Berapakah ruang metrik r n. Terapkan ruang metrik

Apa itu metrik? Mengapa melayani? Apa itu medan fisik?

Metrik di zaman kita adalah mіtsno pov'yazan z teori gravitasi, zavdyaks untuk karya Hilbert dan Einstein bersama dengan Grossmann. Namun, dalam matematika, won bula diperkenalkan kembali sebelumnya. Saya tidak memiliki belas kasihan, di antara yang pertama, jadi chi nakshe menang jelas, Buli Rimmann dan Gauss. Sedikit demi sedikit kami mencoba memahami perannya dalam geometri, dan kemudian kami kagum bahwa metrik telah menjadi struktur utama relativitas umum, teori visibilitas yang bodoh.

Pada hari ini, matikan api dan selesaikan janji ruang metrik susu tampang terkenal:

Ruang metrik ("keamanan metrik") dalam matematika disebut ruang seperti itu, di mana untuk dua atau dua titik pemesanan (jadi salah satunya disebut yang pertama, dan yang lain - yang lain) nomor tersebut ditetapkan angka yang sama dengan nol, kemudian dan hanya kemudian, jika poin berjalan, dan ketidakrataan "sulit" diatasi - untuk tiga poin (x, y, z) nomor untuk taruhan apa pun (x, y ) lebih atau kurang untuk jumlah angka-angka ini untuk dua pasangan lainnya, (x, z) dan (y, z). Penting juga bahwa jumlah harga tidak terlihat oleh saya dan tidak berubah (metriknya simetris) saat mengubah urutan poin dalam pasangan.

Bagaimana menemukannya, bagaimana hanya mereka yang mengangkatnya, sehingga sebutan itu meluas dan nama itu meluas dan di tempat lain yang serupa. Jadi disini. Misalnya, secara ketat formal, mereka tidak akan menjadi metrik zgіdno z zim vysche vyznachennym, sehingga mereka memiliki nomor "metrik", interval, dapat menjadi nol untuk dua titik yang berbeda, dan juga persegi dapat menjadi bilangan real negatif. Namun, praktis sejak awal untuk memasukkannya ke dalam keluarga ruang metrik, cukup znіmayuchi vіdpovіdnu vymog u vyznachennі, memperluas vnіmayuchi vznіchennya.

Selain itu, metrik juga dapat ditetapkan tidak untuk semua titik dalam ruang, tetapi hanya untuk titik yang sangat dekat (secara lokal). Ruang seperti itu disebut Riemannian, dan dengan kata lain, tezh disebut metrik. Lebih dari itu sangat luas Riemannian dan mengembangkan metrik pandangan seperti itu dan rasa hormat yang melekat seperti matematikawan, dan fisikawan, dan tahu untuk menginspirasi orang kaya, kita tidak ada hubungannya dengan ilmu-ilmu ini.

Di tas akhir, kita akan membahas metrik di sini seratus persen untuk luasnya Romanov, tobto dalam arti lokal. navit secara lokal tanda-tandanya tidak terlihat.

Definisi dan perluasan matematika formal - pemahaman dan klarifikasi pemahaman tentang metrik. Kami bertanya-tanya mengapa pemahaman telah berkembang, dengan beberapa otoritas dunia nyata telah diikat ke belakang.

Semua geometri vinil mudah dimengerti, seperti yang diformalkan oleh Euclid. Jadi metriknya. Dalam geometri Euclid (untuk kesederhanaan dan akurasi, kita akan berbicara tentang geometri dua dunia, dan tentang geometri bidang) - pahami tentang jarak antara dua titik. Bahkan lebih sering dan sekarang metrik disebut standar yang sama. Oleh karena itu, untuk bidang Euclidean, itu adalah metrik, dan metrik adalah standar. Saya sendiri begitu memenangkan bula dipahami sampai tongkolnya. Ingin, seperti yang akan saya coba tunjukkan, sampai pemahaman metrik saat ini, itu hanya dapat dilihat di misterius, dengan penjaga dan pikiran yang kaya, sensi.

Berdiri di bidang Euclidean (di atas kertas lengkung) adalah ucapan yang sangat sederhana dan jelas. Jelas, untuk bantuan garis, Anda dapat menarik garis lurus antara dua titik dan membuatnya panjang. Nomor Otrimane akan diberikan. Setelah mengambil titik ketiga, Anda dapat mengecat triko dan mempertimbangkan kembali, sehingga (untuk dua titik di pesawat) kita dapat dengan tepat menunjuk ke yang lain. Vlasne, vyznachennya dan boulo zmalyuvati satu ke salah satu kekuatan Euclidean vіdstanі di alun-alun. kata "metrik" di bagian belakang dihubungkan dengan vimiryuvannyam (untuk bantuan meteran), "Normuvannya" dari pesawat.

Dan untuk apa vimіryuvat vіdstanі, untuk melakukan metrisasi area itu sendiri? Nah, mengapa orang hidup dalam kehidupan nyata kulit, bernyanyi, mungkin penampilan mereka. Dan dalam geometri, mereka memikirkannya dengan cara yang benar, jika mereka memperkenalkan koordinat untuk menggambarkan titik kulit pesawat dengan cara yang unik dan unik. Sistem koordinat di pesawat jelas akan lebih mudah dilipat, hanya bergerak di antara dua titik. Berikut adalah telinga telinga, sumbu koordinat, dan jarak (bagaimana seseorang dapat mengatur tanpa mereka?) Dari telinga telinga ke titik proyeksi pada sumbu. Untuk apa sistem koordinat diperlukan, jelas - ini adalah kisi garis yang kuat yang tegak lurus satu sama lain (seperti koordinat Cartesian), saya akan mengisi bidang dan dengan cara ini memecahkan masalah menangani apakah ada titik di atasnya.

Untuk keluar, metrik - vіdstanі dan koordinat - vіdstanі. Apa bedanya? Dimasukkan koordinat. Apa metrik yang tepat? Rіznitsya , saya duzhe suttєva. Pilihan sistem koordinat dapat didasarkan pada kebebasan. Dalam sistem Cartesian, mimikri seperti sumbu garis lurus. Tapi bisakah kita memutar dan melengkung? Kita dapat. segala macam tezh berliku. Kita bisa vimіryuvati vіdstan uzdovzh garis seperti itu? Sehat. Vimiryuvannya vіdstanі, dozhini uzdovzh linії bukan pov'yazane z tim, seperti seluruh baris. Di jalur yang bengkok ada juga dovzhina dan di atasnya Anda dapat menempatkan tonggak sejarah. Dan sumbu metrik dalam ruang Euclidean tidak cukup. Harganya lurus, yang menghubungkan dua titik. Langsung. Dan apa ini? Garis mana yang lurus dan mana yang bengkok? V kursus sekolah lurus adalah aksioma. Kami bachimo dan menerima ide itu. Ale dalam geometri transendental garis lurus (saya akan menyebutnya sendiri, yarlik, tidak lebih!) Anda dapat menunjuk sebagai garis khusus di tengah garis tengah, yang dapat menghubungkan dua titik. Dan untuk saya sendiri, seperti yang terpendek, yang mampu membeli dovzhina paling sedikit. (Dan dalam beberapa hal, untuk beberapa bidang matematika, navpak, dozheleznі, scho mayut nabіshu dovzhina.) Akan lebih baik, kami menangkap metrik dalam rentang yang cukup lebar antara dua titik. Itu tidak ada. Kami melewati jalan yang salah. Jadi, semuanya benar, lurus - yang terpendek di ruang Euclidean. Metrik bir bukan hanya dozhina terpendek. tidak. Tse vtorinne vlastіvіst. Dalam ruang Euclidean, metrik tidak hanya antara dua titik. Metriknya adalah, pada baris pertama, gambar dari teorema Pythagoras. Teorema, yang memungkinkan Anda menghitung jumlah titik antara dua titik dengan pengetahuan tentang koordinatnya, dua titik lainnya. Selain itu, dihitung secara khusus, sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat garis koordinat. Metrik Euclidean bukanlah bentuk linier dari garis koordinat, tetapi kuadrat! Hanya kekuatan spesifik dari bidang Euclidean jalur terpendek, Apa poin z'ednuyut, sangat sederhana. Vіdstanі zavzhdi nіynymіnіy funktіyіmіshchennya di sepanjang jalan. Metrik adalah fungsi kuadrat dari tsikh zsuvіv. Dan di sinilah letak pentingnya metrik karena dapat dipahami secara intuitif sebagai fungsi linier bergerak dari suatu titik. Lebih dari itu, bagi kami, ini adalah masalah hubungan langsung dengan para migran itu sendiri.

Mengapa fungsi kuadrat dari suv begitu penting? Dan hak apa yang bisa saya miliki untuk dipanggil dengan kata yang benar-benar dapat dimengerti? Apakah perlu untuk memberikan kekuatan khusus dari hanya bentangan Euclidean (yah, keluarga hamparan tertentu yang dekat dengan Euclidean)?

Pergeseran kecil ke samping dan mari kita bicara tentang kekuatan satu-satunya di dunia. Jika ditanya makanan, apa saja garis-garisnya, sehingga memungkinkan untuk meletakkan kisi-kisi koordinat pada kertas lengkung? Tegas, keras dan tidak dapat diubah, katamu. Mengapa "garis"? Satu sudah cukup! Verno, adalah mungkin untuk mengubah kertas menjadi persegi dan memindahkannya dengan penjepit. Apakah Anda menyebutkan "yakscho"? Jadi, di negara kita dimungkinkan untuk mengkorstuasikan dengan flat seratus kali lipat linier. Garis dengan sendirinya, flat itu sendiri, tetapi flat memungkinkan kita untuk "melaporkan" garis kita kepada diri kita sendiri. Bagaimana dengan ratusan permukaan bola? Yak tidak berlaku - cuci semua yang ada di permukaan. Jadi saya ingin membungkuk, bergerak menghadapi kekerasan dan kekerasan. Mari kita luruskan pikiran kita. Apa lagi yang kita inginkan di barisan? Kekerasan dan kekerasan benar-benar di ambang menjadi lebih penting bagi kita jika terjadi kematian - jaminan kekekalan garis yang dipilih. Kami ingin menang dalam skala yang sama. Apakah perlu? Yak sekarang?! Isak sang ibu bisa membuktikan hasil vimiryuvannya di mana-mana di rusun. Bagaimana kami tidak mengubah batas, bagaimana kami tidak zmishchuvat - kekuatan yang lemah, dozhina, dapat dijamin tidak berubah. Dovzhina - tse berdiri di antara dua titik (pada garis lurus) pada sebuah garis. Ini lebih seperti metrik. Ale, metrik diperkenalkan (jika tidak) di pesawat, untuk titik-titik pesawat, mengapa ada garis? Dan sementara itu metrik dan baru saja dibawa ke kesimpulan logis dengan urutan umur panjang yang tidak berubah dari garis abstrak, merobek garis yang paling penting dan menetapkan titik kulit pesawat.

Ingin garis kami untuk memulai dengan objek evnіshnіmi untuk vіmіryuvanih them vіdstany di alun-alun, tapi kami pikir itu sama untuk kita sebagai internal, bahwa skala pesawat harus berbohong. Otzhe, bergeraklah Api kekuatan, Seperti garis zovnіshny, sehingga batin. Kekuatan salah satu dari dua kepala - Nilai, kemudian, yang merampok skala dunia tunggal (kekuatan lain dari skala secara langsung). Untuk bentangan kekuasaan Euclidean, ia mandiri dalam garis lurus dan posisi (sebagai titik bentangan). Ada dua cara untuk menunjukkan kemandirian tersebut. Cara pertama, pandangan pasif pada ucapan, adalah berbicara tentang invarian kuantitas, dan kesamaan dengan pilihan koordinat yang valid. Cara lain, tampilan aktif, adalah berbicara tentang invarian saat bergeser dan berputar, sebagai akibat dari transisi eksplisit dari titik ke titik. Metode Qi tidak setara dengan 1-1. Yang pertama hanyalah formalisasi ketegasan, bahwa nilai yang ada di area (titik) tertentu adalah satu dan sama secara independen dari sudut pandang. Yang lainnya adalah sama, bahwa nilai besaran pada titik yang berbeda adalah sama. Jelas bahwa itu lebih kaya dan lebih kuat.

Mari kita lanjutkan untuk saat ini tentang invarian skala dengan pilihan koordinat yang masuk akal. Oppa! Yak tse? Untuk menetapkan titik koordinat sudah diperlukan untuk ibu skala. Tobto garis itu sendiri. Koordinat lain - apa? garis lain? Benar-benar begitu! bir! Mereka yang berada di bidang Euclidean dapat memutar garis kita ke titik yang kita inginkan, menciptakan tampilan bahwa koordinat dapat diubah tanpa mengubah garis. Tse lyuzіya, tapi pєmna lyuzіya seperti itu! Bagaimana kami memanggilnya! Sepanjang jam kita berbicara - sistem koordinat diputar. Ilusi ini didasarkan pada postulat skala kekuatan tertentu di bidang Euclidean - invarians "dovzhini" ini dengan belokan yang agak besar pada titik, kemudian dengan perubahan yang adil dari skala kekuatan lain, lurus. tse vlastivis maє mіsce di titik be-yakіy dari bidang Euclidean. Skala di mana-mana bisa "dovzhina", tidak tergantung pada pilihan lokal sumbu koordinat langsung. Postulat Tse untuk ruang Euclidean. bagaimana qiu dozhina itu diketahui oleh saya? Dalam sistem koordinat, dalam skala seperti itu, kesatuan adalah vimiryuvannya untuk salah satu sumbu, bahkan lebih mudah untuk melihat - kesatuan yang sama itu sendiri. Dan dalam sistem koordinat (persegi panjang), dalam hal mana skala tidak berubah dengan salah satu sumbu? Untuk bantuan dengan teorema Pythagoras. Teorema adalah teorema, jadi ada beberapa trik di sini. Memang, teorema ini cukup kecil untuk menggantikan aksioma yang dirumuskan oleh Euclid. Won setara dengan mereka. dengan geometri yang menyempit jauh (untuk permukaan besar, misalnya) spiral sendiri dalam cara menghitung skala. Intinya, benar, terjemahkan metode ini ke dalam kategori aksioma.

Mari kita ulangi sekarang hal yang mendasari geometri, yang memungkinkan Anda untuk menetapkan koordinat ke titik-titik pesawat.

Mova pergi sendirian di dunia, skala. Skala ada di titik mana pun. Ukuran Mei - "dovzhina" dan lurus. Dovzhina adalah invarian (tidak berubah) ketika berubah secara langsung dalam poin. Untuk koordinat persegi panjang dalam ruang Euclidean, bujur sangkar lebih dari skala, lurus dari titik cukup, lebih dari jumlah kuadrat proyeksi pada sumbu. Besaran geometri seperti itu disebut juga vektor. Berarti skala adalah vektor. Dan "dovzhina" dari vektor juga disebut norma. Dobre. Ale, di mana metrik di sini? SEBUAH metrik dengan pendekatan seperti itu dan cara untuk menetapkan norma ke vektor apa pun di titik kulit, Metode menghitung jumlah norma pada posisi yang cukup dari vektor vektor apa pun, yang menjadi basis, tolok ukur(Diam-diam, yakі vyznachayut mengarahkan sumbu koordinat dari titik tertentu dan mungkin memiliki satu norma tentang cara menetapkan, lalu satu vimir). Bahkan yang lebih penting adalah metode penugasan seperti itu untuk titik kulit ruang (area dalam arah tertentu). Dalam peringkat seperti itu, kesalahannya terletak pada kekuatan bentangan dan vektor bagian dalam, dan bukan objek di luar bentang.

Permisi, tapi pada awalnya kami diberi penunjukan ruang metrik. Janji baru? chi uzgozhuєtsya dari tua? Dan sekarang porosnya. Di sini kami menunjukkan bagaimana bertanya pada diri sendiri, untuk menunjukkan nomor hari yang sama. Dan itu sendiri, di antara titik-titik satu "dovzhin", norma vektor, yang membuat titik-titik (dalam ruang Euclidean). Mereka yang vektor memiliki norma normal, pandangan independen dari titik celah pada yang baru (pemilihan benchmark) - tujuan vektor. satu pikiran, Yake dan rob dengan ruang metrik apa pun, adalah mungkin, bahwa vektor dari norma yang diberikan didasarkan pada titik kulit ruang di semua garis. tse penunjukan secara keseluruhan uzgodzhuєtsya dengan menunjuk tongkol itu sendiri. Dapatkah Anda menetapkan metrik di ruang lain? Pada dasarnya, Anda bisa. cara navit bagatma. Hanya dengan begitu akan ada kelas ruang lain yang tidak menyertakan bentangan Euclidean yang berliku seperti okramy vpadok.

Mengapa ruang Euclidean khusus untuk kita? Ada apa? Sekilas, dengan kekuatan kekuatan seperti itu, saya bahkan bisa membuka diri, di mana kita tinggal. Jadi, dengan tampilan yang lebih hormat, kami tidak memanggil mereka seperti itu. Ale f raznitsa mizh "bukan zovs seperti itu" dan "zovsіm tidak seperti itu"?! Saya ingin memutar kata-kata untuk kshtalt yang sama. Agar jam-ekspansi kita diam dan bukan Euclidean, maka untuk pikiran bernyanyi Anda bisa lebih dekat dengan yang baru. Otzhe, pilih tanggung jawab saya dari tієї sіm'ї prostorіv, di hamparan Euclidean yakіy . Jadi kami bekerja. Tapi bagaimanapun juga, apa yang istimewa di ruang Euclidean, apa artinya mengetahui ekspresi seseorang dalam kekuatan menyanyi metrik yoga? Untuk menghabisi banyak pihak berwenang, tentang jumlah mereka yang lebih banyak, lebih banyak yang sudah bisa ditebak. Saya akan mencoba merumuskan singularitas ini secara kompak. Euclid meluas sedemikian rupa sehingga dalam yang baru dimungkinkan untuk memilih skala (untuk memasukkan koordinat) sehingga muncul dengan cara yang sama seperti kotak koordinat persegi panjang. Hal ini dimungkinkan jika metrik dalam ruang titik kulit adalah satu dan sama. Faktanya, tse berarti skala ini perlu dieksplorasi di titik kulit ruang dan semua baunya sama menjadi satu. Untuk seluruh bentangan, satu garis sudah cukup, seolah-olah dapat dipindahkan ke suatu titik (dalam sensorik aktif) tanpa mengubah ukuran, dan arahnya.

Lebih penting lagi, saya menempatkan kekuatan, mengapa metrik adalah fungsi kuadrat dari zsuvu. Vіn masih sepi tanpa pembenaran. Kami akan datang ke beberapa obov'yazkovo. Dan segera Anda akan melihat sendiri di masa depan - metrik dalam keluarga ruang yang kita butuhkan - nilainya tidak berubah dalam cara apa pun untuk mengubah koordinat. Kami telah berbicara tentang koordinat Cartesian untuk saat ini, tetapi saya di sini untuk menambahkan kursi - itu berlaku untuk setiap transformasi koordinat, yang dapat diterima di titik ruang ini. Kuantitas yang invarian (yang tidak berubah) ketika mengubah koordinat dalam geometri dapat memiliki nama khusus lain - skalar. Bertanya-tanya berapa banyak nama untuk satu dan sama - postina, invarian, skalar... Mungkin bahkan lebih, saya tidak berpikir dua kali. Jangan bicara tentang pentingnya pemahaman itu sendiri. Jadi sumbu, metrik adalah skalar dalam arti bernyanyi. Jelas, dalam geometri ada skalar.

Mengapa dalam "sensasi bernyanyi"? Itu, scho, dua poin termasuk dalam pemahaman metrik dan bukan satu! Dan vektor tugas (janji) hanya dengan satu poin. Apakah saya akan membawa Anda ke Oman? Tidak, hanya mengatakan tidak semua yang perlu dikatakan. Dan perlu untuk mengatakan bahwa metrik adalah norma bukan vektor yang cukup, tetapi hanya vektor perpindahan yang sangat kecil dari titik tertentu dalam garis yang cukup lurus. Jika norma tidak terletak pada garis lurus dari titik, maka nilai skalar dapat dilihat sebagai kekuatan satu titik saja. Dalam hal ini, sama saja, itu juga dicakup oleh aturan untuk menghitung norma untuk vektor lainnya. Poros begitu.

Tidak mungkin untuk bertemu ... Normanya berbeda untuk vektor yang berbeda! Dan metrik adalah skalar, nilainya sama. Menghapus!

Tidak ada menyeka. Yah, saya katakan dengan jelas - aturan perhitungan. Untuk semua vektor. Dan nilai spesifik itu sendiri, yang juga disebut metrik, dihitung menurut aturan ini hanya untuk satu vektor, perpindahan. Mova zvichny kami ke vіlnosti, zamovchuvan, skorochen ... Axis dan memanggil saya untuk memanggil metrik dan skalar dan aturan perhitungan yogo. Benar, mereka mungkin satu dan sama. Mayzhe, tapi kami tidak menelepon. Namun, penting untuk menyeimbangkan perbedaan antara aturan dan hasil, kami akan menyelamatkannya. Dan mana yang lebih penting - aturan atau hasil? Tidak mengherankan, dalam hal ini, aturannya ... Itu sebabnya sering lebih kaya dalam geometri dan fisika, jika kita berbicara tentang metrik, itu adalah aturan itu sendiri. Tetapi terserah kepada ahli matematika untuk berbicara lebih singkat tentang hasilnya. tsomu alasan, tapi tentang mereka di tempat lain.

Saya juga ingin menunjukkan bahwa dengan cara pelapisan yang lebih baik, jika konsep ruang vektor diambil sebagai basis, metrik diperkenalkan sebagai pasangan skalar dari semua vektor di basis, tolok ukur. Dengan cara ini, vektor skalar dobutok pada bulan Mei buti diangkat sebagai tonggak sejarah. Dan dalam perjalanan, seperti yang saya ikuti di sini, kehadiran tensor metrik di ruang memungkinkan Anda untuk memperkenalkan, menunjuk skalar dobutok vektor. Di sini metrik adalah yang utama, kehadiran memungkinkan Anda untuk memperkenalkan twіr skalar, seperti invarian yang menghubungkan dua vektor yang berbeda. Jika skalar untuk satu dan vektor yang sama dihitung untuk bantuan metrik, maka ini hanyalah norma lain. Jika skalar ini dihitung untuk dua vektor yang berbeda, maka semua penambahan skalar. Jika itu adalah norma dari vektor yang sangat kecil, maka sepenuhnya diperbolehkan untuk menyebutnya hanya metrik pada titik tertentu.

Apa yang dapat kami katakan tentang metrik seperti aturan? Di sini kita menemukan formula vikoristovuvati. Biarkan koordinat sumbu dengan nomor i ditetapkan sebagai x i. Pergeseran dari titik tertentu ke lapangan dx i. Saya bersumpah dengan hormat - koordinat BUKAN vektor! Dan pergeserannya adalah vektor! Untuk arti seperti itu, "jarak" metrik antara titik pusat dan titik penyangga, tampaknya hingga teorema Pythagoras, akan dihitung untuk rumus tambahan

ds 2 = g ik dx i dx k

Kejahatan di sini adalah kuadrat dari metrik "vіdstanі" antara titik-titik, "koordinat" (yaitu, menurut batas kulit garis koordinat) di antara mereka diberikan oleh vektor perpindahan dx i. Di sebelah kanan, jumlah indeks jatuh dari semua ciptaan berpasangan dari komponen vektor diganti dengan koefisien yang sesuai. Dan tabelnya, matriks koefisien g ik, yang menetapkan aturan untuk menghitung norma metrik, disebut tensor metrik. Tensor itu sendiri dalam banyak kasus disebut metrik. Istilah "" sangat penting di sini. berarti , bahwa dalam sistem koordinat lain, rumus akan ditulis lebih mungkin sama, hanya tabel yang akan berisi koefisien lain (dalam garis lurus), yang dihitung dengan cara yang ditentukan secara ketat melalui angka-angka koefisien dari konversi koordinat. Merupakan karakteristik Euclid bahwa dalam koordinat Cartesian bentuk tensor ini supersederhana dan satu dan sama dalam setiap koordinat Cartesian. Matriks g ik hanya dapat memuat satu pada diagonal (untuk i = k), dan bilangan lainnya adalah nol. Jika di ruang Euclidean tidak ada koordinat Cartesian, maka matriks tidak akan terlihat begitu sederhana di dalamnya.

Kemudian, kami menuliskan aturan yang mendefinisikan "jarak" metrik antara dua titik dalam ruang Euclidean. Aturan ini ditulis untuk dua titik yang selalu dekat. Dalam ruang Euclidean, sedemikian rupa sehingga tensor metrik dapat diagonal dengan unit pada diagonal dalam sistem koordinat nyata pada titik kulit, tidak ada perbedaan mendasar antara vektor zsuvu yang terbatas dan kecil tak terhingga. Ale us lebih tsіkavit vipadok rіmanov hamparan (seperti permukaan kuli, misalnya), de tsya rіznitsya stotna. Jadi, kita akui bahwa tensor metrik dalam penurunan zagalny tidak diagonal dan berubah ketika bergerak dari titik ke titik dalam ruang. Tetapi hasil dari zastosuvannya ini, ds 2, diliputi oleh pilihan di titik kulit yang terlepas dari pilihan koneksi langsung dengan titik itu sendiri. Tse zhorstku umova (kurang zhorstka, nizh umova Euclidean) dan pada saat yang sama vikonannі bentangan dan panggil rіmanovo.

Anda telah menyanyikan kembali rasa hormat Anda, bahkan lebih sering saya mengambil kata "dovzhina" dan "dovzhina" di kaki saya. Saya menghindar dari sumbu ini. Apalagi diperkenalkan untuk memformalkan pekerjaan dengan hasil simulasi. Tidak, bau deshcho saya telah dicabut, tetapi mereka yang telah dicabut telah berhenti menjadi anak-anak (dalam bentuk anak-anak).

Saya kira - metrik "vіdstan" tidak dapat disimpan dalam pilihan koordinat Cartesian (dan tidak hanya), katakanlah, pada kertas lengkung. Mari kita pergi ke koordinat yang sama, jika Anda dapat menemukan antara dua titik pada sumbu koordinat 10. Dapatkah Anda menentukan koordinat lain, di mana tempat antara dua titik itu sendiri akan menjadi 1? Tidak ada masalah. Taruh saja di kesatuan yang sama, dari sumbu yang sama sendiri, kesatuan baru, sama dengan 10 di depan. Berapa banyak ruang Euclidean berubah? Ada apa di sebelah kanan? Dan di sebelah kanan, jika kita bisa menang, tidak cukup bagi kita untuk mengetahui angkanya. Kita perlu tahu lebih banyak, jika Anda adalah satu-satunya yang telah memilih untuk mengambil nomor tersebut. Matematika di zvichniy sogodnі semua bentuk tsim tidak mengoceh. Vaughn hanya bisa benar dengan angka. Pilihan sendirian, vimiryuvannya zrobleny ke matematika zastosuvannya dan zmіnyuvatis tidak lagi bersalah! Ale pikiran kami, jangan beri tahu kami apa pun tanpa pernyataan skala! Tapi matematika adalah sama. Jika bahasa adalah tentang metrik "vіdstanі", secara formal zastosuvannya baiduzhe hingga pilihan skala. Meteran panas, jelaga panas. Hanya angka yang penting. Sumbu itu saya meletakkan kaki saya. Tahukah Anda efek samping seperti apa yang bisa menjadi pidkhid dalam matematika ruang Romawi? Dan porosnya adalah yak. Tidak mungkin melihat perubahan skala dari titik ke titik. Ganti saja yoga secara langsung. Dan meskipun perubahan skala untuk transformasi koordinat tambahan dalam geometri seperti itu adalah kehidupan sehari-hari secara keseluruhan. Apa yang bisa dimasukkan dalam geometri tinjauan terakhir kekuatan skala di semuanya? Itu mungkin, itu mungkin. hanya untuk siapa dimungkinkan untuk merapikan bantuan impersonal dan membiasakan diri memberi nama pidato dengan nama mereka sendiri yang benar. Salah satu krokiv pertama akan menyadari fakta bahwa tidak ada metrik sebenarnya tidak dapat digunakan. Vaughn, madly, maє menyanyikan zmіst fisik, jauh lebih hormat. Ale Onshi.

Dalam fisikawan, penghormatan terhadap peran metrik diperoleh dari munculnya teori kelayakan - sedikit khusus, kemudian zagalnoy, di mana metrik menjadi struktur sentral teori. Teori khusus tentang viabilitas dirumuskan atas dasar fakta bahwa trivi- merly bukan skalar dari sudut pandang totalitas inersia, bahwa satu sistem fisik yang sama dan lurus runtuh satu per satu. Sebuah skalar, sebuah invarian, adalah nilai lain, yang disebut interval. Interval antara podia. untuk perhitungan nilai ini, perlu vrahuvati dan interval satu jam antara pod ini. Lebih dari itu, tampak bahwa aturan penghitungan metrik (dan interval sekali lagi terlihat dalam kualitas metrik dalam jam-ruang bersatu, ruang subdivisi) mirip dengan sonic Euclidean dalam trivi- ruang dunia. Sepertinya sedikit lagi. Ruang metrik Vidpovidne Herman Minkovsky, Mereka mulai menelepon. Rasa hormat dari fisikawan, termasuk Einstein, mengubah robot Mankivsky menjadi pentingnya memahami metrik sebagai kuantitas fisik, dan bukan hanya matematika.

Teori Visibilitas Zagalna telah dimasukkan dalam tinjauan sistem fisik yang dipercepat satu sama lain. Saya, dalam peringkat seperti itu, dapat memberikan deskripsi fenomena gravitasi pada skala baru untuk teori Newton. Saya dapat menjangkau melampaui bantuan indra medan fisik ke metrik itu sendiri - besaran dan aturan, tensor metrik. Pada saat yang sama, konstruksi matematis ruang Rimanov seperti gambar ruang-jam. Kami tidak akan pergi terlalu jauh ke rincian teori ini. Krіm osgogo nshgo, teori tsya stverdzhuє, shko svіt (ruang-jam), dalam apa benda masif, sehingga benda tertarik satu lawan satu, maє metrik vіdmіnnu vіd nastilki priemnoї us evklіdovoї metrik. Semua ruangan di bawah kekerasan setara dengan:

Kekerasan fisik. Titik-titik tubuh yang membentuk massa tertarik satu lawan satu.

Dalam ruang-jam, dalam tubuh yang begitu besar, tidak mungkin untuk memperkenalkan grid bujursangkar sederhana di mana-mana. Tidak ada vimiruvalnyh priladіv seperti itu, yakі memungkinkan tse robiti. Yang pasti, seperti biasa, "klip" chotirikutnik yang dihasilkan akan bengkok.

Anda dapat memilih skala dengan satu dan nilai yang sama (norma) untuk seluruh ruang-jam. Jika skala seperti itu dapat dipindahkan dari titik pertama ke titik lain dan disamakan dengan yang sudah ada di sana. ALE! Navіt yakscho zsuv tak terhindarkan kecil, garis lurus pada timbangan di alam liar tidak akan zbіgatisya. Tim lebih kuat, semakin dekat skala ke tubuh, semakin kuat massa dan semakin besar massa itu sendiri. Hanya saja tidak ada massa di sana (meskipun sumbu adalah makanan Anda - tetapi bagaimana dengan timbangan itu sendiri?) Mereka akan berjalan lurus.

Di bidang ruang-waktu, yang jalan, benda-benda masif tidak memiliki sistem koordinat seperti itu, dalam tensor metrik di titik kulit representasi oleh matriks, nol di mana-mana, diagonal garis, di mana ada satu.

Metrik vidminnis dalam bentuk Euclidean manifestasi dari manifestasi medan gravitasi (field of gravity). Selain itu, medan tensor metrik adalah medan gravitasi.

Adalah mungkin untuk membawa lebih banyak benteng seperti itu, tetapi pada saat yang sama saya ingin mengembalikan rasa hormat Anda kepada yang lain. Lengkungan. Tse schos, scho belum kita bahas. Yake vіdnoshennia van mungkin untuk metritsі? Di belakang rakhunok besar - tidak ada! memahami lebih lanjut tentang metrik yang lebih rendah. Dalam arti apa?

Keluarga ruang Romawi, yang mencakup ruang Euclidean, merupakan bagian dari keluarga yang lebih besar. Cі ruang, vzagalі tampaknya, tidak peduli tentang dampak dari nilai seperti itu, seperti metrik, untuk titik taruhan kulit Anda. Kemudian, untuk kekuatan yang diperlukan, ada fondasi dari dua struktur lain, yang terhubung satu per satu - hubungan affine dan kelengkungan. Hanya dengan pikiran bernyanyi pada kelengkungan (atau zv'yaznist), dalam bentangan seperti itu ada metrik. Todі tsі ruang dan hubungi Rіmanovo. Baik itu bentangan Riemannian, zv'yaznist, dan kelengkungan. Ale tidak tiba-tiba.

Tetapi tidak mungkin untuk mengatakan bahwa metrik itu sekunder dalam hal kematangan terhadap slickness atau kelengkungan. tidak. Dasar dari metrik adalah pernyataan kekuatan sing link, dan karenanya kelengkungan. Dalam interpretasi standar relativitas umum, metrik dipandang lebih penting, karena metrik tersebut menetapkan bentuk teori, struktur. Dan hubungan affine dan kelengkungan muncul jika mereka sekunder, jenis metrik yang serupa. Interpretasi ini ditetapkan oleh Einstein, pada jam-jam itu, jika matematika belum dipahami untuk mencapai pemahaman lanjutan dan konsekuensial dari hierarki di luar tingkat pentingnya struktur, mereka menandakan kekuatan keluarga ruang, yang mengarah ke Euclidean. . Sudah setelah penciptaan aparatus GR, pertama-tama oleh Weil dan Schouten (tidak sendirian, tentu saja), matematika terfragmentasi di ruang terbuka koherensi Athena. Vlasne, robot itu dirangsang oleh kemunculan relativitas umum. Seperti Bachite, interpretasi kanonik tentang pentingnya struktur dalam relativitas umum tidak menyimpang dari pandangan matematika modern tentang hubungan mereka. Interpretasi kanonik Tsya tidak lain, seperti identifikasi struktur matematika lainnya dengan bidang fisik. Nanya m rasa fisik.

Dalam relativitas umum ada dua rencana untuk menggambarkan ruang-jam. Yang pertama adalah jam-hamparan itu sendiri, seperti hamparan bawah. Podії, bezperervnyayut apakah area ruang-waktu ditandai dengan koordinat tambahan. Juga, sistem koordinat tunduk pada pengenalan. Nama teori itu sendiri menonjolkan rasa hormat terhadap dirinya sendiri pada tsoma - hukum alam, mungkin dalam ruang-jam karena dirumuskan, bagaimanapun, sistem koordinat apa pun yang dapat diterima. Tsya mungkin bisa disebut prinsip visibilitas global. Sangat penting bahwa rencana teori ini tidak mengatakan apa pun tentang keberadaan metrik dalam ruang-jam, tetapi masih memberikan dasar untuk membangun koneksi affine baru (bersama dengan kelengkungan dan struktur matematika serupa lainnya). Secara alami, sudah pada tingkat ini, ada kebutuhan untuk memberikan sensasi fisik pada objek teori matematika. Sumbu anggur Titik ke jam menggambarkan bagian bawah, dari satu sisi ditandai oleh stasiun dan momen jam, dari yang lain - oleh koordinat. Betapa indahnya? Hiba tidak sama? Tapi tidak ada sumbu. Dalam relativitas umum, mereka tidak sama. Koordinat spesies yang paling terkenal, yang dapat diterima secara teori, tidak dapat ditafsirkan sebagai posisi dan momen jam. Kemungkinan seperti itu didalilkan hanya untuk kelompok koordinat yang lebih sempit - inersia lokal, yang hanya dapat ditemukan di sekitar titik kulit, tetapi tidak di seluruh area yang dicakup oleh sistem terbelenggu koordinat. Postulat lain dari teori. Inilah hibrida semacam itu. Saya sendiri akan memastikan bahwa ada banyak masalah OTO di sini, tetapi saya tidak akan menanganinya sekaligus dengan izin.

Dengan rencana teori yang lain adalah mungkin untuk memperhitungkan bagian dari postulat itu, untuk memperkenalkan pandangan tentang ruang-jam dari makhluk fisik - gravitasi, benda-benda besar yang saling menarik. Dikatakan bahwa fenomena fisik ini dapat ditundukkan untuk pikiran yang bernyanyi dengan pilihan sederhana dari sistem yang layak dengan cara yang sama, dan itu sendiri, inersia lokal. Untuk semua benda, yang masih dapat dipercepat (jatuh bebas) setelah kehadiran di area kecil medan gravitasi dari benda masif yang jauh, medan tidak diamati dalam sistem saat ini di kejauhan. Secara formal, postulat berakhir pada ini, tetapi pada kenyataannya, tingkat dasar teori, seperti memperkenalkan metrik, juga untuk postulat, dan menyukai pemadatan matematis, dan menyukai fisik. Meskipun saya tidak ingin membahas detail tentang pemerataan (sebenarnya, sistem pemerataan), tapi tetap saja, ibu yogo menakutkan di depan mata:

R ik \u003d -c (T ik - 1/2 T g ik)

Di sini layak disebut tensor Ricci, lipatan sederhana (kombinasi komponen gudang) dari total tensor kelengkungan. Dengan hak penuh, juga bisa disebut kelengkungan. Di sebelah kanan adalah konstruksi tensor impuls energi (ini adalah kuantitas fisik dalam relativitas umum, tunggal untuk benda masif dan luar angkasa untuk ruang-jam, seperti untuk energi-impuls dalam teori ini, pakai saja) dan metrik Selain itu, metrik tsya, sebagai besaran skalar, dipengaruhi oleh tensor metrik, tetapi sama untuk semua titik wilayah. Lebih razmіrna cepat dengan, sebanding dengan cepat gravitasi. Dari tingkat ini jelas bahwa, di balik rahunka agung, kelengkungan terbentuk dengan dorongan-energi dan metrik. Metrik sensorik fisik dikaitkan dengan GR setelah keputusan setara ini diambil. Oskіlki dalam solusi tsomu koefisien metrik terkait dengan potensi linier medan gravitasi (dihitung melalui yang baru), kemudian ke tensor metrik dan sensor medan potensial dikaitkan. Dengan pendekatan seperti itu, sensasi serupa adalah kesalahan ibu dan kelengkungan. Dan koneksi affine diartikan sebagai kekuatan medan. Penafsiran yang kurang tepat, maaf karena adanya paradoks dalam penafsiran koordinat yang telah disebutkan di atas. Secara alami, untuk teori, itu tidak berlalu tanpa jejak dan memanifestasikan dirinya dalam sejumlah masalah yang baik (non-lokalisasi energi medan gravitasi, interpretasi singularitas), yang, ketika sensasi fisik yang benar ditambahkan dengan nilai-nilai geometris, tidak bisa disalahkan. Lebih kabarnya, semuanya dibahas dalam buku "".

Namun, dalam relativitas umum, metriknya meniru, kejahatan sensasi yang dikenakan padanya sepotong demi sepotong, hanya ada satu perbedaan fisik. Tebak apa yang mencirikan metrik dalam hal ruang Euclidean? Satu hal lagi yang penting untuk hidup di ruang-jam adalah kemampuan untuk memasukkan jorstka ke dalam ruang ini, secara merata mengisi seluruh area dengan kisi koordinat bujursangkar. Jaringan Qiu disebut dalam fisika sebagai sistem pengamatan inersia. Sistem referensi (sistem koordinat) seperti itu mendukung satu dan hanya satu bentuk standar tensor metrik. Dalam sistem vіdlіku, cukup banyak runtuh shdo nercialny, jenis metrik tensor vіdmіnniy vіd standar. Dari segi fisik, peran “sitka untuk melihat” sudah cukup untuk melihat. Jika Anda memiliki tubuh yang kokoh untuk dilihat, titik kulit yang aman dengan tahun yang sama, dalam jam, maka ia juga akan mewujudkan jaringan seperti itu. Untuk bentangan kosong, kami hanya melakukan domislyuєmo tubuh seperti itu untuk vіdlіku, memastikan yoga (perluasan) dengan metrik yang persis sama. Dalam tensor metrik yang masuk akal, dalam bentuk standar Euclidean, tampaknya sistem pengamatan (koordinat) diilhami oleh bantuan benda non-padat, dan, mungkin, buku tahunan juga bisa masuk berbeda di titik . Apa yang ingin saya katakan tsim? Dan kemudian apa? tensor metrik adalah urutan matematis dari beberapa kekuatan terpenting sistem bagi kita. Kekuatan yang tenang, sebagai peringkat absolut, mencirikan struktur sistem itu sendiri dalam vidlіku, memungkinkan Anda untuk menunjukkan, seberapa banyak mereka tidak akan "mengumpulkan", seberapa banyak mereka terlihat seperti ideal - sistem inersia. Sumbu relativitas umum dan tensor metrik sama dengan gambar tersebut. ya gambar fitting variabel, yang dibagi di area benchmark, dapat mengubah orientasinya dari titik ke titik, tetapi dapat di mana-mana norma yang sama, yang umum untuk semua vektor benchmark. Metrik yang dipandang sebagai skalar dan merupakan norma, nilai skala. Metrik, seperti tensor, memungkinkan Anda melihat lebih banyak Vіdnosny Rukh satu untuk satu dari semua timbangan, yang dilipat agar pas. OTO menggambarkan situasi seperti itu, jika dalam ruang-waktu dimungkinkan untuk menjadi ibu dari tubuh seperti itu, itu lebih nyata atau lebih jelas.

Pandangan metrik ini sangat benar. Lebih dari itu, anggur juga produktif, oskolki sekali lagi menunjukkan rasa hormat atas apa yang telah hilang dari OTO. Faktanya, kami mengizinkan sistem untuk bervariasi tergantung pada skala, pada titik yang berbeda, mereka dapat diorientasikan dengan cara yang berbeda (dalam dunia chotirivimir, orientasinya mencakup hal yang sama dan ruh). Namun, masih harus dilihat bahwa deak adalah karakteristik absolut dari skala, tetapi norma (interval) dibiarkan satu dan sama. Selanjutnya, bagaimanapun, ketegasan OTO, yang diperlukan sebelum melihat semua sistem yang mungkin, adalah dangkal. Chi tidak begitu keterlaluan, visibilitas dalam teori ini.

© Gavryu V.G.
Materi yang dipublikasikan di situs dapat dikutip di bawah aturan kutipan dotrimani.

Salah satu operasi analisis yang paling penting adalah penyeberangan batas. Dasar dari operasi ini terletak pada kenyataan bahwa pada garis bilangan itu ditugaskan dari satu titik ke titik lain. Banyak fakta fundamental dari analisis yang tidak terkait dengan aljabar berdasarkan sifat bilangan real (yaitu, karena bau busuk membentuk lapangan), melainkan berputar-putar di luar pemahaman. Uzagalnyuyuchi menyatakan tentang bilangan aktual seolah-olah tentang impersonal, di mana ia diperkenalkan di antara elemen, kita menjadi memahami ruang metrik - salah satu yang paling penting untuk memahami matematika modern.

luas metrik disebut pasangan (X, r), apa yang berlaku tidak berwajah(Ruang angkasa) elemen X(titik) saya vіdstanі, yaitu fungsi real non-negatif r(x, y), bernyanyi untuk be-yakah xі pada H x dan diurutkan ke tiga aksioma berikutnya:

1) r (x, y)= 0 walaupun hanya x = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(Aksioma simetri),

3) r(x, z)≤ r (x, y)+ r(y, r)(Aksioma trikutnik).

Ruang metrik yang sama, yaitu pasangan (X, p), kami akan berarti, sebagai suatu peraturan, satu huruf:

R = (X, p).

Di vipadka, jika dimatikan secara tidak dapat dipahami, kita akan sering menunjuk ruang metrik dengan simbol yang sama dengan "cadangan poin" itu sendiri x.

Mari kita terapkan ruang metrik. Beberapa ruang ini memainkan peran penting dalam analisis.

1. Poklavshi untuk elemen yang cukup impersonal

kami mengambil, jelas, ruang metrik. Yoga bisa disebut hamparan titik-titik yang terisolasi.

2. Banyaknya bilangan real dari standar

p(x, y) = | x - y |

membangun ruang metrik R 1 .

3. Set pemesanan anonim P bilangan real dari standar

ditelepon P-ruang Euclidean aritmatika yang damai Rn.

4. Mari kita lihat set impersonal yang sama P bilangan asli

Validitas aksioma 1) -3) jelas di sini. Luasan metrik yang signifikan dari simbol Rn 1 .

5. Biarkan saya memperbarui hal-hal impersonal yang sama yang ada di pantat 3 dan 4, dan signifikan di antara unsur-unsur rumus

Validitas aksioma 1) -3) sudah jelas. Hamparan ini, yang berarti bagiku Rn dalam analisis nutrisi yang kaya tidak kalah berguna, bentangan Euclidean yang lebih rendah Rn.

Sisa dari tiga pantat menunjukkan bahwa mereka kadang-kadang dan secara adil penting berbeda untuk sebagian besar ruang metrik dan untuk titik impersonal, sehingga satu titik persediaan yang sama dapat diukur secara berbeda.

6. Bezlich Z semua fungsi fungsional non-permanen yang ditetapkan ke belitan dari jauh

juga membentuk ruang metrik. Aksioma 1) -3) dirusak tanpa pandang bulu. Ruang ini memainkan peran penting dalam analisis. Kami akan menunjuk yogo dengan simbol yang sama Z Apa titik paling impersonal dari ruang ini.

7. Mari kita lihat, seperti di pantat 6, urutan semua fungsi, tanpa gangguan pada mata DENGAN, ale vіdstan tidak signifikan, tapi juga,

Ruang metrik seperti itu yang kami maksud Z 2 dan nama bentangan fungsi tak terputus dengan metrik kuadrat.

Sebelum Rіman, Lobachevsky, Einstein dan rekan-rekan lainnya, geometri terdiri dari bidang-bidang, titik-titik tak terlihat dan garis lurus yang tidak dipotong dalam arah yang berlawanan. Di atas cahaya trivimer datar, dengan bangga jam utama, dirasakan oleh kita sebagai sebuah proses, dikuantisasi demi detak jantung dan derap tahun. Semuanya keras, lugas, masuk akal, kuat, tiga koordinat di ruang angkasa dapat ditentukan dengan pasti - cukup tekan sedikit.

Akhir dari idil datang dengan munculnya ahli matematika, yakі doslіdzhuyut di ujung pena yang kaya bentangan. Bau busuk itu dapat dilipat, objek dan sistem yang sangat terkoordinasi, tidak dapat dipahami oleh mata manusia dan dapat dipahami, misalnya, kubus chotirivimirny yang terkenal, garis Mobius, dan banyak lagi. Selangkah demi selangkah, dinyatakan bahwa bentangan neobov'yazkovo yang tampak dapat dilipat dari garis datar dan lurus dengan jam proses, dapat dilipat, misalnya, dari lembaran datar berbentuk tidak beraturan yang ditekuk menjadi tabung, apalagi , jam adalah sumbu ganda, digambar di tengah tabung. Intinya diatur dalam bentangan yang "salah", tetapi belum memiliki tiga koordinat yang kita kenal, sehingga mengemudi dalam satu kilo tidak dapat membantu mereka mati. Posisi set point dalam ruang non-Euclidean perlu direpresentasikan dalam susunan visual angka, yang terus berubah sesuai dengan aturan yang ada. Aturan sendiri dalam vigadanoma kulit adalah mereka sendiri. Array angka seperti itu disebut tensor, dibutuhkan data tentang titik-titik ruang kira-kira dengan cara yang sama, di mana gambar diambil dalam permainan "gambar bunga": panjang geser kulit adalah vektor, yang ditunjukkan pada suatu titik menggunakan salah satu koordinat, yang ditampilkan hari ini , tunggal dan tidak berulang.

Tensor adalah objek yang dapat dilipat, tetapi mereka memiliki satu ruang besar - tensor seperti array vektor-string dapat "dilintasi" dengan menunjuk matriks tensor - tabel dua dunia, di mana penggantian angka terbesar adalah rumus yang menjelaskan aturan transformasi ini. Matriks adalah objek sederhana, operasi dengan beberapa jenis kebaikan telah dikembangkan lebih dari seabad yang lalu. Para kepala matematikawan mulai bekerja keras, mereka mempresentasikan formula paling canggih, dan ada tensor untuk titik-titik dari bentangan yang tidak dapat dipahami itu sendiri. Tensor paling sederhana, yang dijelaskan dengan akurasi yang cukup, dapat diterima oleh kami dengan akurasi yang cukup, adalah ruang Euclidean tiga dimensi dan proses jam. matriks i disebut metrik.

Nadal terungkap bahwa, karena kekuatan kepadatan yang diambil sebagai dasar oleh Einstein, metrik Minkovsky menjadi tidak dapat diterima dalam ruang hampa pada lengkungan jarak yang jauh antara titik-titik, atau pada lengkungan indikator gravitasi tinggi. interaksi. Para kepala matematikawan kembali bekerja, sudah bersekutu dengan fisikawan, seolah-olah mereka sedang bercanda tentang konfirmasi eksperimental teori. Jadi, misalnya, metrik Schwarzschild muncul, seolah-olah menggambarkan dunia kita melalui perkalian matriks tensor dalam bidang persegi dua dunia dan bola dua dunia (ada lingkaran yang terkenal, tetapi Anda dapat melihat keseluruhannya bentangan). Metrik Schwarzschild memungkinkan untuk menjelaskan mengapa kita sendiri, dan bukan sebaliknya, merasakan gerakan objek bola langit. Satu jam dalam nіy adalah nilai konstan (!), yang dimasukkan okremo ke dalam kulit mawar, dan ketika Anda melihat titik posterigach - itu benar-benar vektor, yang memberikan deskripsi panjang ruang (- jam) antara dua objek, alepodia.

Ruang fungsional utama

kuliah 5

Salah satu operasi analisis yang paling penting adalah penyeberangan batas. Dasar dari operasi ini terletak pada kenyataan bahwa pada garis bilangan itu ditugaskan dari satu titik ke titik lain. Banyak fakta fundamental dari analisis yang tidak terkait dengan aljabar berdasarkan sifat bilangan real (yaitu, karena bau busuk membentuk lapangan), melainkan berputar-putar di luar pemahaman. Uzagalnyuyuchi menyatakan tentang bilangan aktual seolah-olah tentang impersonal, di mana ia diperkenalkan di antara elemen, kita menjadi memahami ruang metrik - salah satu yang paling penting untuk memahami matematika modern.

Janji temu.

Sepasang disebut ruang metrik (X, hal). x elemen (titik) dan vidstani, yaitu fungsi yang tidak ambigu, tidak negatif, dan efektif p(x, y), Ditunjuk untuk be-yakah xі kamu H x dan diurutkan ke aksioma yang akan datang;

1. (x, y) 0 untuk semua x, y,

2. (x, y) = 0 maka, dan hanya sekali, jika x = y,

3. (x, y) = (y, x)(Aksioma simetri),

4. (x, z) £ (x, y) + (y, z)(Aksioma trikutnik).

Ruang metrik yang sama, yaitu pasangan (X, hal), Kami akan menunjuk, sebagai suatu peraturan, satu huruf R = (X, p).

Di vipadka, jika dimatikan secara tidak dapat dipahami, kita akan sering menunjuk ruang metrik dengan simbol yang sama dengan "cadangan poin" itu sendiri x.

Mari kita terapkan ruang metrik. Hamparan Deyakі z tsikh memainkan peran penting dalam analisis.

1. Poklavshi untuk elemen yang cukup impersonal

kami mengambil, jelas, ruang metrik. Yoga bisa disebut hamparan titik-titik yang terisolasi.

2. Banyaknya bilangan real dari standar

membangun ruang metrik R1.

3. Grup pemesanan anonim n bilangan real x = (X 1, ..., x n) dari jauh

ditelepon n-ruang Euclidean aritmatika yang damai R n. Keadilan aksioma 1) - 3) untuk R n jelas. Mari kita tunjukkan itu di R n Vikonan dan aksioma trikutnik.

Ayo x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n),

z = (z 1, ..., z n);

kemudian aksioma penipu ditulis oleh pemirsa

Vvahayuchi, otrimuemo, dan ketidakrataan (2) mengambil bentuk apa pun

Namun, kegugupan segera terlihat dari kegugupan yang tampak dari Kosh-Bunyakovsky

Sungguh, karena kegugupan ini, itu mungkin

nerіvnіst (3), dan juga (2), dibawakan olehnya.

4. Mari kita lihat grup pesanan impersonal yang sama n nomor hari x = (x 1, ..., x n) tapi biarlah signifikan dalam formula baru

Validitas aksioma terlihat jelas di sini.

Pengelola. Bawa aksioma 4.

Luasan metrik yang signifikan dari simbol.

5. Biarkan saya memperbarui hal-hal impersonal yang sama yang ada di pantat 3 dan 4, dan signifikan di antara unsur-unsur rumus

Validitas aksioma 1) - 3) sudah jelas.

Pengelola. Bawa aksioma 4.

Hamparan ini, yang penting bagi kami, untuk sumber analisis yang kaya tidak kurang nyaman, bentangan Euclidean yang lebih rendah R n.

Sisa dari tiga pantat menunjukkan bahwa mereka kadang-kadang dan secara adil penting berbeda untuk sebagian besar ruang metrik dan untuk titik impersonal, sehingga satu titik persediaan yang sama dapat diukur secara berbeda.

6. Bezlich C semua fungsi fungsional tidak permanen yang ditetapkan ke segmen , Tiga kali sehari

juga membentuk ruang metrik. Aksioma 1) - 3) dipertimbangkan kembali tanpa perantara.

Pengelola. Bawa aksioma 4.

Ruang ini memainkan peran penting dalam analisis. Kami akan menunjuk yogo dengan simbol yang sama C Apa titik paling impersonal dari ruang ini. wakil C kami akan menulis secara sederhana Z.

7. Secara signifikan melalui l 2 bentangan metrik, yang titik-titiknya berfungsi sebagai semua suksesi x = (x 1, ..., x n, ...) bilangan real yang menyenangkan pikiran,

dan rumus vіdstan vyznaєtsya

Dari ketidakrataan dasar, jelas bahwa fungsi p(x, y) masuk akal bagi semua untuk bertemu, seperti

Mari kita tunjukkan bahwa fungsi (8) memenuhi aksioma ruang metrik. Aksioma 1) - 3) sudah jelas, dan aksioma trikutnik berbentuk di sini

Berdasarkan apa yang telah dikatakan di atas, tiga baris tulisan di sini bertemu. Di sisi lain, di kulit n benar tidak merata

(Div. Pantat 4). Melewati sini ke batas di n®∞ otrimuemo (8), sehingga ketidakrataan triko masuk l 2.

8. Mari kita lihat, seperti di pantat 6, urutan semua fungsi, tanpa gangguan .

Ruang metrik seperti itu yang kami maksud Z 2 dan menyebutnya ruang fungsi tak terputus dengan metrik kuadrat. Di sini semua aksioma ruang metrik jelas, dan aksioma trikutnik tanpa perantara berteriak dari bentuk integral ketidakrataan Cauchy - Bunyakovsky

9. Mari kita lihat impersonalitas semua turunan x = (x 1, ..., x n, ...) dari bilangan real.

kami mengambil ruang metrik, karena signifikan M. Validitas aksioma sudah jelas.

10. Grup pemesanan anonim n bilangan real dari standar

de R- apakah ada nomor tetap ≥ 1 , Ini adalah ruang metrik, karena signifikan.

Mari kita tinjau kembali aksioma 4.

Ayo x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n), z = (z 1, ..., z n).

Ayo pergi, bahkan nerіvnіst

menegakkan keadilan siapa saya bersalah, saya akan melihat

Tse adalah nama kegugupan Minkovsky. pada p=1 Ketidakrataan Minkowski jelas (jumlah modul tidak melebihi jumlah modul), kami akan memperhitungkannya p > 1.

Bukti ketidakrataan (13) dengan p > 1 berdasarkan apa yang disebut kegugupan Hölder

nomor de p > 1і q > 1 terikat dengan pikiran

Kami menghargai bahwa ketidakrataan (14) adalah sama. Tse berarti tidak apa-apa untuk dua vektor a = (a 1, ..., a n),і b = (b 1, ..., b n), lalu vono vikonano i untuk vector_v aі b, de λ і μ - cukup banyak. Untuk itu nerіvnіst (14) untuk menyelesaikan untuk membawa vipadka, jika

Ayah, biarkan Vikonan Umov (16); beri tahu kami bahwa

Mari kita lihat alun-alun (ξ,η) bengkok, seolah-olah mereka sama = p -1 (ξ> 0), Abo, apa yang sama, sama p -1 (η> 0)(Gbr. 1). Dari si kecil sudah jelas bahwa dengan pilihan nilai positif apapun sebuahі B akan S 1 + S 2 > ab. daerah yang dapat dihitung S1і S2:

Dalam peringkat seperti itu, inkonsistensi numerik dibenarkan

ganti disini sebuah pada | k |і B pada | Bk | dan pіdsumovuyuchi aktif k dari 1 sampai n, Otrimaєmo, vrakhovuchi (15) dan (16),

Nerіvnіstі (17), dan, kemudian, zagalne rіvnіstі (14) dibawa.

pada p = 2 Nerіvnіst Hölder (14) berubah menjadi Nerіvnіst Koshi - Bunyakovsky (4).

Sekarang mari kita beralih ke membawa kegugupan Minkovsky. Untuk siapa kita bisa melihat kesamaan

Mengganti kesamaan dalam tulisan sebuah pada sebuah kі B pada b k dan pіdsumovuyuchi aktif k melihat 1 sebelum n diambil

Zastosovuchi sekarang ke kulit untuk dua jumlah, untuk berdiri dengan tangan kanan, Gelder gugup dan vrakhovuuchi, scho (P - 1) q = p, Dapatkan x (t), ambil

Dengan cara ini, terungkap bahwa rumus (18) lp, Deisno maє sens untuk be-yakah. Ketidakseimbangan semalam (19) menunjukkan bahwa dalam lp vikonana aksioma trikutnik. Aksioma Reshta jelas.

Segelintir puntung yang jauh tidak dikelilingi oleh penerimaan yang ofensif. Ayo R = (X, p)- ruang metrik i M- menjadi pengganda dalam x. juga M dengan fungsi yang sama p(x, y), Yaku mi vvazhaemo sekarang bernyanyi untuk xі pada H M, Tezh ruang metrik; itu disebut subruang ruang R.