Nieubłaganie wielkie są te siły władzy. Wyznaczona nieubłaganie świetna sekwencja

30.07.2020

Licząc nieskończenie małe i wielkie

Obliczanie nieskończenie małych- obliczenie, obliczone z nieskończenie małych wartości, dla jakiegoś słabego wyniku, przyjmuje się jako nieskończoną sumę nieskończenie małych. Obliczanie nieskończenie małych ilości є głębokie rozumienie do obliczeń różniczkowych i całkowych, które stanowią podstawę współczesnej matematyki wyższej. Pojęcie nieskończenie małej wielkości jest ściśle związane ze zrozumieniem granicy.

Nieubłaganie mały

Sekwencja a n nazywa się nieskończenie mały yakscho. Na przykład sekwencja liczb jest nieskończenie mała.

Funkcja nazywa się nieskończenie małe na obrzeżach punktu x 0 , więc .

Funkcja nazywa się nieskończenie mały na nieskończenie mały, tak jak lub .

Jest to również nieskończenie mała funkcja, która jest różnicą funkcji i її pomiędzy, więc , następnie F(x) − a = α( x) , .

Nieubłaganie wielka wartość

Sekwencja a n nazywa się nieskończenie wielki, tak jak .

Funkcja nazywa się nieskończenie świetnie na obrzeżach punktu x 0 , więc .

Funkcja nazywa się nieubłaganie świetny na nieubłaganie, tak jak lub .

We wszystkich trybach praworęczność osoby praworęcznej, w przypadku równoważności, może znajdować się na uchu, znak śpiewający (albo „plus”, albo „minus”). Tobto, na przykład funkcja x grzech x niewyobrażalnie świetne.

Moc nieskończenie małego i nieskończenie wielkiego

Parowanie nieskończenie małych ilości

Jak dopasować nieskończenie małe ilości?
Ustawienie nieskończenie małych wartości sprawia, że jest to tzw. nieistotność.

Wizyta, umówione spotkanie

Załóżmy, że mamy є nieskończenie małe o tej samej wartości α( x) i β( x) (w przeciwnym razie, jeśli cel nie ma sensu, ciąg jest nieskończenie mały).

Do obliczenia takich pośredników łatwo jest zastosować regułę Lopitala.

Zastosuj dopasowanie

Do zwycięstw Zawodowiec-Symbole anulowania wyników można zapisać w ataku x 5 = o(x 3). W tym przypadku zapisy są uczciwe 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Równoważne wartości

Wizyta, umówione spotkanie

Yakscho, wtedy nazywamy nieskończenie małe ilości α i β równowartość ().
Oczywiste jest, że równoważne wartości є będą nazywane liczbą nieskończenie małych wartości tego samego rzędu wielkości.

Z zachowaniem uczciwości następujących wskaźników równoważności: , , .

Twierdzenie

Granicy między prywatnym (widocznym niebieskim) dwiema nieskończenie małymi ilościami nie można zmienić, więc jedną z nich (lub obraźliwą) należy zastąpić wartością równoważną.

Twierdzenie Tsya można zastosować jako wartość, gdy różnica między (div. butt).

tyłek vikoristannya

Wymiana sin 2x równoważna wartość 2 x, bierzemy

rysunek historyczny

Omawiane w starożytności pojęcie „niesamowicie małe” w połączeniu z pojęciem niespójnych atomów nie przeszło do matematyki klasycznej. Odrodziła się na nowo wraz z pojawieniem się w XVI wieku „metody niewłaściwej” – rozbicia starej postaci na małym krzyżyku.

W XVII wieku algebra liczb była nieskończenie mała. Smród zaczęto określać jako wartość liczbową, jako mniejszą dla każdej skończonej (niezerowej) wartości, a jednak nie jest on równy zeru. Nauka analizy miała zostać złożona spivvіdnoshennia, scho, aby pomścić nieskończenie małe (różnice), które buv - do integracji z jogą.

Matematycy starej szkoły podali koncepcję niewiarygodnie mały ostra krytyka. Michel Roll napisał, że nowy numer to „ zbiór genialnych ułaskawień»; Voltaire, skrupulatnie przestrzegając, że liczy się nauka liczenia i dokładnego liczenia przemówień, których podstawy nie można wydobyć na światło dzienne. Navit Huygens wiedział, że rozumie sens różnic wyższych rzędów.

Jak na ironię można popatrzeć na pojawienie się w połowie stulecia niestandardowych analiz, które polegają na tym, że pierwotny punkt świtu – właściwie nie za mały – też nie jest wspaniały i można go postawić na podstawach. analizy.

Dyw. Również

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zastanawiam się, co jest „Niesamowicie świetne” w innych słownikach:

Wartość Y jest zmieniana, owijana do nieskończenie małej wartości X, więc Y = 1/X ... Wielki słownik encyklopedyczny

Wartość y jest zmieniana, owijana do nieskończenie małej wartości x, więc y = 1/x. * * * SZYBKO WSPANIALE, NIESKOŃCZONIE WSPANIALE, zmienna wartość Y, odwróć nieskończenie małą wartość X, a następnie Y = 1/X … Słownik encyklopedyczny

W matematyce wartość zmiany, podobnie jak w danym procesie zmiany, staje się i jest z góry wypełniana wartością bezwzględną większą niż jakakolwiek podana liczba. Wiwczenia Bi. b. rozmiary można zredukować do granic nieskończenie małych. Wielka Encyklopedia Radiańska

Def.: Funkcja nazywa się nieskończenie mały o godz .

Na płycie „” przyznamy, że x0 możesz przyjąć to jako kіntseve znaczenie: x0= Stała, więc i bez skóry: x0= ∞.

Moc nieskończenie małych funkcji:

1) Suma algebraiczna liczby końcowej jest nieskończenie mała na funkcję i nieskończenie mała na funkcję.

2) Dobutok ostatniej liczby nieskończenie małej dla funkcji i nieskończenie małej dla funkcji.

3) Dobutok zamienił funkcję na nieskończenie małą funkcję є nieskończenie małą funkcję.

4) Prywatnie rozpodіlu nieskończenie małe w przypadku funkcji na funkcji, pomiędzy którymi vіdminna wynosi zero, i nieskończenie małe w przypadku funkcji.

krupon: Funkcjonować tak = 2 + xє nieskończenie małe w , ponieważ .

Def.: Funkcja nazywa się nieskończenie wielki o godz .

Moc nieskończenie wielkich funkcji:

1) Suma nieskończenie wielkich funkcji i nieskończenie wielkich funkcji.

2) Twir jest nieubłagany w przypadku funkcji po funkcji, między którymi jest vіdmіnna w postaci zera, jest nieubłagany w przypadku funkcji.

3) Suma jest nieubłaganie wielka dla funkcji, a ograniczona funkcja jest niewyczerpaną wielką funkcją.

4) Prywatnie uważa się, że jest nieskończenie świetny pod względem funkcji, co może być końcem linii, i nieskończenie świetny pod względem funkcji.

krupon: Funkcjonować tak= є nieskończenie wielki w , ponieważ .

Twierdzenie.Związek między nieskończenie małymi i nieskończenie wielkimi wielkościami. Jeśli funkcja jest nieskończenie mała w , to funkcja jest nieskończenie duża w . Po pierwsze, ponieważ funkcja jest nieskończenie duża w , to funkcja jest nieskończenie mała w .

Narodziny dwóch nieskończenie małych uważa się za symbol, dwóch nieskończenie wielkich - za symbol. Obrażony przez niebieski i niewidzialny dla tego zmysłu, którego i granica może być wykorzystana, i іsnuvati, dodają do liczby piosenek, ale nie ograniczają się w postaci określonych funkcji, takich jak bycie włączonym do niewidzialnej mowy.

Śmietanka nieistotności wydaje się być nieważna i tak virazi:

Cena jest nieskończenie większa za jedną postać;

Telewizor nieskończenie mały do nieskończenie wielkiego;

Funkcja indykatywno-krokowa, której podstawą jest pragne 1, a wskaźnik wynosi do;

Funkcja show-step, której podstawa jest nieskończenie mała, a showman jest nieskończenie wielki;

Funkcja stanu show, podstawą tego show jest to, że jest nieskończenie mały;

Funkcja stanu pokazu, której podstawa jest nieskończenie wielka, a showman jest nieskończenie mały.

Powiedzieć, że istnieje miejsce nieistotne w jasny sposób. Obliczanie inter-named w tsikh vipadkah otwartość na nieistotność. Aby odsłonić znikomość virazu, który stoi pod znakiem granicy, przekształcają go w spojrzenie, które nie mści za znikomość.

Licząc między wikariuszami, moc między i navit moc nieskończenie małych i nieskończenie wielkich funkcji.

Rzućmy okiem na obliczenie różnicy między.

1) . 2) .

4) , dlatego dodanie nieskończenie małej funkcji podczas podstawienia funkcji є nieskończenie mały.

5) . 6) .

7) = =

. W tej sytuacji miejsce nieistotności dla typu jest niewielkie, gdyż można było otworzyć na pomoc układ bogato artykułowanych mnożników, czyli skrócenie do dzikiego mnożnika.

= .

W tej sytuacji jest mało miejsca na nieistotność typu, ponieważ można było znaleźć za pomocą mnożnika liczebnika i sztandaru na viraz podstawienie formuły i ułamka dalekiego krótkiego na (+1).

9)
. W tym kolbie nieistotność typu buła ujawnił podział członowy liczebnika i sztandaru frakcji na stopniu seniora.

Cudowne granice

Granica cudów Perszy : .

Przynoszący. Spójrzmy na pojedynczą kolumnę (ryc. 3).

Rys.3. sam kolor

Daj spokój x– promieniowe podejście centralnego kut MOA(), następnie OA = r= 1, MK= grzech x, W=tg x. Plac Porіvnyuyuchi trikutnikov OMA, OTA ten sektor OMA, Bierzemy:

Podzielmy resztę nerwowości na grzech x, Bierzemy:

Więc jak o, to na yakistyu 5) pomiędzy

Gwiazdki i wartość są opakowane, biorąc pod uwagę, że trzeba było je przynieść.

Notatka: Ta funkcja jest więc nawet niewielka w . , wtedy pierwszy cud pomiędzy może wyglądać:

Przyjrzyjmy się wyliczeniu między zwycięstwami pierwszej cudownej granicy.

Przy obliczaniu ceny pomiędzy wartościami obliczono wzór trygonometryczny: .

Przyjrzyjmy się wyliczeniu między zwycięstwami kolejnej cudownej granicy.

2) .

3) . Jest miejsce nieistotne dla typu. Zatem Zrobimo zaminu; w .

Funkcjonować y=f(x) nazywa się nieskończenie mały w x→a lub w x→∞, jak abo, to. nieskończenie mała funkcja - funkcja ce, pomiędzy którą w punktach ts_y jest równa zero.

zastosować.

1. Funkcja f(x)=(x-1) 2 є nieskończenie małe w x→1, odłamki (podział mały).

2. Funkcja f(x)=tg x- nieskończenie mały w x→0.

3. f(x)= log(1+ x) - nieskończenie małe w x→0.

4. f(x) = 1/x- nieskończenie mały w x→∞.

Uzyskaj ważniejszą pomoc:

Twierdzenie. Jaka jest funkcja? y=f(x) reprezentowalne w x→a na widok sumy szybkiej liczby b ta nieskończenie mała wartość α(x): f(x)=b+ α(x) tych.

Z powrotem, tak, to f(x)=b+α(x), de topór)- nieskończenie mały w x→a.

Przynoszący.

1. Przynosimy pierwszą część utwardzenia. Z rivnosti f(x)=b+α(x) Następny | f(x) - b | = | α|. Ale tak jaka topór)- nieskończenie małe, to przy wystarczającym ε jest δ - sąsiedztwo punktu a, w ogóle x w jakimkolwiek znaczeniu topór) Proszę |α(x)|< ε. Todi |f(x) – b|< ε. A tse znaczy co.

2. Yakscho, to na cokolwiek ε >0 dla wszystkich x z deykoї δ - sąsiedztwo punktu a będzie |f(x) – b|< ε. Ale, jak znaczące f(x) - b = α, następnie |α(x)|< ε, a tse oznacza, że a- niesamowicie mały.

Przyjrzyjmy się głównej sile nieskończenie małych funkcji.

Twierdzenie 1. Suma algebraiczna dwóch, trzech i jednej ostatniej liczby jest nieskończenie mała, a funkcja jest nieskończenie mała.

Przynoszący. Dajmy dowód na dwa dodankіv. Daj spokój f(x)=α(x)+β(x), de ja . Musimy przynieść, scho z wystarczającą ilością jak mały? > 0 do znalezienia δ> 0, więc po co x, aby uspokoić nerwowość | x – a |<δ , wygrać |f(x)|< ε.

Ponadto ustalamy całkiem sporo ε > 0. Odłamki za twierdzeniem mentalnym α(x)- nieskończenie mała funkcja, to czy istnieje coś takiego? > 0 po co? | x – a |< δ 1 maj |α(x)|< ε / 2. Podobnie przegrzebki β(x)- nieskończenie małe, to jest też δ 2 > 0 po co? | x – a |< δ 2 może | β(x)|< ε / 2.

Vizmemo δ=min(δ1 , δ2 } . Todi na obrzeżach punktu a promień δ przezwyciężyć drażliwość skóry |α(x)|< ε / 2 że | β(x)|< ε / 2. Otzhe, na twoich obrzeżach przyszłości

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

Tobto. |f(x)|< ε, który trzeba było wnieść.

Twierdzenie 2. Dobutok nieskończenie małe funkcje topór) do wymienianej funkcji f(x) w x→a(w przeciwnym razie, gdy x→∞) jest nieskończenie małą funkcją.

Przynoszący. Funkcja oskilki f(x) z frędzlami, a następnie іsnuє kіlkіst m więc jakie jest znaczenie? x z deyakoї obrzeża punktu a|f(x)|≤M. Poza tym odłamki topór)- nieskończenie mała funkcja przy x→a, to dla wystarczającego ε > 0 znaleziono wokół punktu a, w którym jest niepokój |α(x)|< ε /M. Todі w mniej s tsikh w pobliżu maєmo | αf|< ε /M= ε. A tse oznacza, że af- niesamowicie mały. Dla vipadu x→∞ W podobny sposób przeprowadza się dowód.

Wyprowadzane są następujące twierdzenia:

Ostatnie 1. Więc Yakscho ja.

Ostatnie 2. Yakshcho i c= const, to .

Twierdzenie 3. Sugestia nieskończenie małej funkcji α(x) na funkcję f(x), pomiędzy którymi jest widoczne od zera, jest nieskończenie małą funkcją.

Przynoszący. Daj spokój. Todi 1 /f(x)є Funkcja jest ograniczona. Dlatego drіb є tvіr neskіchenno ї malї ї ї ї ї ї ї ї ї FUNKCJA zamezhenu, że. funkcja jest nieskończenie mała.

Licząc nieskończenie małe i wielkie

Obliczanie nieskończenie małych- obliczenie, obliczone z nieskończenie małych wartości, dla jakiegoś słabego wyniku, przyjmuje się jako nieskończoną sumę nieskończenie małych. Obliczanie nieskończenie małych ilości jest podstawową koncepcją obliczeń różniczkowych i całkowych, które stanowią podstawę współczesnej matematyki. Pojęcie nieskończenie małej wielkości jest ściśle związane ze zrozumieniem granicy.