Нехай тепер відома функція. На рис. 5.10
і
 вектори швидкості точки, що рухається в моменти tта  t. Щоб отримати приріст вектора швидкості
перенесемо паралельно вектор
в ціль М:

Середнім прискоренням крапки за проміжок часу  t називається відношення збільшення вектора швидкості
до проміжку часу t:

Отже, прискорення точки в даний моментчасу дорівнює першій похідній за часом від вектора швидкості точки або другої похідної радіус-вектора за часом

. (5.11)

Прискорення точки це векторна величина, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості часу.

Побудуємо годограф швидкості (рис.5.11). p align="justify"> Годографом швидкості за визначенням є крива, яку викреслює кінець вектора швидкості при русі точки, якщо вектор швидкості відкладається з однієї і тієї ж точки.

Визначення швидкості точки при координатному способі завдання її руху

Нехай рух точки заданий координатним способом у декартовій системі координат

х = x(t), y = y(t), z = z(t)

Радіус-вектор точки дорівнює

.

Так як поодинокі вектори
постійні, то за визначенням

. (5.12)

Позначимо проекції вектора швидкості на осі Ох, Оуі Ozчерез V x , V y , V z

(5.13)

Порівнюючи рівності (5.12) та (5.13) отримаємо

(5.14)

Надалі похідну за часом позначатимемо точкою зверху, тобто.

.

Модуль швидкості точки визначається формулою

. (5.15)

Напрямок вектора швидкості визначається напрямними косинусами:

Визначення прискорення точки при координатному способі завдання її руху

Вектор швидкості в декартовій системі координат дорівнює

.

За визначенням

Позначимо проекції вектора прискорення на осі Ох, Оуі Ozчерез а x , а y , а zвідповідно і розкладемо вектор швидкості по осях:

. (5.17)

Порівнюючи рівності (5.16) та (5.17) отримаємо

Модуль вектора прискорення точки обчислюється аналогічно до модуля вектора швидкості точки:

, (5.19)

а напрям вектора прискорення - напрямними косинусами:

Визначення швидкості та прискорення точки при природному способі завдання її руху

Орти і лежать у площині, що стикається, орти і в нормальної площини, орти і  в спрямовуючою площиною.

Отриманий тригранник називається природним.

Нехай заданий закон руху точки s = s(t).

Радіус вектор крапки Мщодо якоїсь фіксованої точки буде складною функцією часу
.

З диференціальної геометрії відомі формули Серре-Френе, що встановлюють зв'язки між одиничними векторами природних осей та вектор-функцією кривої

де   радіус кривизни траєкторії.

Використовуючи визначення швидкості та формули СерреФрене, отримаємо:

. (5.20)

Позначаючи проекцію швидкості на дотичну та враховуючи, що вектор швидкості спрямований по дотичній, маємо

. (5.21)

Порівнюючи рівності (5.20) і (5.21), отримаємо формули для визначення вектора швидкості за величиною та напрямом

Величина позитивна, якщо точка Мрухається у позитивному напрямку відліку дуги sі негативна у протилежному випадку.

Використовуючи визначення прискорення та формули СерреФрене, отримаємо:

Позначимо проекцію прискорення точки на дотичну , головну нормаль та бінормаль
відповідно.

Тоді прискорення одно

З формул (5.23) і (5.24) випливає, що вектор прискорення завжди лежить у площині, що стикається, і розкладається за напрямками і :

(5.25)

Проекція прискорення на дотичну
називається дотичнимабо тангенціальним прискоренням. Воно характеризує зміну величини швидкості.

Проекція прискорення на головну нормаль
називається нормальним прискоренням. Воно характеризує зміну вектора швидкості за напрямом.

Модуль вектора прискорення дорівнює
.

Якщо і одного знака, рух точки буде прискореним.

Якщо і різних знаків, то рух точки буде сповільненим.

Швидкістю точки називається вектор, що визначає кожен момент часу швидкість і напрямок руху точки.

Швидкість рівномірного руху визначається ставленням шляху, пройденого крапкою за деякий проміжок часу, до величини цього проміжку часу.

Швидкість; S-шлях; t-час.

Вимірюється швидкість одиницях довжини, поділених на одиницю часу: м/с; см/с; км/год і т.д.

У разі прямолінійного руху вектор швидкості спрямований уздовж траєкторії у бік її руху.

Якщо точка за рівні проміжки часу проходить нерівні шляхи, цей рух називається нерівномірним. Швидкість є величиною змінної та є функцією часу.

Середньою за цей проміжок часу швидкістю точки називається швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, при якому точка за цей проміжок часу отримала б те саме переміщення, як і в її русі.

Розглянемо точку М, яка переміщається криволінійною траєкторією, заданою законом

За проміжок часу?t точка М переміститься в положення М 1 по дузі ММ 1 .Якщо проміжок часу?t малий, то дугу ММ 1 можна замінити хордою і в першому наближенні знайти середню швидкість руху точки

Ця швидкість спрямована по хорді від точки М до точки М1. Справжню швидкість знайдемо шляхом переходу до межі при t> 0

Коли?t> 0, напрямок хорди в межі збігається з напрямом дотичної до траєкторії в точці М.

Таким чином, величина швидкості точки визначається як межа відношення збільшення шляху до відповідного проміжку часу при прагненні останнього до нуля. Напрямок швидкості збігається з дотичної до траєкторії у цій точці.

Прискорення точки

Зазначимо, що у випадку, під час руху криволінійної траєкторії швидкість точки змінюється і за напрямом і за величиною. Зміна швидкості за одиницю часу визначається прискоренням. Іншими словами, прискоренням точки називається величина, що характеризує швидкість зміни швидкості у часі. Якщо за інтервал часу?t швидкість змінюється на величину, то середнє прискорення

Справжнім прискоренням точки на даний момент часу t називається величина, якої прагне середнє прискорення при?t> 0, тобто

При відрізку часу вектор прискорення, що прагне до нуля, змінюватиметься і за величиною і за напрямом, прагнучи до своєї межі.

Розмір прискорення

Прискорення може виражатися м/с 2 ; см/с 2 і т.д.

У випадку, коли рух точки задано природним способом, вектор прискорення зазвичай розкладають на дві складові, спрямовані по дотичній і нормалі до траєкторії точки.

Тоді прискорення точки в момент t можна уявити так

Позначимо складові межі через в.

Напрямок вектора не залежить від величини проміжку часу.

Це прискорення завжди збігається з напрямом швидкості, тобто, спрямоване по дотичній траєкторії руху точки і тому називається дотичним або тангенціальним прискоренням.

Друга складова прискорення точки спрямована перпендикулярно до дотичної до траєкторії в даній точці у бік увігнутості кривої і впливає на зміну напрямку вектора швидкості. Ця складова прискорення зветься нормального прискорення.

Оскільки чисельне значення вектора дорівнює збільшенню швидкості точки за проміжок, що розглядається?t часу, то чисельне значення щодо прискорення

Чисельне значення щодо прискорення точки дорівнює похідної за часом від чисельної величини швидкості. Чисельне значення нормального прискорення точки дорівнює квадрату швидкості точки, поділеному на радіус кривизни траєкторії у відповідній точці кривої

Повне прискорення при нерівномірному криволінійному русі точки складається геометрично з дотичного та нормального прискорень.

Наприклад, автомобіль, який рушає з місця, рухається прискорено, оскільки збільшує швидкість руху. У точці початку руху швидкість автомобіля дорівнює нулю. Розпочавши рух, автомобіль розганяється до деякої швидкості. При необхідності загальмувати автомобіль не зможе зупинитися миттєво, а за якийсь час. Тобто швидкість автомобіля буде прагнути до нуля – автомобіль почне рухатись уповільнено доти, доки не зупиниться повністю. Але фізика немає терміна «уповільнення». Якщо тіло рухається, зменшуючи швидкість, цей процес також називається прискоренням, але зі знаком "-".

Середнім прискореннямназивається відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Обчислюють середнє прискорення за допомогою формули:

де це . Напрямок вектора прискорення такий самий, як у напрямку зміни швидкості Δ = - 0

де 0 є початковою швидкістю. У момент часу t 1(див. Мал. Нижче) у тіла 0 . У момент часу t 2тіло має швидкість. З правила віднімання векторів, визначимо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Звідси обчислюємо прискорення:

.

У системі СІ одиницею прискоренняназивається 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті):

.

Метр на секунду в квадраті - це прискорення точки, що прямолінійно рухається, при якому за 1 зі швидкість цієї точки зростає на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає міру зміни швидкості тіла за 1 с. Наприклад, якщо прискорення становить 5 м/с 2 , отже, швидкість тіла щомиті зростає 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла ( матеріальної точки) Зараз часу - це фізична величина , яка дорівнює межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до 0. Іншими словами - це прискорення, що розвивається тілом за дуже короткий період:

.

Прискорення має такий самий напрямок, як і зміна швидкості Δ в украй маленьких проміжках часу, за які швидкість змінюється. Вектор прискорення можна встановити за допомогою проекцій на відповідні осі координат у заданій системі відліку (проекціями а Х, a Y , a Z).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає по модулю, тобто. v 2 > v 1 , а вектор прискорення має такий самий напрямок, як і вектор швидкості 2 .

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем уповільнення руху(прискорення негативне, а< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Якщо відбувається рух криволінійною траєкторією, то змінюється модуль і напрямок швидкості. Значить вектор прискорення зображують у вигляді 2х складових.

Тангенційним (дотичним) прискореннямназивають ту складову вектора прискорення, яка спрямована по дотичній траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення визначає ступінь зміни швидкості за модулем під час здійснення криволінійного руху.

У вектора тангенціального прискорення τ (див. рис. вище) напрям такий, як і в лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто. вектор тангенціального прискорення знаходиться в одній осі з дотичного кола, що є траєкторією руху тіла.

Нехай тепер відома функція. На рис. 5.10
і
 вектори швидкості точки, що рухається в моменти tта  t. Щоб отримати приріст вектора швидкості
перенесемо паралельно вектор
в ціль М:

Середнім прискоренням крапки за проміжок часу  t називається відношення збільшення вектора швидкості
до проміжку часу t:

Отже, прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній за часом від вектора швидкості точки або другої похідної радіус-вектора за часом

. (5.11)

Прискорення точки це векторна величина, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості часу.

Побудуємо годограф швидкості (рис.5.11). p align="justify"> Годографом швидкості за визначенням є крива, яку викреслює кінець вектора швидкості при русі точки, якщо вектор швидкості відкладається з однієї і тієї ж точки.

Визначення швидкості точки при координатному способі завдання її руху

Нехай рух точки заданий координатним способом у декартовій системі координат

х = x(t), y = y(t), z = z(t)

Радіус-вектор точки дорівнює

.

Так як поодинокі вектори
постійні, то за визначенням

. (5.12)

Позначимо проекції вектора швидкості на осі Ох, Оуі Ozчерез V x , V y , V z

(5.13)

Порівнюючи рівності (5.12) та (5.13) отримаємо

(5.14)

Надалі похідну за часом позначатимемо точкою зверху, тобто.

.

Модуль швидкості точки визначається формулою

. (5.15)

Напрямок вектора швидкості визначається напрямними косинусами:

Визначення прискорення точки при координатному способі завдання її руху

Вектор швидкості в декартовій системі координат дорівнює

.

За визначенням

Позначимо проекції вектора прискорення на осі Ох, Оуі Ozчерез а x , а y , а zвідповідно і розкладемо вектор швидкості по осях:

. (5.17)

Порівнюючи рівності (5.16) та (5.17) отримаємо

Модуль вектора прискорення точки обчислюється аналогічно до модуля вектора швидкості точки:

, (5.19)

а напрям вектора прискорення - напрямними косинусами:

Визначення швидкості та прискорення точки при природному способі завдання її руху

Орти і лежать у площині, що стикається, орти і в нормальної площини, орти і  в спрямовуючою площиною.

Отриманий тригранник називається природним.

Нехай заданий закон руху точки s = s(t).

Радіус вектор крапки Мщодо якоїсь фіксованої точки буде складною функцією часу
.

З диференціальної геометрії відомі формули Серре-Френе, що встановлюють зв'язки між одиничними векторами природних осей та вектор-функцією кривої

де   радіус кривизни траєкторії.

Використовуючи визначення швидкості та формули СерреФрене, отримаємо:

. (5.20)

Позначаючи проекцію швидкості на дотичну та враховуючи, що вектор швидкості спрямований по дотичній, маємо

. (5.21)

Порівнюючи рівності (5.20) і (5.21), отримаємо формули для визначення вектора швидкості за величиною та напрямом

Величина позитивна, якщо точка Мрухається у позитивному напрямку відліку дуги sі негативна у протилежному випадку.

Використовуючи визначення прискорення та формули СерреФрене, отримаємо:

Позначимо проекцію прискорення точки на дотичну , головну нормаль та бінормаль
відповідно.

Тоді прискорення одно

З формул (5.23) і (5.24) випливає, що вектор прискорення завжди лежить у площині, що стикається, і розкладається за напрямками і :

(5.25)

Проекція прискорення на дотичну
називається дотичнимабо тангенціальним прискоренням. Воно характеризує зміну величини швидкості.

Проекція прискорення на головну нормаль
називається нормальним прискоренням. Воно характеризує зміну вектора швидкості за напрямом.

Модуль вектора прискорення дорівнює
.

Якщо і одного знака, рух точки буде прискореним.

Якщо і різних знаків, то рух точки буде сповільненим.

Розглянуто приклад розв'язання задачі зі складним рухом точки. Крапка рухається по прямій вздовж пластини. Пластина обертається довкола нерухомої осі. Визначається абсолютна швидкість та абсолютне прискорення точки.

Умова задачі

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі згідно із законом φ = 6 t 2 - 3 t 3. Позитивний напрямок відліку кута показано на малюнках дуговою стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить у площині пластини (пластина обертається у просторі).

По пластині вздовж прямої BD рухається точка M. Задано закон її відносного руху, тобто залежність s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s – у сантиметрах, t – у секундах). Відстань b = 20 см. На малюнку точка M показана у положенні, у якому s = AM > 0 (при s< 0 точка M знаходиться з іншого боку від точки A).

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки M у момент часу t 1 = 1 с.

Вказівки. Це завдання – на складний рух точки. Для її вирішення необхідно скористатися теоремами про складання швидкостей та складання прискорень (теорема Коріоліса). Перш ніж робити всі розрахунки, слід за умовами завдання визначити, де знаходиться точка M на пластині в момент часу t 1 = 1 с, і зобразити точку саме у цьому становищі (а чи не в довільному, показаному малюнку завдання).

Рішення задачі

Дано: b = 20 см, φ = 6 t 2 - 3 t 3, S = | AM | = 40(t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 c.

Визначення положення точки

Визначаємо положення точки на момент часу t = t 1 = 1 c.
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 · 1 3) - 40 = -80 см.
Оскільки s< 0 то точка M ближче до точки B, ніж до D.
|AM| = |-80 | = 80 див.
Робимо малюнок.

Відповідно до теореми про складання швидкостей абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей:
.

Визначення відносної швидкості точки

Визначаємо відносну швидкість. Для цього вважаємо, що пластина нерухома, а точка M робить заданий рух. Тобто точка M рухається прямою BD . Диференціюючи s за часом t, знаходимо проекцію швидкості на напрямок BD:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
см/с.
Оскільки , то вектор спрямований у протилежному напрямку BD . Тобто від точки M до точки B. Модуль відносної швидкості
v від = 200 см/с.

Визначення переносної швидкості точки

Визначаємо переносну швидкість. Для цього вважаємо, що точка M жорстко пов'язана із пластиною, а пластина здійснює заданий рух. Тобто пластина обертається навколо осі OO1. Диференціюючи φ за часом t знаходимо кутову швидкість обертання пластини:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
.
Оскільки вектор кутової швидкості спрямований у бік позитивного кута повороту φ , тобто від точки O до точки O 1 . Модуль кутової швидкості:
ω = 3 з -1.
Зображаємо вектор кутової швидкості пластини малюнку.

З точки M опустимо перпендикуляр HM на вісь OO1.
При переносному русі точка M рухається коло радіуса |HM| з центром у точці H .
|HM| = | HK | + | KM | = 3 b + | AM | sin 30° = 60 + 80 · 0,5 = 100 см;
Переносна швидкість:
v пер = ω | HM | = 3 · 100 = 300 см / с.

Вектор спрямований по відношенню до кола у бік обертання.

Визначення абсолютної швидкості точки

Визначаємо абсолютну швидкість . Абсолютна швидкістьточки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей:
.
Проводимо осі нерухомої системи координат Oxyz. Вісь z направимо вздовж осі обертання пластини. Нехай в даний момент часу вісь x перпендикулярна пластині, вісь y лежить в площині пластини. Тоді вектор відносної швидкості лежить у площині yz. Вектор переносної швидкості спрямований протилежно до осі x . Оскільки вектор перпендикулярний вектору, то за теоремою Піфагора, модуль абсолютної швидкості:
.

Визначення абсолютного прискорення точки

Відповідно до теореми про складання прискорень (теорема Коріоліса), абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі відносного, переносного та коріолісового прискорень:
,
де
- коріолісове прискорення.

Визначення відносного прискорення

Визначаємо відносне прискорення. Для цього вважаємо, що пластина нерухома, а точка M робить заданий рух. Тобто точка M рухається прямою BD . Двічі диференціюючи s за часом t, знаходимо проекцію прискорення на напрямок BD:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
см/с 2 .
Оскільки , то вектор спрямований у протилежному напрямку BD . Тобто від точки M до точки B. Модуль відносного прискорення
a від = 480 см/с 2.
Зображуємо вектор на малюнку.

Визначення переносного прискорення

Визначаємо переносне прискорення. При переносному русі точка M жорстко пов'язані з пластиною, тобто рухається коло радіуса |HM| з центром у точці H . Розкладемо переносне прискорення на дотичне до кола та нормальне прискорення:
.
Двічі диференціюючи φ за часом t знаходимо проекцію кутового прискорення пластини на вісь OO 1 :
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
з -2.
Оскільки вектор кутового прискорення спрямований у бік, протилежний позитивного кута повороту φ , тобто від точки O 1 до точки O. Модуль кутового прискорення:
ε = 6 з -2.
Зображаємо вектор кутового прискорення пластини малюнку.

Переносне дотичне прискорення:
a τ пер = ε | HM | = 6 · 100 = 600 см / с 2.
Вектор спрямований по відношенню до кола. Оскільки вектор кутового прискорення спрямований у бік, протилежний до позитивного кута повороту φ , то спрямований у бік, протилежний позитивному напрямку повороту φ . Тобто спрямований у бік осі x.

Переносне нормальне прискорення:
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 · 100 = 900 см/с 2.
Вектор спрямований до центру кола. Тобто у бік, протилежний осі y .

Визначення коріолісового прискорення

Коріолісове (поворотне) прискорення:
.
Вектор кутової швидкості спрямований уздовж осі z. Вектор відносної швидкості спрямований вздовж прямої | DB | . Кут між цими векторами дорівнює 150 °. За якістю векторного твору,
.
Напрямок вектора визначається за правилом свердла. Якщо ручку свердла повернути з положення в положення , то гвинт свердла переміститься в напрямку, протилежному осі x .

Визначення абсолютного прискорення

Абсолютне прискорення:
.
Спроектуємо це векторне рівняння на осі xyz системи координат.

;

;

.
Модуль абсолютного прискорення:

.

Абсолютна швидкість;
абсолютне прискорення.