Відносний та переносний рух точки. Складний рух точки

Складний рух точки

Про рух тіла судять з руху кожної його точки. Раніше ми розглядали рух точки в деякій системі координат, яка умовно бралася за нерухому. Однак на практиці доводиться вирішувати завдання, в яких відомо, як рухається точка щодо однієї системи координат і потрібно з'ясувати, як вона рухається щодо іншої системи координат, якщо відомо, як ці системи координат рухаються одна щодо одної. Щоб описувати рух точки, переходячи від однієї системи координат в іншу, необхідно встановити, як пов'язані між собою величини, що характеризують рух точки в цих системах. З цією метою одну систему координат приймають умовно за нерухому, а іншу за рухливу та вводять поняття абсолютного, відносного та переносного руху точки.

Абсолютний рух- Рух точки в нерухомій системі координат.

Відносний рух- Рух точки в рухомий системі координат.

Переносний рух- Рух рухомого простору щодо нерухомого.

Завдання, в яких задано переносний рух і потрібно знайти абсолютний рух, називаються завданнями складання рухів.

У ряді випадків доводиться вирішувати обернену задачу.

Раціональним вибором рухомий системи координат – часто вдається складний абсолютний рух точки звести до двох простих: відносного та переносного. Такі завдання називаються завданнями на розкладання рухів.

нерухомій системікоординат називають абсолютною швидкістюі абсолютним прискоренням.

Швидкість та прискорення точки по відношенню до рухомий системікоординат називають відносною швидкістюі відносним прискоренням.

Переносною швидкістюі переносним прискореннямрухомої точки називають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення тієї точки рухомого простору, з якою даний моментчасу збігається точка, що рухається.

Всі отримані раніше результати для швидкості та прискорення повністю застосовні до відносного руху, тому що при їх виведенні ми не накладаємо жодних обмежень на вибір системи координат.

Закон складання швидкостей

Закон складання швидкостей визначає зв'язок між швидкостями точки М у нерухомій системі координат XYZі рухомий системі координат https://pandia.ru/text/78/244/images/image002_52.jpg"

- Закон складання швидкостей.

КІНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО-ТВЕРДОГО ТІЛА

Перейдемо до розгляду руху абсолютно твердого тіла (АТТ). Тверде тіло складається з нескінченної кількості точок, проте, як буде показано пізніше, для опису руху АТТ немає необхідності задавати рух кожної його точки.

Незмінність відстані між точками твердого тіла призводить до залежності між швидкостями окремих точок. Ця залежність виражається наступною основною теоремою кінематики твердого тіла: проекції швидкостей двох будь-яких точок твердого тіла на відрізок, що їх з'єднує, рівні.

Для доказу розглянемо довільні точки А та В твердого тіла.

Положення точок А і В в просторі задамо радіусами-векторами і напрямок якого в процесі руху тіла змінюється, а модуль зберігається постійним (з огляду на незмінність відстані між точками твердого тіла.) Даний вектор можна представити у вигляді .

. (2.1)

Для визначення вектора зауважимо, що , де ABмодуль вектора. Так як АВне змінюється з часом, то, продиференціювавши цю рівність по t, Отримаємо:

,

т. е..gif" width="29" height="24 src="> спрямована перпендикулярно до самого вектора :

Проектуючи тепер кожну частину рівності (2..gif" width="37" > пр.=0

,

що й доводить сформульовану теорему.

Поступальний рух твердого тіла

Розглянемо спочатку прості випадки руху - поступальний рух твердого тіла та обертання твердого тіла.

Найпростішим видом руху твердого тіла є такий рух, при якому вектори швидкості трьох його точок, що не лежать на одній прямій, рівні між собою у кожний момент часу. Визначимо положення цих точок у певний момент часу радіус-векторами:

https://pandia.ru/text/78/244/images/image020_14.gif" width="263 height=43" height="43">

Отже, вектори не залежать від часу і, отже, переміщаються у просторі, залишаючись паралельними собі. Три точки твердого тіла визначають систему координат, чітко пов'язану із твердим тілом. У цьому випадку рух буде таким, що осі будуть переміщатися, залишаючись паралельними самі собі. Але це означає, що будь-яка пряма, проведена в твердому тілі, залишається в процесі руху паралельною собі. Такий рух називається поступальним (наприклад, рух кабіни в атракціоні "колесо огляду").

Виберемо в твердому тілі, що рухається поступально, дві довільні точки А і В.

При поступальному русі АТТ

(2.2)

Оскільки то (2.2) набуде вигляду:

Точки А та В обрані довільно. Отже, при поступальному русі всі точки твердого тіла мають у кожний момент часу однакові вектори швидкості.

Продиференціювавши за часом рівняння (2..gif" width="56" height="24"> (2.4)

Точки А та В обрані довільно. Отже: точки твердого тіла, що рухається поступально, мають у кожний момент часу однакові прискорення.

Т. к. траєкторії точок А і В є конгруентними, тобто їх. можна поєднати один з одним під час накладання. Таким чином, траєкторії, що описуються точками твердого тіла, що рухається поступально, однакові і однаково розташовані.

З отриманих результатів слід зробити висновок: для опису поступального руху твердого тіла достатньо задати рух лише однієї його точки.

Обертання твердого тіла

Обертанням твердого тіла називається такий вид руху, при якому, принаймні, одна точка твердого тіла залишається нерухомою. Розглянемо, проте, простіший випадок – обертання АТТ навколо нерухомої осі.

Обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі

Закріпимо дві точки АТТ. Розглянемо, як рухатимуться всі точки твердого тіла та навчимося визначати швидкості та прискорення цих точок. Ясно, що точки твердого тіла, що лежать на прямій, що проходить через дві закріплені точки, не рухатимуться: цю пряму називають нерухомою віссю обертання. Рух твердого тіла, у якому принаймні дві його точки нерухомі, називають обертанням АТТ навколо нерухомої осі.

Зрозуміло, що точки, що не лежать на осі обертання, описують кола, центри яких лежать на осі обертання. Площини, в яких лежать такі кола, перпендикулярні до осі обертання. Отже, нам відомі траєкторії всіх точок тіла. Це дозволяє почати знаходження швидкості будь-якої точки твердого тіла.

При природному способі завдання руху точки:

Виберемо нерухому систему відліку, вісь 0 Zякої збігається з віссю обертання. Кут між нерухомою площиною X0Z, що проходить через вісь обертання і площиною, жорстко пов'язаною з твердим тілом і проходить через вісь обертання, позначимо через http://www.pandia.ru/text/78/244/images/image036_12.gif" width="73" Розглянемо рух точки М по колу радіуса R.

; ; https://pandia.ru/text/78/244/images/image040_13.gif" width="20" height="26 src="> є постійними:

Підставивши (2.6) у (2.5) отримаємо:

Ця формула незручна, тому що сюди входить одиничний вектор. Він повинен входити в формулу для швидкості для цього проведемо наступні перетворення:

використовуючи, що , перепишемо співвідношення (2.7) у вигляді

(2.8)

Позначимо:

- Не залежить від вибору точки М, що розглядається; (2.9)

- Вектор, проведений з центру кола до точки М. (2.10)

Зрозуміло, що модуль дорівнює радіусу кола.

Підставимо (2.9) і (2.10) у (2.8):

https://pandia.ru/text/78/244/images/image051_11.gif" width="91" height="27"> (2.12)

Напрями збігаються з напрямком одиничного вектора торкання width="64" - Лінійна швидкість точки М. (2.13)

- кутова швидкість. (2.14)

Кутова швидкість – величина однакова всім точок твердого тіла.

Лінійна швидкість будь-якої точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку кутової швидкості АТТ на радіус-вектор, проведений з довільної точки осі обертання, розкладемо https://pandia.ru/text/78/244/images/image057_9.gif " width="145" height="29">.(2.15)

Порівнюючи (2.15) та (2.14) отримаємо:

;

Модуль кутової швидкості пов'язаний із частотою обертання абсолютно твердого тіла:

При обертанні тіла його кутова швидкість може змінюватися, необхідно вміти визначити кутову швидкість тіла будь-якої миті часу. Для цього введено величину, яка характеризує зміну кутової швидкості з часом. Цю величину називають кутовим прискоренням.

Дамо визначення кутового прискорення.

Нехай у момент часу tкутова швидкість . А в момент часу t+∆tкутова швидкість дорівнює. Складемо відношення зміни кутової швидкості до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбувається, і знайдемо межу цього відношення при ∆ t→ 0. У механіці цю межу називають кутовим прискоренням тілаі позначають тому:

.

Кутове прискорення – величина однакова всім точок твердого тіла.

Одиницею виміру кутового прискорення є.

Для кутового прискорення, його проекції на вісь 0 Z, модуля кутового прискорення справедливі співвідношення:

(2.16)

Перепишемо вираз для прискорення крапки:

(2.17)

Тангенційне прискорення будь-якої точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку кутового прискорення тіла на радіус – вектор цієї точки, проведеної з довільної точки осі обертання.

Обертання твердого тіла з постійним кутовим прискоренням

Подивимося, як у цьому русі запишеться кінематичне рівняння руху тіла. Спочатку отримаємо формулу, якою у разі можна знайти кутову швидкість тіла. Направимо вісь 0 Zвздовж осі обертання тіла.

Так як, то https://pandia.ru/text/78/244/images/image078_5.gif" width="98" height="54"> (т. к.) обертальні рухи (фізика)" href=" /text/category/vrashatelmznie_dvizheniya__fizika_/" rel="bookmark">обертового руху навколо полюса з кутовою швидкістю, яка не залежить від вибору полюса .

Можна показати, що швидкість будь-якої точки тіла щодо нерухомої системи координат дорівнює:

- Кутове прискорення обертання тіла щодо полюса.

Закон складання прискорень

Формулу, що виражає закон складання прискорень у складному русі називають формулою Коріоліса, а факт, що нею виражається – теорема Коріоліса. Відповідно до цієї теореми абсолютне прискорення точки дорівнює сумі трьох векторів: вектора відносного прискорення, вектора переносного прискорення і вектора, що є поворотним або коріолісовим прискоренням:

(2.21)

Воно з'являється внаслідок двох причин, що не враховуються відносним та переносним прискореннями: не враховує зміну напрямку відносної швидкості в нерухомому просторі внаслідок обертання рухомої системи координат у переносному русі. не враховує зміни переносної швидкості, що виходить при переході точки, що рухається, від однієї точки рухомого простору до іншої (цей перехід викликаний відносним рухом).

У таких випадках:

Складний рух точки

Основні поняття

У багатьох завданнях рух точки доводиться розглядати щодо двох (і більше) систем відліку, що рухаються одна щодо одної.

У найпростішому випадку складний рух точки складається з відносного і переносного рухів. Визначимо ці рухи.

Розглянемо дві системи відліку, що рухаються одна щодо одної. Одну систему відліку O 1 x 1 y 1 z 1 приймемо за основну та нерухому. Друга система відліку Oxyz буде рухатися щодо першої.

Рух точки щодо рухомої системи відліку Oxyz називається відносним. Характеристики цього руху, такі як траєкторія, швидкість і прискорення, називаються відносними. Їх позначають індексом r.

Рух точки щодо основної нерухомої системи відліку O 1 x 1 y 1 z 1 називається абсолютним (або складним). Траєкторія, швидкість та прискорення цього руху називаються абсолютними. Їх позначають без індексу.

Переносним рухом точки називається рух, який вона здійснює разом з рухомою системою відліку, як точка, жорстко скріплена з цією системою в даний момент часу. Внаслідок відносного руху точка, що рухається, в різні моменти часу збігається з різними точками тіла S, з яким скріплена рухома система відліку. Переносний швидкістю та переносним прискоренням є швидкість і прискорення тієї точки тіла S, з якою в даний момент збігається точка, що рухається. Переносні швидкість та прискорення позначають індексом e.

Якщо траєкторії всіх точок тіла S, скріпленого з рухомою системою відліку, зобразити малюнку, то отримаємо сімейство ліній – сімейство траєкторій переносного руху точки М. Внаслідок відносного руху точки М у кожен час вона перебуває в одній з траєкторій переносного руху.

Один і той же абсолютний рух, вибираючи різні рухливі системи відліку, вважатимуться що з різних переносних і відносних рухів.

Складання швидкостей

Визначимо швидкість абсолютного руху точки М, якщо відомі швидкості абсолютного та переносного рухів цієї точки.

За малий проміжок часу вздовж траєкторії точка М здійснить відносне переміщення, що визначається вектором. Сама крива, рухаючись разом з рухомими осями, перейде за той самий проміжок часу в нове положення Одночасно та точка кривої, з якою збігалася точка М, здійснить переносне переміщення. В результаті точка здійснить переміщення.

Ділячи обидві частини рівності на та переходячи до межі, отримаємо

Складання прискорень при поступальному переносному русі.

Визначимо прискорення абсолютного руху точки у разі поступального переносного руху.

Справедлива теорема. Якщо рухома система відліку рухається поступально щодо нерухомої , то всі точки тіла, скріпленого з цією системою, мають однакові швидкості та прискорення, рівні швидкості та прискорення початку координат рухомої системи О. Отже, для швидкості та прискорення переносного руху маємо

Висловимо відносну швидкість у декартових координатах

Підставляючи в теорему про складання швидкостей значення переносної та відносної швидкостей отримуємо

За визначенням

Досі ми вивчали рух точки чи тіла стосовно однієї заданої системи відліку. Однак у ряді випадків при вирішенні завдань механіки виявляється доцільним (а іноді і необхідним) розглядати рух точки (або тіла) одночасно по відношенню до двох систем відліку, з яких одна вважається основною або умовно нерухомою, а інша певним чином рухається по відношенню до першої. Рух, який відбувається при цьому точкою (або тілом), називають складовимабо складним. Наприклад, куля, що котиться по палубі пароплава, що рухається, можна вважати що робить по відношенню до берега складний рух, що складається з кочення по відношенню до палуби (рухлива система відліку), і рух разом з палубою пароплава по відношенню до берега (нерухома система відліку). Таким шляхом складний рух кулі розкладається на два простіші і легше досліджувані.

Рис.48

Розглянемо точку М, що рухається по відношенню до рухомої системи відліку Oxyz, яка у свою чергу якось рухається щодо іншої системи відліку , яку називаємо основною чи умовно нерухомою (рис. 48). Кожна з цих систем відліку пов'язана, звісно, ​​з певним тілом, на кресленні не показаним. Введемо такі визначення.

1. Рух, який відбувається точкою Мпо відношенню до рухомої системи відліку (до осей Oxyz), називається відносним рухом(Такий рух бачитиме спостерігач, пов'язаний з цими осями і переміщується разом з ними). Траєкторія АВ, що описується точкою у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість точки Мпо відношенню до осей Oxyzназивається відносною швидкістю (позначається ), a прискорення - відносним прискоренням (позначається ). З визначення випливає, що при обчисленні можна рух осей Oxyzдо уваги не брати (розглядати їх як нерухомі).

2. Рух, який здійснюється рухомою системою відліку Oxyz(і всіма незмінно пов'язаними з нею точками простору) по відношенню до нерухомої системи є для точки М переносним рухом.

Швидкість тієї незмінно пов'язаної з рухомими осями Oxyzкрапки m, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається М, називається переносною швидкістю точки Мв цей момент (позначається ), а прискорення цієї точки m- переносним прискоренням точки М(позначається). Таким чином,

Якщо уявити, що відносний рух точки відбувається по поверхні (або всередині) твердого тіла, з яким жорстко пов'язані рухливі осі Oxyz, то переносною швидкістю (або прискоренням) точки Мв даний момент часу буде швидкість (або прискорення) тієї точки тіла, з якою в цей момент збігається точка М.

3. Рух, що здійснюється точкою по відношенню до нерухомої системи відліку, називається абсолютнимчи складним. Траєкторія CDцього руху називається абсолютною траєкторією, швидкість - абсолютною швидкістю (позначається) і прискорення - абсолютним прискоренням (позначається).

У наведеному вище прикладі рух кулі щодо палуби пароплава буде відносним, а швидкість - відносною швидкістю кулі; рух пароплава по відношенню до берега буде для кулі переносним рухом, а швидкість тієї точки палуби, якої в даний час стосується куля буде в цей момент його переносною швидкістю; нарешті, рух кулі стосовно берега буде його абсолютним рухом, а швидкість - абсолютною швидкістю кулі.

При дослідженні складного руху точки корисно застосовувати "Правило зупинки". Щоб нерухомий спостерігач побачив відносний рух точки, треба зупинити переносний рух.

Тоді відбуватиметься лише відносний рух. Відносний рух стане абсолютним. І навпаки, якщо зупинити відносний рух, переносний стане абсолютним і нерухомий спостерігач побачить лише цей переносний рух.

В останньому випадку, при визначенні переносного руху точки, виявляється одна дуже важлива обставина. Переносний рух точки залежить від того, у який момент буде зупинено відносний рух, від того, де точка знаходиться на середовищі в цей момент. Тому що, взагалі кажучи, всі точки середовища рухаються по-різному. Тому логічніше визначати переносний рух точки як абсолютний рух тієї точки середовища, з якою збігається в даний момент точка, що рухається.

22.Teopeма складання швидкостей.

Нехай певна точка Мздійснює рух по відношенню до системи відліку Oxyz, Яка сама рухається довільним чином по відношенню до нерухомої системи відліку (рис.49).

Звичайно, абсолютний рух точки Мвизначається рівняннями

Відносний рух – у осях, що рухаються, рівняннями

Мал. 10.3.

Рівнянь, що визначають переносний рух точки, може бути взагалі. Оскільки, за визначенням, переносний рух точки М- Це рух відносно нерухомих осей тієї точки системи, з якою збігається точка в даний момент. Але всі точки рухомої системи рухаються по-різному.

Положення рухомої системи відліку може бути визначено, якщо задати положення точки Прорадіусом-вектором , проведеним з початку нерухомої системи відліку, та напрямки одиничних векторів рухомих осей Оx, Oy, Oz.

Рис.49

Довільний переносний рух рухомої системи відліку складається з поступального руху зі швидкістю точки Проі рухи навколо миттєвої осі обертання ВР, що походить через точку Про, з миттєвою кутовою швидкістю. Внаслідок переносного руху рухомої системи відліку радіус-вектора та напрямки одиничних векторів змінюються. Якщо вектори задані функції часу, то переносний рух рухомий системи відліку цілком визначено.

Положення точки Мпо відношенню до рухомої системи відліку можна визначити радіусом-вектором

де координати x, y, zкрапки Мзмінюються з часом внаслідок руху точки Мщодо рухомої системи відліку. Якщо радіус-вектор заданий у функції часу, то відносний рух точки М, тобто. рух цієї точки щодо рухомої системи відліку, задано.

Положення точки М щодо нерухомої системи відліку може бути визначено радіусом-вектором . З рис.49 видно, що

Якщо відносні координати x,y,zкрапки Мі вектори визначені у функції часу, що складається з відносного та переносного рухів складовий рух точки М, тобто. рух цієї точки стосовно нерухомої системи відліку, також треба вважати заданим.

Швидкість складового руху точки М, Абсолютна швидкість цієї точки, дорівнює, очевидно, похідної від радіуса-вектора точки Mпо часу t

Тому, диференціюючи рівність (1) за часом t, отримаємо

Розіб'ємо складові у правій частині цієї рівності на дві групи за такою ознакою. До першої групи віднесемо ті доданки, які містять похідні лише від відносних координат x,y,z,а до другої - ті доданки, які містять похідні від векторів, тобто. від величин, що змінюються лише внаслідок переносного руху рухомої системи відліку

Кожна з груп доданків, позначених через і являє собою, принаймні, за розмірністю деяку швидкість. З'ясуємо фізичний зміст швидкостей та .

Швидкість , як це випливає з рівності (3), обчислюється у припущенні, що змінюються лише відносні координати x,y,zкрапки Мале вектори залишаються постійними, тобто. рухлива система відліку Oxyzхіба що умовно вважається нерухомої. Отже, швидкість являє собою відносну швидкість точки М.

Швидкість обчислюється так, ніби точка Мне рухалася щодо рухомої системи відліку, оскільки похідні x,y,zдо рівності (4) не входять. Тому швидкість є переносною швидкістю точки М.

Отже, . (5)

Ця рівність виражає теорему складання швидкостей у разі, коли переносний рух є довільним: абсолютна швидкість точки Мдорівнює геометричній сумі переносної та відносної швидкостей цієї точки.

приклад 13.Колечко Мрухається по стрижню, що обертається так, що (см) і (рад).

Рис.50

Раніше було встановлено, що траєкторія відносного руху - пряма лінія, що збігається зі стрижнем, і це визначається рівнянням . Траєкторія переносного руху точки Му момент часу t- Коло радіуса.

Тому відносна швидкість. І направлена ​​по дотичній до траєкторії вздовж стрижня (рис.50). Переносна швидкість кільця, як із обертанні навколо осі, . Направлений вектор цієї швидкості щодо до траєкторії переносного руху, перпендикулярно стрижню.

Абсолютна швидкість кільця. Розмір її, т.к.

23.Теорема складання прискорень. Прискорення Коріолісу.

Прискорення складового руху точки М, або абсолютне прискорення цієї точки, і, очевидно, похідної від абсолютної швидкості точки Мпо часу t

Тому, диференціюючи рівність за часом, отримаємо

Розділимо складові правої частини цієї рівності на три групи.

До першої групи віднесемо доданки, що містять лише похідні від відносних координат x,yі z, але не містять похідні від векторів :

До другої групи віднесемо доданки, які містять лише похідні від векторів, але не містять похідних від відносних координат x,y,z:

Залишилася ще одна група доданків, які не могли бути віднесені ні до першої, ні до другої, оскільки вони містять похідні від усіх змінних x, y,z, . Позначимо цю групу доданків через:

Кожна з виділених груп є, принаймні за розмірністю, деяке прискорення. З'ясуємо фізичний зміст всіх трьох прискорень: .

Прискорення , як це видно з рівності, обчислюється так, якби відносні координати x,y,zзмінювалися з часом, а вектори залишалися незмінними, тобто. рухлива система відліку Oxyzяк би лежала, а крапка Мрухалася. Тому прискорення є відносним прискоренням точки М. Так як прискорення (і швидкість) відносного руху обчислюється в припущенні, що рухома система відліку знаходиться у спокої, то для визначення відносного прискорення (і швидкості) можна користуватися всіма правилами, викладеними раніше в кінематиці точки.

Прискорення , як це видно з рівності, обчислюється у припущенні, що сама точка Мспочиває по відношенню до рухомої системи відліку Oxyz(x= Const, y=const, z=const) і переміщається разом із цією системою відліку по відношенню до нерухомої системи відліку . Тому прискорення є переносним прискоренням точки М.

Третя група доданків визначає прискорення , яке може бути віднесено немає відносному прискоренню , оскільки містить у своєму вираженні похідні немає переносному прискоренню , оскільки містить у своєму вираженні похідні

Перетворимо праву частину рівності, пригадавши, що

Підставляючи ці значення похідних до рівності, отримаємо

Тут вектор є відносна швидкість точки Мтому

Прискорення називають прискоренням Коріоліса. Зважаючи на те, що прискорення Коріоліса з'являється у разі обертання рухомої системи відліку, його називають ще поворотним прискоренням.

З фізичної точки зору поява поворотного прискорення точки пояснюється взаємним впливом переносного та відносного рухів.

Отже, прискорення Коріоліса точки дорівнює модулю і напрямку подвоєному векторному добутку кутової швидкості переносного руху на відносну швидкість точки.

Рівність, яку тепер можна скорочено записати у вигляді

представляє теорему складання прискорень у разі, коли переносний рух є довільним: абсолютне прискорення точки дорівнює векторної суми переносного, відносного та поворотного прискорень. Цю теорему часто називають теоремою Коріоліса.

З формули випливає, що модуль поворотного прискорення буде

де - кут між вектором та вектором. Щоб визначити напрямок поворотного прискорення, потрібно подумки перенести вектор до точки Мта керуватися правилом векторної алгебри. Згідно з цим правилом, вектор потрібно направляти перпендикулярно до площини, що визначається векторами і , і так, щоб, дивлячись з кінця вектора , спостерігач міг бачити найкоротший поворот від годинникової стрілки, що відбувається проти руху (рис. 30). в даний момент часу перетворюється на нуль.

Крім того, поворотне прискорення точки може, очевидно, звертатися в нуль, якщо:

а) вектор відносної швидкості точки паралельний вектору кутовий швидкості переносного обертання, тобто. відносний рух точки відбувається за напрямом, паралельним осі переносного обертання;

б) точка не має руху щодо рухомої системи відліку або відносна швидкість точки на даний момент часу дорівнює нулю ().

приклад 14.Нехай тіло обертається довкола нерухомої осі z. По поверхні його рухається крапка М(Рис. 52). Звичайно, швидкість цього руху точки - відносна швидкість, а швидкість обертання тіла - кутова швидкість переносного руху.

Прискорення Коріоліса спрямовано перпендикулярно цим двом векторам, за правилом напрямку вектора векторного твору. Так, як показано на рис. 52.

Рис.52

Неважко сформулювати зручніше правило визначення напрямку вектора: потрібно спроектувати вектор відносної швидкості на площину перпендикулярну до осі переносного обертання і потім повернути цю проекцію на 90 градусів у площині у напрямку переносного обертання. Кінцеве положення проекції вектора вкаже напрямок прискорення коріоліс. (Це правило було запропоновано Н.Є. Жуковським).

приклад 15.(Повернемося до прикладу 13). Знайдемо абсолютне прискорення кільця М

Напрямок повного прискорення визначимо по тангенсу кута α, який утворює повне прискорення з нормальним прискоренням (рис. 52). Отримаємо

У ряді випадків доводиться розглядати рух точки стосовно системи координат О 1 ξηζ, яка, у свою чергу, рухається по відношенню до іншої системи координат Охуz умовно прийнятої як нерухома. У механіці кожну із зазначених систем координат пов'язують із деяким тілом. Наприклад, розглянемо кочення без ковзання колеса вагона рейкою. З рейкою зв'яжемо нерухому систему координат Аху, а рухому систему Oξη зв'яжемо з центром колеса і припустимо, що вона рухається поступально. Рух точки на обід колеса є складовим або складним.

Введемо такі визначення:

Переносним рухом точки називається її рух у даний момент часу разом з рухомою системою координат щодо нерухомої системи координат.

Переносна швидкість та переносне прискорення точки позначається індексом е: , .

Переносною швидкістю (прискоренням) точки М в даний час називають вектор, рівний швидкості (прискорення) тієї точки m рухомої системи координат, з якою збігається в даний момент рушійна точка М(Рис. 8.1).

Проведемо радіус-вектор початку координат (рис. 8.1). З малюнка видно, що

Щоб знайти переносну швидкість точки в заданий момент часу, необхідно продиференціювати радіус-вектор за умови, що координати точки x, y, zне змінюються в даний момент часу:

Переносне прискорення відповідно дорівнює

Таким чином для визначення переносної швидкості та переносного прискорення в даний момент часу необхідно подумки зупинити в цей момент відносний рух точки, визначити точку mтіла, незмінно пов'язаного з рухомою системою координат, де знаходиться у зупинений момент точка М, і обчислити швидкість та прискорення точки mтіла, що здійснює переносний рух щодо нерухомої системи координат.

Складним рухом точкиназивається такий її рух, при якому вона рухається щодо системи відліку, що переміщається по відношенню до деякої іншої системи відліку, прийнятої за нерухому. Наприклад, можна вважати, що пасажир, що йде по вагону поїзда, що рухається, здійснює складний рух по відношенню до полотна дороги, що складається з руху пасажира по відношенню до вагона ( рухлива система відліку) та руху пасажира разом з вагоном по відношенню до полотна дороги ( нерухома система відліку).

Рух точки стосовно рухомої системи координат називається відносним рухом точки. Швидкість та прискорення цього руху називають відносною швидкістюі відносним прискореннямі позначають та .

Рух точки, зумовлений рухом рухомої системи координат, називається переносним рухом точки.

Переносною швидкістюі переносним прискореннямточки називають швидкість і прискорення тієї, жорстко пов'язаної з рухомою системою координат точки, з якою збігається в даний момент часу точка, що рухається, і позначають і .

Рух точки по відношенню до нерухомої системи координат називається абсолютнимабо складним. Швидкість та прискорення точки у цьому русі називають абсолютноюшвидкістюі абсолютним прискореннямі позначають та .

У наведеному вище прикладі рух пасажира щодо вагона буде відносним, а швидкість – відносною швидкістю пасажира; рух вагона по відношенню до полотна дороги буде для пасажира переносним рухом, а швидкість вагона, в якому перебуває пасажир, буде на цей момент його переносною швидкістю; нарешті, рух пасажира стосовно полотна буде його абсолютним рухом, а швидкість – абсолютною швидкістю.

§ 21. Визначення швидкості точки при складному

русі

Нехай є нерухома система відліку щодо якої рухається рухома система відліку . Щодо рухомої системи координат рухається точка (рис. 2.26) . Рівняння руху точки , що знаходиться в складному русі, можна задати векторним способом

де - радіус-вектор точки , що визначає її положення щодо

нерухомої системи відліку;

Радіус-вектор, що визначає положення початку відліку рухомий

системи координат;

Радіус-вектор цієї точки , що визначає її

положення щодо рухомої системи координат.

Нехай координати крапки в рухомих осях. Тоді

, (2.68)

де - одиничні вектори, спрямовані вздовж рухомих осей. Підставляючи (2.68) у рівність (2.67), отримаємо:

При відносному русі координати змінюються з часом. Щоб знайти швидкість відносного руху, потрібно продиференціювати радіус-вектор за часом, враховуючи його зміну тільки за рахунок відносного руху, тобто за рахунок зміни координат , а рухому систему координат припускати при цьому нерухомої, тобто вектора вважати не залежними від часу. Диференціюючи рівність (2.68) за часом з урахуванням зроблених застережень, отримаємо відносну швидкість.

Досі ми вивчали рух точки чи тіла стосовно однієї заданої системи відліку. Однак у ряді випадків при вирішенні завдань механіки виявляється доцільним (а іноді і необхідним) розглядати рух точки (або тіла) одночасно по відношенню до двох систем відліку, з яких одна вважається основною або умовно нерухомою, а інша певним чином рухається по відношенню до першої. Рух, який відбувається при цьому точкою (або тілом), називають складовимабо складним. Наприклад, куля, що котиться по палубі пароплава, що рухається, можна вважати що робить по відношенню до берега складний рух, що складається з кочення по відношенню до палуби (рухлива система відліку), і рух разом з палубою пароплава по відношенню до берега (нерухома система відліку). Таким шляхом складний рух кулі розкладається на два простіші і легше досліджувані.

Рис.48

Розглянемо точку М, що рухається по відношенню до рухомої системи відліку Oxyz, яка у свою чергу якось рухається щодо іншої системи відліку , яку називаємо основною чи умовно нерухомою (рис. 48). Кожна з цих систем відліку пов'язана, звісно, ​​з певним тілом, на кресленні не показаним. Введемо такі визначення.

1. Рух, який відбувається точкою Мпо відношенню до рухомої системи відліку (до осей Oxyz), називається відносним рухом(Такий рух бачитиме спостерігач, пов'язаний з цими осями і переміщується разом з ними). Траєкторія АВ, що описується точкою у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість точки Мпо відношенню до осей Oxyzназивається відносною швидкістю (позначається ), a прискорення - відносним прискоренням (позначається ). З визначення випливає, що при обчисленні можна рух осей Oxyzдо уваги не брати (розглядати їх як нерухомі).

2. Рух, який здійснюється рухомою системою відліку Oxyz(і всіма незмінно пов'язаними з нею точками простору) по відношенню до нерухомої системи є для точки М переносним рухом.

Швидкість тієї незмінно пов'язаної з рухомими осями Oxyzкрапки m, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається М, називається переносною швидкістю точки Мв цей момент (позначається ), а прискорення цієї точки m- переносним прискоренням точки М(позначається). Таким чином,

Якщо уявити, що відносний рух точки відбувається по поверхні (або всередині) твердого тіла, з яким жорстко пов'язані рухливі осі Oxyz, то переносною швидкістю (або прискоренням) точки Мв даний момент часу буде швидкість (або прискорення) тієї точки тіла, з якою в цей момент збігається точка М.

3. Рух, що здійснюється точкою по відношенню до нерухомої системи відліку, називається абсолютнимчи складним. Траєкторія CDцього руху називається абсолютною траєкторією, швидкість - абсолютною швидкістю (позначається) і прискорення - абсолютним прискоренням (позначається).

У наведеному вище прикладі рух кулі щодо палуби пароплава буде відносним, а швидкість - відносною швидкістю кулі; рух пароплава по відношенню до берега буде для кулі переносним рухом, а швидкість тієї точки палуби, якої в даний час стосується куля буде в цей момент його переносною швидкістю; нарешті, рух кулі стосовно берега буде його абсолютним рухом, а швидкість - абсолютною швидкістю кулі.

При дослідженні складного руху точки корисно застосовувати "Правило зупинки". Щоб нерухомий спостерігач побачив відносний рух точки, треба зупинити переносний рух.

Тоді відбуватиметься лише відносний рух. Відносний рух стане абсолютним. І навпаки, якщо зупинити відносний рух, переносний стане абсолютним і нерухомий спостерігач побачить лише цей переносний рух.

В останньому випадку, при визначенні переносного руху точки, виявляється одна дуже важлива обставина. Переносний рух точки залежить від того, у який момент буде зупинено відносний рух, від того, де точка знаходиться на середовищі в цей момент. Тому що, взагалі кажучи, всі точки середовища рухаються по-різному. Тому логічніше визначати переносний рух точки як абсолютний рух тієї точки середовища, з якою збігається в даний момент точка, що рухається.