Kako znati ispravne funkcije savijanja. funkcija preklapanja

01.01.2021

Ako pratite sastanke, tada su funkcije slične tački - granica je granica za rast funkcije Δ y do prirasta argumenta Δ x:

Sve je imalo smisla. Ale pokušajte paziti na ovu formulu, recimo, istu funkciju f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radi za termine, onda ćete nakon par strana samo zaspati. Postoje jednostavni i efikasni načini za to.

Po prvi put je za poštovanje da se iz same razlike funkcija mogu vidjeti takozvane elementarne funkcije. Očigledno je riječ o jednostavnim virazima, sličnim onima koji su odavno prebrojani i uneseni u tabelu. Takve funkcije se jednostavno pamte - u isto vrijeme su iste.

Ostale elementarne funkcije

Elementarne funkcije - sve je to preuređeno u nastavku. Pohídní tsikh funktíy treba plemstvo za pamćenje. Tim više scho ih im nezgrapno - za one smrdljive i elementarne.

Otzhe, pokhídní elementarne funkcije:

Ime	funkcija	dobro
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (tako-tako, nula!)
Korak sa racionalnim prikazom	f(x) = x n	n · x n − 1
sinus	f(x) = Sin x	cos x
kosinus	f(x) = Cos x	-greh x(minus sinus)
tangenta	f(x) = Tg x	1 / cos 2 x
kotangens	f(x) = Ctg x	- 1/greh2 x
prirodni logaritam	f(x) = Ln x	1/x
parcijalni logaritam	f(x) = Dnevnik a x	1/(x ln a)
funkcija prikaza	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži s prilično konstantnom, onda se slična nova funkcija može lako uvesti:

(C · f)’ = C · f ’.

Zagalom, konstante se mogu kriviti za značku loših. na primjer:

(2x 3) '= 2 ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jednu po jednu, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako se pojavljuju nove funkcije koje više nisu posebno elementarne, ali se još uvijek mogu razlikovati prema jednostavnim pravilima. Ova pravila se razmatraju u nastavku.

Besplatan sumi i maloprodaja

Neka date funkcije f(x) і g(x), Pokhídní yakikh us vídomí. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije, koje se više razmatraju. Todi možete znati cijenu sume i razliku ovih funkcija:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Otzhe, pokhídna sumi (maloprodaja) od dvije funkcije su skuplje sume (maloprodaja) pokhídnyh. Dodankiv je možda više. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo tobože, u algebri ne postoji koncept "videti". Ê razumjeti "negativni element". To je razlika f − g možete prepisati kao zbir f+ (-1) g, A ako izgubite više od jedne formule - jadan sumi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcija f(x) - zbir dvije elementarne funkcije, na to:

f ’(x) = (x 2+ sin x)’ = (x 2) '+ (grijeh x)’ = 2x+ Cosx;

Slično, to je zadivljujuće za funkciju g(x). Samo postoje već tri dodatka (sa gledišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

nagovještaj:
f ’(x) = 2x+ Cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

uradi dobar posao

Matematika je logička nauka, pa kome je stalo da vredi sume skupih suma najgorih, onda stvori najgore štrajk"> Sretno sa lošim.

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je nespretna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat je pogrešna odluka.

Menadžer. Znati slične funkcije: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · e x .

funkcija f(x) To je dodatak dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Na funkciji g(x) Prvi množitelj je malo presavijen, ali shema se ni na koji način ne mijenja. Očigledno, prvi faktor funkcije g(x) To je polinom, a yogo je loš - tse bad je sumi. možda:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · e x)’ = (x 2 + 7x- 7) '· e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x- 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

nagovještaj:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte poštovanje za ostalo vrijeme, dobro je podijeliti se na množitelje. Formalno, ovaj rad nije neophodan, međutim, većina ovih potonjih se računa ne na svoju ruku, već na nastavak svoje funkcije. A to znači da će biti dalje da bude jednako nuli, ovi znakovi će biti prepoznati i tako dalje. Za ovako bolji mati viraz raširite u množitelje.

Yakshcho je dvije funkcije f(x) і g(x), štaviše g(x) ≠ 0 h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete znati i trik:

Nije slabo, zar ne? Zvídki uzima minus? zašto g 2? A osovina je! Ovo je jedna od najkomplikovanijih formula - ne možete je shvatiti bez plesa. Stoga je bolje vidjeti njenu na određenim zadnjicama.

Menadžer. Znati slične funkcije:

Broj i transparent skin shot-a imaju elementarne funkcije, sve što nam treba je formula sličnog privatnog:

Prateći tradiciju, broj stavljamo u množitelje - važno je postaviti odgovor:

Funkcija preklapanja - ne obov'yazkovo formula dozhinoy u pívkílometra. Na primjer, dovršite funkciju f(x) = Sin x i zamijenite promjenu x, Recimo, na x 2+ln x. weide f(x) = grijeh ( x 2+ln x) - tse i ê sklopiva funkcija. To je takođe loše za nju, ali da zna šta stoji iza pravila, pogledao više, a ne video.

Yak buti? U takvim slučajevima, zamjenu promjene pomaže formula funkcije preklapanja:

f ’(x) = f ’(t) · t', Yakscho x biti zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, sa stanovišta formule, formula je sažetija, niža od privatne. To se može objasniti ukratko o konkretnim kundacima, opis izvještaja mrvica kože.

Menadžer. Znati slične funkcije: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Poštovanje, šta je u funkciji f(x) Zamijenite virus 2 x+ 3 će biti lako x, Tada imamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Tome robimo zamínu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Shukaêmo go funkcije presavijanja za formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - poštovanje! Vikonuemo zvorotnu zaminu: t = 2x+ 3. Odnesite:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sada pogledajmo funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti x 2+ln x = t. možda:

g ’(x) = g ’(t) · t'= (Grijeh t)’ · t'= Cos t · t ’

Povratna zamjena: t = x 2+ln x. onda:

g ’(x) = Cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)'=Cos( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Od mene sve! Kao što se vidi iz ostatka viraza, cijeli zadatak je obavljen uz cijenu unosne sume.

nagovještaj:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) Cos( x 2+ln x).

Još češće u svojim lekcijama, zamjenu izraza "pokhídna" koristim riječju "moždani udar". Na primjer, potez sumi skuplji je od zbira poteza. Pa pametniji? Pa, od mene dobro.

U ovom rangu, proračun pokhídnoí̈ zavoditsya do olakšanja da vidimo ove poteze iza pravila, pogledajmo pobliže. Kao i ostatak zadnjice, pređimo na sljedeći korak s racionalnim prikazom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi zna ko je u ulozi n kao cjelina, može se koristiti razlomak. Na primjer, root - tse x 0.5. A šta ćete, kao pod korenom, stajati pod imenom imena? Nova sklopiva funkcija - takvi dizajni vole da daju kontrolnim robotima i testovima.

Menadžer. Znati povezane funkcije:

Za klip, prepisujemo korijen vizualnog koraka s racionalnim indikatorom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada robimo zaminu: pusti to x 2 + 8x − 7 = t. Znamo slijediti formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t'= 0,5 t-0.5 t ’.

Robimo zvorotnu zaminu: t = x 2 + 8x- 7. maj:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0,5 ( x 2 + 8x- 7) '= 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nareshti, okrećući se korenima:

Virishuvati fizičke probleme ili primijeniti matematiku je apsolutno nemoguće bez znanja o cijeni i metodama obračuna. Pokhídna - jedan od najvažnijih za razumijevanje matematičke analize. Osnovnoj temi pisali smo da posvetimo današnji članak. Šta je tako loše, kakva fizička i geometrijska promjena, kako pokvariti dobru funkciju? Sve dijete se mogu kombinovati u jednu: kako da razumem kako da idem?

Geometrijske i fizičke promjene

Hajde, funkcija f(x) , Postavite u trenutnom intervalu (A,b) . Tačke x i x0 leže na ovom intervalu. Kada promijenite x, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u vrijednosti joge x-x0 . Kakva razlika je evidentirana kao delta x i naziva se rast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije naziva se razlika u vrijednosti funkcije u dvije točke. Zakazivanje putovanja:

Pokhídna funktsíí̈ u tački - granica povećanja funkcije u datoj tački do rasta argumenta, ako je ostatak ravno na nulu.

Inače, možete to napisati ovako:

Kakav je smisao poznavanja takve granice? A os je jaki:

slično funkciji u tački na tangentu kuta između vrhova OX i slično grafu funkcije u datoj tački.

Fizički mjenjač: pokhídna način za sat vremena dorivnyuê shvidkostí pravolinijski ruhu.

Istina je, čak i tokom školskih sati svi znaju da je swidkist privatan način x=f(t) i sat t . Prosječna brzina za interval pjesme:

Schob da prepozna sigurnost jurnjave u trenutku sata t0 potrebno je izračunati granice:

Prvo pravilo: krivite konstantu

Za loš znak se može okriviti konstanta. Više od toga - potrebno je raditi. Kada vyríshenní prikladív z matematike vízmít u pravilu - kako možeš pitati viraz, obov'azkovo pitati .

Butt. Izračunajmo cijenu:

Pravilo prijatelju: Pokhídna sumi funktsíy

Pokhídna sumi dvoh funktsíy dorivnyuê sumí pokhídnih tsikh funktsíy. Isto vrijedi i za slične maloprodajne funkcije.

Nemojmo isticati zaključke teoreme, već praktični primjer.

Znati povezane funkcije:

Pravilo tri: bolje je nadograditi funkcije

Trošak dodavanja dvije diferencijalne funkcije izračunava se prema formuli:

Primjer: znati sljedeće funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno reći o broju sličnih funkcija preklapanja. Zamjena funkcije preklapanja slična je zamjeni slične funkcije srednjim argumentom sličnim međuargumentom nezavisnom promjenom.

U vischevkazanny zadnjici mi zustríchaêmo viraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x u petom stepenu. Da bismo izračunali cijenu takve viraze, moramo uzeti u obzir cijenu najudaljenije funkcije srednjeg argumenta, a zatim pomnožiti s troškom srednjeg argumenta nezavisne promjene.

Četvrto pravilo: slično kao privatne dvije funkcije

Formula za definiranje sličnog tipa privatnih dvije funkcije:

Pokušali smo da vam ispričamo o praznicima za čajnike od nule. Ova tema nije tako jednostavna, ispostavilo se, moguće je zbog ovoga: tjestenini se često puca u guzice, pa budite oprezni kada ih brojite.

Iz nekog razloga, za druge teme, možete se vratiti u studentski servis. Kratkoročno ćemo vam pomoći da provjerite trenutnu kontrolnu listu i sredite zadatke, kao i ranije, niste se bavili obračunom zadnjih.

Í teorema o pokhídnu sklopivim funkcijama, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $ u = \ varphi (x) $ max u trenutnoj tački $ x_0 $ idi $ u_ (x) "= \ varphi" (x_0) $, 2) funkcija $ y = f (u) $ max na trenutna tačka tačka $u_0 = \varphi(x_0)$loho $y_(u)"=f"(u)$. Slično, sklopiva funkcija $ y = f \ lijevo (\ varphi (x) \ desno) $ u tački pogađanja je također malo zeznuta, tako da možete ponovo pokrenuti slične funkcije $ f (u) $ i $ \ varphi (x) $:

$$ \left(f(\varphi(x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi(x_0)\right)\cdot\varphi"(x_0)$$

inače, dužom skraćenicom: $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

U stražnjem dijelu koje sam podijelio sve funkcije mogu izgledati $ y = f (x) $ (tako da je moguće vidjeti samo funkcije jedne promjene $ x $). Očigledno, u svim guzima je loše $ y "$ preuzeti promjenu $ x $. Na primjer, oni koji su dobri za promjenu $ x $ često zamjenjuju $ y" $ pišu $ y "_x $.

U zalihama br. 1, br. 2 i br. 3 uključen je detaljan proces upoznavanja funkcija preklapanja. Butt br. 4 imenovanja za bolje razumijevanje tablica sličnih i nema smisla znati o tome.

Bazhano nakon završetka materijala u kundacima br. 1-3, idi na samostalnu završnu obradu kundaka br. 5, br. 6 i br. 7. Primijenite br. 5, br. 6 i br. 7 da donesete kratku odluku, tako da čitalac može momentalno promijeniti ispravnost svog rezultata.

zadnjica №1

Pronađite sličnu funkciju $ y = e ^ (\ cos x) $.

Moramo znati ispravnu funkciju savijanja $ y "$. Pošto je $ y = e ^ (\ cos x) $, onda je $ y" = \ lijevo (e ^ (\ cos x) \ desno) "$. Da biste znali ispravno $ \ lijevo (e ^ (\ cos x) \ desno) Da bismo dobili formulu #6, potrebno je ispraviti ono što je po našem mišljenju $ u = \ cos x $. Nadalje, rješenje se koristi u banalnim trafostanicama u formuli br. 6 izraza $ \ cos x $ zamijeni $ u $:

$$y "= \left(e^(\cos x)\right)" = e^(\cos x)\cdot (\cos x)"\tag(1.1)$$

Sada je potrebno znati vrijednost $ (\ cos x) "$. Vratimo se na donje tabele, birajući iz nje formulu br. 10. Zamjena $ u \u003d x $ u formulu br. 10, možda: $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$. Sada nastavljamo jednakost (1.1), dodajući je rezultatu:

$$y "=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot(\cos x)"=e^(\cos x)\cdot(-\sin x \ cdot x ") \ tag (1.2) $$

Pošto je $ x "= 1 $, onda možemo nastaviti jednakost (1.2):

$$y "=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot(\cos x)"=e^(\cos x)\cdot(-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot(-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x)\tag(1.3)$$

Otzhe, iz pariteta (1.3) može biti: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. 1.3).

dokaz: $Y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

zadnjica №2

Pronađite sljedeću funkciju $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $.

Trebamo izračunati cijenu $ y "= \ lijevo (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ desno)" $. Za klip je značajno da se konstanta (to je broj 9) može kriviti za loš znak:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\desno)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \desno)"\tag(2.1)$$

Sada pogledajmo $ \ lijevo (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ desno) "$. Da bih izabrao formulu iz tabela sličnih ovoj, zamislit ću da izgleda ovako: $ \ lijevo ( \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(12)\right)"$. Sada možete vidjeti da formulu #2 treba podesiti, tako da $ \ Lijevo (u ^ \ alpha \ desno) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. Možemo predstaviti formulu $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ i $ \ alpha = 12 $:

Dopuna jednakosti (2.1) oduzima se od rezultata, možda:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\desno)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"\tag(2.2)$$

U ovoj situaciji, oprost je često dozvoljen, ako je prvi izbor formula $ (\ arctg \; u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ zamijeni formulu $ \ lijevo (u ^ \ alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Desno, u tome što je prvi kriv, postoji slična funkcija. Da biste razumjeli, kako će se sama funkcija zvati za izraz $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $, pokažite da vam je stalo do vrijednosti $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ za bilo koju vrijednost od $ x $. Počnite pogađanjem vrijednosti $ 5 ^ x $, a zatim pomnožite rezultat sa 4, oduzimajući $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Sada, s obzirom na rezultat, uzimamo tangentu luka, oduzimajući $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. Zatim ćemo uzeti broj u dvanaest koraka, uzimajući $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $. Ostatak dana, - da se podigne na stepen od 12, - i to će biti ispravna funkcija. I sljedeća stvar je bila pokretanje pokhídnoj znahodnoí̈, koja je bila razbijena u ekvivalentnost (2.2).

Sada je potrebno znati $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$. Možemo osvojiti formulu br. 19 sličnih tabela, zamjenjujući u njoj $ u = 4 \ cdot \ ln x $:

$$(\arctg(4\cdot\ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot\ln x)^2)\cdot(4\cdot\ln x)" $$

Trochy se lako može oduzeti od viraza, gledajući $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.

$$(\arctg(4\cdot\ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot\ln x)^2)\cdot(4\cdot\ln x)"=\frac( 1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "$$

Vlasnički kapital (2.2) će sada postati:

Zaboravljeno da znam $ (4 \ cdot \ ln x) "$. Krivimo konstantu (to je 4) za loš znak: $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$ Da bismo znali $ (\ ln x) "$ pobjedničku formulu #8 zamjenom $ u = x $: $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "$. Pošto je $ x "= 1 $, onda je $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x ) $ Zamjenom rezultata oduzimanja u formulu (2.3), oduzimamo:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\desno)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=\\=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\desno)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot(4\cdot\ln x)" = \\=108\cdot\left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot 4\ cdot\ frac(1)(x)=432\cdot\frac(\arctg^(11)(4\cdot\ln x))(x\cdot(1+16\cdot\ln^2x)).$ $

Pretpostavljam da se funkcije preklapanja najčešće nalaze u jednom redu - kako piše u ostatku jednačine. Stoga, prilikom izvođenja tipičnih rozrahunkiv ili kontrolnih robota, nije obavezno sastaviti odluku o podnici i prijaviti.

dokaz: $Y"=432\cdot\frac(\arctg^(11)(4\cdot\ln x))(x\cdot(1+16\cdot\ln^2x))$.

zadnjica №3

Znati $y "$funkcija $y = \sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Za klip troha, obrnimo funkciju $ y $, okačivši radikal (korijen) u istom koraku: $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ lijevo (\ sin ( 5 \ cdot 9 ^ x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Hajdemo sada na loše stvari. Dakle, $y = \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$y "= \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"\tag(3.1)$$

Osvajanje formule br. 2 iz tablica sličnih, zamjenjujući u njoj $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ i $ \ alpha = \ frac (3) (7) $:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1)(\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"$$

Prodovzhimo rivnist (3.1), koristi se oduzimanjem rezultata:

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"\tag(3.2)$$

Sada je potrebno znati $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$. Formulu br. 9 možemo riješiti iz sličnih tabela, zamjenjujući u nju $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $:

$$(\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dodavanjem jednakosti (3.2) rezultatu možemo:

Zaboravio sam da znam $ (5 \ cdot 9 ^ x) "$. Za klip krivimo konstantu (broj $ 5 $) za znak sličnog, pa $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$ . Za vrijednost sličnih $ (9 ^ x)" $, možemo kreirati formulu br. 5 sličnih tabela, zamjenjujući u njoj $ a = 9 $ i $ u = x $: $ (9 ^ x) "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. Pošto je $ x "= 1 $, onda je $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Sada možemo nastaviti s jednakošću (3.3):

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\=\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"=\frac(3)(7)\cdot\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Možete obrnuti korake do radikala (to je korijen) tako što ćete napisati $ \ lijevo ( \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ desno) ^ (- \ frac (4) (7)) $ u traženju $ \ frac (1 ) (\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\cdot) 9^ x))) $. Todi Pokhídna će biti snimljen u sljedećem obliku:

$$y"=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

dokaz: $Y"=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot\frac(\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

zadnjica №4

Pokazati da su formule br. 3 i br. 4 u tablicama slične i posljednje formule br. 2 tabele.

Formula br. 2 tablica sličnih ima sličnu funkciju $ u ^ \ alpha $. Zamjenom $ \ alpha = -1 $ u formulu #2, uzimamo:

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ tag (4.1) $$

Pošto je $ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ i $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $, onda se paritet (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tse i ê formula br. 3 tablice sličnih.

Vraćam se na formulu br. 2 tabela sličnih. Zamjene u njemu $ \alpha = \frac (1) (2) $:

$$ \left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" = \frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag(4.2)$$

Dakle $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$i$u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) ) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $, tada se paritet (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$(\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot\frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) ) \ cdot u "$$

Otrimane paritet $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $ i ê formula br. 4 tablice sličnih. Kao i Bachite, formule br. 3 i br. 4 tablica su slične formulama br. 2 zamjenom uobičajene vrijednosti $ \ alpha $.

Na ovoj lekciji učimo da znamo preklopne funkcije. Lekcija je logičan nastavak zaposlenja Kako da znam da li ću ići?, na kojem smo odabrali najjednostavnije od najgorih, a upoznali smo se i s pravilima razlikovanja i nekim tehničkim trikovima poznavanja najgoreg. U takvom rangu, čak i ako nemate slične funkcije, ili ako se momenti ovih članaka neće razumjeti, tada ćete biti svjesni naučene lekcije. Budite ljubazni, uozbiljite se na ozbiljan način - materijal nije jednostavan, ali ja se ipak trudim da joga bude jednostavna i pristupačna.

U praksi, sa funkcijom ležernog preklapanja, možda ćete se morati češće držati, rekao bih, budite sigurni, ako ste dobili zadatak da smjestite mrtve.

Gledajući u tablicu pravilo (br. 5) diferencijacije funkcije preklapanja:

Hajde da pogledamo. Persh za sve, zverski postovanje za rekord. Ovdje imamo dvije funkcije - i, štaviše, funkcija je, figurativno naizgled, ugrađena u funkciju. Funkcija ovog tipa (ako je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se sklopiva funkcija.

Ja ću pozvati funkciju ispravnu funkciju, Funkcija - interna (ili ugrađena) funkcija.

! Navedeni podaci nisu teoretski i nisu odgovorni za figuriranje u konačnom dizajnu zadatka. Stagniram neformalno govoreći o “vanjskoj funkciji”, “unutrašnjoj” funkciji samo da bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da bismo razjasnili situaciju, pogledajmo:

guza 1

Znati povezane funkcije

Ispod sinusa ne znamo samo slovo “iks”, već cijeli viraz, tako da znate bolje od tabele po tabeli. Također napominjemo da je ovdje nemoguće blokirati prva dva pravila, postoji razlika, ali desno u tome što nije moguće "razdvojiti" sinus:

U ovoj aplikaciji, već iz mog objašnjenja, intuitivno se shvatilo da je funkcija sklopiva funkcija, štoviše, polinom je interna funkcija (gniježđenja), i vanjska je funkcija.

Persh krok, što je neophodno za vikonati sa potrebnim pokhídnoí̈ sklopivim funkcijama razíbratisya, kao što je funkcija unutrašnja, a kao - vanjska.

U vremenima jednostavnih primena, podrazumevalo se da je sinus doprinosa polinom. Ali kako buti, kako sve nije očigledno? Kako tačno mislite koja je funkcija eksterna, a koja interna? Za koje proglašavam pobjednički ofanzivni prijem, koji se može provesti u mislima ili na crno.

Jasno je da trebamo izračunati vrijednost broja na kalkulatoru na (zamjena jednog može biti broj).

Šta možemo izračunati u peršu crnom? U sred ničega bit će potrebno da vikont dođe: tada će polinom biti interna funkcija:

Prijatelj ima crnu bit će potrebno znati da će sinus biti ista funkcija:

Nakon toga, jak mi OTKRIVENO sa unutrašnjim i eksternim funkcijama, vreme je da se zastosuva pravilo diferencijacije preklopnih funkcija.

Počnimo da psujemo. 3 lekcije Kako da znam da li ću ići? sjećamo se da dizajn odluke, bilo da je pokhídnoí̈ zavzhda, počinje ovako - robimo brkove u rukama i stavimo potez na desno:

na klipu znamo slične funkcije (sinus), čudeći se tablici sličnih elementarnih funkcija i primjećujemo da. Sve tabelarne formule su fiksne iu tome, vipadku, poput "iks", zamijenite sklopivim virazom, u ovom pogledu:

Otkrijte poštovanje, šta je unutrašnja funkcija nije se promenilo, nije nas briga.

Pa, znam da je to očigledno

Rezultat zastosuvannya formula u konačnom dizajnu izgleda ovako:

Konstantni množitelj je kriv za klip virazija:

Ako ste izgubili nerazumljivost, prepišite odluku na papir i ponovo pročitajte objašnjenje.

guza 2

Znati povezane funkcije

guza 3

Znati povezane funkcije

Kako zapisati zauvijek:

Mi biramo gde imamo spoljnu funkciju, a gde unutrašnju. Za koga pokušavamo (misli ili crno) izračunati vrijednost virusa kod. Šta je potrebno za viskonat u Persh Cherga? U prvom redu potrebno je pogledati šta je vrijedno podrške: dakle, polinom je interna funkcija:

Ja, tek tada ćemo osvojiti veze u koracima, onda, državna funkcija- svrsishodna funkcija:

Vídpovídno prema formuli, potrebno je na prvi pogled znati tačan položaj odgovarajuće funkcije, na taj način, vrstu koraka. Rozshukuemo u tablicama trebat će mi formula:. Ponovimo još jednom: da li tablična formula vrijedi ne samo za "iks", već i za preklapanje virazu. Ovim redoslijedom, rezultat postavljanja pravila diferencijacije preklopne funkcije ofanziva:

Nisam svjestan da ako napravimo pauzu od vanjske funkcije, unutrašnja funkcija se ne mijenja s nama:

Sada je izgubljeno znati jednostavan način da se pogledaju interne funkcije i da se "češlja" rezultat:

guza 4

Znati povezane funkcije

Tse butt for nezavisno rešenje(Recenzija na kraju lekcije).

Za fiksiranje funkcije preklapanja ruzmarina, dat ću guzu bez komentara, pokušati samostalno proširiti, smiriti, de call i de internu funkciju, zašto to želite sami?

guza 5

a) Poznavati relevantne funkcije

b) Poznavati relevantne funkcije

guza 6

Znati povezane funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, potrebno ga je predstaviti na vizualnom nivou. Na taj način induciramo funkciju na poleđini u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do tačke u kojoj je zbir tri sabirka unutrašnja funkcija, a zbir tri sabirka eksterna funkcija. Pravilo diferencijacije funkcija preklapanja je fiksno:

Koraci su ponovo predstavljeni vizuelnim radikalom (korijenom), a za slučajnu internu funkciju, fiksirano je jednostavno pravilo diferencijacije sumi:

Spreman. Moguće je dovesti viraz u lukovima do zastave za spavanje i sve zapisati u jednom kadru. Prelijepo je, divno, ali ako postoje glomazni stari dani loših vremena, bolje je ne biti stidljiv (lako se izgubiti, dozvolite nepristojno pomilovanje, taj će vikladač biti neopravdano pogrešno protumačen).

guza 7

Znati povezane funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje (recenzija na kraju lekcije).

Važno je napomenuti da, osim zamjene pravila diferencijacije sklopive funkcije, možete promijeniti pravilo diferencijacije privatne funkcije. , Ali tada će rješenje izgledati kao uvrnuto smiješno. Osovinska karakteristika kundaka:

guza 8

Znati povezane funkcije

Ovdje možete podesiti pravilo diferencijacije privatnog , Ale bolje znati bolje kroz pravilo diferencijacije funkcija preklapanja:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - krivimo minus za loš znak, a kosinus se uzima u broj:

Kosinus je unutrašnja funkcija, koraci do stopala su vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo:

Znamo da su unutrašnje funkcije nestale, kosinus je bačen nazad:

Spreman. Za izgledanu zadnjicu važno je da se ne izgubi u znakovima. Prije govora isprobajte virishiti jogu uz pomoć pravila , Vídpovídí kriv spívpasti.

guza 9

Znati povezane funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješenje (recenzija na kraju lekcije).

Do sada smo gledali preklope, da smo imali samo jedan umetak u funkciji preklapanja. U praktičnim zadacima često možete koristiti iste trikove, de, poput matrioške, jedan u sekundi, ulaganje u niz od 3, ili čak 4-5 funkcija.

guza 10

Znati povezane funkcije

Razbiraêmosya na prilozima íêí̈ funkcije. Pokušavam izbrojati viraz uz pomoć posljednje vrijednosti. Kako ste ušli u kalkulator?

Neophodno je poznavati srce, to znači da je arcsin najvažniji doprinos:

Onda hajde da kvadratiramo arksinus jedinstva:

Í, nareshti, unosimo simbol u korake:

Dakle, u ovoj aplikaciji imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, s kojima je najnutarnja funkcija arksinus, a najudaljenija funkcija funkcija prikaza.

počinjemo virišovati

U pravilu je potrebno okrenuti klip nakon ispravne funkcije. Gledamo tabelu najgorih i, dobro, ostalih funkcija prikazivanja: Jedina razlika je zamjena “iksa” u našem preklopnom virazu, koji ne predviđa pravednost formule. Također, rezultat postavljanja pravila diferencijacije preklopne funkcije ofanziva:

Pod završnim dodirom, imamo novu funkciju preklapanja! Ale, već je jednostavnije. Lako je perekonatisya, da je unutrašnja funkcija arcsin, vanjska funkcija stopalo. Prema pravilu diferencijacije sklopive funkcije, potrebno je napraviti niži korak.

Operacija vizualizacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat toga, rješenje problema oko otkrivanja sličnih u najjednostavnijim (pa čak ni jednostavnijim) funkcijama prema oznaci sličnog kao između prirasta i prirasta argumenta pojavila se tablica sličnih i potpuno istih pravila diferencijacije. Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) prvi su radili na polju znanja o prošlosti.

Stoga, u našem satu, da bismo znali da li je funkcija dobra, nije potrebno izračunati nagađanje, granicu između povećanja funkcije i povećanja argumenta, već je potrebno ubrzati tabela sličnih i pravila diferencijacije. Za znanje o budućnosti treba koristiti ofanzivni algoritam.

Da znam pohidnu, Obavezno viraz pod znakom moždanog udara proširite skladište jednostavnih funkcija i označavaju, nekim radnjama (Tvir, suma, privatno) vezano za ove funkcije. Dali lošijih elementarnih funkcija poznati su u tabelama lošijih, a formule boljih, zbroja i privatnih - u pravilima diferencijacije. Tabela nedavnog i pravila diferencijacije data nakon prve dvije aplikacije.

Primjer 1. Znati povezane funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije jasno je da je zbir funkcija zbir sličnih funkcija, tj.

Iz tabela sličnih je jasno da je "iksi" bolji od jedan, a da je sinus bolji od kosinusa. Zamijenite qi vrijednosti u zbroju pokhídnyh i znamo neophodan mentalni zadatak pokhídnu:

Primjer 2. Znati povezane funkcije

Rješenje. Razlikujući se kao da ću izgubiti svoj zbir, u nekom drugom dodatku sa konstantnim množiteljem, mogu ga kriviti za znak dobra:

Dokle god se okrivljuje hrana, zvijezde koje se uzimaju, smrad po pravilu postaje jasniji nakon poznavanja tablice sličnih i najjednostavnijih pravila razlikovanja. Prije njih, odmah prolazimo direktno.

Tablica sličnih jednostavnih funkcija

1. Pokhídna konstante (brojevi). Da li postoji broj (1, 2, 5, 200 ...), kao u izraženoj funkciji. Držite se do nule. Važnije je zapamtiti, pa je potrebno češće
2. Pokhídna nezalezhnaya zminnoy. Uglavnom "iksi". Zaboravite zdravu usamljenost. Tse tezh je važno zapamtiti to dugo vremena
3. Pokhídna korak. U koracima pri izvođenju zadataka potrebno je transformirati nekvadratne korijene.
4. Pokhídna zminnoi u fazi -1
5. Pokhídna kvadratni korijen
6. Pokhídna sinus
7. Pokhídna kosinus
8. Pokhídna tangenta
9. Pokhídna kotangens
10. Pokhídna arcsin
11. Pokhídna arccosine
12. Pokhídna arktangent
13. Pokhídna arc tangenta
14. Pokhídna prirodni logaritam
15. Pokhídna logaritamske funkcije
16. Pokhídna eksponenti
17. Pokhídna funkcija prikaza

Pravila diferencijacije

1. Pokhídna sumi ili maloprodaja
2. Uradite dobar posao
2a. Pokhídna izraz, pomnožen sa konstantnim množiteljem
3. Idi privatno
4. Funkcija preklapanja

Pravilo 1Koje funkcije

diferenciranje u trenutnoj tački, onda u istoj tački može imati slične funkcije

zašto

toliko sličan algebarskom zbiru funkcija starijeg algebarskog zbira sličnih funkcija.

Posljedica. Ako se dvoje razlikuju na stalnom dodatku, onda su njihovi jednaki, Tobto

Pravilo 2Koje funkcije

diferencirajući u deakíy točki, zatim u istoj točki diferencijabilnog i njihov tvír

zašto

pa je bolje dopuniti dvije funkcije ukupne količine funkcija kože ovim funkcijama za ostatak.

Posljedica 1. Za loš znak može se okriviti konstantni množitelj:

Posljedica 2. Pokhídna creat kílkoh diferentíyuyutsya drívnyuê sumí tvorív pokhídny kožni íz spívmulníníkiv ín all ínshí.

Na primjer, za tri umnožaka:

Pravilo 3Koje funkcije

razlikovanje u deakíy točki і , tada je u tački tsíy diferencibilnog i íí̈hnya privatnou / v, štaviše

tako da je privatni dvofunkcionalni skup razlomak, broj takva razlika kreacija bannermana za smrt knjige brojeva i knjige brojeva za smrt bannermana, a bannerman je kvadrat kolosalne knjige brojeva .

De sho shukati na druge strane

Kada se zna cena dodatnog rada i delova u stvarnim problemima, uvek je potrebno istovremeno zastosovuvati pravila diferencijacije, tako da ima više prijava za cenu promene - u statistici"Čekajte dodatak i dijelove funkcija".

Poštovanje. Klizni da ne zbuni konstantu (tobto, broj) kao dodatak u zbiru i kao množilac konstante! U vremenima je dodanka í̈í̈ pokhídna jednaka nuli, au vremenima brzog množitelja okrivljuje se za predznak zadnjih. Ovo je tipično oproštenje, kako se čuje u početnoj fazi uzgoja prošlosti, ali u svijetu je rješenje već dekilkoh jedno-dva spratnih aplikacija srednji student nema više pomilovanja.

A što se tiče diferencijacije, stvorite nešto privatno, imate ekstra u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, to je konstanta, tada će isti broj biti jednak nuli i, tada će svi dodaci biti jednaki nuli (takav obrazac argumenata u stražnjici 10).

inače često pomilovanje- mehaničko rješenje za ležernu funkciju preklapanja kao ležernu jednostavnu funkciju. Tom laka funkcija sklapanja osveštana statua okrema. Malo kasnije ćemo naučiti o sličnostima jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez promjene viraza. Za koga će vam možda trebati pomoć u novim prozorima Díí̈ zí koraci i korijeniі Díí̈ sa razlomcima .

Kako onda pronaći rješenja za slične razlomke sa koracima i korijenima, ako funkcija može pogledati , Zatim idite na lekciju "Dobro je imati vreću snimaka sa stepenicama i korijenjem."

Yakshcho dobro ispred vas zavdannya na srazok , Onda ste zauzeti "Kao jednostavne trigonometrijske funkcije".

Pokrokovi guzice - kako da znam da li ću

Primjer 3. Znati povezane funkcije

Rješenje. Očigledno je da je dio funkcije viraze: svi virazi su tver, a te robe sumi; Stvorite stabilno pravilo diferencijacije: bolje je dodati dvije funkcije zdravoj sumi kože i ove funkcije za ostale:

Dali smo stabilno pravilo diferencijacije zbira: sličan algebarski zbir funkcija je skuplji algebarski zbir sličnih funkcija. Naš um u kožnoj vrećici ima još jedan dodatak sa znakom minus. U zbiru kože postoji mnogo nezavisnih promjena, ona je kao zdrava, i konstanta (broj) koja je kao nula. Otzhe, "ix" se kod nas pretvara u jedan, a minus 5 - na nulu. Drugi je izgovorio "iks" pomnoženo sa 2, pa dva pomnožimo sa istim, kao da ću izgubiti "iksi". Oduzimamo nadolazeće vrijednosti sljedećeg:

Zamjena znanja o budućnosti u vreći kreacija i vodeći računa o potrebnom intelektualnom zadatku svih funkcija:

I možete promijeniti rješenje problema na bolje.

Primjer 4. Znati povezane funkcije

Rješenje. Moramo znati tajnu privatnog. Zastosovuêmo formulu diferencijacije privatnog: broj privatne dvije funkcije jednak je razlomku, broj takve razlike kreacija zastave za smrt broja broja i broja broja za smrt banera, a baner je kvadrat broja broja. prihvatamo:

Već smo znali faktore u knjizi brojeva u aplikaciji 2. Ne zaboravimo da se drugi faktor u knjižici brojeva u aplikaciji za striming uzima sa predznakom minus:

Kako pronaći rješenje za takve probleme, u kojima morate znati tačne funkcije, de-uspjeh akumulacije korijena i koraka, kao npr. , Onda ljubazno tražimo posao "Pokhídna vreća snimaka sa koracima i korijenjem" .

Pa, morate znati više o lošijim sinusima, kosinusima, tangentima i ostalima trigonometrijske funkcije, Tobto, ako se funkcija može pogledati , Onda imate lekciju "Kao jednostavne trigonometrijske funkcije" .

Primjer 5. Znati povezane funkcije

Rješenje. Ova funkcija ima puno zaokreta, jedan od uobičajenih množitelja ovih je kvadratni korijen nezavisne varijable, a sličan smo prepoznali u tabelama sličnih. Za pravilo diferencijacije kreirajte i uzima se tabelarna vrijednost kvadratnog korijena:

Moguće je preispitati rješavanje zadataka za budućnost na online kalkulatori .

Primjer 6. Znati povezane funkcije

Rješenje. Ova funkcija je privatnija, udaljenost nekih je kvadratni korijen nezavisne promjene. Prema pravilu diferencijacije privatnog, kao što smo ponovili i zaglavili u dodatku 4, uzima se tabelarno vrijednost kvadratnog korijena: