Možete pokazati (nije robustan), ali rivnyannya (2) je više jednaka rivnyannya (1), ako želite biti otrimano s (1) načinom neekvivalentan prevrtanje. Tse označava scho rivnyannya (2) -privnyannya ove elipse. Wono be pozvan kanonski(Oprostit ćemo najboljima).

Zrozumílo, ívnyannya elípsa ê rívnyannya drugog reda, tobto. elips-linija 2. reda.

Za e-mail je moguće uvesti razumijevanje ekscentričnost. Tse vrijednost. Za elipse, ekscentricitet. Dakle jak sі a vidomy, također vidomy. Viraz žarišnih radijusa točke M (x, y) elipse lako se prepoznaje s prednje strane svijeta:. r 2 poznat s dobrim razlogom (3)

Poštovanje Zabijte dvije tsvyakhi (F1 i F2) u čelik, zavežite im čipku nizom čvorova, dozhin što je više za izgled tsvyakhi ( 2a), povucite uže i uz pucketanje je povedite preko stola, zatim obrišite zatvorene krivulje-elipse, koje su simetrične između obje osi i klipa koordinata.

4. Prije formiranja elipse iz kanonskog Rivna.

Na poštovanju svijeta, napravili su uzorak o obliku elipse. Sada se provodi do posljednjeg oblika elipse, analizirajući ovu kanonsku rivnyannya:

Znamo da će točke križati koordinatne osi. Yaksho, y = 0, zatim,, tobto. dvije točke A1 (-a, 0) i A2 (a, 0). Ako je x = 0, onda. Tobto. dvije točke B1 (0, -b) í B2 (0, b) (od tada). Točke A1, A2, B1, B2 pozivaju vrhovi elipse.

2) Područje rasta elipsa može se pripisati sljedećem mirkuvanu:

a) od rívnyannya elipsa slíd, scho, tobto. , tobto. abo.

b) slično, tobto. abo. Pokazat ću vam kako se cijeli proces ravnanja odvija u pravokutniku, uspostavljenom ravnim i.

3) Dal, u ryvnyannya elepsa zime i y, ulaze samo u par koraka, a to znači da je krivulja simetrična između osi kože i klipa koordinata. D-ali, ako radijus treba imati točku (x, y), koja treba biti locirana u i točkama (x, -y), (-x, y) í (-x, -y). Za to je dovoljno pogledati oduzetost onoga dijela elipse, koji leži na prve četiri, de i.

4) Od rívnyannya elipsa maêmo, i prva četiri. Ako je x = 0, tada je y = b. Središnja točka B2 (0, b). Neka se x promijeni od 0 do a tody y promijeni od b do 0. Tim točkom M (x, y), ispravljajući iz točke B2 (0, b) opiše luk koji dolazi do točke A (a, 0). Može se suvoro donijeti, gdje je luk zakrivljen uspravno uzbrdo. Dodamo zrcalni luk u koordinatne osi i na klip, možemo vidjeti cijele elipse. Osi simetrije elipsa nazivaju se yogo osi, točka Pro peretin središte elipse. Dovzhinu ídrízkív OA1 = OA2 = ali veliki pivvíssyu zovu elipsa, ídrízkív OV1, OV2 = b-mali pívvíssyu wíllíps, (a> b), c-žarišni pogled. Samo geometrijski objasnite vrijednost.

Uz a = b, možemo prihvatiti kanonsku ryvnyannya elipsu - rivnyannya ulog. Za ulog, tobto. F1 = F2 = 0..

U takvom rangu, prsten je krug elipse, ako je fokus u središtu i ekscentricitet = 0. Što je više ekscentričnosti, to se više elipsa koristi.

Poštovanje. Od kanonske ryvnyannya elipse lako je stvoriti uzorak, ali elipsi se mogu postaviti u parametarskom obliku. x = a cos t

y = b sin t, de a, b - veliki i mali pivosi, t-cut.

5. Oznaka kanonske hiperbole.

Hiperbola Zove se HMT područja, za svaku razliku između dviju fiksnih točaka područja F1F2, koje se nazivaju žarišta, ê je konstantna vrijednost (nije jednaka 0 ili manje, ispod žarišne točke F1F2).

Počnimo, kao i ranije, F1F2 = 2s, a razlika između njih je 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Nekhai M (x, y) je točka linije hiperbole. Za vrijednosti MF1-MF2 = ili r1-r2 == ili - (1). -ce í ê rívnyannya hiperbola.

Ublažavanje smisla moralnosti u (1): pretpostavlja se jedan korijen, pa se vrijeđa dio u kvadratu, vadi se: svejedno, opet se kvadrira:

Zvijezde.

Rozdilimo dalje. Unesite vrijednost. Todi - (2). Rivnyannya (2), kao što se može pokazati, više je jednako nego jednako (1), a tome ê. Yogo ime kanonski rivnjani hiperbole Bachimo, dobro, razina hiperbole može biti i druge razine, od iste, hiperbola-linija drugog reda.

Ekscentričnost hiperbole. Viraz žarišnih radijusa kroz nju je lako izrezati s prednje strane, pa je poznato iz.

6. Prethodni oblik hiperbole za njen kanonski rívnyany.

Rosemirkovuêmo je sličan onome prije, kada je zadnji update.

1. Poznate su točke preljeva s osi hiperbole. Ako je x = 0, onda. Točka je peretinu s visyu OU nemaê. Ako je y = 0, onda. Točke preljeva,. Smrdljivo ime vrhovima hiperbole.

2. Područje rasta hiperbole:, tobto. abo. To znači da je hiperbola ružičasta, poza tamna, okružena ravnim linijama x = -aі x = a.

3. Hiperbola se može promatrati kao simetrija, jer x i y ulaze na par koraka. Dovoljno je pogledati onaj dio hiperbole, koji se peče u prvom krugu.

4. Z rivnyannya hiperbola (2) u prva četiri mamo. Kod x = a, y = 0, točka je; kod, tobto. krivulja ide udesno uz brdo. Jasnije je, vidljive su dvije dodatne ravne crte, koje prolaze kroz klip koordinata i dijagonala pravokutnika sa stranica 2a i 2b: BCB'C'. Pomiriši to ryvnyannya. Očito je točka hiperbole M (x, y) na putu u beskonačnost, nije moguće približiti se pravoj liniji. Prijeđi na stvar x a povremeno je ordinata točke hiperbole ravna. Očito Y> y... MN = Y-y =.

Bachimo, scho s, tobto. krivulja se ne približava ravnoj u svijetu od udaljenosti do klipa koordinata. Tse donijeti, da je asimptota hiperbole izravna. Štoviše, hiperbola ne mijenja asimptote. Dovoljno je da dobijete dio hiperbole. Vonu je brutalizirala kvrgava planina. Ínshi dijelovi su dobiveni simetrijom. Začudo, os simetrije hiperbole (os koordinata) zove se njezina osovine, točka preljeva osi centar hiperbole. Jedna je težina nadjačala hiperbolu (akcija v_s), ínsha-ní (jasno). Vidrizok a nazovi službeni put b-izričito pivvissyu. Pravokutni BCB'C'-naziva se glavna pravokutna hiperbola.

Yaksho a = b, tada se asimptotika postavlja s koordinatnim osi kuchi. Todi hiperbola ili poziv Rivnobichno ili ravnobichnoy. Glavni rektum pretvara se u kvadrat. Asimptote su jednostruke okomite.

Poštovanje.

Inodi pogledajte hiperbolu, kanonski primjer - (3). Ej poziv vezan prema odnosu prema hiperboli (2). Hiperbola (3) se može kretati okomito, eksplicitno horizontalno. To je jedan od načina da ustanete, kako se preurediti xі na, aі b(Vaughn će se pretvoriti u stablo koje se vrti). Ale todí hiperbola (3) maê viglyad:

Vrhovi í̈í̈.

5.Yak je već ušao, nivo jednakostrane hiperbole ( a = b) ako su osi koordinata poravnate s osi hiperbole, možete to vidjeti. (4)

Jer asimptotika jednakostranične okomite hiperbole, njih se također može uzeti kao koordinatne osi OX 1 i OU 1. Cijena je ekvivalentna okretanju OXU sustava na rez. Formule za uključivanje kuta su sljedeće:

Todi unutra novi sustav koordinate OH 1 U 1 razine (4) prepisati:

Abo abo. Značenje, otrimaêmo abo (5) tse rivnyannya jednakostranična hiperbola, predstavljen asimptotama (u školi se vidi muški tip hiperbole).

Poštovanje: Z rívnyannya viplivay, što je površina ravne linije, potaknuta na koordinate točke hiperbole M (x, y) koja sama: S = k 2 .

7. Oznaka kanonske parabole.

Parabola naziva se HMT područja, za čiju kožu se pojavljuje iz fiksne točke F područja, tzv usredotočenost, vrata su od fiksnog ravnog, tzv ravnateljica(Fokusno držanje ravnateljice).

Pretpostavlja se da se od F do direktrise kroz p í naziva parametrom parabole. Sustav koordinata titra se ovako: os OX povučena je kroz točku F okomitu na direktrisu NP. U sredini FP-a vibrira klip koordinata.

Sustav ima:.

Istodobno, točka je M (x, y) od koordinata točke (x, y). Tom

Zvidsy (1) tse í ê jednaki paraboli. Objašnjivo:

Abo (2) -ce i ê kanonska parabola Može se pokazati da su (1) i (2) jake.

Rivnyannya (2) ê Rivnyannya 2. reda, tobto. parabola-linija 2. reda.

8. Prije formiranja parabole za njezine kanonske Rivne.

(p> 0).

1) x = 0, y = 0 parabola prolazi kroz točku koordinata točku O. zove se vrh parabole.

2), tobto. parabola trune desno od osi OU, desno od osi.

3) na ući kao upareni svijet, tako da je parabola simetrična osi OH, zatim, da završi boravak u prva četiri.

4) na 1 kvart at, tobto. parabola ide dešnjak. Moguće je pokazati da sam obješen uz brdo. Uz simetriju, bit ću ispod. Od OU-točka do parabole.

Očito je žarišni radijus. Svetište se zove ekscentričnost:. Cijela simetrija parabole (imamo OX) naziva se cijela parabola.

Sjajno, to je također parabola, ale ispravljena u prototip bicikla. Rivnyannya također može postaviti parabole, koje su suspendirane iz OU-a.

za veliki wigglyad, de.

Rivnyannya viznacha zvychaynu parabola zí vídnínuyu vrh.

Poštovanje. 1) Između usíma choterma redaka 2. reda, spor je blizak; s kraja na kraj... Ako uzmete konus iz dva komada, onda kada je područje okomite osi stošca prekoračeno, možemo ga odrezati, kao da će trohus pokriti područje, možemo ga odrezati; ako je područje paralelno sa skupom, onda u re-paraboli, gdje je područje preljevno

prazno-hiperbola.

2) Moguće je donijeti, ako svjetlo nestane iz fokusa parabole, vidi se iz njega, onda se pojavljuje paralelno s osi paraboličnog cilja da se prikaže kada su reflektori parabolični. Idite na konjugaciju svjetla.

3) Čim možete vidjeti lansiranje Zemljinog suputnika iz točke T, trebali biste ležati u položaju atmosfere u vodoravnom smjeru, kao da je paučina v Ako to nije dovoljno, onda se suputnik neće okretati oko Zemlje. Kada se postigne prvo svemirsko istraživanje, pratilac se okreće oko Zemlje u kružnoj orbiti sa središtem u središtu Zemlje. Čim pochatkova bude imala kvalitetu života, zamotana je u elipsu, središte Zemlje bit će u jednom fokusu. Kada se dosegne 2. svemirsko kretanje, putanja postaje parabolična i pratilac se ne okreće u točku T, ali se ne pomiče u granicama Sustav za spavanje... Tobto. Parabola je elips s jednim neprekinutim fokusom. S blagim poboljšanjem klipa, putanja postaje hiperbolična, a s druge strane se pojavljuje još jedan fokus. Središte Zemlje će cijeli sat provesti u žarištu orbite. Suputnik iza granica sustava Sonyachnoy.

Predavanja iz algebre i geometrije. 1. semestar

Predavanje 15. Elips.

Rozdil 15. Elips.

stavka 1. Osnovne vrijednosti.

Viznachennya. Elips se naziva GMT područja zbroja do dvije fiksne točke područja, koje se nazivaju žarišta, je konstantna vrijednost.

Viznachennya. Udaljenost od trenutne točke područja M do žarišta elipse naziva se žarišnim polumjerom točke M.

Oznaka:
- trikovi elipse,
- Žarišni radijusi točke M.

Prema vrijednosti elipsa, točka M ê točka elipsa i todi, ako
- Trajna vrijednost. Qiu postinu uzeto kao 2a:

. (1)

Draga, scho
.

Zbog vrijednosti e-pošte, fokus je ê fiksne točke, tako da postoji stalna vrijednost za danu e-poštu.

Viznachennya. Pojava među žarištima elipse naziva se žarišnim pogledom.

Oznaka:
.

3 trikutnik
viplyaê, scho
, tobto.

.

Označimo s b broj
, tobto.

. (2)

Viznachennya. Svetište

(3)

naziva ekscentricitet elipse.

Na cijelom području uveden je koordinatni sustav koji se naziva kanonskim za elipsu.

Viznachennya. Držite se na mjestu gdje leži fokus elipse, koji se zove žarišni pogled.

Ostat ću kanonski za elipu PDSK, div. sl. 2.

Vertikalna os apscisa vibrira do žarišne točke, a okomita os je povučena kroz sredinu okomite osi
okomito na žarišnu os.

Todi se fokusira na koordinate
,
.

stavka 2. Kanonska Rivnja od Elipsa.

Teorema. U kanonskom za elipse koordinatni sustav elipse ma viglyad:

. (4)

Isporučeno. Dokaz se provodi u dvije faze. U prvoj fazi, jasno je da su koordinate točke, koje leže na elipsi, zadovoljne s rivnyannya (4). U drugoj fazi, jasno je da li je odluka ryvnyannya (4) da da koordinate točke, kako ležati na elipsi. Tražite viplivatime, ali iz razloga (4) ste zadovoljni točkama koordinatnog područja koje leže na elipsu. Zvukovi i vrijednosti ryvnyannya krivo sliduvati, scho ryvnyannya (4) do rivnyannya elipsa.

1) Neka je točka M (x, y) točka elipse, tobto. zbroj njenih žarišnih radija u dorívnyu 2a:

.

Brzo, po formuli, postoje dvije točke na koordinatnom području, što je poznato iz uobičajene formule žarišnog polumjera dane točke M:

,
, zvijezde su prepoznatljive:

Prenosi se na jedan korijen desno od dijela jednakosti i na kvadrat:

Brzo, izmislit ću:

Vjerojatno malo brže za 4 i samodostatan radikal:

.

Izgrađen na kvadrat

Otvaranje luka koji brzoêmo na
:

:

Vikoristovuchi paritet (2), prepoznat ćemo:

.

Potrošio sam svoj novac na
, Otrimuêmo paritet (4), h.t.d.

2) Sada je par brojeva (x, y) zadovoljavajući (4) í nehai M (x, y) je slična točka na koordinatnom području Oxy.

Todi s (4) vipli:

.

Pidstavlyaêmo ciu za žarišne polumjere točke M:

.

Ovdje ubrzavamo (2) i (3).

U takvom rangu,
... Slično,
.

Sada je super, dobro, s dobrim razlogom (4), super je

abo
od
, onda zvuči kao ravnodušnost:

.

Zvidsi, u vlastitoj kući, viplyaê, scho

abo
і

,
. (5)

Z rivnosti (5) viplyê, scho
, tobto. točka M (x, y) ê točka elipse itd.

Teorem je dovršen.

Viznachennya. Rivnyannya (4) se zove kanonska rivnyannya Elipsa.

Viznachennya. Kanonske za elipsu, koordinatne osi se nazivaju osi glave elipse.

Viznachennya. Uho kanonskog koordinatnog sustava za elipsu naziva se središte elipse.

str. 3. Moć elipse.

Teorema. (Moć elipse.)

1. Kanonski koordinatni sustavi za elipsu, sve

točke elipa nalaze se na rektumu

,
.

2. Mrlje leže na

3. Elips ê zakrivljeni, simetrični

njihove glavne osovine

4. Središte elipsa je središte simetrije.

Isporučeno. 1, 2) Odmah iz kanonske euforije Elipsa.

3, 4) Nekhai M (x, y) je dovoljna točka elipse. Todi íí̈ koordinate su zadovoljne s rivnyannya (4). Sveukupno su koordinate točaka također zadovoljavajuće (4), í, í, í, í točke elipse, zvijezde i konkordantni teoremi.

Teorem je dovršen.

Viznachennya. Vrijednost 2a naziva se velika težina elipse, vrijednost se naziva veliki esej elipse.

Viznachennya. Vrijednost 2b naziva se mala težina elipse, vrijednost b naziva se mala težina jegulje.

Viznachennya. Mrlje koje prelaze elipsu s osi glave nazivaju se vrhovi elipse.

Poštovanje. Elips mogu ostati na ovaj način. Na trgu blizu fokusa, "zabijen je cvijetom" i na njima je zatvorena nit zavdovzhke
... Zatim uzmemo čovjeka i razvuče se konac kojim on pomaže. Zatim ponovno zategnite olovku masline duž područja, šivajući iza tim, a nit kuglice je zategnuta.

Vrijednost ekscentričnosti vapingê, scho

Fiksni broj je a i izravno broj od nule. Todi u
,
і
... At mei otrimuêmo

abo
- Rivnyannya kolac.

Sada
... Todi
,
í mi bachimo, scho u sredini elipsa virozhut na rubovima ravne
Imati malog dječaka 3.

stavka 4. Parametarsko pravilo.

Teorema. dođi
- Dobri brojevi za rad. Todi sustav rivnyannya

,
(6)

ê parametarski ekvivalenti kanonskih koordinatnih sustava za to doba.

Isporučeno. Da se to dovede do kraja, da je sustav ryvnyan (6) ê pravičan rivnyannyu (4), tobto. smrdi ta ista besmislena rješenja.

1) Nehay (x, y) - više rješenja sustava (6). Rozdilimo je uporan na a, drugi - na b, izgrađen je od ofenzivnog trga i skladišta:

.

Tobto. biti slično rješenje (x, y) sustava (6) zadovoljavajuće (4).

2) Natrag, pusti par (x, y) ê ríshennyam rívnyannya (4), tobto.

.

Točka s koordinatama
ležati na broju jednog polumjera iz sa središtem na kob koordinata, tobto. ê točka trigonometrijskog kolca, koja kaže deyakiy kut
:

Vrijednost sinusa i kosinusa odmah

,
, de
, zvijezde su skliznule, koji uparuju (x, y) ê sustavna rješenja (6), h.t.d.

Teorem je dovršen.

Poštovanje. Elipsi se mogu korigirati kao rezultat dobro uravnoteženog "stiskanja" kole polumjera a na os apscisa.

dođi
- Rivnyannya kola usredotočena na klip koordinata. "Stisk" udjela na apscisnu os ê ni ni ni ni, kao ponovno stvaranje koordinatnog područja, pa slijedite ofenzivno pravilo. Skin točka M (x, y) stavlja se na istu točku cijelog područja
, de
,
- Koefikcija "stiskanja".

Istodobno, kožna točka kolca "ide" na točku područja, koja je sama apscisa, ale mensha ordinate. Virazimo stara točka ordinate kroz novu:

a predstavljen je u kolu ívnyannya:

.

Zvidsi otrimuêmo:

. (7)

Zvidsy viplya, koji je prije ponovnog stvaranja "stisnute" točke M (x, y) ležao na broju, tobto. njene koordinate su bile zadovoljne ulogom, a zatim se nakon ponovne implementacije "stiskanja" točka "pomaknula" na točku
čije koordinate su zadovoljne s e-mailom (7). Želio bih odbiti ryvnyannya elipsa s malo pivvissyu b, morate imati povjerenje

.

str. 5. Stosovno elipsa.

Teorema. dođi
- Lijepa točka elipse

.

Todi rivnyannya shodo tsíêí̈ elipsu u točki
maê viglyad:

. (8)

Isporučeno. Dovoljno je pogledati vipadoke, ako točka torzije leži na prvom i ostale četiri koordinatne površine:
... Rivnyannya elipsa na gornjem napivploshiny maê viglyad:

. (9)

Skoristaêmosya rivnyannyam i graf funkcija
u točki
:

de
- značenje funky funkcije u točki
... Elipsi u prva četiri mogu se promatrati kao graf funkcije (8). Poznato je da ću izgubiti značenje točkastih točaka:

,

... Ovdje smo ubrzali vrijeme, što je poanta
ê po točki elipse í íí̈ koordinate se zadovoljavaju elipsama (9), tobto.

.

Pidstavlyaêmo znamo značenje vječne ryvnyannya dotichnoy (10):

,

:

Zvidsy viplyaê:

Rozdílimo ciu rívnist na
:

.

Prekasno je to poštovati,
od mrlja
postaviti koordinate na zadovoljstvo rivnyannyua.

Slično se dovodi do točke točke (8) u točki točke, koja leži na trećem ili četvrtom četiri koordinatnom području.

Í, nareshty, lako se prevrne, dobro ívnyannya (8) da ívnyannya dotichnoí̈ u bodovima
,
:

abo
, і
abo
.

Teorem je dovršen.

str. 6. Zrcalna snaga elipsa.

Teorema. Slično je elipsi ma rívní kuti sa žarišnim polumjerima vrha baklje.

dođi
- torkannaya točka,
,
- žarišne polumjere točke na točku, P i Q - projekcije fokusa na točku
.

Sturgeov teorem

. (11)

Što je moguće više jednakosti moguće je tumačiti u padu i u slici promjene svjetla iz elipse, koja je stavljena u fokus. Tsia power osvojila je ime zrcalne moći Elipsa:

Pregledajte svjetlo, puštajući ga iz fokusa e-pošte, puštajući pogled iz zrcala e-pošte da prolazi kroz unutarnji fokus e-pošte.

Dokaz teoremima. Da bismo dokazali jednakost mačića (11), možemo donijeti broj tricikla
і
, na obje strane
і
budi ljubazan. Oskílki trikutniki su ravne ruke, dovoljno je donijeti paritet

. (12)

Bo za motivaciju
- Pogled u fokusu dotično L (div. sl. 7),
... Brzo, koristeći formulu od točke do ravno na području:

Dakle, isto je kao i prije.
ma viglyad

,

,

.

Ovdje smo koristili formule (5) za žarišne polumjere točke elipse.

Teorem je dovršen.

Još jedan dokaz teoremama:

,
,
- Normalni vektor dotičnog L.

... Zvidsi,
.

Slično, poznato je
і
, Ch.d.

str. 7. ravnateljica Elipsa.

Viznachennya. Ravnatelji elipse nazivaju se dvije ravne linije, jer u kanonskom za elipse koordinatni sustav može biti rivnyannya

abo
. (13)

Teorema. Nekhai M - najvažnija točka elipse, , - žarišni radijusi, - Idite od točke M u lijevom smjeru, - Nadesno. Todi

, (14)

de - Ekscentricitet elipsa.

Isporučeno.

Nekhai M (x, y) - koordinate trenutne točke elipse. Todi

,
,

(14).

Teorem je dovršen.

str.8. Fokalni parametar elipse.

Viznachennya. Fokalni parametar elipse naziva se okomitim kutom, koji je ažuriran u fokusu elipse do ponovnog poravnanja s elipsama.

Fokalni parametar uzima se kao slovo.

Vrijednost pomaka, ali žarišni parametar

.

Teorema. Fokalni parametar elipse dorivnyu

. (15)

Isporučeno. Dakle, kao točka N (-s; p) ê točka elipse
, tada su njene koordinate zadovoljene sa sljedećim:

.

Zvidsey poznat

,

trail stars (15).

Teorem je dovršen.

stavka 9. Još jedna vrijednost za e-poštu.

Teorem iz točke 7. može vrijediti za e-poštu.

Viznachennya. Elips se naziva HMT za bilo koju vrstu odnosa prema fiksnoj točki područja, koja se zove fokus, prema fiksnoj točki područja, koja se zove direktor, ê vrijednost je trajno manja od jedan i naziva se ekscentricitet:

.

Očito, ako je prva vrijednost data teoremom, potrebno ju je iznijeti.

Ulazak

Više krivulja drugog reda obuhvatilo je jedno od Platonovih učenja. Yogo robot je zaostajao u ofenzivi: čim uzmete dvije ravne linije, kako premotate, i omota se oko bisektrice kuta, koji su instalirali, tada je površina konusna. Ako površinu preplavite nekom površinom, onda u sredini geometrijske figurice, I isti elips, kolo, parabola, hiperbola i virogene figure.

Međutim, poznato je da je povijest znanosti izgubljena u 17. stoljeću, budući da je postalo očito da se planet urušava u traktorima slonova, a garmat projektil leti parabolično. Također je postalo vjerojatnije, čim će zemljište više štediti prostor, srušit će se na kolac u blizini Zemlje, s povećanjem količine lakoće, s vremenom će biti i pretvrdo prevladati druge probleme.

Elips koji yogo ryvnyannya

Viznachennya 1. Elip se naziva besmislena točka na području, zbroj točaka s kože do dvije zadane točke, koje se nazivaju žarišta, ê trajna vrijednost.

Fokusi elipse prepoznaju se po slovima i vide se između fokusa - kroz, i zbroja vida od bilo koje točke elipse do žarišnih točaka - kroz. Štoviše, 2a> 2c.

Kanonska rívnyannya elipsa maê viglyad:

de vezan sa sobom jednak a 2 + b 2 = c 2 (ili b 2 - a 2 = c 2).

Vrijednost se naziva velika težina, a mala težina elipse.

Vrijednost 2. Ekscentricitet Ellipsa se zove posao i fokus do velike osovine.

Upoznajte se sa pismom.

Bodovi za vrijednosti 2a> 2c, ekscentricitet ovisi o ispravnom razlomku, tako da. ...

Poslovna vrijednost 7.1. Mnogo svih točaka na području, za neke zbrojeve do dvije fiksne točke F 1 i F 2 ê elipsom.

Oznaka elipse daje takav način yogo geometrijskog poticanja. Fizički na području dvije točke F 1 i F 2 ali ne puno vrijednosti je značajno kroz 2a. Nemojte ići između točaka F1 i F2 cesta 2c. Očito je da je navoj bez zatezanja s hvataljkom 2a pričvršćen u točkama F 1 i F 2, na primjer, iza dodatne dvije glave. Zrozumílo, ali treba ga lišiti za ≥ s. Nakon što je povukao nit s maslinom, polaže se na liniju, kao da je elips (slika 7.1).

Otzhe, opisani lot nije prazan, gdje je a ≥ c. S a = elips ê edrizok s krajevima F 1 í F 2, a s c = 0, tj. ako su vrijednosti dodijeljenih elipsa fiksne, točke su postavljene, pobjeda je broj radijusa a. Vidkidayuchi vyrogeny vipadki, dobit ćemo preliminarne utakmice, zvono, uh> z> 0.

Fiksne točke F 1 i F 2 na vrijednosti 7.1 elipse (div. slika 7.1) nazivaju se žarišta elipsa, viđen između njih, označen s 2c, - žarišni pogled i od F 1 M í F 2 M, tako da jedna točka M na pravoj s fokusom, - žarišne radijuse.

Viglyad elipsa će povećati vidljivost žarišnog pogleda | F 1 F 2 | = 2 s parametrom í a, poput položaja na području - par točaka F 1 í F 2.

Kao rezultat toka, on je simetričan i ravan prema naprijed, prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, a također ravan, jer se proteže u F 1 F 2 navpil i okomit je na njega (slika 7.2 a). Zovu izravno osovine elipse... Točka O njihovo ponavljanje je središte simetrije elipse i nazovi je središte elipsa, I točke poprečnog toka s osi simetrije (točke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhovi elipse.

Nazovite broj a velika pivvissyu elipsa, i b = √ (a 2 - c 2) - th malo pivvissyu... Nije važno, ali za c> 0 ima dosta putovanja od centra grada do tihih vrhova koji se nalaze na istoj osi s žarištima elipse (vrhovi A i B na slici 7.2 a ), a mali do središta zemlje do dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Rivnyannya elipsa. Može se vidjeti na kvadratu s fokusom u točkama F 1 i F 2 velikom visinom 2a. Hajde 2c - fokusni pogled, 2c = | F1F2 |

Vibrirajući pravocrtni koordinatni sustav Oxy na području, tako da je uho ponovno u središtu elipse, a fokus je bio na os apscis(slika 7.2, b). Ovaj koordinatni sustav se zove kanonski za analizirani e-mail, a zadane promjene su kanonski.

U vibran_ sustavima koordinata fokus su koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Vikoristovuchi formula je napisana u točkama, zapišite na umu | Ž 1 M | + | Ž 2 M | = 2a u koordinatama:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Cijena nije laka, dakle, u prisutnosti dva kvadratna radikala. Tom se može ponovno napraviti yogo. Preneseno na jednako (7.2), drugi radikal u desnom dijelu í je napravljen na kvadratu:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Ako otvorite lukove i date neke dodatne detalje, moći ćete

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c / a. Ponovite operaciju kvadriranja, samo dodajte još jedan radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, maksimalna vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Oskilki a 2 - c 2 = b 2> 0, dakle

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

Ekvivalent (7.4) slaže se s koordinatama svih točaka koje leže na elipsima. Ale u vrijeme uvoenja vikarista provedena je neekvivalentna ponovna implementacija pravila iz džepa (7.2) - dva kvadrata za oduzimanje kvadratnih radikala. Konstrukcija kvadrata jednaka je ekvivalentnim reinkarnacijama, jer u oba dijela postoje vrijednosti s istim predznakom, koje nisu mijenjane u svojim reinkarnacijama.

Ne možemo poništiti ekvivalentnost preokreta, kao što je to istina. Par točaka F 1 í F 2 | F 1 F 2 | = 2c, područje je obitelj lipova s ​​fokusima u cich točkama. Točka kože područja, rub točaka F 1 F 2, trebao bi biti sličan svakom razjašnjenju gore spomenute obitelji. Pritom se dva elipa ne prevrću, fragmenti količine žarišnih radijusa nedvosmisleno označavaju određenu e-poštu. Otzhe, opisana je obitelj elipsa bez prekoračenja, koja pokriva cijelo područje, osim točaka duž linija F1F2. Ne postoje jasne točke čije su koordinate jednake (7.4) iz vrijednosti parametra a. Koliko ih može biti na popisu e-mailova? Dio točaka mnogih slijediti elipsu s velikim pivvissyu a. Nemojte ići na tsíi mnogo ê točke, kako ležati na lipama s velikim pivvissyu a. Todi koordinate središta točke su naređene na red

tobto. Ekvivalent (7.4) i (7.5) može biti izvorno rješenje. Međutim, lako je promijeniti, ali sustav

za ã ≠ rješenje nije dobro. Za puno pobjeda, na primjer, x iz prve rivnyannya:

kako napraviti rekreaciju na razini

nije velika stvar s ã ≠ a, krhotine. Otzhe, (7.4) ê a> 0 í mali b = √ (a 2 - c 2)> 0. kanonski rívnyanye elipsa.

Revizija elipsa. Razglyanuty vische geometrijski način induciranja elipsa da bešćutan viglyad elipsa. Sav oblik elipse može se oživjeti uz pomoć kanonske obitelji (7.4). Na primjer, moguće je, vvazhayuy y ≥ 0, viraziti kroz x: y = b√ (1 - x 2 / a 2), í, nakon što je vidio funkciju, postat će njen graf. Ê Još jedan način induciranja elipse. Broj polumjera a sa središtem na klipu kanonskog koordinatnog sustava elipse (7.4) opisuje se jednakom x 2 + y 2 = a 2. Yaksho í̈í prionuti na konferenciju a / b> 1 vdovzh ordinata osi, tada je pogled zakrivljen, kao što je opisano ekvivalentima x 2 + (ya / b) 2 = a 2 tobto elips.

Poštovanje 7.1. Pa isti broj puta s a / b

Ekscentricitet elipsa... Obnova žarišnog pogleda na elipse na veliku os ekscentricitet elipsa koji je označen s ε. Za email dat

kanonski ekvivalenti (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Također (7.4) parametri a i b povezani su s nejednakošću a

Kod c = 0, ako se elims transformira u opseg, i ε = 0.

Ekvivalent (7.3) Ekvivalentni ekvivalent (7.4), rezultati ekvivalentnog ekvivalenta (7.4) i (7.2). Istim elipsama ê (7.3). Osim toga, spivvidnoshennya (7.3) tsikave tim, samo tako jednostavno, nemojte se osvećivati ​​radikalima, formula za dozhini | Ž 2 M | jedan od žarišnih polumjera točke M (x; y) elektrona: | Ž 2 M | = a + εx.

Analogna formula drugog žarišnog radijusa je da se može ukloniti iz simetrije simetrije Vykladokovih ponavljanja, u kojima se prvi radikal prenosi desno od kvadrata prije povećanja, a ne drugi. Također, za bilo koju točku M (x; y) na elipsi (div. Slika 7.2)

| Ž 1 M | = a -? x, | Ž 2 M | = a + εx, (7.6)

í koža í od cich rívnyans ê rívnânním eípsa.

Dodatak 7.1. Poznato je da će kanonska ryvnyannya ere s velikim stožerom 5 i ekscentricitetom od 0,8 biti yogo.

Poznavajući veliki postotak elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, što je poznato malom postotku b. Oskílki b = √ (a 2 - z 2), i c = εa = 4, tada b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Što znači kanonski ma viglyad x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Za induciranje elipse, ručno nacrtajte pravokutnik iz središta na klipu kanonskog koordinatnog sustava čije su stranice paralelne s osi simetrije elipse i stranicama eliptičnih osi (slika 7.4) . Tsey ravni rezač za promjenu

osi elipse na vrhovima A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), štoviše, sama elipsa natpisa u novom . Na sl. 7.4 Fokus F 1,2 (± 4; 0) je također naznačen.

Geometrijska moć elipsa. Prepisiva prva rivnyannya (7.6) na viglyad | F 1 M | = (a / ε - x) ε. Značajno je da je vrijednost a / ε - x na a> h pozitivna, ali fokus F 1 ne slijedi elipsu. Količina ê ide gore do okomite ravne crte d: x = a / ε iz točke M (x; y), tako da se može ležati ravno naprijed. Rivnyannya elipsa može se snimiti na viglyadí

| F 1 M | / (a ​​/ ε - x) = ε

To znači da se elipse pohranjuju iz mirnih točaka M (x; y) područja, za koje je odnos do žarišnog radijusa F 1 M da ide gore do ravne linije d je konstantna vrijednost koja je skupa ε (slika 7.5).

U ravnim linijama d ê "dvíynik" je okomita linija d ", simetrična d prema središtu elipse, jer je postavljena jednaka x = -a / ε. D" elipse se mogu opisati kao takve, kao što jesu očito d. Uvrijeđeno izravno d i d ime ellipovi redatelji... Smjer elipse je okomit na istu os simetrije elipse, u istom žarištu, a stoji prema središtu elipse na udaljenosti a / ε = a 2 / s (div. sl. 7.5).

Vidite ravnateljicu dok ne pozove najbliži njezin fokus žarišni parametar elipsa... Tsey parametar do vrata

p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

Elips je važniji geometrijska snaga: žarišne polumjere F 1 M i F 2 M pohranjuju u rinfuzi do elipsa u točki M pivni kuti (slika 7.6).

Moć moći je fizički čarobnjak. Čim fokus F 1 postane slabo osvijetljen, onda je u redu otići izvan fokusa, kada vidite poruku iz e-pošte u drugom žarišnom radijusu, tako da kad je vidite sami, vidjet ćete to na svoju ruku. Tako se sve razmjene koje idu iz fokusa F 1 koncentriraju u drugi fokus F 2 i navpaki. Iz ovog tumačenja, moć se zove optička snaga elipsa.

Krivulje različitog reda na području se zovu linije, koje se u nekim zimskim koordinatama nazivaju grabljivim xі y osvetiti se na drugom koraku. Prije njih se spominju elips, hiperbola i parabola.

Zagalni pogled na krivu osobu drugog reda:

de A B C D E F- brojevi koje želim b jedan íf parametri A, B, C nije skupo na nulu.

Pri definiranju krivulja iz krivulja različitog reda najčešće se uočavaju kanonski indikatori, hiperbole i paraboli. Lako je ići do njih u zabačenim ryvnyansima, kojima će se dodijeliti 1 zadatak s e-mailovima.

Elips, zadaci kanonskim rasama

Viznachennya elipsa. Elipsi se nazivaju gluhe točke područja, kao što su za neke zbrojeve mjesta do točaka koje se nazivaju fokusi, ê trajna vrijednost i više, ispod fokusa.

Usredotočite se na značenje i ono malo ispod.

Kanonska rívnyannya elipsa maê viglyad:

de aі b (a > b) - Dovzhini pivosey, odnosno prikazana je polovica dovžina, koja je prikazana kao elipsa na koordinatnim osi.

Ravno prolazi kroz žarišta elipse, ê yo vissyu simetrija. Sredina simetrije elipse je ravna, prolazi sredinom smjera okomitog na cijelu dužinu. Speck Oko Peretin tsikh ravno da služi kao središte simetrije elipse ili samo središte elipse.

Objesite apscis elips peretin u točkama ( a, Oko) ta (- a, Oko), a sve ordinate - u točkama ( b, Oko) ta (- b, Oko). Neke od točaka nazivaju se vrhovima elipse. Na apscisi se zove veliki vissyu, dok se na ordinati zove mali vissyu. Putovi od vrha do središta elipse nazivaju se pivos.

Yaksho a = b, zatim ívnyannya elipsa nabuv viglyadu. Tse rivnyannya kola radijus a, I kolo je okremij vipadoka elipse. Elipsi se mogu obrezati od radijusa kole a, kako je stisnuti unutra a/b puta udovzh osí Jao .

dionica 1. Revizija, chi ê linia, dana stranim vršnjacima , elipsom.

Odluka. Provođenje ponovnog stvaranja zalny ryvnyannya. Zastosovuêmo prijenos vínly člana u desni dio, nominalno rozpodíl rívnyannya jedan od tih brojeva i brzih razlomaka:

Pogled. Otrimane kao rezultat ponovnog stvaranja rivnyannya do kanonske rivnyannya tog doba. Otzhe, tsya linea - elips.

dionica 2. Područje kanonske ere, kao i na temelju 5 i 4.

Odluka. Čuvajući se formuli kanonskog ryvnyannya elipsa i sadašnjosti: Veliki pivvis - tse a= 5, mensha pvvís - tse b= 4. Otrimuêmo kanonski rivnyannya elipsa:

Točke koje su označene zelenilom na velikoj osi, de

nazvati se trikovima.

biti pozvan ekscentričnost elipsa.

Svetište b/a karakterizirajući "spljoštenost" elipse. Čim je cijena manja, jača je od cijene života velike osovine. Međutim, koraci vitalnosti elipse često se savijaju kroz ekscentricitet, formula je usmjerena prema oku. Za stariju djecu, ekscentricitet se mijenja od 0 do 1, ako je manji od jedan.

dionica 3. Područje kanonske ere, gdje je fokus na cesti 8 i više na cesti 10.

Odluka. Robimo neugodni visnovki:

Ako je veći od ceste 10, onda pola, tobto pivvis a = 5 ,

Čim je broj 8, onda broj c od koordinata žarišnih točaka do vrata 4.

Pidstavlyaêmo to je brojčano:

Rezultat je kanonska rívnyannya elipsa:

dionica 4. Kanonska regija tog doba, kao i većina ceste 26 i ekscentričnost.

Odluka. Yak vyplyaê í od veličine velike osi i od razine ekscentriciteta, velika promjena je a= 13. Rivnyannya ekscentricitet zavoja mo broj c, potrebno je izračunati minimalni iznos novca:

.

Brojni kvadrati menshoi pivosi:

Skladište kanonski rivnyannya elipsa:

zadnjica 5. Vizualizirajte fokus e-pošte danog kanonskoj obitelji.

Odluka. Slid znati broj c Prve koordinate žarišnih točaka elipse su:

.

Prepoznat ću trikove e-pošte:

zadnjica 6. Fokusira se na os Vol simetrično na klip koordinata. Kanonska rivnyannya elipsa, gdje:

1) ističu se žarištima 30, ali sjajno je 34

2) mala težina 24, a jedna od točaka fokusa nalazi se u točki (-5; 0)

3) ekscentricitet, a jedno od žarišta nalazi se u točki (6; 0)

Prodovzhuêmo virishuvati zavdannya na elipse odjednom

Ako je točka elipse dovoljna (na naslonjaču je označena zelenom bojom u gornjem desnom dijelu elipse) i dosegne se točka fokusa, tada su formule za ofenzivu:

Za dermalnu točku, koja bi trebala biti slična elipsi, zbroj točaka iz fokusa je trajna vrijednost, jednaka 2 a.

Ravno, tako da počnete biti ravni

nazvati se redatelji elipsa (na fotelji - crvene linije uz rubove).

Tri dva vyshchenenikh viplivy, koji za bilo koju točku elipa

,

de í - pokazuje središnju točku direktorima í.

zadnjica 7. Daniy elips. Sklasts ívnyannya yogo ravnateljice.

Odluka. Pitajući se na razini redatelja i viyavlyaemo, potrebno je znati ekscentričnost e-pošte, tobto. Usi dani za tsyogo ê. brojni:

.

Otrimumo Rivnyannya redatelji elipse:

zadnjica 8. Kanonske regije ere, koje su usredotočene na ê točke, a redatelji ravno.