Akhirat disebut agung tanpa batas. Fungsi kecil tanpa batas dan hebat tanpa batas

Def.: fungsi dipanggil sedikit tanpa henti untuk mencuci, yaksho .

Kami akan membiarkan kami menulis "" x 0 Anda dapat mengambil nilai yang sama dengan: x 0= onst, Jadi dan tidak ada habisnya: x 0= ∞.

Kekuatan fungsi yang sangat kecil:

1) Jumlah aljabar bilangan endian tidak terhingga kecil dalam kasus fungsi kecil tak terhingga dalam fungsi.

2) Tvir dari angka akhir tidak terhingga kecil ketika fungsinya tidak terhingga kecil ketika fungsinya.

3) Himpunan fungsi yang saling berhubungan untuk fungsi yang sangat kecil fungsi yang sangat kecil.

4) Bagian dari waktu tidak terhingga kecil ketika fungsi pada fungsi, di antaranya adalah dari nol, sangat kecil ketika fungsi tersebut.

pantat: fungsi kamu = 2 + x Tidak sedikit untuk itu.

Def.: fungsi dipanggil luar biasa hebat untuk mencuci, yaksho .

Kekuatan fungsi hebat tanpa akhir:

1) Jumlah besar tak terbatas dengan fungsi hebat tak terbatas dengan fungsi.

2) Tvir hebat tanpa batas dengan fungsi pada suatu fungsi, di antaranya adalah dari nol, dan hebat tanpa batas dalam suatu fungsi.

3) Jumlahnya tidak terhingga besar dengan fungsi dan fungsi yang saling berhubungan dan fungsi yang besar tak terhingga.

4) Sebagian waktu sangat bagus tanpa batas saat fungsinya aktif, tetapi ada banyak batas Kintsev, dan sangat bagus tanpa batas saat fungsinya.

pantat: fungsi kamu= sangat bagus, untuk itu .

Dalil.Hubungan antara nilai-nilai kecil yang tak terbatas dan nilai-nilai besar yang tak terbatas... Sementara fungsi tersebut tidak terhingga kecil ketika, fungsi tersebut tidak terhingga besar ketika. Dan kembali, jika fungsinya tidak jauh lebih besar ketika, maka fungsi tersebut tidak jauh lebih kecil ketika.

Vіdnoshennya dua kecil tak terbatas diterima sebagai simbol, dua tak terbatas besar - simbol. Tersinggung oleh fakta bahwa biru tidak penting dalam arti itu, bahwa mungkin saja tidak penting, jadi itu bukan tidak penting, tetapi sama dengan nomor yang sama, atau tidak terbatas tanpa adanya fungsi tertentu, tapi bisa termasuk dalam hal yang tidak penting.

Selain non-nilai, jenis dan non-nilai, seperti virazi:

Kesaksian dari satu tanda yang tak terhingga;

Tvir kecil tanpa batas dan besar tanpa batas;

Fungsi show-step, dasar pragne hingga 1, dan indikatornya hingga;

Fungsi langkah demonstrasi, yang dasarnya sangat kecil, dan eksponennya sangat besar;

Fungsi show-step, show dan indicator yang tidak terbatas malim;

Fungsi show-step, yang basisnya besar tak hingga, dan eksponennya kecil tak hingga.

Tampaknya ada sedikit rasa tidak pentingnya spesies. Jumlah angka disebut dalam cich vipadkah rozkrittam tidak bernilai... Untuk pengenalan ketidakbermaknaan, virases, yang berdiri di dekat tanda batas, diterjemahkan kembali ke mata, yang tidak membalas dendam pada ketidakbermaknaan.

Ketika dijumlahkan di antara vikaris, kekuatan di antara, dan juga ketidakberdayaan, fungsi yang sangat kecil dan sangat besar.

Jelas menempatkan nomor yang besar antara.

1) . 2) .

4) Itulah mengapa fungsi TV sangat kecil ketika dihubungkan dengan fungsi tidak sedikit.

5) . 6) .

7) = =

... Dalam tipe khusus ini, ada sedikit rasa non-signifikansi untuk tipe tersebut, sejauh perluasan polinomial menjadi pengganda dan mempercepat hingga pengganda zagalny dimungkinkan.

= .

Dalam jenis vipadku small mіsce unimportantness ini, yaku ke dalam jarak kelipatan bilangan dan penyebut untuk viraz, rumus victoria, dan pecahan cepat palsu dengan (+1).

9)
... Di pantat tertentu, jenis peluru tidak penting untuk nomor baris demi baris dan penyebut pecahan di kaki senior.

keajaiban antara

Batas monster pertama : .

Terkirim. Lingkar tunggal yang jelas (Gbr. 3).

Gambar 3. sendiri

Hai x- Dunia Radianna di kuta tengah MOA(), Todi OA = R= 1, MK= dosa x, PADA= tg x... Kotak roda tiga OMA, OTA saya sektor OMA, Otrimaєmo:

,

.

Rozdіlimo sisa saraf pada dosa x, Otrimaєmo:

.

Jadi yak di, lalu dengan kekuatan 5) antara

Bintang-bintang adalah nilai dering saat Anda perlu mengangkatnya.

menghormati: Fungsinya tidak terhingga kecil ketika, tobto Itulah keajaiban pertama ma viglyad:

.

Letakkan angka-angka di antara para pemenang dari negeri indah pertama dalam pandangan yang jelas.

Saat menghitung nilai vikorist, rumus trigonometri digunakan: .

.

Mudah menempatkan nomor di antara pemenang dari negeri indah lainnya.

2) .

3) ... Tikus tidak penting untuk diketik. Zrobimo menggantikan, Todi; pada.

fungsi dipanggil sangat sedikit dengan
jika
, yaksho
tentang
.

Aplikasi: fungsi
sangat kecil di
; fungsi
sangat kecil di
.

Menghormati 1. Fungsi apa pun tidak dapat dipanggil tanpa batas waktu tanpa perubahan langsung ke argumen. Jadi, fungsi
pada
sangat kecil, dan dengan
sudah tidak ada kecil tak berhingga (
).

Hormat 2. Nilai batas-batas fungsi pada titik, untuk fungsi-fungsi yang sangat kecil, untuk menunjukkan inkonsistensi
.Cim fakta mi nadal akan diulang beberapa kali.

Tindakan yang dapat dipulihkan itu penting kekuatan fungsi kecil tak terbatas.

dalil (Tentang tautan fungsi, antara dan dan tak terhingga): Fungsi Yaksho
dapat disajikan dalam tampilan jumlah nomor pos SEBUAH dan sangat sedikit fungsi
pada
Nomor itu

Terkirim:

Gunakan teorema distilasi, jadi fungsinya
.

vislovimo zvidsy
:
... fungsi oskіlki
sangat kecil, itu adil baginya untuk acuh tak acuh
, Todi untuk memutar (
) Ini juga masalah ketidakpedulian

Dan tse artinya, scho
.

dalil (Zvorotna): yaksho
, Fungsi itu
dapat direpresentasikan pada jumlah sumi SEBUAH dan sangat sedikit
fungsi
, Tobto
.

Terkirim:

Jadi ya
, Itu untuk
gagal
(*) Fungsinya dapat dimengerti
sebagai satu dan ketidakpedulian (*) dapat ditulis ulang di viglyad

Sisa dari penyimpangan berikutnya, tetapi nilai (
) sangat kecil untuk
... penuh arti
.

bintang
... Teorema telah selesai.

Teorema 1 ... Jumlah aljabar bilangan endian adalah fungsi kecil tak terhingga fungsi kecil tak terhingga.

Terkirim:

Ini akan dibuktikan untuk dua doding, jadi untuk setiap jumlah ddank akhir adalah serupa.

Hai
і
sangat kecil di
fungsi dan
- jumlah fungsi cich. Dipersembahkan untukmu, untuk
, Isnu juga
, Untuk semua x, Siapa yang senang dengan ketidakteraturan
, Vykonutsya nerіvnіst
.

Jadi ya fungsinya
fungsi yang sangat kecil,
, Untuk semua
gagal
.

Jadi ya fungsinya
fungsi yang sangat kecil,
, Dan juga snuє juga , Untuk semua
gagal
.

vіzmemo Mari kita ambil angka yang lebih sedikit і , Todi in -tetangga titik sebuah menjadi mendalam
,
.

Modul fungsi gudang
dan nilai perkiraan.

tobto
, Fungsi Todi tidak terbatas kecil, yang perlu diselesaikan.

Teorema 2. Tvir dengan fungsi yang sangat sedikit
pada
pada fungsi yang saling berhubungan
Fungsi yang sangat kecil.

Terkirim:

Jadi ya fungsinya
dikelilingi, maka juga bilangan positif
, Untuk semua gagal
.

Jadi ya fungsinya
sangat kecil di
, Itu isnuє taka -tetangga titik , Untuk semua dekat pinggiran
.

Fungsionalitas mudah dilihat
perkiraan modul

Otzhe
, Dan todі
- kecil tanpa batas.

Teorema telah selesai.

Teorema batas.

Teorema 1. Jumlah antar aljabar dari jumlah fungsi endian

Terkirim:

Untuk membuktikan untuk menyelesaikan dua fungsi, bukan untuk merusak semangat dunia.

Hai
,
.

Menurut teorema tentang hubungan fungsi,
і
dapat disajikan di viglyadі
de
і
- sangat kecil di
.

Kita tahu jumlah fungsi
і

besarnya
nilai pasca,
- nilainya sangat kecil. Dalam peringkat seperti itu, fungsinya
diwakili dalam viglyadi sumi dengan ukuran permanen dan fungsi yang sangat kecil.

nomor tod
fungsi batas
, Tobto

Teorema telah selesai.

Teorema 2 ... Antara buat jumlah akhir fungsi untuk ambang pintu tambahkan di antara fungsi

Terkirim:

Jangan hancurkan spiritualitas dunia, kita bisa membuktikannya untuk dua fungsi
і
.

Ayo, Todi
,

Kami tahu fungsi tv
і

besarnya
nilai permanen, fungsi kecil tak terhingga. Dari nomor yang sama
fungsi batas
, Tobto itu adil

suksesi:
.

Teorema 3. Antara dua fungsi pribadi dengan pribadi antara fungsi, seperti perbatasan antara plang dari nol

.

Bukti: Ayo
,

Todi
,
.

kami tahu secara pribadi dan deyakimo di atasnya

besarnya post_yna, drib
kecil tanpa batas. Otzhe, fungsi diwakili dalam pandangan jumlah dari jumlah permanen dan fungsi tak terbatas.

Todi
.

Menghormati. Teorema 1-3 direduksi agar sesuai
... Namun, bau busuk bisa mandek ketika
, Oskіlki membawa teorema di seluruh rentang dilakukan dengan cara yang sama.

Maju. Ketahui batasannya:

Pertama dan keajaiban lainnya antara.

fungsi tidak berlaku untuk
... Namun, nilai di sekitar titik adalah nol. Hal ini dapat dilihat antara fungsi
... Qia mezha bip pertama ajaib antar .

Vin maє viglyad:
.

omong-omong ... Ketahui batasannya:1.
... berarti
, yaksho
, kemudian
.
; 2.
... Putaran diberikan lagi dan lagi, sehingga batas cincin ke batas ajaib pertama.
; 3..

Saya bisa melihat ukuran tampilan
, di yakiy menerima nilai-nilai bilangan asli dalam urutan pertumbuhan. damo nilai: yakscho

memberi permulaan makna dari luar
, Tidak masalah juga, scho viraz
pada
akan
... Apalagi untuk dibawa, yah
mau mezhu. Qia meza ditandai dengan huruf :
.

nomor rratsіonalne:
.

Sekarang Anda dapat melihat perbedaan antara fungsi
pada
... Qia meza disebut ke perbatasan aneh lainnya

Vin maє viglyad
.

Maju.

sebuah)
... viraz
diganti dengan keju olahragawan yang sama
, Teorema Zastosuєmo tentang batas menciptakan dan batas ajaib lainnya; B)
... secara menyenangkan
, todі
,
.

Monstrositas lain antara vikoristvutsya in masalah tentang penumpukan pesan yang tidak terputus

Dengan pendapatan sepeser pun untuk deposito, orang sering berteriak dengan rumus video lipat, yak maє viglyad:

,

de - sisipan tongkol,

- rekening bank kecil,

- jumlah pesan narahuvan per pik,

- satu jam, di bebatuan.

Namun, dalam kemajuan teoretis, dalam kasus keputusan investasi, sering terjadi bahwa rumus hukum pertumbuhan eksponensial (menunjukkan)

.

Rumus untuk menunjukkan hukum pertumbuhan adalah hasil dari menyimpan tanah indah lainnya ke rumus lipat

Fungsionalitas tanpa gangguan.

Fungsionalitas mudah dilihat
bernyanyi di titik deyakiy dan deyakom sekitar titik ... Jangan pergi ke nilai dari fungsi poin dari nilai
.

Nilai 1. Fungsi
disebut intinya tidak terputus , Yaksho won ditunjukkan di pinggiran titik, termasuk titik itu sendiri
.

Nilai interupsi dapat dirumuskan dalam bentuk.

apa fungsinya
ditunjuk untuk arti deyakom ,
... sebagai argumen tanggal pririst
, Itu adalah fungsi untuk mendapatkan kenaikan

Biarkan fungsinya langsung ke intinya kontinu (untuk nilai pertama fungsi tanpa gangguan dalam poin),

Tobto, karena fungsinya kontinu di titik , Itu tidak terbatas untuk peningkatan kecil dalam argumen
di titik tsіy dpovіdaє tidak ada akhir dari fungsi pririst maliy.

Ini adalah proposisi yang adil dan masuk akal: jika peningkatan kecil yang tidak terbatas dari suatu argumen disebabkan oleh peningkatan fungsi yang kecil tanpa batas, maka fungsi tersebut tidak terputus.

Nilai 2. Fungsi
disebut kontinu ketika
(Pada titik )
.

Saya akan melihat nilai pertama dan lainnya dari fungsi tidak terputus pada titik, Anda dapat memperbaiki permulaan ketegasan:

tentang
, bir
, todі
.

Juga, untuk mengetahui fungsi bebas gangguan saat
untuk menambah viraz analitis fungsi untuk menggantikan argumen serahkan nilaimu .

Penunjukan 3. Fungsi, tanpa gangguan pada titik kulit area saat ini, disebut tidak terputus di seluruh wilayah.

Misalnya:

Butt 1. Bawa fungsinya
itu tidak terputus di semua titik area.

Cepat untuk nilai lain tanpa gangguan fungsi dalam poin. Secara keseluruhan, seperti arti dari argumen saya damo youomu ditambah
... Kita tahu tentang peningkatan fungsi

Lampiran 2. Bawa fungsi
kontinu di setiap titik S
.

argumen damo pendeta
, Todi berfungsi untuk menang

Kita tahu ini adalah bagaimana fungsinya
, Tobto dikelilingi.

Demikian pula, dimungkinkan untuk membawa, bahwa semua fungsi dasar dasar tidak terputus pada titik-titik area, sehingga area nilai fungsi dasar disimpan di luar area kontinuitas.

Penunjukan 4. Fungsi Yaksho
tidak terputus di titik kulit interval deyakogo
Artinya, fungsi tersebut tidak terputus pada seluruh interval.

Penunjukan kekuatan itu sangat kecil dan tidak terbatas fungsinya. Buktikan otoritas dan teorema. Tautannya tidak terlalu kecil dan bukan fungsi yang luar biasa hebat.

zm_st

Div. juga: Ada sedikit daya tahan - nilai dan kekuatan
Kekuatan akibat yang hebat tanpa akhir

Menghargai fungsi yang sangat kecil dan tanpa batas yang luar biasa

hei x 0 Kintseva, misalnya, intinya tidak jauh-jauh: , -∞ atau + .

Nilai dari beberapa fungsi tak terhingga
fungsi (X) disebut sedikit tanpa henti di x pragne ke x 0 0 , vін dorіvnyuє ke nol:
.

Fungsi hebat tanpa henti
fungsi f (X) disebut luar biasa hebat di x pragne ke x 0 , Dimana fungsinya sama dengan x → x 0 , vін dorіvnyuє non-kecenderungan:
.

Kekuatan fungsi yang sangat kecil

Kekuatan sumi, perbedaan dan fungsi kecil tanpa akhir

Suma, pertumbuhan dan tv jumlah akhir fungsi yang sangat kecil sebagai x → x 0 fungsi yang sangat kecil sebagai x → x 0 .

Kekuatan Tsia pewarisan langsung kekuatan aritmatika antar fungsi.

Sebuah teorema tentang fungsi yang saling berhubungan pada sebuah yang sangat kecil

Fungsi TV, saling berhubungan pada hari tertusuk dekat titik x 0 , Pada kecil tak terbatas, sebagai x → x 0 , fungsi yang sangat kecil sebagai x → x 0 .

Kekuatan tentang fungsi yang diberikan kepada viglyadi sumi dari fungsi permanen dan sangat kecil

Agar fungsi f (X) perbatasan kintseviy kecil, perlu dan cukup, schob
,
de - fungsi yang sangat kecil sebagai x → x 0 .

Kekuatan fungsi hebat tanpa akhir

Teorema tentang jumlah fungsi yang saling berhubungan dan besar tak terhingga

Jumlahkan selisih antara fungsi tersebut, untuk titik dekat tertusuk x 0 , fungsi besar tak terbatas, sebagai x → x 0 , tanpa batas oleh fungsi besar sebagai x → x 0 .

Teorema tentang bentuk privat dari fungsi yang diberikan sangat besar

Fungsi f (X) besar tak hingga x → x 0 , Dan fungsi g (X)- dikelilingi oleh titik dekat tertusuk x 0 , kemudian
.

Teorema tentang bentuk privat dari suatu domain, yang dikelilingi oleh suatu fungsi di bagian bawah sebuah kotak kecil tak berhingga

Juga, fungsi, pada titik dekat titik yang tertusuk, dalam nilai absolut dikelilingi oleh angka positif di bawah ini:
,
dan fungsi sangat kecil tak hingga sebagai x → x 0 :
,
jika titiknya tertusuk, pada yak, maka
.

Kekuatan ketidakteraturan fungsi hebat tanpa batas

Tetapi fungsinya sangat bagus ketika:
,
berfungsi , pada deyakіy yang tertusuk di dekat titik, untuk memenuhi ketidakteraturan:
,
maka fungsinya juga sangat bagus ketika:
.

Kekuatan kekuasaan adalah dua kali lipat.

Ayo, pada titik tusuk dekat titik, fungsi dan kepuasan penyimpangan:
.
Todi yaksho, lalu saya.
Yaksho, lalu saya.

Menghubungkan dengan fungsi yang sangat hebat dan sangat kecil

Ada dua kekuatan alternatif dari suara vaping dan fungsi yang sangat besar dan sangat kecil.

Sementara fungsinya tidak jauh lebih besar ketika, fungsinya sangat kecil ketika.

Jika fungsi tersebut tidak terhingga kecil ketika, i, maka fungsi tersebut tidak terhingga besar ketika.

Keterkaitan antara fungsi kecil tak terhingga dan fungsi agung tak terhingga dapat dilihat dalam peringkat simbolis:
, .

Karena fungsi tanda tidak terhingga kecil, jika positif (atau negatif) untuk titik dekat tertusuk, maka dapat ditulis sebagai berikut:
.
Dengan cara yang persis sama, jika fungsi tanda di besar tanpa batas, maka tulislah:
, Abu.

Cincin simbolis dengan fungsi yang sangat kecil dan hebat tanpa batas itu dapat dilengkapi dengan hubungan yang maju:
, ,
, .

Rumus Dodatkovi, cara membunyikan simbol ketidakkekalan, dapat ditemukan di samping
"Titik kekuatan yang tidak ditentukan".

Bukti kekuatan dan teorema

Bukti dengan teorema tentang fungsi interkoneksi yang solid pada yang sangat kecil

Untuk membawa teorema ts, kami mempercepatєmosya. Dan juga kekuatan vikaris dari akhir yang kecil tanpa batas,

Biarkan fungsi menjadi sangat kecil ketika, dan fungsi tersebut diapit oleh titik terpotong di dekat titik:
pada.

Oskilki snu batas, kemudian snu tertusuk dekat titik, di mana fungsi ditugaskan. Ayo peretin pinggiran . Todi pada fungsi desain baru i.

.
,
sebuah keabadian sangat kecil:
.

Cepat, Tim, bagaimana tvr terjalin dengan daya tahan untuk kecil tanpa batas dan kecil tanpa batas:
.
.

Teorema telah selesai.

Bukti otoritas tentang fungsi yang diberikan dari viglyadi sumi fungsi permanen dan kecil tak terhingga

kebutuhan... Nekhay funkts_ya maє di perbatasan titik kintseviy
.
Fungsinya mudah dipahami:
.
Kekuatan Vikoristovuyuchi antara fungsi pengembangan, maєmo:
.
Tobto adalah fungsi yang sangat kecil di.

kelimpahan... Ayo aku. Kekuatan Zastosuєmo antara fungsi sumi:
.

Kekuatan dibawa.

Buktikan dengan teorema tentang jumlah dengan fungsi dan besar tak hingga

Untuk membawa teorema, kita mempercepat batas fungsi menurut Heine

pada.

Oskilki snu batas, kemudian snu tertusuk dekat titik, fungsi ditugaskan. Ayo peretin pinggiran . Todi pada fungsi desain baru i.

Jangan repot-repot yang langgeng itu baik, cara menyatu, unsur-unsur apa yang harus diletakkan di pinggiran:
.
Ini adalah nilai dari tanggal terakhir. Selain itu, tingkat keparahan dikelilingi oleh:
,
a abadi luar biasa hebat:
.

Oskilky suma atau perbedaan antara daya tahan yang terjalin dan hebat tanpa batas
.
Todi, dengan nilai-nilai antara hari-hari terakhir dari Heine,
.

Teorema telah selesai.

Bukti dengan teorema tentang tipe privat dari fungsi yang diberikan pada luas tak terhingga

Untuk membuktikan bahwa kita cepat dalam hal batas-batas fungsi menurut Heine. Kekuatan jahat dari akibat-akibat hebat yang tak ada habisnya sama menangnya, dan terkenal karena dukungannya yang kecil tanpa henti.

Biarkan fungsi menjadi besar tanpa batas ketika, dan fungsi tersebut diapit oleh titik tertusuk di dekat titik:
pada.

Osilasi fungsi sangat besar tanpa batas, kemudian tepi titik tertusuk, yang dimaksudkan dan tidak berubah menjadi nol:
pada.
Ayo peretin pinggiran . Todi pada fungsi desain baru i.

Jangan repot-repot yang langgeng itu baik, cara menyatu, unsur-unsur apa yang harus diletakkan di pinggiran:
.
Ini adalah nilai dari tanggal terakhir. Selain itu, tingkat keparahan dikelilingi oleh:
,
keabadian luar biasa hebat dengan anggota seperti yang terlihat dari nol:
, .

Sebagian kecil dari hari ini dikelilingi oleh jangka panjang yang tidak terbatas dan jangka waktu yang sangat kecil, maka
.
Todi, dengan nilai-nilai antara hari-hari terakhir dari Heine,
.

Teorema telah selesai.

Bukti dengan teorema tentang tipe pribadi domain, fungsi di bawah fungsi, sangat kecil

Untuk membuktikan kekuatan dan kecepatan dari batas-batas fungsi yang ditetapkan menurut Heine. Begitu juga kekuatan vikaris dari akibat besar tanpa akhir, yang tidak ada habisnya postingan yang bagus.

Biarkan fungsi menjadi kecil tak terhingga ketika, dan fungsi dibatasi dalam nilai absolut di bawah ini oleh bilangan positif, pada titik tertusuk di dekat titik:
pada.

Untuk pencucian, tepi titik ditusuk, yang fungsinya dimaksudkan dan tidak berubah menjadi nol:
pada.
Ayo peretin pinggiran . Todi pada fungsi desain baru i. Selain itu, saya.

Jangan repot-repot yang langgeng itu baik, cara menyatu, unsur-unsur apa yang harus diletakkan di pinggiran:
.
Ini adalah nilai dari tanggal terakhir. Apalagi konsistensi dikelilingi oleh bagian bawah:
,
dan yang terakhir sangat kecil dengan anggota terlihat dari nol:
, .

Osilasi dari sebagian kecil waktu, dikelilingi oleh bagian bawah yang terakhir, untuk akhir yang sangat kecil dan tidak terbatas, maka
.
nhai tertusuk di dekat titik, di yak
pada.

Pada saat yang sama, ada baiknya untuk pergi ke Todi, dengan mengoreksi dari angka N, elemen tanggal terakhir akan terletak di sekitarnya:
pada.
Todi
pada.

Menurut nilai batas fungsi menurut Heine,
.
Todi atas kekuatan ketidakteraturan pesan-pesan hebat yang tak ada habisnya,
.
Osilasi yang terakhir besar, tetapi konvergen ke, kemudian melampaui batas-batas fungsi menurut Heine,
.

Kekuatan dibawa.

Sastra Vikoristan:
L.D. Kudryavtsev. Sebuah kursus dalam analisis matematika. Volume 1.Moskow, 2003.

Div. juga:

Jumlahnya sangat kecil dan besar

Dihitung tanpa batas malikh- bernomor, viroblen dengan nilai-nilai kecil tak terbatas, yang hasil lama dianggap kecil tak terbatas. Dihitung nilai yang sangat kecil untuk gagah mengerti untuk bilangan diferensial dan integral, untuk membentuk dasar matematika modern. Pemahaman tentang besaran kecil yang tidak terbatas jelas terkait dengan pemahaman tentang batas.

kecil tanpa batas

terakhir sebuah n disebut sedikit tanpa henti, Yaksa. Misalnya, urutan angka sangat kecil.

fungsi dipanggil sangat sedikit di sekitar titik x 0, yaksho .

fungsi dipanggil sangat sedikit tanpa hambatan, yaksho tentang .

Ada juga fungsi yang sangat kecil, yang merupakan perbedaan fungsi dari , kemudian F(x) − sebuah = α( x) , .

Jumlahnya sangat besar

terakhir sebuah n disebut luar biasa hebat, yaksho .

fungsi dipanggil luar biasa hebat di pinggiran titik x 0, yaksho .

fungsi dipanggil sangat hebat tanpa hambatan, yaksho tentang .

Dalam semua vipadka, kurangnya tangan kanan didasarkan pada keinginan untuk mengandalkan tanda nyanyian (baik "plus", atau "minus"). Tobto, misalnya, fungsi x dosa x tidak sangat hebat di.

Kekuatan tanpa batas kecil dan besar tanpa batas

Porіvnyannya nilai kecil tanpa batas

Seberapa kecil itu sangat kecil?
Pengaturan nilai kecil tanpa batas disebut tidak penting.

nilai

Diakui, kita memiliki sangat kecil untuk satu dan nilai yang sama dari ( x) І β ( x) (Abo, itu tidak penting untuk nilai, akhirnya sangat kecil).

Untuk perhitungan yang lain, aturan Lopital menang.

letakkan

Untuk vikarian Tentang-penafian simbolik dari hasil dan dapat direkam dalam tampilan ofensif x 5 = Hai(x 3). Dalam hal ini, ada catatan 2x 2 + 6x = HAI(x) і x = HAI(2x 2 + 6x).

nilai ekuivalen

nilai

Namun, kemudian nilai dan yang sangat kecil disebut setara ().
Jelas, kita akan membatasi jumlah nilai yang sangat kecil dari urutan besarnya yang sama ke nilai yang sama.

Dalam hal kesetaraan awal jatuh tempo yang wajar: ,, .

dalil

Batas antara pribadi (tunggal) dua nilai kecil tanpa batas tidak berubah, karena salah satunya (atau menyinggung) diganti dengan nilai yang setara.

Sebuah teorema diberikan berdasarkan nilai yang diterapkan untuk arti antara (div. Aplikasi).

pantat vikoristannya

wakil SSayan 2x nilai setara 2 x, kami akan

gambar sejarah

Pemahaman tentang "kecil tanpa batas" yang dibahas di zaman kuno sehubungan dengan konsep atom yang berbeda, belum pudar ke dalam matematika klasik. Saya tahu bahwa itu lahir dengan munculnya "metode mereka yang tidak mirip" pada abad ke-16 - munculnya figur pra-slidzhuvanoi pada overretin kecil tanpa batas.

Pada abad XVII, aljabarisasi perhitungan sangat kecil. Bau busuk mulai muncul sebagai nilai numerik, kurang dari nilai Kintsevo (bukan nol) dan masih tidak sama dengan nol. Misteri analisis datang di lipatan kinerja, untuk membalas dendam kecil (diferensial), dan kadang-kadang - dalam integrasi.

Matematikawan sekolah tua memberikan konsepnya kecil tanpa batas kritik tajam. Michel Rollet menulis tentang surat baru " set pengampunan ramah"; Voltaire dengan hormat menghormati bahwa penomoran adalah misteri untuk menghitung dan menguraikan secara tepat pidato, yang tidak dapat disampaikan. Navit Huygens menyadari perbedaan dalam ordo lain.

Sebagai bagian ironis dapat dilihat di tengah abad analisis non-standar, yang merupakan sudut pandang pertama - yang sebenarnya tidak jauh kecil - juga kikuk dan dapat dimasukkan ke dalam dasar analisis.

Div. juga

Yayasan Wikimedia. 2010 batu.

Kagumi "Luar Biasa" yang sama dalam kamus berikut:

Nilai variabel Y, nilai X yang sangat kecil, jadi Y = 1 / X ... Glosarium Ensiklopedis Hebat

Nilai y variabel, tetapi nilai x tidak terhingga kecil, jadi y = 1 / x. * * * UNINSTALLELY GREAT UNINSTALLELY GREAT, variabel nilai Y, dering nilai X kecil tak terhingga, jadi Y = 1 / X ... kosakata ensiklopedis

Dalam matematika, nilai berubah, karena dalam proses ini perubahan akan menjadi nilai absolut lebih dari angka yang telah ditentukan sebelumnya. Vivchennya B. b. nilai-nilai dapat dibawa ke vivchennya malikh tanpa batas (Div. ... ... Ensiklopedia Velyka Radianska

Fungsi kecil yang tak terkatakan

Fungsi %% f (x) %% panggilan sedikit tanpa henti(B.m.) untuk %% x \ ke \ dalam \ overline (\ mathbb (R)) %%, seolah-olah untuk argumen yang sama, fungsi batas adalah nol.

Ponyatya b.m. Fungsi-fungsi tersebut terikat secara tidak wajar karena makna tentang perubahan dan argumen. Anda dapat berbicara tentang bm. fungsi untuk %% a \ ke a + 0 %% untuk %% a \ ke a - 0 %%. Zazvychay b.m. fungsi digunakan untuk huruf pertama dari alfabet kenari %% \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

pakai

1. Fungsi %% f (x) = x %% b.m. pada %% x \ sampai 0 %%, tanda batas pada titik %% a = 0 %% jalan menuju nol. Teorema tentang hubungan antara antarmuka dua sisi dan fungsi satu sisi - b.m. yak untuk %% x \ hingga + 0 %%, jadi i untuk %% x \ hingga -0 %%.
2. Fungsi %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. untuk %% x \ hingga \ infty %% (dan juga untuk %% x \ hingga + \ infty %% untuk %% x \ hingga - \ infty %%).

Angka tersebut tidak ditampilkan sebagai nol, karena tidak terlalu kecil untuk nilai absolut, bukan b.m. fungsi. Untuk jumlah vinyet permanen, setel tali ke nol, fragmen fungsi %% f (x) \ equiv 0 %% ke nol.

dalil

Fungsi %% f (x) %% maє dalam poin %% a \ di \ overline (\ mathbb (R)) untuk jumlah bilangan %% b %% i b.m. function %% \ alpha (x) %% untuk %% x \ ke a %%, atau $$ \ ada ~ \ lim \ batas_ (x \ ke a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R ) \ Leftrightarrow \ kiri (f (x) = b + \ alpha (x) \ kanan) \ tanah \ kiri (\ lim \ batas_ (x \ ke a) (\ alpha (x) = 0) \ kanan). $$

Kekuatan fungsi yang sangat kecil

Aturan transisi batas pada %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, ikuti pernyataan berikut:

1. Suma kintsevoy nomor b.m. fungsi untuk %% x \ ke %% b.m. dengan %% x \ hingga %%.
2. Putar nomor berapa pun b.m. fungsi untuk %% x \ ke %% b.m. dengan %% x \ hingga %%.

TV b.m. fungsi pada %% x \ ke %% fungsi, saling berhubungan di tepi dekat tertusuk %% \ stackrel (\ circ) (\ teks (U)) (a) %% poin a, b.m. dengan %% x \ ke fungsi %%.

Jelas bahwa ada tweak fungsi permanen dan bm. pada %% x \ hingga %% b.m. fungsi untuk %% x \ ke %%.

Setara fungsi kecil tak terhingga

Fungsi kecil yang tak terkatakan %% \ alpha (x), \ beta (x) %% ketika %% x \ hingga %% dipanggil setara saya menulis %% \ alpha (x) \ sim \ beta (x) %%, yaitu

$$ \ lim \ batas_ (x \ ke a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ batas_ (x \ ke a) (\ frac (\ beta (x) ) (\ alfa (x))) = 1. $$

Teorema tentang penggantian b.m. fungsi setara

Ayo %% \ alpha (x), \ alpha_1 (x), \ beta (x), \ beta_1 (x) %% - b.m. fungsi untuk %% x \ menjadi %%, dan %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %%, tody $$ \ lim \ limit_ (x \ to a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ batas_ (x \ ke a) (\ frac (\ alpha_1 (x)) (\ beta_1 (x))). $$

setara b.m. fungsi.

Ayo %% \ alpha (x) %% - b.m. fungsi untuk %% x \ ke %%, todі

1. %% \ sin (\ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) %%
2. %% \ displaystyle 1 - \ cos (\ alpha (x)) \ sim \ frac (\ alpha ^ 2 (x)) (2) %%
3. %% \ tan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
4. %% \ arcsin \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
5. %% \ arctan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) %%
6. %% \ ln (1 + \ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) %%
7. %% \ displaystyle \ sqrt [n] (1 + \ alpha (x)) - 1 \ sim \ frac (\ alpha (x)) (n) %%
8. %% \ gaya tampilan a ^ (\ alpha (x)) - 1 \ sim \ alpha (x) \ ln (a) %%

pantat

$$ \ begin (array) (ll) \ lim \ batas_ (x \ hingga 0) (\ frac (\ ln \ cos x) (\ sqrt (1 + x ^ 2) - 1)) & = \ lim \ batas_ (x \ hingga 0) (\ frac (\ ln (1 + (\ cos x - 1))) (\ frac (x ^ 2) (4))) = \\ & = \ lim \ batas_ (x \ ke 0) (\ frac (4 (\ cos x - 1)) (x ^ 2)) = \\ & = \ lim \ batas_ (x \ hingga 0) (- \ frac (4 x ^ 2) (2 x ^ 2)) = -2 \ akhir (array) $$

Fungsi luar biasa hebat

Fungsi %% f (x) %% panggilan luar biasa hebat(B.B.) untuk %% x \ ke \ dalam \ overline (\ mathbb (R)) %%, karena dengan argumen yang sama fungsi memiliki batas tak terbatas.

Podibno b.m. fungsi saksi B.B. Fungsi-fungsi tersebut terikat secara tidak wajar karena makna tentang perubahan dan argumen. Anda dapat berbicara tentang BB. fungsi untuk %% x \ ke a + 0 %% %% x \ ke a - 0 %%. Istilah "hebat tanpa batas" untuk berbicara bukan tentang fungsi yang benar-benar berarti, tetapi tentang sifat ularnya di pinggiran suatu titik tertentu. Angka berapa pun tidak permanen, karena tidak besar di luar nilai absolut, tidak besar tanpa batas.

pakai

1. Fungsi %% f (x) = 1 / x %% - B.B. pada %% x \ hingga 0 %%.
2. Fungsi %% f (x) = x %% - B.B. dengan %% x \ hingga \ infty %%.

Yakshho vikonany dow nilai $$ \ begin (array) (l) \ lim \ limit_ (x \ to a) (f (x)) = + \ infty, \\ \ lim \ limit_ (x \ to a) (f ( x)) = - \ infty, \ end (array) $$

kemudian berbicara tentang positif tentang negatif B.B. dengan %% a %% fungsi.

pantat

Fungsi %% 1 / (x ^ 2) %% - positif B.B. pada %% x \ hingga 0 %%.

Zvyazok mіzh B.B. saya b.m. fungsi

Yaksho %% f (x) %% - B.B. untuk %% x \ ke fungsi %%, lalu %% 1 / f (x) %% - b.m.

dengan %% x \ hingga %%. Yaksho %% \ alpha (x) %% - b.m. di %% x \ ke fungsi %%, ditampilkan dari nol ke titik dekat tertusuk %% a %%, lalu %% 1 / \ alpha (x) %% - B.B. dengan %% x \ hingga %%.

Kekuatan fungsi hebat tanpa akhir

Mungkin pecahan otoritas B.B. fungsi. Kekuatan kekuatan bezposeredno vyplivayut dari penunjukan BB. fungsi dan pangkat fungsi, yang dapat digunakan sebagai garis batas, serta teorema tentang hubungan antara B.B. saya b.m. fungsi.

1. B.B. fungsi untuk %% x \ ke %% B.B. fungsi untuk %% x \ ke %%. Tidak, seperti %% f_k (x), k = \ overline (1, n) %% - B.B. berfungsi pada %% x \ ke %%, kemudian pada titik dekat tertusuk %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i dengan teorema tentang koneksi B.B. saya b.m. fungsi %% 1 / f_k (x) %% - b.m. fungsi untuk %% x \ ke %%. Pergi %% \ displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) 1 / f_k (x) %% - M berfungsi untuk %% x \ ke %%, dan %% \ displaystyle \ prod ^ (n ) _ (k = 1) f_k (x) %% - BB fungsi untuk %% x \ ke %%.
2. TV B.B. fungsi pada %% x \ ke %% fungsi, seperti pada tindakan tertusuk di dekat titik %% a %% di luar nilai absolut lebih positif pasca-jangka, BB. fungsi untuk %% x \ ke %%. Zokrem, TVIR B.B. fungsi pada %% x \ ke %% fungsi, yang dapat berada pada titik %% a %% batas bukan-nol, jika BB. fungsi untuk %% x \ ke %%.

Jumlah terlampir dalam tindakan tusukan di dekat titik %% a %% dari fungsi dan BB. fungsi untuk %% x \ ke %% B.B. fungsi untuk %% x \ ke %%.

Misalnya, fungsi %% x - \ sin x %% %% x + \ cos x %% - B.B. dengan %% x \ hingga \ infty %%.

3. Suma dua B.B. fungsi untuk %% x \ ke %% bukan nilai. Jatuh dari tanda sebelum sifat perubahan, sumi seperti itu bisa sangat populer.

   pantat

   Misalkan fungsi %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. berfungsi untuk %% x \ hingga \ infty %%. Todi:

   • %% f (x) + g (x) = 3x %% - B.B. fungsi untuk %% x \ hingga \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. fungsi untuk %% x \ hingga \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) = \ sin x %% bukan ibu saat %% x \ ke \ infty %%.