Neumoljivo su velike te moći autoriteta. Označena neumoljivo velika sekvenca

30.07.2020

Brojeći beskonačno malo i veliko

Izračun beskonačno malog- proračun, izračunat s beskonačno malim vrijednostima, za neki loš rezultat, prihvaća se kao beskonačan zbroj beskonačno malih. Proračun beskonačno malih količina ê duboko razumijevanje za diferencijalne i integralne proračune, koji čine osnovu moderne više matematike. Koncept beskonačno male veličine usko je povezan s razumijevanjem granice.

Neumoljivo malen

Slijed a n pozvao beskrajno mali yakscho. Na primjer, niz brojeva je beskonačno mali.

Funkcija se poziva beskrajno mali na rubu točke x 0, dakle .

Funkcija se poziva beskonačno mali na beskonačno mali, Kao ili .

To je također beskonačno mala funkcija, što je razlika u funkciji i njen između, tako da , onda f(x) − a = α( x) , .

Neumoljivo velika vrijednost

Slijed a n pozvao beskrajno velik, Kao .

Funkcija se poziva beskrajno velik na rubu točke x 0, dakle .

Funkcija se poziva neumoljivo velik na neumoljivosti, Kao ili .

U svim načinima, dešnjak dešnjaka, u slučaju ekvivalentnosti, može biti na uhu, znak pjevanja (bilo "plus", ili "minus"). Tobto, na primjer, funkcija x grijeh x nije nezamislivo sjajan u.

Moć beskonačno malog i beskonačno velikog

Uparivanje beskonačno malih količina

Kako uskladiti beskonačno male količine?
Postavljanje beskonačno malih vrijednosti čini ga takozvanim beznačajnim.

Ugovoreni sastanak

Pretpostavimo da imamo ê beskonačno mali s istom vrijednošću α( x) i β( x) (inače, ako nema smisla za svrhu, niz je beskonačno mali).

Za izračun takvih posrednika lako je koristiti Lopitalovo pravilo.

Primijenite podudaranje

Do pobjeda Pro-U napadu se mogu ispisati simboli poništavanja rezultata x 5 = o(x 3). U ovom slučaju, evidencija je poštena 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Ekvivalentne vrijednosti

Ugovoreni sastanak

Yakscho, tada se nazivaju beskonačno male količine α i β ekvivalent ().
Očito je da će se ekvivalentne vrijednosti ê zvati niz beskonačno malih vrijednosti istog reda veličine.

Uz pravednost sljedećih omjera ekvivalencije: , , .

Teorema

Granica između privatne (vidljivo plave) dvije beskonačno male količine ne može se promijeniti, tako da jednu od njih (ili uvredljivu) treba zamijeniti ekvivalentnom vrijednošću.

Tsya teorem može se primijeniti vrijednost kada je razlika između (div. stražnjica).

Butt vikoristannya

Zamjena sin 2x ekvivalentna vrijednost 2 x, uzimamo

povijesni crtež

Koncept "izuzetno malog" o kojem se u antičko doba raspravljalo u vezi s konceptom nekonzistentnih atoma nije ušao u klasičnu matematiku. Ponovno je rođen pojavom u 16. stoljeću “nepravilne metode” - lomljenja starog lika na malom križu.

U 17. stoljeću algebra brojeva bila je beskonačno mala. Smrad se počeo označavati kao brojčana vrijednost, kao manja za bilo koju konačnu (ne-nultu) vrijednost, a ipak nije jednak nuli. Znanost analize trebala je biti presavijena spivvídnoshennia, scho osvetiti beskonačno male (diferencijale), da buv - do integracije yoge.

Matematičari stare škole dali su koncept nevjerojatno malen oštra kritika. Michel Roll je napisao da je novi broj " zbirka briljantnih oprosta»; Voltairea, pošto je skrupulozno poštivao da se to računa znanošću o brojanju i točnom brojanju govora, čija se osnova ne može iznijeti na vidjelo. Navit Huygens je znao da razumije smisao razlika viših redova.

Kao ironija, može se pogledati pojava usred stoljeća nestandardne analize, što će reći da primarna točka zore - zapravo ne premala - također nije vrhunska i da bi se mogla staviti u osnovu analize.

Div. također

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Pitam se što je "nevjerojatno sjajno" u drugim rječnicima:

Vrijednost Y je promijenjena, omotana u beskonačno malu vrijednost X, tako da je Y = 1/X ... Veliki enciklopedijski rječnik

Vrijednost y je promijenjena, omotana u beskonačno malu vrijednost x, tako da je y = 1/x. * * * BRZO SJAJNO, BESKRAJNO SJAJNO, varijabla Y vrijednost, obrnuti beskonačno malu X vrijednost, zatim Y = 1/X… Enciklopedijski rječnik

U matematici, vrijednost promjene, kao u danom procesu promjene, postaje i ispunjava se apsolutnom vrijednošću većom od bilo kojeg unaprijed zadanog broja. Vivchenya Bi. b. veličine se mogu svesti na granicu beskonačno malih. Velika Radijanska enciklopedija

Def.: Funkcija se poziva beskrajno mali na , yakscho .

Na zapisu "" to ćemo priznati x0 možete to uzeti kao kíntseve značenje: x0= Konst, tako i bez kože: x0= ∞.

Moć beskonačno malih funkcija:

1) Algebarski zbroj konačnog broja je beskonačno mali po funkciji i beskonačno mali po funkciji.

2) Dobutok posljednjeg broja beskonačno mali za funkciju i beskonačno mali za funkciju.

3) Dobutok zamijenjena funkcija na beskonačno malu funkciju ê beskonačno mala funkcija.

4) Privatno rozpodílu beskonačno mala u slučaju funkcije na funkciji, između kojih je vídminna nula, i beskonačno mala u slučaju funkcije.

guzicom: Funkcija y = 2 + xê beskonačno mali na , jer .

Def.: Funkcija se poziva beskrajno velik na , yakscho .

Snaga beskonačno velikih funkcija:

1) Zbroj beskonačno velik za funkcije i beskonačno velik za funkciju.

2) Twir je neumoljivo velik u slučaju funkcije na funkciju, između kojih je vídmínna u obliku nule, neumoljivo je velik u slučaju funkcije.

3) Zbroj je neumoljivo velik za funkciju, a opisana funkcija je neiscrpna velika funkcija.

4) Privatno se smatra beskrajno velikim u funkciji, što može biti kraj linije, i beskonačno velikim za funkciju.

guzicom: Funkcija y= ê beskrajno velik na , jer .

Teorema.Veza između beskonačno malih i beskonačno velikih veličina. Ako je funkcija beskonačno mala na , tada je funkcija beskonačno velika na . Prije svega, budući da je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija beskonačno mala na .

Rođenje dvoje beskonačno malih uzima se za simbol, dva beskrajno velika - za simbol. Uvrijeđeni plavim i nevidljiv za taj osjećaj, koji se i granica može koristiti, i ísnuvati, dodati na broj pjesama, ali ne ograničavajući se u obliku specifičnih funkcija, poput uključenja u nevidljivi govor.

Čini se da je krema beznačajnosti nevažna i tako virazi:

Cijena je beskonačno veća za jedan znak;

Tvír beskonačno mali do beskonačno velik;

Funkcija indikativnog koraka, čija je osnova pragne 1, a indikator je do;

Funkcija show-step, čija je osnova beskonačno mala, a showman je beskonačno velik;

Funkcija Show-state, osnova te emisije je da je beskonačno mala;

Funkcija Show-state, čija je osnova beskonačno velika, a showman je beskonačno mali.

Reći da ima mjesta za beznačajnost bistrog uma. Izračun inter-named u tsikh vipadkah otvorenost prema beznačajnosti. Kako bi otkrili beznačajnost viraza, koji stoji pod znakom međe, pretvaraju ga u pogled koji ne osvećuje beznačajnost.

Kada se broji između vikarista, moć između, i navit moć beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija.

Pogledajmo izračun razlike između.

1) . 2) .

4) , jer zbrajanje beskonačno male funkcije prilikom zamjene funkcije ê beskonačno mali.

5) . 6) .

7) = =

. U ovoj situaciji, mjesto beznačajnosti tipu je malo, jer je bilo moguće otvoriti za pomoć raspored bogato podijeljenih u multiplikatore, tu kratkoću do divljeg množitelja.

= .

U ovoj situaciji malo je prostora za beznačajnost vrste, jer je to bilo moguće saznati uz pomoć množitelja broja i natpisa na virazu, zamjene formule i dalekog kratkog razlomka na (+1).

9)
. U ovom je kundaku beznačajnost tipa bule razotkrila članska podjela broja i zastava razlomka na seniorskoj stepenici.

Divne granice

Persha čudo granica : .

Dovođenje. Pogledajmo jedan stupac (slika 3).

sl.3. Sam Colo

dođi x– radijalni pristup središnjeg kuta MOA(), onda OA = R= 1, MK= grijeh x, NA=tg x. Porívnyuyuchi trg trikutnikov OMA, OTA taj sektor OMA, Uzimamo:

Ostatak nervoze podijelimo na grijeh x, Uzimamo:

Tako jak na, zatim za yakistyu 5) između

Zvjezdice i vrijednost je zamotana, s obzirom da je bilo potrebno donijeti.

Bilješka: Ova funkcija je čak i mala na . , tada prvo čudo između može izgledati:

Pogledajmo kalkulaciju između pobjeda prve čudesne granice.

Prilikom izračuna cijene između vrijednosti izračunata je trigonometrijska formula: .

Pogledajmo kalkulaciju između pobjeda još jedne čudesne granice.

2) .

3) . Postoji mjesto beznačajnog tipa. Zrobimo zaminu, dakle; na .

Funkcija y=f(x) pozvao beskrajno mali na x→a ili kod x→∞, kao abo, thatto. beskonačno mala funkcija - ce funkcija, između kojih je u ts_y točkama jednaka nuli.

primijeniti.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 ê beskonačno mali at x→1, krhotine (razd. male).

2. Funkcija f(x)=tg x- beskonačno mali at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) - beskonačno mali pri x→0.

4. f(x) = 1/x- beskonačno mali at x→∞.

Zatražimo važniju pomoć:

Teorema. Koja je funkcija y=f(x) zastupljen na x→a pri pogledu na zbroj brzog broja b tu beskrajno malu vrijednost α(x): f(x)=b+ α(x) oni.

Natrag, da, onda f(x)=b+α(x), de sjekira)- beskonačno mali at x→a.

Dovođenje.

1. Donosimo prvi dio stvrdnjavanja. Z rivnosti f(x)=b+α(x) Sljedeći | f(x) - b | = | α|. Ale tako jak sjekira)- beskonačno mali, tada s dovoljnim ε postoji δ - susjedstvo točke a, uopće x za bilo koje značenje sjekira) Molim |α(x)|< ε. Todi |f(x) – b|< ε. A tse što znači.

2. Yakscho, onda za bilo koje ε >0 za sve x z deykoí̈ δ - susjedstvo točke a htjeti |f(x) – b|< ε. Ale, kako značajno f(x) - b = α, onda |α(x)|< ε, a tse to znači a- nevjerojatno malen.

Pogledajmo glavnu moć beskonačno malih funkcija.

Teorem 1. Algebarski zbroj dva, tri i jednog posljednjeg broja je beskonačno mali, a funkcija beskonačno mala.

Dovođenje. Dopustimo da pružimo dokaz za dva dodankív. dođi f(x)=α(x)+β(x), de i . Moramo donijeti, scho s dovoljno kao mali? > 0 će se naći δ> 0, pa čemu x, da zadovolji nervozu | x – a |<δ , pobijediti |f(x)|< ε.

Također, fiksiramo priličan broj ε > 0. Krhotine iza mentalnog teorema α(x)- beskonačno mala funkcija, postoji li onda tako nešto? > 0 čemu | x – a |< δ 1 majonez |α(x)|< ε / 2. Slično, krhotine β(x)- beskonačno mali, tada postoji i δ 2 > 0 čemu | x – a |< δ 2 možda | β(x)|< ε / 2.

Vízmemo δ=min(δ1 , δ2 } . Todi na rubu točke a radius δ prevladati razdražljivost kože |α(x)|< ε / 2 to | β(x)|< ε / 2. Otzhe, u tvom predgrađu budućnosti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tobto. |f(x)|< ε, koje je bilo potrebno donijeti.

Teorem 2. Dobutok beskonačno male funkcije sjekira) na razmijenjenu funkciju f(x) na x→a(inače kada x→∞) je beskonačno mala funkcija.

Dovođenje. Oskilki funkcija f(x) resaste, zatim ísnuê kílkíst M pa kakvo je značenje x od deyakoí̈ periferije točke a|f(x)|≤M. Osim toga, krhotine sjekira)- beskonačno mala funkcija pri x→a, tada za dovoljno ε > 0 pronađeno oko točke a, u kojem vlada nemir |α(x)|< ε /M. Todí u manje s tsikh blizu maêmo | αf|< ε /M= ε. A tse to znači af- nevjerojatno malen. Za vipadu x→∞ Dokaz se provodi na sličan način.

Izlažu se sljedeći teoremi:

Zadnji 1. Yakscho i, dakle.

Posljednje 2. Yakshcho i c= const, zatim .

Teorem 3. Prijedlog beskonačno male funkcije α(x) po funkciji f(x), između kojih je vidljivo od nule, je beskonačno mala funkcija.

Dovođenje. Dođi. Todi 1 /f(x)ê Funkcija je ograničena. Stoga, dríb ê tvír neskíchenno í̈ malí̈ í̈ í̈ í̈ í̈ í̈ íí̈ í̈ í̈ í̈ í̈ zamezhenu FUNKCIJA, da. funkcija je beskonačno mala.

Brojeći beskonačno malo i veliko

Izračun beskonačno malog- proračun, izračunat s beskonačno malim vrijednostima, za neki loš rezultat, prihvaća se kao beskonačan zbroj beskonačno malih. Izračun beskonačno malih veličina temeljni je koncept za diferencijalne i integralne proračune, koji čine osnovu moderne matematike. Koncept beskonačno male veličine usko je povezan s razumijevanjem granice.