Zaporedje se imenuje neskončno veliko. Neskončno majhne in neskončno velike funkcije

Def.: funkcija je poklicana neskončno majhna pozor, yakscho .

Pri vnosu "" bomo to dovolili x0 lahko vzamete kot kіntseve pomen: x0= konst, Torej in brez kože: x0= ∞.

Moč neskončno majhnih funkcij:

1) Algebraična vsota končnega števila je neskončno majhna za funkcije in neskončno majhna za funkcije.

2) Twir zadnjega števila je neskončno majhen za funkcije in neskončno majhen za funkcije.

3) Tvіr zamezhennuyu funkcija na neskončno majhno funkcijo є neskončno majhna funkcija.

4) Del delitve je pri funkciji na funkciji, med katero je navidezna ničla, neskončno majhen, pri funkciji pa je neskončno majhen.

zadnjico: funkcijo y = 2 + x je neskončno majhen pri, da.

Def.: funkcija je poklicana neskončno super pozor, yakscho .

Moč neskončno velikih funkcij:

1) Vsota neizprosno velikega v primeru funkcij je neizprosno velika v primeru funkcije.

2) Twіr neskončno veliko v primeru funkcije na funkciji, med katerima je enaka nič, in neskončno veliko v primeru funkcije.

3) Vsota je neskončno velika s funkcijo in opisana funkcija je neskončno velika funkcija.

4) Del delitve, ki je neskončno velik v funkciji funkcije, ki je lahko konec meje, je v funkciji neskončno velik.

zadnjico: funkcijo y\u003d Є neskončno odličen pri tem .

Izrek.Povezava med neskončno majhnimi in neskončno velikimi velikostmi. Če je funkcija neskončno majhna pri, potem je funkcija neskončno velika pri. І nazaj, če je funkcija neskončno velika pri, potem je funkcija neskončno majhna pri.

Rojstvo dveh neskončno majhnih jemljemo za simbol, dveh neskončno velikih - za simbol. Užaljeni zaradi bluesa so nevidni v tistem smislu, ki se lahko uporablja kot meja, torej ne more biti uporabljen, temveč enak dejanskemu številu, ali pa neizčrpen v prahi v obliki specifičnih funkcij, ki so vključeni v nevidne razlike.

Zločin nepomembnosti za um in nepomembnosti je tako virazi:

Maloprodaja neskončno velikih izdelkov istega znaka;

Tvіr neskončno majhen do neskončno velik;

Funkcija zaslonskega koraka, katere osnova je do 1, indikator pa do;

Funkcija Show-step, katere osnova je neskončno majhna, showman pa neskončno velik;

Show-stepping funkcija, pidstava in pokaznik yakoї є neskončno majhna;

Funkcija show-step, katere osnova je neskončno velika, showman pa neskončno majhen.

Zdi se, da obstaja mesto nepomembnosti očitnega uma. Izračun medimen v njihovih kategorijah odprtost za nepomembnost. Da bi razkrili nepomembnost viraza, ki stoji pod znamenjem meje, se preobrazi v pogled, ki se nepomembnosti ne maščuje.

Ko štejemo med vikaristi, moč med, pa tudi moč neskončno majhnih in neskončno velikih funkcij.

Oglejmo si izračun razlike med.

1) . 2) .

4) , Ker je tvir pri zamenjavi funkcije neskončno majhna funkcija je neskončno majhen.

5) . 6) .

7) = =

. V tej situaciji je malo prostora za nepomembnost tipa, kolikor se je dalo razširiti s pomočjo razporeditve polinomov v množitelje in kratkosti v divji množitelj.

= .

V tej situaciji je malo prostora za nepomembnost tipa, kolikor se je dalo razširiti s pomočjo množenja številke in pasice na virazu, zmagoviti formuli in skrajnem kratkem ulomku na (+ 1).

9)
. V tej zadnjici je nepomembnost vrste bule odpiral rozpodilom številke in prapor ulomka na višji stopnici.

čudežne meje

Prva meja čudeža : .

Prinašanje. Poglejmo en sam krog (slika 3).

sl.3. enobarvno

daj no X- Radianna sveta osrednjega kuta MOA(), Todi OA = R= 1, MK= greh x, AT=tg x. Porіvnyuyuchi kvadratni trikutnikov OMA, OTA i sektorji OMA, Vzamemo:

,

.

Preostalo živčnost razdelimo na greh x, Vzamemo:

.

Tako kot kdaj, potem po moči 5) med

Zvіdki i zvorotna vrednost pri, scho th je bilo treba prinesti.

spoštovanje: Kot funkcija je neskončno majhen pri, tobto , Potem je lahko prva čudežna meja videti:

.

Poglejte si izračun med zmagami prve čudežne dežele.

Pri izračunu cene med vrednostmi je bila izračunana trigonometrična formula: .

.

Poglejmo si izračun med zmagami še ene čudežne dežele.

2) .

3) . Za tip je mesto nepomembno. Zrobimo zaminu, torej; pri

funkcija je poklicana neskončno majhna pri
ali pri
, všeč
oz
.

Na primer: funkcija
neskončno majhna pri
; funkcijo
neskončno majhna pri
.

Spoštovanje 1. Nobene funkcije ni mogoče poimenovati brez vstavljanja neposredno v argument neskončno majhnega. Ja, funkcija
pri
є neskončno majhen in kdaj
ne bo premajhna (
).

Spoštovanje 2. Iz definicije meja funkcije na točki se za neskončno majhne funkcije upošteva neenakomernost
.Cim dejstvo mi nadі bomo večkrat koristuvatisya.

Dajmo nekaj pomembnih stvari moč neskončno majhnih funkcij.

izrek (O povezavi funkcije, її med in neskončno majhna): Kaj je funkcija
se lahko predstavi ob pogledu na vsoto hitrega števila AMPAK in neskončno majhne funkcije
pri
, nato številko

Dokončano:

Upoštevajte izreke, očitno je, da funkcija
.

poznamo svіdsi
:
. funkcija pokrovače
neizprosno majhna, zanjo je pošteno
, Enako za izraz (
) Zmaga tudi Nerіvnіst

In tse to pomeni
.

izrek (Zvorotna): yakscho
, nato funkcija
mozhe buti je predstavljena s številko vilyadі sumi AMPAK in neizprosno majhna pri
funkcije
, Tobto
.

Dokončano:

tako jag
, potem za
nerіvnіst
(*) Oglejmo si funkcijo
kot enotnost in nedoslednost (*), prepisana ob pogledu

Iz preostalih neravnin je vrednost (
) Є neskončno majhna pri
. smiselno її
.

Zvezde
. Izrek je zaključen.

izrek 1 . Algebraična vsota končnega števila neskončno majhnih funkcij je neskončno majhna funkcija.

Dokončano:

Opravimo dokaz za dva dodankіv, tako da bo za poljubno končno število dodankіv inducirano podobno.

daj no
і
neskončno majhna pri
funkcije in
- vsota funkcij. Sporočite nam, zakaj
, Uporabno
Kaj je za vsakogar X Kaj poteši živčnost
,
.

Torej kot funkcija
neskončno majhna funkcija,
Kaj je za vsakogar
nerіvnіst
.

Torej kot funkcija
neskončno majhna funkcija,
, In tudi Kaj je za vsakogar
nerіvnіst
.

vzemi enako najmanjšemu številu і , Todi noter - okolica točke a bo prišlo do nervoze
,
.

Funkcije modula za shranjevanje
in lahko ocenimo njegov pomen.

Tobto
, Potem je funkcija neskončno majhna, kar je bilo treba prinesti.

2. izrek. Twir neskončno majhne funkcije
pri
na izmenjano funkcijo
je neskončno majhna funkcija.

Dokončano:

Torej kot funkcija
resasto, potem je tudi pozitivno število
Kaj je za vsakogar nerіvnіst
.

Torej kot funkcija
neskončno majhna pri
, potem - okolica točke Kaj je za vsakogar Soseska
.

Poglejmo funkcijo
ocenjujem njen modul

Otzhe
, In potem
- neverjetno majhen.

Izrek je zaključen.

Teorija o mejah.

Izrek 1. Med algebraično vsoto končnega števila funkcij

Dokončano:

Da bi to dokazali, si oglejte dve funkciji, ne da bi uničili celovitost sveta.

daj no
,
.

Glede na izrek o povezovanju funkcij, її med in neskončno majhnimi funkcijami
і
si lahko predstavljate
de
і
- neskončno majhna pri
.

Poznamo vsoto funkcij
і

velikost
je konstantna vrednost,
- vrednost je neskončno majhna. Torej funkcija
predstavljeno z navidezno vsoto konstantne velikosti in neskončno majhne funkcije.

isto številko
є mejna funkcija
, Tobto

Izrek je zaključen.

izrek 2 . Ustvarite med zadnjim številom funkcij

Dokončano:

Ne da bi uničili celovitost ogledala, bomo izvedli dokaz za dve funkciji
і
.

Daj no, daj no
,

Spoznajte svoje funkcije televizorja
і

velikost
je konstantna vrednost, neskončno majhna funkcija. Oče, številka
є mejna funkcija
, Tobto poštena enakovrednost

posledica:
.

3. izrek. Meja med zasebnima dvema funkcijama je enaka kot med zasebnima funkcijama, kot je meja med standardom vіdmіnny vіd nič

.

Dokaz: Daj no
,

tudi
,
.

poznamo zasebno in lebdimo nad njim za dejanja iste preobrazbe

velikost hitro, suho
neizprosno majhna. Oče, funkcija predstavljeno z navidezno vsoto konstantnega števila in neskončno majhne funkcije.

tudi
.

Spoštovanje. Izreki 1-3 so pripeljali do točke
. Vendar smrdi lahko stagnira, ko
, Oskіlki provedennya izreke na enak način je treba izvesti podobno.

Na primer. Vedeti med:

Prvi in ​​drugi čudeži vmes.

funkcijo ni dodeljen na
. Vendar pa so njene vrednosti v bližini točke nič jasne. Zato lahko vidite med funkcijami
. Qia med zvonjenjem najprej čudežno med .

Vin lahko izgleda:
.

na primer . Poznajte meje: 1.
. pomenijo
, všeč
, potem
.
; 2.
. Predelajmo ta izraz tako, da bo meja zvonila do prve čudežne meje.
; 3..

Poglejmo spremembo velikosti uma
, v yakіy sprejme vrednosti naravnih števil po vrstnem redu njihove rasti. damo različni pomeni: yakscho

dajanje prihajajoče pomene iz neosebnega
, Ni važno govoriti, scho viraz
pri
volja
. Več kot to, da se prinese, scho
lahko med. Qia med je označena s črko :
.

številko iracionalno:
.

Zdaj pa poglejmo medfunkcije
pri
. Meja se imenuje še ena čudežna meja

Vіn maє vyglyad
.

Na primer.

a)
. viraz
namesto ustvarjalnosti isti spremljevalci
, Zastosuєmo izrek o ustvarjanju meje in še eno čudežno mejo; b)
. fit
, potem
,
.

Še ena čudežna meja vikoristovuєtsya v naloge o nemotenem kopičenju vode

Ko zaslužite penijev dohodek za depozite, so pogosto pokriti s formulo pregibnega dohodka, kot vidim:

,

de - depozit za storže,

- bančna banka vіdsotok,

- število narahuvan vіdsotkіv na rіk,

- uro, v skalah.

Vendar pa jih v teoretičnih študijah pri zaokroževanju naložbenih odločitev pogosto zajame formula eksponentnega (pokaznega) zakona rasti

.

Formula za prikaz zakona rasti je bila odvzeta, ker smo formuli za zlaganje oken dodali še eno čudovito deželo

Neprekinjene funkcije.

Poglejmo funkcijo
peti v deakіy točki i deyakomu blizu točke . Naj ima funkcija vrednost na točki
.

Funkcija 1. Funkcija
poklical neprekinjeno do točke , kot je prikazano v bližini točke, vključno s samo točko i
.

Pomen kontinuitete je mogoče oblikovati drugače.

pusti funkcijo
dodeljena po dejanski vrednosti ,
. kot argument dati povišanje
, nato funkcija za pridobitev zbіlshennya

Naj gre funkcija do točke nestalna (zaradi prve oznake nestalnosti funkcije na točki),

Ker funkcija ni prekinjena na točki , nato pa neskončno majhno povečanje argumenta
v tej točki kaže neskončno majhno povečanje funkcije.

To je poštena in nepovratna trditev: če neskončno majhno povečanje argumenta povzroči neskončno majhno povečanje funkcije, potem funkcija ni prekinjena.

Funkcija 2. Funkcija
se imenuje neprekinjen, ko
(Do točke );
.

Če pogledamo nazaj na prvo in drugo, lahko pomen neprekinjene funkcije na točki upoštevamo, ko pride do utrjevanja:

oz
, ale
, potem
.

Tudi, da bi vedeli razliko med non-stop funkcijo, ko
dodaj v analitični pogled funkcije zamenjaj argument Predložite svoj pomen .

Imenovanje 3. Funkcija, brez prekinitve v kožni točki aktivnega območja se imenuje neprekinjeno v tej regiji.

na primer:

Primer 1. Prinesite, kaj je funkcija
je neprekinjena na vseh točkah ciljnega območja.

Pospešujemo druge dodelitve kontinuitete funkcije do točke. Za koga je mogoče vzeti vrednost argumenta in damo youmu prirastek
. Poznamo inkrementalno funkcijo

Primer 2. Prinesite, kaj je funkcija
neprekinjeno na vseh točkah h
.

damo argument rast
, Ista funkcija za povečanje

To poznamo kot funkcijo
, Tobto je resasto.

Podobno lahko sklepamo, da so vse glavne osnovne funkcije neprekinljive na vseh točkah območja njihove dodelitve, tako da se območje dodelitve elementarne funkcije razširi iz območja kontinuitete.

Imenovanje 4. Kakšna je funkcija
neprekinjeno na točki kože trenutnega intervala
, nato recite, da je funkcija nestalna na tem intervalu.

Pomen te moči je neskončno majhen in neskončno velike funkcije do točke. Dokaži potenke in izreke. Povezava med neskončno majhnimi in neskončno velikimi funkcijami.

zmist

Div. tudi: Neopravičljivo majhne posledice - imenovanje in oblast
Moč neskončno velikih sekvenc

Določene neskončno majhne in neskončno velike funkcije

sporoči mi x 0 ê končna ali neskončno oddaljena točka: ∞, -∞ ali + ∞.

Določene neskončno majhne funkcije
funkcija α (X) poklical neskončno majhna pri x pragne do x 0 0 , І він dorivnuє nič:
.

Označena z neskončno veliko funkcijo
funkcija f (X) poklical neskončno super pri x pragne do x 0 , Kako je lahko funkcija med kot x → x 0 , I vin dorivnyu neskіchennosti:
.

Moč neskončno majhnih funkcij

Moč vsote, maloprodaja in dobutku neskončno majhnih funkcij

Količina, maloprodaja in TV končno število neskončno majhnih funkcij kot x → x 0 є neskončno majhna funkcija kot x → x 0 .

Moč Tsya je neposreden potomec aritmetičnih moči med funkcijami.

Izrek o twir funkcije, ki je reduciran na neskončno majhno

TV funkcije na deakіy preluknjanem obrobju točke x 0 , Neskončno majhna, kot je x → x 0 , Є neskončno majhna funkcija pri x → x 0 .

Moč o dani funkciji ob pogledu na vsoto stalnih in neskončno majhnih funkcij

Da bi funkcija f (X) mala mejna meja, nujna in zadostna, schob
,
de - neskončno majhna funkcija kot x → x 0 .

Moč neskončno velikih funkcij

Izrek o vsoti omejene funkcije in neskončno velike

Vsota ali razlika obrobljene funkcije na dejanskem preluknjanem obrobju točke x 0 , I neskončno velika funkcija, kot je x → x 0 , Є neskončno velika funkcija pri x → x 0 .

Izrek o zasebnem pogledu na delitev funkcije podmnožice na neskončno veliko

Kot funkcija f (X)є neskončno velik kot x → x 0 , In funkcija g (X)- meji na deakіy prebodeno obrobje točke x 0 , potem
.

Izrek o zasebnem pogledu na delitev funkcije, zmanjšane od spodaj na neskončno majhno

Prav tako je funkcija na dejanski preluknjani točki blizu točke obdana s pozitivnim številom od spodaj v absolutni vrednosti:
,
in funkcija je neskončno majhna pri x → x 0 :
,
in іsnuє preboden blizu točke, na yakіy, nato
.

Moč nedoslednosti neskončno velikih funkcij

Ta funkcija je neskončno odlična pri:
,
in funkcije in na dejanski prebodeni okoli točke so točke zadovoljne z neenakomernostjo:
,
potem je funkcija tudi neskončno velika za:
.

Tse vlastіst maє dva okremih vpadki.

Daj no, na deyakіy preluknjanem obrobju točke, funkcije in zadovolji nedoslednosti:
.
Kakorkoli že, potem jaz.
Yakscho, potem i.

Povezava med neskončno velikimi in neskončno majhnimi funkcijami

Iz dveh frontalnih moči je močna povezava med neskončno velikimi in neskončno majhnimi funkcijami.

Če je funkcija neskončno velika pri, potem je funkcija neskončno majhna pri.

Če je funkcija neskončno majhna pri, i, potem je funkcija neskončno velika pri.

Povezavo med neskončno majhno in neskončno veliko funkcijo je mogoče obesiti v simbolnem vrstnem redu:
, .

Ker ima funkcija neskončno majhen predznak at, ki je pozitiven (ali negativen) na dejanski preluknjani površini okoli točke, jo lahko zapišemo takole:
.
Popolnoma na enak način je funkcija glavnega znaka pri neskončno velika, nato zapišite:
, Abo.

Enako simbolno povezavo med neskončno majhnimi in neskončno velikimi funkcijami je mogoče dopolniti z žaljivimi spivdenami:
, ,
, .

Dodatne formule, ki povezujejo simbole nedoslednosti, lahko najdete ob strani
"Neskončno oddaljene točke in njihova moč".

Dokaz potenk in izrekov

Dokaz izreka o twir funkcije, ki je reduciran na neskončno majhno

Da bi izrek postavili v ospredje, ga bomo pospešili. In tudi zmagovita moč nešteto majhnih sekvenc,

Naj je funkcija neskončno majhna pri in funkcija je obdana z deacing preluknjanim območjem okoli točke:
pri

Delci meje, nato se prebode točka okoli točke, ki ji je dodeljena funkcija. Naj ê peretin okoli i. Enako za dodeljeno funkcijo i.

.
,
zaporedje je neskončno majhno:
.

Pohitimo, da je twir opisanega zaporedja na neskončno majhnem in neskončno majhnem zaporedju:
.
.

Izrek je zaključen.

Dokaz moči o dajanju funkcije navidez vsoti trajnih in neskončno majhnih funkcij

nujnost. Naj bo funkcija na koncu meje
.
Oglejmo si funkcijo:
.
Vikoristična moč med različnimi funkcijami, morda:
.
To je neskončno majhna funkcija pri.

zadostnost. daj no ja. Odvisno od moči med vsoto funkcij:
.

Prinesena moč.

Dokaz izreka o vsoti omejene funkcije in neskončno velike

Da prinesemo izrek, hitro postavimo meje funkcije po Heineju

pri

Delci meje, nato se preluknja točka okoli točke, ki ji je dodeljena funkcija. Naj ê peretin okoli i. Enako za dodeljeno funkcijo i.

Naj bo dovolj zaporedja, ki se zbliža z elementi, ki ležijo okoli:
.
Todi je imenoval zaporedje i. Poleg tega je zaporedje obmezhenoy:
,
zaporedje je neskončno veliko:
.

Oskіlki suma ali roznitsa zamezhena sledovnosti in neskončno veliko
.
Todі, zgіdno z sestanki med sekvencami iz Heineja,
.

Izrek je zaključen.

Dokaz izreka o zasebnem pogledu na delitev funkcije podmnožice na neskončno veliko

Zaradi dokazov pospešujemo označevanje meja funkcije po Heineju. To je tudi zmaga za moč neskončno velikih zaporedij, zgіdno z yakim in neskončno majhnega zaporedja.

Naj bo funkcija neskončno velika pri, funkcija pa je obdana z deacing predrtim območjem okoli točke:
pri

Če je funkcija neizprosno velika, je točka okoli točke prebodena, na kateri je označena in se ne obrne na nič:
pri
Naj ê peretin okoli i. Enako za dodeljeno funkcijo i.

Naj bo dovolj zaporedja, ki se zbliža z elementi, ki ležijo okoli:
.
Todi je imenoval zaporedje i. Poleg tega je zaporedje obmezhenoy:
,
zaporedje je neskončno veliko z vodilnimi ničelnimi člani:
, .

Delci dela v razdalji opisanega zaporedja na neskončno velikem in neskončno majhnem zaporedju, nato
.
Todі, zgіdno z sestanki med sekvencami iz Heineja,
.

Izrek je zaključen.

Dokaz izreka o zasebnem pogledu na delitev funkcije, razdeljene od spodaj na neskončno majhno

Da bi dokazali to moč, smo hitro postavili meje funkcije po Heineju. Torej zmagovita moč neskončno velikih sekvenc veliko nasledstvo.

Naj je funkcija neskončno majhna pri, funkcija pa je v absolutni vrednosti obdana s pozitivnim številom na preluknjani točki okrog točke:
pri

Za umom je prebodena točka okoli točke, ki ji je funkcija dodeljena in se ne obrne na nič:
pri
Naj ê peretin okoli i. Enako za dodeljeno funkcijo i. In zakaj jaz.

Naj bo dovolj zaporedja, ki se zbliža z elementi, ki ležijo okoli:
.
Todi je imenoval zaporedje i. Poleg tega je zaporedje obrobljeno od spodaj:
,
in zaporedje je neizprosno majhno z enakimi ničelnimi člani:
, .

Oskіlki chastka vіd dіlennya zamezhennya znіdovnostі na neskіchenno mala є neskіchenno velika sledovnistyu, nato
.
Pustim, da je preboden blizu konice, na yakiy
pri

Vízmemo dovіlnu sledovnіst, scho konvergirajo k. Todi, začenši z deyakogo številko N, bodo elementi zaporedja ležali poleg:
pri
tudi
pri

Zgіdno z vznachennyam mejne funkcije po Heineju,
.
Todі za moč nedoslednosti neskončno velikih sekvenc,
.
Zadostuje zaporedje Oskіlki, ki se konvergira do, nato pa čez določene meje funkcije po Heineju,
.

Prinesena moč.

Wikoristan literatura:
L.D. Kudryavtsev. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 2003.

Div. tudi:

Štetje nešteto majhnih in velikih

Izračun neskončno majhnih- Izračun, variabilnost z neskončno majhnimi vrednostmi, s tako slabim rezultatom je videti kot neskončna vsota neskončno majhnih. Izračun neskončno majhnih količin є globoko razumevanje za diferencialna in integralna števila, ki so osnova sodobne višje matematike. Koncept neskončno majhne velikosti je tesno povezan z razumevanjem meje.

neverjetno majhen

nasledstvo a n poklical neskončno majhna, Yakscho. Na primer, zaporedje številk je neskončno majhno.

funkcija je poklicana neskončno majhna v bližini točke x 0, da .

funkcija je poklicana neskončno majhen na neskončno mali, všeč oz .

Je tudi neskončno majhna funkcija, ki predstavlja razliko v funkcijah in njen med, tako da , potem f(x) − a = α( x) , .

Neustavljivo velika vrednost

nasledstvo a n poklical neskončno super, všeč .

funkcija je poklicana neskončno velik v bližini točke x 0, da .

funkcija je poklicana neizprosno velik na neizprosnosti, všeč oz .

V vseh načinih je desničarje zaradi enakovrednosti na robu pevskega znaka (bodisi »plus« ali »minus«). Tobto, na primer, funkcija x greh x ni nepredstavljivo odličen pri.

Moč neskončno majhnega in neskončno velikega

Združevanje neskončno majhnih količin

Kako uskladiti neskončno majhne količine?
Nastavitev neskončno majhnih vrednosti jo naredi tako imenovano nepomembnost.

sestanek

Predpostavimo, da imamo ê neskončno majhno za eno in isto vrednost α ( x) І β ( x) (V nasprotnem primeru, če ni pomena za sestanek, je neskončno majhnih zaporedij).

Za izračun podobnih številk je enostavno uporabiti Lopitalovo pravilo.

uporabite par

Do zmag Pro- simboli razveljavitve rezultatov se lahko zapišejo v ofenzivi x 5 = o(x 3). V tem primeru so evidence poštene 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

enakovredne vrednosti

sestanek

Vendar se imenujeta neskončno majhni količini α in β enakovredno ().
Očitno je, da se bodo enakovredne vrednosti ê imenovale številne neskončno majhne vrednosti istega reda velikosti.

S poštenim nastopom spivvіdnoshnja enakovrednosti:,, .

izrek

Meje med zasebno (vidno modro) dveh neskončno majhnih količin ni mogoče spremeniti, tako da je treba eno od njiju (ali žaljivo) nadomestiti z enakovredno vrednostjo.

Podan je izrek, ki je praktičnega pomena, ko je razlika med (razdel. Uporabljeno).

victoria zadnjica

zamenjava sjazn 2x enakovredna vrednost 2 x, vzamemo

zgodovinska risba

Koncept "izjemno majhnega", o katerem so razpravljali v antiki v povezavi s konceptom nedoslednih atomov, ni prišel v klasično matematiko. Ponovno se je rodila s pojavom v 16. stoletju "nepravilne metode" - lomljenja stare figure na neskončno majhni peretini.

V 17. stoletju je bila uvedena algebraizacija štetja neskončno majhnih. Smrad se je začel pojavljati kot številčna vrednost, manjša od katere koli končne (ničelne) vrednosti, a vendarle ni enaka nič. Znanost analize je bila postavljena v zloženo spіvvіdshennya, scho za maščevanje neskončno majhnih (diferenciali), nato pa - v integracijo joge.

Koncept so podali matematiki stare šole neverjetno majhen ostre kritike. Michel Rolle je zapisal, da je nova dobesedna številka " zbirka briljantnih pomilostitev»; Voltaire, ki izjemno spoštuje, da je štetje umetnost štetja in natančne simulacije govorov, katerih osnove ni mogoče razkriti. Navit Huygens je vedel, da ne razume občutka diferencialov višjih vrst.

Kot ironijo lahko pogledamo pojav sredi stoletja nestandardne analize, se pravi, da primarna točka zore - pravzaprav ne premajhna - tudi ni vrhunska in bi jo lahko postavili v osnovo. analize.

Div. tudi

Fundacija Wikimedia. 2010 rock.

Zanima me, kaj je "neverjetno super" v drugih slovarjih:

Spremenjena vrednost Y, obrnjena neskončno majhna vrednost X, torej Y = 1 / X ... Veliki enciklopedični slovar

Spremenjena vrednost y, obrnjena neskončno majhna vrednost x, tako da je y = 1 / x. * * * NEVERJETNO VELIKO NEVERJETNO VELIKO, spremenljivka vrednost Y, obrnjena neskončno majhna vrednost X, nato Y = 1 / X ... enciklopedijski slovar

V matematiki vrednost spremembe, tako kot v danem procesu spremembe, postane in je v absolutni vrednosti večja od katere koli vnaprej določene številke. Vivchennya B. b. vrednosti se lahko dvignejo do meje neskončno majhnih (Div. ... ... Velika Radianska enciklopedija

Neskončno majhne funkcije

Pokliče se funkcija %% f (x) %%. neskončno majhna(B.m.) pri %% x \ do a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, tudi če je argument med funkcijama enak nič.

Razumeti b.m. funkcije so neločljivo povezane z dodelitvami o spremembi argumenta. Lahko govorite o b.m. funkcije za %% a \ do a + 0 %% i za %% a \ do a - 0 %%. Prstan b.m. funkcije označujejo prve črke grške abecede %% \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

uporabite

1. Funkcija %% f (x) = x %% є b.m. pri %% x \ do 0 %%, skaliranje njenega vmesnika pri %% a = 0 %% na nič. Zgіdno z izrek o povezavah dvostranskega vmesnika z enostranskimi funkcijami - b.m. kot z %% x \ do + 0 %%, tako i z %% x \ do -0 %%.
2. Funkcija %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. z %% x \ do \ infty %% (in tudi z %% x \ to + \ infty %% i z %% x \ do - \ infty %%).

Videti nič je konstantno število, kot da ne bi bilo majhno za absolutne vrednosti, ne ê b.m. funkcijo. Pri konstantnem številu trt postane manj kot nič;

izrek

Funkcija %% f (x) %% max v točki %% a \ in \ overline (\ mathbb (R)) dodaj vsoto števila %% b %% i b.m. funkcije %% \ alpha (x) %% za %% x \ do %%, ali $$ \ obstaja ~ \ lim \ limits_ (x \ do a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R )\Leftrightarrow \left(f(x)=b+\alpha(x)\right)\land\left(\lim\limits_(x\to a)(\alpha(x)=0)\right). $$

Moč neskončno majhnih funkcij

Za pravila mejnega prehoda za %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, sledijo naslednje izjave:

1. Vsota končnega števila b.m. funkcije pri %% x \ do a %% є b.m. pri %% x \ do a %%.
2. Tvir be-katera številka b.m. funkcije pri %% x \ do a %% є b.m. pri %% x \ do a %%.

Tvir b.m. funkcije pri %% x \ do a %% i funkcije, ki so vmešane v dejansko preluknjano območje %% \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) (a) %% točk a, є b.m. pri %% x \ do funkcije %%.

Jasno je, da tvir stalne funkcije in b.m. pri %% x \ do a %% є b.m. funkcija pri %% x \ do a %%.

Enakovredne neskončno majhne funkcije

Neskončno majhne funkcije %% \ alfa (x), \ beta (x) %% za %% x \ do %% se imenujejo enakovredno i je napisano %% \ alfa (x) \ sim \ beta (x) %%, tj.

$$ \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\beta (x) )(\alfa(x))) = 1.$$

Izrek o zamenjavi b.m. funkcije enakovredne

Naj %% \alpha (x), \alpha_1 (x), \beta (x), \beta_1 (x) %% - b.m. funkcije za %% x \ do a %%, in %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %% nato $$ \ lim \ limits_ (x \ do a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \ limits_ (x\to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Naj %% \ alfa (x) %% - b.m. funkcija pri %% x \ do a %%, potem

1. %%\sin(\alpha(x))\sim\alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 -\cos(\alpha(x))\sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
6. %%\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x)%%
7. %%\displaystyle \sqrt[n](1+\alpha(x)) - 1\sim\frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x))-1\sim\alpha(x)\ln(a)%%

zadnjico

$$\begin(array)(ll)\lim\limits_(x\to 0)(\frac(\ln\cos x)(\sqrt(1+x^2)-1))&=\lim\limits_ (x \ do 0) (\frac (\ln (1 + (\cos x - 1))) (\frac (x^2) (4))) = \\ & = \lim \limits_(x \to 0)(\frac (4(\cos x - 1))(x^2)) = \\&=\lim \limits_(x\to 0)(-\frac(4x^2)(2x^ 2) ) = -2 \ end (matrika) $$

Neskončno odlične funkcije

Pokliče se funkcija %% f (x) %%. neskončno super(B.B.) z %% x \ do a \ in \ prečrtati (\ mathbb (R)) %%, tako da s tem veljavnim argumentom funkcija ne more prečrtati.

Podobno kot b.m. funkcije razumevanja B.B. funkcije so neločljivo povezane z dodelitvami o spremembi argumenta. Lahko govorite o B.B. deluje pri %% x \ do a + 0 %% i %% x \ do a - 0 %%. Izraz "izjemno velik" ne govori o absolutnem pomenu funkcije, temveč o naravi spremembe v bližini dane točke. Brez konstantnega števila, ne glede na to, kako veliko ni bilo za absolutne vrednosti, ne neskončno veliko.

uporabite

1. Funkcija %% f (x) = 1 / x %% - B.B. pri %% x \ do 0 %%.
2. Funkcija %% f (x) = x %% - B.B. pri %%x\do\infty %%.

Če ste viconan, pomislite na $$ \begin(array)(l)\lim\limits_(x\to a)(f(x))=+\infty,\\\lim\limits_(x\to a )(f( x)) = - \infty, \end(array)$$

potem govori o pozitivno oz negativno B.B. pri %% a %% funkciji.

zadnjico

Funkcija %% 1 / (x ^ 2) %% - pozitivna B.B. pri %% x \ do 0 %%.

Zvyazok mizh B.B. jaz b.m funkcije

Yakscho %%f(x)%% - B.B. s %% x \ na %% funkcijo, nato %% 1 / f (x) %% - b.m.

pri %% x \ do a %%. Yakscho %% \ alfa (x) %% - b.m. pri %% x \ do %% funkcije, vіdminna vіdnna vіd nо nič do deykoї preluknjana nої nої točke %% a %%, nato %% 1 / \ alpha (x) %% - B.B. pri %% x \ do a %%.

Moč neskončno velikih funkcij

Predstavljamo kopje oblasti B.B. funkcije. Cі organi brez posrednika cvilijo od imenovanja B.B. funkcije in prevlado funkcij, ki rišejo konec meja, pa tudi izreke o povezavah med B.B. jaz b.m funkcije.

1. Tvir zadnje številke B.B. funkcije pri %% x \ do a %% є B.B. funkcija pri %% x \ do a %%. V redu, torej %% f_k(x), k = \overline(1, n) %% - B.B. funkcija pri %% x \ do a %%, nato v dejanskem preluknjanem območju okoli točke %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i po izreku o povezavah B.B. jaz b.m funkcije %% 1 / f_k (x) %% - b.m. funkcija pri %% x \ do a %%. Pojdi ven %%\displaystyle \prod ^(n)_(k=1)1/f_k(x)%% - funkcija B.M pri %%x\na %% in %%\displaystyle \prod ^(n) _ (k = 1) f_k (x) %% - B.B. funkcija pri %% x \ do a %%.
2. Tvir B.B. funkcije pri %% x \ do a %% i funkcije, kot pri dejanski preluknjani blizu točke %% a %% za absolutne vrednosti, večje od pozitivne konstante, є B.B. funkcija pri %% x \ do a %%. Zokrema, TVir B.B. funkcije pri %% x \ do a %% i funkcije, ki so lahko na točki %% a %% končne neničelne meje, bodo B.B. funkcija pri %% x \ do a %%.

Količina izmenjanega v deakіy prebodena blizu točke %% a %% funkcije i B.B. funkcije pri %% x \ do a %% є B.B. funkcija pri %% x \ do a %%.

Na primer, funkcije %% x - \ sin x %% i %% x + \ cos x %% - B.B. pri %%x\do\infty %%.

3. Suma dva B.B. funkcije pri %% x \ do a %% є nepomembne. Zalezhno v obliki znaka dodankiva je narava spremembe take vsote lahko najbolj manipulativna.

   zadnjico

   Dajmo funkcijo %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. deluje pri %% x \ do \ infty %%. potem:

   • %% f(x) + g(x) = 3x %% - B.B. funkcija pri %% x \ do \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. funkcija pri %% x \ do \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) \u003d \ sin x %% ni pomembno med pri %% x \ do \ infty %%.