla -¥<x<+¥.

tyłek 3 . Rozwiń funkcję f(x)=ln x z rzędu za schodami ( X- 1),

(Tobto w szeregu Taylora w sąsiedztwie punktu X=1).

Rozwiązanie. Znamy podobne funkcje.

Podstawiając wartości wzoru, bierzemy szereg Taylora:

Aby uzyskać dodatkową pomoc, znaki d'Alembert można zmienić tak, aby rząd zbiegał się w

½ X- 1½<1. Действительно,

Liczba zbieżnych, yakscho? X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X\u003d 2 bierzemy rząd, który jest rysowany, co cieszy umysły znaków Leibnitza. Na X=0 funkcja nieprzypisana. W tej kolejności obszar zbіzhnostі do szeregu przedziałów Taylora є napіvvіdkritiy (0; 2).

Odrzućmy podobną rangę rozprzestrzeniania się w rzędzie Maclaurina (czyli w pobliżu punktu) X=0) dla rzeczywistych funkcji elementarnych:

(2) ,

(3) ,

( reszta układu nazywa się bіnomim dalej)

tyłek 4 . Ułóż funkcję w szeregu

Rozwiązanie. Na rozkładówce (1) wymienne X na - X 2, akceptujemy:

tyłek 5 . Rozwiń funkcję Maclaurina w serii

Rozwiązanie. Maymo

Korzystając ze wzoru (4) możemy napisać:

reprezentujący zastępcę X formuła -X, Bierzemy:

Wiemy:

Krzywiąc łuki, przestawiając członków rzędu i roblyachi, biorąc pod uwagę podobne dodankіv, jest to możliwe

Czyje szeregi są zbieżne w przedziale

(-1; 1), odłamki win odejmując od dwóch rzędów, których skórki zbiegają się w tym przedziale.

Szacunek .

Formuły (1)-(5) mogą być użyte do rozwinięcia funkcji rekurencyjnych do szeregu Taylora, to znaczy. do rozmieszczenia funkcji dla wielu stopni dodatnich ( Ha). Dla których nad daną funkcją konieczne jest utworzenie takiej transformacji, aby w taki sposób przyjąć jedną z funkcji (1) - (5) X koszt k( Ha) m, gdzie k jest liczbą stałą, m jest całkowitą liczbą dodatnią. Często, z kim, ręcznie wymień węża t=Ha i poszerzyć funkcję t serii Maclaurin.

Ta metoda ilustruje twierdzenie o jedności rozwinięcia funkcji w szereg. Istota tego twierdzenia polega na tym, że w pobliżu jednego i tego samego punktu nie można odjąć dwóch różnych szeregów stanów, tak jakby zbiegały się do jednej i tej samej funkcji, bez względu na to, w jaki sposób nie dokonano rozwinięcia .

tyłek 6 . Rozwiń funkcję w szeregu Taylora na obrzeżu punktu X=3.

Rozwiązanie. Dlatego zadanie można zmienić, jak poprzednio, dla dodatkowego celu szeregu Taylora, dla którego konieczna jest znajomość podobnych funkcji i ich wartości dla X=3. Jednak łatwiej będzie przyspieszyć oczywiste układy (5):

Szereg odejmowania zbiegają się dla lub -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

tyłek 7 . Napisz serię Taylora za krokami ( X-1) funkcje .

Rozwiązanie.

Zbieżność wierszy dla lub -2< x 5 funtów.

Przedstawiono metodę odsprzęgania funkcji wikorystycznych, dekomponujących do szeregu Taylora. Aby wywołać zastój w tej metodzie potęgi małej i rozmieszczenia funkcji elementarnych aż do szeregu Maclaurina. Podobno przeanalizowano, aby zastosować różnicę między, aby pomścić nieistotność ∞ - ∞, jednostopniową niewyraźnością i 0/0.

Zmist

Metoda wiśniowa

Jedną z najbardziej zaawansowanych metod rozwiązywania niespójności i obliczania między funkcjami jest szereg Taylora. Zastosuvannya tej metody powstaje z nadchodzących etapów.
1) Indukowalna niewidzialność dla umysłu 0/0 przy zmianie x, który jest równy zero. Dla kogo, jak to konieczne, trzeba przemienić i prawdopodobnie zastąpić zmianę.
2) Na obrzeżach punktu x = . rozmieść liczbę i baner dla szeregu Taylora 0 . W miarę możliwości możliwe jest rozszerzenie do takiego kroku xn, który jest niezbędny do przyjęcia nieistotności. Inni członkowie należący do o (xn).

Ta metoda może być zastosuvat, akscho zgodnie z punktem 1), funkcje w księdze liczbowej i sztandarze mogą być ułożone w rzędzie.

Dostosuj ręcznie układ funkcji składania i zliczanie funkcji za ofensywnym schematem. A) Za pomocą wskaźnika ustawiamy scenę n, do której wykonujemy układ.
B) Zastosovuєmo obniżenie wzorów na rozwinięcie funkcji w szeregu Taylora, przyjęcie w nich wyrazów do włącznie i usunięcie wyrazów z , lub zastąpienie ich przez .
C) W przypadku funkcji zwijanych rozsądnie jest zastąpić te zmieniające się, aby argument części skórki wzrósł do zera przy . Na przykład,
.
Tu na . Następnie możesz przekręcić układ funkcji na obrzeżach punktu.

Notatka. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora w pobliżu punktu nazywamy chorąży Maclaurina. Do tego dla zastosovuvanih w naszych celach nazywa się szereg przestępstw przed rechnі.

Zastosovuvani moc mała

Celem tego dowodu autorytetu na małe jest wskazanie stron: „O wielkim, to o małym. Por_vnyannya funktsii". Tutaj jesteśmy podżegani przez władze, które zwyciężają, gdy rozvyazanny między rozladannyam do rzędu Maclaurina (tobto w).

Dali m i n są liczbami naturalnymi, .
;
;
, jakscho;
;
;
;
, de;
, de c ≠ 0 - Postijna;
.

Aby udowodnić te moce, trzeba trochę powiedzieć za pomocą nieskończenie małej funkcji:
de .

Rozkład funkcji elementarnych w szereg Taylora (Maclaurina)

;
;
,
de;
;
;
,
Liczby de - Bernoulliego: , ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Stosować

tyłek 1

Oblicz między sekwencjami, w zastępstwie kładąc się do rzędu Taylora.
.

Tse nieistotny umysł niespójność minus niespójność. Indukowany її do nieistotnego umysłu 0/0 . Dla kogo transformacja to vikonuemo.

.
Tutaj skłamaliśmy, że liczba elementu sekwencji n może przyjmować więcej niż wartości dodatnie. Tomek. Robimo zastąpi zmianę. Na . Shukatimemo między vvazhayuchi, scho x to liczba rzeczywista. Jako granica między podstawami, wina są niezbędne i czy istnieje kolejność, aby zejść do zera. Dodatkowo w trosce o spójność.

.
Rozwińmy tę funkcję do książki liczbowej w szeregu Taylora. Formuła Zastosovuєmo:
.
Potrzebujemy tylko członka liniowego.
.
.
Tu leżeliśmy, że odłamki są granicami dwustronnymi, to są równe granicami jednostronnymi. Tomek.

tyłek 2

Pokaż, że znaczenie kolejnej cudownej granicy można odebrać, układając ją w szereg Taylora.

Robimo zastąpi zmianę. Todi. Na . Wyobraźmy sobie.
.

Aby obliczyć granicę, możesz wziąć pod uwagę znaczenie zmiany t, czy to za plecami ogrodzenia, przebij punkty na obwodzie. Troszczymy się, Sho. Wygrywają te, których wykładnik i logarytm naturalny są odwrócone przez funkcje jeden do jednego. Todi
.

Obliczanie granicy między przedstawieniem, wikariuszem, krokiem naprzód do rzędu Taylora:
.
.

Jeśli wykładnik jest funkcją nietrwałą dla wszystkich wartości argumentu, to twierdzenie między funkcją nietrwałą a funkcją może być:
.

tyłek 3

Oblicz granicę, vicorist i rozciągnij do rzędu Taylora.
.

Tse nieistotny umysł 0/0 . Vikoristovuemo taki rozkład funkcji na obrzeżach punktu:
;
;
.

Rozszerzmy się do dokładnych wyrażeń kwadratowych:
;
.
Cyfra i baner dzielimy na i znamy pomiędzy:
.

tyłek 4

Virishiti między za pomocą awantury Taylora.
.

Łatwo bachiti, scho tse nieistotny umysł 0/0 . Rozwijanie krzywej, zastosovuchi układanie funkcji do szeregu Taylora. Vikoristovuemo wskazując więcej:
(P4.1) .
Zamień x na -x w układzie wykładnika:
(P4.2) .
Dali - funkcja składania. Zastąpmy zmianę. Na . W tym celu możemy przekręcić układ logarytmu naturalnego na obrzeżach punktu. Vykoristovuєmo indukuje szerszy układ, w którym zmieniamy x na t:
(P4.3) .

Ważne jest, aby zmniejszyć funkcję , a następnie dla . Nie można sobie wyobrazić, że z przodu odłamki zatrzymają się na obrzeżach punktu. W każdym nastroju potrzebowalibyśmy takiego vikonati:
.
Nawet gdybym mógł zastosuvat rozladannya (P4.3).

Spróbujmy przekroczyć granicę, mrugając do pierwszego kroku zmiany x: . Tobto wypełniamy tylko post-członkami, aby nie leżeć w x:, a liniowo. Inne sprawdzimy. Dokładniej przenieś do .
;
;
.
Oskіlki, a następnie w układzie logarytmu możemy zobaczyć członków, zaczynając od kroku 2. Zastosovuchi, wnoszący więcej mocy do małego maєmo:

.
Zastąp na granicy:

.
Ponownie usunęliśmy znikomość umysłu 0/0 . Więc sam układ to za mało.

Gdy wspinamy się na wyższy poziom, to znowu przyjmę nieistotność:
.

Vikonaёmo razkladannya do kroku. Tobto zalishatime mniej członków post_yni i członków z mnożnikami. Inne zawarte w .
;
;

;

.
Pamiętajmy o tym. Dlatego przy rozwinięciu logarytmu konieczne jest dodanie wyrazów, zaczynając od kroków, zwiększając je. Układ Vikoristovuemo (P4.3), zastępując t przez:

.

Zastąp funkcję wyjściową.

.
Wiemy pomiędzy.
.

tyłek 5

Poznaj granicę pomocy dla serii Taylora.
.

Projekt cyfry i banera w serii Maclaurin wykonujemy do kroku czwartego włącznie.

Zapamiętajmy baner. Vikoristovuemo to.

;
;

.

Przejdźmy teraz do liczby. Na . Dlatego nie można zainstalować i zastosuvati rozkladannya, odłamki rozkladannya mogą być zastosuvat w, ale w nas. Szanujemy co. Dlatego dokonajmy transformacji.
.
Teraz możesz utworzyć podstawienie, odłamki o godz.

Rozszerzamy funkcję tego kroku її w szeregu Taylora na obrzeżach punktu. Zastosovuemo.
;
;

;
;
;
;
Dali z szacunkiem, scho. Dlatego, aby uwzględnić układ funkcji składania z dokładnością do , musimy ją rozszerzyć do dokładności .

Oblicz pierwszy logarytm.

; ;
;
.

Weźmy kolejny logarytm. Jogę kierujemy do wzroku, de at.
,
de.

Rozkładamy szereg z Taylora w sąsiedztwie punktu z dokładnością do .
Czy to jest to konieczne:
.
Zamień x na:
. Todi
;

;
Szanujemy co. Dlatego, aby uwzględnić układ funkcji składania z dokładnością do , musimy ją rozszerzyć do dokładności .

Powiemy ci dokładnie do i vrakhovuєmo, scho.

;
.

Znamy układ numeru.

;
;
.

Przedstawiamy układ cyfry i sztandaru oraz znamy granicę.
;
.

Literatura wikoristanu:
L.D. Kudryavtsev, AD Kutasow, V.I. Czechłow, MI Szabunina. Zbiór kierownika analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.

W 2020 roku NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Dostarcz statek kosmiczny na Marsa z elektronicznym nośnikiem z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych uczestników wyprawy.

Rejestracja uczestników głosowania. Zabierz swój bilet na Marsa po błogosławieństwa.

Polub ten post, po rozwiązaniu problemu lub po prostu będąc na ciebie godnym, podziel się swoją siłą ze znajomymi w sieciach społecznościowych.

Musisz skopiować i wkleić jedną z tych opcji kodu do kodu swojej strony internetowej, między tagami і lub zaraz po tagu . Za pierwszą wersją MathJaxa preferowana jest mniejsza i mniej tandetna strona. Kolejna opcja Natomist automatycznie wybiera i aktualizuje do najnowszej wersji MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on musiał być okresowo aktualizowany. Jeśli wstawisz inny kod, strony będą bardziej zainteresowane, więc nie będziesz musiał stale śledzić aktualizacji MathJax.

Włącz MathJax w najprostszy sposób w Bloggerze lub WordPressie: w panelu nawigacyjnym witryny dodaj widżet, przypisania do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj pierwszą lub inną wersję zaawansowanego kodu przedstawionego powyżej i zmień rozmiar widżetu bliżej górna część szablonu (przed mową nie potrzebujemy nowych 'Język, skrypty MathJax są wywoływane asynchronicznie). Od wszystkich. Teraz sprawdź składnię MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawić formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Czergowy przed Nową Skałą... mroźna pogoda, te snizhinki na szibtach... Wszystko skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach, io tych, którzy wiedzą o Wolframie Alpha. Іz thogo drive є tsіkava stattya, w yakіy є pośladkach dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Świat od razu może zobaczyć poskładane kolby trywialnych fraktali.

Fraktal może być wizualnie zamanifestowany (opisany) jako figura geometryczna, jakby był ciałem (zamiatającym po powierzchni, w określonym kierunku, bezosobowym punktem), detalami jak kształt, jak sama widzialna figura. Tobto tse samopodobna struktura, patrząc na szczegóły jakby w powiększeniu, naśladuje samą formę, która jest bez powiększenia. Podobnie w uderzającej wizualnie figurze geometrycznej (nie fraktalu), z drobniejszymi szczegółami, jak gdyby można było wykonać prostą formę, widoczna jest niższa figura. Na przykład, kiedy skończysz dużą część elipsy, wygląda ona jak proste drzewo. Inaczej jest w przypadku fraktali: w przypadku jakiejkolwiek poprawy powtórzymy tę samą formę składania, tak jak w przypadku poprawy skóry, powtarzamy raz za razem.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule Fraktale i nauka w imię nauki: „Fraktale to kształty geometryczne, ale można je składać zarówno w szczegółach, jak i w ich zagalnej formie. fraktala zmniejszy się do rozmiarów całości, będzie wyglądał jak całość lub dokładnie, a może z niewielką deformacją.