Koliki je metrički prostor r n. Primijenite metričke razmake

Šta je metrika? Zašto služiti? Šta je fizičko polje?

metrika u naše vrijeme je mítsno pov'yazan iz teorije gravitacije, zavdyaks na djela Hilberta i Einsteina zajedno s Grossmannom. Međutim, u matematici je osvojena bula uvedena još prije. Nemam milosti, među prvima, pa chi ínakshe íí̈ pobjednik očigledno, Buli Rimmann i Gauss. Malo po malo pokušavamo da shvatimo njenu ulogu u geometriji, a onda se čudimo da je metrika postala glavna struktura opšte relativnosti, neznalačka teorija vidljivosti.

Današnjeg dana ugasite vatru i dogovorite termin metrički prostori mlijeko zloglasnog izgleda:

Metričkim prostorom ("sigurnošću metrike") u matematici se naziva takav prostor, u kojem se za dvije ili dvije točke reda (tako da se jedna od njih naziva prva, a druga - druga) broj dodjeljuje takvoj broj da je jednak nuli, tada i samo tada, ako se bodovi trče, a neujednačenost "škakljivog" je prevaziđena - za bilo koja tri boda (x, y, z) broj za bilo koju opkladu (x, y ) je više ili manje za zbir ovih brojeva za dva druga para, (x, z) i (y, z). Takođe je važno da mi broj cijena nije vidljiv i da se ne mijenja (metrika je simetrična) pri promjeni redoslijeda bodova u paru.

Kako se naći, kako su ga samo oni odredili, pa se naziv širi i naziv širi i u drugim, sličnim prostorima. Pa evo. na primjer, strogo formalno, oni neće biti metrički zgídno z tsim vysche vyznachennyam, tako da imaju "metrički" broj, interval, mogu biti nula í za dvije različite točke, a također kvadrat može biti negativan realan broj. Međutim, praktično je od samog početka uključiti ih u porodicu metričkih prostora, jednostavno znímayuchi vídpovídnu vymog u vyznachenní, širenje vnímayuchi vzníchennya.

Osim toga, metrika se također može dodijeliti ne za sve tačke u prostoru, već samo za one beskonačno bliske (lokalno). Takav prostor se naziva Rimanov, a drugim riječima, tezh se naziva metrički. Više od toga samo Rimanovo prostranstvo i razvio metriku takvog gledišta i pridavao poštovanje kao matematičari i fizičari, i koji znaju da inspirišu bogate ljude, nemamo puno veze sa ovim naukama.

U završnoj torbi, ovdje ćemo raspravljati o metrici stopostotnog Romanovljevog prostranstva, tobto u lokalnom smislu. Í navit lokalno znakovi nisu vidljivi.

Formalna matematička definicija i proširenje - razumijevanje i pojašnjenje razumijevanja metrike. Pitamo se zašto je razumijevanje poraslo, kod nekih autoriteta stvarnog svijeta vezano za leđa.

Sva geometrija vinila je lako razumljiva, jer ju je formalizirao Euklid. Dakle, to je metrika. U geometriji Euklida (radi jednostavnosti i tačnosti, govorit ćemo o geometriji dva svijeta, a znači o geometriji ravni) - razumjeti udaljenost između dvije tačke. Još češće i sada se metrika naziva istim standardom. Dakle, za euklidsku ravan, ona je metrika, a metrika je standard. I sam sam tako osvojio bula je bila shvaćena do samog klipa. Želeći, kao što ću pokušati da pokažem, do sadašnjeg razumevanja metrike, to se može videti samo u tajanstvu, sa bogatim čuvarima i umovima, sensi.

Stajanje na euklidskoj ravni (na lučnom papiru) je super jednostavan i očigledan govor. Definitivno, uz pomoć linije, možete nacrtati pravu liniju između dvije tačke i učiniti je dugačkom. Otrimani broj će biti dat. Uzimajući treću tačku, možete slikati triko i ponovo razmisliti, tako da (za dvije tačke na ravni) možemo tačno pokazati na drugu. Vlasne, vyznachennya i boulo zmalyuvati jedan na jednu od moći Euklidske vídstaní na trgu. Í riječ "metrika" na poleđini povezana je sa vimiryuvannyam (za pomoć mjerača), "Normuvannya" aviona.

A za šta je bilo potrebno vimíryuvat vídstaní, da se izvrši metrizacija samog područja? Pa, zašto ljudi žive u stvarnom životu kože, pevački, neka njihov izgled. A u geometriji su o tome razmišljali na pravi način, ako su uveli koordinate kako bi opisali tačku kože aviona na jedinstven i jedinstven način. Koordinatni sistem na ravni će očigledno biti sklopiviji, samo se krećete između dve tačke. Ovdje je uho uha, osa koordinata i udaljenost (kako se može bez njih?) od uha do projekcijske tačke na osi. Za šta je potreban koordinatni sistem, jasno je - to je jaka mreža pravih okomitih jedna na drugu (kao kartezijanske koordinate), popuniću ravan i na taj način rešiti problem adresiranja da li postoji tačka na njemu.

Za izlazak, metrika - vídstaní i koordinate - vídstaní. Koja je razlika? Unesene koordinate. Koja je ispravna metrika? Ríznitsya ê, i duzhe suttêva. Izbor koordinatnog sistema može biti na osnovu slobode. U kartezijanskim sistemima, mimikrija je poput ose pravih linija. Ali možemo li se uvijati i savijati? Možemo. Í sve vrste namotaja tezh. Možemo vimíryuvati vídstan uzdovzh takve linije? Pa. Vimiryuvannya vídstaní, dozhini uzdovzh liníí̈ ne pov'yazane z tim, kao cijela linija. Na krivoj stazi nalazi se i dovžina i na njoj se mogu postaviti miljokazi. A osa metrike u euklidskom prostoru nije dovoljna. Cijena je ravna, koja spaja dvije tačke. Direktno. I šta je to? Koja je linija ravna, a koja kriva? V školski kurs ravno je aksiom. Mi ih bachimo i prihvaćamo ideju. Ale u transcendentalnoj geometriji prave linije (nazvaću je sam, jarlik, ne više!) Možete označiti kao posebnu liniju sredinu srednjih linija, koja može spojiti dvije tačke. I za sebe, kao najniži, koji sebi može priuštiti najmanje dovzhina. (I na neki način, za neka matematička prostranstva, navpaki, dozhelezní, koji mogu biti najvredniji.) Bilo bi bolje, uhvatili smo metriku u prilično širokom rasponu između dvije tačke. Nije bilo tamo. Išli smo pogrešnim putem. Dakle, sve je tačno, pravo – najkraće u euklidskom prostoru. Ale metrics nije samo najkraća dožina. Ni. Tse í̈í̈ vtorinne vlastívíst. U euklidskom prostoru metrika nije samo između dvije tačke. metrika je, u prvom redu, slika Pitagorine teoreme. Teoremija, koja vam omogućava da izračunate broj tačaka između dve tačke sa poznavanjem njihovih koordinata, dve druge tačke. Štaviše, izračunava se posebno, kao kvadratni korijen zbira kvadrata koordinatnih linija. Euklidska metrika nije linearni oblik koordinatnih linija, već kvadratni! Samo specifična snaga euklidske ravni najkraćim putevima, Što z'ednuyut bodova, tako jednostavno. Vídstaní zavzhdi ê íníynymíníy funktíyímíshchennya usput. Metrika je kvadratna funkcija tsikh zsuvív. I tu leži fundamentalna važnost metrike jer se intuitivno može shvatiti kao linearna funkcija kretanja iz tačke. Više od toga, za nas je to bila stvar direktne povezanosti sa samim migrantima.

Zašto je kvadratna funkcija suv tako važna? I koje pravo ja mogu imati pravo da me nazivaju potpuno razumljivom riječju? Da li je potrebno dati specifičnu snagu samo euklidskom prostranstvu (pa, određene porodice prostranstava bliskih euklidskom)?

Mali pomak u stranu i hajde da pričamo o moći samih na svetu. Pitajući za hranu, koje su linije, da bi bilo moguće postaviti koordinatnu mrežu na lučni papir? Čvrsto, tvrdo i nepromjenjivo, kažete. Zašto "linije"? Jedan je dovoljan! Verno, moguće je papir okrenuti u kvadrat i prenijeti ga pomoću držača. Jeste li spomenuli "yakscho"? Dakle, kod nas je moguće koristuirati sa takvim linearnim stostrukim ravnim. Linija sama po sebi, sam stan sam po sebi, ali stan nam omogućava da sami sebi "prijavimo" svoju liniju. Šta je sa stotinu i stotina sfernih površina? Jak ne nanosite - operite sve na površini. Tako da želim da se sagnem, da se krećem pred tvrdoćom i tvrdoćom. Ostavimo misli ravne. Šta još želimo u redu? Tvrdoća i tvrdoća su zaista na ivici da nam u slučaju smrti budu još važnije - garancija nepromjenjivosti odabrane linije. Želimo da pobedimo na istoj skali. Da li je potrebno? Jak sad?! Jecaj majka može potvrditi rezultate vimiryuvannya svuda u stanu. Kako nismo okrenuli liniju, kako nismo zmishchuvat - deaky jia moć, dozhina, može se garantovati nepromjenjivo. Dovzhina - tse stalak između dvije tačke (na pravoj liniji) na liniji. To je više kao metrika. Ale, metrika se uvodi (inače) u ravan, za tačke ravni, zašto postoji prava? I dok to metrike i ê je upravo doveden do logičnog zaključka redoslijedom nepromjenjive dugovječnosti apstraktne linije, cijepanjem najvažnije linije i dodjeljivanjem kožne tačke ravni.

Želeći da naše linije počnu sa evníshními objektima za vímíryuvanih ih vídstany na kvadratu, ali mislimo da je isto za nas kao unutrašnje, da bi skala aviona trebala ležati. Otzhe, mova go about Plamen moći, Kao zovníshny linija, tako unutrašnja. Moć jedne od dvije glave - Vrijednost, dakle, koja krade skalu jedinstvenog svijeta (druga moć vage je direktno). Za euklidsko prostranstvo moći, ono je samodovoljno u pravoj liniji i njenoj poziciji (kao tačka ekspanzije). Postoje dva načina da se pokaže takva nezavisnost. Prvi način, pasivan pogled na govor, je da se govori o nepromjenjivosti veličine i istovjetnosti uz dovoljan izbor valjanih koordinata. Drugi način, aktivni pogled, je da se govori o nepromjenjivosti pri pomicanju i skretanju, kao rezultat eksplicitnog prijelaza od tačke do tačke. Qi metode nisu ekvivalentne jedan prema jedan. Prvi je jednostavno formalizacija čvrstine, da je vrijednost koja postoji u datom području (tački) jedna te ista nezavisno sa stanovišta. Drugi je isti, da su vrijednosti količina u različitim tačkama iste. Jasno je da je bogatiji i jači.

Nastavimo za sada na nepromjenjivosti veličine skale sa razumnim izborom koordinata. Op-pa! Yak tse? Da bi se dodijelila koordinatna točka već potrebna matici skale. Tob do same linije. Ostale koordinate - šta? Druge linije? Zaista tako! Ale! Oni koji u euklidovoj ravni mogu rotirati našu liniju do tačke kako želimo, stvarajući privid da se koordinate mogu mijenjati bez promjene linije. Tse ílyuzíya, ali takva pêmna ílyuzíya! Kako smo je zvali! Cijeli sat pričamo - koordinatni sistem je rotiran. Ova iluzija se zasniva na određenom postulatu skale moći u euklidskoj ravni - nepromjenjivosti ovog "dovžinija" sa određenim okretom u tački, zatim sa poštenom promjenom druge skale moći, pravo. Í tse vlastivist maê mísce u be-yakíy tački euklidske ravni. Skala svugdje može biti "dovzhina", ne ovisno o lokalnom izboru direktnih koordinatnih osa. Tse postulat za Euklidski prostor. I kako to da mi je qiu dozhina poznata? U koordinatnom sistemu, u takvoj skali, jedinstvo je vimiryuvannya za jednu od osa, još je lakše vidjeti - isto jedinstvo. A u koordinatnom sistemu (pravougaonom), u kom slučaju se razmera ne menja sa jednom od osa? Za pomoć oko Pitagorine teoreme. Teoreme su teoreme, tako da ovdje postoji nekoliko trikova. Zaista, teorema je dovoljno mala da zamijeni aksiome koje je formulirao Euklid. Won im je ekvivalentan. Í sa udaljenom suženom geometrijom (za velike površine, na primjer) sama spirala na način izračunavanja razmjera. U suštini, ispravno, prevedite ovu metodu u kategoriju aksioma.

Ponovimo sada ono što je u osnovi geometrije, što vam omogućava da dodijelite koordinate tačkama ravnine.

Mova ide sama po svetu, razmera. Skala je u bilo kojoj tački. Majska veličina - "dovzhina" i ravna. Dovžina je invarijantna (ne menja se) kada se menja direktno u tačkama. Za pravougaone koordinate u euklidskom prostoru, kvadrat je veći od skale, ispravljen iz tačke je veći od zbira kvadrata projekcija na osi. Takva geometrijska veličina naziva se i vektor. Znači da je skala vektor. A "dovzhina" vektora se naziva i normom. Dobre. Ale, gdje je ovdje metrika? A metrika sa takvim pristupom i ê način da se dodijeli norma bilo kojem vektoru u tački kože, Metoda izračunavanja broja normi na dovoljnoj poziciji vektora bilo kojeg vektora, koji je osnova, mjerilo(Tiho, yakí vyznachayut direktno osi koordinata iz datih tačaka i može imati jednu normu kako dodijeliti, zatim jedan vimir). Još važnije su one koje takav način dodjele za kožu tačke prostora (područje u datom pravcu). U ovom rangu kriva je snaga prostora i unutrašnjih vektora, a ne objekti koji su dorasli prostoru.

Izvinite, ali na samom klipu smo dobili oznaku metričkih prostora. Novi termin? Í chi uzgozhuêtsya od starog? A sada osovina. Ovdje smo ukazali kako da se zapitamo, da pokažemo isti broj dana. I sama, između tačaka jedan "dovzhin", norma vektora, scho z'ednuê tsí tačke (u Euklidskom prostoru). Oni da vektor ima istu normu, nezavisno od tačke jaza na novom (izbor repera) - odredište vektora. One mind, Yake and Rob sa bilo kojim metričkim prostorom, moguće je da su vektori iz date norme bili utemeljeni u tački kože prostora na svim pravim linijama. Í tse imenovanje kao cjelina uzgodzhuêtsya s pokazivanjem na sam klip. Možete li dodijeliti metriku u bilo kojem drugom prostoru? U osnovi, možeš. Í navit bagatma načine. Tek tada će postojati druge klase prostora koje ne uključuju euklidsko prostranstvo u sebi, poput okremy vpadoka.

Zašto je Euklidski prostor posebno za nas? Pa, šta ima? Na prvi pogled, takvim moćima moći čak i sebe mogu otvoriti, u kojoj živimo. Dakle, sa više poštovanja, mi ih ne zovemo tako. Ale fê raznitsa mizh "ne zovsí takav" i "zovsím nije takav" ?! Želim da biram reči za kshtalt istog. Pošto naš ekspanzioni sat još uvek nije euklidski, onda za pevačke umove možete biti još bliže novom. Otzhe, izaberi moje odgovornosti iz tíêí̈ sím'í̈ prostorív, u yakíy Euklidskom prostranstvu ê. Tako da radimo. Ali na kraju krajeva, šta je tako posebno u euklidskom prostranstvu, šta je to znati svoj izraz u pevačkim moćima joga metrike? Da dokrajči vlasti dosta, o većem broju njih, više se već nagađalo. Pokušat ću kompaktno formulirati ovu singularnost. Euklid se proširio na način da je u novom moguće izabrati razmjer (za unos koordinata) tako da se pojavi na površini pravokutne mreže koordinata. Moguće je ako je metrika u prostoru tačaka kože jedna te ista. U suštini, tse znači da je potrebno da se ova skala istraži u kožnoj tački prostora i da je sav smrad isti do jednog. Za cijelo prostranstvo dovoljna je jedna linija, jer se može prenijeti na tačku (u aktivnom smislu) bez promjene njene veličine i smjera.

Što je još važnije, stavio sam snagu, zašto je metrika kvadratna funkcija zsuvu. Vín je i dalje pust bez opravdanja. Doći ćemo do nekog obov'yazkova. I odmah ćeš se uveriti u budućnost - metrika u porodici prostora koja nam je potrebna - vrijednost je nepromjenjiva na bilo koji način mijenjanja koordinata. Za sada smo pričali o Dekartovim koordinatama, ali ja sam tu da dodam stolicu - to važi za svaku transformaciju koordinata, koje su prihvatljive u ovoj tački ovog prostora. Količina koja je invarijantna (koja se ne mijenja) pri transformaciji koordinata može u geometriji imati još jedno posebno ime - skalar. Pitam se koliko imena za jedno te isto - postina, invarijantna, skalarna... Možda čak i više, ne razmišljam dvaput. Nemojte govoriti o važnosti samog razumijevanja. Dakle, os, metrika je skalar u smislu pjevanja. Očigledno, u geometriji postoje skalari.

Zašto u "pjevačkoj senzaciji"? To, scho, dvije tačke su uključene u razumijevanje metrike, a ne jedna! A vektor zadataka (saznanja) je samo sa jednom tačkom. Hoću li te odvesti u Oman? Ne, samo ne kažem sve što treba da se kaže. I potrebno je reći da je metrika norma ne dovoljnog vektora, već samo vektora beskonačno malog pomaka iz date tačke u prilično pravoj liniji. Ako norma ne leži u pravoj liniji od tačke, onda se skalarna vrijednost može vidjeti kao snaga samo jedne tačke. U ovom slučaju, svejedno, pokriveno je i pravilom za izračunavanje norme za bilo koji drugi vektor. Osa tako.

Nije moguće konvergirati ... Norme su različite za različite vektore! A metrika je skalar, vrijednost je ista. Obriši!

Nema brisanja. Pa, kažem jasno - pravilo računanja. Za sve vektore. A sama specifična vrijednost, koja se još naziva i metrika, izračunava se prema ovom pravilu samo za jedan vektor, pomak. Mova naš zvichny to vílnosti, zamovchuvan, skorochen ... Axis i pozvao me da zovem metrike i skalare i pravilo yogo izračuna. Istina, mogu biti jedno te isto. Mayzhe, ali mi ne zovemo. Važno je, ipak, uravnotežiti razliku između pravila i rezultata, mi ćemo ga spasiti. I šta je važnije - pravilo ili rezultat? Ne čudi, u ovom slučaju, pravilo... Zato je često bogatije geometrijom i fizikom, ako govorimo o metrici, to je samo pravilo. Ali na matematičarima je da ukratko govore o rezultatu. Í tsomu ê razlozi, ali o njima na drugom mjestu.

Takođe bih želeo da pokažem da se sa više zvezdanim načinom oblaganja, ako se koncepti vektorskih prostora uzmu kao osnova, metrika uvodi kao skalarni par twir svih vektora u bazi, benchmark. Na taj način je skalarni vektor dobutoka u maju buti određen kao prekretnica. I usput, kao što sam pratio ovde, sama prisutnost metričkog tenzora u prostoru omogućava vam da uvedete, označite skalarni dobutok vektora. Ovdje je metrika primarna, njeno prisustvo vam omogućava da uvedete skalarni twír, poput invarijante koja povezuje dva različita vektora. Ako se skalar za jedan te isti vektor izračunava uz pomoć metrike, onda je ovo samo još jedna norma. Ako se ovaj skalar izračunava za dva različita vektora, onda svi skalarni sabirci. Pošto je to norma beskonačno malog vektora, onda ga je sasvim dozvoljeno nazvati jednostavno metrikom u datoj tački.

Šta možemo reći o metrici kao pravilu? Ovdje nam se dešava da koristimo formule. Neka koordinate ose sa brojem i budu dodeljene kao x i. Pomak sa datih tačaka na teren dx i. Kunem se poštovanjem - koordinate NISU vektor! A pomak je vektor! Za takva značenja, metrička "udaljenost" između središnje tačke i tačke održavanja, očigledno do Pitagorine teoreme, biće izračunata za dodatnu formulu

ds 2 = g ik dx i dx k

Zlo ovdje je kvadrat metričke "širine" između tačaka, "koordinata" (to jest, prema rubu kože koordinatne linije) između njih je data vektorom pomaka dx i. Na desnoj strani, zbir indeksa opadanja svih parnih kreacija vektorskih komponenti je zamijenjen odgovarajućim koeficijentima. A njena tabela, matrica koeficijenata g ik, koja postavlja pravilo za izračunavanje metričke norme, naziva se metrički tenzor. Sam tenzor se u većini slučajeva naziva metrika. Izraz "" je ovdje vrlo važan. To znači da će se u drugom koordinatnom sistemu formula češće pisati na isti način, samo će tabela biti popunjena drugim (pravolinijskim) koeficijentima, koji se računaju na strogo određen način preko brojeva koeficijenti transformacije koordinata. Za Euklida je karakteristično da je u Dekartovim koordinatama oblik ovog tenzora superjednostavan i jedan te isti u svim Dekartovim koordinatama. Matrica g ik može sadržavati samo jedinice na dijagonali (za i = k), a ostali brojevi su nula. Ako u euklidskom prostoru ne postoje kartezijanske koordinate, onda matrica u njima neće izgledati tako jednostavno.

Kasnije smo zapisali pravilo koje definiše metričku "udaljenost" između dve tačke u euklidskom prostoru. Ovo pravilo je napisano za dvije tačke koje su uvijek blizu. U Euklidskom prostoru, na način da metrički tenzor može biti dijagonala sa jedinicama na dijagonali u realnom koordinatnom sistemu u tački kože, ne postoji fundamentalna razlika između konačnih i beskonačno malih vektora zsuvu. Ale nas više tsíkavit vipadok rímanov prostranstva (kao što je površina kuli, na primjer), de tsya ríznitsya ístotna. Dakle, priznajemo da metrički tenzor u zagalnom padu nije dijagonalan i da se mijenja pri kretanju od tačke do tačke u prostoru. Ali rezultat ovog zastosuvanja, ds 2, je preplavljen izborom u tački kože nezavisno od izbora direktne veze sa samom tačkom. Tse zhorstku umova (manje zhorstka, nizh umova Euklidska) i u isto vrijeme vikonanní prostranstvo i poziv rímanovo.

Pevački ste vratili poštovanje, da još češće uzimam reči "dovžina" i "dovžina" u svoje šape. Zazirem od ove ose. Više od toga, uvedena je da formalizuje rad sa rezultatima simulacija. Ne, smrad deshcho mi je lišen, ali oni koji su lišeni su prestali biti dijete (u obliku djeteta).

Pretpostavljam - metrika "vidstan" se ne može deponovati u izboru kartezijanskih (i ne samo) koordinata, recimo, na lučnom papiru. Idemo u istim koordinatama, ako možete pronaći između dvije tačke na koordinatnoj osi 10. Možete li odrediti druge koordinate, na kojima će mjesta između same dvije tačke biti 1? Nema problema. Samo stavite u istu jedinicu, sa istih samih osa, novu jedinicu, jednaku 10 ispred. Koliko se promijenio Euklidski prostor? Šta je na desnoj strani? A na desnoj strani, u tome, ako možemo pobijediti, nije nam dovoljno znati broj. Moramo znati više, ako ste vi jedini koji su odlučili uzeti broj. Matematika u zvichniy sogodní svi oblici tsim ne klecaju. Vaughn može biti u pravu samo sa brojevima. Izbor biti sam, vimiryuvannya zrobleny zastosuvannya matematike i zmínyuvatis više nije kriv! Ale naš um, ne govori nam ništa bez vkazívka vaga! Ali matematika je ista. Ako se u jeziku radi o metrici "vidstaní", íí̈ formalno zastosuvannya baiduzhe do izbora skale. Vrući mjerač, vruća čađ. Važni su samo brojevi. Os toga sam stavio svoje šape. Znate li kakva nuspojava može biti takav pidhid u matematici rimskog prostora? A osovina je jaka. Nije moguće vidjeti promjenu skale od tačke do tačke. Samo promijenite jogu direktno. Pa iako je promjena mjerila za dodatne transformacije koordinata u takvoj geometriji čitava svakodnevica. Šta se može uključiti u geometriju posljednjeg pregleda moći razmjera u svima njima? Moguće je, moguće je. samo kojima je moguće pospremiti bezlične usluge i naviknuti da govore nazivaju svojim, ispravnim imenima. Jedan od prvih krokiva će biti svjestan činjenice da se nijedna metrika zapravo ne može koristiti. Vaughn, ludo, maê pjeva fizički zmíst, mnogo više poštovanja. Ale ínshiy.

Kod fizičara je poštovanje uloge metrike stečeno pojavom teorije održivosti - malo posebne, zatim zagalne, u kojoj je metrika postala središnja struktura teorije. Posebna teorija vodovrednosti formirana je na osnovu činjenice da trivimerno nije skalar sa stanovišta totaliteta inercije, da se jedan po jedan ravnomjerno i pravolinijski fizički sistemi urušavaju. Skalar, invarijanta, bila je druga vrijednost, koja se zvala interval. Interval između podija. Í za izračun ove vrijednosti potrebno je vrahuvati i sat vremena između ovih podija. Štaviše, pokazalo se da je pravilo izračunavanja metrike (i interval koji se ponovo uočava u kvalitetu metrike u ujedinjenom prostoru-sat, prostoru potpodjela) slično zvučnom euklidskom u trivi- svjetski prostor. Izgleda malo više. Vidpovidne metrički prostor Herman Minkovsky, Počeli su zvati. Poštovanje fizičara, uključujući i Einsteina, okrenulo je samog robota Mankivskog ka važnosti razumijevanja metrike kao fizičke veličine, a ne samo kao matematičke.

Zagalna teorija vidljivosti je uključila u pregled ubrzanih jedan drugog fizičkog sistema u vidu. Ja, u takvom rangu, mogao bih da dam opis gravitacionih pojava na novoj skali Njutnovoj teoriji. Mogao sam doprijeti izvan osjećaja fizičkog polja do same metrike - veličine i pravila, metričkog tenzora. Istovremeno, matematička konstrukcija Rimanovljevog prostora je poput slike svemirskog sata. Nećemo ići predaleko u detalje ove teorije. Krím osgogo ínshgo, tsya teorija stverdzhuê, shko svít (prostor-sat), u čemu ê masivna tijela, tako da se tijela privlače jedno prema jedno, maê metrički vídmínnu víd nastilki priemnoí̈ nas evklídovoí̈ metrike. Sve prostorije ispod tvrdoće su ekvivalentne:

Fizička tvrdoća. Tačke tijela koje čine masu privlače se jedna prema jedna.

U svemirskim satima, u tako masivnom tijelu, nije moguće svuda uvesti jednostavnu pravolinijsku mrežu. Ne postoje takvi vimiruvalnyh priladív, yakí dopuštaju tse robiti. Zasigurno će, kao i uvijek, "klipovi" dobivene mrežice biti krivi čotirikutnik.

Možete odabrati skalu sa jednom te istom vrijednošću (normom) za cijeli prostor-sat. Ako se takva skala može pomjeriti sa prve tačke na drugu tačku i izjednačiti sa već postojećom tamo. ALE! Navít yakscho zsuv neumoljivo male, ravne linije na vagi u divljini neće zbígatisya. Tim je jači, što je vaga bliža tijelu, to je masa snažnija i sama masa veća. Samo što tamo nema masa (iako je osovina vaša hrana - ali šta je sa samom vagom?) One će trčati pravo.

U polju prostor-vremena, koje avenira masivna tela nemaju takav koordinatni sistem, u metričkom tenzoru u tački kože reprezentacija matrice, svuda nula, dijagonale, na kojima postoje jedinice.

Vidministička metrika u obliku euklidske ê manifestacija manifestacije gravitacionog polja (polja gravitacije). Štaviše, polje metričkog tenzora je gravitaciono polje.

Bilo bi moguće donijeti još ovakvih uporišta, ali u isto vrijeme želim da vratim vaše poštovanje ostalima. Zakrivljenost. Tse schos, scho o čemu još nismo razgovarali. Yake vídnoshennia van maê to metritsí? Iza velikog rakhunoka - nijedan! ê razumjeti više o nižoj metrici. U kom smislu?

Porodica rimskog prostora, koja uključuje euklidski prostor, sama je dio veće porodice. Cí prostor, naizgled, ne mari za uticaj takve vrednosti, kao što je metrika, na poen vaše kože. Zatim, za potrebnu snagu, postoji temelj još dvije strukture, povezane jedna po jedna - afine veze i zakrivljenosti. Samo s pjevanjem umova na krivini (ili zv'yaznist), u takvim prostranstvima postoji metrika. Todí tsí prostor i poziv Rímanovo. Bilo da se radi o Rimanovskim prostranstvima, zv'yaznist i zakrivljenosti. Pivo ne iz vedra neba.

Ali nije moguće reći da je metrika sekundarna u smislu zrelosti u odnosu na glatkoću ili zakrivljenost. Ni. Osnova metrike je iskaz snage singla veze, a time i zakrivljenosti. U standardnoj interpretaciji opšte teorije relativnosti, metrika se smatra važnijom, jer uspostavlja formu teorije, strukturu. A afina veza i zakrivljenost se pojavljuju u slučaju kojih su sekundarne, slične vrste metrike. Ovu interpretaciju dao je Ajnštajn, u tim časovima, ako matematika još nije smislila da dostigne napredno i posledično razumevanje hijerarhije izvan nivoa važnosti struktura, one označavaju moć porodice prostora, koji vode do Euklidskog . Već nakon stvaranja aparata GRT-a, prije svega, uz pomoć Weila i Schoutena (ne samo, očigledno), matematika je bila fragmentirana u prostranstvu atinske koherentnosti. Vlasne, robot je stimulisan pojavom opšte teorije relativnosti. Kao i Bachite, kanonsko tumačenje važnosti struktura u opštoj relativnosti ne odudara od modernog pogleda na matematiku na njihov odnos. Tsya kanonsko tumačenje nije ništa drugo, kao identifikacija drugih matematičkih struktura sa fizičkim poljima. Nadannya í̈m fizički čulo.

U općoj teoriji relativnosti postoje dva plana za opisivanje svemirskog sata. Prvi od njih je sam sat ekspanzije, poput prostranstva ispod. Podíí̈, bezperervnyayut be-yak-like područje prostor-vrijeme karakterizirano dodatnim koordinatama. Također, podliježu uvođenju koordinatni sistemi. Sam naziv teorije naglašava poštovanje prema sebi na tsomi - zakonima prirode, možda se u takvom prostoru-sat treba formulisati, međutim, bilo koji prihvatljiv sistem koordinata. Tsya se može nazvati principom globalne vidljivosti. Značajno je da ovaj plan teorije ne govori ništa o prisutnosti metrike u prostor-satima, ali ipak daje osnovu za uspostavljanje nove afine veze (zajedno sa zakrivljenošću i drugim sličnim matematičkim strukturama). Naravno, već na ovom nivou postoji potreba da se matematičkim objektima teorije da fizička senzacija. Osovina vina Tačka do sata predstavlja dno, s jedne strane ga karakteriziraju stanica i trenutak sata, s druge - koordinate. Kako je divno? Hiba nije ista? Ali nema osovine. U opštoj relativnosti, oni nisu isti. Koordinate najzloglasnijeg oblika, dopuštene u teoriji, ne mogu se tumačiti kao položaj i trenutak u satu. Takva se mogućnost postulira samo za užu grupu koordinata - lokalno inercijalnih, koje se mogu naći samo u blizini skin point, ali ne i na cijelom području koje pokriva okovani sistem koordinate. Još jedan postulat teorije. Evo takvog hibrida. Ja ću se pobrinuti da ovdje ima puno OTO problema, ali neću se baviti njima odmah uz dopuštenje.

Drugim planom teorije moguće je uzeti u obzir i taj dio postulata, da se u pogled na prostor-sate fizičkog bića uvede - gravitacija, međusobno privlačeći masivna tijela. Tvrdi se da se ovaj fizički fenomen može pokoriti za pjevačke umove jednostavnim izborom održivog sistema na sličan način, a sam po sebi, lokalno inercijski. Za sva tijela, koja još uvijek mogu biti ubrzana (slobodni pad) nakon prisustva na maloj površini gravitacionog polja udaljenog masivnog tijela, polje se ne opaža u trenutnom sistemu u daljini. Formalno se postulati završavaju na ovome, ali u stvari, osnovni nivo teorije, poput uvođenja metrike, takođe u postulate, i kao matematičko učvršćivanje, i kao fizički. Iako ne želim da ulazim u detalje izjednačavanja (zapravo, sistema ekvilizacije), ali ipak, korisno je majci jogo pred očima:

R ik \u003d -c (T ik - 1/2 T g ik)

Ovdje vrijedi naziv Ricci tenzora, jednostavnog preklapanja (kombinacije skladišnih komponenti) tenzora ukupne zakrivljenosti. Sa punim desnim, í̈í̈ se može nazvati i zakrivljenošću. Desno je konstrukcija tenzora energijskog impulsa (ovo je fizička veličina u opštoj relativnosti, singularna za masivna tijela i svemirski prostor za prostor-sat, kao za energetski impuls u ovoj teoriji, samo habanje) i metrika Štaviše, metrika tsya, kao skalarna veličina, virobljena je metričkim tenzorom, ali je ista za sve tačke regiona. Više ê razmírna brza s, proporcionalna gravitacijskoj brzini. Sa ovog nivoa je jasno da se iza velike rahunke zakrivljenost uspostavlja energetskim impulsom i metrikom. Fizička senzorna metrika se pripisuje GR već nakon što je donesena odluka ovih jednakih. Krhotine u odabranom rješenju koeficijenata metrike odnose se na linearni potencijal gravitacionog polja (izračunato kroz novo), zatim na metrički tenzor i pripisuje se smisao potencijalnog polja. Uz takav pristup, za sličan osjećaj kriva je majka i zakrivljenost. A afina veza se tumači kao jačina polja. Tumačenje nije ispravno, oprost je zbog paradoksa u tumačenju koordinata, koji je već spomenut. Naravno, za teoriju to ne prolazi bez traga i manifestuje se u nizu dobronamernih problema (nelokalizacija energije gravitacionog polja, tumačenje singulariteta), koji, kada se doda ispravan fizički osećaj na geometrijske vrijednosti, jednostavno se ne može kriviti. Navodno, o svemu se govori u knjizi "".

Međutim, u općoj relativnosti, metrika je mimička, zločin osjećaja koji joj se nameće dio po dio, postoji samo jedna fizička razlika. Pogodite šta karakteriše metriku u smislu euklidskog prostora? Još jedna bitna stvar za opstanak u prostor-vremenu rijeke je mogućnost uvođenja jorstke u prostor, ravnomjerno ispunjavajući cijelo područje pravokutnom koordinatnom mrežom. Qiu mreža se u fizici naziva inercijskim sistemom posmatranja. Takav referentni sistem (koordinatni sistem) podržava jedan i samo jedan standardni oblik metričkog tenzora. U sistemima vídlíku, prilično se urušava shdo ínertíalníy, tip metričkog tenzora vídmínniy víd standard. Sa fizičke tačke gledišta, uloga "sitke da se vidi" je dovoljna da se vidi. Ako imate čvrsto tijelo za gledanje, čija je točka kože sigurna sa istim godinama, u satu, onda će i ono ostvariti takvu mrežu. Za prazno prostranstvo, jednostavno domislyuêmo takvo tijelo za vídlíku, osiguravajući jogu (širenje) s potpuno istom metrikom. U tako razumnom, metričkom tenzoru, sličnom standardnom euklidskom, čini se da je sistem zapažanja (koordinata) inspirisan pomoću nečvrstog tijela, a možda i godišnjak može ići na drugačiji način. na í̈ točkama. Šta želim da kažem tsim? I šta onda metrički tenzor je matematički red nekih od najvažnijih snaga sistema za nas. Tihe moći, kao apsolutni rang, karakterišu strukturu samog sistema u vidlíku, omogućavaju da se razazna, koliko neće "garne", koliko izgledaju kao idealno - inercijski sistem. Os opće relativnosti i metrički tenzor su isti kao i takva slika. yak slika varijabilnog okova, koja je podijeljena u području mjerila, može promijeniti svoju orijentaciju od tačke do tačke, ali može biti svuda ista norma, što je zajedničko za sve vektore mjerila. metrika koja se posmatra kao skalar i koja je norma, vrijednost skale. Metrika, poput tenzora, omogućava vam da vidite više Vídnosny Rukh jedna za jednu od svih vaga, koja je presavijena da stane. Í OTO opisuje takvu situaciju, ako je u prostor-vremenu moguće imati takvo tijelo, ono je stvarnije ili očiglednije.

Ovaj pogled na metriku je suludo tačan. Više od toga, vina su i produktivna, oskolki još jednom pokazuju poštovanje za ono što su izgubili u OTO uslugama. U stvari, dozvolili smo sistemu da varira u zavisnosti od skale u različitim tačkama može biti orijentisan na drugačiji način (u svetu čotirivimira, orijentacija uključuje isto u sebi). Pa ipak, ostaje da se vidi da je deak apsolutna karakteristika ljestvice, ali je normi (intervalu) ostavljeno jedno te isto. Od sada je, uostalom, čvrstina OTO-a, koju je preuzeo prije nego što se pogledaju svi mogući sistemi, bila površna. Chi nije tako nečuven, vidljivost u ovoj teoriji.

© Gavryu V.G.
Materijali objavljeni na stranici mogu se citirati prema dotrimanim pravilima citiranja.

Jedna od najvažnijih operacija analize je prelazak granice. Osnova ove operacije leži u činjenici da se na brojevnoj pravoj dodjeljuje od jedne tačke do druge. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane sa algebrom po prirodi realnih brojeva (tj. jer smrad čini polje), već naprotiv, izmiču iz razumevanja. Uzagalnyuyuchi govoreći o stvarnim brojevima kao o bezličnim, u kojima se uvodi između elemenata, dolazimo do razumijevanja metričkog prostora - jednog od najvažnijih za razumijevanje moderne matematike.

metrički prostran pozvao par (X, r),šta ide u akciju bezličan(Svemir) X elementi(tačka) i vídstaní, tj. nenegativna realna funkcija r(x, y), pjevanje za be-yakah Xі at h X i podređena sljedeća tri aksioma:

1) r (x, y)= 0 čak i ako samo X = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(Aksioma simetrije),

3) r(x, z)≤ r (x, y)+ r(y, r)(Aksiom trikutnika).

Isti metrički prostor, tj. par (X, p), mislićemo, po pravilu, na jedno slovo:

R = (X, p).

U vipadkama, ako je neshvatljivo isključen, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sama "rezerva bodova" x.

Primijenimo metričke prostore. Neki od ovih prostora igraju važnu ulogu u analizi.

1. Poklavši za elemente prilično bezlične

uzimamo, očigledno, metrički prostor. Joga se može nazvati prostranstvom izolovanih tačaka.

2. Mnoštvo realnih brojeva iz standarda

p(x, y) = | x - y |

uspostaviti metrički prostor R 1 .

3. Anonimni setovi za naručivanje P realni brojevi iz standarda

pozvao P-mirni aritmetički euklidski prostor Rn.

4. Pogledajmo iste bezlične skupove P realni brojevi

Ovdje je očigledna valjanost aksioma 1) -3). Značajno metričko proširenje simbola Rn 1 .

5. Dozvolite mi da obnovim iste bezlične stvari koje su u zadnjici 3 i 4, a značajne su između elemenata formule

Valjanost aksioma 1) -3) je očigledna. Tse prostranstvo, koje je za mene značajno Rn¥ u bogatoj nutritivnoj analizi nije manje zgodan, niži euklidski prostor Rn.

Ostala tri kundaka pokazuju da se ponekad i opravdano razlikuju za najmetričniji prostor i za bezličnu tačku, tako da se jedna te ista temeljna tačka može različito mjeriti.

6. Bezlich W sve nestalne funkcionalne funkcije dodijeljene namotaju iz daljine

takođe uspostaviti metrički prostor. Aksiomi 1) -3) se mijenjaju neselektivno. Ovaj prostor igra važnu ulogu u analizi. Jogo ćemo označiti istim simbolom WŠta je najbezličnija tačka ovog prostora.

7. Pogledajmo, kao u zadnjici 6, redoslijed svih funkcija, bez prekidanja za oko SA, ale vidstan beznačajno ínakshe, ali kao, među dr

Takav metrički prostor ćemo misliti W 2 i ime prostranstvo neprekinutih funkcija s kvadratnom metrikom.

Prije Rímana, Lobačevskog, Ajnštajna i drugih drugova, geometriju su činile ravni, nevidljive tačke i prave linije koje nisu bile odsječene u suprotnom smjeru. Iznad ravnog trivimera svijeta, ponosno glavni sat, prihvaćen je od nas kao da je proces, kvantiziran do savršenstva na otkucaju srca i zveket godine. Sve je glasno, direktno, razumno, snažno, tri koordinate u prostoru se sigurno mogu odrediti - samo malo zakucajte.

Kraj idila došao je s pojavom matematičara, yakí doslídzhuyut na vrhu pera bogata prostranstva. Smrad je bio sklopivi, bogato usklađeni objekti i sistemi, neshvatljivi ljudskom oku i razumljivi, na primjer, čuvena čotirivimirna kocka, Möbiusova linija i drugo. Korak po korak, navedeno je da se prividni prostor neobovyazkova može presavijati od ravnih i ravnih linija sa procesnim satom, može se presavijati, na primjer, iz ravnog lima nepravilnog oblika savijenog u cijev, štoviše , sat je dvostruka osa, nacrtana u sredini cijevi. Tačka je postavljena u takvom "netačnom" prostranstvu, ali ono već nema tri nama poznate koordinate, jer im ulazak kilograma ne može pomoći da umru. Položaj zadate tačke u neeuklidskom prostoru moraće biti predstavljen u vizuelnom nizu brojeva, koji se stalno menja prema postojećim pravilima. Sama pravila u vigadanomu kože su svoja. Takav niz brojeva naziva se tenzor, uzima podatke o tačkama prostora otprilike na isti način, na koji se slika slika u igrici "slika cvijeća": dužina smicanja kože je vektor, što je prikazano na tački koristeći jednu od koordinata, koje su prikazane danas, pojedinačne i neponavljajuće.

Tenzori su sklopivi objekti, ali imaju jedan veliki prostor - tenzor poput niza vektorskih nizova može se "ukrstiti" označavanjem tenzorske matrice - tablice dva svijeta, u kojoj je zamjena najvećih brojeva formula koja opisuje pravila ove transformacije. Matrica je jednostavan objekt, operacije s nekom vrstom dobrote razvijene su prije više od jednog stoljeća. Šefovi matematičara su počeli vredno raditi, predstavili su najsofisticiranije formule, a postojali su i tenzori za same tačke neshvatljivih prostranstava. Najjednostavniji tenzori, koji su opisani sa dovoljnom tačnošću, možemo prihvatiti sa dovoljnom tačnošću, su trodimenzionalni euklidski prostor i sat-proces. Njihove matrice i nazivaju se metrikama.

Nadala je došlo do saznanja da je, zbog snage gustoće koju je Ajnštajn uzeo kao osnovu, metrika Minkovskog postala neprihvatljiva u vakuumu na luku velikih udaljenosti između tačaka, ili na luku visokih indikatora gravitacije interakcija. Šefovi matematičara su opet radili, već u savezu sa fizičarima, kao da se šale na temu eksperimentalnog potvrđivanja teorija. Tako se, na primjer, pojavila Schwarzschildova metrika, kao da opisuje naš svijet kroz množenje matrica tenzora u kvadratnoj ravni s dva svijeta i sferi od dva svijeta (postoji dobro poznat krug, ali možete vidjeti cijeli prostranstvo). Schwarzschildova metrika je omogućila da se opiše zašto mi sami, a ne drugačije, opažamo kretanje objekata nebeske sfere. Sat u níy je konstantna vrijednost (!), koja se unosi u kožu brojanice, a kada unesete tačku na posterigač, to je zapravo vektor, koji daje opis dužine prostora (-sat ) između dva objekta, alepodija.

Glavni funkcionalni prostor

predavanje 5

Jedna od najvažnijih operacija analize je prelazak granice. Osnova ove operacije leži u činjenici da se na brojevnoj pravoj dodjeljuje od jedne tačke do druge. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane sa algebrom po prirodi realnih brojeva (tj. jer smrad čini polje), već naprotiv, izmiču iz razumevanja. Uzagalnyuyuchi govoreći o stvarnim brojevima kao o bezličnim, u kojima se uvodi između elemenata, dolazimo do razumijevanja metričkog prostora - jednog od najvažnijih za razumijevanje moderne matematike.

Imenovanje.

Par se naziva metrički prostor (X, p). X elementi (tačka) i vidstani, tj. nedvosmislena, nenegativna, efektivna funkcija p(x, y), imenovan za be-yakah xі y h X i podređene nadolazećim aksiomima;

1. ρ (x, y) ≥ 0 za sve x, y,

2. ρ (x, y) = 0 tada, i samo jednom, ako x = y,

3. ρ(x, y) = ρ(y, x)(Aksioma simetrije),

4. ρ (x, z) £ ρ (x, y) + ρ (y, z)(Aksiom trikutnika).

Isti metrički prostor, tj. par (X, p), U pravilu ćemo označiti jedno slovo R = (X, p).

U vipadkama, ako je neshvatljivo isključen, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sama "rezerva bodova" X.

Primijenimo metričke prostore. Deyakí z tsikh prostranstva igraju važnu ulogu u analizi.

1. Poklavši za elemente prilično bezlične

uzimamo, očigledno, metrički prostor. Joga se može nazvati prostranstvom izolovanih tačaka.

2. Mnoštvo realnih brojeva iz standarda

uspostaviti metrički prostor R1.

3. Anonimne grupe naručivanja n realni brojevi x = (X 1, ..., x n) iz daljine

pozvao n-mirni aritmetički euklidski prostor R n. Pravda aksioma 1) - 3) za R n očigledno. Pokažimo to u R n Vikonan i aksiom trikutnika.

hajde x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n),

z = (z 1, ..., z n);

tada aksiom prevaranta zapisuje gledalac

Vvahayuchi, otrimuemo i neravnine (2) poprimaju bilo koji oblik

Pa ipak, nervoza je odmah vidljiva iz prividne nervoze Koši-Bunjakovskog

Zaista, zbog ove nervoze, moguće je

nerívníst (3), kao i í (2), koje je on donio.

4. Pogledajmo iste bezlične uređene grupe n brojevi dana x = (x 1, ..., x n) ali neka bude značajno u novoj formuli

Valjanost aksioma je ovdje očigledna.

Menadžer. Donesite aksiom 4.

Značajno metričko proširenje simbola.

5. Dozvolite mi da obnovim iste bezlične stvari koje su u zadnjici 3 i 4, a značajne su između elemenata formule

Valjanost aksioma 1) - 3) je očigledna.

Menadžer. Donesite aksiom 4.

Tse prostranstvo, koje je za nas značajno, za bogate izvore analize nije manje zgodno, niže euklidsko prostranstvo R n.

Ostala tri kundaka pokazuju da se ponekad i opravdano razlikuju za najmetričniji prostor i za bezličnu tačku, tako da se jedna te ista temeljna tačka može različito mjeriti.

6. Bezlich C sve nestalne funkcionalne funkcije dodijeljene segmentu , Tri puta na dan

takođe uspostaviti metrički prostor. Aksiomi 1) - 3) se preispituju bez posrednika.

Menadžer. Donesite aksiom 4.

Ovaj prostor igra važnu ulogu u analizi. Jogo ćemo označiti istim simbolom CŠta je najbezličnija tačka ovog prostora. zamjenik C pisaćemo jednostavno W.

7. Značajno kroz l 2 metričko prostranstvo, čije tačke služe kao sve sukcesije x = (x 1, ..., x n, ...) stvarni brojevi koji prijaju umu,

i vídstan vyznaêtsya formula

Iz elementarne neravnine vidljivo je da je funkcija p(x, y) ima smisla da se svi skupe, kao

Pokažimo sada da funkcija (8) zadovoljava aksiome metričkog prostora. Aksiomi 1) - 3) su očigledni, a aksiom trikutnika ovdje ima oblik

Na osnovu onoga što je gore rečeno, tri reda pisanja ovde se spajaju. S druge strane, na koži n s pravom neujednačeno

(Div. zadnjica 4). Prolazeći ovdje do granice na n®∞ otrimuemo (8), tako da neravnine trikota u l 2.

8. Pogledajmo to, kao u zadnjici 6, redoslijed svih funkcija, bez prekida .

Takav metrički prostor ćemo misliti Z 2 i nazvati ga prostorom neprekinutih funkcija s kvadratnom metrikom. Ovdje su očigledni svi aksiomi metričkog prostora, a aksiom trikutnika bez posrednih krikova iz integralnog oblika neravnine Cauchy - Bunyakovsky

9. Pogledajmo bezličnost svih podnizova x = (x 1, ..., x n, ...) realnih brojeva.

uzimamo metrički prostor, jer je značajan m. Valjanost aksioma je očigledna.

10. Anonimne grupe naručivanja n realni brojevi iz standarda

de R- da li postoji fiksni broj ≥ 1 , To je metrički prostor, jer je značajan.

Vratimo se na aksiom 4.

hajde x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n), z = (z 1, ..., z n).

Idemo, čak i nerívníst

utvrditi pravdu kome sam kriv, videcu

Tse je naziv za nervozu Minkovskog. at p=1 Neujednačenost Minkowskog je očigledna (zbir modula ne prelazi zbir modula), uzećemo u obzir da p > 1.

Dokaz neravnine (13) sa p > 1 na osnovu takozvane Hölderove nervoze

de numbers p > 1і q > 1 vezan umom

Poštujemo da je neravnina (14) ista. Tse znači da je u redu za dva vektora a = (a 1, ..., a n),і b = (b 1, ..., b n), zatim vono vikonano i za vector_v λaі μb, de λ і μ - priličan broj. Za to nerívníst (14) završiti donijeti za vipadku, ako

Oče, neka Vikonan Umov (16); javite nam to

Pogledajmo trg (ξ,η) krivo, kao da su jednaki η = ξp -1 (ξ> 0), Abo, šta su isti, jednaki ξp -1 (η> 0)(Sl. 1). Iz malog je jasno da uz svaki izbor pozitivnih vrijednosti aі bće S 1 + S 2 > ab. izbrojiva površina S1і S2:

U takvom rangu, brojčana nedosljednost je opravdana

zamena ovde a na | A k |і b na | B k | i pídsumovuyuchi na k od 1 do n, Otrimaêmo, vrakhovuchi (15) i (16),

Nerívnístí (17), a kasnije, í zagalne írívnístí (14) donio.

at p = 2 Nerívníst Hölder (14) pretvara se u Nerívníst Koshi - Bunyakovsky (4).

Sada pređimo na unošenje nervoze Minkovskog. Za koje možemo vidjeti istovjetnost

Zamjena istovjetnosti u napisanom a na a kі b na b k i pídsumovuyuchi na k pogled 1 prije n uzeti

Zastosovuči sada do kože za dva iznosa, da stojim dešnjak, Gelderova nervoza i vrakhovuuchi, scho (P - 1) q = p, Dobiti x (t), uzeti

Na ovaj način je iznesena formula (18) lp, Deisno maê sens za be-yakah. Neravnine preko noći (19) pokazuju da u lp vikonana aksiom trikutnik. Reštanski aksiomi su očigledni.

Nekoliko udaljenih guzica nije okruženo uvredljivim prijemom. hajde R = (X, p)- metrički prostor i M- biti multiplikator X. takođe M sa istom funkcijom p(x, y), Yaku mi vvazhaemo sada pjeva za xі at h M, Tezh ê metrički prostor; naziva se podprostor prostora R.