Kaj je metrični prostor r n. Uporabite metrične presledke

Kaj je metrika? Zakaj služiti? Kaj je fizično polje?

Metrika v našem času je mítsno pov'yazan z teorijo gravitacije, zavdyaks na dela Hilberta in Einsteina skupaj z Grossmannom. Vendar je bila v matematiki zmagovalna bula uvedena že prej. Nimam usmiljenja, med prvimi, tako da je chi inakshe zmagovita očitno, Buli Rimmann in Gauss. Postopoma poskušamo razumeti njeno vlogo v geometriji, nato pa se čudimo, da je metrika postala glavna struktura splošne teorije relativnosti, nevedne teorije vidnosti.

Na današnji dan pogasite ogenj in počistite sestanek metrični prostori mleko zloglasnega videza:

Metrični prostor ("varnost metrike") se v matematiki imenuje takšen prostor, v katerem je za dve ali dve vrstni točki (torej se ena od njiju imenuje prva, druga pa druga) dejansko število, potem, če točke tečejo in neenakost "zapletenega" je premagana - za poljubne tri točke (x, y, z) je številka za katero koli stavo (x, y) bolj ali manj enaka vsoti teh številk za dva druga para , (x, z) in (y, z). Pomembno je tudi, da mi število cen ni vidno in se ne spreminja (metrika je simetrična) pri spreminjanju vrstnega reda točk v paru.

Kako najti, kako so ga le oni imenovali, tako se poimenovanje širi in ime širi in v druge, podobne prostore. Torej tukaj. na primer, strogo formalno ne bodo metrične zgídno z zim vysche vyznachennym, tako da imajo "metrično" število, interval, lahko nič i za dve različni točki, in tudi kvadrat je lahko negativno realno število. Vendar pa je praktično že od samega začetka, da jih preprosto vključimo v družino metričnih prostorov znіmayuchi vídpovіdnu vymog u vyznachenní, širitev vnіmayuchi vzníchennya.

Poleg tega je mogoče metriko dodeliti tudi ne za vse točke v prostoru, ampak samo za neskončno blizu (lokalno). Takšen prostor se imenuje riemannov, z drugimi besedami, tezh se imenuje metrika. Več kot to samem Riemannovem prostranstvu in razvili metriko takšnega pogleda in pripisali spoštovanje, kot so matematiki in fiziki, in vemo, da navdihujemo bogate ljudi, nimamo veliko opraviti s temi znanostmi.

Na koncu bomo razpravljali o metriki tukaj stoodstotno do prostranosti Romanov, tobto v lokalnem smislu. І navit lokalno znaki niso vidni.

Formalna matematična definicija in razširitev - razumevanje in razjasnitev razumevanja metrike. Sprašujemo se, zakaj je razumevanje zraslo, z nekaterimi avtoritetami realnega sveta je bilo vezano na hrbet.

Celotna geometrija vinila je lahko razumljiva, saj jo je formaliziral Evklid. Torej je metrika. V Evklidovi geometriji (zaradi enostavnosti in natančnosti bomo govorili o geometriji dveh svetov in mislili na geometrijo ravnine) - razumeti razdaljo med dvema točkama. Še pogosteje in zdaj se metrika imenuje isti standard. Zato je za evklidsko ravnino metrika, metrika pa standard. Sam sem tako zmagal, da je bila bula razumljena do dna. Želeti, kot bom poskušal pokazati, je do trenutnega razumevanja metrike mogoče videti le v arkani, z bogatimi stražami in umi, senzi.

Stati na evklidski ravnini (na ločnem papirju) je zelo preprost in očiten govor. Vsekakor lahko s pomočjo črte narišete ravno črto med dvema točkama in jo naredite dolgo. Otrimane številke bodo podane. Ko vzamete tretjo točko, lahko pobarvate triko in premislite, tako da (za dve točki na ravnini) lahko natančno pokažemo na drugo. Vlasne, vyznachennya in boulo zmalyuvati ena proti ena od moči evklidske vídstanі na kvadrat. І beseda "metrika" na zadnji strani je povezana z vimiryuvannyam (za pomoč števca), "Normuvannya" letala.

In za kaj je bilo potrebno vimíryuvat vídstaní, izvesti metrizacijo samega območja? No, zakaj ljudje živijo v resničnem življenju kože, pevsko, maj njihov videz. In v geometriji so o tem razmišljali na pravi način, če so uvedli koordinate, da bi na edinstven in edinstven način opisali kožno točko ravnine. Koordinatni sistem na ravnini bo očitno bolj zložljiv, samo premikanje med dvema točkama. Tukaj je uho ušesa, koordinatna os in razdalja (kako lahko brez njih?) Od ušesa ušesa do projekcijske točke na osi. Za kaj je potreben koordinatni sistem, je jasno - to je močna mreža črt, pravokotnih ena na drugo (kot kartezične koordinate), zapolnil bom ravnino in na ta način rešil problem obravnave, ali obstaja točka na njem.

Če želite iti ven, metrika - vídstanі in koordinate - vídstaní. Kakšna je razlika? Vnesene koordinate. Kaj je prava metrika? Ríznitsya є, i duzhe suttєva. Izbira koordinatnih sistemov je lahko svobodna. V kartezijskih sistemih je mimikrija kot os ravnih črt. Toda ali se lahko zvijamo in krivimo? Mi lahko. I vse vrste navijanja tezh. Lahko vimíryuvati vídstan uzdovzh takšne vrstice? No. Vimiryuvannya vídstaní, dozhini uzdovzh linії ne pov'yazane z tim, kot cela vrstica. Ob ovinkasti poti je tudi dovžina in na njej lahko postavite mejnike. In os metrike v evklidskem prostoru ne zadostuje. Cena je ravna, ki povezuje dve točki. Neposredno. In kaj je? Katera črta je ravna in katera kriva? IN šolski tečaj naravnost je aksiom. Mi jih bachimo in sprejmemo idejo. Ale v transcendentalni geometriji ravne črte (jaz jo bom imenoval sam, yarlik, ne več!) Lahko označite kot posebno črto sredine srednjih črt, ki lahko povezuje dve točki. In zase, kot najkrajši, ki si lahko privošči najmanj dovzhina. (In na nek način, za nekatera matematična prostranstva, navpaki, dozheleznі, ki so lahko najbolj dragoceni.) Bolje bi bilo, da smo ujeli meritve v precej širokem razponu med dvema točkama. Ni ga bilo tam. Šli smo po napačni cesti. Torej, vse je res, ravno - najkrajše v evklidskem prostoru. Ale metrika ni le najkrajša dozhina. Ni. Tse ji vtorinne vlastіvіst. V evklidskem prostoru metrika ni samo med dvema točkama. Metrika je v prvi vrstici podoba Pitagorovega izreka. Teoretika, ki vam omogoča, da izračunate število točk med dvema točkama ob poznavanju njunih koordinat, dveh drugih točk. Poleg tega se izračuna posebej, kot kvadratni koren vsote kvadratov koordinatnih črt. Evklidska metrika ni linearna oblika koordinatnih premic, ampak kvadratna! Samo specifična moč evklidske ravnine najkrajše poti, Kaj z'ednuyut točke, tako preprosto. Vídstanі zavzhdi є іnіynymіnіy funktіyіmіshchennya na poti. Metrika je kvadratna funkcija tsikh zsuvіv. In tu je temeljni pomen metrike, saj jo lahko intuitivno razumemo kot linearno funkcijo premikanja iz točke. Bolj kot to, pri nas je šlo za neposredno druženje s samimi migranti.

Zakaj je kvadratna funkcija suv tako pomembna? In s kakšno pravico imam pravico, da me imenujejo s povsem razumljivo besedo? Ali je treba podati specifično moč samo evklidskega prostranstva (no, določene družine prostranstev, ki so blizu evklidskim)?

Majhen premik vstran in se pogovorimo o moči samega na svetu. Prosim za hrano, kakšne so črte, da bi bilo mogoče na lok papir postaviti koordinatno mrežo? Trdno, trdo in nespremenljivo, pravite. Zakaj "linije"? Ena je dovolj! Verno, papir je mogoče obrniti v kvadrat in ga prenesti z oklepajem. Ste omenili "yakscho"? Torej, pri nas je možno soustvarjati s tako linearno stokratno stanovanje. Črta sama po sebi, ploskev sama po sebi, a ploskev nam omogoča, da svojo linijo »prijavimo« sami sebi. Kaj pa sto in sto sferičnih površin? Jaka ne nanašajte - sperite vse na površini. Zato se želim upogniti, premakniti pred trdoto in trdoto. Pustimo svoje misli pri miru. Kaj še želimo v vrsti? Trdota in trdota sta res na meji, da bi bila za nas v primeru smrti še pomembnejša - zagotovilo nespremenljivosti izbrane linije. Želimo zmagati v istem merilu. Ali je potrebno? Jak zdaj?! Sob mati lahko upraviči rezultate vimiryuvannya povsod v stanovanju. Kako nismo obrnili linije, kako nismo zmishchuvat - deaky njena moč, dozhina, je lahko zagotovljena nespremenljiva. Dovzhina - tse stoji med dvema točkama (na ravni črti) na črti. To je bolj kot metrika. Ale, metrika je uvedena (sicer) v ravnini, za točke ravnine, zakaj je premica? In medtem ko metrika in je pravkar privedena do logičnega zaključka z vrstnim redom nespremenljive dolgoživosti abstraktne črte, raztrganje najpomembnejše črte in dodeljevanje kožne točke ravnine.

Želimo, da se naše linije začnejo z evnіshnіmi predmeti za vímіryuvanih jih vídstany na kvadrat, vendar menimo, da je za nas enako kot notranje, da bi morala lestvica letala lagati. Otzhe, mova go about Plamen moči, Tako kot zovnіshny linija, tako notranja. Moč ene od dveh glav - Vrednost torej, ki oropata lestvico enotnega sveta (druga moč lestvice je neposredno). Za evklidsko širino moči je samozadostna v neposredni liniji in njen položaj (kot točka širine). Takšno neodvisnost lahko pokažete na dva načina. Prvi način, pasivni pogled na govor, je govoriti o invariantnosti količine in istosti z zadostno izbiro veljavnih koordinat. Drugi način, aktivni pogled, je govoriti o invariantnosti pri premikanju in obračanju, kot rezultat eksplicitnega prehoda od točke do točke. Metode Qi niso enakovredne ena proti ena. Prvi je preprosto formalizacija trdnosti, da je vrednost, ki obstaja v danem območju (točki), ena in ista neodvisno z vidika. Drugi je enak, da so vrednosti količin na različnih točkah enake. Jasno je, da je bogatejši in močnejši.

Nadaljujmo zaenkrat o nespremenljivosti velikosti lestvice z razumno izbiro koordinat. Op-pa! Yak tse? Za dodelitev koordinatne točke, ki je že potrebna mati lestvice. Tobto sama linija. Druge koordinate - kaj? Druge vrstice? Resnično tako! Ale! Tisti, ki v evklidski ravnini lahko zavrtijo našo premico do želene točke in ustvarijo videz, da je mogoče koordinate spremeniti, ne da bi spremenili premico. Tse іlyuzіya, ampak taka pêmna іlyuzіya! Kako smo jo klicali! Celo uro se pogovarjamo - koordinatni sistem se vrti. Ta iluzija temelji na določenem postulatu lestvice moči v evklidski ravnini - invariantnosti tega "dovzhini" z določenim obratom v točki, nato s pravično spremembo druge lestvice moči, naravnost. І tse vlastivist maê mísce v be-yakíy točki evklidske ravnine. Lestvica je lahko povsod "dolžina", ne glede na lokalno izbiro neposrednih koordinatnih osi. Tse postulat za evklidski prostor. І kako to, da mi je qiu dozhina znana? V koordinatnem sistemu je v takšnem merilu enotnost vimiryuvannya za eno od osi, še lažje je videti - ista enotnost sama. In v koordinatnem sistemu (pravokotnik), v katerem primeru se merilo ne spremeni z eno od osi? Za pomoč pri Pitagorovem izreku. Izreki so izreki, zato je tukaj nekaj trikov. Dejansko je izrek dovolj majhen, da nadomesti aksiome, ki jih je oblikoval Evklid. Won jim je enakovreden. І z oddaljeno zoženo geometrijo (na primer za velike površine) spiralno na poti izračuna merila. V bistvu pravilno, prevedite to metodo v kategorijo aksiomov.

Ponovimo zdaj stvar, ki je osnova geometrije, ki vam omogoča, da točkam na ravnini dodelite koordinate.

Mova hodi sama po svetu, skala. Lestvica je v kateri koli točki. Majska velikost - "dovzhina" in ravna. Dovzhina je invariantna (se ne spreminja) pri spreminjanju neposredno v točkah. Pri pravokotnih koordinatah v evklidskem prostoru je kvadrat več kot merilo, poravnano iz točke pa je več kot vsota kvadratov projekcij na os. Takšno geometrijsko količino imenujemo tudi vektor. Pomeni, da je lestvica vektor. In "dovzhina" vektorja se imenuje tudi norma. Dobre. Ale, kje je tukaj metrika? A meritve s takim pristopom in є način za dodelitev norme kateremu koli vektorju v kožni točki, Metoda izračuna števila norm na zadostnem položaju vektorja katerega koli vektorja, ki je osnova, merilo(Tiho, yakí vyznachayut neposredno osi koordinat iz danih točk in ima lahko eno samo normo, kako dodeliti, nato en vimir). Še pomembnejše so tiste, ki takšen način dodeljevanja za kožno točko prostora (območje v določeni smeri). V tem rangu je kriva moč prostora in notranjih vektorjev, ne pa objekti, ki so do prostora.

Oprostite, toda že na samem začetku smo dobili oznako metričnih prostorov. Nov termin? І chi uzgozhuєtsya iz starega? In zdaj os. Tukaj smo poudarili, kako se vprašati, prikazati isto številko dneva. In sama, med točkami ena "dovzhin", norma vektorja, scho z'ednuê tsі točk (v evklidskem prostoru). Tisti, da ima vektor enako normo, neodvisno od točke vrzeli na novem (izbor merila) - cilj vektorja. En um, Yake and rob s poljubnim metričnim prostorom, je možno, da so bili vektorji iz dane norme ozemljeni v kožni točki prostora na vseh premicah. І tse imenovanje kot celota uzgodzhuєtsya s kazanjem na sam storž. Ali lahko dodelite meritev v katerem koli drugem prostoru? V bistvu lahko. І navit bagatma načine. Šele takrat bodo obstajali drugi razredi prostorov, ki sami po sebi ne vključujejo evklidskega prostranstva, kot okremy vpadok.

Zakaj je evklidski prostor posebej za nas? No, kaj je? Na prvi pogled s takšnimi močmi moči lahko celo odprem sebe, v katerem živimo. Torej, z bolj spoštljivim pogledom, jih ne imenujemo tako. Ale f є raznitsa mizh "ni zovsі tak" in "zovsіm ni tak" ?! Želim poklicati besede za kshtalt istega. Ker naša prostrana ura še vedno ni evklidska, ste lahko za pojoče ume še bližje novemu. Otzhe, izberite moje odgovornosti iz tієї sіm'ї prostorіv, v yakíy Euclidean expanse є. Torej delamo. A konec koncev, kaj je tako posebnega v evklidskem prostranstvu, kaj je poznati svoj izraz v pevskih močeh jogijske metrike? Oblastem veliko pokončati, o večjem številu se jih je več ugibalo že. Poskušal bom to singularnost formulirati kompaktno. Evklid se je tako razširil, da je v novem možno izbirati merilo (vpis koordinat) tako, da se pojavi na površini pravokotne koordinatne mreže. Možno je, če je metrika v prostoru kožne točke ena in ista. V bistvu to pomeni, da je treba to lestvico raziskati v kožni točki prostora in vsi smradi so enaki enemu. Za celotno širino zadostuje ena črta, saj jo lahko prenesemo v točko (v aktivnem smislu), ne da bi spremenili njeno velikost in smer.

Pomembneje sem dal moč, zakaj je metrika kvadratna funkcija zsuvu. Vín je še vedno pust brez opravičila. Prišli bomo do nekega obov'yazkovo. In takoj se boste sami prepričali o prihodnosti - metrika v družini prostorov, ki jih potrebujemo - vrednost je nespremenljiva na kateri koli način spreminjanja koordinat. Zaenkrat smo govorili o kartezičnih koordinatah, vendar sem tukaj, da dodam stol - velja za vsako transformacijo koordinat, ki je sprejemljiva na tej točki tega prostora. Velikost, ki je pri transformaciji koordinat invariantna (ki se ne spreminja), ima lahko v geometriji še eno posebno ime - skalar. Sprašujem se, koliko imen za eno in isto - postina, invariant, skalar... Morda celo več, ne razmišljam dvakrat. Ne govorite o pomenu samega razumevanja. Torej je os, metrika skalar v pevskem smislu. Očitno so v geometriji skalarji.

Zakaj v »pevski senzaciji«? To, scho, dve točki sta vključeni v razumevanje metrike in ne ena! In vektor dodelitev (sestankov) je samo z eno točko. Te peljem v Oman? Ne, samo ne povem vsega, kar je treba povedati. In treba je reči, da je metrika norma ne zadostnega vektorja, ampak le vektor neskončno majhnega premika od dane točke v dokaj ravni črti. Če norma ne leži v ravni črti od točke, potem lahko skalarno vrednost vidimo kot potenco samo ene točke. V tem primeru je vseeno zajeto tudi pravilo za izračun norme za kateri koli drug vektor. Os tako.

Konvergirati ni mogoče ... Norme so različne za različne vektorje! In metrika je skalar, vrednost je enaka. Obriši!

Brez brisanja. No, jasno povem - pravilo računanja. Za vse vektorje. In sama specifična vrednost, ki ji pravimo tudi metrika, se izračuna po tem pravilu samo za en vektor, premik. Mova naš zvichny do vílnosti, zamovchuvan, skorochen ... Os in me je poklical, da pokličem metrike in skalarje ter pravilo izračuna yogo. Res je, da so lahko eno in isto. Mayzhe, vendar ne kličemo. Kljub temu je pomembno uravnotežiti razliko med pravilom in rezultatom, to bomo vzeli na pomoč. In kaj je bolj pomembno - pravilo ali rezultat? Ni presenetljivo, v tem primeru pravilo ... Zato je pogosto bogatejše v geometriji in fiziki, če govorimo o metriki, je pravilo samo. Na matematikih pa je, da o rezultatu spregovorijo bolj na kratko. І tsomu je razlogi, vendar o njih na drugem mestu.

Prav tako želim pokazati, da je z večjim zvezdnim načinom obloge, če za osnovo vzamemo razumevanje vektorskih prostorov, metriko uvedel kot skalarni par twir vseh vektorjev v osnovi, merilo. Na ta način je bil za mejnik postavljen skalarni dobutok vektor v majski buti. In na poti, kot sem sledil tukaj, vam sama prisotnost metričnega tenzorja v prostoru omogoča, da uvedete, označite skalarni dobutok vektorjev. Tukaj je metrika primarna, njena prisotnost vam omogoča, da uvedete skalarni twіr, kot invariant, ki povezuje dva različna vektorja. Če se s pomočjo metrike izračuna skalar za en in isti vektor, potem je to samo še ena norma. Če je ta skalar izračunan za dva različna vektorja, potem vsi skalarni dodatki. Ker gre za normo neskončno majhnega vektorja, je povsem dopustno, da ga imenujemo preprosto metrika v dani točki.

Kaj lahko rečemo o metriki kot pravilu? Tukaj se zgodi, da uporabljamo formule. Naj bodo koordinate osi s številom i pripisane kot x i. Premik od danih točk na igrišče dx i. Prisežem na vaše spoštovanje - koordinate NISO vektor! In premik je vektor! Za takšne pomene bo metrična "razdalja" med središčem in nosilno točko, očitno do Pitagorovega izreka, izračunana za dodatno formulo

ds 2 = g ik dx i dx k

Zlo je tu kvadrat metrične "širine" med točkama, "koordinata" (torej glede na kožno mejo koordinatne črte) med njima je podana z vektorjem premika dx i. Na desni je vsota padajočih indeksov vseh parnih kreacij vektorskih komponent nadomeščena z ustreznimi koeficienti. In njegova tabela, matrika koeficientov g ik, ki določa pravilo za izračun metrične norme, se imenuje metrični tenzor. Sam tenzor se v večini primerov imenuje metrika. Izraz "" je tukaj zelo pomemben. І pomeni він, da bo v drugem koordinatnem sistemu formula zapisana bolj verjetno, da bo enaka, le tabela bo napolnjena z drugimi (v ravni črti) koeficienti, ki se izračunajo na strogo določen način preko številk koeficienti transformacije koordinat. Za Evklida je značilno, da je v kartezičnih koordinatah oblika tega tenzorja superpreprosta in enaka v vseh kartezičnih koordinatah. Matrika g ik lahko vsebuje le enice na diagonali (za i = k), ostala števila pa so nič. Če v evklidskem prostoru ni kartezičnih koordinat, potem matrika v njih ne bo videti tako preprosta.

Kasneje smo zapisali pravilo, ki definira metrično "razdaljo" med dvema točkama v evklidskem prostoru. To pravilo je napisano za dve točki, ki sta vedno blizu. V evklidskem prostoru, tako da je metrični tenzor lahko diagonalen z enotami na diagonali v realnem koordinatnem sistemu na kožni točki, ni bistvene razlike med končnimi in neskončno majhnimi vektorji zsuvu. Ale nas več tsíkavit vipadok rímanov prostranstev (kot je površina kuli, na primer), de tsya ríznitsya іstotna. Torej priznavamo, da metrični tenzor v zagalnem padcu ni diagonalen in se spreminja pri premikanju od točke do točke v prostoru. Toda rezultat tega zastosuvannya, ds 2, je preobremenjen z izbiro v točki kože, neodvisno od izbire neposredne povezave s samo točko. Tse zhorstku umova (manj zhorstka, nizh umova Euclidean) in hkrati vikonanní prostranstvo in klic rímanovo.

Pevsko ste odpovedali spoštovanje, da še pogosteje vzamem besede "dovzhina" in "dovzhina" v svoje šape. Sramežljiv sem, zakaj. Poleg tega je bilo uvedeno za formalizacijo dela z rezultati simulacij. Ne, smrad po deshcho i so bili prikrajšani, toda tisti, ki so bili prikrajšani, so prenehali biti otrok (v obliki otroka).

Predvidevam - metrike "vídstan" ni mogoče deponirati pri izbiri kartezičnih (in ne samo) koordinat, recimo na ločnem papirju. Gremo v iste koordinate, če lahko med dvema točkama na koordinatni osi najdete 10. Ali lahko določite druge koordinate, na katerih mestih med obema točkama bo 1? Brez težav. Samo postavite v isto enoto, iz samih istih osi, novo enoto, enako 10 spredaj. Koliko se je spremenil evklidski prostor? Kaj je na desni? In na desni v tem, da če lahko zmagamo, ni dovolj, da poznamo številko. Vedeti moramo več, če ste edini, ki ste se odločili prevzeti številko. Matematika v zvichniy sogodní vse oblike tsim ne škripajo. Vaughn ima lahko prav samo s številkami. Izbira biti sam, vimiryuvannya zrobleny do zastosuvannya matematike in zmínyuvatis ni več kriv! Ale naše pameti, ne povejte nam ničesar brez izjave o obsegu! Toda matematika je enaka. Če je jezik o metriki "vіdstaní", jo formalno zastosuvannya baiduzhe do izbire lestvice. Vroč meter, vroče saje. Pomembne so samo številke. Os tega sem postavil svoje tace. Ali veste, kakšen stranski učinek je lahko takšen pidkhid v matematiki rimskega prostora? In os je jak. Spremembe merila od točke do točke ni mogoče videti. Samo neposredno spremenite jogo. Pa čeprav je spreminjanje meril za dodatne transformacije koordinat v takšni geometriji celoten vsakdan. Kaj lahko vključimo v geometrijo zadnjega pregleda moči merila pri vseh? Možno je, možno je. samo za katere je mogoče pospraviti neosebne usluge in se navaditi poimenovati govore s svojimi, pravilnimi imeni. Eden od prvih korakov bo zavedanje dejstva, da nobene metrike pravzaprav ni mogoče uporabiti. Vaughn, noro, maê poje fizično zmíst, toliko bolj spoštljivo. Ale inshiy.

Pri fizikih je bilo spoštovanje vloge metrike pridobljeno s pojavom teorije sposobnosti preživetja - malo posebnega, nato zagalnoy, v katerem je metrika postala osrednja struktura teorije. Posebna teorija preživetja je bila oblikovana na podlagi dejstva, da trivimer ni skalar z vidika celote vztrajnosti, da se enakomerno in premočrtno fizični sistemi zrušijo eden za drugim. Skalar, invariant, je bila druga vrednost, ki se je imenovala interval. Interval med stopnicami. І za izračun te vrednosti je potrebno vrahuvati in interval ene ure med temi stroki. Še več, izkazalo se je, da je pravilo izračuna metrike (in interval, ki se ponovno kaže v kakovosti metrike v združeni prostor-uri, prostoru strokov) podobno zvočnemu evklidskemu v trivi - svetovni prostor. Zdi se, da je malo več. Vidpovidne metrični prostor Herman Minkovski, Začeli so klicati. Spoštovanje fizikov, vključno z Einsteinom, je pravega robota Mankivskega usmerilo k pomenu razumevanja metrike kot fizikalne količine in ne le matematične.

Zagalna teorija vidnosti je v pregled pospešenega vključila še enega drugega fizikalnega sistema. Jaz bi v takem rangu lahko Newtonovi teoriji dal opis gravitacijskih pojavov v novem merilu. Lahko bi segel onkraj pomoči občutka fizičnega polja do same metrike – velikosti in pravila, metričnega tenzorja. Hkrati je matematična konstrukcija Rimanovovega prostora kot podoba vesoljske ure. Ne bomo šli predaleč v podrobnosti te teorije. Krím osgogo іnshgo, tsya teorija stverdzhuê, shko svіt (prostorna ura), v kakršnih je masivna telesa, tako da se telesa privlačijo ena proti ena, maê metrika vídmіnnu víd nastilki priemnoї nas evklіdovoї metrike. Vse sobe pod trdoto so enakovredne:

Fizična trdota. Točke telesa, ki sestavljajo maso, se ena proti ena privlačijo.

V vesoljskih urah v tako masivno telo ni mogoče povsod uvesti preproste premočrtne mreže. Ni takih vimiruvalnyh priladív, yakí dovolite tse robiti. Zagotovo, kot vedno, bodo "posnetki" nastale mreže ukrivljeni chotirikutnik.

Izberete lahko lestvico z eno in isto vrednostjo (normatom) za celotno prostorsko uro. Če je tako lestvico mogoče premakniti s prve točke na drugo točko in jo izenačiti z že obstoječo tam. ALE! Navіt yakscho zsuv neizprosno majhne, ​​ravne črte na lestvicah v naravi ne bodo zbígatisya. Tim je močnejši, bližje kot je tehtnica telesu, močnejša je masa in večja je sama masa. Samo mase tam ni (čeprav je os tvoja hrana - kaj pa sama tehtnica?) Tekle bodo naravnost.

V polju prostora-časa, ki ga avenije masivna telesa nimajo takšnega koordinatnega sistema, v metričnem tenzorju v kožni točki prikazov matrike, povsod nič, diagonale, na katerih so enice.

Vidministična metrika v obliki evklidske je manifestacije manifestacije gravitacijskega polja (gravitacijskega polja). Poleg tega je polje metričnega tenzorja gravitacijsko polje.

Možno bi bilo prinesti še več takih trdnjav, hkrati pa bi rad povrnil vaše spoštovanje ostalim. Ukrivljenost. Tse schos, scho še nismo razpravljali. Yake vídnoshennia vаn maê to metritsі? Za velikim rakhunokom - nobenega! je razumeti več o spodnji metriki. V kakšnem smislu?

Družina rimskega prostora, ki vključuje evklidski prostor, je sama del večje družine. Cí prostor, vzagalí na videz, ne skrbi za vpliv takšne vrednosti, kot je metrika, za stavno točko vaše kože. Nato je za potrebno moč tu še temelj dveh drugih struktur, povezanih ena za drugo - afina povezava in ukrivljenost. Samo s petjem umov o ukrivljenosti (ali zv'yaznist), v takšnih prostranstvih obstaja metrika. Todі tsі prostor in pokličite Rímanovo. Naj bo to Riemannova prostranstva, zv'yaznist in ukrivljenost. Ale ne kar naenkrat.

Vendar ni mogoče reči, da je metrika sekundarna v smislu zrelosti glede na gladkost ali ukrivljenost. Ni. Osnova metrike je izjava o moči povezave in s tem ukrivljenosti. V standardni interpretaciji splošne teorije relativnosti se metrika šteje za pomembnejšo, saj določa obliko teorije, strukturo. In afina povezava in ukrivljenost se pojavita, pri čemer sta sekundarni, podobni vrsti metrike. To razlago je postavil Einstein v tistih urah, če matematika še ni zamislila, da bi dosegla raven pomembnosti struktur, ki so bile postavljene skozi in pozneje, hierarhijo prostranstev, ki bo vodila do evklidske. Že po nastanku aparata GRT, predvsem s pomočjo Weila in Schoutena (očitno ne samega), je bila matematika razdrobljena v prostranstvu atenske koherence. Vlasne, je robota spodbudil pojav splošne teorije relativnosti. Tako kot Bachite se kanonična razlaga pomena struktur v splošni teoriji relativnosti ne oddaljuje od sodobnega pogleda matematike na njihov odnos. Tsya kanonična interpretacija ni nič drugega kot identifikacija drugih matematičnih struktur s fizičnimi polji. Nadannya ím fizični čut.

V splošni teoriji relativnosti obstajata dva načrta za opis vesoljske ure. Prva med njimi je sama prostranost-ura, kot prostranost podzemlja. Podії, brezperervnyayut ali je območje prostor-čas označen z dodatnimi koordinatami. Predmet uvajanja so tudi koordinatni sistemi. Že samo ime teorije poudarja spoštovanje do sebe na tsoma - naravnih zakonov, se lahko v takem prostoru-urah oblikuje vendarle kakršen koli dopusten koordinatni sistem. Tsya bi lahko imenovali načelo globalne vidnosti. Pomembno je, da ta načrt teorije ne pove ničesar o prisotnosti metrike v prostorskih urah, vendar še vedno zagotavlja osnovo za vzpostavitev nove afine povezave (skupaj s ukrivljenostjo in drugimi podobnimi matematičnimi strukturami). Seveda že na tej ravni obstaja potreba po fizičnem občutku matematičnih predmetov teorije. Os vina Točka na uro prikazuje dno, z ene strani je označena s postajo in trenutkom ure, z druge - s koordinatami. Kako čudovito? Hiba ni isto? Vendar ni osi. V splošni relativnosti nista enaki. Koordinate najbolj zloglasnih vrst, dopustnih v teoriji, ni mogoče interpretirati kot položaj in trenutek ure. Takšna možnost je postulirana le za ožjo skupino koordinat - lokalno inercialne, ki se nahajajo le v bližini kožne točke, ne pa v celotnem območju, ki ga pokriva okovan sistem koordinate. Še en postulat teorije. Tukaj je takšen hibrid. Sam bom poskrbel, da bo tukaj veliko OTO problemov, a z dovoljenjem se jih ne bom lotil naenkrat.

Po drugem načrtu teorije lahko upoštevamo tisti del postulatov, da v vesoljske ure fizičnega bitja uvedemo gravitacijo - gravitacijo, ki medsebojno privlači masivna telesa. Trdi se, da je ta fizični pojav mogoče ukrotiti za pojoče ume s preprosto izbiro izvedljivega sistema na podoben način, ki je sam lokalno inercialen. Za vsa telesa, ki se lahko še pospešijo (prosti pad) po prisotnosti na majhnem območju gravitacijskega polja oddaljenega masivnega telesa, polje ni opaziti v trenutnem sistemu v daljavi. Formalno se postulati končajo na tem, dejansko pa osnovna raven teorije, kot tudi uvesti metriko, tudi postulatom, in kot matematično strjevanje in kot fizikalno. Čeprav se nočem spuščati v podrobnosti izenačevanja (pravzaprav izenačevalnih sistemov), a vseeno je strašljiv mami jogo pred očmi:

R ik \u003d -c (T ik - 1/2 T g ik)

Tukaj je vreden naslov Riccijev tenzor, preprost zgib (kombinacija skladiščnih komponent) tenzorja popolne ukrivljenosti. S polno pravico ji lahko rečemo tudi ukrivljenost. Na desni je konstrukcija tenzorja energijskega impulza (to je fizikalna količina v splošni relativnosti, ednina za masivna telesa in vesolje za prostor-čas, kot za energijski impulz v tej teoriji samo obraba) in metrike Poleg tega je metrika tsya kot skalarna količina viroblen z metričnim tenzorjem, vendar je enaka za vse točke regije. Več je razmírna hitro z, sorazmerno z gravitacijsko hitro. S tega nivoja je jasno, da je za veliko rahunko vzpostavljena ukrivljenost z energijskim impulzom in metriko. Fizična senzorična metrika se pripiše GR že po sprejeti odločitvi teh enakih. Drobci v izbrani rešitvi koeficientov metrike so povezani z linearnim potencialom gravitacijskega polja (izračunanim preko novega), nato z metričnim tenzorjem in pripisan smisel potencialnega polja. S takšnim pristopom je podoben občutek kriva mati in ukrivljenost. In afina povezava se interpretira kot moč polja. Interpretacija ni pravilna, oprostite zaradi paradoksa v interpretaciji koordinat, ki je bil že omenjen zgoraj. Seveda za teorijo ne mine brez sledu in se kaže v številnih dobronamernih težavah (nelokalizacija energije gravitacijskega polja, interpretacija singularnosti), ki ob dodajanju pravilnega fizičnega občutka geometrijskim vrednostim preprosto ne moremo očitati. Po poročanju je vse obravnavano v knjigi "".

Vendar pa je v splošni relativnosti metrika posnemanje, zločin občutka, ki se ji vsiljuje kos za kosom, obstaja samo ena fizična razlika. Uganete, kaj je značilno za metriko v smislu evklidskega prostora? Še ena pomembna stvar za preživetje v prostor-času reke je sposobnost vnašanja jorstke v prostor, ki enakomerno zapolni celotno območje s pravokotno koordinatno mrežo. Mreža Qiu se v fiziki imenuje inercialni sistem opazovanja. Takšen referenčni sistem (koordinatni sistem) podpira eno in samo eno standardno obliko metričnega tenzorja. V sistemih vídlіku, precej kolapsa shdo іnertіalnіy, tip metričnega tenzorja vídmіnniy víd standard. S fizičnega vidika je vloga "sitka videti" dovolj videti. Če imate čvrsto telo na pogled, katerega kožna točka je varna z istimi leti, v uri, potem bo tudi spoznal takšno mrežo. Za prazno prostranstvo preprosto domislyuêmo takšno telo za vídlíku, ki zagotavlja jogo (razširitev) s popolnoma enako metriko. V tako razumnem, metričnem tenzorju, podobnem standardnemu evklidskemu, se zdi, da je sistem opazovanj (koordinat) navdahnjen s pomočjo netrdnega telesa in morda gre letopis tudi drugače. na njenih točkah. Kaj hočem reči tsim? In kaj potem metrični tenzor je matematični vrstni red nekaterih za nas najpomembnejših potenc sistema. Tihe moči, kot absolutni rang, označujejo strukturo samega sistema v vidlíku, omogočajo razlikovanje, koliko ne bodo "garne", koliko izgledajo kot ideal - inercialni sistem. Os splošne relativnostne teorije in metričnega tenzorja je enaka takšni sliki. jak slika spremenljivega okovja, ki je razdeljena v območju merila, lahko spreminja svojo orientacijo od točke do točke, lahko pa je povsod enaka norma, ki je skupna vsem vektorjem merila. Meritev, ki se obravnava kot skalar in je norma, vrednost na lestvici. Metrika vam tako kot tenzor omogoča, da vidite več Vídnosni Rukh ena za eno od vseh lestvic, ki je zložena, da se prilega. І OTO opisuje takšno situacijo, če je v prostoru-času možno mati tako telo, je bolj resnično ali bolj očitno.

Ta pogled na metriko je blazno pravilen. Še več, vina so tudi produktivna, oskolki ponovno izkazujejo spoštovanje do tega, kar so izgubili v OTO naklonjenosti. Pravzaprav smo dovolili, da se sistem spreminja glede na lestvico na različnih točkah, ki so lahko usmerjene na drugačen način (v chotirivimir svetu usmeritev vključuje isto samo po sebi). In vendar je treba še ugotoviti, da je deak absolutna značilnost lestvice, norma (interval) pa je ostala ena in ista. Konec koncev je bila trdnost OTO, ki jo je potreboval pred ogledom vseh možnih sistemov, površna. Chi ni tako nezaslišano, prepoznavnost v tej teoriji.

© Gavryu V.G.
Gradiva, objavljena na spletnem mestu, se lahko citirajo po dotrimanih pravilih citiranja.

Ena najpomembnejših analitičnih operacij je prečkanje meje. Osnova te operacije je v dejstvu, da je na številski premici dodeljena ena točka drugi. Veliko temeljnih dejstev analize ni povezanih z algebro zaradi narave realnih števil (tj., ker smrad sestavlja polje), temveč izginjajo iz razumevanja. Uzagalnyuyuchi navaja o dejanskih številih kot o neosebnih, v katerih je uveden med elementi, pridemo do razumevanja metričnega prostora - enega najpomembnejših za razumevanje sodobne matematike.

metrično prostoren poklical par (X, r), kaj gre v akcijo brez obraza(presledek) X elementi(pika) i vídstanі, tj. nenegativna realna funkcija r(x, y), petje za be-yakah Xі pri h X in podvržen naslednjim trem aksiomom:

1) r (x, y)= 0, čeprav samo X = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(Aksiom simetrije),

3) r(x, z)≤ r (x, y)+ r(y, r)(Aksiom trikutnika).

Isti metrični prostor, tj. par (X, p), praviloma bomo mislili na eno črko:

R = (X, p).

V vipadkah, če je nerazumljivo izklopljen, bomo metrični prostor pogosto označili z istim simbolom kot sama "rezerva točk". x.

Uporabimo metrične prostore. Nekateri od teh prostorov igrajo pomembno vlogo pri analizi.

1. Poklavshi za elemente dokaj neosebne

vzamemo očitno metrični prostor. Jogo lahko imenujemo prostranstvo izoliranih točk.

2. Množica realnih števil iz standarda

p(x, y) = | x - y |

vzpostaviti metrični prostor R 1 .

3. Anonimno naročanje kompletov p realna števila iz standarda

klical p- miren aritmetični evklidski prostor Rn.

4. Oglejmo si enake neosebne množice p realna števila

Veljavnost aksiomov 1) -3) je tukaj očitna. Znatna metrična širina simbola Rn 1 .

5. Naj obnovim iste neosebne stvari, ki so v zadnjicah 3 in 4 in so pomembne med elementi formule

Veljavnost aksiomov 1) -3) je očitna. Tse prostranstvo, ki je zame pomembno Rn¥ v bogati prehranski analizi ni nič manj priročna nižja evklidska širina Rn.

Ostali trije zadnjici kažejo, da so včasih in prav pomembno različni za najbolj metrični prostor in za neosebno konico, tako da se lahko ena in ista zaloga različno meri.

6. Bezlič Z vse netrajne funkcionalne funkcije, dodeljene navitju od daleč

vzpostavi tudi metrični prostor. Aksiomi 1) -3) se posegajo brez razlikovanja. Ta prostor igra pomembno vlogo pri analizi. Z enakim simbolom bomo označili jogo Z Kaj je najbolj neosebna točka tega prostora.

7. Poglejmo, kot v zadnjici 6, zaporedje vseh funkcij, brez prekinitve za oko Z, ale vіdstan іnsignificantly іnakshe, ampak asѕ, med drugim

Tak metrični prostor bomo mislili Z 2 in ime razsežnost neprekinjenih funkcij s kvadratno metriko.

Pred Rímanom, Lobačevskim, Einsteinom in drugimi tovariši je bila geometrija sestavljena iz ravnin, nevidnih točk in ravnih črt, ki niso bile odrezane v nasprotni smeri. Nad ravninskim trivimernim svetom, ponosno glavno uro, sprejemamo kot proces, kvantiziran za popolnost na utripu srca in klopu leta. Vse je glasno, naravnost, razumno, močno, tri koordinate v prostoru se dajo zagotovo usoditi - le malo udariti.

Konec idila je prišel s prihodom matematikov, yakí doslídzhuyut na konici peresa bogata prostranstva. Smrad je bil zložljivi, bogato usklajeni predmeti in sistemi, nerazumljivi človeškemu očesu in razumljivi, na primer znamenita chotirivimirny kocka, Möbiusova črta in drugo. Korak za korakom je bilo navedeno, da je navidezno širino neobov'yazkovo mogoče zložiti iz plošč in ravnih linij s procesno uro, lahko pa jo zložimo, na primer, iz ploščatega lista nepravilne oblike, upognjenega v cev, poleg tega , ura je dvojna os, narisana v središču cevi. Točka je bila postavljena v tako "nepravilno" širino, vendar nima že treh nam znanih koordinat, saj jim vbijanje kilograma ne more pomagati pri smrti. Položaj nastavljene točke v neevklidskem prostoru bo treba predstaviti v vizualnem nizu števil, ki se nenehno spreminja glede na obstoječa pravila. Sama pravila v vigadanomi kože so njihova. Takemu nizu števil pravimo tenzor, zajema podatke o točkah prostora približno na enak način, kot je posneta slika v igri "slika rože": dolžina striženja kože je vektor, ki je prikazano na točki glede na eno od koordinat, ki so prikazane danes , enkratno in neponovljivo.

Tenzorji so zložljivi objekti, vendar imajo en velik prostor - tenzor, kot niz vektorskih nizov, lahko "gledamo čez", kar označuje tenzorsko matriko - tabelo dveh svetov, v kateri je zamenjava največjih števil formulo, ki opisuje pravila te transformacije. Matrica je preprost predmet, operacije z nekakšno dobroto so bile razvite pred več kot stoletjem. Vodje matematikov so začeli trdo delati, predstavili so najbolj izpopolnjene formule in obstajali so tenzorji za točke samih nedoumljivih prostranstev. Najenostavnejša tenzorja, ki ju dovolj natančno opisujemo, lahko sprejmemo z zadostno natančnostjo, sta tridimenzionalni evklidski prostor in urni proces. Іh matrike i imenujemo metrike.

Nadala je prišlo do ugotovitve, da je zaradi togosti, ki jo je za osnovo vzel Einstein, metrika Minkowskega postala nesprejemljiva v vakuumu na loku velikih razdalj med točkami ali na loku visokih indikatorjev gravitacijske soodvisnosti. Glave matematikov so spet delale, že v navezi s fiziki, kot bi se šalile z eksperimentalnimi potrditvami teorij. Tako se je na primer pojavila Schwarzschildova metrika, kot da opisuje naš svet z množenjem matrik tenzorjev v kvadratni ravnini dveh svetov in krogli dveh svetov (tam je dobro znan krog, vendar lahko vidite celotno prostranstvo). Schwarzschildova metrika je omogočila opis, zakaj sami, in ne drugače, zaznavamo gibanje objektov nebesne sfere. Ura v níy je konstantna vrednost (!), Ki se vnese v kožo rožnega venca, in ko vnesete točko na posterigah, je to v resnici vektor, ki daje opis dolžine prostora (-ura ) med dvema predmetoma, alepodia.

Glavni funkcionalni prostor

predavanje 5

Ena najpomembnejših analitičnih operacij je prečkanje meje. Osnova te operacije je v dejstvu, da je na številski premici dodeljena ena točka drugi. Veliko temeljnih dejstev analize ni povezanih z algebro zaradi narave realnih števil (tj., ker smrad sestavlja polje), temveč izginjajo iz razumevanja. Uzagalnyuyuchi navaja o dejanskih številih kot o neosebnih, v katerih je uveden med elementi, pridemo do razumevanja metričnega prostora - enega najpomembnejših za razumevanje sodobne matematike.

Sestanek.

Par se imenuje metrični prostor (X, p). X elementov (pika) in vidstani, tj. nedvoumna, nenegativna, efektivna funkcija p(x, y), Imenovan za be-yakah xі l h X in podrejeni prihajajočim aksiomom;

1. ρ (x, y) ≥ 0 za vse x, y,

2. ρ (x, y) = 0 takrat in samo enkrat, če x = y,

3. ρ(x, y) = ρ(y, x)(Aksiom simetrije),

4. ρ (x, z) £ ρ (x, y) + ρ (y, z)(Aksiom trikutnika).

Isti metrični prostor, tj. par (X, p), Praviloma bomo označili eno črko R = (X, p).

V vipadkah, če je nerazumljivo izklopljen, bomo metrični prostor pogosto označili z istim simbolom kot sama "rezerva točk". X.

Uporabimo metrične prostore. Deyakí z tsikh prostranstva igrajo pomembno vlogo pri analizi.

1. Poklavshi za elemente dokaj neosebne

vzamemo očitno metrični prostor. Jogo lahko imenujemo prostranstvo izoliranih točk.

2. Množica realnih števil iz standarda

vzpostaviti metrični prostor R1.

3. Anonimne skupine za naročanje n realna števila x = (X 1, ..., x n) od daleč

klical n- miren aritmetični evklidski prostor R n. Pravičnost aksiomov 1) - 3) za R n očitno. Pokažimo to v R n Vikonan in aksiom trikutnika.

pridi no x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n),

z = (z 1, ..., z n);

potem si aksiom triksterja zapiše gledalec

Vvahayuchi, otrimuemo in neenakost (2) prevzame kakršno koli obliko

Pa vendar je nervoza takoj razvidna iz navidezne nervoze Kosh-Bunyakovskega

Res, zaradi te nervoze je to mogoče

nerіvnіst (3), in tudi і (2), ki ga je prinesel.

4. Oglejmo si enake neosebne urejene skupine n dnevne številke x = (x 1, ..., x n) vendar naj bo v novi formuli pomembno

Veljavnost aksiomov je tukaj očitna.

Vodja. Prinesite aksiom 4.

Znatna metrična širina simbola.

5. Naj obnovim iste neosebne stvari, ki so v zadnjicah 3 in 4 in so pomembne med elementi formule

Veljavnost aksiomov 1) - 3) je očitna.

Vodja. Prinesite aksiom 4.

To prostranstvo, ki je za nas pomembno, za bogate vire analize ni nič manj priročno, spodnje evklidsko prostranstvo R n.

Ostali trije zadnjici kažejo, da so včasih in prav pomembno različni za najbolj metrični prostor in za neosebno konico, tako da se lahko ena in ista zaloga različno meri.

6. Bezlič C vse nestalne funkcionalne funkcije, dodeljene segmentu , Trikrat na dan

vzpostavi tudi metrični prostor. Aksiomi 1) - 3) se ponovno obravnavajo brez posrednika.

Vodja. Prinesite aksiom 4.

Ta prostor igra pomembno vlogo pri analizi. Z enakim simbolom bomo označili jogo C Kaj je najbolj neosebna točka tega prostora. namestnik C bomo napisali preprosto Z.

7. Bistveno skozi l 2 metrično širino, katere točke služijo kot vsa nasledstva x = (x 1, ..., x n, ...) realna števila, ki ugajajo umu,

in vídstan vyznaêtsya formula

Iz elementarne neenakomernosti je očitno, da funkcija p(x, y) maê smisel, da se vsi zbližajo, kot

Pokažimo zdaj, da funkcija (8) zadošča aksiomom metričnega prostora. Aksiomi 1) - 3) so očitni, aksiom tricutnika pa ima obliko tukaj

Na podlagi tega, kar je bilo povedano zgoraj, se tri vrstice pisanja tukaj zbližujejo. Na drugi strani pa na kožo n prav neenakomeren

(Razd. zadnjica 4). Tu mimo do meje pri n®∞ otrimuemo (8), tako da neravnine trikota v l 2.

8. Poglejmo, kot v zadnjici 6, zaporedje vseh funkcij, brez prekinitve .

Tak metrični prostor bomo mislili Z 2 in ga imenujemo prostor neprekinjenih funkcij s kvadratno metriko. Tukaj so vsi aksiomi metričnega prostora očitni, aksiom trikuterja brez posrednika pa kriči iz integralne oblike neenakosti Cauchyja - Bunyakovskega

9. Oglejmo si neosebnost vseh podzaporedij x = (x 1, ..., x n, ...) realnih števil.

vzamemo metrični prostor, saj je pomemben m. Veljavnost aksiomov je očitna.

10. Anonimne skupine za naročanje n realna števila iz standarda

de R- ali obstaja fiksna številka ≥ 1 , Je metrični prostor, saj je pomemben.

Ponovno poglejmo aksiom 4.

pridi no x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n), z = (z 1, ..., z n).

Pojdimo, tudi nerіvnіst

ugotoviti pravico, za koga sem kriv, bom videl

Tse je ime živčnosti Minkovskega. pri p=1 Neenakost Minkowskega je očitna (vsota modulov ne presega vsote modulov), upoštevali bomo, da p > 1.

Dokaz neenakosti (13) z p > 1 ki temelji na tako imenovani Hölderjevi živčnosti

de številke p > 1і q > 1 vezan na um

Upoštevamo, da je neenakost (14) enaka. Tse pomeni, da je v redu za dva vektorja a = (a 1, ..., a n),і b = (b 1, ..., b n), potem vono vikonano i za vector_v λaі μb, de λ і μ - kar nekaj. Za to nerіvnіst (14), da konča, da prinese za vipadka, če

Oče, naj Vikonan Umov (16); sporočite nam to

Poglejmo kvadrat (ξ,η) ukrivljeni, kot bi bili enaki η = ξp -1 (ξ> 0), Abo, kar je enako, enako ξp -1 (η> 0)(slika 1). Iz malega je jasno, da s katero koli izbiro pozitivnih vrednot aі b volja S 1 + S 2 > ab. štetno območje S1і S2:

Pri takšnem rangu je številčna nekonsistentnost upravičena

zamenjava tukaj a na | A k |і b na | B k | in pídsumovuyuchi na k od 1 do n, Otrimaêmo, vrakhovuchi (15) in (16),

Nerіvnіstі (17), in kasneje, i zagalne іrіvnіstі (14) prinesel.

pri p = 2 Nerіvnіst Hölder (14) se spremeni v Nerіvnіst Koshi - Bunyakovsky (4).

Zdaj pa preidimo na živčnost Minkovskega. Za katere lahko vidimo istost

Zamenjava istosti v pisnem a na a kі b na b k in pídsumovuyuchi na k pogled 1 prej n sprejeti

Zastosovuchi zdaj na kožo za dve vsoti, stati z desno roko, Gelderjeva živčnost in vrakhovuuchi, scho (P - 1) q = str, Pridobite x (t), vzemite

Na ta način je bilo ugotovljeno, da formula (18) lp, Deisno maê sens za be-yakah. Nočna neenakost (19) kaže, da v lp vikonana axiom trikutnik. Reshta aksiomi so očitni.

Peščica oddaljenih zadnjic ni obkrožena z žaljivim sprejemom. pridi no R = (X, p)- metrični prostor i M- biti multiplikator v X. tudi M z isto funkcijo p(x, y), Yaku mi vvazhaemo zdaj poje za xі pri h M, Tezh je metrični prostor; imenujemo ga podprostor prostora R.