কর্তৃত্বের সেই ক্ষমতাগুলি অবিশ্বাস্যভাবে মহান। মনোনীত অসহ্যভাবে মহান ক্রম

30.07.2020

অসীম ছোট এবং মহান গণনা

অসীম ছোট হিসাব- গণনা, অসীম ছোট মান দিয়ে গণনা করা হয়, কিছু খারাপ ফলাফলের জন্য, এটি অসীমভাবে ছোট একটি অসীম যোগফল হিসাবে গৃহীত হয়। অসীম ছোট পরিমাণের গণনা є গভীর উপলব্ধিডিফারেনশিয়াল এবং অবিচ্ছেদ্য গণনার জন্য, যা আধুনিক উচ্চতর গণিতের ভিত্তি তৈরি করে। অসীম ক্ষুদ্র মাত্রার ধারণাটি সীমানা বোঝার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

অসহনীয়ভাবে ছোট

ক্রম ক nডাকা অসীম ছোট yakscho উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার ক্রম অসীমভাবে ছোট।

ফাংশন বলা হয় বিন্দুর উপকণ্ঠে অসীমভাবে ছোট এক্স 0, তাই .

ফাংশন বলা হয় infinitesimal এর উপর infinitely small, মত বা .

এটি একটি অসীম ছোট ফাংশন, যা ফাংশন এবং її এর মধ্যে একটি পার্থক্য, যাতে , তারপর চ(এক্স) − ক = α( এক্স) , .

অবিশ্বাস্যভাবে মহান মান

ক্রম ক nডাকা অসীম মহান, মত .

ফাংশন বলা হয় বিন্দু উপকণ্ঠে অসীম মহান এক্স 0, তাই .

ফাংশন বলা হয় অসহ্যতা উপর অসহ্যভাবে মহান, মত বা .

সমস্ত মোডে, ডান-হাতি ব্যক্তির ডান-হাতি, সমতুল্যতার ক্ষেত্রে, কানের উপর হতে পারে, গানের চিহ্ন (হয় "প্লাস", বা "মাইনাস")। Tobto, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন এক্সপাপ এক্সএ অকল্পনীয়ভাবে মহান না.

অসীম ছোট এবং অসীম মহান ক্ষমতা

অসীম ছোট পরিমাণে জোড়া

কিভাবে অসীম ছোট পরিমাণ মেলে?
অসীমভাবে ছোট মানের সেটিং এটিকে তথাকথিত তুচ্ছতা করে তোলে।

নিয়োগ

অনুমান করা যাক যে আমাদের কাছে একই মান α(এর সাথে অসীমভাবে ছোট আছে এক্স) এবং β( এক্স) (অন্যথায়, উদ্দেশ্যের জন্য কোন অর্থ না থাকলে, ক্রমটি অসীমভাবে ছোট)।

এই ধরনের মধ্যস্থতাকারীদের গণনার জন্য, লোপিটাল নিয়ম ব্যবহার করা সহজ।

একটি ম্যাচ প্রয়োগ করুন

বিজয়ের জন্য প্রো-আক্রমণে ফল বাতিলের চিহ্ন লেখা যাবে এক্স 5 = o(এক্স 3). এই ক্ষেত্রে, রেকর্ড ন্যায্য 2এক্স 2 + 6এক্স = ও(এক্স) і এক্স = ও(2এক্স 2 + 6এক্স).

সমতুল্য মান

নিয়োগ

Yakscho, তারপর অসীমভাবে ছোট পরিমাণ α এবং β বলা হয় সমতুল্য ().
এটা স্পষ্ট যে є এর সমতুল্য মানগুলিকে একই মাত্রার একই ক্রমের অসীমভাবে ছোট মানের একটি সংখ্যা বলা হবে।

নিম্নলিখিত সমতা অনুপাতের ন্যায্যতার সাথে: , , .

উপপাদ্য

দুটি অসীম ছোট পরিমাণের ব্যক্তিগত (দৃশ্যমান নীল) মধ্যে সীমানা পরিবর্তন করা যাবে না, যাতে তাদের একটি (বা আপত্তিকর) একটি সমতুল্য মান দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা উচিত.

Tsya উপপাদ্য মান প্রয়োগ করা যেতে পারে যখন (div. বাট) মধ্যে পার্থক্য।

বাট vikoristannya

প্রতিস্থাপন sin 2এক্স সমতুল্য মান 2 এক্স, আমরা নেবো

ঐতিহাসিক অঙ্কন

অসামঞ্জস্যপূর্ণ পরমাণুর ধারণার সাথে প্রাচীনত্বে আলোচিত "অনেক ছোট" ধারণাটি এটিকে শাস্ত্রীয় গণিতে পরিণত করেনি। এটি "অনুপযুক্ত পদ্ধতি" - একটি ছোট ক্রুশ উপর পুরানো চিত্র ভাঙ্গা - 16 শতকের চেহারা সঙ্গে আবার পুনর্জন্ম হয়েছিল।

17 শতকে, সংখ্যার বীজগণিত ছিল অসীমভাবে ছোট। দুর্গন্ধটিকে একটি সংখ্যাসূচক মান হিসাবে মনোনীত করা শুরু হয়েছিল, যে কোনও সীমিত (অ-শূন্য) মানের জন্য একটি ছোট হিসাবে, এবং তবুও এটি শূন্যের সমান নয়। বিশ্লেষণের বিজ্ঞান ভাঁজ spivvіdnoshennia, scho অসীম ছোট প্রতিশোধ নিতে অনুমিত ছিল (পার্থক্য), যে buv - যোগ একীকরণ.

পুরানো স্কুলের গণিতবিদরা ধারণা দিয়েছেন অবিশ্বাস্যভাবে ছোটকঠোর সমালোচনা মিশেল রোল লিখেছেন যে নতুন নম্বর হল " উজ্জ্বল ক্ষমার সংগ্রহ»; ভলতেয়ার, নিষ্ঠার সাথে সম্মান করেছেন যে এটি গণনা এবং ঠিক বক্তৃতা গণনার বিজ্ঞান দ্বারা গণনা করা হয়, যার ভিত্তিটি আলোতে আনা যায় না। Navit Huygens জানতেন যে তিনি উচ্চতর আদেশের পার্থক্যের অর্থ বুঝতে পারেন।

বিড়ম্বনা হিসাবে, কেউ অ-মানক বিশ্লেষণের এক শতাব্দীর মাঝামাঝি চেহারার দিকে তাকাতে পারে, যার অর্থ হল ভোরের প্রাথমিক বিন্দু - আসলে খুব ছোট নয় - এটিও দুর্দান্ত নয় এবং এটিকে ভিত্তি হিসাবে রাখা যেতে পারে। বিশ্লেষণ

বিভাগ এছাড়াও

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010

অন্যান্য অভিধানে "অবিশ্বাস্যভাবে দুর্দান্ত" কী তা ভাবুন:

Y এর মান পরিবর্তিত হয়, X এর একটি অসীম ছোট মানের সাথে মোড়ানো হয়, তাই Y = 1/X ... মহান বিশ্বকোষীয় অভিধান

y এর মান পরিবর্তিত হয়, x এর একটি অসীম ছোট মানের সাথে মোড়ানো হয়, তাই y = 1/x। * * * দ্রুত দুর্দান্ত, অসীম দুর্দান্ত, পরিবর্তনশীল Y মান, বিপরীত অসীম ছোট X মান, তারপর Y = 1/X … বিশ্বকোষীয় অভিধান

গণিতে, পরিবর্তনের মান, পরিবর্তনের প্রদত্ত প্রক্রিয়ার মতো, অগ্রিম প্রদত্ত সংখ্যার চেয়ে বড় একটি পরম মান দিয়ে পূর্ণ হয়। ভিভচেনিয়া দ্বি। খ. আকার অসীম ছোট সীমা কমানো যেতে পারে. গ্রেট রাদিয়ানস্কা এনসাইক্লোপিডিয়া

ডিফ.:ফাংশন বলা হয় অসীম ছোট at , yakscho .

রেকর্ডে "" আমরা তা স্বীকার করব x0আপনি এটি একটি kіntseve অর্থ হিসাবে নিতে পারেন: x0= কন্সট, তাই এবং চামড়াবিহীন: x0= ∞.

অসীম ছোট ফাংশনের শক্তি:

1) চূড়ান্ত সংখ্যার বীজগাণিতিক যোগফল প্রতি ফাংশন অসীম ছোট এবং প্রতি ফাংশন অসীম ছোট।

2) শেষ সংখ্যার Dobutok ফাংশনের জন্য অসীম ছোট এবং ফাংশনের জন্য অসীম ছোট।

3) Dobutok infinitely small function є infinitely small function এ ফাংশন বিনিময় করেছে।

4) একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে ব্যক্তিগতভাবে rozpodіlu অসীম ছোট, যার মধ্যে একটি vіdminna শূন্য, এবং একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে অসীম ছোট।

বাট: ফাংশন y = 2 + এক্সє অসীমভাবে ছোট, কারণ .

ডিফ.:ফাংশন বলা হয় অসীম মহান at , yakscho .

অসীম মহান ফাংশন শক্তি:

1) ফাংশনের জন্য অসীম মহান এবং ফাংশনের জন্য অসীম মহান এর যোগফল৷

2) ফাংশন অন ফাংশনের ক্ষেত্রে Twir অদম্যভাবে দুর্দান্ত, যার মধ্যে শূন্য আকারে vіdmіnna হয়, ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি অত্যন্ত দুর্দান্ত।

3) সমষ্টিটি ফাংশনের জন্য অবিশ্বাস্যভাবে দুর্দান্ত এবং সীমাবদ্ধ ফাংশনটি অক্ষয় মহান ফাংশন।

4) এটিকে ব্যক্তিগতভাবে ফাংশন থেকে ফাংশনে অসীম মহান হিসাবে দেখা হয়, যা লাইনের শেষ হতে পারে এবং ফাংশনের জন্য অসীমভাবে দুর্দান্ত।

বাট: ফাংশন y= є অসীমভাবে মহান, কারণ .

উপপাদ্য।অসীম ছোট এবং অসীম মহান মাত্রা মধ্যে একটি লিঙ্ক. যদি ফাংশনটি অসীমভাবে ছোট হয়, তাহলে ফাংশনটি অসীমভাবে দুর্দান্ত। প্রথমত, যেহেতু ফাংশনটি অসীমভাবে বড়, তারপরে ফাংশনটি অসীমভাবে ছোট।

দুটি অসীম ক্ষুদ্রের জন্ম একটি প্রতীক হিসাবে নেওয়া হয়, দুটি অসীম মহান - একটি প্রতীক। নীল এবং অদৃশ্য দ্বারা বিক্ষুব্ধ যে অর্থে, যা এবং সীমানা ব্যবহার করা যেতে পারে, এবং іsnuvati, গানের সংখ্যা যোগ করুন, কিন্তু নির্দিষ্ট ফাংশন আকারে সীমাবদ্ধ নয়, যেমন অদৃশ্য বক্তৃতায় অন্তর্ভুক্ত করা হচ্ছে।

তুচ্ছতার ক্রিমটি গুরুত্বহীন এবং তাই ভিরাজি বলে মনে হচ্ছে:

দাম এক অক্ষরের জন্য অসীমভাবে বড়;

Tvіr অসীমভাবে ছোট থেকে অসীমভাবে মহান;

নির্দেশক-পদক্ষেপ ফাংশন, যার ভিত্তি হল প্রাগনে 1, এবং সূচকটি পর্যন্ত;

শো-স্টেপ ফাংশন, যার ভিত্তি অসীমভাবে ছোট, এবং শোম্যান অসীমভাবে মহান;

শো-স্টেট ফাংশন, সেই শোয়ের ভিত্তি হল এটি অসীমভাবে ছোট;

শো-স্টেট ফাংশন, যার ভিত্তি অসীমভাবে মহান, এবং শোম্যান অসীমভাবে ছোট।

তুচ্ছতাচ্ছিল্যের জায়গা আছে বলে পরিষ্কারভাবে বলা যায়। tsikh vipadkah মধ্যে অন্তর্-নাম গণনা তুচ্ছতার জন্য উন্মুক্ততা. সীমার চিহ্নের নীচে দাঁড়িয়ে থাকা ভিরাজের তুচ্ছতা প্রকাশ করার জন্য, তারা এটিকে এমন চেহারায় রূপান্তরিত করে যা তুচ্ছতার প্রতিশোধ নেয় না।

vicarists মধ্যে গণনা করার সময়, মধ্যে শক্তি, এবং অসীম ছোট এবং অসীম মহান ফাংশন ক্ষমতা নেভিট.

এর মধ্যে পার্থক্য হিসাব কটাক্ষপাত করা যাক.

1) . 2) .

4) , কারণ একটি ফাংশন প্রতিস্থাপন করার সময় একটি অসীম ছোট ফাংশন যোগ করুন অসীম ছোট.

5) . 6) .

7) = =

. এই পরিস্থিতিতে, টাইপের তুচ্ছতার জায়গাটি ছোট, কারণ এটি সমৃদ্ধভাবে গুণকগুলিতে বিভক্ত, বন্য গুণকটির সংক্ষিপ্ততাকে সাহায্য করার জন্য খোলা সম্ভব ছিল।

= .

এই অবস্থায়, প্রকারের অ-তাৎপর্যের জন্য খুব কম জায়গা রয়েছে, কারণ সংখ্যার গুণক এবং ভিরাজের ব্যানার, সূত্রের প্রতিস্থাপন এবং দূরবর্তী সংক্ষিপ্ত ভগ্নাংশের সাহায্যে খুঁজে বের করা সম্ভব হয়েছিল। অন (+1)।

9)
. এই বাটে, বুলার প্রকারের তুচ্ছতা প্রকাশ করা হয়েছিল সংখ্যার সদস্যভিত্তিক বিভাজন এবং সিনিয়র ধাপে ভগ্নাংশের ব্যানার দ্বারা।

বিস্ময়কর সীমানা

পার্সশা অলৌকিক সীমানা : .

আনয়ন.আসুন একটি একক কলাম দেখি (চিত্র 3)।

চিত্র 3. একা কোলো

চলে আসো এক্স- কেন্দ্রীয় কুটের রেডিয়াল পদ্ধতি MOA(), তারপর OA = আর= 1, এমকে= পাপ এক্স, AT=tg এক্স. Porіvnyuyuchi বর্গক্ষেত্র trikutnikov ওএমএ, ওটিএযে সেক্টর ওএমএ, আমরা নেবো:

বাকি নার্ভাসনেসকে পাপে ভাগ করি এক্স, আমরা নেবো:

তাই ইয়াক এ, তারপর yakistyu জন্য 5) মধ্যে

তারা এবং মান মোড়ানো হয়, এটি আনা প্রয়োজন ছিল দেওয়া.

বিঃদ্রঃ:এই ফাংশন এমনকি ছোট, তারপর. , তারপর প্রথম অলৌকিক ঘটনা দেখতে পারে:

প্রথম অলৌকিক সীমানার জয়ের মধ্যে হিসাবটা দেখে নেওয়া যাক।

মানগুলির মধ্যে মূল্য গণনা করার সময়, ত্রিকোণমিতিক সূত্রটি গণনা করা হয়েছিল: .

আরেকটা অলৌকিক সীমানার জয়ের মধ্যে হিসাবটা দেখে নেওয়া যাক।

2) .

3) . টাইপের একটা তুচ্ছতার জায়গা আছে। Zrobimo zaminu, তারপর; এ

ফাংশন y=f(x)ডাকা অসীম ছোটএ x→aঅথবা এ এক্স→∞, যেমন abo, thatto. অসীম ছোট ফাংশন - ce ফাংশন, যার মধ্যে ts_y পয়েন্ট শূন্যের সমান।

আবেদন

1. ফাংশন f(x)=(এক্স-1) 2 є infinitely small at এক্স→1, shards (div. ছোট)।

2. ফাংশন f(x)=tg এক্স- অসীম ছোট এ এক্স→0.

3. f(x)= লগ (1+ এক্স) - অসীম ছোট এ এক্স→0.

4. f(x) = 1/এক্স- অসীম ছোট এ এক্স→∞.

আসুন আরও গুরুত্বপূর্ণ সাহায্য পাই:

উপপাদ্য।ফাংশন কি y=f(x)এ প্রতিনিধিত্বযোগ্য x→aএকটি দ্রুত সংখ্যার যোগফলের দৃষ্টিতে খযে অসীম ছোট মান α(x): f(x)=b+ α(x)সেগুলো.

ফিরে, হ্যাঁ, তারপর f(x)=b+α(x), ডি a(x)- অসীম ছোট এ x→a

আনয়ন.

1. আমরা শক্ত হওয়ার প্রথম অংশ নিয়ে আসি। জেড রিভনোস্টি f(x)=b+α(x)পরবর্তী | f(x) - b | = | α|. আলে তাই ইয়াক a(x)- অসীম ছোট, তারপর পর্যাপ্ত ε সহ δ আছে - বিন্দুর আশেপাশের একটি,মোটেও এক্সকোন অর্থের জন্য a(x)অনুগ্রহ |α(x)|< ε টোডি |f(x) – b|< ε এবং tse মানে কি.

2. Yakscho, তারপর যাই হোক না কেন ε >0 সবার জন্য এক্স z deykoї δ - বিন্দুর প্রতিবেশী কইচ্ছাশক্তি |f(x) – b|< ε আলে, কতটা তাৎপর্যপূর্ণ f(x) - b = α, তারপর |α(x)|< ε, এবং tse মানে যে ক- অবিশ্বাস্যভাবে ছোট।

চলুন অসীম ছোট ফাংশন প্রধান শক্তি কটাক্ষপাত করা যাক.

উপপাদ্য ঘ.দুই, তিন এবং শেষ সংখ্যার একটির বীজগণিতের যোগফল অসীমভাবে ছোট এবং ফাংশনটি অসীমভাবে ছোট।

আনয়ন. আমাদের দুটি dodankіv জন্য একটি প্রমাণ প্রদান করা যাক. চলে আসো f(x)=α(x)+β(x), de i. আমরা আনতে হবে, একটি ছোট এক মত যথেষ্ট সঙ্গে scho? > 0 পাওয়া যাবে δ> 0, তাই কি জন্য এক্স, নার্ভাসনেস মেটাতে | x – a |<δ , জয় |f(x)|< ε.

এছাড়াও, আমরা বেশ একটি সংখ্যা ε ঠিক করি > 0. মানসিক উপপাদ্য পিছনে Shards α(x)- একটি অসীম ছোট ফাংশন, তাহলে কি এমন একটি জিনিস আছে? > 0 কি জন্য | x – a |< δ 1 মেয়ো |α(x)|< ε / 2. একইভাবে, scallops β(x)- অসীম ছোট, তারপর δ 2ও আছে > 0 কি জন্য | x – a |< δ 2 হতে পারে | β(x)|< ε / 2.

ভিজমেমো δ=মিনিট(δ1 , δ2 } . বিন্দুর উপকণ্ঠে টোডি কব্যাসার্ধ δ ত্বকের বিরক্তিকরতা কাটিয়ে উঠুন |α(x)|< ε / 2 যে | β(x)|< ε / 2. Otzhe, ভবিষ্যতে আপনার উপকণ্ঠে

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tobto |f(x)|< ε, যা আনা দরকার ছিল।

উপপাদ্য 2। Dobutok অসীম ছোট ফাংশন a(x)বিনিময় ফাংশন f(x)এ x→a(অন্যথায় যখন x→∞) একটি অসীম ছোট ফাংশন।

আনয়ন. Oskilki ফাংশন f(x) fringed, তারপর іsnuє kіlkіst এমতাই মানে কি এক্স deyakoї পয়েন্টের উপকণ্ঠ থেকে a|f(x)|≤M.এছাড়াও, shards a(x)- অসীম ছোট ফাংশন এ x→a, তারপর যথেষ্ট ε জন্য > বিন্দুর চারপাশে 0 পাওয়া গেছে ক, যেখানে অস্বস্তি আছে |α(x)|< ε /এম. Todі কম s tsikh কাছাকাছি maєmo | αf|< ε /এম= ε। এবং tse মানে যে af- অবিশ্বাস্যভাবে ছোট। বিপদুর জন্য x→∞প্রমাণ একই ভাবে বাহিত হয়.

নিম্নলিখিত তত্ত্বগুলি বের করা হয়:

শেষ ১.ইয়াকশো আমি, তারপর।

শেষ 2।যক্ষ্চো i c= const, তারপর।

উপপাদ্য 3.একটি অসীম ছোট ফাংশন প্রস্তাব α(x)প্রতি ফাংশন f(x), যার মধ্যে শূন্য থেকে দৃশ্যমান, একটি অসীম ছোট ফাংশন।

আনয়ন. চলে আসো. টোদি ঘ /f(x)є ফাংশন সীমিত। অতএব, drіb є tvіr neskіchenno ї malї ї ї ї ї ї ї ї zamezhenu ফাংশন, যে। ফাংশন অসীম ছোট.

অসীম ছোট এবং মহান গণনা

অসীম ছোট হিসাব- গণনা, অসীম ছোট মান দিয়ে গণনা করা হয়, কিছু খারাপ ফলাফলের জন্য, এটি অসীমভাবে ছোট একটি অসীম যোগফল হিসাবে গৃহীত হয়। অসীম ছোট পরিমাণের গণনা হল ডিফারেনশিয়াল এবং অখণ্ড গণনার জন্য একটি মৌলিক ধারণা, যা আধুনিক গণিতের ভিত্তি তৈরি করে। অসীম ক্ষুদ্র মাত্রার ধারণাটি সীমানা বোঝার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।