Zagrobni život se naziva neograničeno velikim. Neograničeno male i neograničeno velike funkcije

Def.: funkcija biti pozvana beskrajno malo za pranje, jakšo .

Dozvolićemo nam da napišemo "" x 0 Možete uzeti istu vrijednost kao: x 0= konst, Dakle i ne beskonačno: x 0= ∞.

Moć beskonačno malih funkcija:

1) Algebarski zbir endian broja nije beskonačno mali u slučaju da su funkcije beskonačno male u funkciji.

2) Tvir krajnjeg broja nije beskonačno mali kada funkcija nije beskonačno mala kada je funkcija.

3) Skup međusobno povezanih funkcija za beskonačno malu funkciju je beskonačno mala funkcija.

4) Deo vremena nije beskonačno mali kada je funkcija na funkciji, između kojih je jedan od nule, ê je beskonačno mali kada je funkcija.

guza: funkcija y = 2 + xê Ne baš malo za to.

Def.: funkcija biti pozvana neograničeno sjajno za pranje, jakšo .

Moć beskrajno velikih funkcija:

1) Zbir neograničeno veliki sa funkcijama ê neograničeno veliki sa funkcijom.

2) Tvir je neograničeno velik s funkcijom na funkciji, između koje je jedan od nule, i neograničeno velik u funkciji.

3) Zbir nije beskonačno velik s funkcijom i međusobno povezanom funkcijom i beskonačno velikom funkcijom.

4) Deo vremena je neograničeno veliki kada je funkcija na funkciji, ali postoji mnogo Kintsevskih granica, i neograničeno je veliko kada je funkcija.

guza: funkcija y= Ê neograničeno sjajno, za to .

Teorema.Veza između neograničeno malih i neograničeno velikih vrijednosti... Dok funkcija nije beskonačno mala kada, funkcija nije beskonačno velika kada. I natrag, ako funkcija nije beskonačno velika kada, onda funkcija nije beskonačno mala kada.

Vídnoshennya dva neograničeno mala prihvaćena su kao simbol, dva neograničeno velika - simbol. Uvrijeđen činjenicom da je plava boja nevažna u tom smislu, da je moguće da bude nevažna, dakle nije nevažna, ali je jednaka istom broju, ili nije ograničena u nedostatku određenih funkcija, ali se može uvrstiti u nevažne.

Pored nevrijednosti, tipa i nevrijednosti, kao što je virazi:

Svjedočanstvo beskonačno velikog jednog znaka;

Tvir je neograničeno mali i neograničeno velik;

Funkcija Show-step, čija je osnova pragne do 1, a indikator je do;

Funkcija pokaznog koraka, čija je osnova beskonačno mala, a eksponent beskonačno velik;

Show-step funkcija, show i indikator koji nije beskonačno malim;

Funkcija show-step, čija je osnova neograničeno velika, a eksponent neograničeno mali.

Čini se da je malo osjećaja nevažnosti vrste. Broj brojeva se zove u cich vipadkah rozkrittam nevrijednost... Za prepoznavanje besmislenosti, viraze, koje stoje uz oznaku granice, ponovo se prevode u oko, koje se ne osvećuje nesmislenosti.

Kada se izbroje između vikista, moć između, ali i nemoć, beskrajno male i beskonačno velike funkcije.

Jasno stavite brojeve velikih između.

1) . 2) .

4) Zbog toga je televizor beskonačno mali u funkciji kada je povezan sa funkcijom ê ne baš malo.

5) . 6) .

7) = =

... U ovom konkretnom tipu, postoji malo osjećaja nevažnosti za tip, što se tiče širenja polinoma u množitelje i brzine do zagalnog množitelja.

= .

U ovom vipadku malog mísce tipa nevažnosti, yaku u daljinu mnoštva brojeva i nazivnika za viraz, viktorijanske formule i lažni brzi razlomak za (+1).

9)
... U datom kundaku, tip metka nije važan za pojam po redu broj i nazivnik za razlomak na višim nogama.

čuda između

Prva granica čudovišta : .

Isporučeno. Jasno jedan obim (slika 3).

Slika 3. pojedinačno

hej NS- Radianna svijet centralne kute MOA(), Todi OA = R= 1, MK= grijeh x, AT= tg x... Tricikl kvadrati OMA, OTA i sektori OMA, Otrimaêmo:

,

.

Rozdílimo ostatak živaca na grijeh x, Otrimaêmo:

.

Dakle, jak na, zatim po moći 5) između

Zvijezde su zvonka vrijednost kada treba da je spomenete.

poštovanje: Funkcija nije beskonačno mala kada, tobto To je prvo čudo ma viglyada:

.

Stavite brojeve između pobjednika prve divne zemlje na jasan pogled.

Prilikom izračunavanja vrijednosti vikorista korištena je trigonometrijska formula: .

.

Lako stavite brojeve između pobjednika druge divne zemlje.

2) .

3) ... Mísce je nevažno za kucanje. Zrobimo zamjenjuje, Todi; at.

funkcija biti pozvana beskonačno malo sa
ako
, yaksho
abo
.

Primjena: funkcija
beskonačno mali pri
; funkcija
beskonačno mali pri
.

Poštovanje 1. Bilo koja funkcija se ne može pozivati ​​beskonačno bez direktne promjene argumenta. Dakle, funkcija
at
ê beskonačno mali, i sa
već ne postoji beskonačno malo (
).

Poštovanje 2. Vrijednost granica funkcije u tački, za beskonačno male funkcije, da pokaže nedosljednost
.Čim će se činjenica o mi nadalu ponoviti nekoliko puta.

Važne su akcije koje se mogu vratiti moć neograničeno malih funkcija.

teorema (O vezi funkcije, í̈í između i i beskonačno nekoliko): Yaksho funkcija
može se predstaviti u vidu zbira poštanskog broja A i beskonačno malo funkcija
at
Taj broj

Isporučeno:

Koristite teoreme destilacije, dakle funkciju
.

vislovimo zvidsy
:
... funkcija oskílki
beskonačno mala, pošteno je da bude ravnodušna
, Todi za okretanje (
) To je također stvar ravnodušnosti

A tse znači, scho
.

teorema (Zvorotna): yaksho
, Ta funkcija
može biti predstavljen brojem sumi A i beskonačno malo
funkcije
, Tobto
.

Isporučeno:

Tako jak
, to je za
propasti
(*) Funkcija je razumljiva
kao jedan i ravnodušnost (*) prepisiva se u viglyad

Ostatak nepravilnosti sljedećeg, ali vrijednost (
) Ê beskonačno mali za
... smisleno í̈í̈
.

Zvezdice
... Teorema je završena.

Teorema 1 ... Algebarski zbir endian broja je beskonačno male funkcije je beskonačno male funkcije.

Isporučeno:

To će se dokazati za dva dodinga, tako da je za bilo koji krajnji broj ddankova slično.

hej
і
beskonačno mali pri
funkcije i
- zbir cich funkcija. Dovedeno vama, za
, Isnu također
, Za sve NS, koji su zadovoljni nepravilnostima
, Vykonutsya nerívníst
.

Dakle, jaka funkcija
beskonačno mala funkcija,
, Za sve
propasti
.

Dakle, jaka funkcija
beskonačno mala funkcija,
, I također ísnuê također , Za sve
propasti
.

vízmemo Uzmimo manje brojeva і , Todi u - komšiluk tačke a biti visceralni
,
.

Funkcijski modul skladišta
i procijenjenu vrijednost.

Tobto
, Todi funkcija nije beskonačno mala, što treba dovršiti.

Teorema 2. Tvir beskonačno malo funkcija
at
na međusobno povezanoj funkciji
ê Beskonačno mala funkcija.

Isporučeno:

Dakle, jaka funkcija
je okružen, zatim i pozitivan broj
, Za sve propasti
.

Dakle, jaka funkcija
beskonačno mali pri
, To isnuê taka - komšiluk tačke , Za sve ih síêí̈ u blizini periferije
.

Funkcionalnost je lako uočiti
í procijenjen njen modul

Otzhe
, I todí
- neograničeno mali.

Teorema je završena.

Granične teoreme.

Teorema 1. Interalgebarski zbir endian broja funkcija

Isporučeno:

Da dokaže da završava dvije funkcije, a ne da uništi duh svijeta.

hej
,
.

Prema teoremi o vezama funkcije,
і
može biti predstavljen na viglyadí
de
і
- beskonačno mali u
.

Znamo zbir funkcija
і

magnitude
ê post-value,
- vrijednost je beskonačno mala. U takvom rangu, funkcija
je predstavljen u viglyadi sumi trajne veličine i beskonačno male funkcije.

todí number
ê granična funkcija
, Tobto

Teorema je završena.

Teorema 2 ... Između kreirajte krajnji broj funkcija za vrata dodajte između funkcija

Isporučeno:

Ne uništavajte duhovnost svijeta, to možemo dokazati za dvije funkcije
і
.

Hajde, Todi
,

Znamo tvir funkcije
і

magnitude
ê trajna vrijednost, beskonačno mala funkcija. Od istog broja
ê granična funkcija
, Tobto je fer

uspjeh:
.

Teorema 3. Između privatne dvije funkcije do privatne između funkcija, poput granice između putokaza od nule

.

Dokaz: Hajde
,

Todi
,
.

znamo privatno i dejakimo nad njim

magnitude post_yna, drip
neograničeno mali. Otzhe, funkcija je predstavljen u pogledu sume stalnog broja i beskonačno malo funkcija.

Todi
.

Poštovanje. Teoreme 1-3 su reducirane da odgovaraju
... Međutim, smrad može biti stagnirajući kada
, Oskílki donošenje teorema u čitav niz izvodi se na sličan način.

Naprijed. Upoznajte granice:

Prvo i druga čuda između.

funkcija ne važi za
... Međutim, vrijednost u blizini tačke je nula. To se može vidjeti između funkcija
... Qia mezha bip prvo čudesno interi .

Vin maê viglyad:
.

između ostalog ... Upoznajte granice: 1.
... znači
, yaksho
, onda
.
; 2.
... Zaokret se daje iznova i iznova, tako da granica zvoni do prve čudesne granice.
; 3..

Mogu vidjeti veličinu pogleda
, u yakiy prihvatanje vrijednosti prirodnih brojeva po redoslijedu njihovog rasta. damo značenje: yakscho

dati početak značenja spolja
, Nije bitno, scho viraz
at
će
... Štaviše, da se donese, dobro
maê mezhu. Qia meza je označena slovom :
.

broj irratsíonalne:
.

Sada možete vidjeti razliku između funkcija
at
... Qia meza be called na drugu čudnu granicu

Vin maê viglyad
.

Naprijed.

a)
... viraz
zamjenjiv sirom istih sportista
, Zastosuêmo teorema o stvaranju granice i druge čudesne granice; b)
... ugodno
, todí
,
.

Još jedna grdosija između vikoristvutsya u problemi sa neprekidnim prikupljanjem poruka

Uz prihod od penija za depozite, često se vapi formulom preklapanja videa, yak maê viglyad:

,

de - umetci klipa,

- mali bankovni račun,

- broj narahuvan poruka po piku,

- sat vremena, u stenama.

Međutim, u teorijskom napretku, u slučaju investicijskih odluka, često je slučaj da formula eksponencijalnog (pokažite) zakona rasta

.

Formula za pokazivanje zakona rasta rezultat je pohranjivanja još jedne divne zemlje u formulu savijanja

Funkcionalnost bez prekida.

Funkcionalnost je lako uočiti
pjevanje u deyakiy pointu i deyakom oko tačke ... Nemojte ići na vrijednosti funkcije bodova vrijednosti
.

Vrijednost 1. Funkcija
biti pozvan neprekidan u tački , Yaksho won je naznačeno na periferiji tačke, uključujući i samu tačku
.

Vrijednost prekida se može formulirati u obliku.

kakva funkcija
određen za deyakom značenje ,
... kao argument datum pririst
, To je funkcija za postizanje povećanja

Neka funkcija ide do točke kontinuirano (za prvu vrijednost funkcije bez prekida u točkama),

Tobto, jer je funkcija kontinuirana u tačkama , To je neograničeno za malo povećanje argumenta
u tsíy točkama ídpovídaê nema kraja funkcijama maliy pririst.

To je poštena i zdrava tvrdnja: ako je neograničeno mali porast argumenta uzrokovan neograničeno malim povećanjem funkcije, tada je funkcija neprekidna.

Vrijednost 2. Funkcije
nazvati kontinuiranim kada
(U tački )
.

Pogledaću prvu i drugu vrednost neprekidne funkcije u tački, možete ispraviti početak čvrstoće:

abo
, ale
, todí
.

Također, kako bi se znala funkcija bez prekida kada
da se analitičkom virazu doda funkcija za zamjenu argumenta dostavite svoju vrijednost .

Oznaka 3. Funkcija, bez prekida u skin pointu trenutnog područja, biti pozvana neprekidno u cijeloj regiji.

na primjer:

Butt 1. Donesite funkciju
nije prekinut na svim tačkama područja.

Brzo za druge vrijednosti bez prekida funkcija u bodovima. Za sve to, budite poput značenja argumenta i damo youomu proširen
... Znamo za povećanu funkciju

Dodatak 2. Donesite funkciju
kontinuirano u svakoj tački s
.

damo argument pririst
, Todi funkcija za osvajanje

Znamo da je ova funkcija
, Tobto je opkoljen.

Slično, moguće je dovesti, da su sve osnovne elementarne funkcije neprekinute u tačkama područja, tako da se područje vrijednosti elementarne funkcije drži izvan područja kontinuiteta.

Oznaka 4. Yakshcho funkcija
neprekinuto u tački kože deyakogo intervala
To znači da je funkcija neprekidna u cijelom intervalu.

Oznaka te moći je beskonačno mala i neograničeno velika funkcija. Dokazati autoritativnost i teoreme. Veza nije beskonačno mala i nije beskonačno velika funkcija.

zm_st

Div. također: Malo je izdržljivosti - vrijednosti i moći
Moć beskrajno velikih posledica

Cijeni se neograničeno malo i neograničeno velika funkcija

hej x 0 ê Kintseva, na primjer, tačka nije beskrajno udaljena: ∞, -∞ ili + ∞.

Vrijednost beskonačno malo funkcija
funkcija α (X) biti pozvan beskrajno malo na x pragne do x 0 0 , Í vín dorívnyuê na nulu:
.

Beskrajno odlična funkcija
funkcija f (X) biti pozvan neograničeno sjajno na x pragne do x 0 , Gdje je funkcija jednaka kao x → x 0 , Í vín dorívnyuê nesklonosti:
.

Moć beskonačno malih funkcija

Moć sumija, razlika i beskrajno male funkcije

Suma, rast i tvir krajnji broj beskonačno malih funkcija kao x → x 0 ê beskonačno mala funkcija kao x → x 0 .

Tsia power je direktno nasljeđivanje aritmetičke moći između funkcija.

Teorema o twir međusobno povezanoj funkciji na beskonačno malom

Tvir funkcije, međusobno povezane na dan punkcije blizu tačke x 0 , Na neograničeno malom, kao x → x 0 , Ê beskonačno mala funkcija kao x → x 0 .

Moć o funkciji datoj viglyadi sumi stalnih i beskonačno malih funkcija

Da bi funkcija f (X) mala kintseviy granica, neophodna i dovoljna, schob
,
de - beskonačno mala funkcija kao x → x 0 .

Moć beskrajno velikih funkcija

Teorema o zbiru međusobno povezane funkcije i beskonačno velikog

Zbrojite razliku između funkcije za probušenu blizu tačke x 0 , Í neograničeno velika funkcija, kao x → x 0 , Ê neograničeno velikom funkcijom kao x → x 0 .

Teorema o privatnom obliku date funkcije je beskonačno velika

Funkcija f (X)ê neograničeno veliko kao x → x 0 , I funkcija g (X)- okružena probušenom blizu tačke x 0 , onda
.

Teorema o privatnom obliku domene, koja je okružena funkcijom na dnu neograničeno malog

Također, funkcija, na probušenoj bliskoj tački tačke, u apsolutnoj vrijednosti je okružena pozitivnim brojem ispod:
,
a funkcija ê je beskonačno mala kao x → x 0 :
,
ako je tačka probušena, na jaku, onda
.

Moć nepravilnosti neograničeno velikih funkcija

Ali funkcija je neograničeno sjajna kada:
,
í funkcije í, na deyakíy probušenom blizu tačke, na zadovoljavanje nepravilnosti:
,
tada je funkcija također beskonačno velika kada:
.

Moć moći je dvostruka.

Hajde, na probušenoj tački blizu tačke, funkcije i zadovoljenje nepravilnosti:
.
Todi yaksho, onda ja.
Yaksho, onda ja.

Povezivanje sa beskonačno velikim i beskonačno malim funkcijama

Postoje dvije alternativne moći zvukova vapinga i beskonačno velike i beskonačno male funkcije.

Dok funkcija nije beskonačno velika kada, funkcija je beskonačno mala kada.

Ako funkcija nije beskonačno mala kada, i, onda funkcija nije beskonačno velika kada.

Veza između neograničeno male i neograničeno velike funkcije može se vidjeti u simboličkom rangu:
, .

Kako funkcija predznaka nije beskonačno mala, ako je pozitivna (ili negativna) za probušenu blisku tačku, onda se može napisati na sljedeći način:
.
Na potpuno isti način, ako je funkcija znaka at neograničeno velika, onda napišite:
, Abo.

Taj simbolički prsten s neograničeno malim i neograničeno velikim funkcijama može se dopuniti napredujućim vezama:
, ,
, .

Dodatkovi formule, kako zvoniti simbole nestalnosti, mogu se naći sa strane
"Neodređene tačke moći".

Dokaz moći i teorema

Dokaz teoremama o čvrstoj međusobno povezanoj funkciji na beskonačno malom

Da donesemo tsíêí̈ teoreme, mi speedyêmosya. I takođe vikistička moć neograničeno malih završetaka,

Neka je funkcija beskonačno mala kada, a funkcija je zatvorena u probušenoj tački blizu tačke:
at.

Oskilki ísnu granicu, a zatim ísnu probušen u blizini tačke, na kojoj je funkcija dodijeljena. Hajde ê peretin na periferiji í. Todi o novim funkcijama dizajna i.

.
,
trajnost je beskonačno mala:
.

Brzo, Tim, kako je tvir isprepleten sa dugotrajnošću za beskonačno malo i neograničeno malo trajanje:
.
.

Teorema je završena.

Dokaz autoriteta o datoj funkciji viglyadi sumi stalne i beskonačno male funkcije

nužnost... Nekhay funkts_ya maê u točki kintseviy granice
.
Funkcija je lako razumljiva:
.
Vikoristovuyuchi moć između razvojnih funkcija, maêmo:
.
Tobto je beskonačno mala funkcija u.

obilje... Hajde i. Zastosuêmo moć između sumi funkcija:
.

Snaga doneta.

Dokaz teoremama o zbiru s funkcijom i neograničeno velikom

Da bismo doveli teoreme, ubrzavamo granice funkcije prema Heineu

at.

Oskilki ísnu granicu, zatim ísnu probušen u blizini točke, funkcija je dodijeljena. Hajde ê peretin na periferiji í. Todi o novim funkcijama dizajna i.

Nemojte se truditi ê dugotrajnost je dobra, kako se približiti, elementi šta ležati na periferiji:
.
Ovo su vrijednosti posljednjeg datuma. Štaviše, ozbiljnost ê je okružena:
,
trajna je neograničeno velika:
.

Oskilky suma ili razlika između isprepletene izdržljivosti i neograničeno velike
.
Todi, prema vrijednostima između posljednjih dana iz Heinea,
.

Teorema je završena.

Dokaz teoremama o privatnom tipu date funkcije na beskonačno velikom

Da dokažemo da smo brzi u smislu granica funkcije prema Heineu. Opaka moć beskrajno velikih posljedica jednako je pobjednička, a poznata je po svojoj beskrajno maloj podršci.

Neka je funkcija neograničeno velika kada, a funkcija je zatvorena u probijenoj tački blizu tačke:
at.

Oscilacije funkcije su neograničeno velike, tada je rub točke probušen, za koji je namijenjen i ne okreće se na nulu:
at.
Hajde ê peretin na periferiji í. Todi o novim funkcijama dizajna i.

Nemojte se truditi ê dugotrajnost je dobra, kako se približiti, elementi šta ležati na periferiji:
.
Ovo su vrijednosti posljednjeg datuma. Štaviše, ozbiljnost ê je okružena:
,
trajnost je neograničeno velika sa članovima gledano od nule:
, .

Mali dio dana okružen je neograničeno dugotrajnim i beskonačno malim trajanjem, zatim
.
Todi, prema vrijednostima između posljednjih dana iz Heinea,
.

Teorema je završena.

Dokaz teoremama o privatnom tipu domene, funkcija ispod funkcije, je beskonačno mali

Dokazati snagu i brzinu dodijeljenih granica funkcije prema Heineu. Tako je i vikistička moć beskrajno velikih posljedica, koja nije beskrajna odličan post.

Neka je funkcija beskonačno mala kada, a funkcija je ograničena u apsolutnoj vrijednosti ispod pozitivnim brojem, na probušenoj tački blizu tačke:
at.

Za pranje, rub točke je probušen, za koju funkciju je namijenjen i ne okreće se na nulu:
at.
Hajde ê peretin na periferiji í. Todi o novim funkcijama dizajna i. Štaviše, i.

Nemojte se truditi ê dugotrajnost je dobra, kako se približiti, elementi šta ležati na periferiji:
.
Ovo su vrijednosti posljednjeg datuma. Štaviše, konzistencija je okružena dnom:
,
a posljednji je neograničeno mali sa članovima vidljivim od nule:
, .

Oscilacije malog dijela vremena, okružene dnom posljednjeg, za neograničeno male i neograničeno velike posljednje, zatim
.
Í nhai ê probušen blizu vrha, na jaku
at.

Ujedno, dobro je ići do. ​​Todi, ispravkom sa broja N, elementi posljednjeg datuma će se nalaziti u blizini:
at.
Todi
at.

Prema vrijednostima granica funkcije prema Heineu,
.
Todi za moć nepravilnosti beskrajno velikih poruka,
.
Oscilacije posljednje su velike, ali konvergiraju do, zatim izvan granica funkcije prema Heineu,
.

Snaga doneta.

Vikoristan Literatura:
L. D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1.Moskva, 2003.

Div. također:

Broj beskonačno malih i velikih

Nabrojano neograničeno malikh- numerisan, viroblen sa neograničeno malim vrednostima, za koje se stari rezultat vidi kao neograničeno mali. Izračunate beskonačno male vrijednosti ê da galantno razume za diferencijalne i integralne brojeve, da čine osnovu moderne matematike. Razumijevanje neograničeno male veličine jasno je vezano za razumijevanje granice.

neograničeno mali

zadnji a n biti pozvan beskrajno malo, Yaksho. Na primjer, niz brojeva je beskonačno mali.

funkcija biti pozvana beskonačno malo u blizini tačke x 0, jakšo .

funkcija biti pozvana neograničeno malo na nesputano, yaksho abo .

Postoji i beskonačno mala funkcija, što je razlika u funkciji , onda f(x) − a = α( x) , .

Količina je neograničeno velika

zadnji a n biti pozvan neograničeno sjajno, yaksho .

funkcija biti pozvana neograničeno sjajno na periferiji točke x 0, jakšo .

funkcija biti pozvana neograničeno sjajno na nesputano, yaksho abo .

U svim vipadkama nedostatak dešnjaštva je zasnovan na želji da se osloni na poštovanje pevačkog znaka (bilo „plus“, ili „minus“). Tobto, na primjer, funkcija x grijeh x ne ê beskonačno odličan u.

Moć neograničeno mala i neograničeno velika

Porívnyannya neograničeno male vrijednosti

Koliko je to beskonačno malo?
Postavljanje neograničeno malih vrijednosti je takozvano nevažnost.

vrijednost

Doduše, imamo ê beskonačno malo za jednu te istu vrijednost α ( x) І β ( x) (Abo, nije važno za vrijednost, beskonačno mala u posljednjem).

Za proračun ostalih, vladavina Lopitala je pobjednička.

spusti

Za namesnike O- simbolično odricanje od rezultata i može se snimiti u uvredljivom pogledu x 5 = o(x 3). U ovom slučaju postoje zapisnici 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

ekvivalentne vrijednosti

vrijednost

Međutim, tada se nazivaju beskonačno male vrijednosti α i β ekvivalentan ().
Očigledno, ograničit ćemo broj beskonačno malih vrijednosti istog reda veličine na istu vrijednost.

U slučaju pravednog početka ekvivalencije dospijeća: ,, .

teorema

Granica između privatne (pojedinačne) dvije neograničeno male vrijednosti se ne mijenja, jer je jedna od njih (ili uvredljiva) zamijenjena ekvivalentnom vrijednošću.

Teorema je data na osnovu primijenjene vrijednosti za značenja između (razd. Primjena).

butt vikoristannya

zamjenik sin 2x ekvivalentna vrijednost 2 x, Mi ćemo

istorijski crtež

Razumijevanje "beskonačno malog" o kojem se raspravljalo u drevnim vremenima u vezi s konceptom različitih atoma, nije izblijedjelo u klasičnoj matematici. Znam da je rođen sa pojavom u 16. veku „metode onih koji nisu slični“ – uspona pre-slidzhuvanoi figura na neograničeno malom overretinu.

U XVII veku algebraizacija proračuna je beskonačno mala. Smrad se počeo pojavljivati ​​kao brojčana vrijednost, kao manja od bilo koje Kintsevo (ne-nula) vrijednosti i još uvijek nije jednaka nuli. Misterija analize dolazila je u naborima performansa, da bi se osvetila beskonačno malim (diferencijalima), a ponekad - u njenoj integraciji.

Matematičari stare škole dali su koncept neograničeno mali oštre kritike. Michel Rollet je pisao o novim slovima ê" skup genijalnih pomilovanja"; Volter je s poštovanjem poštovao da je numeracija misterija za nabrajanje i precizno dešifrovanje govora, koji se ne mogu prenijeti. Navit Huygens je postao svjestan razlike u drugim narudžbama.

Kao što se ironičan udeo može uočiti sredinom veka nestandardne analize, koja je prva tačka gledišta – stvarna nisu beskonačno mala – takođe je nespretna i mogla bi se staviti u osnovu analize.

Div. takođe

Wikimedia fondacija. 2010 rock.

Začudite se istom "neizbježno sjajnom" u sljedećim rječnicima:

Varijabilna vrijednost Y, beskonačno mala vrijednost X, tako da je Y = 1 / X ... Veliki enciklopedijski pojmovnik

Vrijednost y je promjenjiva, ali vrijednost x nije beskonačno mala, pa je y = 1 / x. * * * NEINSTALIRANO SJAJNO NEINSTALIRANO Sjajno, varijabilna vrijednost Y, zvona beskonačno mala vrijednost X, tako da je Y = 1 / X ... enciklopedijski vokabular

U matematici, vrijednost se mijenja, jer će u ovom procesu promjena postati u apsolutnoj vrijednosti više od bilo kojeg unaprijed određenog broja. Vivchennya B. b. vrijednosti se mogu dovesti do vivchennya neograničeno malikh (Div. ... ... Velika Radianska Encyclopedia

Neopisivo male funkcije

Funkcija %% f (x) %% poziv beskrajno malo(B.m.) za %% x \ do a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, kao da je za isti argument granična funkcija nula.

Ponyattya b.m. Funkcije su neopravdano povezane zbog značenja o promjeni i argumentu. Možete pričati o bm-u. funkcije za %% a \ do a + 0 %% í za %% a \ do a - 0 %%. Zazvychay b.m. funkcije se koriste za prva slova orahove abecede %% \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

stavi

1. Funkcije %% f (x) = x %% ê b.m. na %% x \ do 0 %%, oznake granice u tački %% a = 0 %% puta do nule. Teorema o vezi između dvostranog interfejsa i jednostrane funkcije - b.m. yak za %% x \ do + 0 %%, dakle i za %% x \ do -0 %%.
2. Funkcije %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. za %% x \ do \ infty %% (i takođe za %% x \ to + \ infty %% í za %% x \ do - \ infty %%).

Broj se ne prikazuje kao nula, jer nije bio premali za apsolutne vrijednosti, a ne ê b.m. funkcija. Za trajni broj vinjeta, postavite povodac na nulu, fragmente funkcije %% f (x) \ ekvivalent 0 %% na nulu.

teorema

Funkcije %% f (x) %% maê u bodovima %% a \ in \ overline (\ mathbb (R)) za zbir broja %% b %% i b.m. funkcija %% \ alpha (x) %% za %% x \ do %%, ili $$ \ postoji ~ \ lim \ limits_ (x \ do a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R ) \ Leftrightarrow \ left (f (x) = b + \ alpha (x) \ right) \ land \ left (\ lim \ limits_ (x \ to a) (\ alpha (x) = 0) \ right). $$

Moć beskonačno malih funkcija

Pravila za granični prijelaz na %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, slijede sljedeću izjavu:

1. Suma kintsevoy broj b.m. funkcija za %% x \ do a %% ê b.m. sa %% x \ do a %%.
2. Twir bilo kojeg broja b.m. funkcija za %% x \ do a %% ê b.m. sa %% x \ do a %%.

Tvir b.m. funkcija na %% x \ do a %% í funkcije, međusobno povezane u probušenom blizu ruba %% \ stackrel (\ circ) (\ tekst (U)) (a) %% tačaka a, ê bm. sa %% x \ do %% funkcije.

Jasno je da postoji podešavanje stalnih funkcija i bm-a. na %% x \ do a %% ê b.m. funkcija za %% x \ do a %%.

Ekvivalentne beskonačno male funkcije

Neopisivo male funkcije %% \ alpha (x), \ beta (x) %% kada se pozovu %% x \ do %% ekvivalentan pišem %% \ alfa (x) \ sim \ beta (x) %%, što je

$$ \ lim \ limits_ (x \ do a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ beta (x)) ) (\ alfa (x))) = 1. $$

Teorema o zamjeni b.m. funkcije su ekvivalentne

Hajde %% \ alpha (x), \ alpha_1 (x), \ beta (x), \ beta_1 (x) %% - b.m. funkcija za %% x \ do %%, i %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %%, tody $$ \ lim \ limits_ (x \ do a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limits_ (x \ do a) (\ frac (\ alpha_1 (x)) (\ beta_1 (x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Hajde %% \ alfa (x) %% - b.m. funkcija za %% x \ do a %%, todí

1. %% \ sin (\ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) %%
2. %% \ displaystyle 1 - \ cos (\ alpha (x)) \ sim \ frac (\ alpha ^ 2 (x)) (2) %%
3. %% \ tan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
4. %% \ arcsin \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
5. %% \ arctan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
6. %% \ ln (1 + \ alfa (x)) \ sim \ alfa (x) %%
7. %% \ displaystyle \ sqrt [n] (1 + \ alpha (x)) - 1 \ sim \ frac (\ alpha (x)) (n) %%
8. %% \ displaystyle a ^ (\ alpha (x)) - 1 \ sim \ alpha (x) \ ln (a) %%

guza

$$ \ begin (niz) (ll) \ lim \ limits_ (x \ do 0) (\ frac (\ ln \ cos x) (\ sqrt (1 + x ^ 2) - 1)) & = \ lim \ limits_ (x \ do 0) (\ frac (\ ln (1 + (\ cos x - 1))) (\ frac (x ^ 2) (4))) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (4 (\ cos x - 1)) (x ^ 2)) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ do 0) (- \ frac (4 x ^ 2) (2 x ^ 2)) = -2 \ kraj (niz) $$

Neopisivo odlične funkcije

Funkcija %% f (x) %% poziv neograničeno sjajno(B.B.) za %% x \ do a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, jer sa istim argumentom funkcija ima neograničenu granicu.

Podibno b.m. funkciju svjedoka B.B. Funkcije su neopravdano povezane zbog značenja o promjeni i argumentu. Možete pričati o BB. funkcije za %% x \ do a + 0 %% í %% x \ do a - 0 %%. Izraz "neograničeno veliki" ne govori o apsolutno smislenoj funkciji, već o prirodi njene zmije na periferiji date tačke. Bilo koji broj nije trajan, jer nije bio veliki iznad apsolutnih vrijednosti, niti beskonačno velik.

stavi

1. Funkcije %% f (x) = 1 / x %% - B.B. na %% x \ do 0 %%.
2. Funkcije %% f (x) = x %% - B.B. sa %% x \ do \ infty %%.

Yakshho vikonany dow vrijednost $$ \ begin (niz) (l) \ lim \ limits_ (x \ to a) (f (x)) = + \ infty, \\ \ lim \ limits_ (x \ to a) (f ( x)) = - \ infty, \ kraj (niz) $$

onda pričajte o tome pozitivno abo negativan B. B. sa %% a %% funkcijama.

guza

Funkcija %% 1 / (x ^ 2) %% - pozitivno B.B. na %% x \ do 0 %%.

Zvyazok mízh B.B. i b.m. funkcije

Yaksho %% f (x) %% - B.B. za %% x \ na %% funkciju, zatim %% 1 / f (x) %% - b.m.

sa %% x \ do a %%. Yaksho %% \ alfa (x) %% - b.m. na %% x \ do %% funkcije, prikazano od nule do probušene bliske tačke %% a %%, zatim %% 1 / \ alfa (x) %% - B.B. sa %% x \ do a %%.

Moć beskrajno velikih funkcija

Vjerovatno trun vlasti B.B. funkcije. Snaga snage bezposeredno vyplivayut od oznake BB. funkcije i moći funkcija, koje se mogu koristiti kao granična linija, kao i teoreme o vezama između B.B. i b.m. funkcije.

1. B.B. funkcija za %% x \ do a %% ê B.B. funkcija za %% x \ do a %%. Díysno, kao %% f_k (x), k = \ overline (1, n) %% - B.B. funkcija na %% x \ do a %%, zatim u probušenoj bliskoj tački %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i po teoremi o vezama B.B. i b.m. funkcija %% 1 / f_k (x) %% - b.m. funkcija za %% x \ do a %%. Idi %% \ displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) 1 / f_k (x) %% - M funkcija za %% x \ na %%, i %% \ displaystyle \ prod ^ (n ) _ (k = 1) f_k (x) %% - BB funkcija za %% x \ do a %%.
2. Tvir B.B. funkcije na %% x \ do a %% í funkcije, kao u činu probijanja blizu tačke %% a %% izvan apsolutnih vrijednosti pozitivnijeg post-term, ê BB. funkcija za %% x \ do a %%. Zokrem, TVIR B.B. funkcije na %% x \ do a %% í funkcije, koje mogu biti u tački %% a %% granica koja nije nula, ako je BB. funkcija za %% x \ do a %%.

Zbir je zatvoren u aktu punktiranja blizu tačke %% a %% funkcije i BB. funkcije za %% x \ do a %% ê B.B. funkcija za %% x \ do a %%.

Na primjer, funkcije %% x - \ sin x %% í %% x + \ cos x %% - B.B. sa %% x \ do \ infty %%.

3. Suma dva B.B. funkcija za %% x \ do %% ê nije vrijednost. Padajući sa znaka prije prirode promjene, takvi sumi mogu biti vrlo popularni.

   guza

   Neka je funkcija %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. funkcije za %% x \ do \ infty %%. Todi:

   • %% f (x) + g (x) = 3x %% - B.B. funkcija za %% x \ do \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. funkcija za %% x \ do \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) = \ sin x %% nije majka kada %% x \ do \ infty %%.