Проекція тангенційного прискорення. Стосовне та нормальне прискорення точки

Лінійне рух, лінійна швидкість, лінійне прискорення.

Переміщення(У кінематиці) - Зміна розташування фізичного тіла в просторі щодо обраної системи відліку. Також переміщенням називають вектор, що характеризує цю зміну. Має властивість адитивності. Довжина відрізка - це модуль переміщення, що вимірюється в метрах (СІ).

Можна визначити переміщення як зміна радіус-вектора точки: .

Модуль переміщення збігається з пройденим шляхом у тому лише у тому разі, якщо під час руху напрям переміщення не змінюється. При цьому траєкторією буде прямий відрізок. У будь-якому іншому випадку, наприклад, при криволінійному русі, з нерівності трикутника випливає, що шлях більший.

Вектор D r = r -r 0 проведений з початкового положення рухомої точки в положення її в даний моментчасу (приріст радіуса-вектора точки за розглянутий проміжок часу), називається переміщенням.

При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з відповідною ділянкою траєкторії та модуль переміщення |D r| дорівнює пройденому шляху D s.
Лінійна швидкість тіла у механіці

Швидкість

Для характеристики руху матеріальної точки вводиться векторна величина – швидкість, якою визначається як швидкістьруху, так і його напрямокна даний момент часу.

Нехай матеріальна точкарухається якою-небудь криволінійною траєкторією так, що в момент часу tїй відповідає радіус-вектор r0 (рис. 3). Протягом малого проміжку часу D tточка пройде шлях D sта отримає елементарне (нескінченно мале) переміщення Dr.

Вектор середньої швидкості називається відношення збільшення Dr радіуса-вектора точки до проміжку часу D t:

Напрямок вектора середньої швидкості збігається із напрямком Dr. При необмеженому зменшенні D tсередня швидкість прагне граничного значення, яке називається миттєвою швидкістю v:

Миттєва швидкість v, таким чином, є векторна величина, що дорівнює першій похідній радіусу-вектора точки, що рухається за часом. Оскільки січуча межі збігається з дотичною, то вектор швидкості v спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху (рис. 3). У міру зменшення D tшлях D sдедалі більше наближатися до |Dr|, тому модуль миттєвої швидкості

Таким чином, модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній шляху за часом:

При нерівномірному русі -модуль миттєвої швидкості з часом змінюється. У цьому випадку користуються скалярною величиною á vñ - середньою швидкістюнерівномірного руху:

З рис. 3 випливає, що á vñ> |ávñ|, оскільки D s> |Dr|, і у разі прямолінійного руху

Якщо вираз d s = v d t(див. формулу (2.2)) проінтегрувати за часом у межах від tдо t+ D t, то знайдемо довжину шляху, пройденого точкою за час D t:

В разі рівномірного рухучислове значення миттєвої швидкості постійно; тоді вираз (2.3) набуде вигляду

Довжина шляху, пройденого точкою за проміжок часу від t 1 до t 2 , дається інтегралом

Прискорення та його складові

У разі нерівномірного руху важливо знати, як швидко змінюється швидкість з часом. Фізичною величиною, що характеризує швидкість зміни швидкості за модулем і напрямом, є прискорення.

Розглянемо плоский рух,тобто. рух, коли всі ділянки траєкторії точки лежать у одній площині. Нехай вектор v задає швидкість точки Ау момент часу t.За час D tточка, що рухається, перейшла в положення Уі придбала швидкість, відмінну від v як за модулем, так і напрямком і рівну v 1 = v + Dv. Перенесемо вектор v 1 до точки Ата знайдемо Dv (рис. 4).

Середнім прискореннямнерівномірного руху в інтервалі від tдо t+ D tназивається векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості Dv до інтервалу часу D t

Миттєвим прискоренняма (прискоренням) матеріальної точки на момент часу tбуде межа середнього прискорення:

Таким чином, прискорення a є векторною величиною, що дорівнює першій похідній швидкості за часом.

Розкладемо вектор Dv на дві складові. Для цього з точки А(рис. 4) у напрямку швидкості v відкладемо вектор , по модулю рівний v 1 . Очевидно, що вектор , рівний визначає зміну швидкості за час D t за модулем: . Друга складова вектора Dv характеризує зміну швидкості за час D t у напрямку.

Тангенціальне та нормальне прискорення.

Тангенціальне прискорення- компонента прискорення, спрямована щодо траєкторії руху. Збігається з напрямом вектора швидкості при прискореному русі та протилежно спрямовано при уповільненому. Характеризує зміну модуля швидкості. Позначається зазвичай або (, ітд відповідно до того, яка літера обрана для позначення прискорення взагалі в даному тексті).

Іноді під тангенціальним прискоренням розуміють проекцію вектора тангенціального прискорення - як визначено вище - на одиничний вектор дотичної до траєкторії, що збігається з проекцією (повного) вектора прискорення на одиничний вектор дотичної тобто відповідний коефіцієнт розкладання по супутньому базису. І тут використовується не векторне позначення, а «скалярне» - як завжди для проекції чи координати вектора - .

Величину тангенціального прискорення - у сенсі проекції вектора прискорення на одиничний вектор векторної траєкторії - можна виразити так:

де - колійна швидкість вздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент.

Якщо використовувати для одиничного дотичного вектора позначення , можна записати тангенціальне прискорення у векторному вигляді:

Висновок

Вираз для тангенціального прискорення можна знайти, продиференціювавши за часом вектор швидкості, представлений у вигляді одиничного вектора дотичної :

де перше доданок - тангенціальне прискорення, а друге - нормальне прискорення.

Тут використано позначення для одиничного вектора нормалі до траєкторії та - для поточної довжини траєкторії (); в останньому переході також використано очевидне

і, з геометричних міркувань,

Центрошвидке прискорення (нормальне)- частина повного прискорення точки, зумовленого кривизною траєкторії та швидкістю руху по ній матеріальної точки. Таке прискорення спрямоване до центру кривизни траєкторії, чим обумовлений термін. Формально і сутнісно термін доцентрове прискорення загалом збігається з терміном нормальне прискорення, відрізняючись скоріш лише стилістично (іноді історично).

Особливо часто про доцентрове прискорення говорять, коли йдеться про рівномірний рух по колу або при русі, більш-менш наближеному до цього окремого випадку.

Елементарна формула

де - нормальне (відцентрове) прискорення, - (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, - (миттєва) кутова швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії, - радіус кривизни траєкторії в даній точці. (Связь між першою формулою та другою очевидна, враховуючи).

Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домноживши на одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до даної її точки:

Ці формули однаково застосовні до випадку руху з постійною (за абсолютною величиною) швидкістю, і до довільного випадку. Однак у другому треба мати на увазі, що доцентрове прискорення не є повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії (або, що те ж, перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); в повний вектор прискорення тоді входить ще й тангенціальна складова (тангенціальне прискорення) , у напрямку збігається з дотичної до траєкторії (або, що те ж, з миттєвою швидкістю).

Висновок

Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну вздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме собою. Це погіршується тим, що при русі з постійною за величиною швидкістю тангенціальна складова дорівнює нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тільки нормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості та структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе та нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливий окремий випадок руху по колу (який, до того ж, практично без зміни може бути узагальнений і на загальний випадок).

Центрошвидке прискорення- Складова прискорення точки, що характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості для траєкторії з кривизною (друга складова, тангенціальне прискорення, характеризує зміна модуля швидкості). Направлено до центру кривизни траєкторії, що й обумовлений термін. Термін «відцентрове прискорення» еквівалентний терміну « нормальне прискорення». Ту складову суми сил, яка зумовлює це прискорення, називають доцентровою силою.

Найбільш простим прикладомдоцентрового прискорення є вектор прискорення при рівномірному русі по колу (спрямований до центру окружності).

Загострювальне прискоренняв проекції на площину, перпендикулярну до осі, постає як доцентрове.

Елементарна формула[ | ]

a n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

де a n (\displaystyle a_(n)\ )- нормальне (відцентрове) прискорення, v (\displaystyle v\ )- (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, ω (\displaystyle \omega \ )- (миттєва) кутова швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії, R (\displaystyle R\)- радіус кривизни траєкторії у цій точці. (Зв'язок між першою формулою та другою очевидний, враховуючи v = R ( \ displaystyle v = \ omega R \ )).

Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домноживши на e R (\displaystyle \mathbf(e) _(R))- одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до цієї точки:

an = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf(a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf(e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

Ці формули рівнозастосовні як до руху з постійною (за абсолютною величиною) швидкістю, так і до довільного випадку. Однак у другому випадку треба мати на увазі, що доцентрове прискорення це не повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії руху (або перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); У повний вектор прискорення входить ще й тангенціальна складова ( тангенціальне прискорення) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), сонаправленная дотичної до траєкторії руху (чи, що те, миттєвої швидкості) .

Мотивація та висновок[ | ]

Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну вздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме собою. При русі з постійною за модулем швидкістю тангенціальна складова стає рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тількинормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості та структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе та нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливий окремий випадок руху по колу.

Формальний висновок[ | ]

Розкладання прискорення на тангенціальну та нормальну компоненти (друга з яких і є доцентрове або нормальне прискорення) можна знайти, продиференціювавши за часом вектор швидкості , представлений у вигляді v = v e τ (\displaystyle \mathbf(v) =v\,\mathbf(e) _(\tau ))через одиничний вектор дотичної e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):

a = dvdt = d (ve τ) dt = dvdte τ + vde τ dt = dvdte τ + vde τ dldldt = dvdte τ + v 2 R en , (displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v) (\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)

Тут використано позначення для одиничного вектора нормалі до траєкторії та l (\displaystyle l\)- для поточної довжини траєкторії ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); в останньому переході також використано очевидне

d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )

і, з геометричних міркувань,

d e d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

Нормальним (відцентровим) прискоренням. При цьому його зміст, сенс об'єктів, що входять до нього, а також доказ того факту, що він дійсно ортогональний щодо вектора (тобто що e n (\displaystyle \mathbf(e) _(n)\ )- дійсно вектор нормалі) - випливатиме з геометричних міркувань (втім, те, що похідна будь-якого вектора постійної довжини за часом перпендикулярна самому цьому вектору, - досить простий факт); в даному випадку ми застосовуємо це твердження для d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf(e) _(\tau ))(dt)))

Зауваження [ | ]

Легко помітити, що абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від дорожнього прискорення, збігаючись з його абсолютною величиною, на відміну абсолютної величини нормального прискорення, яка від дорожнього прискорення не залежить, зате залежить від дорожньої швидкості.

Наведені тут способи або їх варіанти можуть бути використані для введення таких понять, як кривизна кривої та радіус кривизни кривої (оскільки у випадку, коли крива - коло, R (\displaystyle R)збігається з радіусом такого кола; не дуже важко також показати, що коло в площині e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n))з центром у напрямку e n (\displaystyle e_(n)\ )від цієї точки на відстані R (\displaystyle R)від неї - буде збігатися з даною кривою - траєкторією - з точністю до другого порядку трішки на відстані до цієї точки).

У кінематиці для однозначного визначення характеристик руху тіла у будь-якій точці траєкторії необхідно знати його швидкість та прискорення. Залежність від цих величин надає всю необхідну інформацію для обчислення пройденого тілом шляху. Розглянемо докладніше у статті, що таке прискорення тангенціальне та нормальне прискорення.

У фізиці

Перш ніж розглядати для механічного руху прискорення нормальне та тангенціальне прискорення, познайомимося із самим фізичним поняттям. Визначення прискорення досить простим. У фізиці під ним розуміють характеристику зміни швидкості. Остання є векторною величиною, що визначає швидкість зміни координат об'єкта, що рухається в просторі. Швидкість вимірюється в метрах за секунду (відстань, пройдена за одиницю часу). Якщо її позначити символом, тоді математичне визначення прискорення буде виглядати так:

Ця рівність визначає так зване повне миттєве прискорення. Миттєвим воно називається тому, що характеризує зміну швидкості лише зараз.

Якщо рух є рівноприскореним, тобто протягом тривалого часу прискорення не змінює свого модуля та напряму, тоді можна записати таку формулу для його визначення:

Де Δt>>dt. Величина a тут називається середнім прискоренням, яке в загальному випадку відрізняється від миттєвого.

Прискорення вимірюється в системі СІ в метрах квадратну секунду (м/с 2).

Траєкторія руху та компоненти повного прискорення

Найчастіше тіла в природі рухаються кривими траєкторіями. Прикладами такого переміщення є: обертання своїми орбітами планет, параболічне падіння каменю на землю, поворот автомобіля. У разі криволінійної траєкторії в будь-який момент часу швидкість спрямована по дотичній до точки траєкторії, що розглядається. Як при цьому спрямоване прискорення?

Щоб відповісти на поставлене вище питання, запишемо швидкість тіла у наступній формі:

Тут u t - вектор швидкості одиничний, індекс t означає, що він спрямований по дотичній до траєкторії (тангенціальна компонента). Символом v позначено модуль швидкості v.

Тепер, виходячи з визначення прискорення, можна провести диференціювання швидкості за часом, маємо:

a = dv / dt = dv / dt * u t + v * d (u t) / dt

Таким чином, повне прискорення являє собою векторну суму двох компонентів. Перший і другий доданок називають нормальним і тангенціальним прискоренням точки. Докладніше розглянемо кожну з цих компонентів.

Прискорення тангенціальне

Запишемо ще раз формулу для цієї компоненти повного прискорення:

Цей вираз дозволяє описати властивості величини a t:

• Вона спрямована так само, як і сама швидкість або протилежно їй, тобто по дотичній до траєкторії. Про це свідчить елементарний вектор u t.
• Вона характеризує зміну швидкості абсолютної величини, що відбиває множник dv/dt.

Ці властивості дозволяють зробити важливий висновок: для прямолінійного руху повне та тангенціальне прискорення - це та сама величина. У разі криволінійного переміщення повне прискорення завжди більше за модулем, ніж тангенціальне. Коли розглядають фізичні завдання на прямолінійний рівноприскорений рух, то мова йде саме про цю компоненту прискорення.

Прискорення нормальне

Розглядаючи тему швидкості, прискорення тангенціального та прискорення нормального, дамо характеристику останній величині. Запишемо формулу для неї:

a n = v * d (u t) / dt = v * d (u t) / dL * dL / dt

Щоб записати явно праву частину рівності, скористаємося такими співвідношеннями:

Тут dL – це пройдений тілом шлях за проміжок часу dt, r – радіус кривизни траєкторії. Перше вираз відповідає визначенню швидкості, друга рівність випливає з геометричних міркувань. Користуючись цими формулами, отримуємо кінцевий вираз для нормального прискорення:

Тобто величина an не залежить від зміни швидкості, як тангенціальна компонента, а визначається виключно її модулем. Нормальне прискорення вздовж нормалі до цієї ділянки траєкторії спрямоване, тобто центру кривизни. Наприклад, під час руху по колу вектор a n спрямований до її центру, тому нормальне прискорення називають часто доцентровим.

Якщо за зміну абсолютної величини швидкості відповідальне тангенціальне прискорення, то нормальна компонента відповідальна за зміну вектора швидкості, тобто вона визначає траєкторію переміщення тіла.

Прискорення повне, нормальне та тангенціальне

Розібравшись із поняттям прискорення та з його компонентами, наведемо тепер формулу, що дозволяє визначити повне прискорення. Оскільки розглянуті компоненти спрямовані під кутом 90 один до одного, то для визначення абсолютної величини їх векторної суми можна використовувати теорему Піфагора. Формула для повного прискорення має вигляд:

a = √(a t 2 + a n 2)

Напрямок величини можна визначити по відношенню до вектора будь-який з компонентів. Наприклад, кут між a і a n обчислюється так:

Враховуючи наведену вище формулу для модуля a, можна зробити висновок: при рівномірному русі по колу повне прискорення збігається з доцентровим.

Рішення задачі

Нехай тіло рухається по колу радіусом 1 метр. Відомо, що його швидкість змінюється за таким законом:

Необхідно визначити прискорення тангенціального та нормального прискорення в момент t = 4 секунди.

Для тангенціального маємо:

a t = dv/dt = 4*t + 3 = 19 м/с 2

Щоб знайти модуль прискорення нормального, спочатку слід обчислити значення швидкості в заданий час. Маємо:

v = 2 * 4 2 + 3 * 4 = 44 м / с

Тепер можна скористатися формулою для a n:

a n = v 2 /r = 44 2 /1 = 1936 м/с 2

Таким чином, ми визначили всі величини, які потрібно було знайти для вирішення задачі.

Дотичне прискорення точки дорівнює першій похідній від модуля швидкості або другої похідної від відстані за часом. Дотичне прискорення позначається – .

.

Дотичне прискорення в даній точці спрямоване щодо до траєкторії руху точки; якщо прискорене рух, то напрям вектора дотичного прискорення збігається з напрямом вектора швидкості; якщо рух уповільнений – то напрям вектора дотичного прискорення протилежний напрямку вектора швидкості. (Рис. 8.5.)

Нормальним прискореннямточки називається величина, що дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни.

Вектор нормального прискорення спрямований від цієї точки до центру кривизни (рис.8.6.). Нормальне прискорення позначається.

– нормаль до цієї точки на траєкторії руху.

Повне прискорення точки визначається з векторного рівняння:

Знаючи напрям і модулі і , за правилом паралелограма визначимо прискорення, що відповідає даній точці траєкторії руху. Тоді модуль прискорення визначимо:

.

Характер - це таке виконання рухів, при якому у спостерігачів залишається враження про легкість або вантажність, округлість або незграбність, силу або розслабленість, свободу або скутість рухів і т. п. Всі ці відтінки створюються завдяки своєрідному підбору рухів, що здійснюють дію

8. поступальний рух твердого тіла. траєкторія, швидкості та прискорення точок твердого тіла при поступальному русі.

Поступальним рухом твердого тіланазивається такий рух, при якому відрізок прямий, що з'єднує дві будь-які точки тіла, весь час руху залишається собі паралельним (наприклад, АВ).

Теорема. При поступальному русі твердого тіла траєкторії, швидкості та прискорення всіх його точок однакові.

Доведення. Нехай відрізок АВТіла за час переміщається поступально. Візьмемо довільну точку Oі визначимо у просторі положення відрізка АВрадіусами-векторами та. Позначимо: - Радіус-вектор, що визначає положення точки Ущодо точки А:

Вектор не змінюється ні за величиною, ні за напрямом, оскільки (за визначенням поступального руху). Зі співвідношення (1) видно, що траєкторія точки Увиходить з траєкторії точки Апаралельним усуненням точок цієї траєкторії на постійний вектор. Таким чином, траєкторії точок Аі Убудуть однаковими.

Візьмемо похідну за часом рівності (1). Тоді

Отже, при поступальному русі твердого тіла швидкості та прискорення всіх його точок на даний момент часу однакові.

Відмітимо, що сам факт поступального руху не визначає ні закону руху, ні виду траєкторії. При поступальному русі точки тіла можуть описувати будь-які траєкторії(наприклад, кола). Але всі вони будуть однакові.

Диференціюючи ліву та праву частини наведеного вище векторного співвідношення та враховуючи, що dAB/dt=0, отримуємо drB/dt =drA/dt, або VB = VA. Диференціюючи за часом ліву та праву частини отриманого співвідношення для швидкостей, знаходимо dVB/dt=dVA/dt або аB = аА. На підставі вищевикладеного можна зробити наступний висновок: щоб задати рух і визначити кінематичні характеристики тіла, що здійснює поступальний рух, достатньо задати рух однієї його будь-якої точки (по-
люса) та знайти її кінематичні характеристики.

Як і матеріальна точка, тіло при його поступальному русі матиме один ступінь свободи під час руху по напрямній, що задає траєкторію його точкам; два ступені свободи у разі руху на площині (при постійному контакті з нею хоча б однією точкою) та три ступені свободи в загальному випадку руху у просторі.

9. обертання твердого тіла довкола нерухомої осі. Завдання руху, кутова швидкість та кутова прискорення, швидкість та прискорення точок тіла .