Obliczanie pola powierzchni figury otoczonej liniami, podanej parametrycznie. Jak obliczyć powierzchnię sylwetki i objętość body wrappingu, jak parametrycznie ustawiona jest linia? Jak poznać obszar w mojej vipadce

Wykłady 8. Programy całki wyrazu.

Dodatek całki do problemów fizycznych opiera się na sile addytywności całki na rzecz bezosobową. Dlatego za pomocą całki takie wielkości można policzyć, tak jakby same były addytywne w wielokrotności. Na przykład powierzchnia figury jest równa sumie powierzchni łuku Dovzhin, powierzchnia powierzchni, objętość ciała, masa ciała mogą mieć taką samą moc. Tę liczbę wielkości można obliczyć za pomocą prostej całki.

Możesz przekręcić dwie metody i rozwiązywać zadania: metoda sum całkowych i metoda różniczkowa.

Metoda sum całkowitych powtarza konstrukcję całki pierwszej: będą podziały, obliczane są punkty, dla których obliczana jest funkcja, obliczana jest suma całkowa, obrócone jest przejście graniczne. Dla kogo wszystkie metody to proste składanie - aby przynieść to, co jest między wami i te same, które są niezbędne do zadania.

Metoda różniczkowa nie-wartości całki Vicorist i formuła Newtona-Leibnitza. Oblicz róŜnicę wielkości, zgodnie z wymaganiami, Ŝe buv, całkując róŜniczkę, dla wzoru Newtona-Leibnitza, przyjmie wymaganą wielkość. Kogo ma całą metodę o zgodności podstawowej - przynieść jaką obliczono różniczkę wartości wymaganej i nic więcej.

Obliczanie powierzchni figur płaskich.

1. Figura jest otoczona wykresem funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Doszliśmy do zrozumienia całki pojedynczej w kategoriach obszaru trapezu krzywoliniowego (właściwie metoda sum całkowitych). Ta funkcja akceptuje tylko zobacz znaczenie wtedy obszar pod wykresem funkcji na vіdrіzka można obliczyć za pomocą całki singa. Szanujemy to Dlatego można tu zastosować metodę różnicową.

Ale funkcja może również przyjmować wartości ujemne po drugiej stronie, ale całka po drugiej stronie ma ujemną powierzchnię, która nakłada się na wyznaczony obszar.

Możesz obliczyć powierzchnię za pomocą wzoruS=. Konieczna jest zmiana znaku funkcji w cichych miejscach, w których występują wartości ujemne.

Jeśli chcesz obliczyć obszar figury otoczony wykresem funkcji do bestii, a poniżej wykresem funkcji, to możesz użyć formułyS= , więc jaka.

krupon. Oblicz pole figury otoczonej liniami x=0, x=2 oraz wykresami funkcji y=x 2 , y=x 3 .

Warto zauważyć, że przedział (0,1) ma nierówność x 2 > x 3 , a dla x >1 nierówność x 3 > x 2 . Tomek

2. Figurę otacza wykres funkcji podanej w układzie współrzędnych biegunowych.

Niech wykres funkcji zadania dla układu współrzędnych biegunowych i chcesz obliczyć obszar sektora krzywoliniowego, otoczony przez dwie wymiany i wykres funkcji dla układu współrzędnych biegunowych.

Tutaj możesz użyć metody sum całkowitych, obliczając powierzchnię sektora krzywoliniowego między sumą powierzchni sektorów elementarnych, w której wykres funkcji jest zastąpiony łukiem stawki .

Możesz przekręcić metodę różnicową: .

Możesz tak mirkuvati. Zastąpienie elementarnego sektora krzywoliniowego, co daje centralnemu kutowi sektor kołowy, być może proporcję. Zwіdsi . Oczywiście integrując formułę Vicorist Newtona-Leibnitza .

krupon. Oblicz powierzchnię stawki (formuła perevirim). Drogi. Powierzchnia stawki jest droższa .

krupon. liczę obszar, jestem otoczony cardio .

3 Rysunek jest otoczony wykresem funkcji określonej przez parametry.

Funkcję można ustawić parametrycznie jako . Formuła Vikoristovuemo S= , zastępując jej interintegrację nową zmianą. . Kiedy obliczasz całkę, widzisz te obszary, funkcja deintegrująca może mieć pierwszy znak i chronić cały obszar tym drugim znakiem.

krupon. Oblicz obszar, otocz go wielokropkiem.

Symetria Vikoristovuemo elipsy, licząc obszar ćwiartki elipsy, która znajduje się w pierwszym kwadrancie. Czyj kwadrant? Tomek.

Obliczanie kontaktów tel.

1. Obliczanie obsyagіv dla obszarów równoległych reperіziv.

Niech będzie konieczne obliczenie objętości rzeczywistego ciała V dla danych obszarów przekroju ciała płaszczyznami prostopadłymi do prostej OX, przechodzącej przez punkt x prostej OX.

Potrzebujemy metody różniczkowej. Co ważne, przyjmuje się objętość elementarną, powyżej objętości pionowej prostego okrągłego cylindra o podstawie i wysokości . Integracja i formuła zastosovuyuchi Newton-Leibniz, bierzemy

2. Obliczenia dotyczą pakowania.

Niech będzie konieczne virahuvati WÓŁ.

Todi .

Podobnie, TomOY Jeśli funkcja jest podana do przeglądarki, można ją obliczyć za pomocą formuły.

Ta funkcja jest ustawiona dla widza i konieczne jest określenie objętości owinięcia ciała wokół osiOY wzór na wyliczenie zobowiązania można odjąć od nadchodzącej rangi.

Przechodząc do różniczki i nie używając wyrażeń kwadratowych, być może . Być może integracja i formuła zastosovuyuchi Newton-Leibniz.

krupon. Oblicz obsyag cooli.

krupon. Oblicz objętość prawego okrągłego stożka otoczonego polem powierzchni.

Obliczmy objętość, podobnie jak objętość korpusu owijki, wykonaną wokół osi OZ prosto ciętego trykotu w płaszczyźnie OXZ, którego nogi leżą na osi OZ i linii prostej z \u003d H, a przeciwprostokątne leżą na linii prostej.

Obracając x do z, możemy wziąć .

Oblicz długość łuku.

Aby wziąć wzory na obliczenie tyłu łuku, stworzyliśmy w 1 semestrze wzór na różniczkę grzbietu łuku.

Jak łuk na wykresie funkcji nieprzerwanie zróżnicowanej, różniczkę drugiego łuku można obliczyć ze wzoru

. Tomek

Nawet jeśli gładki łuk jest podany parametrycznie, następnie

. Tomek .

Podobnie łuk jest ustawiany w biegunowym układzie współrzędnych, następnie

. Tomek .

krupon. Rozwinąć krawędź łuku wykresu funkcji, . .

Najpierw przejdź do wzorów dla obszaru okładu powierzchni, aby uzyskać krótką formułę samego okładu powierzchni. Górne opakowanie lub to samo - górne opakowanie ciała - przestronna figura, opakowanie jest wykonane w vіdrіzka AB krzywa na osi Wół(Niżej wymienione).

Odsłonę trapez krzywoliniowy, bestię otoczę krzywą zgadywania krzywej. Tіlo, wykonane do opakowań tsієї trapezії navko tiєї zh osі Wół i є do pakowania. A obszar owijania powierzchni lub powierzchnia owijania ciała to cała powłoka Yogo ovnishnya, a nie rahuyuchi kіl, opakowania utavleny na prostej osi x = aі x = b .

Z szacunkiem, że korpus owinięcia i oczywiście ta sama powierzchnia może być wykonana tak, aby owinięcia figury nie znajdowały się na osi. Wół, ale wokół osi Auć.

Obliczanie pola powierzchni opakowania podanego we współrzędnych prostokątnych

Przejdźmy do współrzędnych prostokątnych na płaskiej płaszczyźnie tak = F(x) podana jest krzywa, zawijanie wokół osi współrzędnych otrzymuje zawijające ciało.

Wzór na obliczenie pola powierzchni chusty jest następujący:

(1).

Przykład 1. Poznaj obszar powierzchni paraboloidy pokrytej owijkami wokół osi Wółłuki paraboliczne, które się zmieniają x pogląd x= 0 do x = a .

Rozwiązanie. Możemy wyraźnie zobaczyć funkcję, gdy ustawimy łuk paraboli:

Znamy następujące funkcje:

Najpierw przyspieszmy formułę poznania obszaru owijania powierzchni, napiszmy tę część її pіdіntegralny virase, jak korzeń i prawdopodobnie jest tylko znany pokhіdn:

Vidpovіd: łuk dozhina krzywy dorіvnyuє

.

tyłek 2. Poznaj obszar powierzchni, która owija się wokół osi Wół astroidi.

Rozwiązanie. Wystarczy obliczyć pole powierzchni, które wyjdzie w obwolucie jednej z gwiazdek, potargane w pierwszej ćwiartce i pomnożyć її przez 2. Z wyrównania astroidy jest to wyraźnie funkcja , więc będziemy musieli podać wzór do obliczenia powierzchni

.

Zmienna integracja od 0 do a:

Obliczanie pola powierzchni opakowania podanej parametrycznie

Możemy spojrzeć na nachylenie, jeśli krzywa wyznaczająca powierzchnię zawinięcia jest wyznaczona przez równości parametryczne

Ten sam obszar owijania powierzchni obliczany jest według wzoru

(2).

przykład 3. Znać obszar owinięcia powierzchni, pokryty owijkami na osi Auć postać otoczona cykloidą i linią prostą tak = a. Cykloida jest dana przez równości parametryczne

Rozwiązanie. Znamy punkt przecięcia cykloidy i linii prostej. Wyrównanie wyrównania cykloid i wyrównanie linii prostych tak = a, wiemy

Dlaczego widzisz, co pokazuje interintegracja?

Teraz możemy wypełnić formułę (2). Poznajmy zabawę:

Zapisujemy pierwiastek wirusa w formule, reprezentujący znane wyniki:

Znamy źródło tego wirusa:

.

Załóżmy, że znaleźliśmy formułę (2):

.

Zróbmy podstawienie:

Ja, nareszti, wiemy

Przekonwertowane wirusy mają różne wzory trygonometryczne

Sugestia: obszar owijania powierzchni jest dobry.

Obliczanie pola powierzchni opakowania podanego we współrzędnych biegunowych

Niech krzywa zawinie się wokół powierzchni, ustawiona we współrzędnych biegunowych.

Kocham was, studenci VNZ Argemony!

Więcej trohi - a kurs się skończy i od razu zajmiemy się osią.

Zhouli trohi machnęła ręką - i na wietrze wydawała się stać. A raczej był to trapez prostoliniowy. Vaughn po prostu wisiał w powietrzu, stworzony przez magiczną energię, gdy płynął wzdłuż її boków, a także wirował pośrodku samego trapezu, przez który wszystko wibrowało i mieniło się.
Następnie vikladach trohi wykonywało palcami dłoni ruch okrężny - i trapez zaczął owijać się wokół niewidzialnej osi. Po cichu, potem będziemy coraz lepsi - tak, aby w przyszłości liczba postów zaczęła się pojawiać. Wydawało się, że uniosła się z niej magiczna energia.

Dali trapilos tak: lśniące kontury postaci i wnętrzności zaczęły chwytać jak mowa, światło stawało się coraz mniej zapadające w pamięć, potem sama postać coraz bardziej upodabniała się do schos vodchutne. Ziarna materiału były stopniowo dzielone zgodnie z rysunkiem. Pierwsza oś zniknęła: opakowanie, świeca. Povitri visiv ma obiekt podobny do virvy. Zhouly ostrożnie położył joga na stole.

Dobrze oś. W przybliżeniu w ten sposób można zmaterializować wiele obiektów - w sposób zawijający, jak płaskie figury, które są prawie liniami prostymi. Oczywiście do materializacji trzeba dużo wyśpiewać mowy, aby wypełnić sobą cały tom, który jest ustalony i czasowo ujarzmiony dodatkową energią magiczną. A oś, aby dokładnie rozweselić, ile potrzeba mowy, - konieczne jest poznanie akceptowanego ciała. W przeciwnym razie, jeśli nie będzie wystarczającej ilości mowy, nie będzie można ogarnąć sobą całego tomu, a ciało może być niemieckie, z vadas. A materiały są jeszcze bardziej upiększone wielką nadmiarowością mowy - nie trzeba emanować magiczną energią.
Jak to jest, że dużo mówimy? Todi, oprócz liczenia obsyagi tel, możesz oszacować, jak dla rozmirami tіlo możemy rosnąć bez specjalnych ilości magicznej energii.
Jakikolwiek nadmiar otrzymanego materiału to kolejna myśl. Gdzie pójdą zbędne przemówienia? Obsipayutsya, nie będąc zadіyanimi? Chi przykleja się do ciała abyak?
Tutaj jest więcej do przemyślenia. Gdy tylko miałeś jakieś myśli, słuchałem ich z satysfakcją. W międzyczasie przejdźmy do obliczania obsyagiv, odbierając taki sposób.
Tutaj można zobaczyć szprota vipadkiv.

Vipadok 1.

Obszar, jak będziemy zawijać, to najbardziej klasyczny trapez krzywoliniowy.

Oczywiste jest, że możemy owijać się tylko wokół osi OH. Jak mogę zniszczyć trapez prawoskrętny w poziomie, aby nie przytłaczał całego OY, można go owinąć wokół i wokół osi. Formuły pisowni dla obu vipadkіv są następujące:

Ponieważ opanowałeś już podstawowe magiczne sztuczki dotyczące funkcji, myślę, że przeniesienie figury tak w osiach współrzędnych, jeśli to konieczne, nie będzie miało dla ciebie znaczenia, aby była przydatna do pracy z nią.

Vipadok 2

Możesz owinąć nie tylko klasyczny trapez krzywoliniowy, ale figurę o takim wyglądzie:

Podczas pakowania zabieramy własny pierścionek. A po przeniesieniu figury do obszaru dodatniego możemy її zawinąć i wybrać oś OY. Tezh otrimaєmo kіltse chi nі. Ułożyć wszystko tak, aby postać była roztashovuvatym: jeśli przekroczysz granicę dokładnie wzdłuż osi OY, pierścień nie będzie widoczny. Możliwe jest rozwikłanie obsyagi takich opakowań za pomocą następującego zaklęcia:

Vipadok 3.

Załóżmy, że mamy cudowne krzywe, ale takie, że są zadawane nie w sposób nam znajomy, ale parametryczny. Takie krzywe są często zamknięte. Parametr t jest winny takiej zmiany, że figura zamknięta przy omijaniu її wzdłuż krzywych (pośrednia) nie jest już zła.

Następnie do obliczenia objętości ciała owijanie należy wykonać na osi OH lub OY, należy rzucić takie zaklęcie:

Wzory Qi można skręcać w kierunku krzywych niezamkniętych: jeśli końce posłuszeństwa leżą na osi OX i osi OY. Postać wydaje się być zamknięta w jakikolwiek sposób: końce zamykają oś.

Vipadok 4.

Niektóre magiczne krzywe są podane we współrzędnych biegunowych (r=r(fi)). Możesz owinąć tę samą figurę wokół osi biegunowej. W tym kierunku układ współrzędnych kartezjańskich schodzi z bieguna i leży
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
W ten sposób dochodzimy do parametrycznej postaci krzywej, w której parametr fi zmienia się w taki sposób, że podczas obchodzenia krzywej obszar staje się lewoskrętny.
І koristuєmosya formuły inkantacyjne z nagodi 3.

Jednak dla współrzędnych biegunowych vipadku є ma własną formułę inkantacji:

Oczywiście płaskie figury można owinąć wokół jak największej liczby innych linii prostych, nie tylko osi OX i OY, ale jeśli manipulacje są już złożone, otoczą nas te zwroty, które były omawiane na wykładzie.

I teraz Praca domowa. Nie podaję konkretnych liczb. Opracowaliśmy już wiele funkcji i chcę, abyś sam zaprojektował go w taki sposób, abyś mógł go potrzebować w magicznej praktyce. Myślę, że na wykładzie będzie wystarczająco dużo przykładów na wszystkie wskazania.

Jeśli opracowaliśmy geometryczną zm_st całki pojedynczej, wymyśliliśmy wzór, za pomocą którego można poznać obszar trapezu krzywoliniowego, otoczony odciętą, linie proste x=a, x=b, a także funkcja non-stop (niewidocznie niepozytywna) y = f(x) . Czasami można łatwo ustawić funkcję otaczającą figurę, która wygląda jak parametryczna. spędzać czas nieaktualność funkcjonalna przez parametr t. W ramach tego materiału pokazujemy, w jaki sposób można poznać obszar figury, ponieważ jest on otoczony parametrycznie zadaną krzywą.

Po wyjaśnieniu teorii i przedstawieniu wzorów przeanalizujemy charakterystyczne przykłady z obszaru takich artykułów.

Podstawowy wzór do obliczeń

Załóżmy, że mamy trapez krzywoliniowy, pomiędzy którymi znajdują się linie proste x = a , x = b , wszystkie O x і krzywa x = φ (t) y = ψ (t) jest podana parametrycznie, a funkcje x = φ (t) i y = ψ (t) jest nieprzerwane na przedziale α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Spotkanie 1

Aby obliczyć obszar trapezu dla takich umysłów, konieczne jest wygranie wzoru S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t.

Opracowaliśmy wzory na płaski trapez krzywoliniowy S (G) = ∫ a b f (x) d x metodą podstawień x = φ (t) y = ψ (t) :

S(G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Spotkanie 2

Vrakhovuyuchi monotonna zmiana funkcji x = φ (t) na przedziale β ; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Jeśli funkcja x = φ (t) nie należy do podstawowych funkcji elementarnych, to musimy odgadnąć podstawowe zasady wzrostu tej zmiennej funkcji na przedziale, aby określić, czy będzie rosła, czy spadała.

Dla kogo cały punkt ma być rozwiązany, zadanie zastosuvannya formuły, która została podniesiona.

tyłek 1

Umov: aby znaleźć pole powierzchni figury, jak zrobić linię, podaje się równa się postaci x = 2 cos t y = 3 sin t .

Rozwiązanie

Możemy parametrycznie ustawić linię. Graficznie її można przedstawić, patrząc na elipsę z dwiema literami 2 i 3. Div dla ilustracji:

Spróbujmy poznać obszar 1 4 figury, ponieważ zajmuje on pierwszą ćwiartkę. Region znajduje się w przedziale x ∈ a; b = 0; 2. Pomnóżmy wartość przez 4 i znamy pole całej figury.

Oś przekroczenia naszych obliczeń:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Gdy k, które jest równe 0, usuwamy przedział β; α = 0; π 2 . Funkcja x = φ (t) = 2 cos t będzie monotonicznie spadać na nowej funkcji (raportuj o niesamowitym artykule o głównych funkcjach elementarnych i ich mocy). Możesz również obliczyć wzór na obliczenie powierzchni i poznać całkę singa, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - grzech 2 π 2 2 - 0 - grzech 2 0 2 \u003d 3 π 2

Tak więc pole powierzchni figury podane przez krzywą zewnętrzną jest równe S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Sugestia: S(G) = 6 π

Należy wyjaśnić, że przy rozwiązywaniu problemów można było wziąć nie więcej niż jedną czwartą elipsy, a półtora - górną i dolną. Jedna połowa zostanie podzielona na przedziale x ∈ a; b=-2; 2. Czyja vipadka w nas poszła b:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

W tej kolejności, gdy k jest równe 0, odejmujemy β; α = 0; π. Funkcja x = φ (t) = 2 cos t do której przedział będzie się zmniejszał monotonicznie.

Następnie obliczamy powierzchnię połowy elipsy:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - grzech 2 π 2 - 0 - grzech 2 0 2 = 3 π

Ważne jest, że możesz wziąć tylko górną i dolną część, ale nie możesz wziąć prawej.

Możliwe jest zagięcie ustawienia parametrycznego tej elipsy, której środek będzie rozłożony na kolbie współrzędnych. Wygląda na to, że x = a koszt t y = b sin t. W ten sposób, podobnie jak w aplikacji, usuwamy wzór na obliczenie powierzchni belepsa S elips a \u003d πab.

Ustaw stawkę, środek jakiegoś sortowania na kolbie współrzędnych, możesz zastosować dodatkowe wyrównanie x = R · cos t y = R · sin t , gdzie t jest parametrem, a R jest promieniem tej stawki. Gdy tylko przyspieszymy ze wzorem na pole elipsy, to odejmujemy wzór, dla którego możemy obliczyć pole stawki o promieniu R:S zaokrąglony i \ u003d πR 2.

Przyjrzyjmy się jeszcze jednemu zadaniu.

tyłek 2

Umow: dowiedz się, dlaczego pole figury jest bardziej wartościowe, ponieważ jest otoczone parametrycznie zadaną krzywą x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Rozwiązanie

Wyjaśnijmy tylko, że ta krzywa może wyglądać jak wydeptana astroida. Zabrzmij jak astroid, aby wyrazić siebie za pomocą równej postaci x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Teraz podobno dyskutuje się, jak wywołać taką krzywą. Vikonaёmo pobudovu dla punktów okremi. Najbardziej wszechstronna metoda, którą można wykorzystać do większego zadania. Więcej składane kolby trzeba przeprowadzić obliczenia różniczkowe w celu ujawnienia funkcji parametrycznej.

Mamy x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Podane funkcje są przypisane do wszystkich rzeczywistych wartości t. W przypadku grzechu jasne jest, że smród є okresowy i okres stają się 2 pі. Po obliczeniu wartości funkcji x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t dla t = t 0 ∈ 0; 2 π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 ? 8 , weź punkty x 0 ; y0 = (φ (t 0); ψ (t 0)) .

Stwórzmy tabelę wartości toreb:

Potem ważne są punkty na płaszczyźnie, a potem jedna linia.

Teraz musimy znać obszar tych części figury, który znajduje się w pierwszej ćwiartce współrzędnych. Dla niego x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Jeśli k jest równe 0, to mamy przedział β; α = 0; π 2 і funkcja x = φ (t) = 3 cos 3 t będzie monotonicznie zmniejszać się na nowym. Teraz weźmy wzór na obszar:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Mamy Wiishli całki liniowe, jeśli możesz obliczyć za pomocą formuły Newtona-Leibniza Pierwszy wiersz formuły może być znany, formuła rekurencyjna J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - koszt t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - koszt t sin 3 t 4 + 3 4 - koszt t sin t 2 + 1 2 ∫ grzech 0 tdt = = - koszt t sin 3 t 4 - 3 koszt t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - koszt t sin 3 t 4 - 3 koszt t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ grzech 6 tdt = - koszt t grzech 5 t 6 + 5 6 ∫ grzech 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 grzech 6 tdt = - koszt t grzech 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 grzech 4 tdt = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

My virahuvali kwadrat czwartej figury. Jest drogi 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.

Jeśli pomnożymy wartość przez 4, weźmiemy pole wszystkich cyfr - 9 π 4.

A więc sami możemy sprawić, że obszar stroidi, dany przez x = a cos 3 ty \u003d a sin 3 t, można poznać za pomocą wzoru otoczonego linią x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t wynika ze wzoru S = 3 πab 8 .

Jakbyś pamiętał ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter