Odżywianie Virishiti zbіzhnostі niskie koristuyuchis vyznachennyam. Wiersze numeryczne: nominacja, władza, oznaki bogactwa, tyłek, decyzja

mały. Wskazówki dotyczące rozmiaru czcionki: 14.0pt">~ (dyw. ), a następnie ~ .

Vrakhovuuchi tse, bierzemy:

Otzhe, liczba rozproszonych.

D) wielkość czcionki: 14.0pt">,

Otzhe, liczba rozproszonych.

Umov є niezbędny, ale niewystarczająco uważność awantury: dla tych są awantury bezosobowe, ale yakі tim nie rozprasza się mniej.

przykład 3. Zmień rozmiar czcionki wiersza: 14.0pt"> Rozwiązanie. Szanujemy to https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , czyli potrzeba zdrowia psychicznego jest vikonano. Suma Chastkova

lewo">

- pewnego razu

następnie font-size:14.0pt">, a tse oznacza, że ​​wiersz rozchodzi się poza limit.

Wystarczające oznaki pozytywnych wierszy zbіzhnosti

Pospiesz się. Ten sam wierszrozmiar czcionki: 14.0pt"> Znak wyrównania

Pospiesz się i ta są wierszami ze znakiem dodatnim. Co do wszystkich, istnieją nierówności, te zbіzhnosti wiersz viplyaє zbіzhnіst wiersz, że yakshcho z razbіzhnostі szerokość wiersza = „55”

Ten znak traci siłę, jak niespójność, ale bardziej przypomina naprawę z obecnego numeru. Jogę można interpretować według zbliżającego się porządku: jeśli większy rząd zbiega się, to mniejszy zbiega się bardziej, jeśli mniejszy rząd się rozbiega, to większy również się rozchodzi.

tyłek 4. Margin Collapse Low 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Rozwiązanie.

A) Z szacunkiem, co jest dla wszystkich . wiersz

B) Wiersz po rzędzie ..gif width = "91" height = "29 src = ">. rozpraszać, otzhe, cały rząd również się rozprasza.

Niezależnie od prostoty sformułowania, oznaki równości, w praktyce nadchodzi twierdzenie, które jest ostatnie.

Znak granicy

Pospiesz się https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - wiersze ze znakami dodatnimi. kіntsevyі nie równa zeru granica, a następnie obrażając wiersz i

od razu zbiegają się lub rozpraszają.

Jak rząd, który wygrywa o równość z danimem, często wybieraj rząd gatunków . Taka seria nazywa się Zamówienie Dirichleta. W kolbach 3 i 4 pokazano, że rząd Dirichle'a zi rozchodzą się. Czy możesz wyjść

cześć, co za wiersz rozmiar czcionki: 14.0pt"> .

Yakscho, potem wiosłuj nazywa harmonijny. Seria harmonii do rozbieżności.

Przykład 5. Przejdź do zbіzhnist wierszo pomoc, znaki graniczne są równe, jak

Rozwiązanie. a) Więc jak zdobyć wielkich http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~ , to ~ font-size:14.0pt">sparowany z wierszem zim harmonii rozmiar-czcionki:14.0pt">, a następnie .

Oskіlki między kіntseva i vіdmіnna vіd zero i harmonijny rząd rozchodzą się, a następnie rozchodzą się i podane serie.

B) Dodaj świetne width="111" width="119" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> - główny element serii, z którym będziemy uszereguj podane:

Szeregi zbiegają się ( Dirichlet wiersz w font-size:16.0pt">)więc cała seria jest zbieżna.

v) do tego niesamowicie małego rozmiar czcionki: 14.0pt">możesz

zastąp równoważną wartością(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> z rozmiarem czcionki: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

Daj przypisania szereg liczb dodatnich $sum_(n=1) ^\infty a_n$. Formułujemy niezbędny znak rentowności z rzędu:

1. Jeżeli szereg jest zbieżny, wówczas składnik pośredni jest równy zero: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. Jeśli granica między pierwszym wyrazem szeregu nie jest równa zeru, szereg jest rozbieżny: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Harmonijny rząd

Tsey wiersz napisz w ten sposób $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Ponadto odłogi serii $ p $ zbiegają się i rozchodzą:

1. Jeśli $ p = 1 $, to szereg $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ jest rozbieżny i nazywany harmonicznym, niezależnie od tych, które są ostatnim wyrazem $ a_n = \frac( 1)( n) \do 0$. Dlaczego tak? W związku z tym powiedziano, że niezbędny znak nie świadczy o dochodach, a jedynie o niskich dochodach. Do tego, jakby było wystarczająco dużo znaków, takich jak integralny znak Kosh, to stanie się jasne, że rząd się rozejdzie!
2. Jeśli $ p \ leqslant 1 $, to szeregi są rozbieżne. Tyłek, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, gdzie $ p = \frac(1)(2) $
3. Jeśli $ p > 1 $, szereg jest zbieżny. Tyłek, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, gdzie $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Zastosuj rozwiązanie

Tsya stattya uporządkowane i przekazane informacje, ponieważ jest to możliwe w odpowiednim czasie do analizy praw i zadania. Przyjrzyjmy się tematowi serii liczb.

Artykuł Tsya zaczyna się od głównych funkcji do zrozumienia. Daliśmy standardowe opcje i podstawowe formuły vivimo. W celu zamknięcia materiału, w artykule została umieszczona główna aplikacja.

tezy podstawowe

Możemy reprezentować system: a 1 , a 2 . . . , jakiś , . . . de a k R , k = 1 , 2 . . . .

Na przykład weź następujące liczby, takie jak: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Spotkanie 1

Szereg liczb jest sumą wyrazów ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + n +. . . .

Aby lepiej zrozumieć znaczenie, możemy spojrzeć na vipadok, dla którego q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k .

Spotkanie 2

K k-im niski członek.

Wygląda tak na tę pozycję - 16 · - 1 2 tys.

Spotkanie 3

Suma Chastkova z rzędu wygląda tak: Sn = a1+a2+. . . + n , jaka n-Niech to będzie liczba. S n n-ty suma jest niska.

Na przykład ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1 , S 2 , . . . , Sn , . . . utvoryuyuyut ciąg niespójności szeregu liczbowego.

Za rząd n-a suma znajduje się za wzorem S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Zwycięsko przyjdzie kolejność sum prywatnych: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

Spotkanie 4

Szereg ∑ k = 1 ∞ a k є podobny wtedy, jeśli ciąg może być końcem wiersza S = lim S n n → + ∞ . Jeżeli nie ma granicy lub ciąg nie jest ograniczony, to szereg ∑ k = 1 ∞ a k nazywamy rozbіzhnym.

Spotkanie 5

Sumy wiersz, co jechać∑ k = 1 ∞ a k

Dla tego zastosowania lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , seria ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 tys. zbieżności. Suma jest droga 16 3: ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k = 16 3 .

tyłek 1

Jako tyłek rozbіzhny rzędu możesz umieścić sumę postępu geometrycznego za pomocą większego banera, dolnego: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

suma części na jest określona przez wirazę S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a suma międzyczęściowa nie jest ograniczona: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Innym przykładem ciągu liczb losowych jest suma postaci ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Dla tego rachunku n sumę prywatną można obliczyć jako S n = 5 n . Sumy międzyczęściowe nie są ograniczone lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Spotkanie 6

Suma tej formy to jak ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1w +. . . – ce harmonijny numer wiersza.

Spotkanie 7

Suma ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1ns + . . . , de s- liczba decyzyjna, є zagalnen przez harmoniczny rząd liczbowy.

Więcej informacji o spotkaniach pomoże Ci skomponować więcej aplikacji i zamówień.

Aby dokończyć wizytę, konieczne jest wyrównanie linii.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k

Diemo metodą odwrócenia. Jeśli wina zbiegają się, granica jest cienka. Możesz napisać równe jako lim n → + ∞ S n = S i lim n → + ∞ S 2 n = S . Po zaśpiewaniu opanowanie ma obsesję l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

Navpaki,

S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n

Właśnie takie niespójności to 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . 1 2 n - 1 > 1 2 n . Wyjdź, S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Viraz S 2 n - S n > 1 2 powiedzieć, że lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 jest poza zasięgiem. Szereg rozbіzhny.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Konieczne jest potwierdzenie, że suma ciągu liczb idzie w q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Zgіdno z pomocą wyznaczonych osób, suma n elementy są zależne od wzoru S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Yakscho q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Doprowadziliśmy do zbieżności serii liczb.

Dla q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Suma może być znana z dodatkowego wzoru S n = b 1 · n , między nieskończoną lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . W tym wariancie rząd się rozchodzi.

Yakscho q = - 1 wiersz wygląda jak b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Często sumy wyglądają tak: S n = b 1 dla niesparowanych n, i S n = 0 dla facetów n. Po przyjrzeniu się temu vipadoku ponownie rozważyliśmy, czy nie ma luk i jest wiele różnic.

Dla q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Mi przyniósł, serie numerów scho do rozbieżności.

1. Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s zbiega się tak, że s > 1 i rozchodzą się tak, że s ≤ 1 .

Do s = 1 bierzemy ∑ k = 1 ∞ 1 k , szereg jest rozbieżny.

dla s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,Liczba naturalna. Oskіlki wiersz є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , to nie ma różnicy. Oprócz tego sekwencja ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest nieopisana. Robimo wisnovok s< 1 .

Należy wykazać, że szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest zbieżny, gdy s > 1.

Wyobraź sobie S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s

Załóżmy, że 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Równość reprezentacyjna dla liczb naturalnych i równych n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Bierzemy:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 12 s + 13 s + 14 s +. . . + 17 s + 18 s +. . . + 1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Viraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Suma postępu geometrycznego q = 1 2 s - 1 . Zgіdno z vihіdnimi dannym at s > 1, to 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya i miesza się z bestią 11-12s-1. Oczywiście є między a wierszem є ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Spotkanie 8

Szereg ∑ k = 1 ∞ a k pozytywne dla tego faceta, tak aby wyraz > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Szereg ∑ k = 1 ∞ b k znak jest narysowany jakby znaki liczb były vіdrіznyayutsya. Duńskie zastosowanie reprezentacji yak ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (-1) k ak lub ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,. . . .

Szereg ∑ k = 1 ∞ b k znajomy, rodzinny, do tego w nowej liczbie liczb, ujemnych i dodatnich.

Druga opcja to wiersz - ostatnia linia trzeciej opcji.

Załóżmy go, aby odciągnąć skórę:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

W przypadku trzeciej opcji można również wyznaczyć absolutny komfort psychiczny.

Spotkanie 9

Szereg przemienny ∑ k = 1 ∞ b k absolutnie zawodzi w tym przypadku, jeśli ∑ k = 1 ∞ b k jest również uważany za podobny.

Podobno analizujemy szprota charakterystycznych opcji

tyłek 2

Yakscho rząd 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . i 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . pojawiają się jako podobne, a następnie poprawnie wpisz, że 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Spotkanie 10

Znany szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest uważany za mentalnie podobny do tego, ponieważ ∑ k = 1 ∞ b k jest inny, a szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest uważany za podobny.

tyłek 3

Podajemy opcję ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Jako wariant wybrano szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , który składa się z wartości bezwzględnych. Ta opcja jest ważna, więc łatwo ją rozgryźć. Z pierwszego przykładu wiemy, że szereg ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . bude vvazhatisya mentalnie podobny.

Cechy rzędów, które się zbiegają

Przeanalizujmy moc śpiewania nastrojów

1. Jeżeli ∑ k = 1 ∞ a k będzie zbieżne, to seria ∑ k = m + 1 ∞ a k jest również rozpoznawana jako taka, która jest zbieżna. Możesz określić, który wiersz bez m członkowie są również uważani za podobnych. W vipadku, jeśli dodamy do ∑ k = m + 1 ∞ a k kіlka, wynik, który jest viishov, również będzie podobny.
2. Jak ∑ k = 1 ∞ a k zbieżne i suma = S, to zbieżne szeregi i ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de A- Zostać.
3. Jak ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k є podobne, sumi Aі b tezh, te wiersze ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b k również są zbieżne. Sumi dorivnyuvatimut A+Bі A-B oczywiście.

Określ, który szereg ma powstać ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Zmieńmy ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Rząd ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 jest uważany za podobny, ale rząd ∑ k = 1 ∞ 1 k s kończy się o s > 1. W zależności od drugiej potęgi ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

tyłek 5

Niech szereg ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 jest zbieżny.

Odwracalny wariant kolb ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Odejmujemy sumę ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 i ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Seria skórzana jest uznawana za taką, że można zejść do autorytetu. Fragmenty wiersza zbiegają się, a opcja wyjścia jest taka sama.

tyłek 6

Oblicz, jak szeregi 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + są zbieżne. . . i obliczyć kwotę.

Opcja wyjścia:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Serie skórzane zbiegają się, odłamki są jednym z członków ciągu liczbowego. Vіdpovіdno do trzeciego panowania, możemy liczyć, wariant scho vihіdny jest również podobny. Suma jest obliczana: Pierwszy człon szeregu to ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, a norma = 0 . 5 , a następnie wynika, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Pierwszy wyraz ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , a znak malejącego ciągu liczbowego = 1 3 . Bierzemy: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Vikoristovuєmo virazi, otrimani więcej, aby obliczyć sumę 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Niezbędna inteligencja do powołania, chi є szereg podobnych

Jeżeli szereg ∑ k = 1 ∞ ak є jest podobny, to k-ty wyraz = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Jeśli mamy w to wierzyć, czy jest to wariant, nie należy zapominać o nieautentycznym umyśle. Jeśli nie wygra, awantura się rozproszy. Podobnie jak lim k → + ∞ a k ≠ 0 , szereg jest inny.

Następnie określ, co umysł jest ważny, ale to nie wystarczy. Ponieważ wygrywa równość lim k → + ∞ a k = 0, nie gwarantuje to, że ∑ k = 1 ∞ a k jest podobne.

Podajmy przykład. Dla szeregu harmonicznego ∑ k = 1 ∞ 1 k, Umoff vikonuetsya lim k → + ∞ 1 k = 0 , ale szereg nadal jest rozbieżny.

tyłek 7

Oblicz wydajność ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Przejdźmy na lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ≠ 0

Mezha n-ty członek nie jest dobry 0 . Mi przyniósł, scho tsey wiersz do rozproszenia.

Jak wyznaczyć zbіzhnіst znak-pozytywną serię.

Jak stale uszeregować się z przypisanymi znakami, aby móc stale liczyć granice. Tsej razdіl dodany, aby pomóc schować złożoną godzinę vypіshennya priklіv, że zavdan. Aby wyznaczyć zbіzhnіst znak dodatni, іsnuє pevna umova.

Dla znaku dodatniego ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . Konieczne jest obliczenie kwoty sum.

Yak porivnyuvati szeregi

Іsnuє kіlka jest znakiem wyrównania rzędów. Mi porіvnyuєmo row, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, іz tim near, zbіzhnіst jaka vіdoma.

Znak Perszy

∑ k = 1 ∞ a k oraz ∑ k = 1 ∞ b k - szereg znaków dodatnich. Nierówność a k ≤ b k obowiązuje dla k = 1, 2, 3, ... Możemy wziąć ∑ k = 1 ∞ a k w szeregu ∑ k = 1 ∞ b k . Oskіlki ∑ k = 1 ∞ a k rozchodzą się, szereg ∑ k = 1 ∞ b k można przyjąć jako rozbieżność.

Ta zasada jest stale uzasadniona doskonałością równości i jest poważnym argumentem, który pomoże ci oznaczyć zbіzhnist. Skladnoshchi może kłamać w tym, że musisz wziąć tyłek za porivnyannya, który możesz znać daleko od depresji skóry. Na zakończenie często wybiera się liczbę zgodnie z zasadą k-ty członek dorіvnyuvatime na wynik vіdnіmannya pokaznіvіv stаіnіv stаіv nіdnik і znamennik k-ty członków są niskie. Dopuszczalne jest, aby a k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 2 – 3 = - 1 . W takim przypadku możesz określić, który wiersz jest niezbędny do wyrównania k-im element b k = k - 1 = 1 k, który jest harmonijny.

Aby zamknąć materiał, przyjrzyjmy się szczegółowo kilku typowym opcjom.

tyłek 8

Co istotne, yakim to szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .

Odłamki pomiędzy = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 Nierówności będą sprawiedliwe 1 k< 1 k - 1 2 для k , jaka є naturalny. Z poprzednich akapitów zauważyliśmy, że szereg harmoniczny ∑ k = 1 ∞ 1 k jest inny. Za pomocą pierwszego znaku można wykazać, że ostateczna opcja jest rozbіzhnym.

tyłek 9

Istotnie, chi є rząd podobny lub inny ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Dla którego tyłka potrzebna jest inteligencja, odłamki lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Podawać na widok nierówności 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 jest podobny, ale szereg harmoniczny ∑ k = 1 ∞ 1 k s zbiega się, gdy s > 1. Zgidno z pierwszym znakiem możemy stworzyć visnovok, że seria liczb jest podobna.

tyłek 10

Vznachiti, yakim є seria ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Dla kogo wszystkie opcje można nazwać niezbędnym umysłem vikonannya. Znacząco wiele różnic. Na przykład ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Aby ustalić, dlaczego stopa jest dobra, możemy spojrzeć na ciąg (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Elementy sekwencji ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . zbіshuєtsya do nieskończoności. Analizując równości można stwierdzić, że przyjmując role wartości N = 1619, to wyrazy ciągu > 2. Dla tego ciągu będzie ważna nierówność 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Kolejna odznaka

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k są dodatnimi szeregami liczbowymi.

Jeśli lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , to szeregi ∑ k = 1 ∞ b k są zbieżne, i ∑ k = 1 ∞ a k również są zbieżne.

Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , jeżeli szeregi ∑ k = 1 ∞ b k są rozbieżne, to ∑ k = 1 ∞ ak również są rozbieżne.

Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , to liczba różnic w szeregu oznacza liczbę różnic w drugim.

Przyjrzyjmy się ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 dla innych znaków. Dla wyrównania ∑ k = 1 ∞ b k weź szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Istotnie pomiędzy: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Innym znakiem można wskazać, że szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, który jest zbieżny, oznacza, że ​​wariant kolb również jest zbieżny.

tyłek 11

Co istotne, yakim to szereg ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Przeanalizujmy potrzebny umysł lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , ponieważ w tym wariancie jest zwycięski. Podobnie jak w przypadku innego znaku, weź szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k . Shukaєmo pomiędzy: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →

Zgіdno z tezami przewodnimi, rząd, który się rozchodzi, rozrywając się w rzędzie wyjść.

trzeci znak

Spójrzmy na trzeci znak przerwy.

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k i _ ∑ k = 1 ∞ b k są dodatnimi szeregami liczbowymi. Jeśli rozsądnie jest obliczyć dla następnej liczby a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , to sprawność tego szeregu ∑ k = 1 ∞ b k oznacza, że ​​szereg ∑ k = 1 ∞ ak jest również podobny. Razbіzhny wiersz ∑ k = 1 ∞ k przeciągnij za nim razbіzhnіst ∑ k = 1 ∞ b k .

Znak d'Alembert

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem liczb ze znakiem dodatnim. Jak lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, to podzielmy to.

Szacunek 1

Znak d'Alembert jest do tego słuszny, ponieważ granica nie jest wąska.

Jeśli lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , to szereg є jest podobny, jeśli lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ , to dzielimy.

Jeżeli lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 , to znak d'Alemberta nie jest pomocny i konieczne jest przeprowadzenie dalszych badań.

tyłek 12

Co istotne, chi є rząd podobny lub inny ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k za znakiem d'Alemberta.

Trzeba przemyśleć, co jest potrzebne, aby zdobyć umysł. Obliczmy odległość, przyspieszając regułę Lopitala: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 „2 k” = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0

Możemy porozmawiać o tym, co wygrywają umysły. Używając znaku d'Alemberta: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Rząd є podobny.

tyłek 13

Co istotne, chi є rząd arbitralnie k = 1 ∞ k k k ! .

Używamy znaku d'Alemberta, aby pokazać różnicę w szeregu: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1

Otzhe, liczba є razbіzhnim.

Radykalny znak Kosh

Jest możliwe, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem niedodatnim. Jak lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, to podzielmy to.

Szacunek 2

Jeżeli lim k → + ∞ ak k k = 1, to znak ten nie daje żadnych informacji - potrzeba dodatkowej analizy.

Znak Tsya może być buti vikoristan w tyłkach, yakі łatwo vyznachiti. Vipadok będzie charakterystyczny tylko wtedy, gdy członek serii liczbowej - tse pokazujący dostojny viraz.

Aby zamknąć informacje o otrimanie, spójrzmy na próbkę charakterystycznych przykładów.

tyłek 14

Co istotne, chi jest szeregiem dodatnim ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k na podobnych.

Wikonan musi szanować umysł, shards lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Patrząc na znak, patrząc przez oko, możemy założyć lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

tyłek 15

Chi podobne szeregi liczbowe ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Znak Vikorista opisany w poprzednim akapicie lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integralny znak Koshi

Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ ak є jest szeregiem znaków dodatnich. Niezbędne jest wyznaczenie funkcji niestałego argumentu y = f(x), Co to jest a n = f (n) . Yakscho y = f(x) większe od zera, nie łamać i zmieniać na [a; + ∞) , gdzie a ≥ 1

Oznacza to, że jeśli niespójna całka ∫ a + ∞ f (x) d x є jest podobna, to szereg analiz również jest zbieżny. Jeśli wina są rozdzielone, to w tyłku kilka z nich jest również rozdzielonych.

Podczas cofania zmienionej funkcji możesz przejrzeć materiał przejrzany w poprzednich lekcjach.

tyłek 16

Spójrz na zapas ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k dla wykonalności.

Uważność z rzędu jest przestrzegana przez vikonan, skalując lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Spójrzmy na y = 1 x ln x. Won jest większe od zera, nie przerywa i zmienia się na [2; +∞). Pierwsze dwa paragrafy są z góry ustalone, a trzeci następny to sprawozdanie. Wiemy lepiej: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Wygrał mniej za zero na [ 2 ; + ∞) Nie trzeba stawiać tezy o tych, że funkcja zanika.

Cóż, funkcja y = 1 x · ln x pokazuje znaki zasady, że widzieliśmy więcej. Przyspieszenie: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Vіdpovіdno, aż wyniki otrimanih, vyhіdny tyłek rozchodzą się, odłamki złej integracji є razbіzhnym.

tyłek 17

Rozszerz szereg ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, wtedy Umov jest szanowany przez vikonana.

Począwszy od k = 4 , virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Jeżeli szereg ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 będzie uważany za podobny, to zgodnie z jedną z zasad wyrównania szereg ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 może być również podobny. W tym rankingu możemy oznaczać, że obecny viraz jest również podobny.

Przejdź do udowodnienia ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Funkcja skali y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 większa od zera, nie łamać i zmieniać na [ 4 ; +∞). Znak Vikoristovuemo, opisany w pierwszym akapicie:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8))) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2

W krótkim szeregu, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , możemy znaleźć, że ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 ))) 3 również zbiegają się.

Oznaka Raabe

Jest możliwe, że ∑ k = 1 ∞ a k jest serią liczb ze znakiem dodatnim.

Yakscho lim k → + ∞ k ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, a następnie zbieżne.

Duńska metoda oznaczania może w tym przypadku być zwycięska, ponieważ opisana technika nie daje widocznych rezultatów.

Doslіdzhennya na absolutnym zbіzhnіst

Dla reszty bierzemy ∑ k = 1 ∞ b k. Znak dodatni Vikorista ∑ k = 1 ∞ b k. Możemy vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh znak, yakі opisaliśmy więcej. Jeśli szeregi ∑ k = 1 ∞ b k są zbieżne, to szereg pierwotny jest absolutnie podobny.

tyłek 18

Kontynuuj ciąg ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 w lewo ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Umovu vikonuetsya lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Vikoristovo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i przyspiesza z innym znakiem: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Szereg ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 jest zbieżny. Zewnętrzny rząd jest również absolutnie podobny.

Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі

Tak jak szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest odmienny, tak ten sam znany szereg znaków ∑ k = 1 ∞ b k jest albo odmienny, albo mentalnie podobny.

Zamiast znaku d'Alemberta i radykalnego znaku Cauchy'ego można uzupełnić vysnovki o ∑ k = 1 ∞ b k dla rozwinięcia modułów ∑ k = 1 ∞ b k . Szeregi ∑ k = 1 ∞ b k również są rozbieżne, tak że niezbędna mentalna wykonalność nie wygrywa, tak że lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

tyłek 19

Zmienność odwrotna 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Moduł k-ty członek reprezentacji ak b k = k! 7 tys.

Kontynuuj serię ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k na krawędzi poza znakiem d'Alemberta: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k rozproszenie jak i, jak i opcja wyjścia.

tyłek 20

Chi є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) podobne.

Rzućmy okiem na niezbędną teorię Umova lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Umov nie jest Vikonanem, więc ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) jest szeregiem rozwinięć. Granicę buły obliczono zgodnie z regułą Lopitala.

Oznaki zdrowia psychicznego

Znak Leibniza

Jako wielkość losowanych członków szeregu zmień b 1 > b 2 > b 3 >. . . >. . . і moduł wewnętrzny = 0 jako k → + ∞ , a następnie biegnie seria ∑ k = 1 ∞ b k.

tyłek 17

Spójrz na ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) dla możliwości.

Szereg reprezentacji jak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1). Potrzeba umova lim k + ∞ = 2 k + 15 k (k + 1) = 0 . Spójrzmy na ∑ k = 1 ∞ 1 k za innym znakiem wyrównawczym lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Możliwe, że ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) są rozbieżne. Szereg ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) zbiega się po znaku Leibniza: ciąg 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . zmiany i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Szereg umysłowo zbiega się.

Znak Abla-Dirichleta

∑ k = 1 + ∞ u k · v k znika w tym momencie, ponieważ ( u k ) nie rośnie, a ciąg ∑ k = 1 + ∞ v k jest ograniczony.

tyłek 17

Kontynuuj 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . dla wygody.

widoczny

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de(u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Niestabilna, a sekwencja (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . z frędzlami (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Liczba zbieżności.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter