Figūros, apsuptos linijomis, ploto apskaičiavimas, pateiktas parametriškai. Kaip apskaičiuoti figūros plotą ir kūno apvyniojimo tūrį, kaip parametriškai nustatoma linija? Kaip sužinoti vietovę mano vipadkoje

Paskaitos 8. Dainavimo integralo programos.

Integralo priedas prie fizinių problemų grindžiamas integralo adityvumo galia beasmeniui. Todėl integralo pagalba galima suskaičiuoti tokius kiekius, tarsi jie patys būtų adityvūs. Pavyzdžiui, figūros plotas yra lygus Dovžino lanko plotų sumai, paviršiaus plotui, kūno tūriui, kūno masės galiai gali būti vienoda. Tokį dydžių skaičių galima apskaičiuoti naudojant paprastą integralą.

Galite susukti du metodus ir išspręsti užduotis: integralinių sumų metodas ir diferencialų metodas.

Integralų sumų metodas pakartoja pirmojo integralo konstrukciją: bus skilimai, skaičiuojami taškai, kuriems skaičiuojama funkcija, apskaičiuojama integralų suma, pasukamas ribinis perėjimas. Kam visi metodai yra elementarus lankstymas – atnešti tai, kas yra tarp jūsų, ir tuos pačius, kurie reikalingi užduočiai atlikti.

Vikoristų ne reikšmių integralo ir Niutono-Leibnico formulės diferencialų metodas. Apskaičiuokite dydžio skirtumą, jei reikia, kad buv, integruojant skirtumą, pagal Niutono-Leibnico formulę, paimkite reikiamą dydį. Kas turi visą pagrindinio nuoseklumo metodą – atnešti, koks paskaičiuotas reikiamos reikšmės skirtumas, ir nieko daugiau.

Plokščių figūrų ploto apskaičiavimas.

1. Figūrą supa funkcijos grafikas, pateiktas Dekarto koordinačių sistema.

Sing integralą supratome kreivinės trapecijos ploto prasme (iš tikrųjų integralinių sumų metodas). Ši funkcija priimama tik pamatyti prasmę tada plotas po funkcijos grafiku vіdrіzka gali būti apskaičiuojamas sing integralo pagalba. Mes tai gerbiame Štai kodėl čia galima naudoti diferencialinį metodą.

Tačiau funkcija taip pat gali turėti neigiamas reikšmes kitoje pusėje, tačiau kitos pusės integralui suteikiama neigiama sritis, kuri uždengia nurodytą sritį.

Galite apskaičiuoti plotą naudodami formulęS=. Ramiose vietose, kuriose yra neigiamų verčių, būtina pakeisti funkcijos ženklą.

Jei reikia apskaičiuoti figūros plotą, kurį supa žvėries funkcijos grafikas, o žemiau - funkcijos grafikas, tada galite naudoti formulęS= , toks jakas.

užpakalis. Apskaičiuokite figūros plotą, apsuptą tiesėmis x=0, x=2 ir funkcijų y=x 2, y=x 3 grafikais.

Verta pažymėti, kad intervalas (0,1) turi nelygumą x 2 > x 3 , o x >1 netolygumą x 3 > x 2 . Tomas

2. Figūrą supa funkcijos grafikas, pateiktas polinių koordinačių sistemoje.

Leiskite užduoties funkcijos grafiką polinei koordinačių sistemai ir norite apskaičiuoti kreivinio sektoriaus plotą, apsuptą dviem mainais ir funkcijų grafiku polinei koordinačių sistemai.

Čia galite naudoti integralinių sumų metodą, apskaičiuojant kreivinio sektoriaus plotą tarp elementariųjų sektorių plotų sumos, kurioje funkcijos grafikas pakeičiamas statymo lanku .

Galite pasukti diferencialinį metodą: .

Galite mirkuvati taip. Pakeičiamas elementarus kreivinis sektorius, kuris suteikia centrinei kut apskritą sektorių, galbūt proporciją. Žvіdsi . Žinoma, integruojant Vicorist formulę Niutonas – Leibnicas .

užpakalis. Apskaičiuokite statymo plotą (perevirimo formulė). Gerb. Akcijos plotas yra brangesnis .

užpakalis. Skaičiuoju plotą, mane supa kardio .

3 Paveikslą supa parametrais nurodytos funkcijos grafikas.

Funkciją galima parametriškai nustatyti kaip . Vikoristovuemo formulė S= , pakeisdamas jos integraciją į naujus pokyčius. . Kai apskaičiuojate integralą, matote tas sritis, deintegralo funkcija gali turėti pirmąjį ženklą ir apsaugoti visą plotą šiuo kitu ženklu.

užpakalis. Apskaičiuokite plotą, apjuoskite jį elipsu.

Vikoristovuemo elipsės simetrija, skaičiuojant elipsės ketvirčio plotą, kuris yra pirmame kvadrante. Kieno kvadrantas? Tomas.

Kontaktų skaičiavimas tel.

1. Obsyagіv ikiіl apskaičiavimas lygiagrečios reperіziv srityse.

Tegul reikia apskaičiuoti tikrojo kūno tūrį V nurodytoms kūno skerspjūvio plokštumoms, statmenoms tiesei OX, brėžiant per tiesės OX tašką x.

Mums reikia diferencialų metodo. Svarbu tai, kad imamas elementarus tūris, viršijantis vertikalaus tiesaus apskrito cilindro su pagrindo plotu ir aukščiu tūrį. . Integruojant ir zastosovuyuchi Newton-Leibniz formulę, mes imamės

2. Skaičiavimas yra obsyagіv tіl vyniojimo.

Tegul reikia virahuvati JAUTIS.

Todi .

Panašiai, apimtisOY Jei funkcija suteikiama žiūrovui, ją galima apskaičiuoti naudojant formulę.

Ši funkcija nustatyta žiūrovui ir būtina nustatyti kūno apvyniojimo aplink ašį tūrįOY prievolės apskaičiavimo formulę gali nuimti ateinantis rangas.

Galbūt pereinama prie diferencialo ir nenaudojami kvadratiniai terminai . Integruoti ir zastosovuyuchi Newton-Leibniz formulė, galbūt.

užpakalis. Apskaičiuokite obsyag cooli.

užpakalis. Apskaičiuokite dešiniojo apskrito kūgio, apsupto paviršiaus plotu, tūrį.

Apskaičiuokime tūrį, kaip ir įvynioklio korpuso tūrį, padarytą aplink OZ ašį tiesio pjovimo trikotažo OXZ plokštumoje, kurio kojelė guli ant OZ ašies ir yra tiesi z \u003d H, o hipotenuzė yra tiesioje linijoje.

Pasukdami x per z, galime imti .

Apskaičiuokite lanko ilgį.

Norėdami paimti lanko užpakalinės dalies skaičiavimo formules, per 1 semestrą sukūrėme užpakalinės lanko dalies diferencialo formulę.

Kaip lankas nepertraukiamai diferencijuotos funkcijos grafike, antrojo lanko skirtumą galima apskaičiuoti naudojant formulę

. Tomas

Net jei lygus lankas pateikiamas parametriškai, tada

. Tomas .

Taip pat lankas nustatomas polinių koordinačių sistemoje, tada

. Tomas .

užpakalis. Išnarpliokite funkcijos grafiko lanko kraštinę, . .

Pirmiausia eikite į paviršiaus apvyniojimo ploto formules, kad sužinotumėte trumpą paties paviršiaus apvyniojimo formulę. Viršutinis įvyniojimas arba, kas yra tas pats - viršutinis kūno apvyniojimas - erdvi figūra, įvyniojimas pagamintas į vіdrіzka AB kreivė ant ašies Jautis(Paveikslas žemiau).

Atskleisiu vingiuotą trapeciją, žvėrį apgaubsiu spėliojamąja kreivės kreive. Tіlo, pagamintas vyniojimui tsієї trapecії navko tiєї zh osі Jautis ir tіlo įvyniojimas. O paviršiaus apvyniojimo plotas arba kūno įvyniojimo paviršius yra visas yogo ovnishnya apvalkalas, o ne rahuyuchi kil, utavleny įvyniojimai ant ašies tiesiai x = aі x = b .

Su pagarba, kad įvyniojimo korpusas ir, aišku, toks pat paviršius gali būti pagamintas taip, kad figūros įvyniojimai nebūtų ant ašies. Jautis, bet apie ašį Ach.

Apvyniojimo paviršiaus ploto, nurodyto stačiakampėmis koordinatėmis, apskaičiavimas

Eikime stačiakampėmis koordinatėmis plokščioje plokštumoje y = f(x) duota kreivė, vyniojant apie koordinačių ašį – vyniojamasis kūnas.

Apvyniojimo paviršiaus ploto apskaičiavimo formulė yra tokia:

(1).

1 pavyzdys.Žinokite paraboloido paviršiaus plotą, padengtą apvyniojimais aplink ašį Jautis paraboliniai lankai, kurie keičiasi x peržiūrėti x= nuo 0 iki x = a .

Sprendimas. Funkciją aiškiai matome, kai nustatome parabolės lanką:

Mes žinome šias funkcijas:

Pirma, paspartinkime formulę, kaip žinoti paviršiaus apvyniojimo plotą, parašykime, kad dalis її pіdіntegralnogo viruso, kaip ir šaknis, ir, tikėtina, yra žinomas tik pokhіdn:

Vidpovіd: dozhina lankas kreivas dorіvnyuє

.

užpakalis 2.Žinokite paviršiaus plotą, kuris apgaubia ašį Jautis astroidi.

Sprendimas. Užtenka apskaičiuoti paviršiaus plotą, kuris išeis į vienos astroidinės adatos apvalkalą, susiraukšlėjęs pirmąjį ketvirtį, ir padauginti її iš 2. Iš astroidinio išlygiavimo aiškiai matome funkciją. , todėl turėsime įvesti išlyginimo skaičiavimo formulę:

.

Kintamasis integravimas nuo 0 iki a:

Apvyniojimo paviršiaus ploto apskaičiavimas, pateiktas parametriškai

Galime žiūrėti į nuolydį, jei kreivė, kuri nustato apvyniojimo paviršių, yra nustatyta parametrinėmis lygybėmis

Tas pats paviršiaus apvyniojimo plotas apskaičiuojamas pagal formulę

(2).

3 pavyzdys.Žinokite paviršiaus apvyniojimo plotą, padengtą įvyniojimais ant ašies Ach figūra, apsupta cikloidu ir tiesia linija y = a. Cikloidas pateikiamas parametrinėmis lygybėmis

Sprendimas. Mes žinome cikloido ir tiesės susikirtimo tašką. Cikloidų išlyginimas ir tiesių linijų išlyginimas y = a, mes žinome

Kodėl matote, ką rodo interintegracija

Dabar galime užpildyti formulę (2). Susipažinkime su linksmybėmis:

Virazės šaknį užrašome formulėje, pateikdami žinomus rezultatus:

Mes žinome šio viruso šaknį:

.

Tarkime, kad radome formulę (2):

.

Padarykime pakaitalą:

Aš, nareshti, mes žinome

Konvertuoti virusai turi skirtingas trigonometrines formules

Patarimas: paviršiaus apvyniojimo plotas yra geras.

Apvyniojimo paviršiaus ploto, pateikto polinėmis koordinatėmis, apskaičiavimas

Leiskite kreivei apvynioti paviršių, nurodytą polinėmis koordinatėmis.

Myliu jus, VNZ Argemonijos studentai!

Daugiau trohi - ir kursas bus baigtas, ir tuoj pasirūpinsime ašimi.

Džouli trohi mostelėjo ranka – ir vėjyje atrodė, kad stovi. Tiksliau, tai buvo tiesi trapecija. Vaughn tiesiog pakibo ore, sukurtas magiškos energijos, tekėdamas išilgai її pusių, taip pat sukasi pačiame trapecijos viduryje, per kurią visa vibravo ir mirgėjo.
Tada vikladach trohi sukamaisiais judesiais atliko savo rankos pirštais - ir trapecija pradėjo vyniotis aplink nematomą ašį. Tyliai, tada mes tapsime geresni ir geresni - taigi, kad ateityje pradėjo ryškėti paskelbimo apimtis. Atrodė, kad iš jos kilo magiška energija.

Dali trapilos taip: blizgantys figūros kontūrai ir її vidus ėmė įsikabinti kaip kalba, šviesa vis mažiau įsiminė, paskui pati figūra vis labiau panašėjo į schos vodchutne. Medžiagos grūdeliai buvo palaipsniui skirstomi pagal paveikslą. Pirmosios ašies nebeliko: vyniojimo, žvakės. Povitri visiv turi objektą, panašų į virvą. Džoulis atsargiai numetė jogą ant stalo.

Na ašis. Maždaug tokiu būdu galima materializuoti daugybę objektų – apvyniojant, kaip plokščias figūras, kurios yra beveik tiesios linijos. Akivaizdu, kad materializacijai reikia dainuoti daug kalbos, kad užpildytumėte visą garsumą, kuris yra nusistovėjęs ir laikinai nuslopinamas papildomai magiškai energijai. O ašis, norint tiksliai nudžiuginti, kiek reikia kalbos, reikia pažinti kūną, kuris yra priimtas. Priešingu atveju, jei neužteks kalbos, nepavyks aprėpti viso tomo su savimi ir kūnas gali būti vokiškas, su vadas. O medžiagas dar labiau puošia didelis kalbos perteklius – nebūtina skleisti magiškos energijos.
Na, kaip tai, kad mes daug kalbame? Todi, be to, skaičiuojant obsyagi tel, galite įvertinti, kaip rozmirami tіlo galime augti be ypatingų magiškos energijos kiekių.
Bet koks gautos medžiagos perteklius yra kita mintis. Kur dings perteklinės kalbos? Obsipayutsya, būdamas ne zadіyanimi? Chi lazdelė ant abyak kūno?
Čia yra daugiau apie ką galvoti. Kai tik tau kildavo kokių nors minčių, aš iš pasitenkinimo jų išklausiau. Tuo tarpu pereikime prie obsyagiv tіl skaičiavimo, atimdami tokį būdą.
Čia galima pamatyti vipadkivio šprotą.

Vipadok 1.

Plotas, kaip mes apvyniosime, yra pati klasikinė kreivinė trapecija.

Akivaizdu, kad galime apvynioti tik ašį OH. Kaip galiu sugriauti dešineji trapecija horizontaliai, kad ji neapsunkintu viso OY, galima apvynioti aplink ir aplink ašį. Abiejų vipadkіv rašybos formulės yra šios:

Kadangi jau įvaldėte pagrindinius šios funkcijos magiškus triukus, manau, jums nebus svarbu, jei reikia, perkelti figūrą į koordinačių ašis, kad būtų patogu su ja dirbti.

Vipadok 2

Galite apvynioti ne tik klasikinę kreivinę trapeciją, bet ir tokios išvaizdos figūrą:

Vyniojant nusiimame savo žiedą. Ir perkėlę figūrą į teigiamą sritį, galime її apvynioti ir pasirinkti ašį OY. Tezh otrimaєmo kiltse chi nі. Padėkite viską taip, kad figūra būtų roztashovuvatym: jei peržengsite ribą tiksliai išilgai ašies OY, tada žiedas nebus matomas. Tokių įvyniojimų obsyagus galima išnarplioti naudojant tokį užkeikimą:

Vipadok 3.

Spėkime, turime nuostabias kreives, bet tokias, kad jos klausiamos ne mums įprastu, o parametriniu būdu. Tokios kreivės dažnai būna uždaros. Parametras t kaltas, kad pasikeitė taip, kad uždara figūra, aplenkiant її išilgai kreivių (tarpinė), nebėra blogis.

Tada, norint apskaičiuoti kūno tūrį, apvyniojimas turėtų būti atliekamas ant ašies OH arba OY, reikia mesti tokį burtą:

Qi formules galima pasukti neuždarų kreivių kryptimi: jei paklusnumo galai guli ant ašies OX ir ašies OY. Figūra atrodo uždaryta bet kokiu būdu: galai uždaro ašį.

Vipadok 4.

Kai kurios magiškos kreivės pateiktos poliarinėmis koordinatėmis (r=r(fi)). Tą pačią figūrą galite apvynioti aplink poliarinę ašį. Šia kryptimi Dekarto koordinačių sistema leidžiasi žemyn nuo poliarinės ir guli
x = r (fi) * cos (fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Taip pasiekiame parametrinę kreivės formą, kur parametras fi kaltas, kad pasikeitė taip, kad apeinant kreivę sritis tampa kairiarankė.
І koristuєmosya užkalbėjimo formulės z nagodi 3.

Tačiau vipadku polinėms koordinatėms є і turi savo užkeikimo formulę:

Akivaizdu, kad plokščias figūras galima apvynioti aplink kuo daugiau tiesių linijų, ne tik OX ir OY ašis, bet jei manipuliacijos jau sulankstytos, mus sups tie posūkiai, apie kuriuos buvo kalbama paskaitoje.

Ir dabar namų darbai. Konkrečių skaičių nepateikiu. Mes jau sukūrėme daugybę funkcijų, todėl noriu, kad jūs pats sukurtumėte taip, kad jums to prireiktų magiškoje praktikoje. Manau, kad paskaitoje užteks pavyzdžių visoms indikacijoms.

Jei sukūrėme giedojimo integralo geometrinį zm_st, sugalvojome formulę, kurios pagalba galite sužinoti kreivinės trapecijos plotą, apsuptą abscisių, tiesių linijų. x=a, x=b, taip pat nenutrūkstamą (nematomą teigiamą) funkciją y = f(x) . Kartais galite lengvai nustatyti funkciją, kuri supa figūrą, kuri atrodo kaip parametrinė. praleisti laiką funkcinis pasenimas per t parametrą. Šioje medžiagoje parodome, kaip galite sužinoti figūros plotą, nes jį supa parametriškai nurodyta kreivė.

Paaiškinus teoriją ir parodžius formules, išanalizuosime būdingus tokių straipsnių srities pavyzdžius.

Pagrindinė skaičiavimo formulė

Tarkime, kad turime kreivinę trapeciją, tarp kurios yra tiesės x = a , x = b , visi O x і kreivė x = φ (t) y = ψ (t) yra parametriškai duota, o funkcijos x = φ (t) i y = ψ (t) yra nenutrūkstamas intervale α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Paskyrimas 1

Norint apskaičiuoti tokių protų trapecijos plotą, reikia laimėti formulę S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t.

Sukūrėme plokščios kreivinės trapecijos formules S (G) = ∫ a b f (x) d x keitimo metodu x = φ (t) y = ψ (t) :

S(G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

2 susitikimas

Vrakhovuyuchi monotoniškas funkcijos pokytis x = φ (t) intervale β ; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Jei funkcija x = φ (t) neįtraukta į pagrindines elementarias, tuomet turime atspėti pagrindines tos kintančios funkcijos augimo intervale taisykles, kad galėtume nustatyti, ar ji augs, ar kris.

Kam visa esmė turi būti sutvarkyta, formulės zastosuvannya užduotis, kuri buvo iškelta.

užpakalis 1

Umov: rasti figūros plotą, kaip padaryti liniją, yra lygus formai x = 2 cos t y = 3 sin t .

Sprendimas

Mes galime parametriškai nustatyti liniją. Grafiškai її gali būti pavaizduotas žiūrint į elipsę su dviem raidėmis 2 ir 3. Div iliustracijai:

Pabandykime sužinoti figūros plotą 1 4, nes jis užima pirmąjį kvadrantą. Sritis yra intervale x ∈ a; b = 0; 2. Padauginkime reikšmę iš 4 ir žinosime visos figūros plotą.

Mūsų skaičiavimo viršijimo ašis:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ = 2 cos β 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Kai k, kuris lygus 0, atimame intervalą β; α = 0; π 2 . Funkcija x = φ (t) = 2 cos t naujoje monotoniškai mažės (ataskaita apie nuostabų straipsnį apie pagrindines elementarias funkcijas ir jų galią). Taip pat galite apskaičiuoti ploto apskaičiavimo formulę ir žinoti dainavimo integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - nuodėmė 2 π 2 2 - 0 - nuodėmė 2 0 2 \u003d 3 π 2

Taigi figūros plotas, kurį pateikia išorinė kreivė, yra lygus S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Siūlymas: S(G) = 6 π

Reikėtų paaiškinti, kad sprendžiant problemas buvo galima paimti ne daugiau kaip ketvirtadalį elipsės, o pusantro - viršutinę ir apatinę. Viena pusė bus padalinta į intervalą x ∈ a; b = -2; 2. Kieno vipadka mumyse dingo b:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Šia tvarka, kai k yra lygus 0, atimame β; α = 0; π. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t, iki kurios intervalas monotoniškai mažės.

Po to apskaičiuojame pusės elipsės plotą:

– ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t „dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 – cos (2 t) dt = = 3 t – sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Svarbu, kad galėtumėte paimti tik viršutinę ir apatinę dalis, bet negalite paimti dešinės.

Galima sulankstyti šios elipsės parametrinį išlygiavimą, kurio centras bus paskleistas ant koordinačių burbuliuko. Atrodo, kad x = a cos t y = b sin t. Tokiu būdu, kaip ir programoje, atimame belepsa S elips a \u003d πab ploto apskaičiavimo formulę.

Nustatykite statymą, tam tikro rūšiavimo centrą ant koordinačių burbuliuko, galite naudoti papildomą lygiavimą x = R · cos t y = R · sin t , kur t yra parametras, o R yra šio statymo spindulys. Kai tik pagreitiname elipsės ploto formulę, tada atimame formulę, kuriai galime apskaičiuoti kuoliuko plotą spinduliu R: S apvalus ir \ u003d πR 2.

Pažvelkime į dar vieną užduotį.

užpakalis 2

Umov: išsiaiškinkite, kodėl figūros plotas yra vertingesnis, nes jį supa parametriškai duota kreivė x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Sprendimas

Paaiškinkime, kad ši kreivė gali atrodyti kaip gerai išmintas astroidas. Įgarsinkite astroidą, kad išreikštumėte save lygia forma x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

Dabar kalbama apie tai, kaip sukelti tokią kreivę. Vikonaёmo pobudovu už okremi taškus. Plačiausias metodas, kurį galima naudoti atliekant didesnę užduotį. Daugiau sulankstomos atsargos norint atskleisti parametrinę funkciją, reikia atlikti diferencialinį skaičiavimą.

Turime x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Duotos funkcijos priskiriamos visoms faktinėms t reikšmėms. Dėl sin і cos aišku, kad smarvė є periodinė ir їх periodas tampa 2 pі. Apskaičiavus funkcijų reikšmes x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t, kai t = t 0 ∈ 0; 2 π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , penkiolika? 8, paimkite taškus x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)) .

Sukurkime krepšio verčių lentelę:

Po to svarbu, kad plokštumoje reikia taškų ir tada vienos linijos.

Dabar turime žinoti tų figūros dalių plotą, kuris yra pirmame koordinačių ketvirtyje. Jai x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Jei k lygus 0, tai turime intervalą β; α = 0; π 2 і funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t monotoniškai mažės naujoje. Dabar paimkime ploto formulę:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 10 π 2 sin 4 tdt – ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Mes turime Wiishli tiesiniai integralai, jei galite apskaičiuoti Niutono-Leibnizo formulės pagalba Pirmoji formulės eilutė gali būti žinoma, rekursinė formulė J n (x) \u003d - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , de J n (x) = ∫ sin nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 kaš t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 4 π td 6 3 π 16 = 15 π 96

Mes virahuvali ketvirtos figūros kvadratą. Tai brangu 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t \u003d 18 3 π 16 - 15 π 96 \u003d 9 π 16.

Jei padauginsime reikšmę iš 4, gausime visų skaičių plotą - 9 π 4.

Taigi mes patys galime pasakyti, kad astroidi plotas, pateiktas x = a cos 3 ty \u003d a sin 3 t, gali būti žinomas pagal formulę, apsuptą tiesės x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t atitinka formulę S = 3 πab 8 .

Tarsi prisimintumėte atleidimą tekste, būkite malonūs, pamatykite ir paspauskite Ctrl + Enter