Virishiti পুষ্টি zbіzhnostі কম koristuyuchis vyznachennyam। সংখ্যাসূচক সারি: নিয়োগ, ক্ষমতা, সম্পদের লক্ষণ, বাট, সিদ্ধান্ত

ছোট font-size:14.0pt">~ (div. ), তারপরের জন্য টিপস ~ .

Vrakhovuuchi tse, আমরা গ্রহণ করি:

Otzhe, ছড়িয়ে পড়া একটি সংখ্যা.

ঘ) font-size:14.0pt">,

Otzhe, ছড়িয়ে পড়া একটি সংখ্যা.

উমভ є প্রয়োজনীয়,আল যথেষ্ট নাসারির মননশীলতা: তাদের জন্য নৈর্ব্যক্তিক সারি রয়েছে, কিন্তু yakі tim কম ছড়িয়ে না.

উদাহরণ 3।সারির আকার পরিবর্তন করুন font-size:14.0pt">৷ সমাধান।আমরা সেটাকে সম্মান করি https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , অর্থাৎ, মানসিক স্বাস্থ্যের প্রয়োজন ভিকোনানো। চাস্টকভের যোগফল

বাম">

- একদা

তারপর font-size:14.0pt">, এবং tse মানে সারিটি সীমা ছাড়িয়ে যায়।

zbіzhnosti সাইন-ইতিবাচক সারি যথেষ্ট লক্ষণ

চলে আসো. একই সারিfont-size:14.0pt"> প্রান্তিককরণের চিহ্ন

চলে আসো এবং ta হল পজিটিভ-সাইন সারি। সব হিসাবে, অসমতা আছে, যারা zbіzhnosti সারি viplyaє zbіzhnіst সারি, যে yakshcho z razbіzhnostі সারি প্রস্থ = "55"

এই চিহ্নটি অসঙ্গতির মতো শক্তিতে হারিয়ে গেছে, তবে এটি বর্তমান সংখ্যা থেকে মেরামত করার মতো। যোগকে সমীপবর্তী ক্রম দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: যদি বৃহত্তর সারিটি একত্রিত হয়, তবে ছোটটি আরও একত্রিত হয়, যদি ছোট সারিটি বিচ্ছিন্ন হয়, তবে বড়টিও বিচ্যুত হয়।

বাট 4।মার্জিন সঙ্কুচিত কম 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

সমাধান।

ক) শ্রদ্ধার সাথে, যা সবার জন্য . সারি

খ) সারি সারি ..gif width = "91" height = "29 src = ">। ছড়িয়ে পড়া, otzhe, সমগ্র সারি এছাড়াও ছড়িয়ে.

নির্বিশেষে গঠনের সরলতা, সমতার লক্ষণ, অনুশীলনে, একটি উপপাদ্য আসছে, যা শেষ।

সীমানা চিহ্ন

চলে আসো https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - ইতিবাচক চিহ্নের সারি। kіntsevyі শূন্যের সমান নয়সীমানা, তারপর একটি সারি আপত্তিকর i

একবারে একত্রিত হওয়া বা একবারে ছড়িয়ে পড়া।

ড্যানিমের সাথে সমতার জন্য জয়ী একটি সারির মতো, প্রায়শই প্রজাতির একটি সারি বেছে নিন . এই ধরনের একটি সিরিজ বলা হয় ডিরিচলেট অর্ডার. বাট 3 এবং 4-এ দেখা যাচ্ছে যে ডিরিচল সারি z এবং ডাইভারজ। তুমি কি যেতে পার

হাই, কি সারি font-size:14.0pt"> .

ইয়াকশো, তারপর সারি ডাকা সুরেলা. হারমনি সিরিজ বিচ্যুত হতে.

উদাহরণ 5। zbіzhnist সারি চালিয়ে যানসাহায্যের জন্য, সীমানা চিহ্ন সমান, যেমন

সমাধান।ক) তাহলে কিভাবে গ্রেটদের পাবেন http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~, তারপর ~ font-size:14.0pt">জিম হারমোনি সারির সাথে যুক্ত৷ font-size:14.0pt">, তারপর।

kіntsev এবং vіdmіnna মধ্যে Oskіlki vіd শূন্য i harmonіyny সারি বিচ্ছুরণ, তারপর ছড়িয়ে দেওয়া এবং সিরিজ দেওয়া।

খ) গ্রেট width="111" width="119" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> যোগ করুন - সিরিজের প্রধান সদস্য, যার সাথে আমরা করব প্রদত্ত র্যাঙ্ক:

সিরিজ একত্রিত হয় ( Dirichlet সারি w font-size:16.0pt">)তাই পুরো সিরিজ একত্রিত হয়.

ভিতরে) যে অবিশ্বাস্যভাবে ছোট font-size:14.0pt">আপনি পারেন৷

একটি সমতুল্য মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> font-size সহ: 20.0pt">). ;

;

;

ছ)

;

.

অ্যাসাইনমেন্টগুলিকে একটি ধনাত্মক সংখ্যার সিরিজ $sum_(n=1) ^\infty a_n$ দিন। আমরা একটি সারিতে লাভজনকতার প্রয়োজনীয় চিহ্ন তৈরি করি:

1. যদি সিরিজটি একত্রিত হয়, তাহলে মধ্যবর্তী পদটি শূন্যের সমান: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. যেহেতু সিরিজের আন্তঃ-শিরোনাম শব্দটি শূন্যের সমান নয়, সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

সুরেলা সারি

Tsey সারিএভাবে লিখুন $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $। তাছাড়া, ফলো $p $ সিরিজ কনভার্জ এবং ডাইভারজ:

1. যদি $p = 1 $ হয়, তাহলে সিরিজ $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ বিবর্তিত হয় এবং তাকে হারমোনিক বলা হয়, শেষ পদ $ a_n = \frac( যাই হোক না কেন। 1)( n) \ থেকে 0$ এমন কেন? সম্মানে, এটি বলা হয়েছিল যে প্রয়োজনীয় চিহ্নটি আয় সম্পর্কে প্রমাণ দেয় না, তবে কেবল স্বল্প আয় সম্পর্কে। যিনি কোশের অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের মতো যথেষ্ট চিহ্ন zastosuvat করেন, তাহলে এটি পরিষ্কার হয়ে যাবে যে সারিটি ভিন্ন হয়ে যাবে!
2. যদি $p \leqslant 1$ হয়, তাহলে সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়। বাট, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, যেখানে $ p = \frac(1)(2) $
3. যদি $p > 1 $ হয়, তাহলে সিরিজটি একত্রিত হয়। বাট, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, যেখানে $ p = \frac(3)(2) > 1 $

সমাধান প্রয়োগ করুন

Tsya stattya є কাঠামোগত এবং রিপোর্ট করা তথ্য, কারণ অধিকার এবং টাস্কের বিশ্লেষণের জন্য এটি একটি ভাল সময়ে সম্ভব। চলুন দেখে নেওয়া যাক সংখ্যা সিরিজের বিষয়।

Tsya নিবন্ধটি বুঝতে প্রধান ফাংশন দিয়ে শুরু হয়. আমরা স্ট্যান্ডার্ড বিকল্প এবং ভিভিমো মৌলিক সূত্র দিয়েছি। উপাদান বন্ধ করার জন্য, নিবন্ধে মূল আবেদন রাখা হয়েছে.

মৌলিক থিসিস

আমরা সিস্টেমটি উপস্থাপন করতে পারি: a 1, a 2। . . , একটি , . . . de a k ∈ R , k = 1 , 2 । . . .

উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি নিন, যেমন: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

নিয়োগ 1

সংখ্যা সিরিজ হল পদের সমষ্টি ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +। . . + a n +। . . .

অর্থটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আমরা ভিপাডোক দেখতে পারি, যার জন্য q \u003d - 0। 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +। . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k।

নিয়োগ 2

a k k-imকম সদস্য।

Vіn এই র‍্যাঙ্কের মতো দেখাচ্ছে - 16 · - 1 2 কে.

নিয়োগ 3

এক সারিতে চাস্টকভের যোগফলএই আদেশের মত দেখাচ্ছে Sn = a1+a2+। . . + a n , yakіy n-এটা একটা সংখ্যাই হোক। স n nমযোগফল কম।

উদাহরণস্বরূপ, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 ।

এস 1, এস 2,। . . , S n , . . . সংখ্যাসূচক সিরিজের utvoryuyuyut অসঙ্গতি ক্রম।

এক সারির জন্য n-কযোগফলটি S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n সূত্রের পিছনে রয়েছে। বিজয়ীভাবে, ব্যক্তিগত রাশির ক্রম আসবে: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .

নিয়োগ 4

সিরিজ ∑ k = 1 ∞ a k є অনুরূপতারপর, যদি ক্রমটি লাইনের শেষ হতে পারে S = lim S n n → + ∞ । যদি কোন সীমানা না থাকে বা ক্রম সীমাবদ্ধ না থাকে, তাহলে সিরিজ ∑ k = 1 ∞ a k বলা হয় rozbіzhnym

নিয়োগ 5

সুমি সারি, কি যাব∑ k = 1 ∞ a k

এই অ্যাপ্লিকেশনটির জন্য lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , সিরিজ ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k কনভারজ। যোগফল ব্যয়বহুল 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3।

বাট 1

একটি rozbіzhny সারির একটি বাট হিসাবে, আপনি একটি বৃহত্তর ব্যানার সহ জ্যামিতিক অগ্রগতির সমষ্টি রাখতে পারেন, একটি নীচে: 1 + 2 + 4 + 8 +। . . + 2n - 1 +। . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1।

n-একটি অংশের যোগফল virase দ্বারা নির্ধারিত হয় S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, এবং আন্তঃভাগের যোগফল সীমাবদ্ধ নয়: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ ।

র্যান্ডম সংখ্যা সিরিজের আরেকটি উদাহরণ হল ফর্মের যোগফল ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 +। . . . এই অ্যাকাউন্ট n এর জন্য, ব্যক্তিগত যোগফল S n = 5 n হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। আন্তঃআংশিক যোগফল সীমাবদ্ধ নয় lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞।

নিয়োগ 6

এই ফর্মের যোগফল হল ইয়াক ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 +। . . + 1n +। . . – সিই সুরেলাসংখ্যা সারি।

নিয়োগ 7

যোগফল ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +। . . + 1ns +। . . , ডি s- decisne সংখ্যা, є zagalnen হারমোনিক সংখ্যাসূচক সারি দ্বারা।

অ্যাপয়েন্টমেন্ট, আরও দেখা, আপনাকে আরও অ্যাপ্লিকেশন এবং অর্ডার রচনা করতে সাহায্য করবে।

নিয়োগ সম্পন্ন করতে হলে লাইন সমানে আনতে হবে।

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k

বিপরীত পদ্ধতি দ্বারা Diemo. যদি ওয়াইন একত্রিত হয়, তাহলে সীমানা চর্মসার হয়। আপনি সমান লিখতে পারেন lim n → + ∞ S n = S এবং lim n → + ∞ S 2 n = S। গান গাওয়ার পরে, সমতা আবেশিত হয় l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ।

নবপাকি,

S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +। . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +। . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +। . . + 1n = 1n + 1 + 1n + 2 +। . . + 1 2 n

ঠিক তেমন অসঙ্গতিগুলি হল 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n। . . 1 2 n - 1 > 1 2 n। বেরিয়ে আসুন, S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +। . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +। . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2। Viraz S 2 n - S n > 1 2 বলতে গেলে lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 নাগালের বাইরে। rozbіzhny একটি সংখ্যা.

1. b1+b1q+b1q2+। . . + b 1 q n +। . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

এটা নিশ্চিত করা প্রয়োজন যে সংখ্যার অনুক্রমের যোগফল q এ বন্ধ হয়ে যায়< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

নিযুক্ত ব্যক্তিদের সাহায্যে Zgіdno, যোগফল nসদস্যরা S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 সূত্রের উপর নির্ভরশীল।

ইয়াকশো q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

আমরা এনেছি যে সংখ্যা সিরিজ একত্রিত হয়েছে।

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + এর জন্য। . . ∑ k = 1 ∞ b 1। সুমিকে অতিরিক্ত সূত্র S n = b 1 · n , আন্তঃ-অসীম লিম n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ থেকে জানা যায়। এই বৈকল্পিক মধ্যে, সারি diverge.

ইয়াকশো q = - 1সারিটি দেখতে b 1 - b 1 + b 1 - এর মতো। . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 । প্রায়শই যোগবিহীন যোগফল S n = b 1 এর মত দেখায় n, i S n = 0 ছেলেদের জন্য n. এই ভিপাডোকের দিকে তাকিয়ে, আমাদের পুনর্বিবেচনা করা হয়েছে যে কোনও ফাঁক এবং অনেকগুলি পার্থক্য নেই।

q > 1 এর জন্য, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Mi এনেছে, scho নম্বর সিরিজ বিচ্ছিন্ন করতে।

1. সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k s একত্রিত হয় যাতে s > 1এবং অপসারণ করুন, যাতে ≤ 1 হয়।

জন্য s = 1আমরা ∑ k = 1 ∞ 1 k নিই , সিরিজটি ভিন্ন হয়।

এস জন্য< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,স্বাভাবিক সংখ্যা. Oskіlki সারি є razbіzhnym ∑ k = 1 ∞ 1 k , তারপর কোন পার্থক্য নেই। এটি ছাড়াও, ক্রম ∑ k = 1 ∞ 1 k s সীমাহীন। রবিমো উইসনোভোক s< 1 .

এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন যে সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k s একত্রিত হয় যখন s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 কল্পনা করুন:

S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +। . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +। . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s +। . . + 1(2n - 1)s

অনুমান করুন যে 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

স্বাভাবিক এবং সমান n = 2 সংখ্যাগুলির জন্য প্রতিনিধিত্বযোগ্য সমতা: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

আমরা নেবো:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +। . . + 1 7 s + 1 8 s +। . . + 1 15 সেকেন্ড +। . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +। . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

ভিরাজ 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +। . . - জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল q = 1 2 s - 1। এ vihіdnimi dannym সঙ্গে Zgіdno s > 1, তারপর 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zbіlshuєtsya এবং জন্তু 11-12s-1 এর সাথে মিশেছে। স্পষ্টতই, є এবং একটি সারির মধ্যে є ∑ k = 1 ∞ 1 k s।

নিয়োগ 8

সিরিজ ∑ k = 1 ∞ a k সেই লোকটির জন্য ইতিবাচক, যাতে শব্দটি > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k চিহ্ন টানা হয়যেন সংখ্যার চিহ্ন vіdrіznyayutsya। উপস্থাপনার ডেনিশ প্রয়োগ ইয়াক ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (-1) k ak বা ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 ak , de ak > 0 , k = 1, 2,। . . .

সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k পরিচিত, যে সংখ্যার একটি নতুন সংখ্যা, ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক.

অন্য বিকল্পটি একটি সারি - তৃতীয় বিকল্পের শেষ লাইন।

আসুন এটি ত্বক প্রত্যাহার করার জন্য রাখি:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

তৃতীয় বিকল্পের জন্য, পরম মানসিক আরাম মনোনীত করাও সম্ভব।

নিয়োগ 9

অল্টারনেটিং সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k সেই ক্ষেত্রে একেবারেই ব্যর্থ হয়, যদি ∑ k = 1 ∞ b k কেও অনুরূপ বিবেচনা করা হয়।

প্রতিবেদনে, আমরা বৈশিষ্ট্যগত বিকল্পগুলির স্প্র্যাট বিশ্লেষণ করি

বাট 2

ইয়াকশো সারি 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +। . . i 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +। . . অনুরূপ প্রদর্শিত হবে, তারপর সঠিকভাবে লিখুন যে 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +। . .

নিয়োগ 10

পরিচিত সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k কে মানসিকভাবে তার সাথে একই বলে মনে করা হয়, যেহেতু ∑ k = 1 ∞ b k ভিন্ন, এবং সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k একই রকম বলে মনে করা হয়।

বাট 3

আমরা ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + বিকল্পের বিষয়ে রিপোর্ট করি। . . . সিরিজ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , যা পরম মান নিয়ে গঠিত, একটি বৈকল্পিক হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। এই বিকল্পটি যাওয়া গুরুত্বপূর্ণ, তাই এটি বের করা সহজ। প্রথম উদাহরণ থেকে, আমরা জানি যে সিরিজটি ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 +। . . bude vvazhatisya মানসিকভাবে অনুরূপ.

একত্রিত হওয়া সারিগুলির বৈশিষ্ট্য

আসুন গান গাওয়ার ক্ষমতা বিশ্লেষণ করা যাক

1. যদি ∑ k = 1 ∞ a k একত্রিত হয়, তাহলে তম ধারা ∑ k = m + 1 ∞ a kও স্বীকৃত হয় যে এটি একত্রিত হয়। আপনি কোন সারি ছাড়া নির্দিষ্ট করতে পারেন মিসদস্যদের অনুরূপ বিবেচনা করা হয়. vipadku-এ, যদি আমরা ∑ k = m + 1 ∞ a kіlka সংখ্যার সাথে যোগ করি, তাহলে ফলাফল, যা viishov, একই রকম হবে।
2. কিভাবে ∑ k = 1 ∞ a k converge i sum = এস, তারপর i সিরিজ ∑ k = 1 ∞ A a k , ∑ k = 1 ∞ A a k = A S , de একত্রিত করুন ক- থাকা.
3. কিভাবে ∑ k = 1 ∞ a k এবং ∑ k = 1 ∞ b k є অনুরূপ, সুমি কі খ tezh, ঐ সারি ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b kও একত্রিত হয়। সুমি ডোরিভন্যুভাটিমুত A+Bі ক-বিস্পষ্টতই

কোন সিরিজ বন্ধ হবে তা নির্ধারণ করুন ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3।

আসুন ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 পরিবর্তন করি। সারি ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 অনুরূপ হিসাবে বিবেচিত হয়, কিন্তু সারি ∑ k = 1 ∞ 1 k s বন্ধ হয় s > 1. অন্যান্য শক্তির উপর নির্ভর করে, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3।

বাট 5

সিরিজ ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 একত্রিত হোক।

বিপরীতমুখী cob বৈকল্পিক ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞।

আমরা যোগফল ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 এবং ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 বিয়োগ করি। চামড়া সিরিজ যেমন এটি কর্তৃত্ব অবতরণ করা সম্ভব হিসাবে স্বীকৃত হয়. সারির শার্ডগুলি একত্রিত হয়, তারপরে প্রস্থান বিকল্পটি একই।

বাট 6

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + সিরিজটি কীভাবে একত্রিত হয় তা গণনা করুন। . . এবং পরিমাণ গণনা করুন।

প্রস্থান বিকল্প:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +। . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +। . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +। . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

চামড়ার সিরিজ একত্রিত হয়, শার্ডগুলি সংখ্যাসূচক ক্রমগুলির অন্যতম সদস্য। তৃতীয় আধিপত্যের Vіdpovіdno, আমরা গণনা করতে পারি, scho vihіdny বৈকল্পিকও একই রকম। যোগফল গণনা করা হয়: সিরিজের প্রথম পদটি হল ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, এবং মান = 0। 5 , তারপর অনুসরণ করে, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0। 5 = 2. প্রথম পদ ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , এবং অবরোহী সংখ্যাসূচক অনুক্রমের চিহ্ন = 1 3। আমরা নিই: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2।

Vikoristovuєmo virazi, otrimani আরো, যোগফল 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + গণনা করার জন্য। . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

নিয়োগের জন্য প্রয়োজনীয় বুদ্ধিমত্তা, chi є অনুরূপ একটি সংখ্যা

যদি সিরিজ ∑ k = 1 ∞ ak є অনুরূপ হয়, তাহলে k-thপদ = 0: লিম k → + ∞ a k = 0।

আমরা যদি এটি বিশ্বাস করি, এটি একটি বৈকল্পিকই হোক না কেন, অ-প্রমাণিক মনের কথা ভুলে যাওয়া উচিত নয়। এটি জিততে না পারলে, সারিটি ছড়িয়ে পড়বে। lim k → + ∞ a k ≠ 0 এর মতো, সিরিজটি ভিন্ন।

এরপরে, মন কী গুরুত্বপূর্ণ তা নির্দিষ্ট করুন, তবে এটি যথেষ্ট নয়। যেহেতু সমতা lim k → + ∞ a k = 0 জিতেছে, তাই এটা গ্যারান্টি দেয় না যে ∑ k = 1 ∞ a k অনুরূপ।

একটা উদাহরণ দেওয়া যাক। হারমোনিক সিরিজের জন্য ∑ k = 1 ∞ 1 k, Umoff vikonuetsya lim k → + ∞ 1 k = 0 , কিন্তু সিরিজটি এখনও ভিন্ন।

বাট 7

দক্ষতা গণনা করুন ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n।

আসুন lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ n → পুনর্বিবেচনা করি ≠ 0

মেঝা nমসদস্য ভাল না 0. Mi আনা, scho tsey সারি ছড়িয়ে দিতে.

কিভাবে zbіzhnіst সাইন-পজিটিভ সিরিজ মনোনীত করা যায়।

কিভাবে ক্রমাগত সীমানা গণনা করতে সক্ষম হতে, বরাদ্দকৃত চিহ্নগুলির সাথে ক্রমাগত র‌্যাঙ্ক করা যায়। Tsej razdіl যোগ করা সাহায্য দূরে ভাঁজ pіd ঘন্টা vypіshennya priklіv যে zavdan। zbіzhnіst সাইন-পজিটিভ সারি মনোনীত করতে, іsnuє pevna umova।

একটি ইতিবাচক চিহ্নের জন্য ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . যোগফলের পরিমাণ গণনা করা প্রয়োজন।

ইয়াক পরীভন্যুবতী পদে

Іsnuє kіlka হল সারি সারিবদ্ধকরণের একটি চিহ্ন। Mi porіvnyuєmo সারি, zbіzhnіst kakogo proponuetsya vznáchiti, іz টিম কাছাকাছি, zbіzhnіst ইয়াক vіdoma।

পারশা সাইন

∑ k = 1 ∞ a k এবং ∑ k = 1 ∞ b k - ধনাত্মক চিহ্ন সিরিজ। অসমতা a k ≤ b k এর জন্য বৈধ k = 1, 2, 3, ...∑ k = 1 ∞ b k সিরিজে আমরা ∑ k = 1 ∞ a k নিতে পারি। Oskіlki ∑ k = 1 ∞ a k ডাইভারজ, সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k একটি ডাইভারজেন্স হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।

এই নিয়মটি ক্রমাগত সমতার পরিপূর্ণতার জন্য প্রমাণিত হয় এবং এটি একটি গুরুতর যুক্তি যা আপনাকে zbіzhnist বোঝাতে সাহায্য করবে। Skladnoshchi সত্য যে আপনি porivnyannya জন্য একটি গুঁতা নিতে হবে আপনি চামড়া বিষণ্নতা থেকে দূরে জানতে পারেন মিথ্যা বলতে পারেন। প্রায়শই শেষ করতে নীতি অনুসারে একটি সংখ্যা নির্বাচন করা হয় k-th vіdnіmannya pokaznіvіv stаіnіv stаіv nіdnik і znamennik ফলাফলের জন্য dorіvnyuvatime এর সদস্য k-thসদস্য কম। এটা গ্রহণযোগ্য যে a k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5 2 – 3 = - 1 . এই ক্ষেত্রে, আপনি সারিবদ্ধকরণের জন্য কোন সারিটি প্রয়োজনীয় তা নির্ধারণ করতে পারেন k-imসদস্য b k = k - 1 = 1 k, যা সুরেলা।

উপাদান বন্ধ করার জন্য, আসুন বিস্তারিতভাবে কয়েকটি সাধারণ বিকল্পের দিকে নজর দেওয়া যাক।

বাট 8

উল্লেখযোগ্যভাবে, ইয়াকিম হল সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2।

= 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 এর মধ্যে শার্ড অমসৃণতা ফর্সা হবে 1 কে< 1 k - 1 2 для k, yakі є প্রাকৃতিক। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে, আমরা স্বীকৃত যে হারমোনিক সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k ভিন্ন। প্রথম চিহ্নের সাথে, এটি আলোতে আনা যেতে পারে যে চূড়ান্ত বিকল্পটি rozbіzhnym।

বাট 9

উল্লেখযোগ্যভাবে, chi є একটি সারি অনুরূপ বা ভিন্ন ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 ।

যে বাটের জন্য বুদ্ধিমত্তার প্রয়োজন, শার্ডস lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 । অমসৃণতা দেখে পরিবেশন করুন 1 কে 3 + 3 কে - 1< 1 k 3 для любого значения k. সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 অনুরূপ, কিন্তু হারমোনিক সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k s যখন একত্রিত হয় s > 1. প্রথম সাইন সঙ্গে Zgidno, আমরা visnovok তৈরি করতে পারেন, যে সংখ্যা সিরিজ অনুরূপ.

বাট 10

Vznachiti, yakim є সিরিজ ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k)। lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0।

যার জন্য সব অপশনই বলা যেতে পারে বিকোনান্ন্য মন। উল্লেখযোগ্যভাবে পার্থক্য একটি সংখ্যা. উদাহরণস্বরূপ, ∑ k = 1 ∞ 1 k s। পা কেন ভাল তা নির্ধারণ করার জন্য, আমরা ক্রম (ln (ln k)), k = 3, 4, 5 দেখতে পারি। . . সিকোয়েন্স সদস্য ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),। . . zbіshuєtsya অনন্ত থেকে। সমতা বিশ্লেষণ করে, এটি উপসংহারে পৌঁছানো যেতে পারে যে, N = 1619 মানের ভূমিকা গ্রহণ করে, তারপর ক্রম > 2 এর শর্তাবলী। এই ক্রমটির জন্য, অসমতা 1 k ln (ln k) বৈধ হবে< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

আরেকটি ব্যাজ

অনুমান করুন যে ∑ k = 1 ∞ a k এবং ∑ k = 1 ∞ b k হল ধনাত্মক চিহ্ন সংখ্যাসূচক সিরিজ।

যদি lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ হয়, তাহলে সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k কনভার্জ, i ∑ k = 1 ∞ a k কনভারজও।

যদি lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , যদি সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k বিবর্তিত হয়, তাহলে ∑ k = 1 ∞ akও বিচ্যুত হয়।

যদি lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 হয়, তাহলে সিরিজের স্কেলিং এর মাপযোগ্যতা মানে অন্যটির স্কেলিং এর স্কেলিং।

অন্যান্য চিহ্নের জন্য ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 দেখে নেওয়া যাক। প্রান্তিককরণের জন্য ∑ k = 1 ∞ b k সিরিজটি নিন ∑ k = 1 ∞ 1 k 3। এর মধ্যে উল্লেখযোগ্যভাবে: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

অন্য একটি চিহ্ন দিয়ে, কেউ নির্দেশ করতে পারে যে সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, যা একত্রিত হয়, এর মানে হল যে cob রূপটিও একত্রিত হয়।

বাট 11

উল্লেখযোগ্যভাবে, ইয়াকিম হল সিরিজ ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5।

আসুন প্রয়োজনীয় মন lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 বিশ্লেষণ করি, যেমন এই রূপটিতে এটি বিজয়ী। আরেকটি চিহ্নের অনুরূপ, সিরিজটি ∑ k = 1 ∞ 1 k ধরুন। এর মধ্যে Shukaєmo: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →

পথনির্দেশক থিসিস সহ Zgіdno, একটি সারি যা বিচ্ছিন্ন হয়, প্রস্থানের সারিতে নিজেকে আলাদা করে।

তৃতীয় চিহ্ন

আসুন বিরতির তৃতীয় চিহ্নটি দেখি।

অনুমান করুন যে ∑ k = 1 ∞ a k এবং _ ∑ k = 1 ∞ b k হল ধনাত্মক চিহ্ন সংখ্যাসূচক সিরিজ। যদি আমরা a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k সংখ্যাটি চিন্তা করি, তাহলে এই সিরিজের দক্ষতা ∑ k = 1 ∞ b k মানে ∑ k = 1 ∞ ak সিরিজটিও একই রকম। Razbіzhny সারি ∑ k = 1 ∞ a k তার পিছনে টেনে আনুন razbіzhnіst ∑ k = 1 ∞ b k।

ডি'আলেমবার্টের চিহ্ন

অনুমান করুন যে ∑ k = 1 ∞ a k একটি ধনাত্মক-চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ। কিভাবে lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 তাহলে এর এটি ভেঙে দেওয়া যাক।

সম্মান ঘ

ডি'আলেমবার্টের চিহ্নটি সেই মনোভাবের জন্য ন্যায্য, কারণ সীমানা সংকীর্ণ নয়।

যদি lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , তাহলে সিরিজ є অনুরূপ, যদি lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞, তাহলে আমরা ভাগ করি।

যদি lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 হয়, তাহলে d'Alembert চিহ্নটি সহায়ক নয় এবং এটি আরও গবেষণা চালাতে হবে।

বাট 12

লক্ষণীয়ভাবে, ডি'আলেমবার্ট চিহ্নের পিছনে chi є একটি সারি অনুরূপ বা ভিন্ন ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k।

পুনর্বিবেচনা করা দরকার, মন জয় করার জন্য কী দরকার। লোপিটাল নিয়ম ব্যবহার করে দূরত্ব গণনা করা যাক: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ লগ 2 = 0

আমরা কি মন জয় সম্পর্কে কথা বলতে পারেন. d'Alembert চিহ্ন ব্যবহার করে: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

সারি є অনুরূপ।

বাট 13

উল্লেখযোগ্যভাবে, chi є একটি সারি নির্বিচারে ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

সিরিজের পার্থক্য দেখাতে আমরা ডি'আলেমবার্ট চিহ্ন ব্যবহার করি: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 কেকে = ই > 1

Otzhe, একটি সংখ্যা є razbіzhnim।

কোশের আমূল চিহ্ন

এটা সম্ভব যে ∑ k = 1 ∞ a k একটি অ-ধনাত্মক সিরিজ। কিভাবে lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 তাহলে এর এটি ভেঙে দেওয়া যাক।

সম্মান 2

যদি lim k → + ∞ ak k k = 1 হয়, তাহলে এই চিহ্নটি কোনো তথ্য দেয় না - অতিরিক্ত বিশ্লেষণের প্রয়োজন।

Tsya সাইন বাট মধ্যে buti vikoristan হতে পারে, yakі সহজে vyznachiti। Vipadok শুধুমাত্র সংখ্যাসূচক সিরিজের সদস্য হলেই চরিত্রগত হবে - tse রাজকীয় ভিরাজ দেখাচ্ছে।

অট্রিম্যান তথ্য বন্ধ করতে, আসুন চরিত্রগত উদাহরণগুলির একটি নমুনা দেখি।

বাট 14

লক্ষণীয়ভাবে, chi হল একটি ধনাত্মক সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k অনুরূপ।

ভিকোনানের দ্বারা সম্মানিত হতে একটি মন লাগে, শার্ডস লিম k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 ।

চিহ্নের দিকে তাকিয়ে, চোখের মাধ্যমে তাকালে, আমরা অনুমান করতে পারি lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

বাট 15

চি অনুরূপ সংখ্যা সিরিজ ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2।

ভিকোরিস্টের চিহ্ন, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বর্ণিত লিম k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

কোশির অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন

অনুমান করুন যে ∑ k = 1 ∞ ak є একটি ধনাত্মক চিহ্ন সিরিজ। এটি একটি অ-স্থায়ী যুক্তির ফাংশন মনোনীত করা প্রয়োজন y = f(x), একটি n = f (n) কি চলছে। ইয়াকশো y = f(x)শূন্যের চেয়ে বড়, ভাঙবেন না এবং [ক'-এ পরিবর্তন করবেন না; + ∞), যেখানে একটি ≥ 1

অর্থাৎ, যদি অসামঞ্জস্যপূর্ণ অবিচ্ছেদ্য ∫ a + ∞ f (x) d x є একই রকম হয়, তাহলে বিশ্লেষণের সিরিজও একত্রিত হয়। যদি ওয়াইনগুলি আলাদা করা হয়, তবে বাটে সেগুলির একটি সংখ্যাও আলাদা করা হয়।

পরিবর্তিত ফাংশনটি বিপরীত করার সময়, আপনি পূর্ববর্তী পাঠে পর্যালোচনা করা উপাদান পর্যালোচনা করতে পারেন।

বাট 16

সম্ভাব্যতার জন্য স্টক ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k দেখুন।

একটি সারিতে মননশীলতাকে ভিকোনান দ্বারা সম্মান করা হয়, lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 স্কেলিং করে। y = 1 x ln x দেখি। জয় শূন্যের চেয়ে বড়, বাধা দেয় না এবং [2] তে পরিবর্তন করে; +∞)। প্রথম দুটি অনুচ্ছেদ পূর্ব-নির্ধারিত এবং তৃতীয় পরেরটিতে একটি প্রতিবেদন রয়েছে। আমরা আরও ভাল জানি: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2। [ 2 ; এ শূন্যের জন্য কম জিতেছি। + ∞) যে ফাংশনটি ক্ষয় হচ্ছে তাদের সম্পর্কে থিসিস আনার প্রয়োজন নেই।

ঠিক আছে, ফাংশন y = 1 x · ln x নীতির লক্ষণ দেখায় যা আমরা আরও দেখেছি। গতি বাড়ান: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

otrimanih ফলাফল না হওয়া পর্যন্ত Vіdpovіdno, vyhіdny বাট ডাইভারজ, অস্বস্তিকর ইন্টিগ্রেশন এর shards є razbіzhnym।

বাট 17

সিরিজটি প্রসারিত করুন ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3।

Oskіlki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, তাহলে Umov ভিকোনানা দ্বারা সম্মানিত হয়।

k = 4 থেকে শুরু করে, virniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

যদি সিরিজ ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 অনুরূপ বিবেচিত হয়, তাহলে, প্রান্তিককরণের নীতিগুলির একটি অনুসারে, সিরিজটি ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3ও একই রকম হতে পারে। এই র‍্যাঙ্কে, আমরা বোঝাতে পারি যে বর্তমান ভিরাজও একই রকম।

∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 প্রমাণ করতে এগিয়ে যান।

স্কেল ফাংশন y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 শূন্যের চেয়ে বড়, ভাঙবেন না এবং [ 4 ; +∞)। সামনের অনুচ্ছেদে বর্ণিত ভিকোরিস্টোভ্যুমো সাইন:

∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 লিম A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 লিম A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2

একটি ছোট সিরিজে, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , আমরা দেখতে পারি যে ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) ) )) 3 এছাড়াও একত্রিত হয়।

ওজনাকা রাবে

এটা সম্ভব যে ∑ k = 1 ∞ a k একটি ধনাত্মক চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ।

Yakscho lim k → + ∞ k ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, তারপর একত্রিত করুন।

সেক্ষেত্রে ডেনিশের পদবী পদ্ধতি বিজয়ী হতে পারে, কারণ বর্ণিত কৌশলটি দৃশ্যমান ফলাফল দেয় না।

পরম zbіzhnіst উপর Doslіdzhennya

বাকি জন্য, আমরা ∑ k = 1 ∞ b k নিই। ভিকোরিস্টের ধনাত্মক চিহ্ন ∑ k = 1 ∞ b k। আমরা vikoristovuvat be-yak z vіdpovіdnyh সাইন করতে পারি, yakі আমরা আরও বর্ণনা করেছি। যদি সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k একত্রিত হয়, তাহলে মূল সিরিজটি একেবারে একই রকম।

বাট 18

সিরিজটি চালিয়ে যান ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 বাম দিকে ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2k-1.

Umovu vikonuetsya lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 । Vikoristovo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i অন্য একটি চিহ্নের সাথে গতি বাড়ায়: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 ।

সিরিজ ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 কনভারজ। বাইরের সারিটিও একেবারে একই রকম।

Razbіzhnіst znazmіnіh ryadі

ঠিক যেমন ধারা ∑ k = 1 ∞ b k ভিন্ন, তারপর একই পরিচিত সাইন সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k হয় ভিন্ন বা মানসিকভাবে একই রকম।

ডি'আলেমবার্টের চিহ্ন এবং র্যাডিক্যাল কচির চিহ্নের পরিবর্তে, মডিউল ∑ k = 1 ∞ b k সম্প্রসারণের জন্য ∑ k = 1 ∞ b k সম্পর্কে vysnovki সম্পূরক করা সম্ভব। সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k এছাড়াও ভিন্ন হয়ে যায়, যাতে প্রয়োজনীয় মানসিক সম্ভাব্যতা জয় না হয়, যাতে lim k → ∞ + b k ≠ 0 ।

বাট 19

বিপরীত পরিবর্তনশীলতা 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

মডিউল k-thপ্রতিনিধিত্বের সদস্য ak b k = k! 7 কে.

সিরিজটি চালিয়ে যান ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! d'Alembert চিহ্নের বাইরে প্রান্তে 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k disperse like i, like i exit অপশন।

বাট 20

Chi є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) অনুরূপ।

আসুন প্রয়োজনীয় উমভের তত্ত্বটি দেখে নেওয়া যাক lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ । Umov একটি Vikonan নয়, তাই ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) সম্প্রসারণের একটি সিরিজ। লোপিটাল নিয়ম অনুসারে বুলার সীমানা গণনা করা হয়েছিল।

মানসিক স্বাস্থ্যের লক্ষণ

লিবনিজ সাইন

সিরিজের সদস্যদের আকার হিসাবে, যা আঁকা হয়েছে, পরিবর্তন করুন b 1 > b 2 > b 3 >। . . > . . і ইন্টার মডিউল = 0 হিসাবে k → + ∞ , তারপর সিরিজ ∑ k = 1 ∞ b k চলে।

বাট 17

সুযোগের জন্য ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) দেখুন।

উপস্থাপনার একটি সিরিজ ইয়াক ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1)। উমোভা লিম k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 এর জন্য প্রয়োজন। আসুন ∑ k = 1 ∞ 1 k এর পিছনে আরেকটি সমতা চিহ্ন lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 দেখি 5

এটা সম্ভব যে ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) বিচ্ছিন্ন। সিরিজ ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) লিবনিজ চিহ্নের পরে একত্রিত হয়: ক্রম 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . পরিবর্তন i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0।

মানসিকভাবে একত্রিত একটি সংখ্যা.

অ্যাবেল-ডিরিচলেটের চিহ্ন

∑ k = 1 + ∞ u k · v k সেই সময়ে বন্ধ হয়ে যায়, কারণ ( u k ) বাড়ছে না, এবং ক্রম ∑ k = 1 + ∞ v k সীমাবদ্ধ।

বাট 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + চালিয়ে যান। . . সুবিধার জন্য.

দৃশ্যমান

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +। . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de(u k) = 1, 1 2, 1 3,। . . - অস্থির, এবং ক্রম (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,। . . fringed (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,। . . . একত্রিত একটি সংখ্যা.

আপনি কিভাবে টেক্সটে ক্ষমা মনে রেখেছেন, সদয় হন, এটি দেখুন এবং Ctrl + এন্টার চাপুন