Sekwencja nazywana jest nieskończenie wielką. Nieskończenie małe i nieskończenie wielkie funkcje

Def.: funkcja nazywa się nieskończenie mały pamiętaj, yakscho .

Przy wpisie „” pozwolimy na to x0 możesz przyjąć to jako kіntseve znaczenie: x0= stały, Więc i bez skóry: x0= ∞.

Moc nieskończenie małych funkcji:

1) Suma algebraiczna liczby końcowej jest nieskończenie mała dla funkcji i nieskończenie mała dla funkcji.

2) Bliźniak ostatniej liczby jest nieskończenie mały dla funkcji i nieskończenie mały dla funkcji.

3) Funkcja Tvіr zamezhennuyu na nieskończenie małej funkcji є nieskończenie małej funkcji.

4) Część podziału jest nieskończenie mała w przypadku funkcji na funkcji, pomiędzy którymi jest wirtualne zero, i nieskończenie mała w przypadku funkcji.

krupon: funkcjonować tak = 2 + xє nieskończenie małe do tego.

Def.: funkcja nazywa się nieskończenie wielki pamiętaj, yakscho .

Moc nieskończenie wielkich funkcji:

1) Suma nieubłaganie wielkich w przypadku funkcji jest nieubłaganie wielka w przypadku funkcji.

2) Nieskończenie wielki w przypadku funkcji na funkcji, pomiędzy którymi jest równe zero i nieskończenie wielki w przypadku funkcji.

3) Suma jest nieskończenie wielka z funkcją, a funkcja opisana jest nieskończenie wielką funkcją.

4) Część podziału, która jest nieskończenie duża w funkcji funkcji, która może być końcem granicy, jest nieskończenie duża w funkcji.

krupon: funkcjonować tak\u003d Є do tego nieskończenie świetnie .

Twierdzenie.Związek między nieskończenie małymi i nieskończenie wielkimi wielkościami. Jeśli funkcja jest nieskończenie mała w, to funkcja jest nieskończenie duża w. І wstecz, jeśli funkcja jest nieskończenie duża w, to funkcja jest nieskończenie mała w.

Narodziny dwóch nieskończenie małych uważa się za symbol, dwóch nieskończenie wielkich - za symbol. Obrażeni przez bluesa są niewidzialni w tym sensie, który może być użyty jako granica, więc nie może być użyty, ale będzie równy rzeczywistej liczbie lub być niewyczerpany w ugorze w postaci określonych funkcji, które są zawarte w niewidzialnych różnicach.

Zbrodnia nieistotności dla umysłu i nieistotności є więc virazi:

Sprzedaż detaliczna nieskończenie wielkich egzemplarzy tego samego znaku;

Telewizor nieskończenie mały do ​​nieskończenie wielkiego;

Funkcja wyświetlania-kroku, której podstawa wynosi do 1, a wskaźnik - do;

Funkcja show-step, której podstawa jest nieskończenie mała, a showman jest nieskończenie wielki;

Funkcja pokazowo-krokowa, pidstava i pokaznik yakoї є nieskończenie małe;

Funkcja show-step, której podstawa jest nieskończenie wielka, a showman jest nieskończenie mały.

Wydaje się, że istnieje miejsce nieistotności oczywistego umysłu. Obliczanie imion w ich kategoriach otwartość na nieistotność. Aby odsłonić znikomość virazu, który stoi pod znakiem granicy, przemień się w spojrzenie, które nie mści znikomości.

Licząc między wikarystami, moc między, a także moc nieskończenie małych i nieskończenie wielkich funkcji.

Rzućmy okiem na obliczenie różnicy między.

1) . 2) .

4) , Ponieważ tvir jest nieskończenie małą funkcją, gdy funkcja jest wymieniana є nieskończenie mały.

5) . 6) .

7) = =

. W tej sytuacji niewiele jest miejsca na nieistotność typu, o ile możliwe było rozszerzenie za pomocą układu wielomianów na mnożniki i skrócenie na mnożnik dziki.

= .

W tej sytuacji niewiele jest miejsca na nieistotność typu, o ile można było znaleźć za pomocą mnożnik liczby i sztandar na viraz, zwycięską formułę i najdalszą prędkość ułamka na (+1).

9)
. W tym kolbie nieistotność typu buła otworzyła rozpodilom liczebnika i sztandar frakcji na stopniu seniora.

cudowne granice

Pierwsza granica cudu : .

Przynoszący. Spójrzmy na pojedynczy okrąg (ryc. 3).

Rys.3. pojedynczy kolor

Pospiesz się x- Radianna świata centralnego kut MOA(), Todi OA = r= 1, MK= grzech x, W=tg x. Plac Porіvnyuyuchi trikutnikov OMA, OTA i sektory OMA, Bierzemy:

,

.

Resztę zdenerwowania podzielmy na grzech x, Bierzemy:

.

Więc jak kiedy, to zgodnie z potęgą 5) pomiędzy

Zvіdki i zvorotna wartość na, scho th musiał przynieść.

Poszanowanie: Jako funkcja jest nieskończenie mała przy, tobto , Wtedy pierwsza cudowna granica może wyglądać:

.

Spójrz na kalkulację między zwycięstwami pierwszej cudownej krainy.

Przy obliczaniu ceny pomiędzy wartościami obliczono wzór trygonometryczny: .

.

Przyjrzyjmy się wyliczeniu zwycięstw kolejnej cudownej krainy.

2) .

3) . Jest miejsce nieistotne dla typu. Zatem Zrobimo zaminu; w.

funkcja nazywa się nieskończenie mały w
lub w
, tak jak
lub
.

Na przykład: funkcja
nieskończenie mały w
; funkcjonować
nieskończenie mały w
.

Szacunek 1. Nie można nazwać żadnej funkcji bez bezpośredniego wstawienia do argumentu nieskończenie małe. Tak, funkcja
w
є nieskończenie małe, a kiedy
nie będzie za mały (
).

Szacunek 2. Z definicji granic funkcji w punkcie, dla nieskończenie małych funkcji, bierze się pod uwagę nierówności
.Cim fakt mi nadі będziemy wielokrotnie koristuvatisya.

Postawmy kilka ważnych rzeczy moc nieskończenie małych funkcji.

twierdzenie (O połączeniu funkcji, її między i nieskończenie małe): Jaka jest funkcja
można przedstawić na widok sumy szybkiej liczby ALE i nieskończenie małe funkcje
w
, to liczba

Skończone:

Zwróć uwagę na twierdzenia, oczywiste jest, że funkcja
.

znamy świat
:
. funkcja przegrzebków
nieubłaganie mała, to dla niej sprawiedliwe
, to samo dla wyrażenia (
) Nerіvnіst również wygrywa

A tse oznacza, że
.

twierdzenie (Zvorotna): jakscho
, to funkcja
mozhe buti jest reprezentowana przez liczbę vilyadі sumi ALE i nieubłaganie małe w
Funkcje
, Tobto
.

Skończone:

więc jaka
, to dla
nerіvnіst
(*) Rzućmy okiem na funkcję
jak jedność i niespójność (*) przepisana na widok

Od reszty nierówności wartość (
) Є nieskończenie małe w
. znacząco
.

Gwiazdy
. Twierdzenie zostało zakończone.

twierdzenie 1 . Suma algebraiczna końcowej liczby nieskończenie małych funkcji jest nieskończenie małą funkcją.

Skończone:

Przeprowadźmy dowód dla dwóch dodankіv, więc dla dowolnej końcowej liczby dodankіv zostanie wywołany podobnie.

Pospiesz się
і
nieskończenie mały w
funkcje i
- suma funkcji. Daj nam znać po co
, Użyteczne
Co jest dla wszystkich x Co zaspokaja nerwowość
,
.

Więc jak funkcja
nieskończenie mała funkcja,
Co jest dla wszystkich
nerіvnіst
.

Więc jak funkcja
nieskończenie mała funkcja,
, I również Co jest dla wszystkich
nerіvnіst
.

Weź to równa najmniejszej z liczb і , Todi w -sąsiedztwo punktu ale będzie nerwowość
,
.

Funkcje modułu pamięci
i możemy oszacować jego znaczenie.

Tobto
, Wtedy funkcja jest nieskończenie mała, co trzeba było wnieść.

Twierdzenie 2. Twir nieskończenie małe funkcje
w
do wymienianej funkcji
є nieskończenie mała funkcja.

Skończone:

Więc jak funkcja
z frędzlami, to też jest liczbą dodatnią
Co jest dla wszystkich nerіvnіst
.

Więc jak funkcja
nieskończenie mały w
, następnie -sąsiedztwo punktu Co jest dla wszystkich Sąsiedztwo
.

Spójrzmy na funkcję
szacuję її moduł

Otzhe
, I wtedy
- niesamowicie mały.

Twierdzenie zostało zakończone.

Teoria o granicach.

Twierdzenie 1. Między sumą algebraiczną końcowej liczby funkcji

Skończone:

Aby to udowodnić, spójrz na dwie funkcje, nie niszcząc integralności świata.

Pospiesz się
,
.

Zgodnie z twierdzeniem o łączeniu funkcji, її między i nieskończenie małymi funkcjami
і
możesz sobie wyobrazić
de
і
- nieskończenie mały w
.

Znamy sumę funkcji
і

ogrom
є stała wartość,
- wartość jest nieskończenie mała. Tak więc funkcja
reprezentowana przez pozornie sumę stałej wielkości i nieskończenie małej funkcji.

ten sam numer
є funkcja graniczna
, Tobto

Twierdzenie zostało zakończone.

twierdzenie 2 . Utwórz pomiędzy ostatnią liczbą funkcji

Skończone:

Nie niszcząc integralności lustra przeprowadzimy dowód na dwie funkcje
і
.

Żwawiej, żwawiej
,

Poznaj swoje funkcje telewizora
і

ogrom
є stała wartość, nieskończenie mała funkcja. Ojciec, numer
є funkcja graniczna
, uczciwa równoważność Tobto

konsekwencja:
.

Twierdzenie 3. Granica między prywatnymi dwiema funkcjami jest taka sama, jak prywatna między tymi funkcjami, jak granica między standardem vіdmіnny vіd zero

.

Dowód: chodź
,

Również
,
.

znamy prywatnie i unosimy się nad nim dla czynów tej samej przemiany

ogrom szybkoschnące
nieubłaganie małe. Ojciec, funkcja reprezentowana przez pozornie sumę stałej liczby i nieskończenie małej funkcji.

Również
.

Szacunek. Twierdzenia 1-3 sprowadzone do rzeczy
. Jednak smród może stać w miejscu, gdy
, twierdzenia Oskіlki okazały się w ten sam sposób, które należy przeprowadzić w podobny sposób.

Na przykład. Wiedz między:

Pierwszy i inne cuda pomiędzy.

funkcjonować nie przypisany do
. Jednak wartości її w okolicach punktu zerowego są wyraźne. Dlatego możesz zobaczyć między funkcjami
. Qia między dzwonieniem pierwszy cudowny pomiędzy .

Vin może wyglądać:
.

na przykład . Poznaj granice: 1.
. oznaczać
, tak jak
, następnie
.
; 2.
. Przeróbmy to wyrażenie tak, aby granica dzwoniła do pierwszej cudownej granicy.
; 3..

Spójrzmy na zmianę wielkości umysłu
, w yakіy akceptuj wartości liczb naturalnych w kolejności ich wzrostu. damo różne znaczenia: yakscho

dający nadchodzące znaczenia od bezosobowego
, Nie ma znaczenia, aby mówić, scho viraz
w
będzie
. Co więcej, do wniesienia, scho
może być pomiędzy. Qia pomiędzy jest oznaczana literą :
.

numer irracjonalny:
.

Teraz spójrzmy na inter-funkcje
w
. Granica nazywa się kolejna cudowna granica

W ma vyglyad
.

Na przykład.

ale)
. wiraz
zamiast kreatywności ci sami towarzysze
, twierdzenie Zastosuєmo o stworzeniu granicy i kolejnej cudownej granicy; b)
. pasować
, następnie
,
.

Kolejna cudowna granica vikoristovuєtsya in zadania dotyczące nieprzerwanego gromadzenia wody

Przy zarabianiu groszowych dochodów na lokaty często pokrywa się je formułą dochodu składanego, o czym widzę:

,

de - depozyt kolb,

- bank bankowy vіdsotok,

- liczba narahuvan vіdsotkіv na rіk,

- godzina, w skałach.

Jednak w badaniach teoretycznych, zaokrąglając decyzje inwestycyjne, często są one objęte formułą wykładniczego (pokazowego) prawa wzrostu

.

Formuła na pokazanie prawa wzrostu została odebrana w wyniku wrzucenia kolejnej cudownej ziemi do formuły na składane okna

Nieprzerwane funkcje.

Spójrzmy na funkcję
śpiewać w martwym punkcie i deyakomu w pobliżu punktu . Niech funkcja ma wartość w punkcie
.

Funkcja 1. Funkcja
nazywa się nieprzerwanie do rzeczy , jak pokazano w pobliżu punktu, w tym sam punkt i
.

Znaczenie ciągłości można sformułować inaczej.

niech funkcja
przypisane w rzeczywistej wartości ,
. jako argument daj podwyżkę
, to funkcja do uzyskania zbіlshennya

Niech funkcja przejdzie do punktu nietrwały (z powodu pierwszego oznaczenia nietrwałości funkcji w punkcie),

Ponieważ funkcja nie jest przerywana w punkcie , to nieskończenie mały wzrost argumentu
w tym momencie pokazuje nieskończenie mały wzrost funkcji.

Jest to sprawiedliwe i nieodwracalne twierdzenie: jeśli nieskończenie mały wzrost argumentu powoduje nieskończenie mały wzrost funkcji, to funkcja nie jest przerywana.

Funkcja 2. Funkcja
nazywa się nie przerywanym, gdy
(Do momentu );
.

Patrząc wstecz na pierwsze i drugie, można wziąć pod uwagę znaczenie nieprzerwanej funkcji w punkcie, gdy następuje hartowanie:

lub
, ale
, następnie
.

Ponadto, aby poznać różnicę między funkcją non-stop, gdy
dodaj do analitycznego widoku funkcji zamień argument Prześlij swoje znaczenie .

Spotkanie 3. Funkcja, bez przerwy w punkcie skóry obszaru aktywnego nazywa się nieprzerwany w tym regionie.

na przykład:

Przykład 1. Przynieś, jaka jest funkcja
jest ciągły we wszystkich punktach obszaru docelowego.

Przyspieszamy do kolejnych przypisań ciągłości funkcji do punktu. Dla kogo można przyjąć wartość argumentu? i damo youmu przyrost
. Znamy funkcję przyrostową

Przykład 2. Przynieś, jaka jest funkcja
nieciągły we wszystkich punktach h
.

argument damo wzrost
, Ta sama funkcja, aby uzyskać wzrost

Znamy to jako funkcję
, Tobto jest z frędzlami.

Podobnie można stwierdzić, że wszystkie główne funkcje elementarne są nieprzerywalne we wszystkich punktach obszaru ich przypisania, tak że obszar przypisania funkcji elementarnej rozszerza się z obszaru ciągłości.

Spotkanie 4. Jaka jest funkcja
ciągły w punkcie skóry bieżącego interwału
, a następnie powiedz, że funkcja jest nietrwała w tym przedziale.

Znaczenie tej mocy jest nieskończenie małe i nieskończenie wielkie funkcje do rzeczy. Udowodnij moce i twierdzenia. Związek między nieskończenie małymi i nieskończenie wielkimi funkcjami.

zmist

Dyw. Również: Niewybaczalnie małe konsekwencje - powołanie i władza
Moc nieskończenie wielkich sekwencji

Wyznaczone nieskończenie małe i nieskończenie wielkie funkcje

daj mi znać x 0 є koniec lub nieskończenie odległy punkt: ∞, -∞ lub + ∞.

Wyznaczona nieskończenie mała funkcja
funkcja α (X) nazywa się nieskończenie mały w x pragne do x 0 0 , І він dorivnuє zero:
.

Wyznaczony przez nieskończenie świetną funkcję
funkcja f (X) nazywa się nieskończenie wielki w x pragne do x 0 , Jak funkcja może być pomiędzy jako x → x 0 , vin dorivnyu neskіchennosti:
.

Moc nieskończenie małych funkcji

Potęga sumy, retail i dobutku nieskończenie małych funkcji

Kwota, sprzedaż detaliczna i TV końcowa liczba nieskończenie małych funkcji jako x → x 0 є nieskończenie mała funkcja jako x → x 0 .

Moc Tsya jest bezpośrednim potomkiem mocy arytmetycznych między funkcjami.

Twierdzenie o skręcie funkcji zredukowanej do nieskończenie małej

Funkcje telewizora na słabo przebitych obrzeżach punktu x 0 , Nieskończenie małe, ponieważ x → x 0 , Є nieskończenie mała funkcja jako x → x 0 .

Potęga o danej funkcji na widok sumy stałych i nieskończenie małych funkcji

Aby funkcja f (X) mała granica graniczna, konieczna i wystarczająca, schob
,
de - nieskończenie mała funkcja jak x → x 0 .

Moc nieskończenie wspaniałych funkcji

Twierdzenie o sumie funkcji ograniczonej i nieskończenie dużej

Suma lub różnica funkcji granicznej, na rzeczywistych przebitych obrzeżach punktu x 0 , I nieskończenie wielka funkcja, ponieważ x → x 0 , Є nieskończenie wielka funkcja jako x → x 0 .

Twierdzenie o prywatnym widoku dzielenia funkcji podzbioru na nieskończenie dużą funkcję

Jako funkcja f (X)є nieskończenie wielka jak x → x 0 , A funkcja g (X)- graniczy z deakіy przebitymi obrzeżami punktu x 0 , następnie
.

Twierdzenie o prywatnym poglądzie na podział funkcji zredukowanej od dołu do nieskończenie małej

Podobnie, funkcja na aktualnym przebitym punkcie w pobliżu punktu jest otoczona liczbą dodatnią od dołu w wartości bezwzględnej:
,
a funkcja jest nieskończenie mała jak x → x 0 :
,
i nie jest przebity w pobliżu punktu, na yakіy, a następnie
.

Potęga niespójności nieskończenie wielkich funkcji

Ta funkcja jest nieskończenie świetna w:
,
i funkcje, a na rzeczywistym przebiciu wokół punktu, punkty są zadowolone z nierówności:
,
wtedy funkcja jest również nieskończenie duża dla:
.

Tse vlastіst maє dwa okremih vpadki.

Chodź, na deyakіy przebitych obrzeżach punktu, funkcje i zaspokojenie niespójności:
.
Tak czy inaczej, wtedy ja.
Yakscho, to ja.

Związek między nieskończenie wielkimi i nieskończenie małymi funkcjami

Z dwóch sił czołowych istnieje silne połączenie między nieskończenie wielkimi i nieskończenie małymi funkcjami.

Jeśli funkcja jest nieskończenie duża w, to funkcja jest nieskończenie mała w.

Jeśli funkcja jest nieskończenie mała w i, to funkcja jest nieskończenie duża w.

Związek między nieskończenie małą i nieskończenie wielką funkcją można zawiesić w symbolicznym porządku:
, .

Ponieważ funkcja ma nieskończenie mały znak w, więc jest dodatnia (lub ujemna) na faktycznie przebitym obszarze wokół punktu, to można ją zapisać w następujący sposób:
.
Dokładnie w ten sam sposób funkcja znaku głównego przy jest nieskończenie duża, a następnie napisz:
, Abo.

Ten sam symboliczny związek między nieskończenie małymi i nieskończenie wielkimi funkcjami może być uzupełniony obraźliwymi spivdensami:
, ,
, .

Dodatkowe wzory łączące symbole niespójności można znaleźć na boku
„Nieskończenie w punktach odległości i mocy”.

Dowód potęgi i twierdzeń

Dowód twierdzenia o skręcie funkcji zredukowanej do nieskończenie małej

Aby wysunąć twierdzenie na pierwszy plan, przyspieszymy je. A także zwycięska moc niezliczonych sekwencji małych,

Niech funkcja będzie nieskończenie mała w, a funkcja jest otoczona przez malejący przebity obszar wokół punktu:
w.

Odłamki granicy, to punkt wokół punktu jest przebijany, do którego przypisana jest funkcja. Niech є peretin wokół i. To samo dla przypisanej funkcji i.

.
,
sekwencja jest nieskończenie mała:
.

Przyspieszmy, że skręcenie ciągu opisanego na nieskończenie małym i nieskończenie małym ciągu:
.
.

Twierdzenie zostało zakończone.

Dowód mocy o nadaniu funkcji pozornie sumie stałych i nieskończenie małych funkcji

konieczność. Niech funkcja będzie w punkcie końca granicy
.
Przyjrzyjmy się funkcji:
.
Władza Vicorist między różnymi funkcjami, być może:
.
To jest nieskończenie mała funkcja na.

dostateczność. Chodź ja. W zależności od mocy między sumą funkcji:
.

Dostarczona moc.

Dowód twierdzenia o sumie funkcji ograniczonej i nieskończenie dużej

Aby sprowadzić twierdzenie, szybko wyznaczamy granice funkcji według Heinego

w.

Odłamki granicy, następnie przebijany jest punkt wokół punktu, do którego przypisana jest funkcja. Niech є peretin wokół i. To samo dla przypisanej funkcji i.

Niech będzie wystarczająca sekwencja zbieżna do elementów, które leżą wokół:
.
Todi wyznaczył sekwencję ja. Co więcej, sekwencja to obmezhenoy:
,
sekwencja jest nieskończenie wielka:
.

Oskіlki suma lub roznitsa zamezhena sledovnosti i nieskończenie wielki
.
Todі, zgіdno z spotkania między sekwencjami z Heine,
.

Twierdzenie zostało zakończone.

Dowód twierdzenia o prywatnym poglądzie na dzielenie funkcji podzbioru na nieskończenie dużą

Dla dowodów przyspieszamy wyznaczenie granic funkcji według Heinego. To także zwycięstwo mocy nieskończenie wielkich sekwencji, zgіdno z yakim i nieskończenie małej sekwencji.

Niech funkcja będzie nieskończenie wielka w, a funkcja jest otoczona słabnącym przebitym obszarem wokół punktu:
w.

Jeśli funkcja jest nieubłaganie duża, to punkt wokół punktu jest przebijany, na którym jest zaznaczony i nie zwraca się do zera:
w.
Niech є peretin wokół i. To samo dla przypisanej funkcji i.

Niech będzie wystarczająca sekwencja zbieżna do elementów, które leżą wokół:
.
Todi wyznaczył sekwencję ja. Co więcej, sekwencja to obmezhenoy:
,
sekwencja jest nieskończenie świetna z wiodącymi zerowymi członkami:
, .

Odłamki części znajdującej się w odległości ciągu opisanego na nieskończenie wielkim i nieskończenie małym ciągu, to
.
Todі, zgіdno z spotkania między sekwencjami z Heine,
.

Twierdzenie zostało zakończone.

Dowód twierdzenia o prywatnym poglądzie na podział funkcji podzielonej od dołu na nieskończenie małe

Aby udowodnić tę moc, szybko ustaliliśmy granice funkcji według Heinego. A więc zwycięska moc nieskończenie wielkich sekwencji wielka sukcesja.

Niech funkcja będzie nieskończenie mała w i otoczona w wartości bezwzględnej od dołu przez liczbę dodatnią na przebitym kwasem punkcie wokół punktu:
w.

Za umysłem przebijany jest punkt wokół punktu, do którego przypisana jest funkcja i nie zwraca się do zera:
w.
Niech є peretin wokół i. To samo dla przypisanej funkcji i. I dlaczego ja.

Niech będzie wystarczająca sekwencja zbieżna do elementów, które leżą wokół:
.
Todi wyznaczył sekwencję ja. Ponadto sekwencja jest otoczona od dołu:
,
a sekwencja jest nieubłaganie mała z identycznymi zerowymi członkami:
, .

Oskіlki chastka vіd dіlennya zamezhennya znіdovnostі na neskіchenno small є neskіchenno great sledovnistyu, a następnie
.
І niech to przebite w pobliżu punktu, na yakіy
w.

Vіzmemo dovіlnu sledovnіst, scho zbiegają się do. Todi, zaczynając od liczby deyakogo N, elementy sekwencji będą leżeć obok:
w.
Również
w.

Funkcje graniczne Zgіdno z vznachennyam według Heinego,
.
Todі za moc niespójności nieskończenie wielkich sekwencji,
.
Wystarczą sekwencjonowanie Oskіlki, które zbiegają się do, a następnie poza wyznaczone granice funkcji według Heinego,
.

Dostarczona moc.

Literatura wikoristanu:
L.D. Kudryavtsev. Przebieg analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.

Dyw. Również:

Licząc niezliczoną ilość małych i wielkich

Obliczanie nieskończenie małe- Kalkulacja, zmienność o nieskończenie małych wartościach, przy każdym słabym wyniku wygląda to na nieskończoną sumę nieskończenie małych wartości. Obliczanie nieskończenie małych ilości є głębokie rozumienie dla liczb różniczkowych i całkowitych, które stanowią podstawę współczesnej matematyki wyższej. Pojęcie nieskończenie małej wielkości jest ściśle związane ze zrozumieniem granicy.

niewiarygodnie mały

dziedziczenie a n nazywa się nieskończenie mały, Yakscho. Na przykład sekwencja liczb jest nieskończenie mała.

funkcja nazywa się nieskończenie mały w pobliżu punktu x 0, tak .

funkcja nazywa się nieskończenie mały na nieskończenie mały, tak jak lub .

Jest to również nieskończenie mała funkcja, która reprezentuje różnicę w funkcjach i її między nimi, tak że , następnie F(x) − a = α( x) , .

Nieubłaganie wielka wartość

dziedziczenie a n nazywa się nieskończenie wielki, tak jak .

funkcja nazywa się nieskończenie wielki w okolicach punktu x 0, tak .

funkcja nazywa się nieubłaganie świetny na nieubłaganie, tak jak lub .

We wszystkich trybach praworęczność osoby praworęcznej, ze względu na równoważność, znajduje się na krawędzi znaku śpiewającego (albo „plus”, albo „minus”). Tobto, na przykład funkcja x grzech x niewyobrażalnie świetne.

Moc nieskończenie małego i nieskończenie wielkiego

Parowanie nieskończenie małych ilości

Jak dopasować nieskończenie małe ilości?
Ustawienie nieskończenie małych wartości sprawia, że ​​jest to tzw. nieistotność.

wizyta, umówione spotkanie

Załóżmy, że mamy є nieskończenie małe dla jednej i tej samej wartości α ( x) І β ( x) (W przeciwnym razie, jeśli nie ma sensu powołanie, istnieją nieskończenie małe sekwencje).

Do obliczenia podobnych liczb można łatwo zastosować regułę Lopitala.

zastosuj parę

Do zwycięstw Zawodowiec-symbole anulowania wyników można wpisać w ofensywie x 5 = o(x 3). W tym przypadku zapisy są uczciwe 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

wartości równoważne

wizyta, umówione spotkanie

Jednak nieskończenie małe ilości α i β są nazywane równowartość ().
Oczywiste jest, że równoważne wartości є będą nazywane liczbą nieskończenie małych wartości tego samego rzędu wielkości.

Z uczciwym początkiem równoważności spivvіdnoshnja :,, .

twierdzenie

Granicy między prywatnym (widocznym niebieskim) dwiema nieskończenie małymi ilościami nie można zmienić, więc jedną z nich (lub obraźliwą) należy zastąpić wartością równoważną.

Podano twierdzenie, które ma praktyczne znaczenie, gdy różnica jest między (div. Applied).

Wiktoria

wymiana sin 2x równoważna wartość 2 x, bierzemy

rysunek historyczny

Omawiane w starożytności pojęcie „niesamowicie małe” w połączeniu z pojęciem niespójnych atomów nie przeszło do matematyki klasycznej. Odrodził się na nowo wraz z pojawieniem się w XVI wieku „niewłaściwej metody” - rozbicia starej figury na nieskończenie małej peretinie.

W XVII wieku wprowadzono algebraizację liczenia nieskończenie małych. Smród zaczął pojawiać się jako wartość liczbowa, mniejsza niż jakakolwiek wartość końcowa (niezerowa), a jednak nie równa zeru. Nauka analizy została umieszczona w złożonym spіvvіdshennya, scho, aby pomścić nieskończenie małe (różnice), a następnie - w integracji jogi.

Matematycy starej szkoły podali koncepcję niewiarygodnie mały ostra krytyka. Michel Rolle napisał, że nowa dosłowna liczba to „ zbiór genialnych ułaskawień»; Voltaire, wyjątkowo szanując, że liczenie jest sztuką liczenia i dokładnego symulowania przemówień, których podstaw nie można wydobyć na światło dzienne. Navit Huygens wiedział, że nie rozumie sensu różnic wyższych rzędów.

Jak na ironię można popatrzeć na pojawienie się w połowie stulecia niestandardowych analiz, które polegają na tym, że pierwotny punkt świtu – właściwie nie za mały – też nie jest wspaniały i można go postawić na podstawach. analizy.

Dyw. Również

Fundacja Wikimedia. 2010 rock.

Zastanawiam się, co jest „Niesamowicie świetne” w innych słownikach:

Zmieniona wartość Y, odwrócona nieskończenie mała wartość X, więc Y = 1 / X ... Wielki słownik encyklopedyczny

Zmieniono wartość y, odwrócono nieskończenie małą wartość x, więc y = 1 / x. * * * NIESAMOWITE WSPANIAŁE NIESAMOWITE, zmienna wartość Y, odwrócona nieskończenie mała wartość X, to Y = 1 / X ... słownictwo encyklopedyczne

W matematyce wartość zmienna, podobnie jak w danym procesie zmiany, staje się i jest przytłaczana wartością bezwzględną bardziej niż jakakolwiek z góry podana liczba. Vivchennya B. ur. wartości można podnieść do granicy nieskończenie małych (Div. ... ... Wielka Encyklopedia Radiańska

Nieskończenie małe funkcje

Funkcja %% f (x) %% jest wywoływana nieskończenie mały(B.m.) w %% x \ do a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, nawet jeśli argument między funkcjami jest równy zero.

Zrozum b.m. funkcje są nierozerwalnie związane z przypisaniami dotyczącymi zmiany argumentu. Możesz porozmawiać o b.m. funkcje dla %% a \ do a + 0 %% i dla %% a \ do a - 0 %%. Pierścień b.m. funkcje oznaczają pierwsze litery alfabetu greckiego %% \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

zastosować

1. Funkcja %% f (x) = x %% є b.m. przy %% x \ do 0 %%, skalowanie її połączenie przy %% a = 0 %% do zera. Zgіdno z twierdzenie o powiązaniach dwustronnego interfejsu z funkcjami jednostronnymi - b.m. jak z %% x \ do + 0 %%, więc i z %% x \ do -0 %%.
2. Funkcja %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. z %% x \ to \ infty %% (a także z %% x \ to + \ infty %% i z %% x \ to - \ infty %%).

Widzenie zera jest liczbą stałą, jakby nie była mała dla wartości bezwzględnych, a nie є b.m. funkcjonować. Dla stałej liczby winorośli staje się mniejsza od zera;

twierdzenie

Funkcja %% f (x) %% max w punkcie %% a \ in \ overline (\ mathbb (R)) dodaj sumę liczby %% b %% i b.m. funkcje %% \ alpha (x) %% dla %% x \ do %%, lub $$ \ istnieje ~ \ lim \ limity_ (x \ do a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R )\Leftrightarrow \left(f(x)=b+\alpha(x)\right)\land\left(\lim\limits_(x\to a)(\alpha(x)=0)\right). $$

Moc nieskończenie małych funkcji

Dla reguł przejścia granicznego dla %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, następują następujące stwierdzenia:

1. Suma numeru końcowego b.m. funkcje w %% x \ do %% є b.m. o %% x \ do %%.
2. Tvir be-co numer b.m. funkcje w %% x \ do %% є b.m. o %% x \ do %%.

Tvir b.m. funkcje w %% x \ do funkcji %% i, przeplatane w rzeczywistym przebitym obszarze %% \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) (a) %% punktów a, є b.m. w %% x \ do funkcji %%.

Oczywiste jest, że tvir stałe funkcje i b.m. w %% x \ do %% є b.m. funkcja w %% x \ do %%.

Równoważne nieskończenie małe funkcje

Nieskończenie małe funkcje %% \ alfa (x), \ beta (x) %% dla %% x \ do %% są nazywane równowartość i jest napisane %% \ alfa (x) \ sim \ beta (x) %%, tj.

$$ \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\beta (x) )(\alpha(x))) = 1.$$

Twierdzenie o zastąpieniu b.m. funkcje równoważne

Niech %% \alpha (x), \alpha_1 (x), \beta (x), \beta_1 (x) %% - b.m. funkcje dla %% x \ do %% i %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %% then $$ \ lim \ limity_ (x \ do a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \ limity_ (x\do a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Odpowiednik b.m. Funkcje.

Niech %% \ alfa (x) %% - b.m. funkcja w %% x \ do %%, a następnie

1. %%\sin(\alfa(x))\sim\alfa(x)%%
2. %%\displaystyle 1 -\cos(\alfa(x))\sim\frac(\alfa^2(x))(2)%%
3. %%\tan\alfa(x)\sim\alfa(x)%%
4. %%\arcsin\alfa(x)\sim\alfa(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
6. %%\ln(1+\alfa(x))\sim\alfa(x)%%
7. %%\displaystyle \sqrt[n](1+\alfa (x)) - 1\sim\frac(\alfa(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alfa(x))-1\sim\alfa(x)\ln(a)%%

krupon

$$\begin(array)(ll)\lim\limits_(x\to 0)(\frac(\ln\cos x)(\sqrt(1+x^2)-1))&=\lim\limits_ (x \ to 0) (\frac (\ln (1 + (\cos x - 1))) (\frac (x^2) (4))) = \\ & = \lim \limits_(x \to 0)(\frac (4(\cos x - 1))(x^2)) = \\&=\lim \limits_(x\to 0)(-\frac(4x^2)(2x^ 2) ) = -2 \ koniec (tablica) $$

Nieskończenie świetne funkcje

Funkcja %% f (x) %% jest wywoływana nieskończenie wielki(B.B.) z %% x \ do \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, tak aby z tym poprawnym argumentem funkcja nie mogła overline.

Podobnie jak b.m. funkcje rozumienia B.B. funkcje są nierozerwalnie związane z przypisaniami dotyczącymi zmiany argumentu. Możesz porozmawiać o B.B. funkcje przy %% x \ na a + 0 %% i %% x \ na a - 0 %%. Termin „niezmiernie duży” nie dotyczy bezwzględnego znaczenia funkcji, ale charakteru zmiany w sąsiedztwie danego punktu. Żadnej stałej liczby, bez względu na to, jak wielka byłaby nie dla wartości absolutnych, nie nieskończenie wielka.

zastosować

1. Funkcja %% f (x) = 1 / x %% - B.B. przy %% x \ do 0 %%.
2. Funkcja %% f (x) = x %% - B.B. o %%x\to\infty %%.

Jeśli jesteś wikona, pomyśl $$ \begin(array)(l)\lim\limits_(x\to a)(f(x))=+\infty,\\\lim\limits_(x\to a )(f( x)) = - \infty, \end(tablica)$$

potem porozmawiaj o pozytywny lub negatywny NOCLEG ZE ŚNIADANIEM. w %% funkcji %%.

krupon

Funkcja %% 1 / (x ^ 2) %% - dodatnia B.B. przy %% x \ do 0 %%.

Zvyazok mizh B.B. ja b.m. Funkcje

Yakscho %%f(x)%% - B.B. z %% x \ do funkcji %%, a następnie %% 1 / f (x) %% - b.m.

o %% x \ do %%. Yakscho %% \ alfa (x) %% - b.m. przy %% x \ do funkcji %%, vіdmіnna vіdnna vіdnі zero do deykoї przebita nої kropka %% a %%, a następnie %% 1 / \ alfa (x) %% - B.B. o %% x \ do %%.

Moc nieskończenie wspaniałych funkcji

Przedstawiamy włócznię autorytetu B.B. Funkcje. Władze Cі bez pisku pośrednika od mianowania B.B. funkcje i dominacja funkcji wyznaczających koniec granic, a także twierdzenia o powiązaniach między B.B. ja b.m. Funkcje.

1. Tvir ostatniego numeru B.B. funkcje w %% x \ do %% є B.B. funkcja w %% x \ do %%. Dobrze, więc %% f_k(x), k = \overline(1, n) %% - B.B. funkcja w %% x \ do %%, a następnie w rzeczywistym przebitym obszarze wokół punktu %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i zgodnie z twierdzeniem o linkach B.B. ja b.m. funkcje %% 1 / f_k (x) %% - b.m. funkcja w %% x \ do %%. Wyjdź %% \ Displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) 1 / f_k (x)% % - funkcja B.M przy %% x \ do %% i %% \ displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) f_k (x) %% - BB funkcja w %% x \ do %%.
2. Tvir B.B. funkcje przy %% x \ do funkcji %% i, jak w przypadku rzeczywistego przebicia w pobliżu punktu %% a %% dla wartości bezwzględnych większych niż stała dodatnia, є B.B. funkcja w %% x \ do %%. Zokrema, TVir B.B. funkcje w %% x \ do %% i funkcje, które mogą znajdować się w punkcie %% a %% końcowej niezerowej granicy, będą B.B. funkcja w %% x \ do %%.

Kwota wymienianych w deakіy przebita w pobliżu punktu %% a %% funkcji i B.B. funkcje w %% x \ do %% є B.B. funkcja w %% x \ do %%.

Na przykład funkcje %% x - \ sin x %% i %% x + \ cos x %% - B.B. o %%x\to\infty %%.

3. Suma dwa B.B. funkcje w %% x \ do %% є nieistotności. Zalezhno w postaci znaku dodankiva, charakter zmiany takiej sumy może być najbardziej manipulacyjny.

   krupon

   Podajmy funkcję %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. funkcje w %% x \ do \ infty %%. następnie:

   • %% f(x) + g(x) = 3x %% - B.B. funkcja w %% x \ do \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. funkcja w %% x \ do \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) \u003d \ sin x %% nie ma znaczenia od %% x \ do \ infty %%.