Patikrinkite, ar tai yra naujo diferencialo funkcija. Kitų skirtumų diferencialinis išlyginimas

30.07.2020

Kaip standartiškai atrodo $P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy = 0 $, tokiu atveju kairioji dalis yra paskutinis skirtumas faktinė funkcija $ F \ left ( x,y\right)$, vadinama lygiavertė kitiems diferencialams.

Naujausių diferencialų lygtis gali būti perrašyta kaip $dF \ left (x, y \ right) = 0 $, de $ F \ left (x, y \ right) $ - tokia funkcija, kad $ dF \ left (x, y) \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

$dF\left(x, y\right) = 0$: $\int dF\left(x, y\right) = F\left(x, y\right)$; brangesnio gana pastovaus $C$ integralas nulinėje dešinėje dalyje. Taigi galutinis šios lygties sprendimas numanoma forma gali atrodyti taip: $ F \ left (x, y \ right) = C $.

Kad ši diferencialinė lygybė būtų lygi kituose diferencialuose, būtina ir pakanka, kad Umov $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. Jei priskirtas išmanusis vikonanas, tai yra tokia funkcija $F\left(x,y\right)$, kuriai galite parašyti: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+ \frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ partial F)(\partial x) = P\left(x,y\right)$ i $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x,y\right)$.

Integruojama prieš $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ virš $x$ ir $F\left(x,y\right)=\int P\ left( x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kur $U\left(y\right)$ yra pakankama $y$ funkcija.

Paimkime taip, kad kitas sukimas $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$ būtų patenkintas. Dėl kurio galime atskirti $F\left(x,y\right)$ $y$ atžvilgiu ir rezultatą prilyginti $Q\left(x,y\right)$. Pasirenkama: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left( x,y\dešinė)$.

Kitas sprendimas yra:

likusiai lygybei žinome $U"\left(y\right)$;
integruojamas $U"\left(y\right)$ ir žinomas $U\left(y\right)$;
pakeičiant $U\left(y\right)$ lygus $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ ir funkcija $F\left(x,y\right)$ paimama liekana.

Mes žinome skirtumą:

$U"\left(y\right)$ yra integruojamas $y$ ir $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ atžvilgiu yra žinomas.

Žinomas rezultatas: $F\left(x,y\right) = V\left(x,y\right) + U\left(y\right) = 5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Sprendimą galime užrašyti taip: $F \ left (x, y \ right) = C $, o pats:

Žinomas privatus sprendimas $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kur $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

Privatus sprendimas gali atrodyti taip: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 USD.

Problemos pareiškimas dviejų pasaulių požiūris

Pakeitimų skaičiaus, esančio už її naujo diferencialo, funkcijų išradimas

9.1. Problemos pareiškimas dviejų pasaulių požiūriu. 72

9.2. Sprendimo aprašymas. 72

Tai vienas iš antrojo tipo kreivinio integralo priedų.

Atsižvelgiant į visišką dviejų pakeitimų funkcijų skirtumą:

Žinokite funkciją.

1. Taigi, kadangi ne kiekvienas protas gali būti vertinamas kaip naujas dainavimo funkcijos skirtumas U(x,y), tada reikia pakeisti užduoties nustatymo teisingumą, norint jį pakeisti, reikia persvarstyti, ar reikia pakankamai proto naujo diferencialo, nes 2-x keitimo funkcijai gali atrodyti . Tsya umova vyplivaet z lygiavertiškumo teiginius (2) ir (3) ankstesnės pastraipos teoremoje. Kai tik buvo paskirtas umova vikonanas, tada buvo užduotis priimti sprendimą, kad funkcija U(x,y) gali būti pratęstas; jei protas neužmuštas, tai sprendimo nėra, todėl funkcijos atkurti nepavyks.

2. Galima sužinoti funkciją už її viršutinio diferencialo, pavyzdžiui, papildomam kreiviniam II tipo integralui, apskaičiavus jogą tiesėje, kuri yra fiksuotasis taškas ( x 0 ,y 0) tas keitimo taškas ( x;y) (Mal. aštuoniolika):

Šiame range buvo atimta, kad 2-osios rūšies kreivinis integralas yra tarsi visiškas diferencialas dU(x,y) gera funkcijos vertė U(x,y) integravimo linijos gale ir kukurūzų taškuose.

Žinant dabar rezultatą, būtina pateikti pakaitalą dUį kreivinio integralo virazę ir apskaičiuokite integralą už lamano ( ACB), vrakhovuyuchi jogo nepriklausomybė integracijos linijų forma:

ant ( AC): ant ( SW) :

(1)

Šiame reitinge buvo pašalinta formulė, kurios pagalba naudojama її viršutinio diferencialo 2-ojo pakeitimo funkcija.

3. Galima pagerinti її viršutinio diferencialo funkciją d(U+ const) = dU. Todėl, vykdant užduotį, atsižvelgiama į beasmenes funkcijas, kad nuolatiniam priedui išdirbama viena rūšis.

Taikyti (dviejų trečiojo diferencialo pakeitimų funkcijos naujovė)

1. Žinokite U(x,y), kaip dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Mes iš naujo patikriname bendrą proto skirtumą tarp dviejų pokyčių:

Naujojo diferencialo protu, vikonano, taip pat funkcija U(x,y) gali būti atnaujintas.

Perevіrka: - Teisingai.

Pasiūlymas: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Žinokite tokią funkciją kaip

Apžvelgiame būtinas ir pakankamas žinias apie bendrą trijų pokyčių funkcijų skirtumą: , , kaip nurodyta viraz.

Tuo rozvyazuvanіy užduotis

visi mintys apie naują Viconan diferencialą, todėl funkcija gali būti atkurta (užduotis nustatyta teisingai).

Pridedame funkciją, skirtą antrojo tipo kreivinio integralo pagalbai, apskaičiavę ją išilgai mažos linijos, kuri yra fiksuotasis taškas ir keitimo taškas

(Tsya rivnіst vyvoditsya taip pati, kaip dviejų pasaulių nuotaika).

Iš kitos pusės kreivinis antrojo tipo integralas, esant totaliniam diferencialui, negali būti integracijos linijos pavidalu, jį lengviau įdėti už lamano, kuris susidaro iš vėjų, lygiagrečiai koordinačių ašys. Kai taškas yra fiksuotas, kad būtų paprasčiau, paimkite tašką su konkrečiomis skaitinėmis koordinatėmis, kad taškai ir visa integravimo linija turėtų kreivinio integralo mentalinį pagrindą (kad funkcijos, i, būtų pertraukos -Laisvas). Norėdami pagerinti šią užduotį, galite paimti fiksuotą tašką, pavyzdžiui, tašką M 0. Todi ant odos nuo lamanoi matimemo kojų

10.2. Pirmosios rūšies paviršinio integralo apskaičiavimas. 79

10.3. Pirmojo tipo paviršinio integralo Deyaki programos. 81

Gali būti, kad paskutinė diferencialinio išlyginimo dalis

є skirtingos veikimo funkcijos:

o vėliau lygus (7) atrodo kaip .

Jei funkcija lygi sprendiniams (7), tai , i, taip pat,

de - postina ir navpaki, tarsi deak funkcija verčiama į galutinės lygybės (8) vienodumą, tada, atskiriant nuo vienodumo, ji atimama, tada de - pakankamai tapo, є zagalnym integrandu išorinė lygybė.

Jei pateikiama pradinė vertė, ji visam laikui nustatoma iš (8) ir

є privatus integralas. Kaip taškas, tada išlyginimas (9) reiškia numanomą funkciją vіd .

Kad kairioji lygties (7) dalis būtų didžiausias srovės funkcijos skirtumas, būtina ir pakanka, kad

Tarsi protas, kaip nurodė Euleris, yra vikonanas, tada lygų (7) lengva integruoti. Teisingai,. Iš kitos pusės,. Otzhe,

Skaičiuojant integralą, reikšmė priimama tokia, kokia ji tapo, tam pakanka formos funkcijos. Funkcijos tikslais diferencinė funkcija yra žinoma

Kuo remiantis nustatoma lygybė, ji integruojama, žinoma.

Matematinės analizės metu lengviau priskirti funkciją už її viršutinio diferencialo, imant kreivinį integralą tarp fiksuoto taško ir taško su besikeičiančiomis koordinatėmis kelyje:

Dažniausias integravimo būdas yra rankiniu būdu paimti lamaną, sulankstytą iš dviejų kojų lygiagrečiai koordinačių ašims; kuria kryptimi

užpakalis. .

Kairioji dalis yra lygi viršutiniam dabartinės funkcijos skirtumui, skeveldams

Otzhe, gilusis integralas gali atrodyti

Galite pridėti kitą funkcijos priskyrimo būdą:

Burbuolės taškui pasirenkame, pavyzdžiui, koordinačių burbulą, kaip integravimo būdą – lamaną. Todi

kad gali atrodyti gilus integralas

Kas zbіgaєtsya su ankstesniu rezultatu, mokyklų mainai atsinešti į miegantį reklaminį skydelį.

Kai kuriais atvejais, jei kairioji lygybės (7) dalis nėra tas pats diferencialas, funkciją nesunku pakeisti padauginus iš kairiosios lygybės (7) dalis konvertuojama į naują diferencialą. Tokia funkcija vadinama integruojantis daugiklis. Pagarbiai, koks dauginimas iš integruojamojo daugiklio gali būti atliktas prieš atsirandant keletui kitų sprendimų, kurie šį daugiklį paverčia nuliu.

užpakalis. .

Akivaizdu, kad padauginus iš daugiklio kairioji dalis paverčiama nauju diferencialu. Tiesa, padauginus iš otrimaemo

kitu atveju, integruojant, . Padauginus iš 2 ir stiprinant, matimemo.

Akivaizdu, kad integruojantis veiksnys toli gražu nėra toks lengvas. Norint rasti integruojančio daugiklio vertę, laukinis turi pasirinkti ne tą patį nulį, privatų lygybės sprendimą privačiuose panašiuose, bet riaumojančiu žvilgsniu.

lyg po to nuėjau į tą kažkokių dodankių perkėlimą į kitą pusiausvyros dalį nukreipti pažiūrėti

Laukiniu būdu integruojant tsgogo rivnyanya tarp privačių giminaičių, mes negalime atleisti dar labiau, žemesnė vyhіdny rivnyannya integracija, tačiau kai kuriais atvejais privataus skirtumo (11) integravimas nėra sudėtingas.

Be to, svarbu, kad integruojantis daugiklis būtų tik vieno argumento funkcija (pavyzdžiui, funkcija tik arba tik, arba funkcija tik, arba tik ir pan.), taip pat galite lengvai integruoti lygų (11) naudojamas šio tipo daugiklis. Pats Timas mato lygiųjų klasę, kuri yra integruojantis daugiklis, kurį galima lengvai žinoti.

Pavyzdžiui, žinote, atminkite, kad kai kurie lygūs gali turėti integruojantį daugiklį, kad būtų nustatyta tik keletas, tobto. . Tuo pačiu metu (11) paklauskite ir pažiūrėkite į vaizdą, žvaigždes, nepertraukiamą vaizdo funkciją, paimkite

Nors jis veikia tik kaip vidinis, tada integruojantis daugiklis, kuris mažiau tikėtina, kad bus deponuotas vіd, іsnuє i dorivnyuє (12), kitaip nėra integruojančio daugiklio.

Umov іsnuvannya іntegryuchy daugiklis, scho indėlių tik vіd, vykonano, pavyzdžiui, linijiniam іvnyannya abo. Teisingai, otzhe. Visiškai panašiai galima rasti priežastį, kodėl faktoriai integruojami formoje ir pan.

užpakalis. Chi gali būti lygus integruojantis daugiklio protas?

Gerokai. Rivnyannya (11), kai žiūri į akis, žvaigždės yra arba

Tam tikro tipo integruojamojo daugiklio pagrindui būtina ir pakanka tęstinumo, kad tik veiktų. Tuo pačiu metu integruojantis veiksnys yra є th dorіvnyuє (13). Kai paimtas. Padauginus vihіdne lygus

Integruojantis, mažinantis, o paskui sustiprinantis matimemo, arba poliarinėse koordinatėse – logaritminių spiralių šeima.

užpakalis. Žinokite veidrodžio formą, kuri lygiagrečiai su šia tiese atspindi visus pokyčius, atsirandančius iš nurodyto taško.

Sudėkime koordinačių burbulą tam tikrame taške ir visas abscises nukreipkime lygiagrečiai užduotyje nurodytai. Nedvejodami užkrikite ant veidrodžio taške. Į veidrodį galime žiūrėti plokščiu paviršiumi, kuris gali praeiti per visą abscisę ir dėmę. Darykime tai iki veidrodžio paviršiaus rezekcijos taškais. Taigi, kaip kutas yra kritimas, aš keičiu dorіvnyuє kutu iš vidbittijos, tada trikotažas yra rіvnobradrenny. Otzhe,

Otrimane lygiai taip pat galima lengvai integruoti pakeičiant pakeitimus, o dar paprasčiau, pasikeitus banermano neracionalumui, perrašyti jogos jaką. Yra akivaizdus integruojantis daugiklis , , , (parabolių gimtinė).

Lengviau judėti koordinatėmis i, de, su kuriomis lygu nupjauti triukšmą paviršiuje, žiūrint į jį.

Aktyvioje zonoje galima įnešti integruojančio daugiklio pagrindą, priešingu atveju lygiai taip pat nulinio lygybės privataus sprendimo (11) pagrindą, nes funkcijos gali būti nepertraukiamai prarastos ir priimant vieną iš šių funkcijų. nevirsta į nulį. Taip pat integruojantis daugiklio metodas gali būti laikomas giliu integravimo metodu, lygiaverčiu protui, tačiau dėl sudėtingo integravimo daugiklio pažinimo šis metodas greičiausiai įstringa tyliose situacijose, jei integruojantis daugiklis yra akivaizdus. .

Parodyta, kaip atpažinti diferencialinę lygybę naujausiuose diferencialuose. Sukeltas virishennya jogos metodas. Rozv'yazuvannya užpakalis yra nukreiptas į išorinius diferencialus dviem būdais.

Zmist

Įėjimas

Pirmosios eilės diferencialinis derinimas naujausiuose diferencialuose – proto derinimas:
(1) ,
de kairioji lygties dalis su veikiančios funkcijos U viršutiniu diferencialu (x, y) norint pakeisti x, y:
.
Su kuo.

Kada nors radau tokią funkciją U (x, y), tada atrodau kaip
dU (x, y) = 0.
Pasaulinis jogos integralas:
U (x, y) = C,
de C – greitas.

Kaip pirmos eilės diferencinis išlyginimas, jis rašomas atvirkščiai:
,
tada jogą lengva suformuoti (1) . Kam lygybę padauginame iš dx. Todi. Dėl to mes esame įkyriai lygūs, išreikšti skirtumais:
(1) .

Kitų diferencialų diferencialinio išlyginimo galia

Kad būtų lygus (1) jis buvo lygus naujausiems diferencialams, buvo būtinas ir pakankamas, kad spіvvidnoshennia nugalėtų:
(2) .

Atneša

Taip pat atkreipiame dėmesį, kad visos funkcijos, kurios yra pergalingos įrodyme, yra nustatytos ir gali skirtis toje pačioje srityje, pakeistos x ir y reikšmės. Krapka x 0, y0 taigi atsigulk tsіy galuzі.

Mes primename poreikį (2).
Eikime į kairę upės dalį (1) є veikiančios funkcijos U diferencialas (x, y):
.
Todi
;
.
Taigi draugo skeveldros yra gerai gulėti diferenciacijos tvarka
;
.
Žiūrėkite, kas toliau. Proto būtinybė (2) atnešė.

Mes atkreipiame dėmesį (2).
Paselkime (2) :
(2) .
Parodykime, kad galima žinoti tokią funkciją U (x, y), koks її skirtumas:
.
Tse reiškia, kad tokia funkcija U (x, y), kaip patenkintas lygiais:
(3) ;
(4) .
Mes žinome tokią funkciją. Integruotai lygus (3) pagal x tipo x 0 iki x, neatsižvelgiant į tai, kas yra y:
;
;
(5) .
Svarbu diferencijuoti iš y, koks x yra pastovus ir stabilus (2) :

.
Rivnija (4) bude vikonano, yakscho
.
Integruojamas y vіd y atžvilgiu 0 y:
;
;
.
Pristatytas m (5) :
(6) .
Tėve, mes žinojome funkciją, skirtumą
.
Atnešė pakankamai.

Formulė (6) , U (x0, y0)є konstanta - funkcijos reikšmės U (x, y) taške x 0, y0. Їy galima pateikti, ar tai reikšminga.

Kaip atpažinti naujausių diferencialų diferencialą

Pažvelkime į diferencialinį derinimą:
(1) .
Norint nustatyti, kas yra lygi naujausiuose skirtumuose, būtina pakeisti (2) :
(2) .
Kaip paaiškėjo, tai verta naujausiuose diferencialuose. Yakshcho nі - tse nelygus kituose diferencialuose.

užpakalis

Patikrinkite, chi є lygus naujausiems skirtumams:
.

čia
, .
Diferenciacija y atžvilgiu, atsižvelgiant į x konstantą:

.
Skirtingai

.
Oskilki:
,
tada užduotis yra lygi – kitiems skirtumams.

Metodai rozvyazannya diferencialas lygus naujausiuose diferencialuose

Vėlesnio diferencialo stebėjimo metodas

Didžiausias paprastas metodas Naujausių diferencialų derinimo tobulumas yra vėlesnio diferencialo stebėjimo metodas. Kurioms mi zastosovuєmo diferenciacijos formulės, parašytos diferencine forma:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Šiose formulėse u ir v yra gana skirtingi, sulankstyti iš bet kokių pakeitimų derinių.

užpakalis 1

Rozvyazati rivnyannya:
.

Jau anksčiau žinojome, kad kaina prilygsta naujausiems skirtumams. Perkurkime jogą:
(P1) .
Virishuemo lygus, paeiliui pamatyti skirtumą.
;
;
;
;

.
Pristatytas m (P1):
;
.

Nuosekliosios integracijos metodas

Kuris metodas naudojamas funkcijai U patikrinti (x, y), kas džiugina riviną:
(3) ;
(4) .

Integruotai lygus (3) pagal x , atsižvelgiant į y konstantą:
.
Čia φ (y)- Pakankama funkcija y forma, kaip tai būtina nurodyti. Vaughn yra nuolatinė integracija. Pateikta lygiomis dalimis (4) :
.
Židsi:
.
Integruodami mes žinome φ (y) aš, tuo pačiu metu, U (x, y).

užpakalis 2

Viršiškumas lygus naujausiems skirtumams:
.

Jau anksčiau žinojome, kad kaina prilygsta naujausiems skirtumams. Supažindinkime su užrašu:
, .
Shukaemo funkcija U (x, y), skirtumas yra lygus kairiajai daliai:
.
Todi:
(3) ;
(4) .
Integruotai lygus (3) pagal x , atsižvelgiant į y konstantą:
(P2)
.
Skirtumas y atžvilgiu:

.
Įsivaizduokime (4) :
;
.
Integruojamas:
.
Įsivaizduokime (P2):

.
Visuotinis integralinis išlyginimas:
U (x, y) = konst.
Sujunkite du įrašus į vieną.

Pleištinės kreivės integravimo būdas

Funkcija U, kuri priskiriama:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
galite žinoti, kaip integruoti lenktos kreivės, jungiančios taškus, lygiavimą (x0, y0)і (x, y):
(7) .
Oskilki
(8) ,
tada integralas turi būti deponuojamas tik burbuolės koordinačių pavidalu (x0, y0) ir kіntseva (x, y) taškas i guli kreivės pavidalu. W (7) і (8) mes žinome:
(9) .
Čia x 0 ir y 0 - Likti. Tomas U (x0, y0)- taip greitai.

Tokio paskyrimo užpakalis U atskaitos raidės įrodymui:
(6) .
Čia integravimas atliekamas atgal išilgai pleišto, lygiagrečiai taško y ašiai (x 0, y 0) iki taško (x0, y). Tada integravimas atliekamas išilgai bėgio, lygiagrečiai taško x ašiai (x0, y) iki taško (x, y) .

Norint didesnio posūkio, būtina parodyti kreivių, kurie yra jungiamieji taškai, išlyginimą (x 0, y 0)і (x, y) parametrinis vaizdas:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
ir integruoti per t 1 tipo t 0 prie t.

Dauguma paprasčiausiai vykonuetsya іntegruvannya vіdrіzkom mokyklų mainai z'ednuє taškai (x 0, y 0)і (x, y). Kokia kryptimi:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Po pakeitimo įveskite integralą t in 0 prieš 1 .
Tsei sposіb, tačiau atnešti į dosit didelių gabaritų akmenis.