Tarp mano paprastų funkcijų. Tarp

30.07.2020

Prie šio statuto jau seniai sklando meras „minusas nenuoseklumas“. Pažvelkime tarp daugianario, yakih. Šio metodo principai bus tokie patys kaip ir pirmosios pamokos dalies, su mažais niuansais.

Pažiūrėkime į 4 traškučius, kurių prireiks vyšniai praktines užduotis:

1) Apskaičiuojamas tarp

Ribos prasmė mažesnė už nuosėdą, dangaus skeveldros gali augti tvarkingiausiai. Yakscho kažkas be galo didelis vienam moduliui Matau JUODOS pakopos numerį, kartais - ketvirtoje ir "pliusas neatitikimai": . Pastovi ("du") teigiamas prie to:

2) Apskaičiuojamas tarp

Čia vėl vyresnysis žingsnis parna, Tomas: . Ale prieš rotashuvavsya "minusas" ( neigiamas konstanta -1), tada:

3) Apskaičiuojamas tarp

Tarpinio indėlio vertė yra mažesnė nei vіd. Kaip prisimeni šias mokyklas? be galo didelis vienam moduliui neigiamas skaičius nesuporuotu laipsniu i "atėmus nenuoseklumą", kartais: .
Pastovi ("keturi") teigiamas, reikšti:

4) Apskaičiuokite tarp

Pirmasis vaikinas šalyje vėl gegužės mėn nesuporuotasžingsnis, be to, į krūtinę neigiamas konstanta ir reikšmė: Šiame reitinge:
.

užpakalis 5

Žinokite tarp

Vykoristovuyuchi vykladenі daugiau taškų, mes ateiname į vysnovka, mokyklų mainai čia nereikšmingas. Chiselnik ir reklamjuostė tos pačios augimo eilės, taip pat tarp paskutinio numerio pabaigos. Mes žinome įrodymus, matę visus mailius:

Sprendimas yra trivialus:

užpakalis 6

Žinokite tarp

Tse užpakalis už nepriklausomas sprendimas. Išorinis sprendimas toks pamokos priminimas.

O dabar, galbūt, ploniausias iš vipadkivių:

užpakalis 7

Žinokite tarp

Žvelgiant į senesnius dodankus, prieiname prie visnovkos, kas čia per nekaltybė. Auga aukštesnio laipsnio skaitmuo, mažėja baneris, iš karto galima pasakyti, kad yra senų neatitikimų. Ale, koks nenuoseklumas, "pliusas" ar "minusas"? Gavę tą patį - ties skaitmeniu ir reklamjuosčiu, pažadinsime dribnitsa:

Mes matome:

Padalijome skaičių ir reklamjuostę

Analizuojama be galo mažas dodanki reklamjuostė:

Yakscho, tada dodanki s berniukaižingsniuoja iki neatleistinai mažas teigiami skaičiai (žymimi ), ir dodanki s nesuporuotasžingsniuoja iki neatleistinai mažas neigiami skaičiai (pažymėti pro).

Dabar padėkime maistą, pavyzdžiui, z tsikh chotiriokh dodankіv bus pragnet iki nulio (nesvarbu su jokiu ženklu) geriausias? Atspėkime pirmąjį triuką: „ix“ tvarka -10, tada -100, tada -1000 ir pan. Naypovіlnіshe iki nulio bus artėja prie dodanok. Vaizdžiai atrodo, tse „riebus“ nulis, savotiškas visų kitų nulių „išblukimas“. Z tsієї sukelia paskutiniame etape ir z'pasirodo rekordas.

Toliau nurodykite, kokie yra ženklai neįtikėtinai mažas nečiulbėk ant mūsų, ten buvo nupieštos šukės, geraširdė vienatvė. Todėl į skaičių knygelę dedu „tik nulius“. Prieš kalbą nulio ženklai neturi reikšmės visuose užpakaliuose, kur paskutinis skaičius išeina ties riba (priedas Nr. 5,6).

Be zrad, tada laimėk ir matematinė analizė, analizuoti =)

Vtim, apie be galo mažos funkcijos pіznіshe, kitaip kalnuose išspausite nedidelį kryžių dešine ranka \u003d)

užpakalis 8

Žinokite tarp

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys.

Galutinės ir nesuderinamumo tarp funkcijų paskyrimas dėl neatitikimo pagal Koši. Dvišalių ir vienpusių (piktų ir dešiniarankių) žymėjimas. Taikykite problemų, kurioms, vikoristovuyuchi, žymėjimas Kosh, sprendimą, reikia parodyti, kad nenuoseklumo riba yra arčiau nurodytos vertės, .

Zmist

Div. taip pat: Taško pakraštyje
Universalus interfunkcijų žymėjimas pagal Heiny ir Cauchy

Kіntseva tarp funkcijų dėl nenuoseklumo

Tarp nenuoseklumo funkcijų:
|f(x) – a|< ε при |x| >N

Paskirtis tarp Kosh
Skaičius a vadinamas funkcijos riba f (x) ties x, kuris yra nesuprantamas (),
1) іsnuє taka | >
2) bet kokiam, nors ir mažam, teigiamam skaičiui ε > 0 tai skaičius N ε > K, ką deponuoti vіd ε , ką į visus x, |x| > N ε, funkcijos reikšmė yra ε - aplink tašką a:
|f (x) – a |< ε .
Funkcijų, susijusių su nenuoseklumu, riba nurodoma taip:
.
Valtis .

Taip pat dažnai pergalinga, kad tokia reikšmė yra:
.

Užrašykime tikslą, vikoristovuyuuchi loginius to zagalnosti pagrindo simbolius:
.
Čia jis yra ant ribos, o tai svarbu gulėti priskirtos funkcijos srityje.

Vienpusės kraštinės

Linija tarp funkcijų, susijusių su nenuoseklumu:
|f(x) – a|< ε при x < -N

Dažnai būna svyravimų, jei funkcija priskirta tik dėl teigiamų priežasčių. neigiamos reikšmės keisti x (tiksliau, taško abo pakraštyje). Taip pat gali būti teigiamų ir neigiamų x verčių nenuoseklumo ribos skirtingos vertybės. Todі vikoristovuyut vienpusis interі.

Lіva riba neaiškiai nutolusiuose taškuose kitu atveju riba ties x yra pragne atėmus nenuoseklumą () apibrėžiama taip:
.
Ribinės teisės be galo nutolusiuose taškuose arba riba, esanti taške x, yra lygi iki + nenuoseklumo () :
.
Vienpusės nenuoseklumo ribos dažnai reiškia tai:
; .

Neskіchenna tarp funkcijų ant neskіchennosti

Neskіchenna tarp neskіchennosti funkcijų:
|f(x)| > M – |x| > N

Nenupjautos sienos per Kosh žymėjimas
Tarp funkcijų f (x) ties x, Kaip
1) іsnuіє taka okolitsya neskіchenno vіddalenoї taškas | > K , priskiriama de funkcija (čia K yra teigiamas skaičius);
2) kad ir koks didelis skaičius M > 0 , tai yra skaičius N M > K, depozitas vіd M , taigi visi x, |x| > N M , funkcijos reikšmė yra aplink kraštinės be galo tolimą tašką:
|f (x) | > M.
Neskіchennu mezhu ties x, scho pragne to neskіchennosti, reiškia taip:
.
Valtis .

Loginių simbolių pagalba, to zagalnost priežastis, neišsenkančios tarpfunkcijos žymėjimas gali būti parašytas taip:
.

Panašiai, nenuoseklių tarpusavyje dainuojančių ženklų, lygybės ir i, žymėjimas:
.
.

Vienpusių ribų nustatymas nenuoseklumui.
Gyvenk tarp.
.
.
.
Tiesiai tarp.
.
.
.

Tarpfunkcinių Gein paskyrimas

Skaičius a (pagaliau arba be galo toli) vadinamas funkcijos f riba (x) taške x 0 :
,
yakscho
1) yra tokia be galo nutolusio taško x kaimynystė 0 , kuriai funkcijai priskirta (čia abo );
2) dėl nuoseklumo (x n), ką eiti į x 0 : ,
elementai, esantys aplink pakraštį, seka (f(xn)) susilieti su:
.

Kaip ir kaimynystėje, paimkite be galo tolimų taškų apylinkes be ženklo: Kaip neribotą laiką paimti kairę arba dešinę sienos pusę taško x atstumu 0 : kitu atveju atimame x ribos žymėjimą, kuris yra pragne atėmus nenuoseklumą ir plius nenuoseklumą, aišku.

Sienos žymėjimas pagal Heine ir Kosh yra lygiavertis.

Taikyti

užpakalis 1

Vikoristovuyuchi vyznachennya Koshі parodyti ką
.

Supažindinkime su užrašu:
.
Mes žinome priskirtos funkcijos apimtį. Oskilki skaitmuo ir znamennik trupmena є polinomai, tada funkcija priskiriama visiems x krіm taškams, kuriems znamennik paverčiamas nuliu. Mes žinome qi taškus. Virishuemo aikštė lygi. ;
.
Šaknies linija:
; .
Oskіlki, tada th.
Todėl funkcija priskirta. Tse mes pergalę nadali.

Užrašykime galutinės tarpinės funkcijos pavadinimą dėl nenuoseklumo pagal Koši:
.
Pakeičiame skirtumą:
.
Padalinkite skaičių ir reklamjuostę iš padauginto iš -1 :
.

Nagi.
Todi
;
;
;
.

Otzhe, mes žinojome, ką daryti su
.
.
Žiūrėkite, kas toliau
už , aš.

Žinoma, šukių visada galima padidinti. Todi būti kam,
adresu .
Tse reiškia ką.

užpakalis 2

Nagi.
Vikoristovuyuchi vyznachennya mezhі pagal Koshі rodo, kad:
1) ;
2) .

1) Sprendimas x

Oskіlki, tada funkcija priskiriama visiems x .
Užrašome tarpfunkcinių funkcijų žymėjimą, kuris yra brangesnis, atėmus nenuoseklumą:
.

Nagi. Todi
;
.

Otzhe, mes žinojome, ką daryti su
.
Įveskite teigiamus skaičius ta:
.
Matome, kad bet koks teigiamas skaičius M є skaičius , taigi, kai ,
.

Tse reiškia ką.

2) x pragne to plius nenuoseklumo sprendimas

Perkurkime išėjimo funkciją. Padauginkime trupmenos skaičių ir reklamjuostę ir raskime kvadratų skirtumo formulę:
.
Maemo:

.
Užrašome tinkamos tarpfunkcijos priskyrimą, kai:
.

Įveskime žymėjimą: .
Pakeičiame skirtumą:
.
Padauginkite skaičių ir reklamjuostę iš:
.

Nagi
.
Todi
;
.

Otzhe, mes žinojome, ką daryti su
.
Įveskite teigiamus skaičius ta:
.
Žiūrėkite, kas toliau
ties i.

Tada skeveldros skaičiuojamos prie bet kurio teigiamo skaičiaus
.

Vikoristano literatūra:
CM. Mikilskis. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 1983 m.

Div. taip pat:

Pirmoji stebuklinga riba vadinama tokiu lygiavertiškumu:

\begin(lygtis)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(lygtis)

Taigi, jei $ \ alfa \ iki (0) $ gali būti $ \ sin \ alfa \ iki (0) $, tada atrodo, kad pirmasis ribos tarp kreivių stebuklas yra neaiškus $ \ frac (0) pavidalu. (0) $. Panašu, kad formulėje (1) kintančio $ \ alfa $ pakeitimas po sinuso і ženklu reklamjuostėje gali būti sugadintas, ar tai būtų posakis, - du protai buvo užklupti:

Vyslovlyuvannya po sinuso ženklu ir ties standarto ženklu viena valanda peršokti į nulį, tobto. є formos $\frac(0)(0)$ nereikšmingumas.
Virazi po sinuso ženklu ir standartiniu ženklu bėga.

Dažnai taip pat yra pėdsakų nuo pirmosios stebuklingos ribos:

\begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(lygtis) \begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \baiga(lygtis) \begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \pabaiga (lygtis)

Trečioje pusėje parašyta vienuolika užpakalių. Užpakalio Nr. 1 priskyrimai formulių (2) - (4) įrodymui. Taikyti Nr.2, Nr.3, Nr.4 ir Nr.5 atsakyti į sprendimą su ataskaitos komentarais. 6-10 sprendimą taikyti praktiškai be komentarų, tačiau priekinių užpakalių buvo pateiktas pasiaiškinimo protokolas. Kai laimi, yra keletas trigonometrinių formulių, kurias galite žinoti.

Aš gerbiu tą buvimą trigonometrinės funkcijos tuo pačiu metu iš nereikšmingumo $\frac (0) (0)$ taip pat reiškia apie ob'yazkovy zastosuvannya pirmąją stebuklingą ribą. Kartais galite atlikti paprastas trigonometrines transformacijas, pavyzdžiui, dvi.

Užpakalis #1

Pateikite ką $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Kadangi $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skіlki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , tada:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Aš pakeisiu $ \ alfa = \ sin (y) $. Jei $\sin(0)=0$, tada pagalvokite, kad $\alpha\to(0)$ galbūt $y\to(0)$. Be to, іsnuє yra maždaug nulis, tame pačiame $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, kad:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ baigtas.

c) Leiskite pakeisti $ alfa = tg (y) $. Jei $\tg(0)=0$, tada manykite, kad $\alpha\to(0)$ ir $y\to(0)$ yra lygiaverčiai. Be to, jei bazuojate apie nulį, tokiu būdu $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, tada, remdamiesi punkto a) rezultatais, galime:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ atlikta.

Rivnosti a), b), c) dažnai laimi nuo pirmosios stebuklingos ribos.

Užpakalis #2

Apskaičiuokite tarp $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Masteliai $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, taigi. Jei trupmenos skaitiklis ir reklamjuostė iš karto pereina į nulį, tai gali būti teisinga, jei forma $\frac(0)(0)$ yra nereikšminga, tada. viconano. Be to, aišku, kad virazi po sinuso i ženklu reklamjuostėje veikia (tobto vikonana i):

Otzhe, įžeistas protas, perkeltas į šono burbuolę, vikonan. Ant tsimu vyplivaє, scho zastosovna formulė, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 USD.

Vidpovidas: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 USD.

Užpakalis #3

Žinokite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Masteliai $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, bet galime naudoti $\frac(0) (0) $, tada. viconano. Prote virazi po sinuso ir standarto ženklu nepabėga. Čia reikia duoti virazą banermanui reikiama forma. Mums tai būtina, jei vėliavininkas turi roztashuvavsya $9x$ - tada jūs tapsite tikru. Tiesą sakant, mes negauname 9$ daugiklio iš reklamjuostės, o tai nėra taip paprasta įvesti – tiesiog padauginkite viraz iš bannerman iš 9$. Natūralu, kad norint kompensuoti 9$ dauginimą, reikia padauginti iš 9$ ir padalyti:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x) $$

Dabar prie vėliavos, kad po sinuso ženklu jie svirduliavo. Nuplaukite mintis tarp $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonanі. Taip pat $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. O tse reiškia:

9 USD\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Užpakalis #4

Žinokite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tada teisingai matome, kad $ \frac( 0)(0)$. Tačiau pirmosios stebuklingos ribos forma sulaužyta. Chiselnik, kuris atkeršija $\sin(5x)$, reiškia reklamjuostės $5x$ buvimą. Esant tokiai situacijai, lengviausia skaičių padalyti iš $5x$, - ir padauginti iš $5x$. Be to, tikėtina, kad operacija yra panaši į standartinę, padauginus ją ir padalijus $\tg(8x)$ iš $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Jei konstanta $\frac(5)(8)$ yra greita $x$ i, tada imsime:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Pagarba, kad $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ džiaugiasi pirmąja stebuklų šalimi. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ pastovi formulė yra tokia:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Užpakalis #5

Žinokite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Skіlki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (spėk, kad $\cos(0)=1$) ir $ \ lim_(x\to(0))x^2=0$; Tačiau, norėdami zastosuvat pirmąją stebuklingą ribą, įstumkite kosinusą į skaičių knygą, perkelkite į sinusus (kad mes zastosuvat formulę) arba liestinės (taigi mes zastosuvat formulę). Zrobiti tse gali būti tokios transformacijos:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Pereikime prie ribos:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Trupmena $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ jau artima tai formai, kuri būtina pirmajai stebuklingai ribai. Trochai koreguojami trupmena $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pіdganyayuchi її pіd pershu stebuklinga riba (šūdas, scho vrazi skaičių knygoje ir pіd sine dėl zbіgtisya):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Pereikime prie ribos:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25.$$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Užpakalis #6

Raskite tarp $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Svarstyklės $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi gal tiesiai iš $\frac(0)(0)$ nereikšmingumo. Rozkriёmo її už pirmosios stebuklingos ribos pagalbą. Dėl kurių mes pereiname nuo kosinusų prie sinusų. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Perduodant užduotį tarp sinusų, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) ) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x) ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_( x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Užpakalis #7

Apskaičiuokite tarp $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ $\alpha\neq\ beta $.

Detalūs paaiškinimai buvo pateikti anksčiau, čia tiesiog reikšminga, kad $\frac(0)(0)$ vėlgi yra nereikšmingas. Pereikime nuo kosinusų prie sinusų, pergalės formulės

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Parodyta vikoristo formulė, būtina:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) ) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) ) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left() x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alfa- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0) )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2) (2) $.

Užpakalis #8

Raskite tarp $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (atspėk $\sin(0)=\tg(0)=0$) ir $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, tada galime dešine ranka su formos $\frac(0)(0)$ nereikšmingumu. Rozkriemo її taip:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) = frac(1)(2). $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Užpakalis #9

Raskite tarp $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Masteliai $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, tada $ \ frac (0) (0) $ neegzistuoja. Prieš tai, eidami į її angą, rankiniu būdu pakeiskite tokio rango pakeitimą, kad naujas pakeitimas būtų ištiesintas iki nulio (atskleisite, kad formulės keičia $\alpha\į 0$). Lengviau įvesti pakeitimą $t=x-3$. Tačiau tolimų transformacijų patogumui (apačioje visada galite atsiminti sprendimo priėmimo valandą) galite pakeisti šį pakeitimą: $t=\frac(x-3)(2)$. Pripažinsiu, kad įžeidžiau jus, pakeitęs zastosovną šioje konkrečioje situacijoje, kad draugas jį mažiau pakeistų trupmenomis. $x\to(3)$, tada $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dešinė| =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(lygiuotas)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Užpakalis #10

Raskite tarp $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Galbūt aš galiu atnaujinti iš dešinės $\frac(0)(0)$. Prieš tai, eidami į її angą, rankiniu būdu pakeiskite tokio rango pakeitimą, kad naujasis pakeitimas būtų ištiesintas iki nulio (atsižvelgiama į tai, kad formulės keičiasi $\alpha\į(0)$). Lengviausias būdas yra įvesti pakeitimą $t=\frac(\pi)(2)-x$. $x\to\frac(\pi)(2)$, tada $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(lygiuotas)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) ( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to ( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac(1)(2)$.

Stock #11

Raskite tarp $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Mes negalėsime peržengti pirmosios stebuklingos ribos šioje vipadkėje. Suteikti pagarbą: kaip ir pirmoje, taip ir kitoje riboje yra tik to skaičiaus trigonometrinės funkcijos. Dažniausiai tokiuose užpakaliukuose galima sakyti, kad prostitas viraz, roztashovane po ribos ženklu. Su spėlioto atleidimo pagalba tas deaky spіvmulnіnіnіnіnіnіnіnіnіє znikає greitumas. Šią užpakalį apibrėžiau tik vienu metodu: parodykite, kad trigonometrinių funkcijų buvimas po ribos ženklu nebūtinai reiškia, kad pirmoji stebuklinga riba užstrigo.

Skіlki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (atspėk $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (atspėk, kad $\cos\frac(\pi)(2)=0$), tada galime iš nereikšmingumo $ Frac (0) (0) $. Tačiau tse zovsіm nereiškia, kad mums būtina įveikti pirmąją stebuklingą ribą. Norėdami atskleisti nereikšmingumą, pasakykite tiesą apie $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Panašus sprendimo būdas yra ir Grati Demidovich (Nr. 475). Iki kitos ribos, tų, kurios yra priekiniuose užpakaliuose, kurias padalinau, galime nematyti $\frac(0)(0)$. Kodėl ji kaltina? Taip yra todėl, kad $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Vikoristovuєmo tsі reikšmė su virazіv transformacijos metodu ties skaitmeniu ir prie reklamjuostės. Mūsų veiksmų meta: surašykite sumą į skaičių knygelę ir banerį prieš kūrinį. Prieš kalbą, dažnai panašaus pobūdžio ribose, pakeitimo pakeitimas buvo sukikenamas, tokia rože, kad naujasis pokytis buvo ištiesintas iki nulio (div., pvz., užpakalis Nr. 9 arba Nr. 10 kitoje pusėje). Tačiau šis užpakalis neturi prasmės keisti jutiklio, norėti pakeisti bazhanijos $t=x-\frac(2\pi)(3)$ yra gremėzdiška.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ į\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\) sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+) \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi) )(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)( 3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac) (2) \pi) (3)) (2)) (-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot \left(- \frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Jakų bachite, mes neturėjome galimybės zastosovuvat Persh stebuklingos ribos. Zvichayno, už bazhannya tse galite apiplėšti (pad. pastaba žemiau), bet negalite jo vartoti.

Koks bus pirmojo stebuklingos ribos stebuklo sprendimas? Rodyti Slėpti

Laimėjus pirmąją stebuklingą ribą, būtina:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi ) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) dešinė ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Vidpovidas: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Pamoka ir pristatymas tema: „Tarp funkcijų apie nenuoseklumą“

Priedo medžiagos
Shanovnі koristuvachі, nepamirškite palikti savo komentarų, komentarų, paslaugų! Visa medžiaga buvo perskaityta antivirusine programa.

Pagalbininkai ir simuliatoriai internetinėje parduotuvėje „Integral“ 10 klasės 1C tipui
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys viešnagei 7-10 klasėms
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys viešnagei atviroje erdvėje 10 ir 11 klasėms

Kas svarbu:

1. Kas yra nenuoseklumas?

5. Galia. 6. Taikyti.

Vaikai, pasidomėkime, kokia yra nenuoseklumo funkcijų riba?
O kas yra nenuoseklumas?
Nenuoseklumas- vykoristovuetsya apibūdinti neribinius, neribinius, neribojančius objektus ir reiškinius, tuo pačiu ir skaičių charakteristikas.

Nenuoseklumas- skіlki zavgodno didelis (mažas), beribis skaičius.
Jei pažvelgsite į koordinačių plokštumą, visa abscisė (ordinatė) pereina į nenuoseklumą, todėl galite be apribojimų tęsti į kairę arba į dešinę (žemyn arba įkalnėn).

Dabar pereikime prie nenuoseklumo funkcijų:
Turėkime funkciją y=f(x), mūsų funkcijos sritis yra nušluoti, o tiesė y=b yra funkcijos y=f(x) grafiko horizontalioji asimptote, parašykime ją matematine prasme:

Taip pat mūsų spіvvidnoshennia galima pasiekti tuo pačiu metu:

Priimama užrašyti taip:

Tarp funkcijų y=f(x) ties x pragne iki begalybės brangesnis b

Taikyti

Sukelkite funkcijos y=f(x) grafiką, pavyzdžiui:
1) Paskirties sritis – beasmenis faktiniai skaičiai.
2) f(x) – nuolatinė funkcija
3)

Sprendimas: Turime sukelti nepertraukiamą funkciją (-∞; +∞). Parodykime keletą mūsų funkcijų pavyzdžių.

Pagrindinės galios

Apskaičiuojant nenuoseklumo ribas, kilkoms yra gofruotas

1) Bet kuriam natūraliajam skaičiui m yra teisinga:

2) Kas tai yra:
a) tarp sumų brangesnės sumos tarp:

B) tarp kūrimo ir kūrimo tarp:

c) tarp privačių ir privačių sienų:

d) Dėl ribos ženklo galima kaltinti pastovų daugiklį:

1 pavyzdys.

Žinoti: Sprendimas: Padalinkite trupmenos skaičių ir reklamjuostę iš x. Galios tarp privačios ir privačios sienos paspartinimas:

Vaikai, atspėkite tarp skaičių sekos.

Mes imame:

užpakalis 2.

Raskite tarp funkcijų y=f(x), kuri su x yra teisinga iki begalybės.

Sprendimas.

INTER, -a, m.

1. Kraštas, kіntseva chastina chogos l. Čia yra kraštutinė Permės provincijos riba. Mamin-Sibiryakas, Družkai. Atrodė, kad tarp jų nieko nebuvo ir nebus. Belovas, Kanuni. || jungiklis Kіnets, zakіnchennya, baigtas chogos l. [Ill] negalvodamas apie savo artimą galą, - apie tą ribą, prie kurios vynų jis puolė su painia swidkistyu. Gladkovas, Energija. Vaughn jiems buvo senas žmogus, kuris liko už likusių moters būstų – jos mamos otų. Lavrenovas, Stara. Tik katastrofa galėjo padėti Mikitą tarp savęs ir jo paties. Fedinai, broliai.

2. pl. metų. (tarp, -iv). Natūralūs chi umovna ryžiai, є tam tikra riba. teritorijos; rubіzh. Vynų nusileidime [Svjatoslavas], perėjęs Rusijos krašto sienas į ramius kordonus, kaip penkis šimtus metų turėjo galimybę perkrikštyti Ivaną Rūsčiąjį. A. N. Tolstojus, „Atėjo Rusijos žemės žvaigždės“. Atsirėmęs į tėvynės sienų pozą, Šaliapinas mirė apimtas nostalgijos - griežtai tėvynei. Gribachovas, Berizka ir vandenynas. || kodėl arba yaki. Mіstsevіst, prostіr, sukrautas jakіs l. Mezhі. Ashagino lapės myslivtsiv laikėsi savo įsakymų. Tichonovas, Podviyna Veselka. Tsієї pavasario naktys – tai baltos lakštingalos, šlovinančios ošiančius miško ribos balsus. Pasternakas buvo niekas. Žingsnis po žingsnio kamerinė muzika perėjo už turtingų ir kilmingų žmonių dvarų ir pradėjo virpėti koncertų salėse, kurios skamba mūsų dienomis. Kabalevskis, Apie tris banginius ir daug kitų. || Trad.-dainuoja. Kraštas, šalis. Ir princas nasitiv nasitiv Jo klausos ausys, o kartu su jomis rozіslavo mirtis To sudіdіv prie svetimos sienos. Puškinas, Ančaras. Prisimenu, kaip degino saulė, aš buvau iki dangaus žiemos ziyshov, jei skrydis skristų iš tolimų vietų į Maskvą. Smilakivas, Dimitrovo atminimui. || Prom_zhok valanda, obmezheniya yakimi l. terminai tarp). Atrodo, kad galiu nuvažiuoti į Orenburgą su čavunka, o gal ir nuvažiuosiu, bet viskas per 14 dienų. L. Tolstojus, Lisztas Z. A. Tolstojus, rugsėjo 4 d. 1876 m.

3. skambinti pl. metų. (tarp, -iv) jungiklis ramybė, tarp kažko; sistema. Prie padorumo ribos. □ Nareshti, kiekvienai kantrybei 365 є tarp. Pisarevas, Pomirtinis Virsh Heine. – Kol neatsisakysiu kol kas įstatymo man suteiktų laivyno vadovavimo teisių. Stepanovas, Port Artūras. Fiodoro Andriyovičiaus žinios apie savo tėvynės praeitį buvo dar kuklesnės, dar svarbiau, ties „trumpojo kurso“ ribomis.Є. Nosovas, ne gegužės dešimt rublių. || Višča kažko žingsniai. Tarp pasaulio. □ Žmonių jėgos, fizinės ir moralinės, buvo atvestos prie stuporo slenksčio. V. Koževnikovas, parašiutininkas. Mano šalis, tavo gražus smūgis Likusios ribos pasiekiamos! Vinokurovas, tarptautinis.

4. Mat. Pastovi reikšmė, prie kurios artėja kintamoji vertė, tarsi deponuojama į didesnę kintamą reikšmę, paskutiniam likusios pokyčiui. Tarp skaitinės sekos.

Ant sienos- 1) esant dideliam įtempimo laipsniui. Nervai ant sienos; 2) vkray razdratuvannya. [Galya:] Aš pats šiandien bijau jogos. Vynas pasienyje. Pogodinas, Kviti gyvai.

„Dzherelo“ (rankų darbo versija): Rusų kalbos žodynas: 4 tomai / RAS, Kalbotyros institutas. terminas; Dėl raudonos. A. P. Jevgenevojus. - 4-oji rūšis., St. - M: Rus. lang.; Poligrafiniai ištekliai, 1999; (elektroninė versija):