Vedúci lineárnych vektorov úhoru. Základ vektorového systému

Neskôr sa úloha škálovania systému vektorov na linearitu zredukuje na úlohu určenia poradia matice, poskladanej z vektorov systému.

Treba poznamenať, že pre p> n bude vektorový systém lineárne ladný.

rešpekt: Keď sú matice A zložené, vektory systému možno brať nie ako riadky, ale ako stĺpce.

Algoritmus na dosiahnutie vektorového systému k lineárnemu vkladu.

Poďme analyzovať algoritmus na zadkoch.

Aplikujte príslušný vektorový systém na lineárny vklad.

zadok.

Daný systém vektorov. Dol_dzhuyte її na lineárnom lade.

Riešenie.

Pretože vektor c je nula, potom je výstupný systém vektorov lineárne ladený v dôsledku tretej mocniny.

nápoveda:

Vektorový systém je lineárne ladený.

zadok.

Pokračujte systémom vektorov k lineárnemu zásobu.

Riešenie.

Nie je ľahké si zapamätať, že súradnice vektora c sa rovnajú súradniciam vektora, vynásobte ich tromi. Preto je vektorový systém lineárne ladný.

vymenovanie 1. Lineárna kombinácia vektorov je súčtom výtvorov týchto vektorov na skalároch
:

vymenovanie 2. vektorový systém
sa nazýva lineárny úhorový systém, pretože lineárna kombinácia їх (2.8) ide na nulu:

prečo medzi číslami
іsnuє chcieť b jeden, vіdmіnne vіd nula.

vymenovanie 3. vektory
sa nazývajú lineárne nezávislé, pretože ich lineárna kombinácia (2.8) sa zmení na nulu iba raz, ak všetky čísla.

Z tohto pohľadu môžete odniesť následky.

stopa 1. V lineárnom úhorovom systéme vektorov môže byť jeden vektor použitý ako lineárna kombinácia iných.

Prinášanie. Nech Vikonano (2.9) a nech je to významné, koeficient
. Možno aj:
. S úctou, čo je spravodlivé a reverzibilné.

Dôsledok 2. Ako vektorový systém
pomstiť nulový vektor, potom je systém (obov'yazkovo) lineárne ladný - dôkaz je zrejmý.

stopa 3. yakscho stred n vektor_v
byť ako k(
) Vektory sú uložené lineárne, potom všetky n vektor_v lineárnych vkladoch (oportunistický dôkaz).

2 0 . Lineárne kombinácie dvoch, troch a štyroch vektorov. Poďme sa pozrieť na výživu lineárneho úhoru a pravoúhlosti vektorov na priamke, rovinnosti a v priestore. Uveďme si nasledujúce vety.

veta 1. Aby dva vektory boli lineárne ladené, je potrebné a postačujúce, aby bol smrad kolineárny.

nevyhnutnosť. dovoľte mi vektorovať і lineárne vklady. Tse znamená, že ich lineárna kombinácia
= 0 i (kvôli vymenovaniu)
. Zvuky žiarlivosti
, I (v závislosti od násobenia vektora číslom) і kolineárne.

dostatočnosť. dovoľte mi vektorovať і kolineárny ( ║) (Predpokladá sa, že smrad je vo forme nulového vektora, inak je zrejmý ich lineárny omyl).

Podľa vety (2.7) (oddiel §2.1, položka 2 0) potom
no a čo
, alebo
- lineárna kombinácia sa rovná nule, navyše koeficient at veľa šťastia 1 - vektor і lineárne vklady.

Z hľadiska vety je zrejmý ďalší dôsledok.

dôsledkom. yakscho vectori і NIE kolineárne, potom je zápach lineárne nezávislý.

veta 2. Aby boli tri vektory lineárne zatuchnuté, potrebné a dostatočné, aby bol smrad konzistentný.

nevyhnutnosť. dovoľte mi vektorovať ,і lineárne vklady. Ukáže sa, že smrad poddajnosti.

Lineárny výskyt vektorov podľa nasledujúcich čísel
і taká, že lineárna kombinácia
, І v tsiomu (na stretnutie)
. Todi z tsієї vyrovnanosť možno vidieť vektor :=
, vektor Tobto lepšie uhlopriečky rovnobežníka, založené na vektoroch, aby stáli v pravej časti priamky rovnosti (obr. 2.6). Tse znamená, že vektory ,і ležať v rovnakej rovine.

dostatočnosť. dovoľte mi vektorovať ,і komparatívnosť. Ukáže sa, že smrad je lineárne zatuchnutý.

Vrátane možnosti kolinearity ľubovoľného páru vektorov (pretože ak je pár lineárne kumulatívny a následkom 3 (pozri bod 1 0), všetky tri vektory sú lineárne kumulatívne). S rešpektom, že takýto príspevok zahŕňa aj základ nulového vektora priemerných hodnôt troch.

Presuňme tri koplanárne vektory v jednej rovine a privedieme їх k hlave klasu. Cez koniec vektora nakreslené rovno, rovnobežne s vektormi і ; otrimaєmo at tsimu vectori і (Obr.2.7) і NIE kolіnearnі pre pripuschennyam vektory. Zvіdsi yiplyaє scho vektor =+. Po prepísaní hodnoty oka (-1) ++= 0 ,і lineárne vklady.

Z hotovej vety sú zrejmé dva dôsledky.

stopa 1. poď і NIE kolineárne vektory, vektor - dovіlny, scho ležať v rovine, ako je definované vektormi і , Vektor. Naučte sa rovnaké čísla і ako to

=+. (2.10)

stopa 2. yakscho vectori ,і NIE komplanarita, potom je smrad lineárne nezávislý.

veta 3. Be-yakі chotiri vectori linіyno zalezhnі.

Dôkaz je zanedbateľný; S niektorými zmenami neexistuje žiadna kópia dôkazu vety 2. Urobme z vety nejaké závery.

dôsledkom. Pre všetky nekoplanárne vektory ,,a akýkoľvek vektor
і ako to

. (2.11)

rešpekt. Pre vektory v (trivimirnom) rozsahu chápania lineárneho ladu a nezávislosti je možné, ako je zrejmé z vedenia viet 1-3, jednoduchý geometrický zmysel.

Dovoľte mi mať dva lineárne ladové vektory і . V takejto situácii je jeden z nich lineárnou kombináciou druhého, ktorý je jednoducho obrátený číselným násobiteľom (napr.
). Geometricky to znamená, že vektory priestupkov sú umiestnené na hornej priamke; zápach môže byť rovnaký alebo opačný je priamy (obr. 2.8 xx).

No, ak sú dva vektory zoradené jedna ku jednej (obr. 2.9 xx), tak týmto spôsobom nie je možné vziať jeden z nich vynásobením druhého číslom - takéto vektory sú lineárne nezávislé. Otzhe, lineárna nezávislosť dvoch vektorov і znamená, že q vektorov nemožno umiestniť na rovnakú čiaru.

Je zrejmé, že geometrický zmysel má lineárny úhor a nezávislosť troch vektorov.

dovoľte mi vektorovať ,і lineárne uložený a nie seno (na tento účel) vektor є lineárna kombinácia vektorov і , Tobto raztasovaniya v byte, scho na pomstu vectori і . Tse znamená, že vektory ,і ležať v rovnakej rovine. Pomerne a neúnavne pevne: ako vektor ,і ležať v jednom byte, potom je smrad lineárne ladený.

V tejto hodnosti, vectori ,і lineárne nezávislý v tom a len v tom páde, ako keby smrad neležal v jednom byte.

3 0 . pochopiť základ. Jedným z najdôležitejších na pochopenie lineárnej a vektorovej algebry je pochopenie základov. Predstavme si menovanie.

vymenovanie 1. Dvojica vektorov sa nazýva usporiadané, pretože je uvedené, ktorý vektor stávky by sa mal zvážiť ako prvý a ktorý iný.

Menovanie 2. objednaný pár ,nekolineárne vektory sa nazývajú báza v rovine, keďže sú definované danými vektormi.

veta 1. ľubovoľný vektor na rovine môžu byť zobrazenia ako lineárna kombinácia základnej sústavy vektorov ,:

(2.12)

a vzhľad je rovnaký.

Prinášanie. dovoľte mi vektorovať і vytvoriť základ. Nech je to vektor viete si predstaviť
.

Na dôkaz jednoty je prijateľné, aby existovalo ešte jedno usporiadanie
. May todi = 0, navyše chcem, aby sa jeden z rozdielov rovnal nule. Zostávajú vo význame, že vektory і lineárne ladený, potom kolineárny; Tse superechit pevnosť, scho smrad až základ.

Ale todi - šírenie do jedného.

vymenovanie 3. Trojica vektorov sa nazýva usporiadaná, pretože je uvedené, ktorý vektor by sa mal zvážiť ako prvý, ktorý ďalší a ktorý tretí.

vymenovanie 4. Usporiadaná trojica nekoplanárnych vektorov sa nazýva báza v priestore.

Aj tu platí teorém o expanzii a jednote.

veta 2. byť-vektor môžu existovať reprezentácie ako lineárna kombinácia základného vektorového systému ,,:

(2.13)

a všetky prejavy sú rovnaké (dôkaz vety je vynechaný).

V rozložení (2.12) a (2.13) hodnoty sa nazývajú súradnice vektora v danom základe (presnejšie súradnice afinity).

S pevným základom
і
môžeš písať
.

Napríklad ako podklad pre úlohy
a vzhľadom na to
, To neznamená, že je tu miesto pre prejav (rozloženie)
.

4 0 . Lineárne operácie s vektormi v súradnicovom tvare. Zavedenie základu umožňuje lineárne operácie s vektormi a nahrádza najvýznamnejšie lineárne operácie s číslami - súradnice týchto vektorov.

Nech sú úlohy skutočným základom
. Je zrejmé, že úloha súradníc vektora na rovnakom základe určuje samotný vektor. Existujú také návrhy:

a) dva vektory
і
Rivnі todі і tіlki tіlki tоdі, ak súradnice rіvnі їх vіdpovіdnі:

b) pri násobení vektora
za číslo jogo koordinujte a vynásobte celým číslom:

; (2.15)

c) pri pridávaní vektorov sa pridávajú uvedené súradnice:

Dokážte, že ste vynechali tsikh panovačný; urobme to pre pažbu sily b). možno

==

rešpekt. V blízkosti rozlohy (na rovine) si možno vybrať nespočetne bohaté základy.

Presuňme prechod z jedného základu na druhý, nastavíme sp_v_dnosheniya medzi súradnicami vektora v rôznych základniach.

zadok 1. Pre základný systém
dané tri vektory:
,
і
. V základe ,,vektor môže rozložiť. Poznať súradnice vektora v základe
.

Riešenie. Rozloženie mája:
,
,
; otzhe,
=
+2
+
= =
, potom
v základe
.

zadok 2. Dovoľte mi prejsť na skutočný základ
niekoľko vektorov je daných ich súradnicami:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi vektori upokojenia
základ; pozitívnym spôsobom poznať rozloženie vektora v akom základe.

Riešenie. 1) vektory vytvárajú základ, pokiaľ sú lineárne nezávislé. Ukladáme lineárnu kombináciu vektorov
(
) І z'yasuєmo, pre tých
і zmení sa na nulu:
= 0. možno:

=
+
+
=

Pre účely rovnosti vektorov v súradnicovom tvare je potrebné posunúť systém (lineárnych homogénnych algebraických) zarovnaní:
;
;
, Vyznachnik yakoї
=1
, takže systém môže byť (menej) triviálnym riešením
. Tse znamená lineárnu nezávislosť vektorov
і, otzhe, smrad uspokojiť základ.

2) šírenie vektora v akom základe. možno: =
alebo v súradnicovej forme.

Prechodom na rovnosť vektorov v súradnicovom tvare odoberieme sústavu lineárnych nehomogénnych algebraických rovníc:
;
;
. Virishyuchi її (napríklad podľa Cramerovho pravidla) berieme:
,
,
і (
)
. Môžem rozložiť vektor v základe
:=.

5 0 . Projekcia vektora na celok. Sila projekcií. Dovoľte mi, aby som všetko prerušil l, Tobto si to vezmeme priamo na seba a poďme robiť úlohy vektora .Definovať pojem premietanie vektora za celok l.

vymenovanie. vektorová projekcia za celok l tvir modulu tohto vektora sa nazýva kosínus kuta mizh vіssu l i vektor (obr.2.10):

. (2.17)

Posledná z menovania je vyhlásenie o tých, ktoré sú rovnakými vektormi a môžu mať rovnaké projekcie (na jeden a ten istý celok).

Výrazne panovačné projekcie.

1) projekcia súčtu vektorov na deň všetkých l pridajte súčet projekcií ďalších vektorov na rovnaký celok:

2) projekcia skalárneho vytvorenia na vektor je nákladnejšia na pridanie rovnakého skalára k projekcii vektora na rovnakú os:

=
. (2.19)

dôsledkom. Premietanie lineárnej kombinácie vektorov na všetky ostatné lineárne kombinácie ich projekcií:

Preukázanie autority je vynechané.

6 0 . Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore.Rozdelenie vektora podľa vektorov osí. Ako základ nech sú zvolené tri navzájom kolmé vektory; pre nich zavádzame špeciálne označenia
. Ich umiestnením na klas do bodky O, Nasmerované pozdĺž nich (vіdpovіdno do orts
) Súradnicové osi Vôl,Oj iO z(Vezmime všetko na to s pozitívnym smerom, na klase vo vіdlіku a osamelosti, to sa nazýva súradnica vіssyu).

vymenovanie. Systém troch vzájomne kolmých súradnicových osí s hlavovým klasom a hlavovou jednotkou je usporiadaný a nazýva sa pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore.

os Vôl sa nazýva celá úsečka, Oj- všetky súradnice іO z – Aplikácia Vіsyu.

Poďme sa zaoberať rozložením určitého vektora podľa základu
. Tri vety (pozri § 2.2, položka 3 0, (2.13)) jasne ukazujú, že
môže byť jedno a to isté poradie usporiadaní podľa základu
(Tu môžete zmeniť súradnice
zvyknúť si
):

. (2.21)

V (2.21)
podstatou (karteziánskeho rektorezu) súradníc vektora . Zmysel karteziánskych súradníc je stanovený teorémom.

teorém. Kartézske pravouhlé súradnice
vektor є projekcie tohto vektora sú viditeľné na osi Vôl,Oj iO z.

Prinášanie. pomіstimo vektor do klasu súradnicového systému - bod O. Todi yogo kіnets bude zbіgatisya s deakoy bodom
.

Prejdime cez bod
tri roviny rovnobežné so súradnicovými rovinami Oyz,Oxzі Oxy(Obr.2.11 xx). Berieme len:

. (2.22)

V (2.22) vektory
і
sa nazývajú skladové vektory
pozdĺž osí Vôl,Oj iO z.

nechať to prejsť
і označený ako dobrý kuti, schválený vektorom s orts
. Pre sklady sa však vyžadujú nasledujúce vzorce:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Z (2.21), (2.22) (2.23) vieme:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- súradnice
vektor є projekcie vektora na súradnicovú os Vôl,Oj iO z samozrejme.

rešpekt. čísla
sa nazývajú priame kosínusy vektora .

vektorový modul (Uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena) sa vypočíta podľa vzorca:

. (2.24)

Zo vzorcov (2.23) a (2.24) je zrejmé, že priame kosínusy možno vypočítať pomocou vzorcov:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Zvodyashchie urážaním častí vyrovnanosti kože v (2.25) a pridávaním výrazu po výraze ľavú a pravú časť odoberania rovnosti, dospejeme k vzorcu:

- nebuď ako tri kuti utvoryuyut deaky priamo v priestore, ale len menej t, kosínusy takýchto pov’yazan svvdnoshnennyam (2.26).

7 0 . Vektor polomeru a súradnice bodu.Označenie vektora na jogovom klase i kіntsia. Predstavme si menovanie.

vymenovanie. Polomerový vektor (označený ) Vektor sa nazýva, ktorý zadnuє klas súradníc O s bodkou (obr. 2.12 xx):

. (2.27)

Be-yakіy poukazujú na priestor vіdpovіdaє singy polomer-vektor (i späť). V tomto poradí môžu byť body priestoru reprezentované vo vektorovej algebre pomocou ich polomerových vektorov.

Jednoznačne súradnice
bodov Mє projekcie її vektor polomeru
na súradnicovej osi:

(2.28’)

a takýmto spôsobom

(2.28)

- polomer-vektor bodu je vektor, ktorého priemety na súradnicové osi zodpovedajú súradniciam bodu. Znie to ako dva záznamy:
і
.

Odoberáme vzorce na výpočet projekcií vektora
pre súradnice yogo na klase - body
i kintsya - body
.

Nakreslite vektor polomeru
i vektor
(obr.2.13). Berieme to do úvahy

=
=(2.29)

- projekcie vektora na súradnicové vektory rovné rozdielom v zodpovedajúcich súradniciach konca a klasu vektora.

8 0 . Operácie na karteziánskych súradniciach.

1) pochopiť kolinearitu vektorov . Platia 3 vety (pozri §2.1, položka 2 0, vzorec (2.7)), ktoré pre kolinaritu vektorov і je to nevyhnutné a dostatočné, aby spіvvіdnoshennia vyhrala: =. Pre túto vektorovú rovnosť vezmeme tri v súradnicovom tvare rovnosti:

(2.30)

- pre kolineárne vektory і potrebné a dostatočné, aby ich príslušné súradnice boli proporcionálne.

2) pohybovať sa medzi bodkami . Podľa vzhľadu (2.29) vidíte, čo vidíte
medzi bodmi
і
vyznaetsya vzorec

=
=. (2.31)

3) podіl vіdrіzka vіdnomu vіdnoshenі . Dajte mi bod
і
a okenice
. potreba vedieť
- súradnice bodu M (obr.2.14).

Pochopte prosím kolinearitu vektorov:
, hviezdy
і

. (2.32)

Z (2.32) sa berie v súradnicovom tvare:

Zo vzorcov (2,32 ') je možné vziať vzorec na výpočet súradníc stredu klinu
, napriek tomu
:

rešpekt. Pozrime sa
і
kladný alebo záporný úhor, podľa toho, či bežia rovno na klas
vietor do konca
, inak neutekaj. Potom podľa vzorcov (2,32) - (2,32 ") môžete poznať súradnice bodu na rozdelenie čiar
zovnіshnіm hodnosť, potom tak, čo rozdeliť bod M byť v predaji
, nie uprostred jogy. S kým, to je jasné
.

4) zarovnanie guľových plôch . Skladové vyrovnanie guľových plôch - geometrické bodové body
, Rivnoviddalenikh na vіdstane pohľad na pevný stred - body
. Je zrejmé, že v tejto vipadke
a so zlepšením vzorca (2.31)

Nivelácia (2.33) a vyrovnanie guľovej plochy.

Úloha 1. Systém vektorov Z'yasuvati, chi є je lineárne nezávislý. Systém vektorov bude daný maticou systému, ktorej stĺpce sú sčítané zo súradníc vektorov.

.

Riešenie. Poď on line kombinácia rovná sa nule. Po zapísaní hodnoty v súradniciach vezmeme systém vyrovnávania:

.

Takýto systém rovných sa nazýva trikut. Existuje len jedno riešenie . Otec, vektori lineárne nezávislé.

Úloha 2. Z'yasuvati, chi є lineárne nezávislý systém vektorov.

.

Riešenie. vektory lineárne nezávislé (rozdiel. úloha 1). Povedzme, že vektor je lineárna kombinácia vektorov . Koeficienty rozdelenia podľa vektorov vynachayutsya zo systému rovný

.

Systém Tsya, podobne ako trikutna, je jedným z riešení.

Otec, systém vektorov lineárne ladom.

rešpekt. Matice tohto druhu, ako v úlohe 1, sa nazývajú zložité , A v úlohe 2 - často zložité . Informácie o linearite systému vektorov sa dajú ľahko pomýliť, pretože matica sa skladá zo súradníc týchto vektorov a je často zložitá. Ak matica nemá špeciálny formulár, potom o pomoc elementárna transformácia riadkov , Scho zberіgayut lineárne spіvvіdnoshennia mіzh stovptsami, її môže byť znížená na podobne-zložitý vzhľad.

Elementárne transformácie riadkov matice (EPC) sa nazývajú také operácie na matici:

1) permutácia riadkov;

2) násobenie riadku na danom nulovom čísle;

3) pridanie k riadku nasledujúceho riadku, vynásobené určitým číslom.

Úloha 3. Nájdite maximálny lineárne nezávislý podsystém a vypočítajte hodnosť vektorového systému

.

Riešenie. Nasmerujme maticu systému po pomoci EPC na podobný-často-záludný vzhľad. Na vysvetlenie poradia dňa sa riadok s číslom premení na maticu s významovým symbolom. V zadnej časti stĺpca sú nad riadkami zobrazené šípky, matice sú transformované, ako keby sa na odstránenie riadkov novej matice vyžadoval viconát.

.

Je zrejmé, že prvé dva stĺpce odstránenej matice sú lineárne nezávislé, tretí stĺpec je lineárna kombinácia a štvrté stĺpce nemožno nájsť v prvých dvoch. vektory sa nazývajú základné. Zakladajú maximálny lineárne nezávislý subsystém systému , A poradie systému je tri.

Základ, súradnice

Úloha 4. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na anonymných geometrických vektoroch, ktorých súradnice potešia myseľ .

Riešenie. Bezlіch є plochý, scho prejsť klasom súradníc. Dodatočná báza v rovine je zložená z dvoch nekolineárnych vektorov. Súradnice vektorov v obrátenej báze sú priradené riešeniam zodpovedajúceho systému lineárnych zarovnaní.

Іsnuє th іnshіy sposіb vyvіshennya tsgogo zavdannya, ak môžete poznať základ pre súradnice.

súradnice priestor nie sú súradnice na byte, takže smrad , Tobto nie je nezávislý. Nezávislé premenné i (smrady sa nazývajú voľné) jedinečne priraďujú vektor oblasti і, takže smrady možno brať so súradnicami. rovnaký základ pozostáva z vektorov, ktoré ležia v rôznych množinách vo voľných premenných і , potom .

Úloha 5. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na neosobných všetkých vektoroch v priestore, ktoré majú nepárové súradnice navzájom rovnaké.

Riešenie. Vibero, rovnako ako ja v úlohe vpred, koordinuje v priestore.

tak jaka , To sa zmení jednoznačne priraďte súradnice vektora z і, otzhe, є. Premenná báza je zložená z vektorov.

Úloha 6. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na neosobných všetkých maticiach vo formulári , de - poriadny počet.

Riešenie. Kožná matrica s je jedinečne reprezentovateľná na prvý pohľad:

Tse spіvvіdnoshennia є razladannyam vektor z na základe
so súradnicami .

Úloha 7. Poznať expanziu a základ lineárnej obálky vektorového systému

.

Riešenie. Transformujme pomocou matice EPC zo súradníc vektora v systéme na podobne ošemetný vzhľad.

.

stovptsi zvyšné matice sú lineárne nezávislé a zvyšné matice lineárne sa cez ne ohýbať. Otec, vektori vytvoriť základ , і .

rešpekt. základ v zvolený nejednoznačne. Napríklad vektor tiež stanoviť základ .

poď L - lineárny priestor nad poľom R . poď A1, A2, ..., an (*) Kintsevov systém vektorov L . vektor AT = A1 × A1 +A2 × A2 + ... + a × An (16) tzv Lineárna kombinácia vektorov ( *), alebo povedzte aký vektor AT lineárne invertovaný cez systém vektorov (*).

Stretnutie 14. Zavolá sa vektorový systém (*). lineárny úhor , Vtedy a len vtedy, ak existuje taká nenulová množina koeficientov a1, a2, ..., an, že a1 × A1 +A2 × A2 + ... + a × An = 0. Čo tak a1 × A1 +A2 × A2 + ... + a × An = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, potom sa zavolá systém (*). Lineárne nezávislé.

Sila lineárneho úhoru a nezávislosti.

10. Ak systém vektorov môže nahradiť nulový vektor, potom je lineárne ladný.

Určite, len v systémovom (*) vektore A1 = 0, Te 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ak systém vektorov nahradí dva proporcionálne vektory, potom je lineárne ladný.

poď A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× ALE N= 0.

30. Endiánsky systém vektorov (*) s n ³ 2 je lineárne ladný, aj keď je požadovaný len jeden z vektorov v lineárnej kombinácii iných vektorov v systéme.

Þ Nehai (*) je lineárne úhor. Potom existuje nenulová množina koeficientov a1, a2, ..., an, pre ktorú platí a1 × A1 +A2 × A2 + ... + a × An = 0 . Bez toho, aby ste zničili ospalosť, môžete zvážiť, že a1 ¹ 0. A1 = × a2 × A2 + ... + × a × ALE N. Otze, vektor A1 є lineárna kombinácia iných vektorov.

Ü Nech je jeden z vektorov (*) lineárnou kombináciou ostatných. Môžete zadať, ktorý je prvý vektor, t.j. A1 = B2 A2+ ... + mld ALE N, Zvіdsi (-1) × A1 + b2 A2+ ... + mld ALE N= 0 , T. E. (*) Lineárny úhor.

Rešpekt. Vikoristovuyuchi zostávajúcu silu, môžete dátum označenie lineárneho omylu a nezávislosti nevyčerpateľného systému vektorov.

Stretnutie 15. vektorový systém A1, A2, ..., an , ... (**) sa nazýva Lineárny úhor, Stačí jeden її vektor є lineárna kombinácia konečného počtu ďalších vektorov. Iným spôsobom sa nazýva systém (**). Lineárne nezávislé.

40. Kіntseva systém vektorov je lineárne nezávislý iba vtedy, ak je možné lineárne prepojiť iné vektory.

50. Tak ako je lineárne nezávislý vektorový systém, tak či je lineárne nezávislý aj podsystém.

60. Keďže podsystém tohto vektorového systému je lineárne úhorový, potom je celý systém tiež lineárne úhorový.

Dovoľte mi uviesť dva systémy vektorov A1, A2, ..., an , ... (16) i B1, B2, ..., BS, ... (17). Ak skinový vektor systému (16) možno znázorniť ako lineárnu kombináciu konečného počtu vektorov v systéme (17), potom môžeme povedať, že systém (17) je lineárne vyjadrený systémom (16).

Stretnutie 16. Nazývajú sa dva systémy vektorov ekvivalent , keďže ich koža je lineárne vyjadrená jazykom.

veta 9 (Základná veta o lineárnom úhore).

daj mi vedieť - dva koncové vektorové systémy L . Keďže prvý systém je lineárne nezávislý a lineárne rotuje cez priateľa N£ s.

Prinášanie. Predpokladajme, že N> S. Za teorémom mysle

Celkom. Keďže počet rovných je väčší ako počet neznámych, potom môže byť systém nekonečne bohatší na riešenie. Otec, ona má nenulové X10, x20, ..., xN0. S týmito hodnotami bude platiť rovnosť (18), ktorá nahrádza skutočnosť, že systém vektorov je lineárne nezávislý. Otec, naše priznanie nie je správne. otzhe, N£ s.

Dôsledok. Keďže v Číne existujú dva ekvivalentné systémy vektorov a lineárne nezávislé, potom smrad pomstí rovnaký počet vektorov.

Stretnutie 17. Vektorový systém je tzv Maximálny lineárne nezávislý systém vektorov lineárny priestor L , Keďže je lineárne nezávislý, ale pri pridávaní k nemu môže existovať nejaký vektor L , Scho nevstúpiť do tohto systému, stáva sa už lineárne ladom.

Veta 10. Be-yakі dvі kіntsevі maximálne lineárne nezávislé vektorové systémy L Kompenzujte rovnaký počet vektorov.

Prinášanie je jasné, že existujú dva maximálne lineárne nezávislé systémy vektorov v ekvivalente .

Je ľahké priniesť, scho byť lineárne nezávislý vektorový systém v priestore L možno rozšíriť na maximálne lineárne nezávislý vektorový systém v celom priestore.

použiť:

1. Pre neosobné všetky kolineárne geometrické vektory musí existovať systém, ktorý pozostáva z jedného nenulového vektora, ktorý je maximálne lineárne nezávislý.

2. Pre neosobné všetky koplanárne geometrické vektory, či dva nekolineárne vektory tvoria maximálny lineárne nezávislý systém.

3. V beztvarom zo všetkých možných geometrických vektorov v triviálnom euklidovskom priestore je systém troch nekoplanárnych vektorov maximálne lineárne nezávislý.

4. Neosobné polynómy už nemajú kroky N S efektívnymi (komplexnými) koeficientmi systém polynómov 1, x, x2, ..., xnЄ maximum lineárne nezávislé.

5. Pre neosobné polynómy s reálnymi (komplexnými) koeficientmi, zadok maximálneho lineárne nezávislého systému

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,...

6. Neosobná matrica priestoru M´ Nє lineárny priestor (obrátený). Pažbou maximálneho lineárne nezávislého systému v rovnakom priestore je systém matíc E11= , E12 =, ..., EMn = .

Nech je daný systém vektorov C1, c2, ..., porov (*). Zavolá sa vektorový podsystém s (*). Maximálne lineárne nezávislé subsystému systém ( *) , Ak je lineárne nezávislý, ale ak k nemu pridáte akýkoľvek iný vektor, systém bude lineárne ladený. Ak je systém (*) Kіntsev, potom je to maximálny lineárne nezávislý subsystém, ktorý pomstí jeden a ten istý počet vektorov. (Dôkaz by sa mal vykonať nezávisle). Volá sa počet vektorov v maximálnom lineárne nezávislom podsystéme systému (*). hodnosť Tsієї systémy. Je zrejmé, že ekvivalentné vektorové systémy môžu mať rovnaké úrovne.

Lineárny úhor a nezávislosť vektora

Označenie lineárnych úhorových a nezávislých vektorových systémov

stretnutie 22

Nech mám systém n-vektorov a možno aj množinu čísel
, potom

(11)

sa nazýva lineárna kombinácia daného systému vektorov s danou množinou koeficientov.

stretnutie 23

vektorový systém
sa nazýva lineárny úhor, ako taký súbor koeficientov
, Ak sa iba jeden z nich nerovná nule, potom sa lineárna kombinácia daného systému vektorov s množinou koeficientov rovná nulovému vektoru:

poď
, potom

Stretnutie 24 ( prostredníctvom prejavu jedného vektora systému vo forme lineárnej kombinácie iných)

vektorový systém
sa nazýva lineárny úhor, aj keď jeden z vektorov v systéme môže byť reprezentovaný vo vizuálne lineárnej kombinácii iných vektorov v systéme.

vytvrdzovanie 3

Označené 23 a 24 ekvivalenty.

stretnutie 25(Cez nulovú kombináciu)

vektorový systém
sa nazýva lineárne nezávislý, takže nulová lineárna kombinácia systému môže byť možná len pre všetkých
rovná nule.

stretnutie 26(Vzhľadom na nemožnosť odoslania jedného vektora systému to vyzerá ako lineárna kombinácia iných)

vektorový systém
sa nazýva lineárne nezávislý, keďže ani jeden z vektorov v systéme nemôže byť reprezentovaný lineárnou kombináciou iných vektorov v systéme.

Dominancia lineárne ležiacich a nezávislých systémov vektorov

teorém 2 (Nulový vektor v systéme vektorov)

Ak je v sústave vektorov nulový vektor, potom je sústava lineárne ladná.

 No tak
, Todi.

prijaté
, Otzhe, na označenie lineárneho úhorového systému vektorov prostredníctvom nulovej lineárnej kombinácie (12) systém je lineárne ladený. 

teorém 3 (Depozitný subsystém v systéme vektorov)

Tak ako v sústave vektorov je subsystém lineárne úhorový, tak aj celý systém je lineárne úhorový.

 No tak
- lineárny úhorový podsystém
, Stred z nich, ak sa iba jedna nerovná nule:

Takže po vymenovaní 23 je systém lineárne ladný. 

veta 4

Či už ide o podsystém lineárne nezávislého systému lineárne nezávislého systému.

 Zdanlivo naopak. Nech je systém lineárne nezávislý a v niy є lineárne ležiacom podsystéme. Aletody po Theorem 3 bude celý systém tiež lineárne ladený. Upratovanie. Subsystém lineárne nezávislého systému tiež nemôže byť lineárne ladený. 

Geometrický zmysel pre lineárny úhor a nezávislosť vektorového systému

veta 5

dva vektory і liniyno úhor todi a iba tіlki todi, ak
.

 Nevyhnutnosť.

і - lineárne vklady
, Čo je myseľ fúkanie
. tiež
, Tobto
.

Dostupnosť.

Lineárne vklady. 

dôsledok 5.1

Nulový vektor je kolineárny s akýmkoľvek vektorom

dôsledok 5.2

Aby boli dva vektory lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, tzv nie kolineárne .

veta 6

Na to, aby systém troch vektorov bol lineárne ladený, je potrebné a postačujúce, aby vektory a vektory boli koplanárne .

 Nevyhnutnosť.

- lineárne ladený, preto môže byť jeden vektor reprezentovaný lineárnou kombináciou dvoch ďalších.

, (13)

de
і
. Za pravidlom rovnobežníka є uhlopriečka rovnobežníka so stranami
, Ale rovnobežník - plochá postava
koplanárnosť
- tiež komparatívnosť.

dostatočnosť.

- súlad. Do bodu B uvádzame tri vektory:

C

B'

- lineárne vklady 

následok 6.1

Nulový vektor je koplanárny s ľubovoľným párom vektorov.

následok 6.2

Aby bolo možné vektorovať
ak je lineárne nezávislý, treba to urobiť, aby smrad nebol konzistentný.

následok 6.3

Či môže byť rovinný vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia dvoch nekolineárnych vektorov v tej istej rovine.

veta 7

Be-yakі chotiri vektory v priestore lineárnych ložísk .

 Pozrime sa na 4 vipadie:

Nakreslíme rovinu cez vektory, nakreslíme rovinu cez vektory a rovinu cez vektory. Nakreslíme roviny, ktoré prechádzajú bodom D, rovnobežne s dvojicami vektorov; ; samozrejme. Pozdĺž línií peretiny rovín bude rovnobežnosten OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Pozri na OB 1 D 1 C 1 - rovnobežník s pravidlom rovnobežníka
.

Pozrime sa na OADD 1 - rovnobežník (so silou rovnobežnostena)
, potom

Vložiť rovnicu.3.

Podľa vety 1
no a čo. tiež
, I pre vymenovanie 24 vektorový systém je lineárne ladom. 

následok 7.1

Súčet troch nekoplanárnych vektorov v priestore je vektor, ktorý vyrastá z uhlopriečky rovnobežnostena na základe týchto troch vektorov aplikovaných na ucho klasu a ucho vektora sumi zbіgaєtsya z rohu klas týchto troch vektorov.

následok 7.2

Ak vezmete 3 nekoplanárne vektory v priestore, potom, či nejaký vektor tohto priestoru môže byť usporiadaný v lineárnej kombinácii týchto troch vektorov.