Te moči oblasti so neizprosno velike. Določeno neizprosno veliko zaporedje

30.07.2020

Štetje neskončno majhnega in velikega

Izračun neskončno majhnega- izračun, izračunan z neskončno majhnimi vrednostmi, za nek slab rezultat se sprejme kot neskončna vsota neskončno majhnih. Izračun neskončno majhnih količin je globoko razumevanje za diferencialne in integralne izračune, ki so osnova sodobne višje matematike. Koncept neskončno majhne magnitude je tesno povezan z razumevanjem meje.

Neizprosno majhna

Zaporedje a n klical neskončno majhen yakscho. Na primer, zaporedje števil je neskončno majhno.

Funkcija se imenuje neskončno majhna na obrobju točke x 0, torej .

Funkcija se imenuje neskončno majhno na neskončno majhnem, všeč oz .

Prav tako je neskončno majhna funkcija, ki je razlika med funkcijo in njo, tako da , potem f(x) − a = α( x) , .

Neizmerno velika vrednost

Zaporedje a n klical neskončno super, všeč .

Funkcija se imenuje neskončno super na obrobju točke x 0, torej .

Funkcija se imenuje neizprosno velik na neizprosnosti, všeč oz .

V vseh načinih je lahko desničarstvo desničarja v primeru enakovrednosti na ušesu, pevski znak (bodisi "plus" ali "minus"). Tobto, na primer, funkcija x greh x ni nepredstavljivo velik pri.

Moč neskončno majhnega in neskončno velikega

Spajanje neskončno majhnih količin

Kako uskladiti neskončno majhne količine?
Nastavitev neskončno majhnih vrednosti naredi tako imenovano nepomembnost.

Sestanek

Predpostavimo, da imamo ê neskončno majhno z enako vrednostjo α( x) in β( x) (sicer, če ni smisla za namen, je zaporedje neskončno majhno).

Za izračun takih posrednikov je enostavno uporabiti Lopitalovo pravilo.

Uporabite ujemanje

Do zmag Pro-V napadu se lahko zapišejo simboli za razveljavitev rezultatov x 5 = o(x 3). V tem primeru so evidence poštene 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Enakovredne vrednosti

Sestanek

Yakscho, potem se imenujejo neskončno majhne količine α in β enakovreden ().
Očitno je, da se bodo ekvivalentne vrednosti ê imenovale številne neskončno majhne vrednosti istega reda velikosti.

S pravičnostjo naslednjih ekvivalenčnih razmerij: , , .

Izrek

Meje med zasebno (vidno modro) dveh neskončno majhnih količin ni mogoče spremeniti, tako da je treba eno od njiju (ali žaljivo) nadomestiti z enakovredno vrednostjo.

Tsya izrek je mogoče uporabiti vrednost, ko je razlika med (div. zadnjico).

Butt vikoristannya

Zamenjava sjazn 2x enakovredna vrednost 2 x, vzamemo

zgodovinska risba

Koncept "neizmerno majhnega", o katerem so v antiki razpravljali v povezavi s konceptom nedoslednih atomov, ni prišel v klasično matematiko. Ponovno se je rodila s pojavom v 16. stoletju »nepravilne metode« - razbitja stare figure na majhnem križu.

V 17. stoletju je bila algebra števil neskončno majhna. Smrad so začeli označevati kot številčno vrednost, kot manjšo za vsako končno (neničelno) vrednost, pa vendarle ni enaka nič. Znanost o analizi naj bi bila zložena spivvіdnoshennia, scho maščevati neskončno majhne (diferenciale), to buv - do integracije joge.

Koncept so podali matematiki stare šole neverjetno majhen ostro kritiko. Michel Roll je zapisal, da je nova številka " zbirka briljantnih odpustkov»; Voltaire, ki je skrbno spoštoval, da se šteje z znanostjo o štetju in natančnim štetjem govorov, katerih osnova se ne da razkriti. Navit Huygens je vedel, da razume pomen diferencialov višjih redov.

Kot ironija lahko gledamo na pojav sredi stoletja nestandardne analize, se pravi, da primarna točka zore - pravzaprav ni premajhna - tudi ni vrhunska in bi jo lahko postavili v osnovo. analize.

div. tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Vprašajte se, kaj je "neverjetno odlično" v drugih slovarjih:

Vrednost Y se spremeni, zavije v neskončno majhno vrednost X, tako da je Y = 1/X ... Veliki enciklopedični slovar

Vrednost y se spremeni, zavije v neskončno majhno vrednost x, tako da je y = 1/x. * * * HITRO ODLIČNO, NESKONČNO ODLIČNO, spremenljiva vrednost Y, obratna neskončno majhna vrednost X, nato Y = 1/X … Enciklopedični slovar

V matematiki vrednost spremembe, tako kot v danem procesu spremembe, postane in se napolni z absolutno vrednostjo, ki je večja od katere koli vnaprej dane številke. Vivchenya Bi. b. velikosti se lahko zmanjšajo do meje neskončno majhne. Velika radianska enciklopedija

Def.: Funkcija se imenuje neskončno majhen pri , yakscho .

Pri zapisu "" bomo to priznali x0 lahko vzamete kot kíntseve pomen: x0= Konst, tako in neodrt: x0= ∞.

Moč neskončno majhnih funkcij:

1) Algebraična vsota končnega števila je neskončno majhna na funkcijo in neskončno majhna na funkcijo.

2) Dobutok zadnjega števila neskončno majhen za funkcijo in neskončno majhen za funkcijo.

3) Dobutok zamenjana funkcija na neskončno majhni funkciji je neskončno majhna funkcija.

4) Zasebno rozpodіlu neskončno majhna v primeru funkcije na funkciji, med katero je vídminna nič, in neskončno majhna v primeru funkcije.

rit: funkcija l = 2 + x je neskončno majhen pri , ker .

Def.: Funkcija se imenuje neskončno super pri , yakscho .

Moč neskončno velikih funkcij:

1) Vsota neskončno velikega za funkcije in neskončno velikega za funkcijo.

2) Twir je neizogibno velik v primeru funkcije na funkciji, med katero je vídmіnna v obliki ničle, je neizogibno velik v primeru funkcije.

3) Vsota je neizprosno velika za funkcijo in opisana funkcija je neizčrpno velika funkcija.

4) Zasebno je videti kot neskončno velik v funkciji do funkcije, kar je lahko konec vrstice, in neskončno velik v funkciji.

rit: funkcija l= є neskončno veliko pri , ker .

Izrek.Povezava med neskončno majhnimi in neskončno velikimi veličinami. Če je funkcija neskončno majhna pri , potem je funkcija neskončno velika pri . Prvič, ker je funkcija neskončno velika pri , potem je funkcija neskončno majhna pri .

Rojstvo dveh neskončno majhnih jemljemo za simbol, dveh neskončno velikih - za simbol. Užaljen zaradi modrega in nevidnega za ta občutek, ki in mejo je mogoče uporabiti, in іsnuvati, dodajte pesmi številko chi, vendar ne omejeno v obliki posebnih funkcij, kot je vnos nepomembnosti govora.

Krema nepomembnosti se zdi nepomembna in zato virazi:

Cena je neskončno višja za en znak;

Tvіr neskončno majhen do neskončno velik;

Indikativno-stopenjska funkcija, katere osnova je pragna 1, indikator pa do;

Show-step funkcija, katere osnova je neskončno majhna, showman pa neskončno velik;

Show-state funkcija, osnova te predstave je, da je neskončno majhna;

Show-state funkcija, katere osnova je neskončno velika, showman pa neskončno majhen.

Povedati, da obstaja mesto nepomembnosti na jasen način. Izračun inter-named v tsikh vipadkah odprtost do nepomembnosti. Da bi razkrili nepomembnost viraža, ki stoji pod znamenjem meje, ga spremenijo v pogled, ki se nepomembnosti ne maščuje.

Pri štetju med vicarists, moč med, in navit moč neskončno majhnih in neskončno velikih funkcij.

Pa si poglejmo izračun razlike med.

1) . 2) .

4) , Ker dodajanje neskončno majhne funkcije pri zamenjavi funkcije je neskončno majhen.

5) . 6) .

7) = =

. V tej situaciji je mesto nepomembnosti za vrsto majhno, saj je bilo mogoče odpreti za pomoč razporeditev bogato razdeljenih v množitelje, to kratkost do divjega množitelja.

= .

V tej situaciji je malo prostora za nepomembnost za vrsto, kot je bilo mogoče ugotoviti s pomočjo množitelja števila in pasice za viraz, zamenjavo formule in daleč kratkega ulomka za (+ 1).

9)
. Pri tej zadnjici je nepomembnost vrste bule razkrila članska razdelitev številke in prapor ulomka na višji stopnici.

Čudovite meje

Persha čudežna meja : .

Prinašanje. Poglejmo en sam stolpec (slika 3).

Slika 3. Sam Colo

pridi no X– radialni pristop osrednjega kota MOA(), potem OA = R= 1, MK= greh x, AT=tg x. Porіvnyuyuchi kvadratni trikutnikov OMA, OTA ta sektor OMA, Vzamemo:

Preostanek živčnosti razdelimo v greh x, Vzamemo:

Torej jak na, nato za yakistyu 5) med

Zvezdice in vrednost je zavita, glede na to, da jo je bilo treba prinesti.

Opomba: Ta funkcija je torej celo majhna pri . , potem lahko izgleda prvi čudež med:

Pa si poglejmo obračun med zmagama prve čudežne meje.

Pri izračunu cene med vrednostmi je bila izračunana trigonometrična formula: .

Pa si poglejmo obračun med zmagama še ene čudežne meje.

2) .

3) . Vrsta je nepomembna. Zrobimo zaminu, torej; ob .

funkcija y=f(x) klical neskončno majhen pri x→a ali pri x→∞, kot abo, thatto. neskončno majhna funkcija - ce funkcija, med katerimi je v ts_y točkah enaka nič.

uporabiti.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 є neskončno majhna pri x→1, drobci (div. mali).

2. Funkcija f(x)=tg x- neskončno majhna pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) - neskončno majhen pri x→0.

4. f(x) = 1/x- neskončno majhna pri x→∞.

Poiščimo pomembnejšo pomoč:

Izrek. Kakšna je funkcija y=f(x) zastopnik pri x→a ob pogledu na vsoto hitrega števila b ta neskončno majhna vrednost α(x): f(x)=b+ α(x) tiste.

Nazaj, ja, potem f(x)=b+α(x), de a(x)- neskončno majhna pri x→a.

Prinašanje.

1. Prinesemo prvi del utrjevanja. Z rivnosti f(x)=b+α(x) Naslednji | f(x) - b | = | α|. Ale tako jak a(x)- neskončno majhna, potem z zadostnim ε obstaja δ - okolica točke a, nasploh x za kakršen koli pomen a(x) prosim |α(x)|< ε. Todi |f(x) – b|< ε. In kaj to pomeni.

2. Yakscho, potem za karkoli ε >0 za vse X z deykoї δ - okolica točke a volja |f(x) – b|< ε. Ale, kako pomembno f(x) - b = α, potem |α(x)|< ε, in tse pomeni to a- neverjetno majhen.

Oglejmo si glavno moč neskončno majhnih funkcij.

1. izrek. Algebraična vsota dveh, treh in enega zadnjega števila je neskončno majhna, funkcija pa neskončno majhna.

Prinašanje. Predložimo dokaz za dva dodatka. pridi no f(x)=α(x)+β(x), de i . Moramo prinesti, scho z dovolj kot majhen? > 0 je treba najti δ> 0, pa zakaj x, za potešitev nervoze | x – a |<δ , zmaga |f(x)|< ε.

Prav tako popravimo precejšnje število ε > 0. Drobci za mentalnim izrekom α(x)- neskončno majhna funkcija, potem obstaja kaj takega? > 0 za kaj | x – a |< δ 1 majoneza |α(x)|< ε / 2. Podobno, pokrovače β(x)- neskončno majhen, potem obstaja tudi δ 2 > 0 za kaj | x – a |< δ 2 morda | β(x)|< ε / 2.

Vízmemo δ=min(δ1 , δ2 } . Todi na obrobju točke a polmer δ premagajte razdražljivost kože |α(x)|< ε / 2 to | β(x)|< ε / 2. Otzhe, v vašem obrobju prihodnosti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tobto. |f(x)|< ε, ki ga je bilo treba prinesti.

2. izrek. Dobutok neskončno majhnih funkcij a(x) na zamenjano funkcijo f(x) pri x→a(sicer ko x→∞) je neskončno majhna funkcija.

Prinašanje. Oskilki funkcija f(x) obrobljen, potem іsnuє kílkіst M torej kaj je smisel x od deyakoї obrobja točke a|f(x)|≤M. Poleg tega drobci a(x)- neskončno majhna funkcija pri x→a, potem za zadosten ε > 0 najdeno okoli točke a, v katerem je nelagodje |α(x)|< ε /M. Todí v manj s tsikh blizu maêmo | αf|< ε /M= ε. In to pomeni af- neverjetno majhen. Za vipadu x→∞ Dokaz poteka na podoben način.

Izvedeni so naslednji izreki:

Zadnji 1. Yakscho i, torej.

Zadnji 2. Yakshcho i c= const, potem .

Izrek 3. Predlog neskončno majhne funkcije α(x) na funkcijo f(x), med katerimi je vidna od nič, je neskončno majhna funkcija.

Prinašanje. pridi no Todi 1 /f(x)ê Funkcija je omejena. Zato drіb є tvіr neskіchenno ї malї ї ї ї ї ї ї ї ї zamezhenu FUNKCIJO, to. funkcija je neskončno majhna.

Štetje neskončno majhnega in velikega

Izračun neskončno majhnega- izračun, izračunan z neskončno majhnimi vrednostmi, za nek slab rezultat se sprejme kot neskončna vsota neskončno majhnih. Računanje neskončno majhnih količin je temeljni koncept diferencialnih in integralnih izračunov, ki tvorijo osnovo sodobne matematike. Koncept neskončno majhne magnitude je tesno povezan z razumevanjem meje.