Aký je metrický priestor r n. Použiť metrické medzery

čo je metrika? Prečo slúžiť? Čo je fyzikálne pole?

Metrika v našej dobe je mіtsno pov'yazan z teórie gravitácie, zavdyaks k dielam Hilberta a Einsteina spolu s Grossmannom. Avšak v matematike bola vyhraná bula zavedená už skôr. Nemám zľutovanie, medzi prvými, takže chi іnakshe її víťazný zrejmé, Buli Rimmann a Gauss. Postupne sa snažíme pochopiť jej úlohu v geometrii a potom sa čudujeme, že metrika sa stala hlavnou štruktúrou všeobecnej teórie relativity, ignorantskej teórie viditeľnosti.

V dnešný deň uhaste oheň a zrušte stretnutie metrické priestory mlieko neslávne vyzerajúci:

Metrický priestor ("bezpečnosť metriky") v matematike sa nazýva taký priestor, v ktorom je pre dva alebo dva body usporiadania (takže jeden z nich sa nazýva prvý a druhý - druhý) priradené číslo takémuto číslo, ktoré sa rovná nule, vtedy a len vtedy, ak body prebehnú a nerovnomernosť „záludnosti“ sa prekoná - za ľubovoľné tri body (x, y, z) číslo pre ľubovoľnú stávku (x, y ) je viac-menej pre súčet týchto čísel pre ďalšie dve dvojice, (x, z) a (y, z). Dôležité je aj to, že pri zmene poradia bodov v páre sa mi počet cien nezobrazuje a nemení (metrika je symetrická).

Ako nájsť, ako to len vymenovali, tak sa označenie rozširuje a názov rozširuje a v iných, podobných priestoroch. Takže tu. napríklad, prísne formálne nebudú metrické zgіdno z tsim vysche vyznachennyam, takže majú „metrické“ číslo, interval, môžu byť nula і pre dva rôzne body a tiež štvorec môže byť záporné skutočné číslo. Praktické je však hneď od začiatku zaradiť ich do rodiny metrických priestorov, jednoducho znіmayuchi vіdpovіdnu vymog u vyznachennі, rozšírenie vnіmayuchi vznіchennya.

Navyše, metrika môže byť priradená nie všetkým bodom v priestore, ale iba nekonečne blízkym (lokálne). Takýto priestor sa nazýva Riemannov, a inými slovami, tezh sa nazýva metrický. Viac ako samotný Riemannov priestor a vyvinuli sme metriku takéhoto pohľadu a pripisovali rešpekt ako matematici a fyzici a vedia inšpirovať bohatých ľudí, s týmito vedami máme málo spoločného..

V záverečnej taške budeme diskutovať o metrike na sto percent k Romanovovej rozľahlosti, tobto v miestnom zmysle. І navit lokálne značky nie sú viditeľné.

Formálna matematická definícia a rozšírenie - pochopenie a objasnenie chápania metrík. Zaujímalo by nás, prečo sa porozumenie rozrástlo, s niektorými autoritami skutočného sveta bolo zviazané vzadu.

Celá geometria vinylu je ľahko pochopiteľná, pretože ju formalizoval Euclid. Ide teda o metriku. V geometrii Euklida (pre jednoduchosť a presnosť budeme hovoriť o geometrii dvoch svetov a znamená to o geometrii roviny) - rozumieme vzdialenosti medzi dvoma bodmi. Ešte častejšie a teraz sa metrika nazýva rovnaký štandard. Preto pre euklidovskú rovinu je to metrika a metrika je štandard. Ja sám som tak vyhral, ​​že bula bola chápaná až do samého klasu. Chcieť, ako sa pokúsim ukázať, až do dnešného pochopenia metrík, to možno vidieť iba v tajomnom, s bohatými strážcami a rozumom, sensi.

Stáť na euklidovskej rovine (na oblúkovom papieri) je super jednoduchá a zrejmá reč. Určite pomocou čiary môžete nakresliť rovnú čiaru medzi dvoma bodmi a urobiť ju dlhou. Číslo Otrimane bude uvedené. Po získaní tretieho bodu môžete nakresliť trikot a prehodnotiť, čo (pre to, či sú na rovine dva body) presne potvrdzuje, že ukážeme viac na stretnutia. Vlasne, vyznachennya a boulo zmalyuvati jeden do jednej z mocností euklidovských vіdstanі na námestí. І slovo "metrický" na zadnej strane je spojené s vimiryuvannyam (za pomoc merača), "Normuvannya" lietadla.

A na čo bolo potrebné vimіryuvat vіdstanі, vykonať metrizáciu samotnej oblasti? No, prečo ľudia žijú v reálnom živote kože, spieva, môže ich vzhľad. A v geometrii to mysleli správnym spôsobom, ak zaviedli súradnice, aby jedinečným a jedinečným spôsobom opísali kožný bod roviny. Súradnicový systém v rovine bude samozrejme viac skladací, stačí sa pohybovať medzi dvoma bodmi. Tu je ucho ucha, os súradníc a vzdialenosť (ako sa dá bez nich zvládnuť?) Od ucha ucha k bodu projekcie na osi. Na čo je potrebný súradnicový systém je jasné - je to silná sieť priamok na seba kolmých (ako karteziánske súradnice), doplním rovinu a týmto spôsobom vyriešim problém, či tam je bod na ňom.

Ak chcete ísť von, metrika - vіdstanі a súradnice - vіdstanі. V čom je rozdiel? Zadané súradnice. Aká je správna metrika? Rіznitsya є, i duzhe suttєva. Výber súradnicových systémov môže byť založený na voľnosti. V karteziánskych systémoch je mimika ako os priamych čiar. Vieme sa však skrútiť a zakriviť? Môžeme. І všetky druhy vinutia tezh. Môžeme vimіryuvati vіdstan uzdovzh takéto linky? Dobre. Vimiryuvannya vіdstanі, dozhini uzdovzh linії nie pov'yazane z tim, ako celý riadok. Na kľukatej ceste je tiež dovzhina a na nej môžete umiestniť míľniky. A os metriky v euklidovskom priestore nestačí. Cena je rovná, ktorá spája dva body. Priamy. a čo to je? Ktorá čiara je rovná a ktorá je krivá? V školský kurz rovný je axióma. My їх bachimo a akceptujeme myšlienku. Ale v transcendentálnej geometrii priamky (nazvem to sám, yarlik, už nie!) Môžete označiť ako deyak čiary stredu stredu, ktoré spájajú dva body. A pre seba, ako ten najkratší, ktorý si môže dovoliť najmenej dovzhina. (A v niektorých ohľadoch, pre niektoré matematické rozlohy, navpak, dozheleznі, scho mayut nabіshu dovzhina.) Bolo by lepšie, zachytili sme metriky v pomerne širokom rozmedzí medzi dvoma bodmi. Nebolo to tam. Išli sme po nesprávnej ceste. Takže všetko je pravda, rovno - najkratšia v euklidovskom priestore. Ale metrika nie je len najkratšia dozhina. Ni. Tse її vtorinne vlastіvіst. V euklidovskom priestore nie je metrika iba medzi dvoma bodmi. Metrika je v prvom riadku obrazom Pytagorovej vety. Teória, ktorá umožňuje vypočítať počet bodov medzi dvoma bodmi so znalosťou ich súradníc, ďalších dvoch bodov. Navyše sa počíta špecificky ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín súradnicových čiar. Euklidovská metrika nie je lineárna forma súradnicových čiar, ale kvadratická! Iba špecifická mocnosť euklidovskej roviny najkratšie cesty, Čo z'ednuyut bodov, tak jednoduché. Vіdstanі zavzhdi є іnіynymіnіy funktіyіmіshchennya pozdĺž cesty. Metrika je kvadratickou funkciou tsikh zsuvіv. A tu spočíva základný význam metriky, pretože ju možno intuitívne chápať ako lineárnu funkciu pohybu z bodu. Viac ako to, pre nás to bola vec priameho spojenia so samotnými migrantmi.

Prečo je kvadratická funkcia suv taká dôležitá? A aké právo môžem mať právo byť nazývaný úplne zrozumiteľným slovom? Je potrebné uviesť špecifickú silu iba euklidovskej rozlohy (dobre, určitej skupiny plôch blízkych euklidovskej)?

Malý posun bokom a poďme sa rozprávať o sile jediného na svete. Žiadosť o jedlo, aké sú čiary, aby bolo možné umiestniť súradnicovú mriežku na oblúkový papier? Pevne, tvrdo a nemenne, poviete si. Prečo "linky"? Jeden stačí! Verno, papier je možné otočiť do štvorca a preniesť pomocou rovnátka. Spomenuli ste „yakscho“? Takže u nás je možné koristovať s takýmto lineárnym stonásobným bytom. Čiara sama o sebe, byt sama o sebe, ale byt nám umožňuje "nahlásiť" našu čiaru sami sebe. A čo sto a sto guľových plôch? Yak neaplikujte - umyte všetko na povrchu. Chcem sa teda zohnúť, pohnúť sa tvárou v tvár tvrdosti a tvrdosti. Nechajme naše myšlienky rovno. Čo ešte chceme v rade? Tvrdosť a tvrdosť sú naozaj na hranici toho, aby boli pre nás v prípade smrti ešte dôležitejšie - záruka nemennosti zvoleného vlasca. Chceme vyhrať v rovnakom rozsahu. Je potrebné? Yak teraz?! Vzlyk matka môže obhájiť výsledky vimiryuvannya všade v byte. Ako sme neotočili líniu, ako sme nezmishchuvat - deaky її power, dozhina, môže byť zaručená nemenná. Dovzhina - tse stojí medzi dvoma bodmi (na priamke) na priamke. Je to skôr metrika. Ale, metrika je zavedená (inak) v rovine, pre body roviny, prečo je tam čiara? A pri tom metrický a є práve dovedený k logickému záveru poradím nemennej životnosti abstraktnej čiary, roztrhnutia najdôležitejšej čiary a priradenia kožného bodu roviny.

Chcieť, aby naše riadky začali s evnіshnіmi objektmi pre vіmіryuvanih im vіdstany na námestí, ale myslíme si, že sú rovnaké ako vnútorné, že mierka leží na námestí. Otzhe, mova ísť okolo Plameň sily, Rovnako ako zovnіshny riadok, takže vnútorný. Sila jednej z dvoch hláv – Hodnota, ktorá teda okráda škálu jednotného sveta (ďalšia moc na stupnici je priamo). Pre euklidovskú rozlohu sily je sebestačná v priamej línii a polohe її (ako bod rozlohy). Existujú dva spôsoby, ako prejaviť takúto nezávislosť. Prvým spôsobom, pasívnym pohľadom na reč, je hovoriť o nemennosti veličiny a rovnakosti pri dostatočnom výbere platných súradníc. Ďalším spôsobom, aktívnym pohľadom, je hovoriť o nemennosti pri radení a otáčaní, ako výsledok explicitného prechodu z bodu do bodu. Metódy Qi nie sú ekvivalentom jedna k jednej. Prvým je jednoducho formalizácia pevnosti, že hodnota, ktorá existuje v danej oblasti (bode), je z pohľadu jedna a tá istá. Druhý je rovnaký, že hodnoty veličín v rôznych bodoch sú rovnaké. Je jasné, že je bohatší a silnejší.

Pokračujme zatiaľ v invariantnosti veľkosti škály s rozumným výberom súradníc. Op-pa! Yak tse? Priradiť súradnicový bod už potrebný k matke stupnice. Tobto samotná linka. Iné súradnice - aké? Ďalšie linky? Naozaj! Ale! Tí, ktorí v euklidovskej rovine môžu otáčať našu čiaru do bodu, ako chceme, vytvárajúc dojem, že súradnice je možné meniť bez zmeny čiary. Tse іlyuzіya, ale taká pєmna іlyuzіya! Ako sme jej volali! Celú hodinu hovoríme - súradnicový systém je otočený. Táto ilúzia je založená na určitom postuláte mocenskej škály v euklidovskej rovine - invariantnosť tohto "dovzhini" s určitým obratom v bode, potom so spravodlivou zmenou inej mocenskej škály, rovno. І tse vlastivist máє mіsce v be-yakіy bode euklidovskej roviny. Mierka všade môže byť "dovzhina", nie v závislosti od miestneho výberu priamych súradnicových osí. Tse postulát pre euklidovský priestor. І ako to, že mi je známa qiu dozhina? V súradnicovom systéme, v takejto mierke, je jednota vimiryuvannya pre jednu z osí, je to ešte ľahšie vidieť - rovnaká jednota samotná. A v súradnicovom systéme (obdĺžnikovom), v takom prípade sa mierka nemení s jednou z osí? Za pomoc s Pytagorovou vetou. Vety sú teorémy, takže tu je niekoľko trikov. Veta je skutočne dostatočne malá na to, aby nahradila axiómy formulované Euklidom. Vyhra sa im rovná. І so vzdialenou zúženou geometriou (napríklad pre veľké plochy) sa špirálovito roztáča na spôsob výpočtu mierky. V podstate správne, preložte túto metódu do kategórie axióm.

Zopakujme si teraz vec, ktorá je základom geometrie, ktorá umožňuje priradiť súradnice bodom roviny.

Mova sa pohybuje sám na svete, mieri. Mierka je v akomkoľvek bode. Veľkosť mája - "dovzhina" a rovná. Dovzhina je invariantná (nemení sa) pri priamej zmene bodov. Pre pravouhlé súradnice v euklidovskom priestore je štvorec väčší ako mierka, narovnaný z bodu je väčší ako súčet druhých mocnín priemetov na osi. Takáto geometrická veličina sa nazýva aj vektor. Znamená to, že mierka je vektor. A "dovzhina" vektora sa tiež nazýva normou. Dobre. Ale, kde je tu metrika? A metriky s takýmto prístupom a є spôsob, ako priradiť normu ľubovoľnému vektoru v bode kože, Metóda výpočtu počtu noriem pri dostatočnej polohe vektora ľubovoľného vektora, ktorá je základom, benchmarkom(Potichu, yakі vyznachayut priamo osi súradníc z daných bodov a môže mať jedinú normu, ako priradiť, potom jeden vimir). Ešte dôležitejšie sú tie, ktoré takýto spôsob priradenia pre kožu bod priestoru (oblasť v danom smere). V tejto kategórii je to chyba sily priestoru a vnútorných vektorov, a nie objektov, ktoré sú v priestore.

Prepáčte, ale na samom klase sme dostali označenie metrických priestorov. Nový termín? І chi uzgozhuєtsya zo starých? A teraz os. Tu sme poukázali na to, ako sa pýtať sami seba, ukázať rovnaké číslo dňa. A sám, medzi bodmi jeden "dovzhin", norma vektora, scho z'ednuє tsі body (v euklidovskom priestore). Tie, ktoré má vektor rovnakú normu, nezávislú od bodu medzery na novom (výbere benchmarku) - cieli vektora. Jedna myseľ, Yake and Rob s akýmkoľvek metrickým priestorom, je možné, že vektory z danej normy boli zakotvené v skin pointe priestoru na všetkých priamkach. І tse vymenovanie ako celok uzgodzhuєtsya s ukazovaním na samotný klas. Môžete priradiť metriku v akomkoľvek inom priestore? V podstate môžete. І navit bagatma spôsobmi. Až potom budú existovať ďalšie triedy priestorov, ktoré neobsahujú euklidovskú rozlohu samy osebe, napríklad okremy vpadok.

Prečo je euklidovský priestor špeciálne pre nás? no, čo sa deje? Na prvý pohľad sa takými silami dokážem otvoriť aj sám sebe, v ktorom žijeme. Takže s úctivejším pohľadom ich tak nenazývame. Ale f є raznitsa mizh "nie zovsі taký" a "zovsіm nie taký" ?! Chcem vytočiť slová pre kshtalt toho istého. Keďže naša expanzná hodina stále nie je euklidovská, pre spievajúce mysle môžete byť ešte bližšie k tej novej. Otzhe, vyber si moje povinnosti z tієї sіm'ї prostorіv, v yakіy euklidovskom priestore є. Takže pracujeme. Ale napokon, čo je také zvláštne na euklidovskom priestore, aké to je poznať svoj výraz v speváckych sile jogových metrík? Aby som tých úradov veľa dokončil, o väčšom počte sa ich už hádalo viac. Pokúsim sa túto singularitu kompaktne sformulovať. Euclid sa rozšíri tak, že v novom je možné zvoliť mierku (na zadanie súradníc) tak, aby sa zobrazila rovnakým spôsobom ako obdĺžniková sieť súradníc. Je to možné, ak je metrika v priestore bodov vzhľadu jedna a tá istá. V podstate tse znamená, že je potrebné, aby táto mierka bola preskúmaná v kožnom bode vesmíru a všetok smrad je rovnaký. Pre celú rozlohu stačí jedna čiara, pretože ju možno preniesť do bodu (v aktívnom zmysle) bez zmeny jej veľkosti a smeru.

Ešte dôležitejšie je, že som dal mocninu, prečo je metrika kvadratickou funkciou zsuvu. Vіn je stále pustý bez ospravedlnenia. Prídeme do nejakého obov'yazkovo. A naraz uvidíte sami o budúcnosti - metrika v rodine priestorov, ktoré potrebujeme - hodnota je invariantná akýmkoľvek spôsobom zmeny súradníc. Zatiaľ sme hovorili o karteziánskych súradniciach, ale som tu, aby som pridal stoličku - to platí pre akúkoľvek transformáciu súradníc, ktoré sú v tomto bode tohto priestoru prijateľné. Veličina, ktorá je pri transformácii súradníc invariantná (ktorá sa nemení), môže mať v geometrii ešte jeden špeciálny názov – skalár. Zaujíma vás, koľko mien pre jedného a toho istého - postina, invariantný, skalárny... Možno ešte viac, nerozmýšľam dvakrát. Nehovorte o dôležitosti samotného porozumenia. Takže os, metrika je skalár v speváckom zmysle. Je zrejmé, že v geometrii existujú skaláre.

Prečo v „speváckej senzácii“? To, scho, dva body sú zahrnuté v chápaní metrík a nie jeden! A vektor zadaní (schôdzok) je len s jedným bodom. Vezmem ťa do Ománu? Nie, len nehovorím všetko, čo treba povedať. A je potrebné povedať, že metrika je normou nie dostatočného vektora, ale iba vektora nekonečne malého posunutia z daného bodu v celkom priamke. Ak norma neleží v priamke od bodu, potom skalárnu hodnotu možno považovať za mocninu iba jedného bodu. V tomto prípade sa na to však vzťahuje aj pravidlo pre výpočet normy pre akýkoľvek iný vektor. Os tak.

Nie je možné konvergovať ... Normy sú rôzne pre rôzne vektory! A metrika je skalárna, hodnota je rovnaká. Vymazať!

Žiadne utieranie. No hovorím jasne – pravidlo vypočítavosti. Pre všetky vektory. A samotná špecifická hodnota, ktorá sa nazýva aj metrika, sa počíta podľa tohto pravidla len pre jeden vektor, posunutie. Mova naše zvichny na vіlnosti, zamovchuvan, skorochen ... Axis a zavolal mi, aby som zavolal metriky a skaláre a pravidlo výpočtu Yogo. Je pravda, že môžu byť jedno a to isté. Mayzhe, ale nevoláme. Dôležité je však vyrovnať rozdiel medzi pravidlom a výsledkom, vezmeme to na pomoc. A čo je dôležitejšie – pravidlo alebo výsledok? To nie je prekvapujúce, v tomto prípade pravidlo ... Preto je často bohatšie na geometriu a fyziku, ak hovoríme o metrike, je to samotné pravidlo. Je však na matematikoch, aby o výsledku hovorili stručnejšie. І tsomu є dôvody, ale o nich na inom mieste.

Chcel by som tiež ukázať, že pri hviezdnejšom spôsobe opláštenia, ak sa za základ vezmú koncepty vektorových priestorov, sa metrika zavedie ako skalárny pár krútia sa všetkých vektorov v základe, benchmark. Týmto spôsobom bol skalárny dobutok vektor v máji buti určený ako míľnik. A na ceste, ako som tu sledoval, samotná prítomnosť metrického tenzora v priestore umožňuje zaviesť, označiť skalárny dobutok vektorov. Tu je primárna metrika, pretože prítomnosť vám umožňuje zaviesť skalárny obrat, ako invariant, ktorý spája dva rôzne vektory. Ak sa pomocou metriky vypočíta skalár pre jeden a ten istý vektor, potom je to len ďalšia norma. Ak je tento skalár vypočítaný pre dva rôzne vektory, potom všetky skalárne sčítania. Keďže ide o normu nekonečne malého vektora, potom je úplne prípustné nazývať ho jednoducho metrikou v danom bode.

Čo môžeme povedať o metrikách ako o pravidle? Tu sa nám stalo, že vikoristovuvati vzorce. Nech súradnice osi s číslom i priradené ako x i. Posun od daných bodov k súdu dx i. Prisahám váš rešpekt - súradnice NIE SÚ vektor! A posun je vektor! Pre takéto významy sa pre dodatočný vzorec vypočíta metrická „vzdialenosť“ medzi stredovým bodom a bodom podpory, zjavne až do Pytagorovej vety.

ds 2 = g ik dx i dx k

Zlá je tu druhá mocnina metrickej "šírky" medzi bodmi, "súradnica" (teda podľa okraja kože súradnicovej čiary) medzi nimi je daná vektorom posunutia dx i. Vpravo je súčet klesajúcich indexov všetkých párových vytvorení zložiek vektora nahradený zodpovedajúcimi koeficientmi. A jeho tabuľka, matica koeficientov g ik, ktorá stanovuje pravidlo pre výpočet metrickej normy, sa nazýva metrický tenzor. Samotný tenzor sa vo väčšine prípadov nazýva metrika. Výraz „“ je tu mimoriadne dôležitý. І znamená він, že v inom súradnicovom systéme sa bude vzorec písať častejšie rovnako, len tabuľka sa naplní inými (na priamku) koeficientmi, ktoré sa presne stanoveným spôsobom vypočítajú cez čísla koeficienty transformácie súradníc. Pre Euklida je charakteristické, že v karteziánskych súradniciach je tvar tohto tenzora superjednoduchý a rovnaký v akýchkoľvek karteziánskych súradniciach. Matica g ik môže obsahovať iba jednotky na uhlopriečke (pre i = k) a ostatné čísla sú nula. Ak v euklidovskom priestore nie sú karteziánske súradnice, matica v nich nebude vyzerať tak jednoducho.

Neskôr sme si zapísali pravidlo, ktoré definuje metrickú „vzdialenosť“ medzi dvoma bodmi v euklidovskom priestore. Toto pravidlo je napísané pre dva body, ktoré sú vždy blízko. V euklidovskom priestore tak, že metrický tenzor môže byť diagonálny s jednotkami na diagonále v reálnom súradnicovom systéme v bode kože, nie je zásadný rozdiel medzi konečnými a nekonečne malými vektormi zsuvu. Ale nám viac tsіkavit vipadok rіmanov rozlohy (ako je povrch kuli, napríklad), de tsya rіznitsya іstotna. Takže pripúšťame, že metrický tenzor v zagalnom poklese nie je diagonálny a mení sa pri pohybe z bodu do bodu v priestore. Ale výsledok tohto zastosuvannya, ds 2, je ohromený výberom v bode kože nezávisle od výberu priameho spojenia s bodom samotným. Tse zhorstku umova (menej zhorstka, nizh umova euklidovská) a zároveň vikonannі rozloha a hovor rіmanovo.

Spevácky ste si oplatili rešpekt, že ešte častejšie beriem do labiek slová „dovzhina“ a „dovzhina.“ Tejto osi sa vyhýbam. Viac než to bolo zavedené kvôli formalizácii práce s výsledkami simulácií. Nie, smrad deshcho i bol zbavený, ale tí, ktorí boli zbavení, prestali byť dieťaťom (v podobe dieťaťa).

Myslím, že metrika "vіdstan" nemôže byť uložená pri výbere karteziánskych (nielen) súradníc, povedzme, na archový papier. Poďme v rovnakých súradniciach, ak nájdete medzi dvoma bodmi na súradnicovej osi 10. Môžete uviesť ďalšie súradnice, na ktorých miestach medzi týmito dvoma bodmi bude 1? Žiadne problémy. Stačí vložiť rovnakú jednotu, z tých istých osí, novú jednotu, rovnajúcu sa 10 dopredu. Ako veľmi sa zmenil euklidovský priestor? Čo je napravo? A vpravo v tom, že ak môžeme vyhrať, nestačí nám vedieť číslo. Potrebujeme vedieť viac, ak ste jediní, ktorí sa rozhodli prijať toto číslo. Matematika v zvichniy sogodnі všetky formy tsim nekričia. Vaughn môže mať pravdu len s číslami. Voľba byť sám, vimiryuvannya zrobleny na zastosuvannya matematiku a zmіnyuvatis už nie je vinný! Ale naše mysle, nehovorte nám nič bez vyjadrenia rozsahu! Ale matematika je to isté. Ak je jazyk o metrickom "vіdstanі", її formálne zastosuvannya baiduzhe až po výber mierky. Merač tepla, horúce sadze. Dôležité sú len čísla. Os, že som dal svoje labky. Viete, aký vedľajší efekt môže byť taký pidchid v matematike rímskeho priestoru? A osou je jak. Nie je možné vidieť zmenu mierky z bodu do bodu. Stačí zmeniť jogu priamo. A aj keď zmena mierok pre dodatočné transformácie súradníc v takejto geometrii je celý každodenný život. Čo všetko možno zahrnúť do geometrie posledného prehľadu mocnín mierky? Je to možné, je to možné. iba u ktorých je možné urobiť poriadok v neosobných láskavostiach a zvyknúť si na pomenúvanie prejavov vlastnými, správnymi menami. Jeden z prvých krokiv si bude vedomý skutočnosti, že žiadnu metriku v skutočnosti nemožno použiť. Vaughn, šialene, maє spievaj fyzický zmіst, oveľa úctivejší. Ale іnshiy.

Vo fyzikoch sa rešpekt k úlohe metriky získal od objavenia sa teórie životaschopnosti - trochu špeciálnej, potom zagalnoy, v ktorej sa metrika stala ústrednou štruktúrou teórie. Špeciálna teória životaschopnosti bola formulovaná na základe skutočnosti, že trivimerálne nie je skalárna z hľadiska totality zotrvačnosti, že jeden rovnako a priamočiaro fyzikálny systém jeden po druhom kolabuje. Skalár, invariant, bola ďalšia hodnota, ktorá sa nazývala interval. Interval medzi pódiami. І pre výpočet tejto hodnoty je potrebné vrahuvati a interval hodiny medzi týmito strukami. Okrem toho sa zdalo, že pravidlo výpočtu metriky (a interval, ktorý sa opäť prejaví v kvalite metriky v jednotnej priestorohodine, priestore pododdielov) je podobné ako sonický euklidovský v trivi- svetový priestor. Vyzerá to trochu viac. Vidpovidný metrický priestor Hermana Minkovského, Začali volať. Rešpekt fyzikov, vrátane Einsteina, obrátil samotného robota Mankivského k dôležitosti chápania metriky ako fyzikálnej veličiny, a nie len matematickej.

Zagalnova teória viditeľnosti zahrnula do prehľadu zrýchleného vzájomného fyzikálneho systému. V takom postavení by som mohol poskytnúť popis gravitačných javov v novom meradle Newtonovej teórie. Mohol by som siahnuť za pomocou zmyslu fyzikálneho poľa k samotnej metrike - magnitúde a pravidlu, metrickému tenzoru. Matematická konštrukcia Rimanovho priestoru je zároveň ako obraz časopriestoru. Nebudeme zachádzať príliš ďaleko do detailov tejto teórie. Krіm osgogo іnshgo, tsya teória stverdzhuє, shko svіt (vesmírna hodina), v čom є masívne telá, takže telá sú priťahované jeden k jednému, maє metrické vіdmіnnu vіd nastilki priemnoї nás evklіdovoї metriky. Všetky miestnosti pod tvrdosťou sú ekvivalentné:

Fyzická tvrdosť. Bodky tela, ktoré tvoria hmotu, sa priťahujú jedna k jednej.

Vo vesmírnych hodinách, v takom masívnom telese, nie je možné všade zaviesť jednoduchú priamočiaru mriežku. Neexistujú žiadne také vimiruvalnyh priladіv, yakі dovoliť tse robiti. Pre istotu, ako vždy, "klipy" výsledného pletiva budú krivé chotirikutnik.

Môžete si zvoliť stupnicu s jednou a tou istou hodnotou (normou) pre celú priestorovú hodinu. Ak sa dá takáto mierka presunúť z prvého bodu do iného bodu a vyrovnať sa s už existujúcim bodom. ALE! Navіt zsuv neskіchenno málo, rovné línie váhy vo voľnej prírode nebude zbіgatisya. Tim je silnejší, čím je váha bližšie k telu, tým je hmota mohutnejšia a samotná hmota je väčšia. Len tam nie sú žiadne masy (hoci osou je vaše jedlo - ale čo samotná váha?) Pôjdu rovno.

V oblasti časopriestoru, ktorý masívne telesá nemajú taký súradnicový systém, v metrickom tenzore v kožnom bode reprezentácií maticou, všade nula, diagonály, na ktorých sú jednotky.

Vidministická metrika v podobe euklidovskej є prejav prejavu gravitačného poľa (gravitačného poľa). Okrem toho, pole metrického tenzora je gravitačné pole.

Bolo by možné priniesť viac takýchto pevností, ale zároveň by som chcel vrátiť vašu úctu k ostatným. Zakrivenie. Tse schos, scho sme ešte nediskutovali. Yake vіdnoshennia vаn maє to metritsі? Za veľkým rakhunokom - žiadny! є pochopiť viac o nižšej metrike. V akom zmysle?

Rodina rímskeho priestoru, ktorá zahŕňa euklidovský priestor, je sama súčasťou väčšej rodiny. Cі priestor, vzagalі zdanlivo, nestarajte sa o vplyv takejto hodnoty, ako je metrika, pre vašu kožu stávkový bod. Potom, pre potrebnú silu, je tu základ dvoch ďalších štruktúr, spojených jedna po druhej - afinná väzba a zakrivenie. Iba so spievajúcimi mysľami na zakrivení (alebo zv'yaznist), v takýchto priestoroch existuje metrika. Todі tsі priestor a zavolajte Rіmanovo. Či už ide o riemannovské rozlohy, zv'yaznist a zakrivenie. Ale nie z čista jasna.

Nedá sa ale povedať, že by metrika bola z hľadiska zrelosti druhoradá k uhladenosti či zakriveniu. Ni. Základom metriky je vyjadrenie spevnej sily odkazu, a teda aj zakrivenia. V štandardnej interpretácii všeobecnej teórie relativity sa metrika považuje za dôležitejšiu, pretože určuje formu teórie, štruktúru. Afinné prepojenie a zakrivenie sa objavujú v prípade, že ide o sekundárne, podobné typy metrík. Túto interpretáciu položil Einstein, v tých hodinách, ak matematika ešte nedospela k pokročilému a následnému chápaniu hierarchie nad úrovňou dôležitosti štruktúr, znamenajú silu rodiny priestorov, ktorá vedie k euklidovskej . Už po vytvorení aparátu GR, v prvom rade Weilom a Schoutenom (samozrejme nie sám), bola matematika roztrieštená v otvorených priestoroch aténskej koherencie. Vlasne, robot bol stimulovaný objavením sa všeobecnej relativity. Podobne ako Bachite, ani kanonická interpretácia dôležitosti štruktúr vo všeobecnej teórii relativity sa neodchyľuje od moderného pohľadu matematiky na ich vzťah. Kanonická interpretácia Tsya nie je nič iné, ako identifikácia iných matematických štruktúr s fyzikálnymi poľami. Nadannya їm fyzický zmysel.

Vo všeobecnej teórii relativity existujú dva plány na opísanie časopriestoru. Prvým z nich je samotná rozloha-hodina, podobne ako rozloha pod. Podії, bezperervnyayut či je oblasť časopriestor charakterizovaná ďalšími súradnicami. Súradnicové systémy sú tiež predmetom zavedenia. Už samotný názov teórie akcentuje úctu k sebe samej na tsoma - prírodné zákony, môžu byť v takejto časopriestorovej hodine formulované, avšak akýkoľvek prípustný súradnicový systém. Tsya možno nazvať princípom globálnej viditeľnosti. Je dôležité, že tento plán teórie nehovorí nič o prítomnosti metrík v časopriestoroch, ale stále poskytuje základ pre vytvorenie nového afinného spojenia (spolu so zakrivením a inými podobnými matematickými štruktúrami). Prirodzene, už na tejto úrovni je potrebné dať matematickým predmetom teórie fyzikálne vnemy. Os vín Bod k hodine zobrazuje spodok, na jednej strane je charakterizovaný stanicou a momentom hodiny, na druhej strane súradnicami. Aké úžasné? Hiba nie je to isté? Ale neexistuje žiadna os. Vo všeobecnej teórii relativity nie sú rovnaké. Súradnice najneslávnejšieho druhu, teoreticky prípustné, nemožno interpretovať ako polohu a moment v hodine. Takáto možnosť je postulovaná len pre užšiu skupinu súradníc – lokálne inerciálne, ktoré možno nájsť len v blízkosti kožného bodu, nie však v celej oblasti pokrytej spútaný systém súradnice. Ďalší postulát teórie. Tu je taký hybrid. Sám sa postarám o to, aby tu bolo veľa problémov OTO, ale nebudem sa nimi s dovolením zaoberať naraz.

Iným plánom teórie možno brať do úvahy tú časť postulátov, ako vniesť gravitáciu do časopriestoru fyzickej bytosti - gravitáciu, vzájomne sa priťahujúcu masívne telesá. Tvrdí sa, že tento fyzikálny jav možno pre spievajúce mysle potlačiť jednoduchým výberom životaschopného systému podobným spôsobom a sám osebe je lokálne zotrvačný. Pre všetky telesá, ktoré môžu byť ešte zrýchlené (voľný pád) po prítomnosti v malej oblasti gravitačného poľa vzdialeného masívneho telesa, pole nie je v súčasnom systéme pozorované na diaľku. Formálne postuláty končia na tomto, ale v skutočnosti základná úroveň teórie, ako je zavedenie metriky, aj do postulátov, a ako matematické tuhnutie a ako fyzikálne. Síce nechcem zachádzať do detailov vyrovnávania (v skutočnosti vyrovnávacích systémov), ale aj tak je to desivá matka jogo pred očami:

R ik \u003d -c (T ik - 1/2 T g ik)

Tu stojí za to názov Ricciho tenzor, jednoduchý fold (kombinácia skladových komponentov) totálneho zakrivenia tenzora. S úplným právom sa її dá nazvať aj zakrivením. Vpravo je konštrukcia tenzora energie-impulzu (ide o fyzikálnu veličinu vo všeobecnej teórii relativity, singuláru pre masívne telesá a kozmický priestor pre časopriestor, ako pre energetický impulz v tejto teórii len opotrebenie) a metriky Navyše, metrická tsya ako skalárna veličina je viroblenovaná metrickým tenzorom, ale je rovnaká pre všetky body oblasti. Viac є razmіrna rýchlo s, úmerné gravitačné rýchlo. Z tejto úrovne je jasné, že za veľkou rahunkou je zakrivenie založené na energetických impulzoch a metrikách. Fyzická senzorická metrika sa pripisuje GR už po prijatí rozhodnutia týchto rovných. Oskіlki v tsomu riešenie koeficientov metriky súvisí s lineárnym potenciálom gravitačného poľa (vypočítané cez nový), potom s metrickým tenzorom a snímačom potenciálneho poľa sa pripisuje. Pri takomto prístupe má podobný vnem na svedomí matka a krívanie. A afinné spojenie sa interpretuje ako sila poľa. Výklad nie je správny, pardon je spôsobený paradoxom vo výklade súradníc, ktorý už bol spomenutý vyššie. Prirodzene, pre teóriu to neprejde bez stopy a prejavuje sa v množstve dobromyseľných problémov (nelokalizácia energie gravitačného poľa, interpretácia singularít), ktoré, keď sa k tomu pridá správny fyzikálny vnem ku geometrickým hodnotám, jednoducho nemožno viniť. Viac sa uvádza, že všetko je diskutované v knihe "".

Vo všeobecnej teórii relativity je však metrika mimikou, zločinom pocitu, ktorý je na ňu kladený kúsok po kúsku, je len jeden fyzikálny rozdiel. Hádajte, čo charakterizuje metriku z hľadiska euklidovského priestoru? Ďalšou dôležitou vecou pre život vo vesmírnych hodinách je schopnosť zaviesť do tohto priestoru jorstku, ktorá rovnomerne vyplní celú plochu priamočiarou súradnicovou sieťou. Sieť Qiu sa vo fyzike nazýva inerciálny systém pozorovania. Takýto referenčný systém (súradnicový systém) podporuje jednu a len jednu štandardnú formu metrického tenzora. V systémoch vіdlіku, do značnej miery kolabujúce shdo іnertіalnіy, typ metrického tenzora vіdmіnniy vіd štandard. Z fyzického hľadiska je úloha „sitka vidieť“ dosť vidieť. Ak máte pevné telo na pohľad, ktorého kožný bod je zabezpečený s rovnakými rokmi, v hodine, potom zrealizuje aj takúto sieť. Pre prázdnu rozlohu sme jednoducho domislyuєmo také telo pre vіdlіku, zabezpečenie jogy (expanzia) s presne rovnakou metrikou. V takom rozumnom, metrickom tenzore v podobe štandardného euklidovského tenzora sa zdá, že systém pozorovaní (súradníc) bol inšpirovaný pomocou nepevného telesa a možno aj ročenka môže ísť v iným spôsobom v її bodoch. Čo chcem povedať tsim? A potom čo metrický tenzor je matematické poradie niektorých pre nás najdôležitejších mocnín systému. Tiché sily, ako absolútna hodnosť, charakterizujú štruktúru samotného systému vo vidlіku, umožňujú vám naznačiť, koľko "nezberú", nakoľko vyzerajú ako ideál - inerciálny systém. Os všeobecnej relativity a metrický tenzor sú rovnaké ako pri takomto obrázku. jaka obraz variabilných tvaroviek, ktorý je rozdelený v oblasti benchmarku, môže meniť svoju orientáciu z bodu do bodu, ale všade môže byť rovnaká norma, ktorá je spoločná pre všetky vektory benchmarku. Metrika, ktorá sa považuje za skalárnu a je normou, hodnotou stupnice. Metrika, podobne ako tenzor, vám umožňuje vidieť viac Vidnosny Rukh jedna pre jednu zo všetkých váh, ktorá je zložená tak, aby pasovala. І OTO opisuje takú situáciu, ak je v časopriestore možné splodiť takéto telo, je to reálnejšie alebo zrejmejšie.

Tento pohľad na metriku je šialene správny. Okrem toho sú vína aj produktívne, oskolki opäť prejavujú úctu k tomu, čo stratili v priazni OTO. V skutočnosti sme umožnili systému meniť sa v závislosti od mierky, v rôznych bodoch môžu byť orientované iným spôsobom (vo svete chotirivimir zahŕňa orientácia to isté a ruh). A predsa len treba vidieť, že deak je absolútnou charakteristikou stupnice, ale norma (interval) zostala jedna a tá istá. Odteraz bola pevnosť OTO, na ktorú bolo potrebné pozrieť sa na všetky možné systémy, povrchná. Chi nie je tak poburujúce, viditeľnosť v tejto teórii.

© Gavryu V.G.
Materiály zverejnené na stránke je možné citovať podľa pravidiel citovania dotrimani.

Jednou z najdôležitejších analytických operácií je prekračovanie hraníc. Základ tejto operácie spočíva v tom, že na číselnej osi sa priraďuje z jedného bodu do druhého. Veľa základných faktov analýzy nesúvisí s algebrou z podstaty reálnych čísel (tj pretože smrad tvorí pole), ale skôr sa vymyká z pochopenia. Keď Uzagalnyuyuchi hovorí o skutočných číslach, akoby o neosobných, v ktorých sa zavádza medzi prvky, prichádzame k pochopeniu metrického priestoru - jedného z najdôležitejších na pochopenie modernej matematiky.

metrický priestranný zvolal pár (X, r),čo ide do akcie bez tváre(medzerník) X prvkov(bodka) i vіdstanі, t.j. nezáporná reálna funkcia r(x, y), spievať pre be-yakah Xі pri h X a podriadené nasledujúcim trom axiómam:

1) r (x, y)= 0 aj keby len X = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(Axióma symetrie),

3) r(x, z)≤ r (x, y)+ r(y, r)(Axióma trikutnika).

Rovnaký metrický priestor, teda pár (X, p), budeme mať na mysli spravidla jedno písmeno:

R = (X, p).

Vo vipadkách, ak sú nepochopiteľne vypnuté, často označíme metrický priestor rovnakým symbolom ako samotná „rezerva bodov“ X.

Aplikujme metrické priestory. Niektoré z týchto priestorov zohrávajú v analýze dôležitú úlohu.

1. Poklavshi pre prvky dosť neosobné

berieme samozrejme metrický priestor. Jogu možno nazvať šírkou izolovaných bodov.

2. Násobnosť reálnych čísel zo štandardu

p(x, y) = | x - y |

vytvoriť metrický priestor R 1 .

3. Anonymné objednávacie súpravy P reálne čísla zo štandardu

volal P-pokojný aritmetický euklidovský priestor Rn.

4. Poďme sa pozrieť na rovnaké neosobné zostavy P reálne čísla

Platnosť axióm 1) -3) je tu zrejmá. Výrazne metrický rozsah symbolu Rn 1 .

5. Dovoľte mi obnoviť tie isté neosobné veci, ktoré sú v zadkoch 3 a 4 a sú významné medzi prvkami vzorca

Platnosť axióm 1) -3) je zrejmá. Tse rozloha, ktorá je pre mňa zmysluplná Rn¥ v bohatej nutričnej analýze nie je menej šikovná, nižšia euklidovská rozloha Rn.

Zvyšné tri zadky ukazujú, že sú niekedy a práve dôležito odlišné pre najmetrický priestor a pre neosobný bod, takže jeden a ten istý akciový bod môže byť meraný odlišne.

6. Bezlich W všetky nestále funkčné funkcie priradené vinutiu z diaľky

vytvoriť aj metrický priestor. S axiómami 1) – 3) sa manipuluje bez rozdielu. Tento priestor hrá v analýze dôležitú úlohu. Jogo označíme rovnakým symbolom WČo je najneosobnejším bodom tohto priestoru.

7. Pozrime sa, ako na zadku 6, postupnosť všetkých funkcií, bez prerušenia pohľadu S, ale vіdstan іnevýznamne іnakshe, ale аѕ, між іншм

Budeme mať na mysli taký metrický priestor W 2 a meno rozsah neprerušovaných funkcií s kvadratickou metrikou.

Pred Rіmanom, Lobačevským, Einsteinom a ďalšími súdruhmi bola geometria tvorená rovinami, neviditeľnými bodmi a rovnými čiarami, ktoré neboli odrezané v opačnom smere. Svetlo nad plochým trivimerom, hrdo hlavnú hodinu, vnímame ako proces, kvantovaný pre tlkot srdca a klepot roka. Všetko je hlasné, priamočiare, rozumné, silné, tri súradnice v priestore sa dajú určite predurčiť - stačí trochu zatĺcť.

Koniec idil prišiel s príchodom matematikov, yakі doslіdzhuyut na špičke pera bohaté priestranstvách. Smrad bol skladací, bohato zladené predmety a systémy, pre ľudské oko nepochopiteľné a zrozumiteľné, napríklad slávna chotirivimirny kocka, Mobiova línia a ďalšie. Krok za krokom bolo konštatované, že zdanlivá rozloha neobov'yazkovo sa dá zložiť z plochých a rovných línií s procesnou hodinou, dá sa zložiť napríklad z nepravidelne tvarovaného plochého plechu ohnutého do rúrky, navyše , hodina je dvojitá os nakreslená v strede trubice. Pointa bola nastavená v takom „nesprávnom“ priestore, ale ešte nemá tri súradnice, ktoré sú nám známe, takže jazda v kilograme im nemôže pomôcť zomrieť. Pozíciu nastavenej hodnoty v neeuklidovskom priestore bude potrebné znázorniť vo vizuálnom poli čísel, ktoré sa neustále mení podľa existujúcich pravidiel. Samotné pravidlá v kožnom vigadanome sú ich vlastné. Takéto pole čísel sa nazýva tenzor, ktorý berie údaje o bodoch priestoru približne v tom pohľade, v ktorom je obrázok nasnímaný v hre „obrázok kvetov“: jednoduchý a neopakovateľný.

Tenzory sú skladacie objekty, ale majú jeden veľký priestor – tenzor ako pole vektorových reťazcov možno „prekrížiť“ označením matice tenzora – dvojsvetovej tabuľky, v ktorej nahradenie najväčších čísel predstavuje vzorec, ktorý popisuje pravidlá tejto transformácie. Matrica je jednoduchý objekt, operácie s nejakým druhom dobroty boli vyvinuté pred viac ako storočím. Začali sa posilňovať hlavy matematikov, boli prezentované najsofistikovanejšie vzorce, vytvárali sa tenzory pre body samotných nezrozumiteľných priestranstiev. Najjednoduchšie tenzory, ktoré sú opísané s dostatočnou presnosťou, môžeme s dostatočnou presnosťou prijať, sú trojrozmerný euklidovský priestor a hodinový proces. Їх matice i sa nazývajú metriky.

Nadal vyšlo najavo, že kvôli sile hustoty, ktorú Einstein považoval za základ, sa Minkovského metrika stala neprijateľnou vo vákuu na oblúku veľkých vzdialeností medzi bodmi alebo na oblúku vysokých ukazovateľov gravitácie. interakcia. Šéfovia matematikov opäť pracovali, už v spojenectve s fyzikmi, akoby žartovali o experimentálnom potvrdení teórií. Tak sa napríklad objavila Schwarzschildova metrika, ktorá ako keby opisovala náš svet cez násobenie matíc tenzorov v dvojsvetovej štvorcovej rovine a dvojsvetovej sfére (existuje známy kruh, ale môžete vidieť celý rozloha). Schwarzschildova metrika umožnila opísať, prečo my sami, a nie inak, vnímame pohyb objektov nebeskej sféry. Hodina v nіy je konštantná hodnota (!), ktorá je zavedená okremo do kože ruží, a keď vidíte bod na posterigach - je to naozaj vektor, ktorý dáva popis dĺžky priestoru (- hodina) medzi dvoma objektmi, alepodia.

Hlavný funkčný priestor

prednáška 5

Jednou z najdôležitejších analytických operácií je prekračovanie hraníc. Základ tejto operácie spočíva v tom, že na číselnej osi sa priraďuje z jedného bodu do druhého. Veľa základných faktov analýzy nesúvisí s algebrou z podstaty reálnych čísel (tj pretože smrad tvorí pole), ale skôr sa vymyká z pochopenia. Keď Uzagalnyuyuchi hovorí o skutočných číslach, akoby o neosobných, v ktorých sa zavádza medzi prvky, prichádzame k pochopeniu metrického priestoru - jedného z najdôležitejších na pochopenie modernej matematiky.

Vymenovanie.

Dvojica sa nazýva metrický priestor (X, p). X prvky (bodka) a vidstani, teda jednoznačná, nezáporná, efektívna funkcia p(x, y), Vymenovaný za be-yakah Xі r h X a podriadené nadchádzajúcim axiómam;

1. ρ (x, y) ≥ 0 pre všetkých x, y,

2. ρ (x, y) = 0 vtedy a iba raz, ak x = y,

3. ρ(x, y) = ρ(y, x)(Axióma symetrie),

4. ρ (x, z) £ ρ (x, y) + ρ (y, z)(Axióma trikutnika).

Rovnaký metrický priestor, teda pár (X, p), Označíme spravidla jedno písmeno R = (X, p).

Vo vipadkách, ak sú nepochopiteľne vypnuté, často označíme metrický priestor rovnakým symbolom ako samotná „rezerva bodov“ X.

Aplikujme metrické priestory. Priestory Deyakі z tsikh zohrávajú v analýze dôležitú úlohu.

1. Poklavshi pre prvky dosť neosobné

berieme samozrejme metrický priestor. Jogu možno nazvať šírkou izolovaných bodov.

2. Násobnosť reálnych čísel zo štandardu

vytvoriť metrický priestor R1.

3. Anonymné objednávacie skupiny n reálne čísla x = (X 1, ..., x n) z diaľky

volal n-pokojný aritmetický euklidovský priestor R n. Spravodlivosť axióm 1) - 3) pre R n zrejmé. Ukážme to v R n Vikonan a axióma trikutnika.

poď x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n),

z = (z 1, ..., z n);

potom divák zapíše axiómu trikára

Vvahayuchi, otrimuemo a nerovnosť (2) nadobúdajú akúkoľvek formu

A predsa je nervozita okamžite zrejmá zo zjavnej nervozity Kosha-Bunyakovského

Naozaj, kvôli tejto nervozite je to možné

nerіvnіst (3), a tiež і (2), ktoré priniesol.

4. Pozrime sa na tie isté neosobné usporiadané skupiny nčísla dní x = (x 1, ..., x n) ale nech je to významné v novom vzorci

Platnosť axióm je tu zrejmá.

manažér. Prineste axiómu 4.

Výrazne metrický rozsah symbolu.

5. Dovoľte mi obnoviť tie isté neosobné veci, ktoré sú v zadkoch 3 a 4 a sú významné medzi prvkami vzorca

Platnosť axióm 1) - 3) je zrejmá.

manažér. Prineste axiómu 4.

Táto pre nás významná rozloha pre bohaté zdroje analýzy nie je menej vhodná, nižšia euklidovská rozloha R n.

Zvyšné tri zadky ukazujú, že sú niekedy a práve dôležito odlišné pre najmetrický priestor a pre neosobný bod, takže jeden a ten istý akciový bod môže byť meraný odlišne.

6. Bezlich C všetky nestále funkčné funkcie priradené segmentu , Trikrát za deň

vytvoriť aj metrický priestor. Axiómy 1) - 3) sa prehodnocujú bez sprostredkovateľa.

manažér. Prineste axiómu 4.

Tento priestor hrá v analýze dôležitú úlohu. Jogo označíme rovnakým symbolom CČo je najneosobnejším bodom tohto priestoru. námestník C budeme písať jednoducho W.

7. Výrazne cez l 2 metrický priestor, ktorého body slúžia ako všetky postupnosti x = (x 1, ..., x n, ...) skutočné čísla, ktoré potešia myseľ,

a vіdstan vyznaєtsya vzorec

Z elementárnej nerovnosti je zrejmé, že funkcia p(x, y) má zmysel pre všetkých, aby sa zblížili, ako

Ukážme teraz, že funkcia (8) spĺňa axiómy metrického priestoru. Axiómy 1) - 3) sú zrejmé a axióma tricutnika tu nadobúda formu

Na základe toho, čo bolo povedané vyššie, sa tu tri riadky písania zbiehajú. Na druhej strane na koži n právom nerovnomerné

(Div. Butt 4). Prechádzanie tadiaľto na hranicu v n®∞ otrimuemo (8), takže nerovnosť trikotu v l 2.

8. Pozrime sa na to, ako v zadku 6, postupnosť všetkých funkcií bez prerušenia .

Budeme mať na mysli taký metrický priestor Z 2 a nazývame ho priestorom neprerušených funkcií s kvadratickou metrikou. Tu sú zrejmé všetky axiómy metrického priestoru a axióma tricutnika bez prostredných výkrikov z integrálnej formy nerovnosti Cauchy - Bunyakovsky

9. Pozrime sa na neosobnosť všetkých čiastkových postupností x = (x 1, ..., x n, ...) reálnych čísel.

berieme metrický priestor, pretože je významný m. Platnosť axióm je zrejmá.

10. Anonymné objednávacie skupiny n reálne čísla zo štandardu

de R- či existuje pevný počet ≥ 1 , Ide o metrický priestor, keďže je významný.

Vráťme sa k axióme 4.

poď x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n), z = (z 1, ..., z n).

Poďme, aj nerіvnіst

ustanoviť spravodlivosť, na ktorej som vinný, uvidím

Tse je názov nervozity Minkovského. pri p=1 Minkowského nerovnomernosť je zrejmá (súčet modulov nepresahuje súčet modulov), bude sa brať do úvahy, že p > 1.

Dôkaz nerovností (13) s p > 1 na základe takzvanej Hölderovej nervozity

de čísla p > 1і q > 1 zviazaný s mysľou

Rešpektujeme, že nerovnosť (14) je rovnaká. Tse znamená, že je to v poriadku pre dva vektory a = (a 1, ..., a n),і b = (b 1, ..., b n), potom vono vikonano i pre vektor_v λaі μb, de λ і μ - poriadny počet. Tomu nerіvnіst (14) dokončiť doniesť za vipadku, ak

Otec, nech Vikonan Umov (16); dajte nám to vedieť

Pozrime sa na námestie (ξ,η) pokrivené, akoby si boli rovné η = ξp -1 (ξ> 0), Abo, čo sú rovnakí, rovnakí ξp -1 (η> 0)(obr. 1). Z malého je jasné, že pri akomkoľvek výbere kladných hodnôt aі b bude S1 + S2 > ab. spočítateľná oblasť S1і S2:

V takomto poradí je početná nejednotnosť opodstatnená

nahradiť tu a na | A k |і b na | B k | a pіdsumovuyuchi na k od 1 do n, Otrimaєmo, vrakhovuchi (15) a (16),

Nerіvnіstі (17) a neskôr і zagalne іrіvnіstі (14) priniesol.

pri p = 2 Nerіvnіst Hölder (14) sa zmenil na Nerіvnіst Koshi - Bunyakovsky (4).

Teraz prejdime k tomu, aby sme priniesli Minkovského nervozitu. U ktorých môžeme vidieť totožnosť

Nahradenie totožnosti v písomnom a na a kі b na b k a pіdsumovuyuchi na k vyhliadka 1 predtým n prijaté

Zastosovuchi teraz až do kože za dve sumy, stáť pravou rukou, Gelderova nervozita a vrakhovuuchi, takže (P - 1) q = p, Získať x (t), vziať

Týmto spôsobom sa ukázalo, že vzorec (18) lp, Deisno maє sens pre be-yakah. Nočná nerovnosť (19) ukazuje, že v lp vikonana axióma trikutnik. Axiómy Reshty sú zrejmé.

Hŕstka vzdialených zadkov nie je obklopená ofenzívnym príjmom. poď R = (X, p)- metrický priestor i M- byť násobiteľom v X. tiež M s rovnakou funkciou p(x, y), Yaku mi vvazhaemo teraz spieva pre Xі pri h M, Tezh є metrický priestor; nazýva sa to podpriestor priestoru R.