Rivnyannya wśród starszych. Opis rozwiązania

30.07.2020

Jednocześnie jest sposób na aktualizację funkcji dla drugiego dyferencjału, panie dodają fabrycznie nowe rozwiązanie.

Ale więc istnieją ekwiwalenty różniczkowe (DK) w postaci P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. W niektórych częściach różniczek takich funkcji może być tajemnica. Dziś możemy poznać całkę obcą DK, która przed główną funkcją różniczkową jest również znana.

Tyłek 1

Rivnyannya P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Zapis lewej części ma różniczkę funkcji deyakoi U (x, y) = 0... Dla całego umysłu ma vikonuvatsya ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Różniczka zewnętrzna funkcji U (x, y) = 0 viewer d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Za pomocą ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x możemy zaprzeczyć:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Po przekształceniu trwałości ryvnyannya z systemu otriman i rіvnyany możemy to zrobić:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkcję φ (y) znamy z innego równoważnego systemu:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ ydy

W ten sposób poznaliśmy wymaganą funkcję U (x, y) = 0.

Tyłek 2

Znaj dla DK (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 początek rozwiązania.

Decyzja

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Odwracalne, co zobaczyć to ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Nasz umysł to vikonutsya.

Na podstawie obliczeń możemy stworzyć wzór, ale tylko część pilota zewnętrznego jest różniczką wtórną funkcji działania U(x,y)=0. Powinniśmy znać pełną funkcję.

Oscylacje (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y є o odwrotną różniczkę funkcji U (x, y) = 0 wtedy

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integracja przez x po raz pierwszy system:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Teraz zróżnicowanie na y korekty jest wynikiem:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Po przekonfigurowaniu pozostałych równych systemów możemy rozpoznać: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Tse oznacza
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

de S - stał się całkiem szczęśliwy.

Jest rozpoznawalny: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Przez początkową całkę języka ojczystego є x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Wybierzemy inną metodę poznania funkcji według oddzielnej różniczki. Przeniesienie całki krzywoliniowej z punktu stałego (x 0, y 0) do punktu o zmiennych współrzędnych (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

W momencie sensu całki nie da się wytyczyć drogi integracji. Możemy obrać ścieżki jaków, aby zintegrować lamana, Lanki, które można narysować równolegle do osi współrzędnych.

Tyłek 3

Poznaj punkt początkowy równania różniczkowego (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Decyzja

Ponownie rozważymy, dlaczego ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Idź, gdzie lewa część równania różniczkowego jest reprezentowana przez różniczkę wtórną funkcji deyakoï U (x, y) = 0. Aby poznać funkcję, należy obliczyć całkę zakrzywioną z punktu (1 ; 1) zanim (x, y)... Vіzmemo yak shlyakh integruje lamanu, dіlyanka, jak chodzić y = 1 od punktu (1, 1) do (x, 1), a następnie od punktu (x, 1) do (x, y):

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1, 1) (x, 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Oddaliśmy rozwiązanie domowe różniczki równe postaci x y - x y 2 + C = 0.

Tyłek 4

Wprowadź punkt początkowy równania różniczkowego y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Decyzja

Można to ponownie rozważyć, aby zobaczyć, czy jest to ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Oskilki ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, więc nie będziesz miał nic przeciwko. Tse oznacza, że jedyną częścią wyrównania różniczkowego nie jest różniczka ogólna funkcji. Tse Równoważność różnicowa od zimy, jak się rozprowadzać i po raz pierwszy przejdź do najlepszych sposobów rozwiązania.

Jak tylko zauważymy ułaskawienie w tekście, bądź łasicą, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Ustawienie problemu dla wyświetlacza dwustronnego

Aktualizacja funkcji zwycięzców dla nowego dyferencjału

9.1. Ustawienie problemu dla widoku dwukierunkowego. 72

9.2. Opis rozwiązania. 72

Tse jeden z dodatków zakrzywionej całki rodzaju II.

Biorąc pod uwagę główną różnicę funkcji dwóch zwycięzców:

Poznaj funkcję.

1. Żeby nie każdy rodzaj zróżnicowania funkcji śpiewania U(x,tak), należy ponownie rozważyć poprawność produkcji mistrza, aby ponownie rozważyć potrzebę wystarczającego zróżnicowania umysłowego, jak w przypadku funkcji 2 zimowych mężczyzn. Tsya umova vypliva z solidności równoważności (2) i (3) w twierdzeniu w poprzednim akapicie. Ponieważ nazwa Viconan jest oznaczona, to oznaczenie rozwiązania, funkcja U(x,tak) możliwa jest innowacja; Jeśli umysł nie jest viconano, to zavdannya nie jest rozwiązaniem, więc funkcja aktualizacji nie jest możliwa.

2. Można poznać funkcję za drugą różniczką np. dla dodatkowej całki krzywoliniowej rodzaju II, licząc tę samą od prostej, w której punkt stały ( x 0 ,tak 0) ten punkt zmiany ( x; y) (Mały. osiemnaście):

Ta ranga jest uznawana za zakrzywioną całkę rodzaju II różniczki ogólnej du(x,tak) kosztowna wartość funkcji U(x,tak) na końcu i w punktach kolb linii całkowania.

Znaj teraz wynik, musisz przesłać zamiennik du w zakrzywionej integralnej viraz i przeprowadzić obliczenie całki dla lamany ( ACB), maksymalna niezależność od formy linii integracyjnej:

na ( AC): na ( SV) :

(1)

W takim rankingu przyjmuje się formułę, za pomocą której funkcja 2 zwycięzców jest aktualizowana dla drugiej różnicy.

3. Możliwa jest aktualizacja funkcji dla innej różnicy tylko od dokładności do końcowego dodawania, D(U+ const) = du... Oznacza to, że w wyniku rewizji zadań rozpoznamy niemożliwość funkcji, tak aby jedna forma jednej była wyświetlana w późniejszym terminie.

Zastosuj (zaktualizuj funkcję dwóch zwycięzców dla drugiej różnicy)

1. Wiedz U(x,tak), który du = (x 2 – tak 2)dx – 2xydy.

Rewizja głównego zróżnicowania funkcji dwóch ministrów:

Umovu ogólne zróżnicowanie viconano od tej samej funkcji U(x,tak) aktualizacja jest możliwa.

Pereirka: - Tak.

Pogląd: U(x,tak) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Poznaj funkcję, taku scho

Ogromna potrzeba wystarczającego podstawowego zróżnicowania funkcji trzech zwycięzców:

Rozwój zadań

Cała ogólna różnica odwiedzającego, z tego samego, funkcja może być aktualizowana (domyślnie jest ustawione poprawnie).

Wprowadzono funkcję stojącą za dodatkową całką krzywoliniową II rodzaju, liczoną zgodnie z linią deyakiy, ale punkt jest ustalony, a punkt zmieniony tak, że

(Jest równy temu, jakby był dwustronny).

Z drugiej strony, całka krzywoliniowa drugiego rodzaju różniczki głównej nie leży w postaci prostej całkowania, to znaczy łatwiej jest szanować lamę, ale składać się z równoległych osi współrzędnych. Gdy punkt jest ustalony, możliwe jest wzięcie punktu za po prostu zabranie punktu o określonych współrzędnych liczbowych; W celu poprawy szacunku do zadań można przyjąć punkt stały, np. punkt M 0. Todi na skórze z lanok lamano matimemo

10.2. Obliczanie całki powierzchniowej I rodzaju. 79

10.3. Programy Deyaki całki powierzchniowej I rodzaju. 81

To jest standardowy widok $ P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy = 0 $, w którym lewa część jest drugą różniczką funkcji deyakoї $ F \ left (x, y \ right) $, nazywane są równymi in więcej różnic.

Przepisywanie w pozostałych różniczkach można przepisać w przeglądarce $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $, gdzie $ F \ left (x, y \ right) $ to taka funkcja, że $ dF \ left (x , y \ right) = P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy $.

Prointegrumo obrażający część linii $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $: $ \ int dF \ left (x, y \ right) = F \ left (x, y \ right) $; Całka od zera prawej części drogi do ostatniego posta $C $. W takiej randze główna decyzja tego równego w postaci niejawnej to $ F \ left (x, y \ right) = C $.

Aby otrzymać równanie różniczkowe, było ono równe jednemu w innych różniczkach, konieczne i wystarczające jest, aby $ \ frac (\ częściowe P) (\ częściowe y) (\ częściowe y) = \ frac (\ częściowe Q) (\ częściowe x) $. Jeśli chodzi o nazwę Viconan, to ta funkcja to $ F \ left (x, y \ right) $, dla której można napisać: $ dF = \ frac (\ częściowe F) (\ częściowe x) \ cdot dx + \ frac (\ częściowe F) (\ częściowe y) \ cdot dy = P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy $, możemy przyjąć gwiazdki tylko dwa razy: $ \ frac (\ częściowe F) (\ częściowe x) = P \ lewe (x, y \ prawy) $ і $ \ frac (\ częściowe F) (\ częściowe y) = Q \ lewe (x , y \ prawy) $.

Całkowanie po raz pierwszy $\frac (\częściowe F) (\częściowe x) = P\lewo (x,y\prawo) $o $x$i możemy temu zaprzeczyć $F\lewo (x,y\prawo) = \ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + U \ left (y \ right) $, de $ U \ left (y \ right) $ jest wystarczającą funkcją z $ y $.

Pidberemo її więc jesteście zadowoleni z $ \ frac (\ częściowy F) (\ częściowy y) = Q \ lewo (x, y \ prawo) $. Dla całego zakresu zróżnicowania nie myślimy o rozkładzie $F\left (x,y\right)$ przez $y$, a wynik jest zwykle do $Q\left (x,y\right) $. Mo: $ \ frac (\ częściowy) (\ częściowy y) \ lewy (\ int P \ lewy (x, y \ prawy) \ cdot dx \ prawy) + U "\ lewy (y \ prawy) = Q \ lewy ( x, y \ prawy) $.

Dalsze rozwiązanie jest następujące:

z pozostałej równoważności znamy $ U "\ left (y \ right) $;
integracja $ U "\ lewo (y \ prawo) $ i wiadomo $ U \ lewo (y \ prawo) $;
umieść $ U \ left (y \ right) $ na równości $ F \ left (x, y \ right) = \ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + U \ left (y \ right) ) $ i jest rozpoznawalny rezydualnie przez funkcję $ F \ left (x, y \ right) $.

Znana jest z różnicy:

Całkowanie $ U "\ left (y \ right) $ over $ y $ і wiadomo $ U \ left (y \ right) = \ int \ left (-2 \ right) \ cdot dy = -2 \ cdot y $ .

Znamy wynik: $ F \ left (x, y \ right) = V \ left (x, y \ right) + U \ left (y \ right) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Napiszę rozwiązanie dla przeglądarki $ F \ left (x, y \ right) = C $, ale samo:

Wiadomo prywatnie $ F \ lewo (x, y \ prawo) = F \ lewo (x_ (0), y_ (0) \ prawo) $, de $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Prywatne rozwiązanie ma viglyad: 5 $ cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 $.

Wartość biznesowa 8.4. Różnicowanie dla umysłu

de
być nazywanym rivnyannyam przy głównych różnicach.

Wspaniale, że jedyną częścią tak równego є jest główna różniczka funkcji deyakoї.
.

W zagalnym vipad vypadnya (8.4) możesz zapłacić w viglyadі

Możesz zastąpić rivnyannya (8,5).

rozwój є przez lokalną integrację rivnyannya (8.4). W takiej randze do weryfikacji rivnyannya (8.4) konieczne jest poznanie funkcji
... Zgodnie z datą rejestracji (8.4), maєmo

(8.6)

funkcjonować
Wiedzmy, jak funkcja, jak jeden z umysłów (8.6):

de - wystarczająca funkcja, jaka do leżenia z .

Funkcje
zacznij tak, gdy zobaczysz zwrot innego umysłu (8.6)

(8.7)

Od virazu (8.7) i aby uruchomić funkcję
... Pidstavlyayuchi її w viraz for
że іtrimuyut integralna zagalny іnіgіdnogo іvnyаnnya.

Zawdannia 8.3. Prointegruvati Rivnyannya

Tutaj
.

Otzhe cena sprowadza się do typu równań różniczkowych w głównych różniczkach. funkcjonować
zróbmy shukati na wigilii

Z boku

W wielu umysłach
może nie visonuvatis.

Todi takі іvnyannya do typu, jak patrzeć, kierować się tak wieloma tytułami, jest mnożnikiem integrującym, który w zagalnym vypadku jest tylko funkcją abo .

Gdy tylko deyakogo ryvnyannya ma zintegrowany mnożnik , to powinniśmy zacząć od formuły

de pawilon ma buti lishe funktsіu .

Podobnie, jaki jest mnożnik integratora, co ma być zdeponowane tylko z , Zacznij od formuły

de pawilon
ma buti lishe funktsіu .

Wizyty dla obecnych po raz pierwszy , a dla innych - wry Zapoznam się z mnożnikiem integracji dla tego równego.

Zawdannia 8.4. Podnieś cenę do poziomu cenowego w głównych różnicach.

Widoczna przesłona:

Temat 8.2. Liniowe równoważniki różniczkowe

Wartość biznesowa 8,5... Dyferencjał Rivnyannya
nazywać się linią, ponieważ jest to skład funkcji shukano , її niegrzeczny i nie zemścić się na tworzeniu funkcji shukanoy i funky.

Nieszablonowy widok różniczkowania linii względem takich relacji:

(8.8)

Yakshcho at spivvidnoshenni (8.8) prawa części
, Weź rіvnyannya zwaną liniową jednostronną. Vipadku, jeśli chastin ma rację
, Nazywa się to również liniowym heterogenicznym.

Pokazane zostanie, że równanie (8.8) całkuje w kwadraturach.

W pierwszym etapie linia jest jednostronna.

Również Sprawiedliwy,

;

Ostann spіvvіdnoshennya viznachaє w domowym rozwiązaniu linii jednoliniowej rіvnyannya.

Dla żartu nieszablonowego rozwiązania liniowej heterogenicznej rywalizacji, istnieje sposób na urozmaicenie starego post mortem. Idea metody w tej, która wykracza poza rozwiązanie liniowej niejednolitej rivnyi w tej wigilii, jak i rozwiązanie ogólnej, jednorzędowej rivnya, słupka białkowego zostać zastąpione przez funkcję deyako
, wartość scho pidlyagaє. Otzhe, maєmo:

(8.9)

W przypadku sportowców (8.8) virazi,
і
, otrimaєmo

Do wygrania ostatniego virazu na zjeździe sportowym (8.9), można wygrać zagraniczną integrację liniowej niejednolitej rywalizacji.

Taką rangę, nieszablonowe rozwiązanie liniowej, niejednorodnej proporcji, wyznaczają dwie kwadratury: nieszablonowe rozwiązanie liniowej, jednostronnej rywalizacji oraz gotowe rozwiązanie niejednorodnej, niejednorodnej dawki pokarmowej.

Zawdannia 8.5. Prointegruvati Rivnyannya