Dapatkah Anda menunjukkan (banyak tidak malu-malu) bahwa sama (2) sama dengan (1), meskipun itu diambil dari (1) jalan tidak setara perombakan. Tse berarti ekuivalen (2) adalah ekuivalensi elips yang diberikan. Vono disebut resmi(Tobto paling memaafkan).

Saya sadar bahwa kesetaraan elips sama dengan urutan yang berbeda, tobto. elіps-line urutan ke-2.

Untuk elips, kami memperkenalkan pemahaman keanehan. Nilai ini. Untuk eksentrisitas elips. jadi ya Hі sebuah vіdomі, tezh vidomy. Viraz jari-jari fokus titik M(x, y) dari elips dengan mudah diambil dari mirroring depan: . r 2 diketahui dari persamaan (3)

Menghormati Demikian juga, masukkan dua bunga (F1 dan F2) ke dalam gaya, ikat dengan kedua ujungnya, sebuah dozhina yang lebih besar untuk tumbuh di antara bunga ( 2a), tarik kabelnya dan giring buaian di sepanjang meja dengan karung, lalu putar elips kurva yang tertutup, karena simetris dengan sumbu dan tongkol koordinat.

4. Tindak lanjut dari bentuk elips dari tingkat kanonik yogo.

Pada ketidakakuratan mi rkuvan yang terhormat, sebuah visnovo dibuat tentang bentuk elips. Kami sekarang akan melakukan penyelidikan bentuk elips, menganalisis keselarasan kanonik yogo:

Kita tahu titik silang dengan sumbu koordinat. Jika, y=0, maka , , maka. ada dua titik A1(-a,0) dan A2(a,0). Jika x = 0, maka . tobto. bisa ada dua titik B1(0,-b) dan B2(0,b) (karena, maka). Poin A1, A2, B1, nama B2 bagian atas elips.

2) Area pembilasan elips dapat ditentukan dari mirkuvan berikut:

a) dari elіpsa yang sama sld, scho, tobto. , kemudian. atau .

b) demikian pula, tobto. atau . Tse menunjukkan bahwa seluruh elps roztashovanki memiliki potongan lurus, bertatahkan i lurus.

3) Lebih jauh, pada penjajaran elips perubahan x dan y, masuk hanya dalam langkah kembar, tetapi itu berarti kurva simetris seperti sumbu kulit dan seperti tongkol koordinat. D-tetapi, jika jari-jari memiliki titik (x, y), maka i titik (x, -y), (-x, y) dan (-x, -y) harus berbohong. Cukup baginya untuk melihat bagian elps itu, seperti berbaring di kuarter pertama, de i.

4) Baris pertama dari elips adalah maєmo, tetapi kuartal pertama. Jika x = 0, maka y = b. Intinya adalah B2(0,b). Misalkan x bertambah dari 0 ke a kemudian y berubah dari b ke 0. Tim titik M(x, y), dimulai dari titik B2(0, b), menggambarkan busur sampai ke titik A(a, 0) . Anda dapat dengan aman membawa bahwa lengkungan tonjolan itu lurus ke atas gunung. Mencerminkan busur di sumbu koordinat i pada tongkolnya, kami mengambil seluruh elips. Sumbu simetri elips disebut sumbu yogo, titik Properitin adalah ix-pusat elips. Dovzhina vіdrіzkіv OA1=ОА2=а disebut elps pіvvіssya besar, vіdrіzkіv OV1, OB2=b-b-small pіvvіssyu elps, (a>b), c-nap_vіvіssya elіps. Cukup jelaskan nilainya secara geometris.

Saat a \u003d b, kami mengambil perataan kanonik elips - perataan pasak. Untuk taruhannya, tobto. F1 = F2 = 0. .

Dalam urutan ini, cincin okremy vipadok elіps, jika fokus yoga berjalan di sekitar pusat dan eksentrisitas = 0. Semakin besar eksentrisitas, semakin besar tarikan elips.

Menghormati. Dari perataan kanonik elips, mudah untuk membuat visnovok, sehingga elips dapat diatur dalam bentuk parametrik. x = a cos t

y=b sin t, de a, b - pіvos besar dan kecil, t-kut.

5. Penunjukan visi pemerataan kanonik hiperbola.

hiperbola disebut GMT area, untuk beberapa perbedaan antara dua titik tetap F1F2 dari area, yang disebut fokus, adalah nilai konstan (tidak sama dengan 0 dan kurang, panjang fokus lebih rendah F1F2).

Katakanlah, seperti sebelumnya, F1F2=2с, dan selisihnya adalah 2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Biarkan M (x, y) - titik aliran hiperbola. Dengan janji MF1-MF2= atau r1-r2== atau --(1). -tse i pemerataan hiperbola.

Membiarkan irasionalitas dalam (1): mari kita ambil satu akar, mari kita kuadratkan, singkirkan: jika tidak, mari kita kuadratkan lagi:

Zvіdki.

Mari kita bagi menjadi . Mari kita perkenalkan notasi. Todi --(2). Rivnyannya (2), seperti yang dapat ditunjukkan, lebih sama dari sama (1), dan itu sama dengan hiperbola. nama yogo kanonik sama dengan hiperbola Bachimo, yang juga sama dengan hiperbola tingkat lain, garis hiperbola dari orde yang berbeda.

Eksentrisitas hiperbola. Jari-jari fokus Viraz melalui otrimati mudah dari depan, maka kita tahu z.

6. Bentuk lanjutan dari hiperbola untuk kanonik sama dengan.

Rozmіrkovuєmo sama sebelumnya, seperti dengan elіpsa terakhir.

1. Kita mengetahui titik potong dengan sumbu hiperbola. Jika x = 0, maka . Krapok peretina z vsyu OU tidak. Jika y = 0, maka . Garis ulang poin, . Bau busuk disebut simpul hiperbola.

2. Luas perluasan hiperbola: tobto. atau . Ini berarti hiperbola diacak-acak oleh pose swarthy, dikelilingi oleh garis lurus. x=-aі x =.

3. Hiperbola dapat dilihat pada semua simetri, karena x i y masuk di anak tangga kembar. Cukup baginya untuk melihat bagian hiperbola itu, seolah-olah disembunyikan pada kuartal pertama.

4. Persamaan hiperbola (2) pada triwulan pertama setiap bulan. Ketika x \u003d a, y \u003d 0, ada titik; di , maka. kurva menanjak ke kanan. Agar lebih jelas, kita dapat melihat dua garis lurus tambahan, yaitu melewati tongkol koordinat i diagonal persegi panjang dengan sisi 2a dan 2b: BCB'C'. Baunya mungkin sama. Dapat ditunjukkan bahwa titik hiperbola M(x,y) saat ini yang mengalami inkonsistensi, tidak terhalang mendekati garis lurus. Ambil poin yang bagus x dan porіvnyaєmo vіdpovіdnі koordinat titik hiperbola dan - garis lurus. Jelas apa Y>y. MN=Y-y=.

Bachimo, scho, tobto. kurva dekat dengan garis lurus di dunia dalam jarak dari tongkol koordinat. Tse untuk dibawa, scho adalah asimtot langsung dari hiperbola. Selain itu, hiperbola tidak mengubah asimtot. Apa yang cukup, untuk membangkitkan sebagian dari hiperbola. Vaughn sangat kejam di sebuah bukit kecil. Bagian lain diperoleh dengan simetri. Adalah penting bahwa sumbu simetri hiperbola (sumbu koordinat) disebut kapak, titik sumbu- Tengah hiperbola. Satu semua hiperbola peretinaє (dіysna vіs), nsha-ni (vyavna). Vіdrіzok sebuah sebut saja pivvissya diysnoy, vіdrіzok B-jelas pivvissyu. Persegi panjang BCB'C' disebut persegi panjang utama hiperbola.

Yakscho a=b, maka asimtot memenuhi sumbu koordinat kuti . Hiperbola atau panggilan yang sama sama atau setara. Persegi panjang utama berubah menjadi persegi. Asimtot tegak lurus satu saja.

Menghormati.

Terkadang mereka melihat hiperbola, yang secara kanonik sama dengan - (3). nama terikat dengan mengacu pada hiperbola (2). Hiperbola (3) bisa vertikal vertikal, horizontal-jelas. tampilan segera dipulihkan, seolah-olah menata ulang xі pada, sebuahі B(Dia berubah menjadi raksasa). Ale tody hiperbola (3) mungkin terlihat:

Puncak .

5. Seperti yang telah dinyatakan, hiperbola sama sisi ( a = b) jika sumbu koordinat zbіgayutsya s sumbu hiperbola, mungkin terlihat. (4)

Karena asimtotik dari hiperbola sama sisi adalah tegak lurus, dan mereka juga dapat diambil sebagai sumbu koordinat OX 1 dan OU 1 . Perlu mengubah sistem kolosal OXY menjadi potongan. Rumus untuk menyalakan potongan adalah:

Todi in sistem baru koordinat OX 1 Y 1 sama (4) tulis ulang:

abo abo. Secara signifikan, otrimaemo atau (5) harga hiperbola sama sisi, direduksi menjadi asimtot (jenis hiperbola yang sama terlihat di sekolah).

Menghormati S = k 2 .

7. Penunjukan dan definisi kesejajaran kanonik parabola.

parabola disebut GMT area tersebut, untuk kulit fokus. kepala sekolah(Fokus postur oleh kepala sekolah).

Secara signifikan, perbedaan antara F dan direktriks melalui p disebut parameter parabola. Kami memilih sistem koordinat berikut: semua OX ditarik melalui titik F tegak lurus terhadap directrix NP. Tongkol koordinat bergetar di tengah FP baji.

Untuk sistem saya: .

Mari kita ambil titik tambahan M(x, y) dari koordinat saat ini (x, y). tom

Zvіdsi (1) tse i rivnyannya parabola. Katakan saja:

Abo (2) -ce i keselarasan kanonik parabola Dapatkah Anda menunjukkan bahwa (1) dan (2) adalah sama.

Ekuitas (2) sama dengan urutan ke-2, tobto. garis parabola orde ke-2.

8. Doslіdzhennya bentuk parabola untuk kanonik sama.

(p>0).

1) x=0, y=0 parabola melewati tongkol koordinat titik O. disebut titik parabola.

2), lalu. parabola diputar ke kanan sumbu OS, di sisi kanan pesawat.

3) pada untuk masuk ke dunia berpasangan, parabola simetris dengan bagaimana sumbu OH, kemudian, melakukannya di kuartal pertama.

4) pada 1 kuartal di , maka. parabola bergerak ke kanan. Dapatkah Anda menunjukkan bahwa saya akan menanjak. Menurut simetri, saya akan berada di bawah. Semua OU adalah dotichna ke titik parabola.

Jelas, radius fokusnya adalah . Pengaturannya disebut keanehan: . Semua simetri parabola (kami memiliki OH) disebut seluruh parabola.

Hormat, keselarasannya juga parabola, tetapi diluruskan ke sepeda yang berlawanan. Rivnyannya juga set parabola, all yakikh all OU.

atau pada tampilan zvichnomu yang lebih besar, de.

Rivnyannia menandakan parabola besar dengan bagian atas yang dipindahkan.

Menghormati. 1) Mіzh usima chotirma dengan garis-garis orde ke-2 hampir diperdebatkan; pemotongan akhir. Jika Anda mengambil kerucut dari dua yang kosong, maka ketika Anda memotongnya dengan bidang tegak lurus terhadap sumbu kerucut, Anda mengambil pasak, seolah-olah Anda perlu menyembuhkan area potongan, Anda mengambil elips; jika bidang sejajar dengan yang menyanjung, maka di perimeter adalah parabola, jika pesawat membentuk kembali pelanggaran

kosong-hiperbola.

2) Dapat diketahui bahwa jika cahaya keluar dari fokus parabola, muncul di dalamnya, maka cahaya berjalan sejajar dengan sumbu parabola-tse untuk menang ketika proyektor parabola-parabola, dan di fokus-dzherelo cahaya. Untuk keluar meluruskan potіk svіtla.

3) Cara mendeteksi peluncuran satelit bumi dari titik T, yaitu terletak di atmosfer pada garis horizontal, seolah-olah tongkolnya disapu v 0 kekurangan, maka pendamping tidak akan membungkus Bumi. Saat mencapai penerbangan luar angkasa pertama, satelit akan mengelilingi Bumi dalam orbit melingkar dengan pusat di pusat Bumi. Jika Anda ingin menambah lebar tongkol, maka pembungkusnya akan menjadi elips, pusat Bumi akan berada di salah satu fokus. Saat mencapai penerbangan luar angkasa ke-2, lintasannya akan menjadi parabola dan satelit tidak akan berbelok ke titik T, tetapi kita akan mengubah batasnya Sistem Sonyachna. tobto. Parabola elips dengan satu fokus jauh tak terhingga. Dengan peningkatan lebih lanjut dalam swidity tongkol, lintasan akan menjadi hiperbolik dan fokus lain akan muncul dari sisi lain. Pusat Bumi berada pada fokus orbit selama satu jam penuh. Pendamping pіde untuk sistem mezhі Sonyachn.

Kuliah Aljabar dan Geometri. Semester 1

Kuliah 15. Elips.

Rozdil 15. Elips.

barang 1. Pelantikan utama.

Janji temu. Elips adalah GMT luas dari penjumlahan hingga dua titik tetap dari luas tersebut, yang disebut fokus, dan merupakan nilai konstan.

Janji temu. Jarak dari titik kecil bidang M ke fokus elips disebut jari-jari fokus titik M.

Penamaan:
- trik elips,
- Jari-jari fokus titik M.

Untuk tujuan elips, titik M adalah titik elips dan kemudian, jika
- Nilai konstan. Qiu postiynu diterima berarti 2a:

. (1)

Kami menghormati itu
.

Untuk tujuan elips, fokusnya adalah fiksasi titik, jadi ada nilai konstan untuk elips ini.

Janji temu. Berdiri di antara fokus elips disebut panjang fokus.

Penamaan:
.

3 trikutnik
berteriak apa
, kemudian.

.

Signifikan melalui b adalah angka yang mahal
, kemudian.

. (2)

Janji temu. Pengaturan

(3)

disebut eksentrisitas elips.

Kami memperkenalkan sistem koordinat pada bidang ini, yang disebut kanonik untuk elips.

Janji temu. Keseluruhan, di mana fokus elips terletak, disebut titik fokus.

Mari kita menjadi kanonik untuk PDSC Ellipse, div. gambar 2.

Sebagai sumbu absis, kami memilih sumbu fokus, dan seluruh ordinat digambar melalui tengah vdrіzk
tegak lurus dengan sumbu fokus.

Fokus saja pada koordinat
,
.

butir 2. Persamaan kanonik dari elips.

Dalil. Sistem koordinat kanonik untuk elips memiliki keselarasan elips mungkin terlihat seperti:

. (4)

Membawa. Pembuktian akan dilakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kita tahu bahwa koordinat setiap titik yang terletak pada elips dipenuhi dengan kesejajaran (4). Pada tahap lain, kita akan dapat mengetahui apakah solusi (4) memberikan koordinat titik yang terletak pada elips. Zvіdsi vyplivatime, scho sama (4) memenuhi titik ti dan ti dari bidang koordinat, ingin berbaring di elіps. Zvіdsi i vyznachennya vnyannja krivoї sіduvat, shko vnyannja (4) vnyannâ elіpsa.

1) Biarkan titik M (x, y) menjadi titik elips, tobto. jumlah jari-jari fokus adalah 2а:

.

Kami mempercepat rumus antara dua titik pada bidang koordinat dan kami mengetahui rumus untuk jari-jari fokus titik M yang diberikan:

,
, bintang diambil:

Mari kita pindahkan satu akar ke bagian kanan keseimbangan dan bintang ke kotak:

Cepat, otrimuemo:

Kami menyarankan hal yang sama, segera pada 4 dan usamіtnyuemo radikal:

.

Zvodimo di alun-alun

Membuka lengkungan dan dengan cepat menyala
:

bintang dipersilakan:

Vicorist rіvnіst (2), otrimuemo:

.

Setelah membagi sisa kecemburuan pada
, Diperlukan keseimbangan batin (4), dll.

2) Biarkan sekarang sepasang angka (x, y) memenuhi keselarasan (4) dan biarkan M(x, y) – titik yang sesuai pada bidang koordinat Oxy.

Topik (4) sudah jelas:

.

Mengganti keseimbangan untuk jari-jari fokus titik M:

.

Di sini kita dibangkitkan oleh kecemburuan (2) dan (3).

sedemikian rupa,
. Demikian pula,
.

Sekarang terhormat bahwa karena cemburu (4) Anda berteriak

atau
dan karena
, maka ada kegelisahan yang mencolok:

.

Zvіdsi, di sisimu, berteriak, scho

atau
і

,
. (5)

Tiga persamaan (5)
, kemudian. titik M(x,y) adalah titik elips, dll.

Teorema telah selesai.

Janji temu. Penjajaran (4) disebut penjajaran kanonik elips.

Janji temu. Kanonik untuk sumbu koordinat elіps disebut sumbu kepala elіps.

Janji temu. Tongkol sistem koordinat kanonik untuk elips disebut pusat elips.

butir 3. Dominasi elips.

Dalil. (Kekuatan elips.)

1. Sistem koordinat kanonik untuk elips, all

titik elips terletak di dekat persegi panjang

,
.

2. Krapki berbaring

3. Elіps kurva, shdo . simetris

as roda kepala sendiri

4. Pusat elips adalah pusat simetri.

Membawa. 1, 2) Anda melihat perataan kanonik dari elips.

3, 4) Biarkan M (x, y) - cukup titik elips. Kemudian koordinat puas dengan keselarasan (4). Tetapi kemudian titik-titik koordinat juga dipenuhi dengan penyelarasan (4), i, juga, dengan titik-titik elips, bintang-bintang dan bukti teorema.

Teorema telah selesai.

Janji temu. Nilai 2a disebut bobot besar elips, nilai tersebut disebut bobot besar elips.

Janji temu. Nilai 2b disebut bobot kecil elips, nilai b disebut bobot kecil elips.

Janji temu. Bintik-bintik jaring elips dengan kapak kepalanya disebut puncak elips.

Menghormati. Elips dapat didorong dengan cara ini. Di flat dekat fokus "kami memalu bunga" dan kencangkan benang zavdovka pada mereka
. Mari kita ambil zaitun dan tarik utasnya dengan bantuan. Kemudian kami melewati stylus zaitun di atas flat, menjahit di belakangnya, sehingga benangnya kencang.

Dari sudut pandang eksentrisitas kita melihat bahwa

Kami memperbaiki nomor a dan mengarahkan nomor dari nol. Todi at
,
і
. Di antara kita dapat diterima

atau
- Taruhan yang sama.

Langsung sekarang
. Todi
,
dan mi bachimo, bahwa di antara eleps virodzhuєtsya di garis lurus vіdrіzok
punya anak kecil3.

butir 4. Penjajaran parametrik elips.

Dalil. Ayo
- Nomor sebelumnya. pemerataan sistem yang sama

,
(6)

pemerataan parametrik kanonik elips untuk sistem koordinat elips.

Membawa. Dosit untuk membawa bahwa sistemnya sama (6) sama dengan (4), tobto. bau mayut solusi impersonal yang sama.

1) Ayo (x, y) - solusi sistem yang cukup (6). Mari kita bagi yang pertama sama dengan a, yang lain - di b, kita akan membagi persegi yang sama dan menambahkan:

.

tobto. apakah solusi (x, y) dari sistem (6) dipenuhi dengan persamaan (4).

2) Kembali, biarkan pasangan (x, y) keputusan sama (4), tobto.

.

Z tsієї rіvnostі viplivaє, titik scho koordinat z
terletak pada panjang jari-jari tunggal dengan pusat pada tongkol koordinat, yaitu. titik pancang trigonometri
:

Dari sudut pandang sinus dan kosinus, segera jelas bahwa

,
, de
, bintang-bintang berikut, pasangan apa (x, y) adalah solusi dari sistem (6), dll.

Teorema telah selesai.

Menghormati. Elips dapat diambil sebagai hasil dari "meremas" yang sama dari pasak berjari-jari a ke sumbu absis.

Ayo
- Sejajarkan pasak dengan pusat pada tongkol koordinat. "Tusuk" pasak ke sumbu absis tidak lain, seperti transformasi bidang koordinat yang mengikuti aturan mendatang. Titik kulit M(x, y) diatur pada titik bidang
, de
,
- Koefisien "meremas".

Dengan transformasi apa pun, titik kulit pasak "bertransisi" ke titik lain pada bidang, yang membuat absis, tetapi mengurangi ordinat. Virasimo ordinat lama dari titik melalui yang baru:

dan dapat diwakili dalam jumlah yang sama:

.

Tolong dicatat:

. (7)

Anda dapat melihat bahwa sebelum transformasi "meremas" titik M (x, y) terletak di tiang, tobto. koordinat puas dengan level pasak, kemudian setelah transformasi "memeras" titik "melewati" ke titik
koordinat yang memenuhi keselarasan elips (7). Jika kita ingin mengambil pemerataan elips dari pіvvіssyu b kecil, maka perlu mengambil koefisien kompresi

.

barang 5. Stosovno elіpsa.

Dalil. Ayo
- Titik elips yang cantik

.

Todi sama dengan tsієї elіpsu dalam poin
mungkin terlihat:

. (8)

Membawa. Cukup dengan melihat kemiringan, jika titik puntir terletak pada keempat bidang koordinat pertama atau keempat:
. Penjajaran elips di bagian atas lantai atas mungkin terlihat seperti:

. (9)

Kami akan segera mencocokkan jadwal acara
pada intinya
:

de
- nilai fungsi serupa di suatu titik
. Elips pada kuartal pertama dapat dilihat sebagai grafik fungsi (8). Kita tahu pokhіdnu bahwa znachenya pada titik dotik:

,

. Di sini kita meringkuk bersama, apa gunanya menyiksa
titik elips dan koordinat memenuhi keselarasan elips (9), yaitu.

.

Kami menyajikan nilai yang diketahui dari titik sama yang serupa (10):

,

bintang dipersilakan:

Suara berteriak:

Mari kita bagi kecemburuan ini menjadi
:

.

Kehilangan rasa hormat, scho
, karena burik
berbaring di elіpsu dan koordinat puas dengan yoga yang sama.

Demikian pula, perataan titik (8) pada titik dotik, yang terletak pada seperempat ketiga atau keempat bidang koordinat, dibawa.

, nareshti, dengan mudah perekonuєmosya, pemerataan scho (8) memberikan pemerataan titik pada titik
,
:

atau
, і
atau
.

Teorema telah selesai.

butir 6. Kekuatan cermin elips.

Dalil. Dotychna to elіpsa maє sama cuti dengan jari-jari fokus dari titik puntir.

Ayo
- titik torsi,
,
- jari-jari fokus titik dotik, P dan Q - proyeksi fokus pada titik, ditarik ke elips pada titik tersebut
.

Teorema membuktikan bahwa

. (11)

Keseimbangan ini dapat diartikan sebagai keseimbangan jatuh dan fermentasi cahaya dalam bentuk elips, dilepaskan dari fokus yogo. Kekuatan Tsya memenangkan nama kekuatan cermin elips:

Arahkan cahaya, lepaskan dari fokus elips, setelah melihat cermin elips melewati fokus elips lainnya.

Bukti teorema. Untuk membuktikan kesetaraan kutiv (11), kami membawa kesamaan trikutnikov
і
, ke arah mana
і
akan serupa. Oskіlki trikutnika lurus, itu cukup untuk membawa kesetaraan

. (12)

Untuk panggilan bangun
- Lihat tidak fokus ke titik L (div. gbr. 7),
. Mempercepat rumus dari titik ke garis lurus pada bidang:

Jadi, seberapa sama titik dengan elips ke titik?
mungkin terlihat

,

,

.

Di sini kami menggunakan rumus (5) untuk jari-jari fokus titik elips.

Teorema telah selesai.

Bukti lain dari teorema:

,
,
- Vektor normal dari dotic L.

. Zvіdsi,
.

Demikian pula, kita tahu
і
, Ch.t.d.

butir 7. Direktori Ellipse.

Janji temu. Arahan elps disebut dua garis lurus, yang dapat sama dalam sistem koordinat kanonik untuk elіps

atau
. (13)

Dalil. Ayo M - cukup titik elips, , - jari-jari fokus, - Berjalan dari titik M ke directrix kiri, - Ke kanan. Todi

, (14)

de - Eksentrisitas elips.

Membawa.

Mari M(x, y) - koordinat titik parsial elips. Todi

,
,

bintang-bintang dan berseru meminta keseimbangan (14).

Teorema telah selesai.

butir 8. Parameter fokus elips.

Janji temu. Parameter fokus elips adalah panjang tegak lurus, yang diperpanjang dari fokus ke garis dengan elips.

Parameter fokus diambil untuk dilambangkan dengan huruf.

Penting untuk mengetahui apa itu parameter fokus

.

Dalil. Parameter fokus elips lebih

. (15)

Membawa. Jadi titik N (-c; p) adalah titik elips
, maka koordinat dipenuhi dengan kesejajarannya:

.

Zvіdsi tahu

,

bintang berikutnya (15).

Teorema telah selesai.

butir 9. Sebutan lain dari elips.

Teorema dari butir 7. Anda dapat menggunakan elіpsa.

Janji temu. Elips adalah GMT untuk setiap jarak ke titik tetap pada bidang, yang disebut fokus, hingga jarak ke garis lurus tetap, yang disebut direktriks, nilai konstan kurang dari satu, yang disebut eksentrisitas:

.

Terbukti, di kali, sebelum penunjukan eooips adalah teorema, perlu untuk memunculkannya.

Pintu masuk

Sebelumnya, kurva dari tatanan yang berbeda dipelintir oleh salah satu ajaran Plato. Robot Yogo menusuk dalam ofensif: jika Anda mengambil dua garis lurus, yang terjalin, dan membungkusnya di sekitar bisektrix kut, yang dibentuk olehnya, maka weide adalah permukaan kerucut. Jika Anda membalikkan permukaan dengan permukaan datar, maka akan ada perbedaan keliling bentuk geometris, Dan elip, colo, parabola, hiperbola dan sprat yang sama dari angka-angka virogenous.

Namun, pengetahuan ilmiah kurang mengetahui pada abad ke-17, jika diketahui bahwa planet-planet runtuh dalam lintasan elips, dan proyektil harmonik terbang parabola. Menjadi lebih buruk untuk mengetahui bahwa jika Anda memberi tubuh kekuatan kosmik pertama, itu akan runtuh di tiang dekat Bumi, dengan peningkatan kepadatan kecepatan - di sepanjang elips, dan jika mencapai kosmik Bumi lainnya. kekuatan, tubuh akan kehilangan medan gravitasi di sepanjang parabola.

Elіps ta yogo rivnyannia

Penunjukan 1. Elips adalah titik tanpa nama pada bidang, jumlah total jumlah titik di kulit hingga dua titik tertentu, yang disebut fokus, adalah nilai konstan.

Fokus elips dilambangkan dengan huruf dan antara fokus - tembus, dan jumlah fokus antara fokus elips dengan fokus - tembus. Selain itu, 2a > 2c.

Persamaan kanonik dari elips mungkin terlihat:

de pov'yazanі mіzh i vіvnіstyu a 2 + b 2 \u003d c 2 (atau b 2 - a 2 \u003d c 2).

Besarnya disebut berat besar, dan berat kecil elips.

Penunjukan 2. Eksentrisitas elips disebut transisi antara fokus sampai sumbu besar yang lama.

Ditandai dengan surat.

Pecahan untuk penunjukan 2a>2c, eksentrisitas selalu dinyatakan sebagai pecahan biasa, yaitu. .

Penunjukan 7.1. Banyak semua titik pada bidang, untuk setiap jumlah hingga dua titik tetap F 1 dan F 2 nilai konstan diberikan, yang disebut elips.

Penunjukan elips memberikan inspirasi geometris yoga yang sedemikian rupa. Itu ditetapkan pada bidang dua titik F 1 dan F 2 dan nilai konstanta tak terlihat signifikan melalui 2a. Mari bergerak antara titik F1 dan F2 sampai 2c. Jelas bahwa utas yang tidak diregangkan dengan 2a ganda dipasang pada titik F 1 dan F 2, misalnya, di belakang bantuan dua kepala. Saya menyadari bahwa itu hanya mungkin untuk a c. Setelah menarik benang dengan zaitun, kami melewati garis, seolah-olah itu elips (Gbr. 7.1).

Otzhe, pengganda tidak kosong, yakscho a s. Ketika a \u003d elips vіdrіzok z kіntsami F 1 dan F 2, dan ketika c \u003d 0, maka. di mana titik-titik tetap ditetapkan pada elips yang ditentukan, vin dekat dengan jari-jari a. Mempertimbangkan bahwa ada virogen di musim gugur, kita harus menebak, terdengar bahwa > z > 0.

Titik-titik pemasangan F 1 dan F 2 dalam elips 7.1 yang ditunjuk (div. Gbr. 7.1) disebut trik elips, di antara mereka, ditandai melalui 2c, - titik fokus dan anak panah F 1 M dan F 2 M, yang cukup dekat dengan titik M pada elips dengan fokusnya, - radius fokus.

Melihat elіpsa lebih mungkin menjadi titik fokus | F 1 F 2 | \u003d 2 dengan parameter a, sebagai posisi pada bidang - sepasang titik F 1 F 2 .

Penunjukan elips jelas, agar uratnya simetris bagaimana lurus, melewati fokus F 1 dan F 2, dan juga bagaimana lurus, sehingga pembagian navp_l F 1 F 2 dan tegak lurus dengan yoma (Gbr. 7.2 a). Nama langsung Qi sumbu elips. Titik O palang pusat simetri elіps, dan call pusat elips, Dan titik-titik garis elips dengan sumbu simetri (titik A, B, C dan D pada Gambar 7.2, a) - atasan elips.

Sebutkan nomor hebat pіvvіssyu elіps, dan b = (a 2 - c 2) - yoga pіvvіssyu . kecil. Hal ini tidak penting untuk dicatat bahwa untuk c > 0, jarak ke pusat elips besar ke simpul tenang, karena mereka berada pada sumbu yang sama dengan fokus elips (simpul A dan B pada Gambar. 7.2 a ), dan jarak ke pusatnya kecil untuk dua simpul lainnya (simpul C dan D pada Gambar 7.2, a).

Rivnyannia elips. Mari kita lihat elips datar dengan fokus pada titik F 1 dan F 2 dari langit besar 2a. Ayo 2c - jarak fokus, 2c = | F1F2 |

Kami memilih sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang sehingga tongkol spivpav z pusat elips, dan fokus berada di sumbu absis(Gbr. 7.2, b). Sistem koordinat ini disebut resmi untuk elips yang dianalisis, dan perubahan lainnya - resmi.

Untuk sistem koordinat yang dipilih, fokusnya mungkin koordinat F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Rumus Vikoristovuyuchi vіdstanі mіzh poin, tuliskan pikiran | F 1 M | + | F 2 M | = 2a dalam koordinat:

((x - c) 2 + y 2) + ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Tsіvnyannya tidak berguna, untuk itu ada dua radikal kuadrat di yang baru. Oleh karena itu, mari kita melakukan yoga. Mentransfer ke sama (7.2) radikal lain y ke bagian kanan dan bintang y persegi:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Setelah membuka busur dan membawa dodankіv otrimuєemo . serupa

((x + c) 2 + y 2) = a + x

de = c/a. Kami mengulangi operasi kuadrat untuk mengambil i radikal lain: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + 2 x 2 atau, mengubah nilai parameter yang diperkenalkan , (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Skіlki a 2 - c 2 \u003d b 2\u003e 0, lalu

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Alignment (7.4) memenuhi koordinat semua titik yang terletak pada elips. Ale, ketika menurunkan pemerataan yang menang, ada permutasi yang tidak setara dari pemerataan luar (7.2) - dua tautan persegi, yang mengambil radikal kuadrat. Satuannya sama dengan kuadrat setara dengan transformasi, sehingga di kedua bagiannya nilainya dalam tanda yang sama, mereka tidak mengubah alkimia dalam transformasi mereka.

Kita tidak bisa terlalu memikirkan kesetaraan transformasi, seolah-olah itu salah. Pasangan titik F 1 dan F 2 | F 1 F 2 | \u003d 2c, bidang mendefinisikan keluarga elips dengan fokus pada titik-titik ini. Titik kulit pesawat, titik merah dari vіrіzka F 1 F 2 berbaring seperti elіpsu dari keluarga yang ditunjuk. Pada waktu tertentu, dua elips tidak tumpang tindih, pecahan jumlah jari-jari fokus jelas menunjukkan elips tertentu. Kemudian, keluarga elips tanpa jembatan dijelaskan, meliputi seluruh area, titik merah F1F2. Mari kita lihat titik-titik impersonal, yang koordinatnya memenuhi keselarasan (7.4) dengan nilai parameter a. Apa yang bisa banyak rozpodіlyatisya antara kіlkom elipsami? Bagian dari poin pengganda terletak pada elіpsu dengan pіvvіssya besar a. Biarkan ada titik di multiplisitas ini, yang terletak di elips dari pivvissya besar. Kemudian koordinat titik-titik tersebut diurutkan sama

tobto. kesetaraan (7.4) dan (7.5) mungkin memiliki keputusan besar. Namun, mudah untuk bingung bahwa sistem

untuk a tidak ada solusi. Untuk siapa itu cukup untuk memasukkan, misalnya, x dari yang pertama sama:

scho setelah pengerjaan ulang untuk memunculkan yang sama

tidak dapat membuat keputusan ketika a, pecahan. Juga, (7.4) pemerataan elips dengan pіvvіssyu besar a > 0 pіvvіssyu kecil b = (a 2 - c 2) > 0. dengan persamaan kanonik dari elips.

ulasan elips. Cara geometris yang lebih maju untuk mendorong elіpsa memberikan informasi yang cukup tentang kuno elips. Ale, jenis elps dapat dibenarkan dan untuk bantuan kesetaraan kanonik yogo (7.4). Misalnya, Anda dapat, dengan mempertimbangkan y 0, melihat melalui x: y \u003d b√ (1 - x 2 / a 2), i, setelah mengikuti fungsi ini, menginduksi grafik . Ada satu cara lagi untuk menginduksi elipsa. Kolom berjari-jari a dengan pusat pada tongkol sistem koordinat kanonik elips (7.4) dijelaskan oleh persamaan x 2 + y 2 = a 2 . Cara memeras dengan koefisien a / b > 1 vzdovzh sumbu ordinat, lalu buat kurva, seperti yang dijelaskan oleh sama dengan x 2 + (ya/b) 2 = a 2 lalu elips.

Menghormati 7.1. Bagaimana Anda memeras jumlah yang sama dengan koefisien a / b

eksentrisitas elips. Perpanjangan jarak fokus elips ke sumbu besar disebut eksentrisitas elips dan dilambangkan dengan . Untuk elips yang diberikan

persamaan kanonik (7.4), = 2c/2a = /a. Bagaimana (7.4) parameter a dan b terkait dengan inkonsistensi a

Dengan c = 0, jika elіps berubah menjadi lingkaran, i = 0. Dalam kasus lain 0

Persamaan (7.3) setara dengan (7.4), pecahan setara dengan (7.4) dan (7.2) . Elipsa sama dengan itu (7.3). Selain itu, spіvvіdnoshennia (7.3) cіkave tim, scho memberikan sederhana, jangan membalas radikal, formula untuk dozhini | F 2 M | salah satu jari-jari fokus titik M(x; y) dari elips: | F 2 M | = a + x.

Rumus serupa untuk radius fokus lain adalah bahwa ia dapat diambil dari simetri pengulangan inlay, di mana radikal pertama dipindahkan ke sisi kanan, dan bukan yang lain. Juga, untuk sembarang titik M(x; y) pada elіpsі (div. Gbr. 7.2)

|F 1 M | = a - ?x, | F 2 M | = a + x, (7.6)

dan kulit dari tsikh rivnyan elips sama.

Contoh 7.1. Kita tahu keselarasan kanonik elips dengan pіvvіssyu 5 besar dan eksentrisitas 0,8 dan akan menjadi yogo.

Mengetahui pіvvіs besar elіps a = 5 dan eksentrisitas = 0,8, kita mengetahui pіvvіs b kecil. Oskilki b \u003d √ (a 2 - z 2), dan c \u003d εa \u003d 4, lalu b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Ini berarti terlihat sama secara kanonik x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Untuk membuat elips, gambar persegi panjang secara manual dengan pusat pada tongkol sistem koordinat kanonik, sisi-sisinya sejajar dengan sumbu simetri elips dan sejajar dengan sumbu yang sesuai (Gbr. 7.4). Tsei rectocart sedang mengutak-atik

elps bersumbu pada simpulnya A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), apalagi elіps itu sendiri memiliki entri baru. pada gambar. 7.4 juga menunjukkan fokus F 1.2 (±4; 0) elips.

Kekuatan geometris elips. Mari kita tulis ulang sebelumnya sama dengan (7.6) mengingat |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Secara signifikan, bahwa nilai a / - x untuk a > h adalah positif, tetapi fokus F 1 tidak terletak pada elips. Nilai tsya ke garis lurus vertikal d: x \u003d a / di titik M (x; y), yang harus terletak di tangan kiri ke arah garis lurus. Rivnyannya elіpsa dapat ditulis saat melihatnya

|F 1 M|/(а/ε - x) =

Ini berarti elps ini terlipat dari titik diam M (x; y) bidang, di mana perpanjangan jari-jari fokus F 1 M ke garis lurus d adalah nilai konstan, yang lebih (Gbr. 7.5) .

Garis lurus d "dvіynik" - garis vertikal d", simetris dengan d seperti pusat elіps, sehingga x = -a / diberikan sama. Pelanggaran nama d dan d lurus sutradara elips. Arah elips tegak lurus terhadap sumbu ti simetri elips, pada semacam penajaman fokus, dan berdiri di tengah elips pada jarak a/ε = a 2 /c (div. Gbr. 7.5).

Vіdstan p vіd directrix ke yang terdekat dengan fokusnya disebut parameter fokus elips. Parameter ini lebih mahal

p \u003d a / - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elips adalah hal penting lainnya kekuatan geometris: jari-jari fokus F 1 M dan F 2 M dijumlahkan dari titik ke elps pada titik M sama dengan cuti (Gbr. 7.6).

Tsya vlastіvіst maє naochny fіzichny zmіst. Jika fokus F 1 memiliki flare-up cahaya, maka saatnya untuk keluar dari fokus, setelah memukul elips sepanjang radius fokus yang berbeda, jadi setelah memukul anggur, kita akan mengubah potongan yang sama ke kurva, lalu ke pukulan. Dengan cara ini, semua perubahan yang keluar dari fokus F 1 terkonsentrasi di fokus lain F 2 dan dengan cara yang sama. Dari interpretasi ini, otoritas ditugaskan untuk memberi nama kekuatan optik elips.

Kurva dalam urutan yang berbeda garis disebut di flat, yang ditandai dengan sama, dalam beberapa koordinat yang berubah xі kamu mengambil langkah di langkah lain. Elips, hiperbola dan parabola dapat dilihat di depan mereka.

Pandangan Zagalny dari kurva urutan yang berbeda:

de A, B, C, D, E, F- angka dan ingin menjadi salah satu koefisien A, B, C tidak sama dengan nol.

Ketika urutan dibalik dari kurva dari urutan yang berbeda, keselarasan kanonik dari elips, hiperbola dan parabola paling sering terlihat. Sangat mudah untuk pergi ke mereka di tingkat atas, di mana tugas 1 dengan elips akan ditugaskan.

Elіps, penugasan ke persamaan kanonik

Elips yang ditunjuk. Elips adalah titik pendek tanpa nama dari pesawat, seperti, untuk beberapa jumlah jarak ke titik yang disebut fokus, adalah nilai konstan dan lebih besar, lebih rendah, antara fokus.

Fokus ditandai seperti sedikit lebih rendah.

Persamaan kanonik dari elips mungkin terlihat:

de sebuahі B (sebuah > B) - Dovzhini pіvosey, yaitu, bagian dari dovzhin vіdrіzkіv, yang ditampilkan sebagai elps pada sumbu koordinat.

Garis lurus yang melalui fokus elips memiliki simetri yang sama. Paruh kedua simetri elips adalah lurus, yang melewati tengah rusuk tegak lurus terhadap rusuk itu. Krapka Pro Garis peretin tsikh berfungsi sebagai pusat simetri elips atau hanya pusat elips.

Semua elips absis saling bertautan pada titik ( sebuah, Pro) ta (- sebuah, Pro), dan semua ordinat - pada titik ( B, Pro) ta (- B, Pro). Banyaknya titik disebut simpul elips. Punggungan antara puncak elips pada sumbu absis disebut titik besar, dan pada sumbu ordinat - titik kecil. Bubungan dari atas ke tengah elips disebut pivoses.

Yakscho sebuah = B, maka persamaan elips membengkak sekilas. Radius pasak Tsіvnyannya sebuah, A colo - okremy vipadok elіpsa. Elips dapat diambil dari pasak ke radius sebuah, untuk menekan ke dalam sebuah/B kali sumbu uzdovzh Aduh .

Contoh 1. Perevіriti, chi line, diberikan kepada yang bodoh sama dengan , elips.

Larutan. Kami sedang mengerjakan ulang rіvnyannya yang terkenal itu. Zastosovuєmoly mentransfer anggota bebas ke bagian kanan, anggota demi anggota naik sama dengan satu dan jumlah dan kecepatan pecahan yang sama:

Vidpovid. Otrimane sebagai hasil dari transformasi persamaan menjadi persamaan kanonik dari elips. Otzhe, garis tsya - elips.

pantat 2. Letakkan pemerataan kanonik elips, seolah-olah itu adalah cara yang sama 5 dan 4.

Larutan. Kami mengagumi formula kesetaraan kanonik dari elips dan membayangkan: Great pivvis - tse sebuah= 5, mensha pіvvіs - tse B= 4 . Kami mengambil pemerataan kanonik dari elips:

Titik ta , ditandai dengan warna hijau pada sumbu yang lebih besar, de

ditelepon Trik.

ditelepon keanehan elips.

Pengaturan B/sebuah mencirikan "perataan" elips. Apa yang kurang dari vіdnoshennia, semakin kuat adalah sumbu besar elіps vityagnuty vzdovzh. Namun, langkah-langkah kelengkungan elips sering diambil untuk berbelok melalui eksentrisitas, yang rumusnya disarankan lebih tinggi. Untuk elips yang berbeda, eksentrisitas berubah dari 0 menjadi 1, menyisakan kurang dari satu.

contoh 3. Lipat elips yang sama secara kanonik, sehingga Anda dapat melihat antara fokus lebih mahal 8 dan lebih banyak lagi lebih indah 10.

Larutan. Robimo kikuk visnovki:

Jika lebih dari setengah lebih mahal 10, maka setengah, maka pіvvіs sebuah = 5 ,

Jika Anda melihat di antara trik yang lebih mahal 8, maka jumlahnya C dari koordinat fokus4.

Substitusi dan hitung:

Hasilnya adalah pemerataan kanonik dari elips:

pantat 4. Letakkan pemerataan kanonik dari elips, seolah-olah itu lebih mahal 26 dan eksentrisitas.

Larutan. Seberapa keras dan besar sumbunya, dan sama dengan eksentrisitasnya, pіvvs elіps besar sebuah= 13 . Z sama dengan sentrisitas nomor C, perlu untuk menghitung jumlah uang yang dibutuhkan:

.

Hitung kuadrat dari jumlah kecil dozhini:

Kami melipat pemerataan kanonik elips:

Contoh 5. Tentukan fokus elips yang diberikan oleh persamaan kanonik.

Larutan. Selanjutnya untuk mengetahui nomornya C, yang menunjukkan koordinat pertama dari fokus elips:

.

Hilangkan fokus elips:

Contoh 6. Fokus elіpsa roztashovanі pada sumbu Sapi simetris terhadap tongkol koordinat. Lipat pemerataan kanonik elips, seperti ini:

1) berdiri di antara fokus 30, dan besar semua 34

2) kecil adalah 24, dan salah satu fokusnya ada di titik (-5; 0)

3) eksentrisitas, dan salah satu fokusnya berada di titik (6; 0)

Kami terus menyelesaikan misi di elips sekaligus

Jika titik elips cukup (di kursi berlengan ditandai dengan warna hijau di bagian kanan atas elips) dan mencapai pusat titik di fokus, maka rumus langkahnya adalah:

Untuk titik kulit, yang seharusnya terletak pada elips, jumlah jumlah titik fokus adalah nilai konstan, sama dengan 2 sebuah.

Lurus, yang berarti sama dengan

ditelepon direktur elіpsa (di kursi - garis merah di sepanjang tepinya).

Dari dua vishchenovednykh sama dengan vyplyvay, scho untuk setiap titik elips

,

de - hapus poin tsієї ke directrix .

Contoh 7. Danius elips. Baringkan kepala sekolah yoga.

Larutan. Kami bertanya-tanya di tingkat direktur dan kami melihat bahwa perlu untuk mengetahui eksentrisitas elips, tobto. Kamiі data untuk tsgogo . Kita menghitung:

.

Kami memperhitungkan direktori yang sama dari elips:

Contoh 8. Lipat elips secara kanonik secara merata, seolah-olah dengan fokus - titik, dan direktur - garis lurus.