Kako vedeti pravilne funkcije zlaganja. funkcija zlaganja

01.01.2021

Če sledite sestankom, so funkcije podobne točki - meja je meja za rast funkcije Δ y do prirastka argumenta Δ x:

Vse je bilo smiselno. Ale poskusite skrbeti za to formulo, recimo, isto funkcijo f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če vse deluje za sestanke, potem boste po nekaj straneh kar zaspali. Obstajajo preprosti in učinkoviti načini za to.

Prvič je spoštljivo, da je iz same razlike funkcij mogoče videti tako imenovane elementarne funkcije. Očitno gre za preproste viraže, podobne tistim, ki so jih že dolgo preštevali in vnašali v tabelo. Takšne funkcije se preprosto zapomnijo – hkrati pa so enake.

Druge osnovne funkcije

Osnovne funkcije - vse, kar je preurejeno spodaj. Pohіdnі tsikh funktіy treba plemstvo zapomniti. Tim more scho їх їм nerodno - za tiste smrad in elementarno.

Otzhe, pokhіdnі osnovne funkcije:

ime	funkcijo	dobro
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (tako tako, nič!)
Stopite z racionalnim prikazom	f(x) = x n	n · x n − 1
sinus	f(x) = greh x	cos x
kosinus	f(x) = Cos x	-greh x(minus sinus)
tangenta	f(x) = Tg x	1 / cos 2 x
kotangens	f(x) = Ctg x	- 1/greh2 x
naravni logaritem	f(x) = Ln x	1/x
delni logaritem	f(x) = Dnevnik a x	1/(x ln a)
funkcijo prikaza	f(x) = e x	e x(nič se ni spremenilo)

Če osnovno funkcijo pomnožimo s precej konstantno, je mogoče enostavno uvesti podobno novo funkcijo:

(C · f)’ = C · f ’.

Zagalom, za značko slabega je mogoče očitati konstante. na primer:

(2x 3) '= 2 ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očitno je mogoče osnovne funkcije dodajati eno za drugo, množiti, deliti - in še veliko več. Tako se pojavljajo nove funkcije, ki niso več posebej elementarne, a jih je še vedno mogoče razlikovati po preprostih pravilih. Ta pravila so pregledana spodaj.

Brezplačna sumi in maloprodaja

Pustite dane funkcije f(x) і g(x), Pokhіdnі yakikh us vіdomі. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki so podrobneje obravnavane. Todi lahko poznate strošek vsote in razliko teh funkcij:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Otzhe, pokhіdna sumi (trgovina na drobno) dveh funkcij sta dražja vsota (trgovina na drobno) pokhіdnyh. Dodankiv je morda več. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Navidezno v algebri ni pojma "videti". Є razumeti "negativni element". To je razlika f − g lahko prepišete kot vsoto f+ (-1) g, In če izgubite več kot eno formulo - slab sumi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcijo f(x) - vsota dveh osnovnih funkcij, na to:

f ’(x) = (x 2+ greh x)’ = (x 2) '+ (greh x)’ = 2x+ Cosx;

Podobno je miren za funkcijo g(x). Samo obstajajo že trije dodatki (z vidika algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

namig:
f ’(x) = 2x+ Cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

opraviti dobro delo

Matematika je logična veda, tako da koga zanima, da je vredna denarja, je vreden denarja, potem je dobro narediti stavka"> Vso srečo s slabim.

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je nerodna, a pogosto pozabljena. Pa ne samo šolarji, ampak študenti. Rezultat je napačna odločitev.

Upravitelj. Poznajte podobne funkcije: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · e x .

funkcijo f(x) Je dodatek dveh osnovnih funkcij, tako da je vse preprosto:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ' ker x + x 3 (koz x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-greh x) = x 2 (3 koz x − x greh x)

Na funkciji g(x) Prvi množitelj je malenkost zložen, vendar se shema nikakor ne spremeni. Očitno je prvi faktor funkcije g(x) To je polinom in yogo je slab - tse bad je sumi. mogoče:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · e x)’ = (x 2 + 7x- 7) '· e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x- 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

namig:
f ’(x) = x 2 (3 koz x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Spoštujte preostali čas, dobro je razdeliti na množitelje. Formalno to delo ni potrebno, vendar se večina slednjih ne šteje samostojno, temveč za nadaljevanje svoje funkcije. In to pomeni, da bo bolj oddaljen, da bo enak nič, ti znaki bodo prepoznani in tako naprej. Za tako boljši mati viraz razporedite v množitelje.

Yakshcho ima dve funkciji f(x) і g(x), poleg tega g(x) ≠ 0 h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko poznate tudi trik:

Ni slabo, kajne? Zvіdki ob minus? zakaj g 2? In os je! To je ena najbolj zapletenih formul - brez plesa je ne morete ugotoviti. Zato je bolje videti njeno na določenih zadnjicah.

Upravitelj. Poznajte podobne funkcije:

Številka in pasica posnetka kože imata osnovne funkcije, vse, kar potrebujemo, je formula podobnega zasebnega:

Po tradiciji število damo v množitelje - pomembno je vprašati odgovor:

Funkcija zlaganja - ne obov'yazkovo formula dozhinoy v pіvkіlometra. Na primer, dokončajte funkcijo f(x) = greh x in zamenjaj spremembo x, Recimo naprej x 2+ln x. weide f(x) = greh ( x 2+ln x) - tse i є zložljiva funkcija. To je tudi slabo za njo, ampak da bi vedela, da je v ozadju pravil, pogledal na več, ne video.

Yak buti? V takih primerih pri zamenjavi spremembe pomaga formula funkcije zlaganja zlaganja:

f ’(x) = f ’(t) · t', Yakscho x nadomestiti z t(x).

Praviloma je z vidika formule formula bolj povzeta, nižja od zasebne. Na to je njen tezh mogoče na kratko razložiti o določenih zadnjicah, opis poročila kožna drobtina.

Upravitelj. Poznajte podobne funkcije: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2+ln x)

S spoštovanjem, kaj je v funkciji f(x) Zamenjaj virus 2 x+ 3 bo enostavno x, Potem imamo osnovno funkcijo f(x) = e x. Temu robimo zaminu: naj 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Funkcije zlaganja Shukaêmo go za formulo:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

In zdaj - spoštovanje! Vikonuemo zvorotnu zaminu: t = 2x+ 3. Odnesi:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Zdaj pa si oglejmo funkcijo g(x). Očitno je treba zamenjati x 2+ln x = t. mogoče:

g ’(x) = g ’(t) · t'= (Greh t)’ · t'= Cos t · t ’

Zamenjava za vračilo: t = x 2+ln x. potem:

g ’(x) = Cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)'=Cos( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Od mene vse! Kot je razvidno iz ostalega viraža, je bila celotna naloga izvedena v obsegu stroškov donosne vsote.

namig:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) Ker ( x 2+ln x).

Še pogosteje v svojih lekcijah zamenjava izraza "pokhіdna" uporabljam besedo "možganska kap". Na primer, udarec sumi je dražji od vsote udarcev. Tako pametnejši? No, od mene dobro.

V tem rangu, izračun pokhіdnoї zavoditsya na olajšanje, ko vidimo te kapi sami za pravili, poglejmo natančneje. Tako kot ostala zadnjica, se obrnimo na naslednji korak z racionalnim prikazom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi ve, kdo je v vlogi n kot celoto se lahko uporabi ulomno število. Na primer, koren - tse x 0,5 In kaj boš kot pod korenom stal pod imenom imena? Na novo zložljiva funkcija - takšni dizajni radi dajejo nadzornim robotom in testom.

Upravitelj. Poznajte povezane funkcije:

Za storž prepišemo koren vizualnega koraka z racionalnim indikatorjem:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Zdaj robimo zaminu: pusti to x 2 + 8x − 7 = t. Vemo, da sledimo formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t'= 0,5 t-0,5 t ’.

Robimo zvorotnu zaminu: t = x 2 + 8x- 7. maj:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0,5 ( x 2 + 8x- 7) '= 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nareshti, ki se obrača k koreninam:

Virishuvati fizične probleme ali uporabljati matematiko je popolnoma nemogoče brez znanja o načinu in metodah izračunavanja. Pokhіdna - ena najpomembnejših za razumevanje matematične analize. Temeljni temi smo pisali, da bi posvetili današnji članek. Kaj je tako slabega, kakšne fizične in geometrijske spremembe, kako pokvariti dobro funkcijo? Vse diete je mogoče združiti v eno: kako naj razumem, kako naj grem?

Geometrijske in fizične spremembe

Daj no, funkcija f(x) , Nastavite v trenutnem intervalu (A,b) . Točki x in x0 ležita na tem intervalu. Ko spremenite x, se spremeni sama funkcija. Sprememba argumenta - razlika v vrednosti joge x-x0 . Kakšna razlika je zabeležena kot delta x in se imenuje rast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije se imenuje razlika vrednosti funkcije na dveh točkah. Dogovor za potovanje:

Pokhіdna funktsії v točki - meja povečanja funkcije v dani točki do rasti argumenta, če je ostalo naravnost na nič.

Sicer pa lahko napišeš takole:

Kakšen je smisel poznavanja takšne meje? In os je yaki:

podobno funkciji v točki na tangento kute med oglišči OX in podobno grafu funkcije v dani točki.

Fizični menjalnik: pokhіdna način za uro dorivnyuє shvidkostі pravokotno ruhu.

Res je, tudi med šolskimi urami vsi vedo, da je swidkist zasebna pot x=f(t) i uro t . Povprečna hitrost za interval pesmi:

Schob, da prepozna varnost hitenja v trenutku ure t0 potrebno je izračunati meje:

Prvo pravilo: krivite konstanto

Za slab znak je mogoče kriviti konstanto. Več kot to - treba je delati. Ko vyrіshennі prikladіv z matematiko vіzmіt praviloma - kako lahko vprašaš viraz, obov'azkovo vprašaj .

Zadka. Izračunajmo stroške:

Pravilo prijatelju: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Enako velja za podobne maloprodajne funkcije.

Ne izpostavljajmo zaključkov izreka, temveč praktičen primer.

Poznajte povezane funkcije:

Tretje pravilo: funkcije je bolje nadgraditi

Stroški dodajanja dveh diferencialnih funkcij se izračunajo po formuli:

Primer: poznati naslednje funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno povedati o številu podobnih funkcij zlaganja. Zamenjava zgibne funkcije je podobna zamenjavi podobne funkcije z vmesnim argumentom podobnemu vmesnemu argumentu z neodvisno spremembo.

V vischevkazanny zadnjici mi zustrіchaєmo viraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x v peti stopnji. Za izračun stroškov takšne viraze moramo upoštevati stroške najbolj zunanje funkcije vmesnega argumenta in nato pomnožiti s ceno srednjega argumenta neodvisne spremembe.

Četrto pravilo: podobno kot zasebni dve funkciji

Formula za definiranje podobne vrste zasebnih dveh funkcij:

Poskušali smo vam povedati o počitnicah za čajnike iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se izkaže, je mogoče zaradi tega: testenine pogosto streljajo v rit, zato bodite previdni pri štetju.

Iz nekega razloga se za druge teme lahko vrnete v študentski servis. Za kratek čas vam bomo pomagali preveriti trenutni kontrolni seznam in razvrstiti naloge, tako kot prej se niste ukvarjali z izračunom zadnjih.

І izrek o pokhіdnu zložljivih funkcijah, katerega formulacija je naslednja:

Naj bo 1) funkcija $ u = \ varphi (x) $ max na trenutni točki $ x_0 $ pojdi $ u_ (x) "= \ varphi" (x_0) $, 2) funkcija $ y = f (u) $ max pri pika trenutne točke $u_0 = \varphi(x_0)$loho $y_(u)"=f"(u)$. Podobno je zložljiva funkcija $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $ na točki ugibanja tudi nekoliko težavna, tako da lahko znova zaženete podobne funkcije $ f (u) $ i $ \ varphi (x) $:

$$ \left(f(\varphi(x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi(x_0)\right)\cdot\varphi"(x_0)$$

sicer v daljši stenografiji: $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

V zadnjici katere sem razdelil vse funkcije lahko izgledajo $ y = f (x) $ (torej je mogoče videti samo funkcije ene spremembe $ x $). Očitno je v vseh zadnjicah slabo $ y "$ sprejeti spremembo $ x $. Na primer, tisti, ki so dobri za spremembo $ x $, pogosto zamenjajo $ y" $ pišejo $ y "_x $.

V zalogah št. 1, št. 2 in št. 3 je vključen podroben postopek spoznavanja funkcij zlaganja. Zadnjica št. 4 sestankov za boljše razumevanje tabel podobnih in o tem nima smisla vedeti.

Bazhano po zaključku materiala v opornicah št. 1-3 pojdite na samostojno dodelavo zadnjic št. 5, št. 6 in št. 7. Uporabite št. 5, št. 6 in št. 7 za kratko odločitev, tako da lahko bralec takoj spremeni pravilnost svojega rezultata.

zadnjica №1

Poiščite podobno funkcijo $ y = e ^ (\ cos x) $.

Poznati moramo pravilno zložljivo funkcijo $ y "$. Ker je $ y = e ^ (\ cos x) $, potem je $ y" = \ levo (e ^ (\ cos x) \ desno) "$. pravilno $ \ levo (e ^ (\ cos x) \ desno) Za zmago v formuli #6 je treba popraviti, kar je po našem mnenju $ u = \ cos x $. Nadalje se rešitev uporablja v banalnih postajah v formuli št. 6 izraza $ \ cos x $ zamenjaj $ u $:

$$y "= \left(e^(\cos x)\desno)" = e^(\cos x)\cdot (\cos x)"\tag(1.1)$$

Zdaj je treba poznati vrednost $ (\ cos x) "$. Vrnimo se k spodnjim tabelam in iz nje izberemo formulo št. 10. V formulo št. 10 zamenjamo $ u \u003d x $, morda: $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$. Zdaj nadaljujemo z enakostjo (1.1) in jo dodamo rezultatu:

$$y "=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot(\cos x)"=e^(\cos x)\cdot(-\sin x \ cdot x ") \ oznaka (1.2) $$

Ker je $ x "= 1 $, lahko nadaljujemo z enakostjo (1.2):

$$y "=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot(\cos x)"=e^(\cos x)\cdot(-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot(-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x)\tag(1.3)$$

Otzhe, z rіvnostі (1.3) lahko: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. 1.3).

dokaz: $Y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

zadnjica №2

Poiščite naslednjo funkcijo $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $.

Izračunati moramo stroške $ y "= \ levo (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ desno)" $. Za storž je pomembno, da je konstanta (to je številka 9) kriva za slab znak:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\desno)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"\tag(2.1)$$

Zdaj pa poglejmo $ \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ desno) "$. Da bi izbral formulo iz podobnih tabel, si bom predstavljal, da izgleda takole: $ \ levo ( \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(12)\right)"$. Zdaj lahko vidite, da je treba formulo #2 prilagoditi, tako da $ \ Left (u ^ \ alpha \ right) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. Lahko predstavimo formulo $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ i $ \ alpha = 12 $:

Dopolnjevanje enakosti (2.1) se odšteje od rezultata, morda:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\desno)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"\tag(2.2)$$

V tej situaciji je pogosto dovoljeno oprostitev, če je prva izbira formula $ (\ arctg \; u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ zamenjaj formulo $ \ levo (u ^ \ alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Na desni je v tem, da je kriv prvi, podobna funkcija. Če želite razumeti, da bo funkcija sama poklicana za izraz $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $, pokažite, da vam je mar za vrednost $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ za katero koli vrednost $ x $. Začnite tako, da ugibate vrednost $ 5 ^ x $, nato pa rezultat pomnožite s 4 in odštejete $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Zdaj glede na rezultat vzamemo tangento loka in odštejemo $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. Nato bomo številko vzeli v dvanajstih korakih in vzeli $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $. Preostanek dneva, - da se dvigne na stopnjo 12, - in bo pravilna funkcija. In takoj naslednja stvar je bila začetek pokhіdnoj znahodnoї, ki je bila razbita v enakovrednost (2.2).

Zdaj je treba vedeti $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$. Lahko zmagamo s formulo št. 19 podobnih tabel, tako da v njej nadomestimo $ u = 4 \ cdot \ ln x $:

$$(\arctg(4\cdot\ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot\ln x)^2)\cdot(4\cdot\ln x)" $$

Trochy je mogoče zlahka odšteti od viraza, če pogledamo $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.

$$(\arctg(4\cdot\ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot\ln x)^2)\cdot(4\cdot\ln x)"=\frac( 1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "$$

Lastniški kapital (2.2) bo zdaj postal:

Pozabljeni vedeti $ (4 \ cdot \ ln x) "$. Za slab znak krivimo konstanto (to je 4): $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$ . Da bi vedeli $ (\ ln x) "$ zmagovita formula #8 z zamenjavo $ u = x $: $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "$. Ker je $ x "= 1 $, potem je $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x ) $ Če rezultat odštevanja nadomestimo s formulo (2.3), odštejemo:

$$y "=\left(9\cdot\arctg^(12)(4\cdot\ln x)\desno)" = 9\cdot \left(\arctg^(12)(4\cdot\ln x) \right)"=\\=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot(\arctg(4\cdot\ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot\ln x)\desno)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot(4\cdot\ln x)" = \\=108\cdot\left(\arctg(4\cdot\ln x)\right)^(11)\cdot\frac(1)(1+16\cdot\ln^2x)\cdot 4\ cdot\ frac(1)(x)=432\cdot\frac(\arctg^(11)(4\cdot\ln x))(x\cdot(1+16\cdot\ln^2x)).$ $

Predvidevam, da se funkcije zlaganja najpogosteje nahajajo v eni vrstici - kot je zapisano v preostalem delu enačbe. Zato med izvedbo tipičnih rozrahunkiv ali krmilnih robotov ni obvezno sestaviti odločitve o talnih oblogah in poročati.

dokaz: $Y"=432\cdot\frac(\arctg^(11)(4\cdot\ln x))(x\cdot(1+16\cdot\ln^2x))$.

zadnjica №3

Vedite $y "$funkcija $y = \sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Za storže troha obrnemo funkcijo $ y $, obesimo radikal (koren) v istem koraku: $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ left (\ sin ( 5 \ cdot 9 ^ x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Zdaj pa preidimo na slabe stvari. Torej $y = \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, potem:

$$y "= \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"\tag(3.1)$$

Osvojimo formulo št. 2 iz tabel podobnih in vanjo nadomestimo $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ i $ \ alpha = \ frac (3) (7) $:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1)(\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"$$

Prodovzhimo rivnist (3.1), vikoristuyuchi odštejemo rezultat:

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"\tag(3.2)$$

Zdaj je treba vedeti $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$. Formulo št. 9 lahko rešimo iz podobnih tabel in vanjo nadomestimo $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $:

$$(\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Če rezultatu dodamo enakost (3.2), lahko:

Pozabil sem vedeti $ (5 \ cdot 9 ^ x) "$. Za storže krivimo konstanto (število $ 5 $) za predznak podobnega, tako da $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$ . Za vrednost podobnih $ (9 ^ x)" $ lahko ustvarimo formulo št. 5 podobnih tabel in vanjo nadomestimo $ a = 9 $ i $ u = x $: $ (9 ^ x) "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. Ker je $ x "= 1 $, potem je $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Zdaj lahko nadaljujemo z enakostjo (3.3):

$$y "=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\=\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"=\frac(3)(7)\cdot\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Korake lahko obrnete na radikale (to je koren) tako, da napišete $ \ left ( \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ desno) ^ (- \ frac (4) (7)) $ pri iskanju $ \ frac (1 ) (\levo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^ x)))$. Todi Pokhіdna bo posnet v naslednji obliki:

$$y"=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

dokaz: $Y"=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot\frac(\cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

zadnjica №4

Pokažite, da sta si formuli št. 3 in št. 4 v tabelah podobni ter zadnji v formuli št. 2 tabel.

Formula št. 2 tabel podobnih ima podobno funkcijo $ u ^ \ alpha $. Če zamenjamo $ \ alpha = -1 $ v formulo # 2, vzamemo:

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ oznaka (4.1) $$

Ker je $ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ i $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $, potem lahko pariteto (4.1) prepišemo na naslednji način: $ \left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tse in є formula št. 3 tabele podobnih.

Vračam se nazaj k formuli št. 2 tabel podobnih. Nadomestki v njem $ \alpha = \frac (1) (2) $:

$$ \left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" = \frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag(4.2)$$

Torej $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$i$u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) ) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $, potem lahko pariteto (4.2) prepišemo na naslednji način:

$$(\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot\frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) ) \ cdot u "$$

Otrimana pariteta $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $ i є formula št. 4 tabele podobnih. Tako kot Bachite sta formuli št. 3 in št. 4 tabel podobni formulama št. 2 z zamenjavo običajne vrednosti $ \ alpha $.

Pri tej lekciji se naučimo vedeti zložljive funkcije. Lekcija je logično nadaljevanje zaposlitve Kako naj vem, če bom šel?, na katerem smo izbrali najpreprostejše od najslabših, spoznali pa smo tudi pravila diferenciacije in nekaj tehničnih trikov spoznavanja najslabšega. V takem rangu, tudi če nimate podobnih funkcij ali če trenutkov teh člankov ne boste razumeli, se boste zavedali pridobljene lekcije. Bodi prijazen, zresni se resno – material ni preprost, a vseeno se trudim, da bi joga bila enostavna in dostopna.

V praksi se boste pri priložnostnem zlaganju morda morali držati pogosteje, bi rekel, če ste prepričani, če ste dobili nalogo, da sprejmete mrtve.

Če pogledamo tabelo za pravilo (št. 5) diferenciacije funkcije zlaganja:

Oglejmo si. Persh za vse, zversko spoštovanje do rekorda. Tukaj imamo dve funkciji - i, poleg tega je funkcija, figurativno navidezno, vgrajena v funkcijo. Funkcija te vrste (če je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje zložljiva funkcija.

Poklical bom funkcijo pravilno delovanje, Funkcija - notranja (ali vgrajena) funkcija.

! Navedeni podatki niso teoretični in niso odgovorni za figuriranje pri končni zasnovi naloge. Neuradno govorim o »zunanji funkciji«, »notranji« funkciji samo zato, da bi vam olajšal razumevanje snovi.

Da bi razjasnili situacijo, poglejmo:

zadnjica 1

Poznajte povezane funkcije

Pod sinusom ne poznamo samo črke "iks", ampak celoten viraz, tako da po tabeli poznate bolje kot tabelo. Ugotavljamo tudi, da tukaj ni mogoče blokirati prvih dveh pravil, obstaja razlika, na desni pa v tem, da ni mogoče "razdeliti" sinusa:

V tej aplikaciji sem že iz moje razlage intuitivno ugotovil, da je funkcija zložljiva funkcija, poleg tega je polinom notranja funkcija (gnezdenja) in je zunanja funkcija.

Prvi krok, ki je potreben za vikonati s potrebnimi zložljivimi funkcijami pokhіdnoї razіbratisya, kot funkcija je notranja, in kot - zunaj.

V času preprostih aplikacij je bilo razumljeno, da je sinus prispevkov polinom. A kako buti, kako ni vse očitno? Kako točno mislite, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Za katerega izgovarjam zmagovit žaljiv sprejem, ki ga lahko izvedemo v mislih ali na črno.

Očitno moramo na kalkulatorju izračunati vrednost stopnje pri (zamenjava enega je lahko številka).

Kaj lahko izračunamo v pershu black? Sredi ničesar potrebno bo, da pride vikont: potem bo polinom notranja funkcija:

Prijatelj ima črno vedeti bo treba, da bo sinus enaka funkcija:

Po tem, jak mi ODKRITI z notranjimi in zunanjimi funkcijami je čas, da zastosuvat pravilo diferenciacije zgibnih funkcij.

Začnimo prisegati. 3 lekcije Kako naj vem, če bom šel? spomnimo se, da se zasnova odločitve, ne glede na to, ali gre za pokhіdnoї zavzhda, začne takole - robimo brke v rokah in damo potezo na desni:

na storžu poznamo podobne funkcije (sinus), se čudimo tabeli podobnih elementarnih funkcij in ugotavljamo, da. Vse tabelarne formule so fiksne in v tem vipadku, kot je "iks", zamenjajte z zložljivim virazom, v tem pogledu:

Razkrijte spoštovanje, kaj je notranja funkcija se ni spremenilo, nam je vseeno.

No, vem, da je to očitno

Rezultat zastosuvannya formul v končnem dizajnu izgleda takole:

Konstantni množitelj je kriv za storž virazi:

Če ste izgubili svojo nerazumljivost, prepišite odločitev na papir in še enkrat preberite razlago.

zadnjica 2

Poznajte povezane funkcije

zadnjica 3

Poznajte povezane funkcije

Kako zapisati za vedno:

Izbiramo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Za koga poskušamo (misli ali na črno) izračunati vrednost virusa pri. Kaj je potrebno za viskonat v Persh Cherga? V prvi vrstici je treba pogledati, kaj je vredno podpore: zato je polinom notranja funkcija:

Jaz, šele potem bomo osvojili povezave v korakih, potem, državna funkcija- namenska funkcija:

Kar zadeva formulo, je treba na prvi pogled vedeti, kako je pravilna funkcija, na ta način, stopnja. Rozshukuemo v tabelah bom potreboval formulo:. Ponovimo še enkrat: ali tabelarna formula ne velja samo za "iks", ampak za zlaganje virazu. V tem vrstnem redu je rezultat postavitve pravila diferenciacije zložljive funkcije ofenziv:

Ne zavedam se, da če si vzamemo odmor od zunanje funkcije, se notranja funkcija pri nas ne spremeni:

Zdaj je izgubljeno vedeti preprost način za ogled notranjih funkcij in "česanje" rezultata:

zadnjica 4

Poznajte povezane funkcije

Tse zadnjica za samostojna odločitev(Pregled na koncu lekcije).

Za popravljanje funkcije zlaganja rožmarina bom dal rit brez pripomb, poskusite samostojno razširiti, umiriti, de call in de notranjo funkcijo, zakaj želite to narediti sami?

zadnjica 5

a) Poznajte ustrezne funkcije

b) Poznajte ustrezne funkcije

zadnjica 6

Poznajte povezane funkcije

Tukaj imamo koren, in da bi ga razlikovali, ga je treba predstaviti na vizualni ravni. Na ta način induciramo funkcijo na zadnji strani v ustrezno obliko za diferenciacijo:

Z analizo funkcije pridemo do točke, ko je vsota treh dodatkov notranja funkcija, vsota treh dodatkov pa zunanja funkcija. Pravilo diferenciacije funkcij zlaganja je določeno:

Koraki so ponovno predstavljeni z vizualnim radikalom (root), za naključno notranjo funkcijo pa je določeno preprosto pravilo diferenciacije sumija:

Pripravljen. Možno je prinesti viraz v lokih na spalni transparent in vse zapisati v enem ulomku. Lepo je, čudovito, a če so obsežni stari dnevi dobrih časov, je bolje, da se ne sramežljivo (lahko se je izgubiti, dovolite nespodobno pomilostitev, ta vikladač bo neročno napačno razložen).

zadnjica 7

Poznajte povezane funkcije

To je primer za samostojno rešitev (pregled na koncu lekcije).

Pomembno je omeniti, da lahko poleg zamenjave pravila diferenciacije zložljive funkcije spremenite pravilo diferenciacije zasebne , Toda potem bo rešitev videti kot zvita smešna. Osna značilnost zadnjice:

zadnjica 8

Poznajte povezane funkcije

Tukaj lahko prilagodite pravilo diferenciacije zasebnega , Ale bolje poznati s pravilom diferenciacije funkcij zlaganja:

Pripravimo funkcijo za diferenciacijo - za slab znak krivimo minus, kosinus pa se vzame v številko:

Kosinus je notranja funkcija, koraki do stopal so zunanja funkcija.
Koristimo naše pravilo:

Vemo, da so notranje funkcije izginile, kosinus je vržen nazaj:

Pripravljen. Za gledano zadnjico je pomembno, da se ne izgubi v znakih. Pred govorom poskusite virishiti jogo za pomoč pravila , Vіdpovіdі kriv spіvpasti.

zadnjica 9

Poznajte povezane funkcije

To je primer za samostojno rešitev (pregled na koncu lekcije).

Do sedaj smo si ogledali pregibe, če bi imeli v funkciji zlaganja le en vložek. Pri praktičnih nalogah lahko pogosto uporabite iste trike, de, kot matrioška, ena na sekundo, naložba v vrstico 3 ali celo 4-5 funkcij.

zadnjica 10

Poznajte povezane funkcije

Razbiraєmosya pri prilogah ієї funkcije. Poskušam prešteti viraz za pomoč pri zadnji vrednosti. Kako si prišel v kalkulator?

Treba je poznati srce, to pomeni, da je arcsin najpomembnejši prispevek:

Potem kvadrirajmo arcsin enote:

І, nareshti, vnesemo simbol v korake:

Torej, v tej aplikaciji imamo tri različne funkcije in dve gnezdenji, pri katerih je najbolj notranja funkcija arcsin, najbolj zunanja funkcija pa funkcija prikaza.

začnemo virišovati

Praviloma se je treba po pravilni funkciji obrniti na storž. Pogledamo tabelo najslabših in je znano, da je funkcija prikaza enaka: Edina razlika je zamenjava "iksa" v našem zložljivem viru, ki ne napoveduje pravičnosti formule. Tudi rezultat postavitve pravila diferenciacije zložljive funkcije ofenziv:

Pod zaključkom imamo novo funkcijo zlaganja! Ale, to je že bolj preprosto. Enostavno je perekonatisya, da je notranja funkcija arcsin, zunanja funkcija je stopalo. Po pravilu diferenciacije zložljive funkcije je treba narediti nižjo stopničko.

Operacija vizualizacije se imenuje diferenciacija.

Posledično se je pri reševanju problemov o odkrivanju podobnih v najpreprostejših (in še ne enostavnejših) funkcijah glede na označbo podobnega kot med prirastkom na prirast argumenta pojavila tabela podobnih in popolnoma enakih pravil diferenciacije. Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) sta bila prva, ki sta delala na področju poznavanja preteklosti.

Zato v naši uri, da bi vedeli, ali je funkcija dobra, ni treba izračunati ugibanja, meje med povečanjem funkcije in povečanjem argumenta, ampak je treba pospešiti tabela podobnih in pravila diferenciacije. Za poznavanje prihodnosti je treba uporabiti žaljiv algoritem.

Da bi spoznali pokhidnu, Zahtevan viraz pod znakom kapi razširite skladiščne preproste funkcije in označuje z nekaterimi dejanji (Tvir, vsota, zasebno) povezane s temi funkcijami. Dali slabših elementarnih funkcij so poznani v tabelah slabših, formule slabših, seštevek in zasebnih - v pravilih diferenciacije. Tabela zadnjih in pravil diferenciacije, podana po prvih dveh aplikacijah.

Primer 1. Poznajte povezane funkcije

Rešitev. Iz pravil diferenciacije je razvidno, da je vsota funkcij vsota podobnih funkcij, t.j.

Iz tabel podobnih je razvidno, da je "iksi" boljši od ena in da je sinus boljši od kosinusa. Nadomestite vrednosti qi v vsoto pokhіdnyh in poznamo potrebno mentalno nalogo pokhіdnu:

Primer 2. Poznajte povezane funkcije

Rešitev. Razlikujem, kot da bom izgubil vsoto, v kakšnem drugem dodatku s konstantnim množiteljem lahko krivim znak dobrega:

Dokler je kriva hrana, vzete zvezdice, smrad praviloma postane bolj jasen po poznavanju tabele podobnih in najpreprostejših pravil razlikovanja. Pred njimi greva takoj mimo.

Tabela podobnih preprostih funkcij

1. Pokhіdna konstante (številke). Ali obstaja število (1, 2, 5, 200 ...), kot v izraženi funkciji. Držite se na nič. Bolj pomembno se je spomniti, zato je potrebno pogosteje
2. Pokhіdna nezalezhnaya zminnoy. Večinoma "iksi". Pozabite na zdravo osamljenost. Tse tezh pomembno, da si ga zapomni za dolgo časa
3. Pokhіdna korak. V korakih pri izvajanju nalog je potrebno preoblikovati nekvadratne korene.
4. Pokhіdna zminnoi v fazi -1
5. Pokhіdna kvadratni koren
6. Pokhіdna sinus
7. Pokhіdna kosinus
8. Pokhіdna tangenta
9. Pokhіdna kotangens
10. Pokhіdna arcsin
11. Pokhіdna arkosinus
12. Pokhіdna arktangenta
13. Pokhіdna ločna tangenta
14. Pokhіdna naravni logaritem
15. Pokhіdna logaritemske funkcije
16. Pokhіdna eksponenti
17. Pokhіdna funkcija prikaza

Pravila diferenciacije

1. Pokhіdna sumi ali maloprodaja
2. Opravite dobro delo
2a. Pokhіdna izraz, pomnožen s konstantnim množiteljem
3. Pojdi zasebno
4. Funkcija zlaganja

1. praviloKakšne funkcije

razlikovanje na trenutni točki, potem ima lahko na isti točki podobne funkcije

zakaj

tako podobna algebraični vsoti funkcij starejše algebraične vsote podobnih funkcij.

Posledica. Če se dva razlikujeta na trajnem dodatku, potem sta njuna enaka, Tobto

2. praviloKakšne funkcije

razlikovanje v deakіy točki, nato v isti točki diferencialne in їх tvіr

zakaj

zato je bolje, da dve funkciji celotne količine kožnih funkcij dopolnimo s temi funkcijami za ostale.

Posledica 1. Za slab znak je mogoče kriviti konstantni množitelj:

Posledica 2. Pokhіdna creat kіlkoh diferentіyuyutsya drіvnyuє sumі tvorіv pokhіdny dermal іz spіvmulnіnіkiv іn all іnshі.

Na primer za tri večkratnike:

3. praviloKakšne funkcije

razlikovanje v deakіy točki і , potem je na tsіy točki diferencibilnega i їhnya zasebnau / v, poleg tega

tako da zasebni dvofunkcionalni dragi ulomek, število takšna razlika stvaritev bannerman za smrt številčne knjige in številčna knjiga za smrt transparenta, in transparent je kvadrat kolosalne knjige številk .

De sho shukati na drugih straneh

Ko poznate stroške dodatnega dela in delov v resničnih težavah, je vedno treba hkrati zastosovuvati pravila diferenciacije, zato je več vlog za stroške spremembe - v statistiki"Počakajte na dodatek in dele funkcij".

Spoštovanje. Pomaknite, da ne zamenjate konstante (tobto, število) kot dodatek v vsoti in kot konstantni množitelj! V časih je dodanka її pokhіdna enaka nič, v časih hitrega množitelja pa je kriv predznak zadnjih. To je tipičen pardon, kot se sliši na stopnji vzreje preteklosti, a v svetu je rešitev že dekilkoh eno-dve nadstropnih aplikacij srednji študent ni več odpuščanja.

In glede diferenciacije, ustvari nekaj zasebnega, imaš ekstra u"v, v kateri u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo isto število enako nič i, nato bodo vsi seštevci enaki nič (takšen vzorec argumentov v zadnjici 10).

drugače pogosto pomilostitev- mehanska rešitev za priložnostno zložljivo funkcijo kot priložnostno preprosto funkcijo. Tom enostavna funkcija zlaganja posvečen okrema kip. Malo kasneje se bomo naučili podobnosti preprostih funkcij.

Na poti ne gre brez menjave viraz. Za koga boste morda potrebovali pomoč pri novih oknih Dії zі koraki in korenineі Dії z ulomki .

Kako potem najdete rešitve za podobne ulomke s koraki in koreninami, če lahko funkcija pogleda , Nato pojdite na lekcijo "Dobro je imeti vrečko posnetkov s koraki in koreninami."

Yakshcho dobro pred vami zavdannya na srazok , Potem ste zaposleni z "Kot preproste trigonometrične funkcije".

Pokrokovi zadnjice - kako vedeti, če bom

Primer 3. Poznajte povezane funkcije

Rešitev. Očitno je, da je del funkcije virase: vsi virazi so tver, ti proizvodi pa sumi; Ustvarite stabilno pravilo razlikovanja: bolje je dodati dve funkciji zdravi vsoti kože in te funkcije za ostale:

Podali smo stabilno pravilo diferenciacije vsote: podobna algebraična vsota funkcij je bolj algebraična vsota podobnih funkcij. Naš um v kožni vrečki ima še en dodatek z znakom minus. Vsota kože ima veliko in neodvisno spremembo, je kot zdrava, in konstanto (število), ki je kot nič. Otzhe, "ix" se pri nas spremeni v eno, minus 5 pa na nič. Drugi je izgovoril "iks" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z istim, kot da bom izgubil "iksi". Odvzamemo prihajajoče vrednosti naslednjega:

Zamenjava znanja prihodnosti v vreči stvaritev in upoštevanje potrebne intelektualne naloge vseh funkcij:

In lahko spremenite rešitev problema na bolje.

Primer 4. Poznajte povezane funkcije

Rešitev. Vedeti moramo skrivnost zasebnega. Zastosovuêmo formulo diferenciacije zasebnega: število zasebnih dveh funkcij je enako ulomku, število takšne razlike ustvarjanja transparenta za smrt števila števila in števila števila za smrt transparenta, pasica pa je kvadrat števila številke. sprejemamo:

Faktorje v številski knjigi smo poznali že v aplikaciji 2. Ne pozabimo, da je drugi faktor v številski knjigi v aplikaciji za pretakanje vzet z znakom minus:

Kako najti rešitev za takšne težave, pri katerih morate poznati natančne funkcije, neuspešno kopičenje korenin in korakov, kot je npr. , Potem vljudno prosimo za delo "Pokhіdna vreča posnetkov s koraki in koreninami" .

No, morate vedeti več o slabših sinusih, kosinusih, tangentih in drugih trigonometrične funkcije, Tobto, če je mogoče pogledati funkcijo , Potem imate lekcijo "Kot preproste trigonometrične funkcije" .

Primer 5. Poznajte povezane funkcije

Rešitev. Ta funkcija ima veliko zavojev, eden od pogostih množiteljev teh je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, podobno smo prepoznali v tabelah podobnih. Za pravilo diferenciacije ustvarite in vzamete tabelarično vrednost kvadratnega korena:

Rešitev nalog za prihodnost je mogoče ponovno pregledati naprej spletni kalkulatorji .

Primer 6. Poznajte povezane funkcije

Rešitev. Ta funkcija je bolj zasebna, razdalja nekaterih je kvadratni koren neodvisne spremembe. Po pravilu diferenciacije zasebnega, kot smo ponovili in zataknili v prilogi 4, se vzame tabelarična vrednost kvadratnega korena: