Vizitka za linearne vektorje prahu. Osnove sistemov vektorjev

Hkrati se razvoj naprednih sistemov in vektorjev na liniji izčrpanosti pripelje do naloge določanja ranga matrike, zložene iz vektorjev sistema sistemov.

Drsno upoštevajte, da bo za p> n vektorski sistem linearno podložen.

spoštovanje: Ko je matrika A prepognjena, lahko vektorje sistema vzamemo ne v vrstice, ampak v vrstice.

Algoritem za sledenje sistemom in vektorjem na liniji izčrpanosti.

Algoritem na zadnjici je bil odstranjen.

Za linijo sledenja uporabite napredne sisteme in vektorje.

Rit.

Naveden je sistem vektorjev. Nadaljujte po liniji praga.

Odločitev.

Ker je vektor c nič, je zunanji sistem vektorjev linearno zastarel zaradi tretje moči.

kot sledi:

Sistem vektorjev je linearno izčrpan.

Rit.

Sledite sistemu vektorjev na liniji praga.

Odločitev.

Chi ni enostavno zapomniti, vendar se koordinate vektorja c na iste koordinate vektorja pomnožijo s 3, tako da. To pomeni, da virusni sistem vektorjev linearno stagnira.

vrednost 1... Linearna kombinacija vektorjev se uporablja za vsoto bitij teh vektorjev na skalarjih
:

vrednost 2... vektorski sistem
imenovati sistem linijski prag, saj se kombinacija vrstice-vrstice (2.8) spremeni v nič:

in sredino številk
Hočem, da je ena, glej od nič.

vrednost 3... vektor
se imenujejo neodvisne od črte, saj se kombinacija vrstic (2.8) včasih obrne na nič, če vse številke.

Trikrat se lahko vrednost odšteje od začetka sezone.

nasledstvo 1... V linearnem sistemu vektorjev se lahko en vektor uporablja kot linearna kombinacija vektorjev.

Dovedennya... Hej viconano (2.9) in hej za vrednost, učinkovitost
... Več o tem:
... Dragi, ravno prav in zelo težko.

Slidstvo 2. Yaksho sistem vektorjev
če se maščeva ničelni vektor, je sistem (obov'yazkovo) linearno zastarel - to je očitno.

nasledstvo 3... yaksho sredina n vektor
be-yaki k(
) Vektorіv línіyno lopa, potem vse n vektorji v nizu (to je mogoče dokazati).

2 0 ... Črtne kombinacije dveh, treh in nekaj vektorjev... Prehrana rodu in neodvisnost prenašalcev v naravnem, na območju in v odprtem prostoru sta zlahka opazni. Voden po izrekih.

Izrek 1... Za to bosta dva vektorja linearno ločena, to je potrebno in dovolj, vendar bo smrad kolinearen.

nujnost... zdravo vektor і linearni prah. To pomeni kombinacijo njihovih linij
= 0 і (zaradi vrednosti)
... Zvidsy viplivay
, I (na podlagi množenja vektorja s številom) vektorja і kolinearno.

zadostnost... zdravo vektor і colinearni ( ║) (Dovoljeno je, da je smrad viden iz ničelnega vektorja; naplavine so očitne).

Po izreku (2.7) (Div. §2.1, točka 2 0) Todi
vzemi, scho
, abo
- kombinacija linij na nič, poleg tega pa učinkovitost pri vrata 1 - vektorji і linearni prah.

Z izreki o destilaciji prihaja naslednji korak.

nasledstvo... vektor yaksho і NE kolinearno, potem je smrad linearno kvadraten.

Izrek 2... V ta namen bodo trije vektorji obloženi z gozdom, to je potrebno in dovolj, vendar bo smrad koplanar.

nujnost... zdravo vektor ,і linearni prah. Dokazano je, da je smrad istoplanarnosti.

Določitev rodu vektorjev v naslednjih korakih števil
і kot je kombinacija črt
, І hkrati (za vrednost)
... V tem primeru lahko spremenite vektor :=
, Vektor Tobto pot diagonale paralelograma, pozvana na vektorje, da stoji v desnem delu verige enakosti (slika 2.6). Tse pomeni, vektor scho ,і ležijo na istem območju.

zadostnost... zdravo vektor ,і Skladnost. Pokazalo se je, da je smrad padel po črti.

Razen kolinearnosti katere koli vektorske stave (poleg tega par linearno pada, po 3 (glej klavzulo 1 0) pa so vsi trije vektorji linearno podvoženi). Izjemno je tudi nastavitev tipk, enaka je nastavitev ničelnega vektorja sredi treh vrednosti.

Prenesli tri koplanarne vektorje na eno območje in jih vodili do storža. Skozi konec vektorja izvedeno naravnost, vzporedno z vektorji і ; otrimaêmo z vektorjem tsyu і (Sl.2.7) - tim, scho vektor ne skrbi za njihovo obstoj і NE kolinearno za pojav vektorjev. Zvidsy viplyaê, scho vektor =+... Prepis cene viglyada (-1) ++= 0, robimo visnovok, scho vektor ,і linearni prah.

Izreka imata dva stranska učinka.

nasledstvo 1... zdravo і NE kolinearnih vektorjev, vektor - dovolj dobro, da leži na območju, ki se začne z vektorji і , Vektor. Іnuyu todí številke і taki, uh

=+. (2.10)

nasledstvo 2... vektor yaksho ,і NE koplanarnost, smrad je linearno neodvisen.

Izrek 3... Be-podobni vektorji chotiri so linearno podvrženi.

Dokaz je izpuščen; Dokazi izrekov so dokazani z dokazi zgoraj omenjenih sprememb. Podedovanje izrekov je očitno.

nasledstvo... Za vse nekoplanarne vektorje ,,in naj bo vektor
і taki, uh

. (2.11)

spoštovanje... Za vektorje (trivialne) prostornosti je lahko razumevanje linije in neodvisnosti tako rekoč v smeri izrekov 1-3 preprost geometrijski smisel.

Nekhai je dva nizka vektorja prahu і ... Tako je eden od njih linearna kombinacija drugega, tako da se eden preprosto pojavi kot numerični množitelj (npr.
). Geometrijsko pomeni, da se prekršek vektorja nahaja na hrbtu naravnost; smrad matere je enak ali pa je bolj neposreden (slika 2,8 xx).

Če sta dva vektorja zibana od enega do enega (slika 2.9 xx), potem enega od njiju ni mogoče obrniti na večkratnike istega števila - takšni vektorji so linearno kvadratni. Otzhe, neodvisnost linije dva vektorja і pomeni, da vektorja ni mogoče postaviti na eno ravno črto.

Obstaja geometrijski občutek linearne neopaznosti in neodvisnosti treh vektorjev.

zdravo vektor ,і linearni prag in nizki (za vrednost) vektor je linearna kombinacija vektorjev і , Tobto retuširanje na tem območju, da bi se maščevali vektorju і ... Tse pomeni, vektor scho ,і ležijo na istem območju. Pošteno in zvorotne tverdzhennya: yaksho vektor ,і ležijo na istem območju, potem smrad ostane.

V takem rangu, vektor ,і linearna je v tem in le na enak način, saj smrad ne leži na istem območju.

3 0 ... razumevanje osnove... Eden od tistih, ki je želel razumeti linearno in vektorsko algebro, razume osnovo. Vnesite vrednost.

vrednost 1... Par vektorjev se imenuje urejen, kot je navedeno, kateri vektor stavnega procesa naj uporabi prvi in ​​kateri drugi.

Vrednost 2. naročen par ,nelinearni vektorji se imenujejo osnove na površini, saj se začnejo z danimi vektorji.

Izrek 1... kateri koli vektor na območju so lahko predstavitve, kot je linearna kombinacija osnovnih sistemov in vektorjev ,:

(2.12)

in і і

Dovedennya... zdravo vektor і postaviti osnovo. Todi biti podoben vektor lahko predstavite na viglyadí
.

Dokazati identiteto je dovoljeno, vendar več kot eno
... Mámо todі = 0, poleg tega bi rad imel eno razliko od nič. Ostannê pomeniê, scho vektor і linearni prag, tobto kolinearni; tse superpeertverdzhennyam, kako je smrad postavil osnovo.

Ale todi - distribucija v Odine.

vrednost 3... Trije vektorji se imenujejo urejeni, kot je navedeno, kateri vektor je prvi pomemben, kateri drugi in kateri tretji.

vrednost 4... Urejeni trije nekoplanarni vektorji se imenujejo osnova v vesolju.

Tu velja tudi izrek o razgrnitvi in ​​singularnosti.

Izrek 2... be-vektor so lahko predstavitve kot linearna kombinacija osnovnih sistemov in vektorjev ,,:

(2.13)

і і

V trgovinah na drobno (2.12) in (2.13) vrednosti imenujemo vektorske koordinate na določeni podlagi (natančneje z afinimi koordinatami).

S fiksno podlago
і
lahko pišeš
.

Na primer, kjer so naloge osnova
sem dal, no
, To pomeni, shho maê misce uyavlennya (distribucija)
.

4 0 ... Linearne operacije nad vektorji v koordinatni obliki... Uvedeno v osnovo omogoča linearne operacije nad vektorji nadomestiti z izrednimi linearnimi operacijami nad števili - koordinatami vektorjev.

Daj no naloge deyakiy
... Očitno se bo niz koordinat vektorja v celotni osnovi povečal od začetka samega vektorja. Obstajajo naslednji predlogi:

a) dva vektorja
і
Rivni Todi in Tylki Todi, če sta enaki koordinati:

b) z več vektorji
po številki Yogo koordinate pomnožite s številom:

; (2.15)

c) pri dobavi vektorjev se shranijo naslednje koordinate:

Dokažite, da je tsikh moči nedopustni; moč v zadnjico ni mogoča. b). maêmo

==

spoštovanje... Na odprtem prostoru (na območju) lahko vibrirate v nedogled bogatih bazah.

Na podlagi zadnjice do prehoda iz ene osnove v prvo je možno nastaviti razliko med koordinatami vektorja v različnih podlagah.

zadnjica 1... Osnovni sistemi
glede na tri vektorje:
,
і
... V osnovi ,,vektor distribucijo. Pozna koordinate vektorja v osnovi
.

Odločitev... Mamo distribucija:
,
,
; že,
=
+2
+
= =
, tobto
v osnovi
.

zadnjica 2... Pridi na osnovi deyakom
vektorji chotiri so podani z njihovimi koordinatami:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi nastavite vektor
osnova; v primeru pozitivnega odziva poznati distribucijo vektorja v celotni osnovi.

Odločitev... 1) vektor je postavil osnovo, tako kot je smrad linearno neodvisen. Skladišče linijska kombinacija vektorjev
(
) Jaz z'yasuêmo, za jaka
і se ne bo obrnilo na nič:
= 0. mmo:

=
+
+
=

Za vrednost enakosti vektorjev v koordinatni obliki je mogoče enostavno zagnati sistemske (linearne enostranske algebrske) rivnjane:
;
;
, Viznachnik yakoi
=1
, Tobto je sistem bolj (ali manj) trivialna rešitev
... Tse pomeni linijsko neodvisnost vektorjev
i, že smrad je postavil osnovo.

2) razširljiv vektor v celotni osnovi. maêmo: =
abo v koordinirani obliki.

Če v koordinatnih oblikah preidemo na enake vektorje, lahko prepoznamo sistem linearnih neenakomernih algebrskih enačb:
;
;
... Virishuchi jo (na primer po Kramerjevem pravilu), otrimaêmo:
,
,
і (
)
... Mahmo vektor širjenja v osnovi
:=.

5 0 ... Vektorska projekcija v nebo. Moč projekcij. Nekhai je deyaka hang l, Tobto naravnost z bomo označili na níy ravnih črtah in ne dajemo nalogam določenega vektorja .Določimo pojem vektorske projekcije zastonj l.

vrednost... vektorska projekcija zastonj l se imenuje twir modula th vektorja do kosinusa kuta mízh vissyu l i vektor (slika 2.10):

. (2.17)

Zadnji bit vrednosti je izjava o tistih, ki so enake vektorju iste projekcije (za eno in isto).

Znatno moč projekcij.

1) projekcija sumi vektorjev na dejanje l pot do vsote projekcije dodatnih vektorjev na isti tirnici:

2) projekcija ustvarjenega skalarja na vektor ceste k dodatku skalarja na projekcijo vektorja na isto os:

=
. (2.19)

nasledstvo... Projekcija linijske kombinacije vektorjev na vseh cestnih linijah iz kombinacije naslednjih projekcij:

Dokazovanje pooblastil je nedopustno.

6 0 ... Pravokotni kartezični koordinatni sistem v vesolju.Postavitev vektorja vzdolž osi. Za osnovo vzemite tri medsebojno pravokotne koordinate; zanje se uvajajo posebne oznake
... Dajanje ušesa k bistvu O, V režiji njih (glede na ort
) Koordinatna os Ox,OjіO z(Na to se bomo lotili na pozitiven in enostaven način, ob storžu pred njim in v eni enoti ga bomo imenovali koordinatni pogled).

vrednost... Sistem treh medsebojno pravokotnih koordinatnih osi je urejen s hrbtenico, hrbtenica pa se imenuje pravokotni kartezijski koordinatni sistem v vesolju.

os Ox se imenuje vissu abscis, Oj- víssu ordinate іO z – vissyu aplikat.

Na podlagi se bomo lotili porazdelitve najpomembnejšega vektorja
... Iz izrekov (glej §2.2, postavka 3 0, (2.13)) je jasno, da
je lahko enako številu namazov na podlagi
(Tukaj zamenjajte koordinate
v živo
):

. (2.21)

V (2.21)
Esencialne (kartezične pravokotne) koordinate vektorja ... Smisel kartezijanskih koordinat bo določil izrek.

izrek... Dekartove pravokotne koordinate
vektor je projekcije th vektorja vidne na osi Ox,OjіO z.

Dostavljeno. poleg vektorja Koordinatni sistemi - točka O... Kineti Todi yogo bodo vzeti s točke deyako
.

Potegnite skozi točko
tri območja, vzporedna s koordinatnimi območji Oyz,Oxzі Oxy(Slika 2.11 xx). Otrimaêmo todí:

. (2.22)

V (2.22) vektor
і
imenujemo skladiščni vektorji
vzdolž osi Ox,OjіO z.

naj gre skozi
і označeno s kuti, odobreno z vektorjem z ortami
... Todi za skladišča prepoznamo naslednje formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

З (2.21), (2.22) (2.23) vemo:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinate
vektor je projekcija vektorja na koordinatno os Ox,OjіO z zagotovo.

spoštovanje... številke
imenujemo neposredni kosinusi vektorja .

vektorski modul (Diagonalni pravokotni paralelepiped) se izračuna po formuli:

. (2.24)

Uporabljajo se tri formuli (2.23) in (2.24), vendar se lahko neposredni kosinusi izračunajo po formulah:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Okužbe dela kože z obrokom v (2.25) і nabito z izrazom iví in desnim delom kožne težave pridemo do formule:

- ne bodite podobni trem kutijem, deyakiy naredite neposredno v odprtem prostoru, ale, ki jim je odvzeta, kosinusov, ki so vezani na zakonca (2.26).

7 0 ... Vektor polmera in koordinate točke.Vrednost vektorja za yogo cob in kíntsya... Vnesite vrednost.

vrednost... Vektor polmera (označeno) ) Vektor se imenuje storž koordinat O s piko (slika 2.12 xx):

. (2.27)

Podobno bodite usmerjeni v odprt prostor, vektor polmera petja (in nazaj). V takem rangu so točke predstavljene v prostranosti v vektorski algebri in vektorjih polmera.

Očitno koordinate
točk M je projekcije vektorja njenega polmera
na koordinatnih osi:

(2.28’)

і v takem rangu,

(2.28)

- radijski vektor točke je vektor, katerega projekcija na koordinatni osi gre na koordinate celotne točke. Sliši se kot dve plošči:
і
.

Otrimaêmo formule za izračun projekcij vektorja
za koordinatami storža
і konec - točke
.

Izveden vektor polmera
i vektor
(Slika 2.13). Otrimaêmo, scho

=
=(2.29)

-projekcija vektorja na koordinatni orti enaka razliki v koordinatah vektorja.

8 0 ... Deyakí zavdannya na kartezičnih koordinatah.

1) upoštevajte kolinearnost vektorjev ... Iz izrekov (glej § 2.1, postavka 2 0, formula (2.7)) je razvidno, da za kolinearnost vektorjev і potrebno in zadostno za dobro delovanje: =... V koordinatni obliki enakosti so prepoznavne tri vektorske enakovrednosti:

(2.30)

- za kolinearnost vektorjev і potrebno in zadostno je, da so navedene koordinate sorazmerne.

2) gledano med točkami ... Izjava (2.29)
več pik
і
začnite s formulo

=
=. (2.31)

3) za določen datum ... Daj mi točko
і
in svetišče
... morati vedeti
- koordinate točk M (Slika 2.14).

Mamina misel je kolinearnost vektorjev:
, zvezde
і

. (2.32)

‡ (2.32) je prepoznavno v koordinatni obliki:

Iz formul (2.32 ') je mogoče zavrniti formule za izračun koordinat sredine
, vvazayuchi
:

spoštovanje... Izkoristili bomo
і
pozitiven ali negativen, ker ga lahko dobite naravnost iz ušesa
dostava do konca
, da se ne izgubi. V skladu s formulami (2.32) - (2.32 ") lahko poznamo koordinate točke,
zovnіshnіm rank, tobto so, pojdite na bistvo M biti na daljšem obisku
, Ni vse na sredini. Ko tsomu zychay,
.

4) sferična površina . Skladiščna sferična površina - geometrijski niz točk
, Rivnoviddalenikh do vidstan od fiksnega središča deyakogo - točke
... Očitno na določen način
in iz definicij formule (2.31)

Enakovredna (2,33) in vernacular shukano sferična površina.

Zavdannya 1. Z'yasuvati, chi je sistem vektorjev v linearnem kvadratu. Sistem vektorjev bo nastavljen kot matrika sistema, katerega 100% se shrani iz koordinat vektorjev.

.

Odločitev. Pustite kombinacijo vrstic potovanje na nič. Ko sem v koordinate zapisal ceno, bom začel sistem rivnjanov:

.

Tak sistem se imenuje trikot. Vona maê udine rishhennya ... Otzhe, vektor linearno neodvisen.

Zavdannya 2. Z'yasuvati, chi je linearni neodvisen sistem vektorjev.

.

Odločitev. vektor Linearni kvadrat (Div. Problem 1). Vektor je linearna kombinacija vektorjev ... Porazdelitev lastnosti po vektorjih viznachayutsya iz sistema

.

Sistem Qia, jaka je trikutna, raztopina ma edine.

Otzhe, sistem vektorjev linearni prah.

spoštovanje... Tovrstno matrico, tako kot v rastlini 1, imenujemo trikutnimi , In v obratu 2 - zapleteno ... Hrano o rodu sistema vektorjev je enostavno videti, saj je matrika sestavljena iz koordinat števila vektorjev, ki so pogosto trikotni. Če matrika ni posebne vrste, potem za pomoč osnovno preoblikovanje vrstic , Tako da lahko vzamete razmerje med črtami med črtami med 100%in ga pripeljete do zapletene pozornosti.

Elementarne transformacije vrstic matrice (EPC) imenujemo takšne operacije na matrici:

1) preureditev vrstic;

2) Več vrstic na številki od nič;

3) seštevek vrstice v nespeči vrstici, pomnožen z določenim številom.

Zavdannya 3. Spoznajte največji linearno neodvisen podsistem in izračunajte rang sistemov in vektorjev

.

Odločitev. Vodi se po matriki sistema, ki je v pomoč pri EPC, do pogleda skid-tricut. Pojasnite vrstni red d_y, vrstice s številko matrike, ki je pomembno simbolizirana. V stotinah puščic vrstice se matrike pretvorijo v vrstice, saj morajo vikonati zavrniti vrstice novih matrik.

.

Očitno je, da sta prvih dvesto robov matric linearno neodvisnih, tretja je linearna kombinacija in četrtine med prvima dvema ne najdemo. vektor imenujemo osnovne. Vonj nastavite največji linearno neodvisen sistemski podsistem , In rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zavdannya 4. Poznati osnovo in koordinate vektorjev v celoti na neomejenih geometrijskih vektorjih, katerih koordinate so izpolnjene .

Odločitev... Brezlich je območje, ki poteka skozi koordinate koordinat. Dobra podlaga za območje temelji na dveh nelinearnih vektorjih. Koordinate vektorjev v izbrani osnovi temeljijo na odločitvah splošnega sistema in rodu.

To je najosnovnejši način prikaza podatkov, če poznate osnovo za koordinate.

koordinate prostor ni koordinate na območju, zato je smrad vezan , Tobto ni kvadrat. Nezalezhní vínní і (smrad se imenuje vílny) nedvoumno viznachayut vektor na območju i, tudi smrad je mogoče določiti s koordinatami v. Todi osnova shranjene v vektorjih, vendar v vseh vrstah velikih zim і , tobto.

Zavdannya 5. Poznati osnovo in koordinate vektorjev v celoti na podlagi vseh vektorjev v prostranosti, pri katerih so neparne koordinate enake samemu sebi.

Odločitev... Viberemo, tako kot pri nalogah v ospredju, koordinira v vesolju.

Torej jaka , To je velika sprememba nedvoumno začni vektor z i, tudi, je koordinate. Splošna osnova je shranjena v vektorjih.

Zavdannya 6. Poznati osnovo in koordinate vektorjev v celotni osnovi na podlagi vseh matrik v obliki , de - večina številk.

Odločitev... Kožna matrica je edinstveno predstavljiva v gledalcu:

Cena distribucije za porazdelitev vektorja z na osnovi
s koordinatami .

Zavdannya 7. Spoznajte velikost in osnovo linearne lupine sistemov in vektorjev

.

Odločitev. Lahko ga rekonstruiramo s pomočjo matrike EPC od koordinat vektorjev sistema do pogleda shematsko-trikotnika.

.

100% preostali del matrike je linearno neodvisen, vendar sto linearno zavrtite skozi njih. Otzhe, vektor vzpostaviti osnovo , і .

spoštovanje... osnova v dvoumno vibrirati. Na primer vektorji postavil tudi osnovo .

zdravo L - črtni prostor nad poljem R ... zdravo A1, A2, ..., an (*) Kinčev sistem vektorjev L ... vektor V = A1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An (16) poklicati Linearna kombinacija vektorjev ( *), hej govori, hej vektor V linearno rotirati skozi sistem vektorjev (*).

Poslovna vrednost 14. Vektorski sistem (*) se imenuje črta-lov , Todi in samo todi, če obstaja takšen ničelni niz koeficientov a1, a2, ..., an, a1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An = 0. Yaksho f a1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, potem se pokliče sistem (*) Linearni kvadrat.

Moč rodu in neodvisnost.

10. Če je sistem vektorjev ničelni vektor, potem linearno pada.

Pravzaprav, če je v sistemu (*) vektor A1 = 0, Tisti 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Če ima sistem vektorjev dva sorazmerna vektorja, potem linearno pada.

zdravo A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.

30. Kinčev sistem vektorjev (*) pri n ³ 2 linearno pade na oba in samo na todi, če želite enega od teh vektorjev v linearni kombinaciji največjih vektorjev celotnega sistema.

Þ Nekhai (*) je lyno lov. To pomeni, da obstaja ničelni niz koeficientov a1, a2, ..., an, za katerega je a1 × A1 + A2 × A2 + ... + an × An = 0 . Ne uničujte svoje duhovnosti, lahko jo uporabite, toda a1 ¹ 0. Todi isnu i A1 = × a2 × A2 + ... + × an × A N. Otzhe, vektor A1 je linearna kombinacija drugih vektorjev.

Ü Pustite en vektor z (*) je linearna kombinacija teh. Lahko igrate isti vektor, npr. E. A1 = B2 A2 + ... + bn A N, Zvidsy (-1) × A1 + b2 A2 + ... + bn A N = 0 , T.E. (*) Linearni prah.

Spoštovanje. Vikoristovuyu preostale moči, je mogoče dati vrednost linearne neopaznosti in neodvisnosti neskončnih sistemov in vektorjev.

Poslovna vrednost 15. vektorski sistem A1, A2, ..., an , ... (**) poklicati Linearni prah, Rad bi imel en vektor v linearni kombinaciji enakega števila vektorjev. Na splošno se imenuje sistem (**) Linearni kvadrat.

40. Sistem vektorjev Kintsev je linearno neodvisen od obeh in samo od todi, saj je možno linearno teči skozi vektorje.

50. Če je sistem vektorjev linearno neodvisen, potem ali je sistem linearno neodvisen.

60. Če je podsistem danega sistema in vektorjev linearno zapuščen, potem je zapuščen tudi celoten sistem.

Naj obstajata dva sistema vektorjev A1, A2, ..., an , ... (16) i В1, В2, ..., ВS, ... (17). Če lahko kožni vektor sistema (16) predstavimo z vidika linearne kombinacije kintz števila vektorjev v sistemu (17), potem lahko rečemo, da se sistem (17) linearno vrti skozi sistem (16) ).

Poslovna vrednost 16. Imenujemo dva sistema in vektorje enakovreden , Njihova koža Yaksho je linearno zvita skozi insha.

Izrek 9 (Glavni izrek je o liniji neopaznosti).

zdravo i - dva kinčeva sistema in vektorja z L ... Če je sistem persha linearno kvadrat in se linearno vrti skozi prijatelja, potem N£ s.

Dostavljeno. V redu, scho N> S. Za izrekom uma

nor. Ker je torej število ljudi večje od števila tujerodnih, je sistem zelo bogat z rešitvami. Otzhe, pri njej ni nič X10, x20, ..., xN0... Z enakimi vrednostmi bo pariteta (18) res, če rečemo, da je sistem vektorjev linearno neodvisen. Otzhe, naša pripuschennya ni res. že, N£ s.

Slidstvo. Takoj, ko sta v zadnjem in v vidnem polju dva enaka sistema in vektorja, potem smrdi, da se maščeva enakemu številu vektorjev.

Poslovna vrednost 17. Vektorski sistem se imenuje Največji linearno kvadratni sistem vektorjev črtni prostor L , Yaksho won je linearno kvadrat, ale, če ji dodamo kateri koli vektor z L Ne bi smeli biti del sistema, ne boste dobili več rodu.

Izrek 10. Be-podobni dve točki največjih linearnih neodvisnih sistemov in vektorjev L Maščevanje za enako število vektorjev.

Dovedennya poleg tega, da obstajata dva največja linearna neodvisna sistema in vektorja enakih .

Sistem vektorjev je enostavno prenesti v odprt prostor L je mogoče nadgraditi na največjo črto-kvadratni sistem in vektorje v prostranosti.

obleci:

1. Za vse kolinearne geometrijske vektorje, pa naj bo to sistem, ki bo sešteval en neničelni vektor, je največ linearno kvadratni.

2. V primeru vseh koplanarnih geometrijskih vektorjev, ali dva nelinearna vektorja postaneta največji linearno neodvisen sistem.

3. Ker vsi možni geometrijski vektorji trivialnega evklidskega prostora niso mogoči, pa naj gre za sistem treh nekoplanarnih vektorjev, največji linearno kvadratni.

4. Vsi polinomi koraka nimajo a N Sistem polinomov z učinkovito (kompleksno) zmogljivostjo 1, x, x2, ..., xnЄ največji linearni kvadrat.

5. Za vse polinome brez učinkovite (kompleksne) zmogljivosti je zadnjica največjega linearno neodvisnega sistema ê

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, ...

6. Matrice prostega prostora M´ N je Linearni prostor (obrnite tse). Z uporabo maksimalnega linearno neodvisnega sistema v celotnem prostoru je sistem matrik E11= , E12 =, ..., EMn = .

Naj bo podan sistem vektorjev C1, c2, ..., prim (*). Kliče se podsistem vektorjev s (*) Največja linija neodvisna podsistem sistemi ( *) Ne leži ravno, toda z dodanim vektorjem je zmagovalni sistem postal linearni. Če je sistem (*) kintsev, bo imel podsistem, če je maksimalno linearno neodvisen, eno in isto število vektorjev. (Dokaz za samostojno izvedbo). Pokliče se število vektorjev v največjem linearnem neodvisnem podsistemu sistema (*) čin Tsií sistemi. Očitno so lahko enakovredni sistemi in vektorji enakega ranga.

Linearna neopaznost in neodvisnost vektorjev

Vrednost linearnih sistemov velitorjev in neopadnih vej

vrednost 22

Zaženite sistem z n-vektorji in nizom številk
, todі

(11)

imenovati linearna kombinacija danega sistema in vektorjev z dano vrsto funkcij.

vrednost 23

vektorski sistem
imenovati rodovnik, saj obstaja tak nabor funkcij
Želim, da ena ne gre na nič, vendar kombinacija vrstic danega sistema in vektorjev z nizom funkcij preide na ničelni vektor:

zdravo
, todі

Poslovna vrednost 24 ( skozi manifestacijo enega vektorja sistema glede na linearno kombinacijo drugih)

vektorski sistem
Lahko ga imenujemo rodovnik, če želite enega od vektorjev celotnega sistema in ga lahko predstavite v pogledu linearne kombinacije drugih vektorjev celotnega sistema.

utrjen 3

Vrednosti 23 in 24 ekvivalentov.

vrednost 25(S kombinacijo ničelne črte)

vektorski sistem
imenovati linearni kvadrat, saj obstaja kombinacija ničelne črte celotnega sistema in je lahko prikrajšana za vse
pivnih na nič.

vrednost 26(Zaradi neprijaznosti podrejanja enega vektorja sistema gledalcem linearne kombinacije teh)

vektorski sistem
Nemogoče ga je imenovati linearni kvadrat, saj več kot enega od vektorjev celotnega sistema ni mogoče predstaviti z vidika linearne kombinacije drugih vektorjev celotnega sistema.

Moč linearnega prahu in neodvisnih sistemov vektorjev

izrek 2 (Ničelni vektor v vektorskih sistemih)

Če je v sistemu vektorjev vektor nič, potem je sistem linearno zastarel.

 Nekhai
, Todi.

otrimaêmo
Tudi na podlagi vrednosti sistema padalcev in vektorjev skozi kombinacijo ničelne črte (12) sistem je linearno zastarel. 

izrek 3 (Izgubljen podsistem v vektorskih sistemih)

Če je podsistem v skladu z vektorji, je celoten sistem izčrpan.

 Nekhai
- Linearno izčrpan podsistem
, Med tistimi, ki bi radi bili ena, ki ni vredna nič:

To pomeni, da je sistem pri vrednosti 23 linearno zastarel. 

Izrek 4

Ali je podsistem neodvisen od linije in od vrstice neodvisen.

 Nasprotno. Ne skrbite, sistem je linearno neodvisen in na enak način podsistem ne laže. Takoj po upoštevanju izreka 3 bo celoten sistem padel. Protir_chchya. Otzhe, podsistem sistema, neodvisnega od linije, ne more biti vmesnik za linijsko linijo. 

Geometrijski občutek rodu in neodvisnost sistemov in vektorjev

Izrek 5

dva vektorja і linearna ledina in le todi, če
.

 Nujnost.

і - linearni led
, Шо vikonutsya umova
... Todi
, Tobto
.

Zadostnost.

Linearne usedline. 

nasledstvo 5.1

Ničelni vektor je kolinearen za kateri koli vektor

nasledstvo 5.2

Za to bosta dva vektorja linearno neodvisna, to je potrebno in dovolj, vendar ni bula kolinearna .

Izrek 6

V ta namen bo sistem treh vektorjev linearno padel, kar je potrebno in zadostuje, če bodo vektorji koplanarni .

 Nujnost.

- Poleg tega je lahko v pogledu linijske kombinacije dveh predstavljen en vektor.

, (13)

de
і
... Za pravilom paralelograma je diagonalni paralelogram s stranicami
, Ale paralelogram - ravna figura
Koplanarnost
- tudi koplanarnost.

zadostnost.

- Skladnost. Do točke B se lahko poročajo o treh vektorjih:

C

B`

- Linearne usedline 

nasledstvo 6.1

Ničelni vektor je koplanar za kateri koli par vektorjev.

nasledstvo 6.2

Za vektor naročila
Treba je vnesti kvadrat črte črte in dokončati, vendar vonj krogle ni komplanarnost.

nasledstvo 6.3

Ali je vektor območja mogoče predstaviti v pogledu linearne kombinacije dveh nelinearnih vektorjev na istem območju.

Izrek 7

Be-like chotiri vektorji v odprtem prostoru .

 Na voljo so 4 vrste izbire:

Povlecite območje skozi vektor, nato povlecite območje skozi vektor in območje skozi vektor. Nato povlečemo območje, ki poteka skozi točko D, vzporedno s pari vektorjev; ; zagotovo. Ob črtah bodo vzporedne kopenske črte OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Jasno OB 1 D 1 C 1 - paralelogram z navdihuje pravilo paralelograma
.

Prikazan OADD 1 - paralelogram (iz moči paralelepipeda)
, todі

Enačba EMBED.3.

Po izreku 1
taki, scho. Todi
, І za vrednost 24 je sistem vektorjev na vrsti. 

nasledstvo 7.1

Če povzamem tri nekoplanarne vektorje v vesolju, je vektor, tako da lahko izstopimo iz diagonale paralelepipeda, povabljeni na tri tri vektorje, ki se nanašajo na zadnjo stran klipa, in klic vektorja povzame s hrbtne strani klipa treh vektorjev.

7.2

Če v odprtem prostoru vzamete 3 nekoplanarne vektorje, potem lahko vektor razširimo v linearno kombinacijo teh treh vektorjev.