Między funkcjami prostego moyu. Mezhi

Auto to Moto
30.07.2020

Burmistrz „minus niespójność” już od dłuższego czasu kręci się wokół statystyk. Jest jasne między wielomianami, dla jaka. Zasady metod powtórek będą takie same jak w pierwszej części lekcji, z niewielkimi niuansami za winą.

Wyświetlane są 4 żetony, które będą wymagane do aktualizacji praktyczne budynki:

1) Liczne między

Wartością granicy jest odłożenie wszystkiego na sam dół, szanse wygranej w najlepszej kolejności wzrostu. Jakszo więc nieskończenie świetny dla modułu zobacz ilość CZARNYCH kroków, czasami - w czwartym "plus niespójności":. Stała ( „dviyka”) pozytywny do tego:

2) Liczne między

Oto starszy stopień, który znam parna, Tomek:. Ale przed roztashuvsya „minus” ( negatywny stała -1, także:

3) Liczne między

Wartość granicy ma pozostać w tyle. Yak vi pam'yataєte zi school, minus viskaku z-pid niesparowany krok, który nieskończenie świetny dla modułu liczba ujemna w niesparowanym krokuі "minus niespójności", czasami :.
Stała („chetvirka”) pozytywny, znaczyć:

4) Liczne między

Pierwszy chłopak we wsi znova maє nieparzysty krok, z wyjątkiem piersi negatywny stała, co oznacza: W tej randze:
.

Tyłek 5

Poznaj granice

Vikoristovuchi vicladens vishche kropki, dochodzimy do visnovka, ale nie ma to znaczenia. Liczebnik i mianownik tego samego rzędu wzrostu, od tego samego, między końcem liczby. Diznaєmosya іdpovіd, widząc wszystkie narybki:

Riszennya trywialne:

Tyłek 6

Poznaj granice

Tse tyłek dla niezależne rozwiązanie. Poza rozwiązaniem tego rodzaju lekcja.

A jednocześnie mabut, który znalazł to z vipadkiv:

Tyłek 7

Poznaj granice

Patrząc na starsze dodanki, dochodzimy do visnówki, tu nie ma wartości. Im wyższy rząd wzrostu, tym niższy standard, od razu można powiedzieć, że nie ma między nimi różnicy. Ale yakiy niespójności, „plus” czy „minus”? Zaakceptuj to samo - w dacie i sztandarze ukochanych:

Wirishuumo:



Rozdilimo data i baner włączony

Proanalizuum nieskończenie mały dodanki sztandaru:

Yaksho, potem dodanki z chłopaki podejdź do nieskończenie malim liczby dodatnie (oznaczone) i dodanki s nieparzysty podejdź do nieskończenie malim liczby ujemne (reprezentowane przez).

Teraz można dostarczać żywność, tak jak z tsikh chotiroh dodankіv będzie pragmatyczny do zera (bez szacunku ze znakiem) nypovilnishhe? Nowa recepcja Zgadaimo: z zestawem drzwi "ix" -10, czasem -100, czasem -1000 itd. Jeśli zbliżysz się do zera, zbliżysz się do mety. W przenośni jest to „grube” zero, jak „glina” wszystkich zer inshi. Są powody do ostatniego etapu i nagrania.

Przesunął się na znaczenie, znaki scho nieskończenie mały Przed datą numeru nie dajemy się oszukać, drzazgi są namalowane, widać solidny. Wstawiam "tylko zera" na tej liczbie. Przed przemówieniem znaki zer nie są znaczące na wszystkich tyłkach, a na granicy powinien znajdować się numer Kintseva (załącznik nr 5.6).

Bez zrad, to wygrana i analiza matematyczna, analiza =)

Dowcip, około nieskończenie małe funkcjeпізніше, w przeciwnym razie natkniesz się na mały wisiorek praworęczny w górach =)

Tyłek 8

Poznaj granice

Tse tyłek niezależnego rozwiązania.

Viznachennya kintsevich i nieinterfunkcjonalny na nieinterfunkcjonalny według Koshi. Viznachennya dwustronna i jednostronna między (zła i praworęczna). Dołącz rozwiązanie zadań, dla niektórych, wartość vicoristovyuchi Kosi, konieczne jest wykazanie, że granica na nieskończoność drogi do danej wartości.

Zmist

Dyw. także: W pobliżu punktu
Powszechnie ceniony między funkcjami według Geina i Koshi

Funkcja brzegowa Kintseva w przypadku braku zakończenia

Interakcje w przypadku niedostępności:
| f (x) - a |< ε при |x| >n

Wartość granicy według Koshi
Liczba a nazywana jest funkcją brzegową F (x) w x, co jest pragmatyczne dla niespójności (), kiedy
1) isnu taka | >
2) dla dowolnego, dla odpowiednio małej liczby dodatniej ε > 0 także liczba N ε > K, gdzie akumulować od ε, gdzie do wszystkich x, | x | > N ε, wartość funkcji ma leżeć na obrzeżach punktu a:
| (x) - a |< ε .
Interakcje w niespójności są znane w następujący sposób:
.
Do kiedy.

Często zwycięskie jest też używanie następujących znaczeń:
.

Cena do zapisania, vikoristovuyu i symbole logiczne іnuvannya i wielkość:
.
Tutaj opieramy się na szacunku, który jest znaczeniem obszaru wyznaczonej funkcji.

Granice jednostronne

Liva Meza działa non stop:
| f (x) - a |< ε при x < -N

Często vipodayutsya, jeśli funkcja jest przeznaczona tylko dla pozytywnych lub wartości ujemne zmień x (dokładniej na obrzeżach punktu abo). To samo nie dotyczy dodatnich i ujemnych wartości x może być wartość... Todi vikoristovuyut jednostronne granice.

Liva Meza w nieskończonych punktach Ponieważ granica w x jest pragmatyczna, minus niezgodności () zaczyna się tak:
.
Prawa granicy w nieskończenie widocznych punktach dla granicy przy x pragne do plus niespójność ():
.
Granice jednostronne często oznaczają:
; .

Nieokreślone funkcje brzegowe na bezkompromisowości

Nieokreślona granica funkcji na niezgodności:
|f(x) | > M dla |x | > N

Wyznaczanie nieprzerwanych granic według Koshi
Interfunkcje f (x) dla x, pragmatycznie do niespójności (), kosztownie niespójny, yaksho
1) іsnu takie jest blisko nieskończenie z odległego punktu | > K, funkcja de jest przypisana (tu K jest liczbą dodatnią);
2) dla dowolnego, dla preferowanej dużej liczby M > 0 , także liczba N M > K, depozyt від M, шо вім x, | x | > N M, znaczenie funkcji polega na leżeniu na obrzeżach nieskończonego punktu:
| (x) | > M.
Niescentrowana granica w punkcie x, która jest pragmatyczna aż do nieskończoności, oznacza:
.
Do kiedy.

Za dodaniem symboli logicznych, poczuciem niejednoznaczności, znaczenie nieskończonej interakcji można zapisać w następujący sposób:
.

Podobnie wpisuje się wartość nieskończonych znaków międzypojedynczych, rivny i:
.
.

Wartość jednostronnych między na nieskłonnościach.
Livi mezhi.
.
.
.
Pomiędzy.
.
.
.

Oznaczenie inter-funkcji dla Hein

Liczba a (kintsev lub w nieskończoność w odległości) nazywana jest funkcją brzegową f (x) w punkcie x 0 :
,
jakszoz
1) Jeśli taki jest koniec nieskończonego punktu x 0 , do którego przypisana jest funkcja (tutaj);
2) za uprzejmość (xn), przejdź do x 0 : ,
elementy lubią leżeć na obrzeżach, po (f(xn)) zbiegają się do:
.

O ile obrzeża nieskończoności z odległego punktu bez znaku są brane, to możemy przyjąć wartość inter-funkcji w przypadku poważnej niezgodności, tzw. Wystarczy wziąć lewostronne lub prawostronne obrzeża w nieskończoność z odległego punktu x 0 : tak czy inaczej, wtedy wartość granicy w x jest pomijalna, ale oczywiście najmniejsza z niespójności i plus niespójności.

Wartość granicy według Geina i Kosha jest równoważna.

Włączać

Tyłek 1

Vikoristovuchi viznachennya koshі show, scho
.

Wprowadzona wartość:
.
Znamy obszar przeznaczenia funkcji. liczby Oskilki i mianownika ułamka є przez wielomiany, wtedy funkcję przypisujemy do wszystkich x punktów granicznych, dla których mianownik jest transformowany do zera. Znamy punkty. Plac Virіshuєmo rіvnyannya. ;
.
Kornwalia Riwniania:
; .
Oskilki, a następnie gr.
Ta funkcja jest przeznaczona. Zwyciężymy dla ciebie.

Vypishennya kintsevoi interi funktsii on nessinennost 'według Koshi:
.
Robić różnicę:
.
Rozdilimo liczba i standard przez to pomnożone przez -1 :
.

Pospiesz się.
Todi
;
;
;
.

Otzhe, wiem, kiedy,
.
.
Zvidsi następny
w, ja.

Czasami oscylacje można zmienić. Todi na bycie kimś
w .
Tse oznacza scho.

Tyłek 2

Pospiesz się.
Vikoristovuchi viznachennya mezhі według programu Kosі, scho:
1) ;
2) .

1) Decyzja w x

Oskilki, wtedy funkcja jest przypisana do wszystkich x.
Wartość Vypishennya inter-funkcji, gdy z drugiej strony minus niespójności:
.

Pospiesz się. Todi
;
.

Otzhe, wiem, kiedy,
.
Wprowadzane są liczby dodatnie:
.
Svidsy jest wdzięczny, ale dla dowolnej liczby dodatniej M є liczba, więc dla,
.

Tse oznacza scho.

2) Decyzja w punkcie x jest pragmatyczna w stosunku do plus nieograniczenia

Pobierz funkcję wyjściową. Mnożenie liczby i mianownika ułamka i ustalonego wzoru na różnicę kwadratów:
.
Mamo:

.
Vipishemo viznachennya między funkcjami, gdy:
.

Wprowadzona wartość:.
Robić różnicę:
.
Mnożenie liczby i mianownika przez:
.

Pospiesz się
.
Todi
;
.

Otzhe, wiem, kiedy,
.
Wprowadzane są liczby dodatnie:
.
Zvidsi następny
w ja.

Cena oskilki za dowolną liczbę dodatnią, to
.

Literatura Wiktoristanu:
CM. Mikilski. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.

Dyw. także:

Pierwsza dziwna granica nosi nazwę:

\ początek (równanie) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (równanie)

Tak więc, jeśli $ \ alpha \ do (0) $ to $ \ sin \ alpha \ do (0) $, to wydaje się, że pierwszy cud między krzywizną jest nieistotny dla postaci $ \ frac (0) (0) $ . Podobno we wzorze (1) zamień $\alpha $ na znak sinusa i w banerze możesz zmienić czy skręcasz, - zastanawiały się aby dwa umysły:

  1. Vislovlyuvannya pod znakiem sinusa i pod znakiem znaku podważyć zero godzinę, tobto. є nieistotne dla postaci $ \ frac (0) (0) $.
  2. Virazi przed znakiem zatoki i znakiem znaku zbіgayut.

Często zdarzają się też spuścizny z pierwszej cudownej granicy:

\ begin (równanie) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (równanie) \ begin (równanie) \ lim _ (\ alpha \ to ( 0) ) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (równanie) \ begin (równanie) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha ) = 1 \ koniec (równanie)

W pierwszym wierszu znajduje się jedenaście załączników. Wniosek nr 1 przypisań do dowodu formuł (2) - (4). Zastosuj nr 2, nr 3, nr 4 i nr 5, aby odkryć rozwiązanie za pomocą notatek z wykładów. Załącz nr 6-10 w celu zastąpienia rozwiązania praktycznie bez uwag, bardziej objaśniające raporty podano na przednich tyłkach. Kiedy jesteś wirusowy, możesz używać formuł trygonometrycznych, które możesz znać.

Szanuję Cię, funkcje trygonometryczne jednocześnie od bezwartościowego $\frac (0) (0) $ nadal oznacza, że ​​pierwsza cudowna linia jest naprawiona. Inodi buvaє do wykonania prostych konwersji trygonometrycznych, na przykład div.

Tyłek numer 1

Przynieś $ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha ) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $.

a) Czyli jak $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) $, to:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg (\ alpha)) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) $$

Oskilki $ \ lim _ (\ alfa \ do (0)) \ cos (0) = 1 $ і $ \ lim _ (\ alfa \ do (0)) \ frac (\ sin \ alfa) (\ alfa) = 1 $, to:

$$ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) = \ frac (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ do (0 )) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha)) (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ cos (\ alpha)) = \ frac (1) (1) = 1 . $$

b) całkowicie zastąpię $\alpha = \sin(y)$. Oskilki $ \ sin (0) = 0 $, następnie umyj $ \ alpha \ do (0) $ mєmo $ y \ do (0) $. Ponadto jest bliskie zeru, w którym $ \ arcsin \ alpha = \ arcsin (\ sin (y)) = y $, a zatem:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (y) (\ sin (y)) = \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (1) (\ frac (\ sin (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (\ sin (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$

Wprowadzono parzystość $ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 $.

c) całkowicie zastąpię $alpha = tg(y)$. Oskilki $ \ tg (0) = 0 $, a następnie umyj $ \ alpha \ do (0) $ і $ y \ do (0) $ ekwiwalent. Ponadto, ponieważ jest bliskie zeru, w którym $ \ arctg \ alpha = \ arctg \ tg (y)) = y $, w dodatku spirala w kierunku wyniku punktu a), matimo:

$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (y) (\ tg (y)) = \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (1) (\ frac (\ tg (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (\ tg (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$

Wyczyszczono parzystość $ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $.

Rіvnostі a), b), c) często porządek vikoristovyutsya od pierwszej cudownej granicy.

Tyłek numer 2

Policz między $ \ lim_ (x \ do (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) ( x + 7)) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (x ^ 2-4) (x + 7) = \ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) = 0 $ і $ \ lim_ (x \ to (2)) \ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right) = \ sin (0) = 0 $, więc. liczebnik w mianowniku ułamka natychmiast spadnie do zera, wtedy będzie dobrze z nieistotną formą $ \ frac (0) (0) $, tobto. viconano. Ponadto widać, że jest to naruszone przez znak sinusa w mianowniku, aby rozpocząć (tobto viconano і):

Otzhe, obrażaj, myśl, przenieś do kolby kukurydzy, vikonan. Na tsomu viplivaє formuła jest w stagnacji, tobto. $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7)) = 1 $.

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x +7)) = 1 zł.

Tyłek nr 3

Poznaj $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ do (0)) \ sin (9x) = 0 $ і $ \ lim_ (x \ do (0)) x = 0 $. 0) $, tobto. viconano. Chronią przed znakiem zatoki, a baner nie wyróżnia się. Tutaj konieczne jest zdobycie virazu u chorążego, zanim będziesz potrzebować formularza. Potrzebujemy tiltu o wartości 9x $ u chorążego, aby stało się prawdą. Właściwie nie dostajemy mnożnika 9$ z mianownika, co nie jest takie łatwe do wprowadzenia, - po prostu mnożymy viraz z mianownika przez 9$. Oczywiście, aby zrekompensować pomnożenie przez 9 $, zostanie wniesione od razu 9 $ i dystrybucja:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x \ cdot \ frac (1) (9)) = 9 \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $$

Teraz widzimy znak znaku znaku zatoki. Obidvі umysł na interі $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $ viconany. Również $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 1 $. A tse oznacza scho:

$$ 9 \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 9cdot (1) = 9. $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = 9 $.

Tyłek nr 4

Poznaj $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ do (0)) \ sin (5x) = 0 $ і $ \ lim_ (x \ do (0)) \ tg (8x) = 0 $, to mogę po prostu zrobić nieprzypisaną formę $ \ frac (0) (0) $. Jednak kształt pierwszej cudownej granicy jest zrujnowany. Licznik, jak zemścić się na $ \ sin (5x) $, jest oczywisty dla mianownika $ 5x $. W takiej sytuacji najłatwiej jest rozdzielić liczbę na 5$x$, - i od razu na 5$x$ ludności. Dodatkowo jest to przewidywalne przy analogicznej operacji ze standardem, mnożąc $\tg (8x)$ przez $8x $:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x) ) $$

Przyspieszmy na $ x $ i winos stałą $ \ frac (5) (8) $ dla znaku i możemy rozpoznać:

$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) ( 8x)) $$

Zniszcz swój szacunek, więc $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x) $ zwiększy twoją satysfakcję z pierwszej cudownej granicy. Dla wyniku $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x) $ stosuje się następujący wzór:

$$ \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x)) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (1) (1) = \ frac (5) (8). $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ frac (5) (8) $.

Tyłek nr 5

Poznaj $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ to (0)) (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) = 1-1 = 0 $ (chyba $ \ cos (0) = 1 $) і $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 2 = 0 $, możemy tak samo zignorować formę $ \ frac (0) (0) $. Jeśli jednak możesz przestać używać cudu, to przyzwyczajasz się do cosinusa w liczbie, po zmianie na zatoki (możesz użyć wzoru) lub tangens (możesz użyć wzoru). Zmiany można dokonać w następującym zakresie:

$$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ left (1- \ cos ^ 2 (5x) \ right) $$ $$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ left (1- \ cos ^ 2 (5x) \ right) = \ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x). $$

Zwracając się do granicy:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ prawo) $$

Ułamek $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ jest już zbliżony do tej samej postaci, która jest niezbędna dla pierwszej cudownej granicy. Okruchy zostaną poprawione ułamkiem $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $, gdy przejdę do cudu granicy (obróć, odwróć w liczbie i przejdę przez zatok, aby to winić):

$$ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \ cdot \ frac (1) (25)) = 25 \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) = 25 \ cdot \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 $$

Zwracając się do granicy:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ right) = \ lim_ (x \ to (0 ))) \ left (25 \ cos (5x) \ cdot \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 \ right) = \ = 25 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0)) \ cos (5x) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 = 25 \ cdot (1) \ cdot ( 1 ^ 2) = 25. $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = 25 $.

Tyłek nr 6

Poznaj między $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ do (0)) (1- \ cos (6x)) = 0 $ і $ \ lim_ (x \ do (0)) (1- \ cos (2x)) = 0 $, mi Mogę to zrobić dobrze z bezwartościowym $ \ frac (0) (0) $. Otwarcie na pomoc pierwszej cudownej granicy. Dla całości przejdziemy od cosinusów do sinusów. Oskilki $ 1- \ cos (2 \ alpha) = 2 \ sin^ 2 (\ alpha) $, to:

$$ 1- \ cos (6x) = 2 \ sin ^ 2 (3x); \; 1- \ cos (2x) = 2 \ sin ^ 2 (x). $$

Przejścia w ustalonych granicach do zatok, matimemo:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 (3x)) (2 \ sin ^ 2 (x)) = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2 (3x)) (\ sin ^ 2 (x)) = \\ = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \ cdot (3x) ^ 2) (\ frac (\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \ cdot (x ^ 2)) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ left (\ ) frac (\ sin (3x)) (3x) \ right) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2)) (\ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ right) ^ 2 \ cdot (x ^ 2)) = 9 \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ do (0)) \ left (\ frac (\ sin (3x)) (3x) \ right) ^ 2) (\ displaystyle \ lim_ ( x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ right) ^ 2) = 9cdot \ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) = 9. $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = 9 $.

Tyłek nr 7

Policz między $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) $ dla mycia $ \ alpha \ neq \ beta $.

Szczegółowe wyjaśnienie zostało podane wcześniej, tutaj jest po prostu oczywiste, że $ \ frac (0) (0) $ nie ma znaczenia. Przejdźmy od cosinusów do sinusów, formuła vicorist

$$ \ cos \ alfa- \ cos \ beta = -2 \ sin \ frac (\ alfa + \ beta) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alfa- \ beta) (2). $$

Vikoristovuchi, podałem formułę, weźmiemy to:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alfa (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ left | \ frac (0) ( 0) \ prawo | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (-2 \ sin \ frac (\ alfa (x) + \ beta (x)) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alfa (x) - \ beta (x)) (2)) (x ^ 2) = \\ = - 2 \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alfa + \ beta )) (2) \ prawo) \ cdot \ sin \ lewo (x \ cdot \ frac (\ alfa-beta) (2) \ prawo)) (x ^ 2) = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0)) \ lewo (\ frac (\ sin \ lewo (x \ cdot \ frac (\ alfa + \ beta) (2) \ prawo)) (x) \ cdot \ frac (\ sin \ lewo (x \ cdot \ frac ) (\ alpha- \ beta) (2) \ right)) (x) \ right) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin \ lewo ( x) \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ prawo)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ cdot \ frac (\ sin \ lewo (x \ cdot \ frac (\ alfa- \ beta) (2) \ prawo)) (x \ cdot \ frac (\ alfa- \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alfa- \ beta) (2) \ po prawej) = \\ = - \ frac ((\ alfa + \ beta) \ cdot (\ alfa- \ beta)) (2) \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ lewo (x \ cdot \ frac (\ alfa + \ beta) (2) \ prawo)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ lim_ (x \ to (0 )) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alfa- \ beta) (2)) = - \ frac (\ alpha ^ 2- \ beta ^ 2) (2) \ cdot (1) \ cdot (1) = \ frac (\ beta ^ 2- \ alpha ^ 2) (2). $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alfa (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ frac (\ beta ^ 2- \ alfa ^ 2) (2) $.

Tyłek numer 8

Poznaj między $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ do (0)) (\ tg (x) - \ sin (x)) = 0 $ (chyba $ \ sin (0) = \ tg (0) = 0 $) і $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 3 = 0 $, to tutaj możemy to zrobić w nieistotnej postaci $ \ frac (0) (0) $. Roskryєmo її więc:

$$ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (x)) (\ cos (x)) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to ( 0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (\ frac (1) (\ cos (x)) - 1 \ right)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (1- \ cos (x) \ right)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \\ = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot (2) \ sin ^ 2 \ frac (x) (2)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ cdot \ left (\ frac (\ sin \ frac (x) (2)) (\ frac (x) ( 2)) \ prawo) ^ 2 \ cdot \ frac (1) (\ cos (x)) \ prawo) = \ frac (1) (2) \ cdot (1) \ cdot (1 ^ 2) \ cdot (1 ) = frac (1) (2). $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ frac (1) (2) $.

Tyłek numer 9

Poznaj między $ \ lim_ (x \ do (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) $.

Oskilki $ \ lim_ (x \ do (3)) (1- \ cos (x-3)) = 0 $ і $ \ lim_ (x \ do (3)) (x-3) \ tg \ frac (x - 3) (2) = 0 $, to nie ma znaczenia dla postaci $ \ frac (0) (0) $. Przed tim, jak idź do її rozkrittya, zmienię ręcznie, aby zastąpić ją taką rangą, ale to nowa zmiana na prosto do zera (zły szacunek, ale we wzorach jest zmiana $ \ alfa \ na 0 zł). Łatwo jest wprowadzić zmianę $ t = x-3 $. Jednak dla szybkości zmian, które zostały wprowadzone (możesz zanotować godzinę dolnego rozwiązania), zmienię to: $ t = \ frac (x-3) (2) $. Mam na myśli, że jeśli jesteś obrażony, wymień zastój w tym vypadku, po prostu pozwól przyjacielowi zastąpić mniej pratsyuvati ułamkami. Oskilki $ x \ do (3) $, następnie $ t \ do (0) $.

$$ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = \ left | \ frac (0) (0) \ prawo | = \ left | \ begin (wyrównane) & t = \ frac (x-3) (2); \ & t \ to (0) \ end (wyrównane) \ right | = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (1- \ cos (2t)) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2t) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ tg (t)) = \\ = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ frac (\ sin (t)) (\ cos (t))) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin (t) \ cos (t)) (t) = \ lim_ (t \ do (0)) \ left (\ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ cos (t) \ right) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ lim_ (t \ do (0)) \ cos (t) = 1 \ cdot (1) = 1. $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = 1 $.

Tyłek nr 10

Poznaj między $ \ lim_ (x \ do \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2 ) $.

Bardzo dobrze wiem, że $\frac (0) (0) $ jest bezwartościowe. Zanim Tim, jaka, przejdź do її rozkrittya, zmienię ręcznie, aby zastąpić ją taką rangą, ale to nowa zmiana na prosto do zera (niegodziwy szacunek, ale formuły mają niegodziwość $ \ alfa \ do (0 ) $). Łatwo jest wprowadzić zmianę $ t = \ frac (\ pi) (2) -x $. Oskilki $ x \ do \ frac (\ pi) (2) $, następnie $ t \ do (0) $:

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) = \ lewo | \ frac (0) (0) \ prawo | = \ left | \ begin (wyrównane) & t = \ frac (\ pi) (2) -x; \ & t \ to (0) \ end (wyrównane) \ right | = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (1- \ sin \ left (\ frac (\ pi) (2) -t \ right)) (t ^ 2) = \ lim_ (t \ to (0 ))) \ frac (1- \ cos (t)) (t ^ 2) = \\ = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (\ frac (t ^ 2) (4) \ cdot (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (t \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin \ frac (t) (2)) (\ frac (t) (2)) \ right) ^ 2 = \ frac (1) (2) \ cdot (1 ^ 2) = frac (1) (2). $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) = frac (1) (2) $.

Tyłek nr 11

Dowiedz się między_ $ \ lim_ (x \ do \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) $, $ \ lim_ (x \ do \ frac (2 \ ) pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) $.

Nigdy nie będziemy mieli okazji vikoristovuvati pershu cudu między nami. Z całym szacunkiem: tak jak na pierwszym, tak i na drugim brzegu nie ma funkcji trygonometrycznych liczby. Najczęściej w takich niedopałkach można przecisnąć się przez viraz, roztashovane pod znakiem granicy. Z całym mnóstwem domysłów, ta szybkość deyakie spivnoshnikov to brak wartości wiedzy. Nie zmieniałem tyłka jedną metodą: pokazać, że manifestacja funkcji trygonometrycznych pod znakiem wezwania nie musi oznaczać stagnacji pierwszej cudownej granicy.

Oskilki $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) (1- \ sin (x)) = 0 $ (chyba $ \ sin \ frac (\ pi) (2) = 1 $) і $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ cos ^ 2x = 0 $ (chyba $ \ cos \ frac (\ pi) (2) = 0 $), to mogę w nieistotnej formie $ frac (0) (0) $. Jednak tse zovsim nie oznacza, że ​​musimy między cudem vikoristovuvati pershu. Aby otworzyć kryterium bezwartościowości, uzupełnij vrahuvati, który $ \ cos ^ 2x = 1- \ sin ^ 2x $:

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (1- \ sin ^ 2x) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) ( 2)) \ frac (1- \ sin (x)) ((1- \ sin (x)) (1+ \ sin (x))) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2) ) \ frac (1) (1+ \ sin (x)) = frac (1) (1 + 1) = frac (1) (2). $$

Analogiczna metoda rozwiązania є y w Karati Demidovich (nr 475). Otóż ​​do drugiej granicy, te przed przednimi kolbami cięcia, nie mam na myśli $\frac (0) (0)$. Dlaczego Vinika tam jest? Vona Vinikaє że $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ і $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Znaczenie Vikoristovuєmo tsi z meta odtworzenia viraziv w liczbie i w standardzie. Meta naszej pracy: zapisz sumę w dacie i banerze na wigilię twórcy. Przed mową, często w granicach podobnej formy, zruchana zastępuje zmarszczkę, jest przełamana taką rozetą, nowa zmiana jest prosto do zera (div., Np. tyłek nr 9 lub nr 10 na strona tsy). Jednak dla danej aplikacji, w sensie zastępczym, nie jest, chce niezręcznie zmienić $ t = x- \ frac (2 \ pi) (3) $.

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cdot \ left (\ cos (x) + \ frac (1) (2) \ right )) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) - \ tg \ frac (2 \ pi) (3)) (2 \ cdot \ left (\ ) cos (x) - \ cos \ frac (2 \ pi) (3) \ prawo)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ frac (\ sin) \ lewo (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ prawo)) (\ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3))) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac) (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi ) (3)) \ frac (\ sin \ lewa (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ prawa)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3) ) ( 2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (2 \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos \ frac (x-frac (2 \ pi) ) ( 3))) (2)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3 )) ( 2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ cos \ frac (x - \ frac (2) \ pi) (3)) (2)) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi ) (3)) = \\ = \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ po prawej) \ cdot \ po lewej (- \ frac (1) (2) \ prawo)) = - \ frac (4) (\ sqrt (3)). $$

Jak bachite, nie mieliśmy szans na stagnację cudu granicy. Zvychayno, za cenę bazhannya można zrobićti (uwaga dyw. poniżej), ale nie zostanie zużyta w tsomu.

Jakie będzie rozwiązanie zwycięskiej pierwszej cudownej granicy? Pokaż pokaż

Z wiktoriańskim pierwszym rozpoznaje się cudowną granicę:

$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ sin \ lewo (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ prawo)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x-frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi ) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x-frac (2 \ pi) (3) \) prawo )) (x- \ frac (2 \ pi) (3)) \ cdot \ frac (1) (\ frac (\ sin \ frac (x-frac (2 \ pi) (3)) (2)) ( \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2))) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) ( 2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) \ prawy) = 1cdot (1) cdotfrac (1) (- 2cdotfrac (sqrt (3))) (2) \ cdot \ lewy ( - \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right)) = - \ frac (4) (\ sqrt (3)). $$

Pogląd: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (2) $, $ \ lim_ ( x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = - \ frac (4) (\ sqrt ( 3)) $.

Lekcja i prezentacja na temat: „Interfunkcje na niespójnościach”

Dodatkov_ materiały
Shanovny koristuvachi, nie zapomnij dodać swoich komentarzy, vidguki, pobozhanya! Podjęliśmy wysiłki, aby przekonwertować program antywirusowy.

Użytkownicy i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla 10. klasy od 1C
Zadania Virіshuєmo z geometrii. Interaktywna pobudka dla klas 7-10
Zadania Virіshuєmo z geometrii. Interaktywne cheerleaderki na 10 do 11 zajęć

SHO vivchatimemo:

1. Jaka jest różnica?

5. Moc. 6. Załóż go.

Dzieci, zastanówmy się, jaka jest różnica między funkcjami na non stop?
A co z brakiem niespójności?
Brak jakości- vikoristovuyutsya dla cech nieprzyległych, nieprzyległych, bezprecedensowych obiektów i wyglądów, w przypadku cech liczb.

Brak jakości- Skіlki jest bardzo duży (mały), numer bezmezhne.
Jeśli spojrzysz na obszar współrzędnych, zawieś odciętą (rzędną) i przejdź do nieskończoności, jeśli możesz iść bez granic w lewo lub w prawo (w dół lub pod górę).

Przejdźmy teraz do interfunkcji w nieograniczający sposób:
Miejmy є funkcji y = f (x), obszar wartości naszej funkcji ma się pozbyć, a nie prostą y = b є przez poziomy wykres asymptotyczny funkcji y = f (x) , możemy wszystko zapisać matematycznie:

Również nasz sen można zobaczyć za godzinę:

Todi może zapisać:

Interfunkcje y = f (x) w punkcie x są pragmatyczne aż do drogi b

Włączać

Znajdź wykres funkcji y = f (x), taki jak ten:
1) Obszar wartości nie zawiera żadnych ważnych liczb.
2) f (x) jest funkcją nieprzerwaną
3) 4)Rozwiązanie: Musimy mieć nieprzerwaną funkcję (-∞; + ∞). Pokazano dodatek naszych funkcji.

Uprawnienia podstawowe

Do obliczenia granic nie-przechylności należy użyć wskaźnika

1) Dla dowolnej liczby naturalnej m można rozpocząć relację:

2) Yaksho te:
a) Mezha sumi dorivnyuh sumi pomiędzy:

B) Pomiędzy:

c) Prywatne wejście Prywatne wejście:


d) Za znak pomiędzy:

zapas 1.

Wiedzieć: Decyzja: Rozdilimo liczba i mianownik ułamka przez x. Szybko siła granicy między drzwiami prywatnymi a granicą prywatną:

Dzieci, zgadnijcie granicę między wartościami liczbowymi.

Otrimaєmo:

zapas 2.

Znać między funkcjami y = f (x), ale w x jest pragmatyczne do nieograniczenia.
Decyzja.

  • POMIĘDZY, -a, m.

    1. Krawędź, część kintseva chogos l. Oto skrajna granica prowincji Perm. Mamin-Sibiryak, Przyjaciele. Kiedy budowałeś, to jest głupie i nie będziesz między nimi. Bєlov, Qanuni. || przełącznik Koniec, koniec, zakończenie chogos l. [Dolegliwości] nie myśląc o ich bliskim końcu, - o tej granicy, aż co to było, pędząc do niegodziwego shvidkistu. Gładkow, Energia. Vona była dla nich starcem, podobnie jak reszta kobiecej części - turbota matki.Ławrenow, Stara. Tylko katastrofa mogła postawić Mikity'ego w sprzeczności z samą sobą. Fedin, Bracia.

    2. pl. rok. (wnętrze, -iv). Oczywiście jest sprytny do ryżu, między niektórymi. terytorium; rub_zh. Na zbieranie wina [Światosław] rozunuv między ziemią rosyjską do cichych kordonów, jak przez pięćset lat przyniosła wiedza Iwana Groźnego. A. N. Tołstoj, Ziemia rosyjska odeszła. Odpoczywając w pozie między ojczyzną, Shalyapin zmarł z nostalgii - ucisku za ojczyzną. Gribachov, Berezka że Ocean. || Co abo Yaki. Mistsevst, przestrzeń, pakowanie w yakis l. Mezhi. Ashaginsky Lisy wziął panów z własnej rezerwy. Tichonow, Podvijna Veselka. Przez całą wiosenną noc Słowiki gloryfikują gurkotliv Ogłuszają linie wszy. Pasternak, bila nich. Ponadto muzyka kameralna wykraczała poza granice rezydencji ludzi bogatych i szlacheckich i przyjeżdżała zwiedzać sale koncertowe, by za naszych czasów posłuchać. Kabalewski, Około trzech wielorybów i dużo. || Tradycja śpiewa. Krawędź, ziemia. A książę będzie nieuprzejmy, by nasycić swoje uszy, a wraz z nimi zgiąć rosіslav Do susіdіv na granicy nieznajomego. Puszkina, Anchara. Pamiętam, jakby słońce było gardłowe, na zimę było wysoko, bo przyjeżdżali tu z dalekich stron Moskwy i Moskwy. Smilyakiv, Pamięć Dymitrowa. || Mija godzina, w otoczeniu yakimi-l. warunki (zadzwoń do znajomego pomiędzy). Wygląda na to, że jadę do Orenburga z chavunkoyem i pojadę, niestety, za 14 dni. L. Tołstoj, Liszt Z. A. Tołstoj, 4 IX 1876.

    3. zadzwoń do mnie pl. rok. (wnętrze, -iv) przełącznikświat, między chho-l.; struktura. Na granicy przyzwoitości. □ Nareshty, za wszelką cierpliwość 365 є pomiędzy. Pisarow, pośmiertny virshi Heine. - Na razie nie wykraczam poza nadane prawem granice uprawnień dowódcy floty. Stiepanow, Port Artur. Wiadomość Fiodora Andrijowycza o odejściu ojczyzny jego ojca była nieco skromniejsza, co ważniejsze, na granicy „krótkiego kursu”.. Nosov, nie maja dziesięć rubli. || Vischa stopy. Meza mrij. □ Siła ludzi, fizyczna i moralna, tyran doprowadzony na skraj znemogii. V. Kozhevnikov, paraszuta. Moja ziemio, piękna twoja owsianka. W końcu pozostała granica! Vinokurov, „Międzynarodowy”.

    4. Mata. Post-size, dopóki nie zbliża się zmiana wartości, lubię leżeć jako zmiana rozmiaru, za pieśnią ostatniego. Pomiędzy końcówkami numerycznymi.

    Na granicy- 1) na skrajnym stopniu sprężyn. Nerwy na granicy; 2) na skraju razdratuvannya. [Galya:] Sam się boję tego roku. Wino na granicy. Pogodin, Kviti żyją.

Dzherelo (wersja drukovana): Słowniczek języka rosyjskiego: U 4 tomy / RAS, In-t lingwistyczny. doslidzhen; Wyd. A.P. Evgenєvoi. - 4. rodzaj., skasowane. - M: Rus. język.; Polygraphresursi, 1999; (wersja elektroniczna):