¿Puedes mostrar (mucho no tímido) que igual (2) igual igual (1), a pesar de que se le quitó a (1) una manera no equivalente remodelación. Tse significa que la equivalencia (2) es la equivalencia de la elipse dada. Vono se llama canónico(Tobto la mayoría perdona).

Me di cuenta de que la igualdad de la elipse es igual a un orden diferente, tobto. elips-línea de segundo orden.

Para elips, introducimos la comprensión excentricidad. Tse valor. Para elips excentricidad. así que yak hі pero vіdomі, tezh vidomy. Viraz los radios focales del punto M(x, y) de la elipse se toman fácilmente del espejo frontal: . r 2 conocido de la igualdad (3)

Respeto Del mismo modo, introduzca dos flores (F1 y F2) en el estilo, áteles una cuerda con ambos extremos, una dozhina que sea más grande para crecer entre las flores ( 2a), tire del cordón y lleve la cuna a lo largo de la mesa con un saco, luego tuerza los elipses curvos cerrados, ya que es simétrico a ambos ejes y la mazorca de coordenadas.

4. Seguimiento de la forma de la elipse desde el nivel canónico del yogo.

Ante las respetadas imprecisiones de mi rkuvan, se hizo un visnovo sobre la forma de la elipse. Ahora realizaremos una investigación de la forma de la elipse, analizando la alineación canónica de yogo:

Conocemos los puntos de cruce con los ejes de coordenadas. Si, y=0, entonces , , entonces. hay dos puntos A1(-a,0) y A2(a,0). Si x = 0, entonces . Tobto. puede haber dos puntos B1(0,-b) y B2(0,b) (porque, entonces). Puntos A1, A2, B1, B2 nombre la parte superior de la elipse.

2) El área de enjuague de elipse se puede definir a partir del siguiente mirkuvan:

a) de igual elіpsa sld, scho, tobto. , luego. o .

b) igualmente, tobto. o . Tse muestra que todas las partes de roztashovanki tienen un corte recto, tachonado con una i recta.

3) Más adelante, en la alineación de la elipse de cambio x e y, ingrese solo en los pasos gemelos, pero significa que la curva es simétrica a lo largo de los ejes de la piel y a lo largo de la mazorca de coordenadas. D-pero, si el radio tiene un punto (x, y), entonces los puntos i (x, -y), (-x, y) y (-x, -y) deberían estar. Le basta con mirar esa parte de los elipses, como acostado en el primer cuarto, de i.

4) La primera línea de la elipse es maєmo, pero el primer cuarto. Si x = 0, entonces y = b. El punto es B2(0,b). Haga que x aumente de 0 a a y luego y cambie de b a 0. Tim el punto M(x, y), comenzando desde el punto B2(0, b), describiendo el arco para llegar al punto A(a, 0) . Puede traer con seguridad que el arco de la protuberancia está directamente arriba de la montaña. Reflejando el arco en los ejes de coordenadas i en la mazorca, tomamos los elipses completos. Los ejes de simetría de la elipse se llaman ejes yogo, el punto Properitin es el centro ix de la elipse. Dovzhina vіdrіzkіv OA1=ОА2=а se llama el gran pіvvіssya elіps, vіdrіzkіv OV1, OB2=b-small pіvvіssyu elіps, (a>b), c-nap_vіvіssya elіps. Simplemente explique el valor geométricamente.

Cuando a \u003d b, tomamos la alineación canónica de la elipse, la alineación de la estaca. Para la hoguera, tobto. F1 = F2 = 0. .

En este orden, el anillo de okremy vipadok desaparece, si los focos de yoga corren alrededor del centro y la excentricidad = 0. Cuanto mayor es la excentricidad, mayor es la tracción de los elipses.

Respeto. A partir de la alineación canónica de la elipse, es fácil crear visnovoks, de modo que la elipse se pueda configurar de forma paramétrica. x=a cos t

y=b sen t, de a, b - pіvosі grandes y pequeños, t-kut.

5. Designación de aquella visión de la ecualización canónica de la hipérbole.

Hipérbole se llama GMT del área, por alguna diferencia entre dos puntos fijos F1F2 del área, llamados focos, є es un valor constante (no igual a 0 y menor, menor distancia focal F1F2).

Digamos, como antes, F1F2=2с, y la diferencia es 2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Sea M (x, y) - punto de flujo de la hipérbole. Con cita previa MF1-MF2= o r1-r2== o --(1). -tse i є ecualización de la hipérbole.

Permitiendo la irracionalidad en (1): tomemos una raíz, elevemos el cuadrado, eliminémoslo: de lo contrario, volvamos a elevarlo al cuadrado:

Zvіdki.

Dividámoslo en . Introduzcamos una notación. Todí --(2). Rivnyannya (2), como se puede demostrar, es más igual que igual (1), y eso equivale a una hipérbole. Yogo nombre equivalentes canónicos de la hipérbole Bachimo, que es igual a hipérbole de otro nivel, también, hipérbole-línea de un orden diferente.

La excentricidad de la hipérbole. Viraz radios focales a través de fácilmente otrimati desde el frente, entonces sabemos z.

6. Forma de seguimiento de la hipérbole para її iguales canónicos.

Rozmіrkovuєmo de manera similar antes, como con la última elіpsa.

1. Conocemos los puntos de intersección con los ejes de la hipérbole. Si x = 0, entonces . Krapok peretina z vsyu OU no lo es. Si y = 0, entonces . Puntos de rebase, . Los apestosos se llaman vértices de hipérbolas.

2. Área de expansión de la hipérbole: tobto. o . Significa que la hipérbola se ve despeinada por la pose morena, rodeada de líneas rectas. x=-aі x = un.

3. La hipérbole se puede ver en toda simetría, porque x i y entran en los pasos gemelos. Le basta mirar esa parte de la hipérbole, como si estuviera escondida en el primer cuarto.

4. Ecuación de hipérbole (2) en el primer trimestre del mes. Cuando x \u003d a, y \u003d 0, hay un punto; en , entonces. curva ir cuesta arriba a la derecha. Para que quede más claro, podemos fijarnos en dos rectas adicionales, es decir, pasar por la mazorca de coordenadas i є diagonales del rectángulo de lados 2a y 2b: BCB'C'. El hedor puede ser igual. Se puede demostrar que el punto actual de la hipérbole M(x, y), al entrar en inconsistencia, no tiene obstrucciones acercándose a la línea recta. Toma un buen punto X y porіvnyaєmo vіdpovіdnі ordenadas del punto de hipérbole y - línea recta. obviamente que Y>y. MN=Y-y=.

Bachimo, scho, tobto. la curva está cerca de la línea recta en el mundo en la distancia desde la mazorca de coordenadas. Tse a traer, scho es una asíntota directa de la hipérbole. Además, la hipérbola no cambia las asíntotas. Lo que es suficiente, para despertar una parte de la hipérbole. Vaughn es bestial en una loma. Otras partes se obtienen por simetría. Es importante que los ejes de simetría de la hipérbole (ejes de coordenadas) se llamen її hachas, la punta de las hachas- centrar hipérbole. Una hipérbola peretinaє (dіysna vіs), insha-ni (vyavna). Vіdrіzok pero llámalo diysnoy pivvissya, vіdrіzok B-obvio pivvissyu. El rectángulo BCB'C' se llama el rectángulo principal de la hipérbole.

Yakscho a=b, entonces las asíntotas satisfacen los ejes de coordenadas de kuti . Misma hipérbole o llamada igual o igual. El rectángulo principal se convierte en un cuadrado. Las asíntotas її son perpendiculares a una sola.

Respeto.

A veces miran la hipérbole, que canónicamente es igual a - (3). Її nombre atado por referencia a la hipérbole (2). La hipérbola (3) puede ser verticalmente vertical, obvio-horizontal. Її la vista se restaura inmediatamente, como si se reorganizara Xі en, peroі B(Se transforma en un coloso). Ale tody hipérbole (3) puede parecer:

Picos її.

5. Como ya se dijo, la hipérbole equilátera igual ( a = b) si los ejes de coordenadas zbіgayutsya s ejes de hipérbole, pueden verse. (4)

Porque las asintóticas de la hipérbole equilátera son perpendiculares, y también pueden tomarse como los ejes de coordenadas OX 1 y OU 1 . Vale la pena darle la vuelta al colosal sistema de OXY al corte. Las fórmulas para encender el corte son:

Todi en nuevo sistema coordenadas OX 1 Y 1 igual (4) reescribe:

Abo abo. Significativamente, otrimaemo o (5) precio hipérbole equilátero, reducido a asíntotas (el mismo tipo de hipérbole se veía en la escuela).

Respeto S = k 2 .

7. Designación y definición del alineamiento canónico de la parábola.

parábola llamado GMT de la zona, para la piel enfocar. directora(Postura de enfoque de la directora).

Significativamente, la diferencia entre F y la directriz a través de p se llama el parámetro de la parábola. Elegimos el siguiente sistema de coordenadas: todo OX se dibuja a través del punto F perpendicular a la directriz NP. La mazorca de coordenadas está vibratoriamente en medio de la cuña FP.

Para mi sistema: .

Tomemos un punto adicional M(x, y) de las coordenadas actuales (x, y). Tomás

Zvіdsi (1) tse i є rivnyannya parábola. Solo digamos:

Abo (2) -ce i є alineación canónica de la parábola¿Puedes demostrar que (1) y (2) son iguales?

La equidad (2) es igual al 2º orden, tobto. parábola-recta de segundo orden.

8. Doslіdzhennya formas de parábola para iguales canónicos.

(p>0).

1) x=0, y=0 la parábola pasa por la mazorca de coordenadas el punto O. Її se llama el vértice de la parábola.

2), entonces. la parábola se gira a la derecha del eje OS, en el lado derecho del plano.

3) en para entrar en un mundo pareado, la parábola es simétrica a como el eje OH, entonces, para hacerlo en el primer cuarto.

4) a las 1 cuarto a las , entonces. la parábola va a la derecha. ¿Puedes mostrarme que voy cuesta arriba? Según la simetría, estaré abajo. Todo OU es dotichna hasta el punto de la parábola.

Obviamente, el radio focal es . El ajuste se llama excentricidad: . Toda simetría de la parábola (tenemos OH) se llama parábola entera.

Respetuosamente, la alineación también es una parábola, pero se endereza en el biciclo opuesto. Rivnyannya también estableció parábolas, todo yakikh є todo OU.

o en una mayor mirada zvichnomu, de.

Rivnyannia significa una gran parábola con un pico desplazado.

Respeto. 1) Mіzh usima chotirma con líneas del segundo orden está cerca de disputarse; cortes finales. Si toma un cono de dos vacíos, cuando lo corta con un plano perpendicular al eje del cono, toma una estaca, como un trío de heridas, corta el área a través del corte; si el plano es paralelo al favorecedor, entonces en el perímetro hay una parábola, si el plano está remodelando la ofensa

vacío-hipérbole.

2) Se puede poner de manifiesto que si la luz sale del foco de la parábola, aparece en ella, entonces la luz va paralela al eje de la parábola-tse para ganar cuando los proyectores son parabólico-parabólicos, y a la luz foco-dzherelo. Para salir enderezando potіk svіtla.

3) Cómo detectar el lanzamiento del satélite de la Tierra desde el punto T, que es estar en la atmósfera en una línea horizontal, como si la mazorca fuera barrida v 0 falta, entonces el compañero no se envolverá alrededor de la Tierra. Al alcanzar el primer vuelo espacial, el satélite envolverá la Tierra en una órbita circular con el centro en el centro de la Tierra. Si desea aumentar el ancho de la mazorca, la envoltura será una elipse, el centro de la Tierra estará en uno de los focos. Al llegar al 2º vuelo espacial, la trayectoria se volverá parabólica y el satélite no girará hacia el punto T, sino que cambiaremos en los límites sistema Sonyachna. Tobto. Parábola є elips con un foco infinitamente distante. Con un aumento adicional en la amplitud de la mazorca, la trayectoria se volverá hiperbólica y aparecerá otro foco desde el otro lado. El centro de la Tierra está en el foco de la órbita durante toda la hora. Compañero para el sistema mezhі Sonyachnі.

Clases de Álgebra y Geometría. Semestre 1

Lección 15. Elips.

Rozdil 15. Elips.

Objeto 1. La cita principal.

Cita. Elipse es el GMT del área de la suma de hasta dos puntos fijos del área, llamados focos, y es un valor constante.

Cita. La distancia desde un pequeño punto del plano M al foco de la elipse se llama radio focal del punto M.

Designacion:
- trucos de la elipse,
- Radios focales del punto M.

Para el propósito de la elipse, el punto M es el punto de la elipse y luego, si
- Valor constante. Se acepta que Qiu postiynu significa 2a:

. (1)

Respetamos eso
.

A los efectos de la elipse, su foco es la fijación del punto, por lo que existe un valor constante para esta elipse.

Cita. La posición entre los focos de una elipse se llama distancia focal.

Designacion:
.

3 trikutniks
gritando que
, luego.

.

Significativamente a través de b es el número que es caro
, luego.

. (2)

Cita. Ajuste

(3)

llama la excentricidad de la elipse.

Introducimos un sistema de coordenadas en este plano, que se llama canónico para la elipse.

Cita. El conjunto, sobre el que se encuentra el foco de la elipse, se denomina punto focal.

Seamos canónicos para el PDSC Ellipse, div. Figura 2.

Como eje de abscisas, elegimos el eje focal, y toda la ordenada se dibuja a través del medio de la vdrіzka
perpendicular al eje focal.

Solo concéntrate en las coordenadas.
,
.

artículo 2. Igualdad canónica de la elipse.

Teorema. El sistema de coordenadas canónico para la elipse tiene la alineación de la elipse puede verse así:

. (4)

trayendo La prueba se realizará en dos etapas. En la primera etapa, sabemos que las coordenadas de cualquier punto que se encuentra en la elipse se cumplen con la alineación (4). En otro momento, podremos saber si la solución (4) da las coordenadas del punto que se encuentra en la elipse. Zvіdsi vyplivatime, scho equal (4) satisface los puntos ti y ti del plano de coordenadas, como acostarse en la elipsis. Zvіdsi i vyznachennya іvnyannja krivoї sіduvat, shko іvnyannja (4) є іvnyannâ elіpsa.

1) Sea el punto M (x, y) el punto de la elipse, tobto. la suma de її radios focales es 2а:

.

Aceleramos la fórmula entre dos puntos del plano de coordenadas y conocemos la fórmula del radio focal de un punto M dado:

,
, se toman estrellas:

Transferimos una raíz a la parte derecha de la ecuanimidad y asterisco al cuadrado:

Rápido, otrimuemo:

Sugerimos de manera similar, en breve el 4 y usamіtnyuemo radical:

.

Zvodimo en la plaza

Abriendo los arcos y rápidamente en
:

las estrellas son bienvenidas:

Vicorist rіvnіst (2), otrimuemo:

.

Habiendo dividido el resto de los celos en
, Ecuanimidad requerida (4), etc.

2) Sea ahora un par de números (x, y) que satisfagan la alineación (4) y sea M(x, y) – un punto apropiado en el plano de coordenadas Oxy.

Los temas (4) son claros:

.

Sustituyendo la ecuanimidad por los radios focales del punto M:

.

Aquí fuimos avivados por los celos (2) y (3).

de tal manera,
. Similar,
.

Ahora es respetuoso que por celos (4) grites

o
y porqué
, entonces hay una inquietud flagrante:

.

Zvіdsi, a tu lado, gritando, erudito

o
і

,
. (5)

Tres igualdades (5)
, luego. el punto M(x, y) es el punto de la elipse, etc.

El teorema se ha completado.

Cita. La alineación (4) se llama alineación canónica de la elipse.

Cita. Los ejes de coordenadas canónicos para elips se denominan ejes de cabeza de elips.

Cita. La mazorca del sistema de coordenadas canónico para la elipse se llama el centro de la elipse.

artículo 3. El dominio de la elipse.

Teorema. (El poder de la elipse.)

1. El sistema de coordenadas canónico para la elipse, todo

los puntos de la elipse se encuentran cerca del rectángulo

,
.

2. Krapki se acuesta

3. Elips є curva, shdo simétrico

propios ejes de cabeza

4. El centro de la elipse es el centro de simetría.

trayendo 1, 2) Ves la alineación canónica de la elipse.

3, 4) Sea M (x, y) - suficiente punto de la elipse. Entonces las coordenadas se satisfacen con la alineación (4). Pero entonces los puntos de coordenadas también se satisfacen con la alineación (4), i, también, con los puntos de la elipse, las estrellas y la prueba del teorema.

El teorema se ha completado.

Cita. El valor 2a se llama el gran peso de la elipse, el valor se llama el gran peso de la elipse.

Cita. El valor 2b se llama el peso pequeño de la elipse, el valor b se llama el peso pequeño de la elipse.

Cita. Las motas de la red de la elipse con sus ejes de cabeza se denominan cimas de la elipse.

Respeto. Elips se puede animar de esta manera. En el piso cerca del foco "martillamos las flores" y les sujetamos el hilo de la zavdovka
. Cojamos una aceituna y tiremos del hilo con ayuda. Luego pasamos el palpador de oliva por la parte plana, cosiendo por detrás, de manera que el hilo quede tenso.

Desde el punto de vista de la excentricidad vemos que

Fijamos el número a y dirigimos el número desde cero. Todi en
,
і
. Entre nosotros es aceptable

o
- Apuesta igual.

Directamente ahora
. Todi
,
y mi bachimo, que entre los eleps virodzhuєtsya en las líneas rectas vіdrіzok
tener un bebe 3.

artículo 4. Alineación paramétrica de elipse.

Teorema. Vamos
- Números anteriores. Mismo sistema de ecualización

,
(6)

є ecualizaciones paramétricas de la elipse canónica para el sistema de coordenadas de la elipse.

trayendo Dosit para traer que el sistema es igual (6) є igual igual (4), tobto. hedor mayut esas misma solución impersonal.

1) Vamos (x, y) - suficiente solución del sistema (6). Dividamos el primer igual en a, el otro - en b, dividiremos el cuadrado igual y agregaremos:

.

Tobto. si la solución (x, y) del sistema (6) se satisface con la ecuación (4).

2) Atrás, deje un par (x, y) є decisiones iguales (4), tobto.

.

Z tsієї rіvnostі viplivaє, scho point z coordenadas
se encuentran en la longitud de un solo radio con el centro en la mazorca de coordenadas, es decir. є el punto de una estaca trigonométrica
:

Desde el punto de vista del seno y el coseno, es inmediatamente obvio que

,
, de
, estrellas siguientes, qué par (x, y) son las soluciones del sistema (6), etc.

El teorema se ha completado.

Respeto. Se pueden tomar elipses como resultado de un "apriete" igual de una estaca de radio a sobre el eje de abscisas.

Vamos
- Alineación de la estaca con el centro en la mazorca de coordenadas. El "stisk" de la estaca al eje de abscisas no es otra cosa, como una transformación del plano de coordenadas que sigue la regla venidera. El punto de piel M(x, y) se establece en el punto del plano
, de
,
- Coeficiente de "apretón".

Con cualquier transformación, el punto de la piel de la estaca "transiciona" a otro punto del plano, lo que forma la misma abscisa, pero disminuye la ordenada. Virasimo la antigua ordenada del punto por la nueva:

y pueden ser representados en participación igual:

.

Tenga en cuenta:

. (7)

Puede ver que antes de la transformación de "apretar" el punto M (x, y) yacía en la estaca, tobto. її las coordenadas se cumplieron con el nivel de la estaca, luego, después de la transformación del "apretón", el punto "pasó" al punto
las coordenadas que satisfacen la alineación de la elipse (7). Si queremos tomar la ecualización de la elipse del pequeño pіvvіssyu b, es necesario tomar el coeficiente de compresión.

.

artículo 5. Stosovno elіpsa.

Teorema. Vamos
- Bonito punto de la elipse.

.

Todi igual a tsієї elіpsu en pts
puede parecer:

. (8)

trayendo Basta mirar la pendiente, si el punto de torsión se encuentra en el primer o en el otro cuarto del plano de coordenadas:
. La alineación de la elipse en la parte superior del último piso puede verse como:

. (9)

Rápidamente igualaremos el horario de la función.
en el punto
:

Delaware
- el valor de una función similar en un punto
. Elips en el primer trimestre se puede ver como un gráfico de función (8). Sabemos її pokhіdnu її que її znachenya en el punto dotik:

,

. Aquí nos acurrucamos juntos, ¿cuál es el punto de torturar
є el punto de la elipse y її las coordenadas satisfacen la alineación de la elipse (9), es decir.

.

Presentamos el valor conocido del punto igual similar (10):

,

las estrellas son bienvenidas:

Los sonidos están gritando:

Dividamos estos celos en
:

.

Respeto perdido, scho
, porque abigarrado
acuéstese en un elіpsu y las coordenadas її están satisfechas con el yoga igual.

De manera similar, se trae la alineación del punto (8) en el punto dotik, que se encuentra en el tercer o cuarto cuarto del plano de coordenadas.

І, nareshti, fácilmente perekonuєmosya, la ecualización escolar (8) proporciona ecualización de puntos en los puntos
,
:

o
, і
o
.

El teorema se ha completado.

artículo 6. El poder del espejo de la elipse.

Teorema. Dotychna a elіpsa maє cuti igual con radios focales del punto de torsión.

Vamos
- punto de torsión,
,
- radios focales del punto dotik, P y Q - proyecciones de focos en el punto, dibujadas en la elipse en el punto
.

El teorema prueba que

. (11)

Esta ecuanimidad puede interpretarse como la ecuanimidad de la caída y la fermentación de la luz en forma de elipse, liberada del foco yogo. El poder de Tsya ganó el nombre del poder del espejo de la elipse:

Promin la luz, suelta del foco de la elipse, después de ver el espejo de la elipse pasar por el otro foco de la elipse.

Demostración del teorema. Para probar la equivalencia de kutiv (11), traemos la similitud de trikutnikov
і
, en que direccion
і
será similar. Oskіlki trikutnika de corte recto, es suficiente para traer equivalencia

. (12)

Para una llamada de atención
- Mirar fuera de foco al punto L (div. fig. 7),
. Acelerar la fórmula de un punto a una línea recta en un plano:

Entonces, ¿qué tan igual es el punto a la elipse al punto
puede parecer

,

,

.

Aquí estábamos usando fórmulas (5) para los radios focales del punto elipse.

El teorema se ha completado.

Otra demostración del teorema:

,
,
- El vector normal de dótico L.

. Zvіdsi,
.

Del mismo modo, sabemos
і
, Ch.t.d.

artículo 7. Directorios de Ellipse.

Cita. Las directrices de elips se denominan dos líneas rectas, que pueden ser iguales en el sistema de coordenadas canónicas para elips.

o
. (13)

Teorema. Vamos M - suficiente punto de la elipse, , - її radios focales, - Camine desde el punto M hacia la directriz izquierda, - A la derecha. Todi

, (14)

Delaware - Excentricidad de elipse.

trayendo

Seamos M(x, y) - coordenadas del punto parcial de la elipse. Todi

,
,

estrellas y claman por la ecuanimidad (14).

El teorema se ha completado.

artículo 8. Parámetro focal de la elipse.

Cita. El parámetro focal de la elipse es la longitud de la perpendicular, que se extiende desde los focos hasta la línea con la elipse.

El parámetro focal se toma para ser denotado por una letra.

Es importante saber cuál es el parámetro focal

.

Teorema. El parámetro focal de la elipse es más

. (15)

trayendo Entonces el punto N (-c; p) es el punto de las elipses
, entonces las coordenadas її están satisfechas con su alineación:

.

Zvіdsi sabe

,

estrellas siguiente (15).

El teorema se ha completado.

artículo 9. Otra designación de la elipse.

Teorema del ítem 7. puedes usar elipsa.

Cita. Elipse es la GMT para cualquier distancia a un punto fijo del plano, llamado foco, a una distancia a una recta fija, llamada directriz, un valor constante menor que uno, llamado excentricidad:

.

Evidentemente, en ocasiones, antes de que la cita de eooips sea un teorema, es necesario plantearlo.

Entrada

Anteriormente, las curvas de un orden diferente fueron torcidas por una de las enseñanzas de Platón. El robot Yogo empujó en la ofensiva: si toma dos líneas rectas, que están entrelazadas, y las envuelve alrededor de la bisectriz del kut, establecida por ellas, entonces weide es una superficie cónica. Si voltea la superficie con una superficie plana, habrá diferencias en el perímetro. formas geométricas, Y los mismos elipses, colo, parábola, hipérbole y espadín de figuras virógenas.

Sin embargo, el conocimiento científico sabía menos en el siglo XVII, si se supo que los planetas se colapsaban en trayectorias elípticas, y el proyectil armónico volaba parabólico. Se ha vuelto aún peor que para darle al cuerpo la primera fuerza cósmica, colapsará en la estaca cerca de la Tierra, con un aumento en la fuerza de la fuerza, por elipse, y después de alcanzar la otra fuerza cósmica del cuerpo por parábola. , privar al campo de gravedad.

Elips ta yogo rivnyannia

Cita 1. Un punto impersonal en un plano se llama elipse;

Los focos de la elipse se indican con letras y entre los focos - a través, y la suma de los focos entre los focos de la elipse a los focos - a través. Además, 2a > 2c.

La ecualización canónica de la elipse puede verse:

de pov'yazanі mіzh i vіvnіstyu a 2 + b 2 \u003d c 2 (o b 2 - a 2 \u003d c 2).

La magnitud se llama el gran peso, y el pequeño peso de la elipse.

Designación 2. Excentricidad la elipse se llama la transicion entre los focos hasta el antiguo gran eje.

Se representa con una letra.

Fragmentos para las citas 2a>2c, la excentricidad siempre se expresa como una fracción propia, es decir. .

Cita 7.1. Muchos de todos los puntos en el plano, para cualquier suma de hasta dos puntos fijos F 1 y F 2 є se da un valor constante, llamado elipse.

La designación de la elipse le da tal forma de inspiración geométrica al yoga. Está fijo en el plano de dos puntos F 1 y F 2 y el valor constante imperceptible es significativo a través de 2a. Vamos a movernos entre los puntos F1 y F2 hasta el 2c. Es obvio que el hilo sin estirar con un doble 2a se fija en los puntos F 1 y F 2, por ejemplo, detrás de la ayuda de dos cabezas. Me di cuenta de que solo es posible para a ≥ c. Habiendo tirado del hilo con una aceituna, cruzamos la línea, como si fuera una elipse (Fig. 7.1).

Otzhe, el multiplicador no está vacío, yakscho a ≥ s. Cuando un \u003d elips є vіdrіzok z kіntsami F 1 y F 2, y cuando c \u003d 0, entonces. donde los puntos fijos están fijos en la elipse designada, vin está cerca del radio a. Teniendo en cuenta que hay virogenes en el otoño, tendremos que hacer una conjetura, suene que > z > 0.

Los puntos de fijación F 1 y F 2 en las elipses designadas 7.1 (div. Fig. 7.1) se denominan trucos de elipse, entre ellos, marcados a través de 2c, - punto focal y las flechas F 1 M y F 2 M, que cierran suficientemente el punto M en la elipse con sus focos, - radios focales.

Es más probable que ver la elipsa sea el punto focal | F 1 F 2 | \u003d 2 con el parámetro a, como una posición en el plano: un par de puntos F 1 en F 2 .

La designación de la elipse es clara, de modo que la vena es simétrica, qué tan recta, cómo pasar a través de los focos F 1 y F 2, y cómo enderezar, cómo dividir el eje F 1 F 2 navpil en perpendicular a yoma (Fig. 7.2 a). Qi nombre directo ejes de elipse. Punto O їх la barra transversal є el centro de simetría de las elips, y її llamar el centro de la elipse, Y los puntos de la línea de la elipse con los ejes de simetría (puntos A, B, C y D en la Fig. 7.2, a) - tapas de elipse.

Nombra un número gran pіvvіssyu elіps, y b = √(a 2 - c 2) - yoga pequeño pіvvіssyu. No es importante notar que para c > 0, la distancia al centro de la elipse es grande para los vértices tranquilos, ya que están en el mismo eje que los focos de la elipse (vértices A y B en la Fig. 7.2 a ), y la distancia al centro es pequeña para otros dos vértices (vértices C y D en la Fig. 7.2, a).

Rivnyannia elips. Miremos la elipse plana con focos en los puntos F 1 y F 2 del gran cielo 2a. Vamos 2c - distancia focal, 2c = | F1F2 |

Elegimos un sistema de coordenadas rectangulares Oxy en el plano para que la mazorca se esparza en el centro de los elips y los focos estén encendidos. eje de abscisas(Fig. 7.2, b). Este sistema de coordenadas se llama canónico para la elipse analizada, y los otros cambios - canónico.

Para el sistema de coordenadas seleccionado, el foco puede ser las coordenadas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Vikoristovuyuchi fórmula vіdstanі mіzh puntos, anote la mente | F1M | + | F2M | = 2a en coordenadas:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Tsіvnyannya no es útil, hay dos radicales cuadrados en el nuevo. Por lo tanto, hagamos yoga. Pasando a igual (7.2) otro radical y a la parte derecha y estrella y cuadrado:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Después de abrir el arco y traer dodankіv otrimuєemo similar

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c/a. Repetimos la operación de elevar al cuadrado para tomar i otro radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 o, cambiando el valor del parámetro introducido ε, (a 2 - c 2) x 2 / un 2 + y 2 = un 2 - do 2 . Skіlki a 2 - c 2 \u003d b 2\u003e 0, luego

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

La alineación (7.4) satisface las coordenadas de todos los puntos que se encuentran en la elipse. Ale, al derivar la igualación victoriosa, hubo permutaciones no equivalentes de la igualación externa (7.2): dos enlaces cuadrados, que toman radicales cuadrados. Las unidades son iguales al cuadrado є equivalente a las transformaciones, por lo que en ambas partes del mismo los valores están en el mismo signo, no cambiaron la alquimia en sus transformaciones.

No podemos pensar demasiado en la equivalencia de la transformación, como si estuviera mal. Par de puntos F 1 y F 2 | F 1 F 2 | \u003d 2c, los planos definen una familia de elipses con focos en estos puntos. El punto de la piel del avión, el punto de engaste de la vіrіzka F 1 F 2 se acuesta como el elipsu de la familia designada. En un momento dado, dos elipses no se superponen, la suma de los radios focales indica inequívocamente una elipse específica. Posteriormente se describe una familia de elipses sin puente que cubre toda el área, punto carmesí F1F2. Veamos los puntos impersonales, cuyas coordenadas satisfacen la alineación (7.4) con los valores del parámetro a. ¿Qué puede hacer mucho rozpodіlyatisya entre kіlkom elipsami? Parte de los puntos del multiplicador se encuentran en el elipsu con el gran pіvvіssya a. Que haya un punto en esta multiplicidad, que se encuentra en la elipse de la gran pivvissya. Entonces las coordenadas de los puntos se subordenan igual

tobto. la equivalencia (7.4) y (7.5) puede tener decisiones importantes. Sin embargo, es fácil confundirse con que el sistema

para ã ≠ a no hay solución. Para quien es suficiente incluir, por ejemplo, x del primer igual:

scho después de la reelaboración para traer a colación la igualdad

no puede tomar una decisión cuando ã ≠ a, fragmentos. Además, (7.4) є ecualización de la elipse con el gran pіvvіssyu a > 0 і pequeño pіvvіssyu b = √ (a 2 - c 2) > 0. a los iguales canónicos de los elipses.

Revisión de elipse. Una forma geométrica más avanzada para alentar a la elipsa brinda suficiente información sobre Anticuado elipsa. Ale, el tipo de elips puede ser reivindicado y con la ayuda de la equivalencia canónica de yogo (7.4). Por ejemplo, puede, considerando y ≥ 0, mirar a través de x: y \u003d b√ (1 - x 2 / a 2), yo, siguiendo esta función, inducir її gráfico. Hay una forma más de inducir una elipsa. Una columna de radio a con el centro en la mazorca del sistema de coordenadas canónicas de la elipse (7.4) se describe por las igualdades x 2 + y 2 = a 2 . Cómo apretar con un coeficiente a / b > 1 vzdovzh ejes de ordenadas, luego forme una curva, como se describe en equals x 2 + (ya/b) 2 = a 2 luego elips.

Respeto 7.1. Como se aprieta la misma cantidad con el coeficiente a/b

Excentricidad de elipse. La extensión de la distancia focal de la elipse al gran eje se llama excentricidad de elipse y se denota por ε. Para la elipse dada

igualdades canónicas (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Cómo (7.4) los parámetros a y b están relacionados con la inconsistencia de a

Con c = 0, si elips se transforma en un círculo, i ε = 0. En otros casos 0

La ecuación (7.3) es equivalente a igual (7.4), los fragmentos son equivalentes a igual (7.4) y (7.2) . Elipsa es igual a eso (7.3). Además, spіvvіdnoshennia (7.3) cіkave tim, scho da una fórmula simple, no vengar a los radicales, para dozhini | F2M | uno de los radios focales del punto M(x; y) de la elipse: | F2M | = a + εx.

Una fórmula similar para otro radio focal es que se puede quitar de la simetría de las repeticiones de las incrustaciones, en las que el primer radical se traslada al lado derecho, y no al otro. Además, para cualquier punto M(x; y) en elipsі (div. Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - ?x, | F2M | = a + εx, (7.6)

y piel de tsikh rivnyan є elipse igual.

Ejemplo 7.1. Conocemos la alineación canónica de la elipse con el gran pіvvіssyu 5 y la excentricidad de 0.8 y será yogo.

Conociendo los puntos grandes a = 5 y la excentricidad ε = 0.8, conocemos los puntos pequeños b. Oskilki b \u003d √ (a 2 - z 2), y c \u003d εa \u003d 4, luego b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Significa canónicamente igual parece x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Para crear una elipse, dibuje manualmente un rectángulo con el centro en la mazorca del sistema de coordenadas canónicas, cuyos lados son paralelos a los ejes de simetría de la elipse y se alinean con sus ejes correspondientes (Figura 7.4). Tsei rectocart está jugando con

elimine ejes en sus vértices A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), además, el elips en sí mismo tiene entradas en nuevo. En la fig. 7.4 también indicó focos F 1.2 (±4; 0) elipses.

Potencia geométrica de la elipse. Reescribamos igual anterior (7.6) en vista de |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Significativamente, que el valor de a / ε - x para a > h es positivo, pero el foco F 1 no se encuentra en una elipse. Tsya valor є a la línea recta vertical d: x \u003d a / ε en el punto M (x; y), que debe estar a la izquierda en la dirección de la línea recta. Rivnyannya elіpsa se puede escribir a la vista

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Significa que esta elipse se pliega desde puntos tranquilos M (x; y) del plano, para lo cual la extensión del radio focal F 1 M a una línea recta d es un valor constante, que es más ε (Fig. 7.5) .

La línea recta d є "dvіynik" - la línea vertical d", es simétrica a d como el centro de las elips, de modo que x = -a / ε se da igual. Delitos rectos d y d nombre directores de elipse. Los directores de la elipse son perpendiculares al eje de simetría de la elipse, en una especie de agudización de los focos, y se paran en el centro de la elipse a una distancia a/ε = a 2 /c (div. Fig. 7.5).

Vіdstan p vіd directriz a la más cercana a su enfoque se llama parámetro focal de elips. Este parámetro es más caro.

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elips es otro importante poder geométrico: los radios focales F 1 M y F 2 M se suman de punto a elips en el punto M igual a cuti (Fig. 7.6).

Tsya vlastіvіst maє naochny fіzichny zmіst. Si el foco F 1 tiene un destello de luz, entonces es hora de salir del foco, después de golpear la elipse a lo largo de un radio focal diferente, así que después de golpear el vino, cambiaremos el mismo corte a la curva, luego al golpe. De esta forma, todos los cambios que salen del foco F 1 se concentran en otro foco F 2 y de la misma forma. A partir de esta interpretación, las autoridades están asignadas para nombrar potencia óptica de la elipse.

Curvas en un orden diferente se llaman líneas en el plano, que están marcadas por iguales, en algunas coordenadas cambiantes Xі y dar un paso a otro paso. Ante ellos se ven elipses, hipérbolas y parábolas.

Zagalny vista de la curva de un orden diferente:

Delaware A B C D E F- números y querer ser uno de los coeficientes A B C no es igual a cero.

Cuando se invierte el orden de las curvas de un orden diferente, la alineación canónica de la elipse, la hipérbole y la parábola se ven con mayor frecuencia. Es fácil ir a ellos en los niveles superiores, a los que se les asignará el tope de 1 tareas con puntos suspensivos.

Elips, asignaciones a iguales canónicos

Elipse designada. Una elipse es un punto corto sin nombre del plano, tal, para cierta distancia a puntos llamados focos, es un valor constante y mayor, menor, entre focos.

Los focos están marcados como un poco más abajo.

La ecualización canónica de la elipse puede verse:

Delaware aі B (a > B) - Dovzhini pіvosey, es decir, mitades de dovzhin vіdrіzkіv, que se muestran como elips en los ejes de coordenadas.

La recta que pasa por los focos de la elipse es de la misma simetría. La segunda mitad de la simetría de la elipse es recta, la cual pasa por el medio de la nervadura perpendicular a esa nervadura. krapka Pro Las líneas Peretin tsikh sirven como centro de simetría de la elipse o simplemente como centro de la elipse.

Todas las abscisas elipses se entrelazan en los puntos ( a, Pro) ta (- a, Pro), y todas las ordenadas - en los puntos ( B, Pro) ta (- B, Pro). El número de puntos se llama vértices de la elipse. La cresta entre las partes superiores de la elipse en el eje de abscisas se llama vértice mayor, y en el eje de ordenadas, vértice pequeño. Las crestas desde la parte superior hasta el centro de la elipse se llaman pivoses.

Yakscho a = B, entonces la igualdad de la elipse aumenta de un vistazo. Radio de participación de Tsіvnyannya a, A colo - okremy vipadok elіpsa. Los elips se pueden llevar desde la estaca hasta el radio. a, para exprimir її en a/B veces el eje uzdovzh Ay .

Ejemplo 1. Perevіriti, chi є line, dado a los ignorantes iguales , elipse.

Solución. Estamos llevando a cabo una reelaboración del infame rіvnyannya. Zastosovuєmoly transfiriendo el miembro libre a la parte derecha, el miembro por miembro aumentó igual a uno y el mismo número y velocidad de fracciones:

Vidpovid. Otrimane como resultado de la transformación de los iguales a los iguales canónicos de la elipse. Otzhe, línea tsya - elips.

trasero 2 Establecer la ecualización canónica de la elipse, como si fuera del mismo modo 5 y 4.

Solución. Nos maravillamos con la fórmula de la equivalencia canónica de la elipse e imaginamos: Gran pivvis - tse a= 5, mensha pіvvіs - tse B= 4 . Tomamos la ecualización canónica de la elipse:

Puntos ta , marcados en verde en el eje mayor, de

llamado trucos.

llamado excentricidad elipsa.

Ajuste B/a caracteriza el "aplanamiento" de la elipse. Lo que es menos que vіdnoshennia, más fuerte es el gran eje elips vityagnuty vzdovzh. Sin embargo, los pasos de la curvatura de la elipse a menudo se toman para girar a través de la excentricidad, cuya fórmula se sugiere más arriba. Para diferentes elipses, la excentricidad cambia de 0 a 1, quedando menos de uno.

ejemplo 3 Dobla la elipse canónicamente igual, para que puedas ver entre los focos más caros 8 y más todos los más bonitos 10.

Solución. Robimo torpe visnovki:

Si más de la mitad es más caro 10, entonces її la mitad, luego pіvvіs a = 5 ,

Si ves entre las bazas más caras 8, entonces el número C de las coordenadas del foco 4.

Sustituye y calcula:

El resultado es la ecualización canónica de la elipse:

trasero 4. Establecer la ecualización canónica de la elipse, como si fuera más cara 26 y excentricidad.

Solución. Qué tan fuerte y grande es el eje, e igual a la excentricidad, los grandes puntos de apoyo a= 13 . Z igual a la centricidad del número C, es necesario calcular la cantidad de dinero requerida:

.

Calcular el cuadrado de la cantidad menor dozhini:

Doblamos la ecualización canónica de la elipse:

Ejemplo 5. Designa el foco de la elipse dada por los iguales canónicos.

Solución. Siguiente para saber el número C, que indica las primeras coordenadas de los focos de la elipse:

.

Quitar el foco de la elipse:

Ejemplo 6. Enfoque elіpsa roztashovanі en el eje Buey simétricamente a la mazorca de coordenadas. Dobla la ecualización canónica de la elipse, así:

1) de pie entre los focos 30 y grandes los 34

2) pequeño es 24, y uno de los focos está en el punto (-5; 0)

3) excentricidad, y uno de los focos está en el punto (6; 0)

Seguimos completando la misión en los elips a la vez.

Si el punto de la elipse es suficiente (en el sillón está marcado en verde en la parte superior derecha de la elipse) y alcanza el centro del punto en el foco, entonces las fórmulas del paso son:

Para el punto de piel, que debe estar en la elipse, la suma del número de puntos focales es un valor constante, igual a 2 a.

Straight, que significa igual

llamado directores elіpsa (en el sillón - líneas rojas a lo largo de los bordes).

De los dos vishchenovednykh es igual a vyplyvay, scho para cualquier punto de la elipse

,

de і - elimine los puntos tsієї a la directriz і.

Ejemplo 7. Danius elips. Establecer las directoras de yoga.

Solución. Nos preguntamos a nivel de directores y vemos que hay que conocer la excentricidad de la elipse, tobto. Uso de datos para tsgogo є. Calculamos:

.

Tomamos en cuenta los directorios iguales de la elipse:

Ejemplo 8. Dobla la elipse canónicamente de manera uniforme, como si tuviera focos, puntos y directores, líneas rectas.