Możliwe jest pokazanie (nie jest solidne), ale ryvnyannya (2) jest bardziej równa rivnyannya (1), jeśli chcesz być otrimano z (1) sposobem nierównoważne przewrócenie. Tse oznacza scho rivnyannya (2) -privnyannya tej elipsy. Nie można się nazywać kanoniczny(Wybaczymy najlepsze).

Zrozumіlo, іvnyannya elіpsa є rіvnyannya innej kolejności, tobto. linia elipsy drugiego rzędu.

W przypadku e-maila możliwe jest wprowadzenie zrozumienia ekscentryczność. Wartość Tse. Do elips, ekscentryczności. Więc jaka sі a vidomy, także vidomy. Viraz promieni ogniskowych punktu M (x, y) elipsy jest łatwo rozpoznawalny z przodu świata:. r 2 znane nie bez powodu (3)

Szacunek Wbij dwie tsvyakhi (F1 i F2) w stal, zawiąż do nich koronkę sznurkiem węzłów, dozhin co więcej dla wyglądu tsvyakhi ( 2a), pociągnij za linkę i poprowadź ją z trzaskiem po stole, a następnie przetrzyj zamknięte krzywe-elipty, które są symetryczne między obiema osiami a kolbą współrzędnych.

4. Poprzedzające formację elipsy od kanonicznego Równego.

Z szacunkiem dla świata wykonali wzór o kształcie elipsy. Teraz przeprowadzane aż do ostatniej formy elipsy, analizując tę ​​kanoniczną rivnyannya:

Wiemy, że punkty przecinają osie współrzędnych. Yaksho, y = 0, tobto. dwa punkty A1 (-a, 0) i A2 (a, 0). Jeśli x = 0, to. Tobto. dwa punkty B1 (0, -b) w B2 (0, b) (od tego czasu). Punkty A1, A2, B1, B2 zadzwoń wierzchołki elipsy.

2) Obszar wzrostu elipsy można przypisać następującemu mirkuvanowi:

a) z rіvnyannya elipsa slіd, scho, tobto. , tobto. abo.

b) podobnie, tobto. abo. Pokażę Ci jak cały proces prostowania przebiega w prostokącie wyznaczonym przez proste i.

3) Dal, w ryvnyannya elepsa zimy i y, wchodzi tylko w parach, co oznacza, że ​​krzywa jest symetryczna między osiami skóry i kolbą współrzędnych. D-ale, jeśli promień ma mieć punkt (x, y), który ma się znajdować i punkty (x, -y), (-x, y) і (-x, -y). Wystarczy do tego przyjrzeć się pozbawieniu tej części elipsy, która leży na pierwszych czterech, de i.

4) Z rіvnyannya elipsa maєmo i pierwszych czterech. Jeśli x = 0, to y = b. Punkt środkowy B2 (0, b). Niech x zmieni się od 0 do tody y zmieni się od b do 0. Tim przy punkcie M (x, y), korygując od punktu B2 (0, b) opisz łuk, aby dojść do punktu A (a, 0). To może być suvoro do wniesienia, gdy łuk jest zakrzywiony pionowo pod górę. Dodajemy lustrzany łuk w osiach współrzędnych i na kolbie widzimy całe elipsy. Osie symetrii elipsy nazywane są osiami Yogo, punkt Pro znajduje się w środku elipsy. Dovzhinu іdrіzkіv ОА1 = ОА2 = ale nazywają wielką pivvіssyu elipsa, іdrіzkіv ОВ1, ОВ2 = b-mały pіvvіssyu, (a> b), widok c-ogniskowy. Po prostu wyjaśnij tę wartość geometrycznie.

Przy a = b możemy zaakceptować kanoniczną elipsę ryvnyannya - stawkę rivnyannya. Za stawkę, tobto. F1 = F2 = 0..

W takim stopniu pierścień jest okręgiem elips, jeśli ognisko jest wyśrodkowane na środku i mimośrodzie = 0. Im większa ekscentryczność, tym więcej elips jest używanych.

Szacunek. Z kanonicznej ryvnyannya elipsa łatwo jest stworzyć wzór, ale elipsy można ustawić w formie parametrycznej. x = a cos t

y = b sin t, de a, b - duże i małe pivosi, t-cut.

5. Oznaczenie hiperboli kanonicznej.

Hiperbola Nazywa się to HMT obszaru, dla każdej różnicy między dwoma stałymi punktami obszaru F1F2, zwanymi ogniskami, stała wartość (nie równa 0 lub mniej, poniżej ogniska F1F2).

Zacznijmy, tak jak wcześniej, F1F2 = 2s, a różnica między nimi wynosi 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Nekhai M (x, y) to punkt linii hiperboli. Dla wartości MF1-MF2 = lub r1-r2 == lub - (1). -ce і є rіvnyannya hiperbola.

Łagodząc sens racjonalności w (1): zakłada się jeden pierwiastek, a następnie obrażając część w kwadracie, możemy to rozróżnić:

Gwiazdy.

Rozdilimo na. Wprowadź wartość. Todi - (2). Rivnyannya (2), jak można pokazać, jest bardziej równa niż rivnyannya (1) i temu є. Imię Yogo kanoniczne rivnyany hiperboli Bachimo, cóż, poziom hiperboli może być innego poziomu, z tego samego, hiperbola-linia innego rzędu.

Ekscentryczność hiperboli. Viraz o promieniach ogniskowych dzięki niemu łatwo go przyciąć z przodu, dzięki czemu jest znany.

6. Poprzedzająca formę hiperboli dla її kanonicznego rіvnyany.

Rosemirkovuєmo jest podobny do tego przed, kiedy ostatnia aktualizacja.

1. Znane są punkty przepełnienia z osiami hiperboli. Jeśli x = 0, to. Plamka jest peretinu z visyu OU nemaє. Jeśli y = 0, to. Punkty przelewowe. Smród nazwa wierzchołki hiperboli.

2. Obszar wzrostu hiperboli:, tobto. abo. Oznacza to, że hiperbola jest różowa, poza ciemna, otoczona prostymi liniami x = -aі x = a.

3. Hiperbolę można postrzegać jako symetrię, ponieważ x i y wchodzą w parę kroków. Wystarczy spojrzeć na tę część hiperboli, która praży się w pierwszej rundzie.

4. Z rivnyannya hiperbola (2) w pierwszych czterech mamo. Przy x = a, y = 0 punkt jest; w tobto. zakręt idzie w prawo pod górę. Wyraźniej widać dwie dodatkowe linie proste, które przechodzą przez kolbę współrzędnych i przekątnych prostokąta z boków 2a i 2b: BCB'C'. Zapach ryvnyannya. Ewidentnie punkt hiperboli M (x, y) jest na drodze do nieskończoności, nie można zbliżyć się do prostej. Przejdź do sedna x a czasami rzędna punktu hiperboli jest prosta. Oczywiście Y> tak... MN = Y-y =.

Bachimo, scho s, tobto. krzywa nie zbliża się do prostej na świecie od odległości do kolby współrzędnych. Tse przynieść, że asymptota hiperboli jest prosta. Co więcej, hiperbola nie zmienia asymptot. Wystarczy uzyskać część hiperboli. Vona zostaje brutalnie zniszczona przez nierówną górę. Części Іnshi uzyskuje się przez symetrię. O dziwo, oś symetrii hiperboli (oś współrzędnych) nazywa się її osie, punkt przepełnienia osi środek hiperbole. Jeden ważony przytłoczył hiperbolę (akcja v_s), іnsha-nі (jasna). Vidrizok a zadzwoń w podróż służbową b-wyraźnie pivvissyu. Prostokątny BCB'C'- nazywa się główną hiperbolą prostokątną.

Jakszoz a = b, wtedy asymptotyki są ustalane z osiami współrzędnych kuchi. Todi hiperbola lub wezwanie Rivnobichno lub ravnobichnoy. Główna odbytnica zamienia się w kwadrat. Asymptoty są prostopadłe jeden pojedynczy.

Szacunek.

Inodi spójrz na hiperbolę, przykład kanoniczny - (3). Її zadzwoń zawiązany zgodnie z relacją do hiperboli (2). Hiperbola (3) może poruszać się w pionie, wyraźnie w poziomie. Її rodzaj jednego sposobu na wstawanie, jak przestawiać xі w, aі b(Vaughn zamieni się w wirujące drzewo). Ale todі hyperbola (3) maє viglyad:

Topy її.

5.Jak już wszedł, poziom hiperboli równobocznej ( a = b) jeśli osie współrzędnych są wyrównane z osiami hiperboli, możesz to zobaczyć. (4)

Bo asymptotyki równobocznej prostopadłej hiperboli, їх można również przyjąć jako osie współrzędnych OX 1 i OU 1. Cena jest równoważna przekręceniu systemu OXU na cięcie. Formuły włączania kut są następujące:

Todi in nowy system współrzędne ОХ 1 У 1 рівняння (4) przepisz:

Abo abo. Znaczenie, otrimaєmo abo (5) tse rivnyannya hiperbola równoboczna, przedstawiony asymptotom (męski typ hiperboli jest obserwowany w szkole).

Szacunek: Z rіvnyannya viplivay, który jest obszarem linii prostej, monitowany o współrzędne punktu hiperboli M (x, y), który sam: S = k 2 .

7. Oznaczenie paraboli kanonicznej.

Parabola zwany HMT obszaru, dla którego skóry wyłania się ze stałego punktu obszaru F, zwany Centrum, drzwi są od stałej prostej, zwanej dyrektorka szkoły(Postawa skoncentrowana dyrektorki).

Zakłada się, że od F do kierownicy przez p і nazywa się to parametrem paraboli. Układ współrzędnych jest wibrowany w ten sposób: oś OX jest poprowadzona przez punkt F prostopadły do ​​kierownicy NP. Kolba współrzędnych wibruje w środku FP.

System posiada:.

Jednocześnie punkt to M (x, y) od współrzędnych punktu (x, y). Tomek

Zvidsy (1) tse і є równe parabole. Wytłumaczalne:

Abo (2) -ce i є parabola kanoniczna Można wykazać, że (1) i (2) są silne.

Rivnyannya (2) є Rivnyannya drugiego rzędu, tobto. parabola-linia drugiego rzędu.

8. Poprzedzające uformowanie się paraboli dla її rówieśników kanonicznych.

(p> 0).

1) x = 0, y = 0 parabola przechodzi przez kolbę współrzędnych punktu O. Її nazywamy wierzchołkiem paraboli.

2), tobto. parabola gnije na prawo od osi jednostki organizacyjnej, na prawo od osi.

3) w wejść jako świat sparowany, czyli parabola jest symetryczna do osi OH, a następnie zakończyć przebywanie w pierwszych czterech.

4) o 1 kwadrans, tobto. parabola praworęczna. Można pokazać, że jestem opadnięty na wzgórzu. Wzdłuż symetrii będę poniżej. Vіs kropkowany do paraboli.

Oczywiście promień ogniskowania jest. Świątynia nazywa się ekscentryczność:. Cała symetria paraboli (mamy OX) nazywana jest całą parabolą.

Wspaniale, to też parabola, ale wyprostowane w prototypowy rower. Rivnyannya może również ustawić parabole, które są zawieszone na jednostce organizacyjnej.

dla wielkiego Wigglyad, de.

Rivnyannya viznacha zvychaynu parabola z wierzchołkiem vіdnіnuyu.

Szacunek. 1) Między liniami usіma choterma drugiego rzędu spór jest bliski; koniec końców... Jeśli weźmiesz stożek z dwóch kawałków, to gdy obszar osi prostopadłej stożka zostanie przekroczony, możemy go odciąć, tak jak gdyby troch pokrył obszar, możemy go odciąć; jeśli obszar jest równoległy do ​​zbioru, to w reparaboli, gdzie obszar się przelewa

pusty hiperbol.

2) Można sprawić, że jeśli światło wyjdzie z ogniska paraboli, jest z niego widziane, to będzie widziane równolegle do osi parabolicznego celu, który ma być pokazany, gdy reflektory są w paraboliczne skupienie. Idź do koniugacji światła.

3) Gdy tylko zobaczysz wystrzelenie towarzysza Ziemi z punktu T, powinieneś leżeć w postawie atmosfery w kierunku poziomym, jakby pajęczyna v Jeśli to nie wystarczy, towarzysz nie zawróci wokół Ziemi. Kiedy dochodzi do pierwszej eksploracji kosmosu, towarzysz obraca się wokół Ziemi po orbicie kołowej, której środek znajduje się w centrum Ziemi. Gdy tylko pochatkova osiągnie jakość życia, zostanie owinięta w elipsę, środek Ziemi będzie w jednym ognisku. Po osiągnięciu drugiego ruchu kosmicznego trajektoria staje się paraboliczna, a towarzysz nie obraca się do punktu T, ale nie porusza się w granicach System śpiochów... Tobto. Parabola є elips z jednym nieprzerwanym ogniskiem. Przy niewielkiej poprawie kolby trajektoria staje się hiperboliczna, a z drugiej strony pojawia się kolejne ognisko. Środek Ziemi spędzi całą godzinę w centrum orbity. Towarzysz poza granicami systemu Sonyachnoy.

Wykłady z algebry i geometrii. 1 semestr

Wykład 15. Elips.

Rozdil 15. Elips.

przedmiot 1. Podstawowe wartości.

Viznachennya. Elips nazywany jest GMT obszaru sumy do dwóch stałych punktów obszaru, zwanych ogniskami, є stała wartość.

Viznachennya. Odległość od aktualnego punktu obszaru M do ogniska elipsy nazywana jest promieniem ogniska punktu M.

Przeznaczenie:
- triki elipsy,
- promienie ogniskowe punktu M.

Zgodnie z wartością elipsy punkt M є punkt elipsy i todi, jeśli
- Stała wartość. Qiu postinu oznacza 2a:

. (1)

Drogi, scho
.

Ze względu na wartość e-maila nacisk kładziony jest na є stałych punktów, a więc dla danego e-maila jest stała wartość.

Viznachennya. Wygląd wśród ognisk elipsy nazywa się widokiem ogniskowym.

Przeznaczenie:
.

3 trikutnik
viplyaє, scho
, tobto.

.

Oznaczmy przez b liczbę
, tobto.

. (2)

Viznachennya. Świątynia

(3)

zwany ekscentrycznością elipsy.

Wprowadzono na całym obszarze układ współrzędnych, który nazywamy kanonicznym dla elipsy.

Viznachennya. Trzymaj się miejsca, w którym znajduje się ognisko elipsy, zwanego widokiem ogniskowym.

Pozostanę kanoniczny dla elipa PDSK, dyw. rys. 2.

Oś pionowa odciętej jest wibrowana do punktu ogniskowego, a oś pionowa jest przeciągana przez środek osi pionowej
prostopadle do osi ogniskowej.

Todi skupia się na współrzędnych
,
.

pkt 2. Kanoniczna Riwnia Elipsa.

Twierdzenie. W kanonicznych układach współrzędnych elipsy ma viglyad:

. (4)

Dostarczony. Dowód realizowany jest w dwóch etapach. W pierwszym etapie widać, że współrzędne punktu leżącego na wielokropku są zadowolone z rivnyannya (4). Na drugim etapie jest jasne, czy decyzja ryvnyannya (4) podaje współrzędne punktu, jak leżeć na elipsie. Szukaj viplivatime, ale z powodu (4) jesteś zadowolony z punktów obszaru współrzędnych, które leżą na elipsi. Dźwięki i wartości krzywych ryvnyannya sliduvati, scho ryvnyannya (4) do rivnyannya elips.

1) Niech punkt M (x, y) będzie punktem elipsy, tobto. suma її radiotelefonów ogniskowych w dorіvnyu 2а:

.

Szybko, według wzoru, na obszarze współrzędnych znajdują się dwa punkty, co jest znane ze wspólnego wzoru na promień ogniska danego punktu M:

,
, gwiazdy są rozpoznawalne:

Można go przenieść do jednego pierwiastka po prawej stronie części równości i do kwadratu:

Szybko wymyślę:

Pewnie trochę szybciej dla 4 i samowystarczalnego radykała:

.

Zbudowany do kwadratu

Szybkie otwieranie łukuєMo on
:

:

Parzystość Vikoristovuchi (2), rozpoznamy:

.

Wydałem pieniądze na
, parytet Otrimuєmo (4), h.t.d.

2) Teraz para liczb (x, y) jest zadowalająca (4) w nehai M (x, y) jest podobnym punktem na obszarze współrzędnych Oxy.

Todi z (4) vipli:

.

Pidstavlyaєmo ciu dla promieni ogniskowych punktu M:

.

Tutaj przyspieszamy (2) i (3).

W takiej randze
... Podobnie,
.

Teraz jest świetnie, nie bez powodu (4), jest świetnie

abo
odkąd
, to brzmi jak obojętność:

.

Zvidsi, we własnym domu, viplyaє, scho

abo
і

,
. (5)

Z rivnosti (5) viplyє, scho
, tobto. punkt M (x, y) є punkt elipsy itp.

Twierdzenie zostało zakończone.

Viznachennya. Rivnyannya (4) nazywana jest kanoniczną Rivnyannya Elipsa.

Viznachennya. Kanoniczne dla elipsy osie współrzędnych nazywane są osiami głowy elipsy.

Viznachennya. Ucho kanonicznego układu współrzędnych elipsy nazywane jest centrum elipsy.

s. 3. Siła elipsy.

Twierdzenie. (Moc elipsy.)

1. Kanoniczne układy współrzędnych elipsy, wszystkie

punkty elipa znajdują się w odbytnicy

,
.

2. Plamki leżą na

3. Wargi (zakrzywione, symetryczne)

ich główne osie

4. Środek elips є środek symetrii.

Dostarczony. 1, 2) Natychmiast po kanonicznej euforii Elipsa.

3, 4) Nekhai M (x, y) jest wystarczającym punktem elipsy. Współrzędne Todi її są zadowolone z rivnyannya (4). W sumie współrzędne punktów są również zadowalające (4), і, і, і, punkty elipsy, gwiazdy i zgodne twierdzenia.

Twierdzenie zostało zakończone.

Viznachennya. Wartość 2a nazywamy wielką wagą elipsy, wartość nazywamy wielkim esejem elipsy.

Viznachennya. Wartość 2b nazywamy małą wagą elipsy, wartość b nazywamy małą wagą węgorza.

Viznachennya. Plamki, które przecinają elipsę z osiami głowy, nazywane są wierzchołkami elipsy.

Szacunek. Elips może w ten sposób pozostać. Na placu w pobliżu ogniska jest „wbijany przez kwiat”, a nić zavdovzhki jest na nich zamknięta
... Następnie bierzemy mężczyznę i naciągamy nić, w której pomaga. Następnie ponownie załóż oliwkowy ołów wzdłuż obszaru, szwy za tim, a nić kulki jest napięta.

Wartość ekscentryczności vapingє, scho

Stała liczba to a i bezpośrednio liczba od zera. Todi w
,
і
... W mei otrimuєmo

abo
- Stawka Rivnyannya.

Teraz
... Todi
,
ja mi bachimo, scho w środku elips virozhut na krawędziach prostej
Miej małego chłopca 3.

pozycja 4. Ogólna zasada parametryczna.

Twierdzenie. Pospiesz się
- Dobre numery pracy. System Todi rivnyannya

,
(6)

є parametryczne odpowiedniki kanonicznych układów współrzędnych dla epoki.

Dostarczony. Aby doprowadzić do końca, że ​​system ryvnyan (6) є sprawiedliwy rivnyannyu (4), tobto. śmierdzą te same bezsensowne rozwiązania.

1) Nehay (x, y) - więcej rozwiązań układu (6). Rozdilimo jest wytrwałe na a, drugie - na b, zbudowane jest z ofensywnego placu i magazynu:

.

Tobto. być podobnym rozwiązaniem (x, y) układu (6) zadowalająco (4).

2) Z powrotem, puść parę (x, y) є rіshennyam rіvnyannya (4), tobto.

.

Punkt ze współrzędnymi
leżeć na liczbie o jednym promieniu iz środkiem na kolbie współrzędnych, tobto. є punkt tyczki trygonometrycznej, który mówi deyakiy kut
:

Wartość sinusa i cosinusa natychmiast

,
, de
, gwiazdy przesunęły się, kto paruje (x, y) є rozwiązania systemowe (6), h.t.d.

Twierdzenie zostało zakończone.

Szacunek. Elips można skorygować w wyniku równomiernego „ściskania” coli o promieniu a do osi odciętej.

Pospiesz się
- Rivnyannya kola skoncentrowana na kolbie współrzędnych. „Przyklej” kołek do osi odciętej є ni ni ni ni, jako odtworzenie obszaru współrzędnych, więc postępuj zgodnie z zasadą ofensywy. Punkt skóry M (x, y) jest umieszczany w tym samym punkcie całej powierzchni
, de
,
- Koefikcja „ściśnięta”.

W tym samym czasie punkt skóry palika „przechodzi” do punktu obszaru, którym jest sama odcięta, ale rzędna mensha. Stary punkt Virazimo rzędny przez nowy:

i jest prezentowany w coli іvnyannya:

.

Zvidsi otrimuєmo:

. (7)

Zvidsy viplya, który przed odtworzeniem „zaciśniętego” punktu M (x, y) leżał na liczbie, tobto. її współrzędne były zadowolone ze stawki, następnie po ponownej realizacji „ściskania” punkt „przesuwał się” do punktu
których współrzędne są zgodne z e-mailem (7). Chciałbym odrzucić ryvnyannya elipsa z odrobiną pivvissyu b, musisz zaufać

.

s. 5. Stosovno elipsa.

Twierdzenie. Pospiesz się
- Ładny punkt elipsa

.

Todi rivnyannya shodo tsієї elipsu w punkcie
ma viglyad:

. (8)

Dostarczony. Wystarczy spojrzeć na vipadoki, jeśli punkt skrętu leży w pierwszej i pozostałych czterech współrzędnych:
... Rivnyannya elipsa na górnym napivploshiny maє viglyad:

. (9)

Skoristaєmosya rivnyannyam i wykres funkcji
W punkcie
:

de
- znaczenie funkcji funky w punkcie
... Elips w pierwszych czterech można zobaczyć jako wykres funkcji (8). Wiadomo, że stracę znaczenie kropkowanych kropek:

,

... Tutaj przyspieszyliśmy czas, o co chodzi
є przez punkt elipsy w współrzędne są zadowolone z elips (9), tobto.

.

Pidstavlyaєmo zna znaczenie wiecznego ryvnyannya dotichnoy (10):

,

:

Zvidsy viplyaє:

Rozdilimo qiu rivnist on
:

.

Za późno, by to uszanować,
odkąd plamka
ustawić współrzędne zgodnie z wymogami rivnyannyu.

Podobnie jest podnoszony do punktu kropki (8) w punkcie kropki, który leży w trzecim lub czwartym obszarze czterech współrzędnych.

І, nareshty, łatwo przewrócony, dobrze іvnyannya (8) tak іvnyannya dotichnoї w punktach
,
:

abo
, і
abo
.

Twierdzenie zostało zakończone.

s. 6. Moc lustrzana elips.

Twierdzenie. Jest podobny do elipsy ma rіvnі kuti z promieniami ogniskowymi punktu pochodni.

Pospiesz się
- punkt Torkannaya,
,
- promienie ogniskowe punktu na kropkę, P i Q - rzuty ogniska na kropkę
.

Twierdzenie Sturgeo

. (11)

Jesienią i w obrazie zmiany światła z elipsy, która została wyostrzona, można zinterpretować jak najwięcej równości. Moc Tsia zdobyła miano lustrzanej mocy Elipsa:

Wyświetl podgląd światła, przepuszczając go z fokusa wiadomości e-mail, pozwalając widokowi z lustra wiadomości e-mail przejść przez wewnętrzny fokus wiadomości e-mail.

Dowód twierdzeń. Aby udowodnić równość kociąt (11), możemy podać liczbę trójkołowców
і
, po obu stronach
і
bądź miły. Oskіlki trikutniks są prostoręczni, wystarczy przynieść parzystość

. (12)

Bo za motywację
- Zobacz w centrum uwagi dotycznie L (podział rys. 7),
... Szybko, korzystając ze wzoru z punktu na prosto na obszar:

Więc jest tak samo jak wcześniej.
mam wigilię

,

,

.

Tutaj użyliśmy wzorów (5) na promienie ogniskowe punktu elipsy.

Twierdzenie zostało zakończone.

Kolejny dowód przez twierdzenia:

,
,
- Normalny wektor dotic L.

... Zwidsi,
.

Podobnie wiadomo
і
, rozdz.

s. 7. Dyrektorka Elipsa.

Viznachennya. Dyrektorzy elipsy nazywani są dwiema liniami prostymi, ponieważ w kanonicznych układach współrzędnych elipsy mogą być rivnyannya

abo
. (13)

Twierdzenie. Nekhai M - najważniejszy punkt elipsy, , - її promienie ogniskowe, - idź z punktu M w lewo, - W prawo. Todi

, (14)

de - Ekscentryczność elips.

Dostarczony.

Nekhai M (x, y) - współrzędne aktualnego punktu elipsy. Todi

,
,

(14).

Twierdzenie zostało zakończone.

s.8. Ogniskowy parametr elipsy.

Viznachennya. Ogniskowy parametr elipsy nazywa się kątem prostopadłym, który został zaktualizowany w ognisku elipsy do ponownego wyrównania z elipsą.

Parametr ogniskowy jest traktowany jako litera.

Wartość przemieszczenia, ale parametr ogniskowy

.

Twierdzenie. Ogniskowy parametr drzwi elipsy

. (15)

Dostarczony. Czyli punkt N (-s; p) є punkt elipsy
, to współrzędne її spełniają następujące wartości:

.

Znany Zvidsey

,

gwiazdy szlaku (15).

Twierdzenie zostało zakończone.

pozycja 9. Kolejna wartość dla e-maila.

Twierdzenie z punktu 7. może być ważny na e-mail.

Viznachennya. Elips jest nazywany HMT dla każdego rodzaju relacji do punktu stałego obszaru, zwanego ogniskiem, do punktu stałego, zwanego reżyserem, wartość jest trwale mniejsza niż jeden i nazywana ekscentrycznością:

.

Oczywiście, jeśli pierwsza wartość jest podana przez twierdzenie, konieczne jest jej przywołanie.

Wejście

Więcej krzywych innego rzędu zostało uchwyconych przez jedną z nauk Platona. Robot Yogo opóźniał się w ofensywie: jak tylko weźmiesz dwie proste linie, jak przewinąć, i owinie się wokół bissectrix kut, które zainstalowali, wtedy powierzchnia jest stożkowa. Jeśli przytłaczasz powierzchnię jakimś obszarem, to w środku figurki geometryczne, I te same elips, colo, parabola, hiperbola i figury wirogenne.

Wiadomo jednak, że historia nauki zaginęła w XVII wieku, ponieważ stało się jasne, że planeta zapada się w słoniowych traktorach, a pocisk Garmat leci parabolicznie. Stało się też bardziej prawdopodobne, jak tylko ziemia będzie bardziej oszczędzać miejsce, zawali się na palu w pobliżu Ziemi, wraz ze wzrostem ilości lekkości, z czasem będzie i będzie za twarda przezwyciężyć inne problemy.

Elips, że Yogo ryvnyannya

Viznachennya 1. Elip nazywa się bezsensownym punktem na obszarze, sumą punktów ze skóry do dwóch ustalonych punktów, zwanych ogniskami, є wartością stałą.

Ogniska elipsy są rozpoznawane po literach i są widoczne pomiędzy ogniskami - poprzez, a sumą widzenia od dowolnego punktu elipsy do punktów ogniskowych - poprzez. Ponadto 2a>2c.

Kanoniczny rіvnyannya elipsa maє viglyad:

związany ze sobą równy a 2 + b 2 = c 2 (lub b 2 - a 2 = c 2).

Wartość ta nazywana jest wielką wagą, a małą wagą elipsy.

Wartość 2. Ekscentryczność Ellipsa nazywa się biznesem i skupia się aż do wielkiej osi.

Zapoznaj się z listem.

Wyniki dla wartości 2a>2c, mimośród zależy od prawidłowego ułamka, więc tak. ...

Wartość biznesowa 7.1. Wiele wszystkich punktów na powierzchni, dla niektórych sum do dwóch punktów stałych F 1 i F 2 є elipsom.

Wyznaczenie elipsy daje taki sposób geometrycznego pobudzania jogi. Fizyczna na obszarze dwóch punktów F 1 i F 2 ale niewielka wartość jest znacząca przez 2a. Nie jedź między punktami F1 i F2 drogami 2c. Oczywiście w punktach F 1 i F 2 mocowana jest nienapinająca się nić z uchwytem 2a, np. za dodatkowymi dwoma łbami. Zrozumіlo, ale powinno być pozbawione dla ≥ s. Po pociągnięciu nitki oliwką układa się ją na linii, jakby była elipsą (ryc. 7.1).

Otzhe, opisana partia nie jest pusta, gdzie a ≥ c. Z a = elips є edrizok z końcami F 1 w F 2, a c = 0, to znaczy. jeśli wartości na wyznaczonych elipsach są punktami stałymi, punkty są ustawione, wygrana to liczba promieni a. Vidkidayuchi vyrogeny vipadki, otrzymamy eliminacje, gong, uh> z> 0.

Punkty stałe F 1 i F 2 o wartości 7,1 elipsy (dział. Rys. 7.1) są nazywane ogniska elips, widziana między nimi, oznaczona przez 2c, - widok ogniskowy i od F 1 M і F 2 M, tak aby jeden punkt M na elipsie z ogniskiem, - promienie ogniskowe.

Viglyad elipsa zwiększy widoczność widoku ogniskowego | F 1 F 2 | = 2 z parametrem a, podobnie jak pozycja na obszarze - para punktów F 1 w F 2.

W wyniku przepływu jest symetryczny i prosty do przodu, przechodzi przez ogniska F 1 i F 2, a także prosty do przodu, który biegnie w kierunku F 1 F 2 i jest do niego prostopadły (ryc. 7.2 a). Dzwonią bezpośrednio osie elipsy... Punkt O їх powtórzenie є środek symetrii elipsy i nazwijmy go centrum elips, A punkty przepływu krzyżowego z osiami symetrii (punkty A, B, C i D na ryc. 7.2, a) - szczyty elipsy.

Zadzwoń pod numer a świetna pivvissyu elipsa, a b = √ (a 2 - c 2) - th mały pivvissyu... Nie jest to ważne, ale przy c>0 jest dużo dojazdów z centrum miasta do cichych szczytów, które znajdują się na tej samej osi z ogniskami elips (szczyty A i B na ryc. 7.2 a ), a mały do ​​centrum kraju do dwóch wierzchołków (wierzchołki C i D na ryc. 7.2, a).

Rivnyannya elipsa. Widać go na kwadracie z ogniskiem w punktach F 1 i F 2 przy wielkim vissu 2a. Chodź 2c - widok ogniskowy, 2c = | F1F2 |

Wibrujący układ współrzędnych linii prostej Oxy na tym obszarze, dzięki czemu ucho znajduje się z powrotem w środku elipsy, a skupienie było na oś odcięta(ryc. 7.2, b). Ten układ współrzędnych nazywa się kanoniczny dla analizowanego e-maila, a podane zmiany są kanoniczny.

W układach współrzędnych vibran_ nacisk kładziony jest na współrzędne F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Vikoristovuchi formuła jest zapisana kropkami, zapisz w umyśle | F 1 M | + | F2M | = 2a we współrzędnych:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Cena nie jest więc łatwa w obecności dwóch pierwiastków kwadratowych. Tom może przerobić yogo. Przeniesiony do równego (7.2), inny rodnik po prawej stronie jest wykonywany na kwadracie:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Jeśli otworzysz łuki i podasz dodatkowe szczegóły, będziesz mógł

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c / a. Powtórz operację podniesienia do kwadratu, wystarczy dodać kolejny pierwiastek: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 albo maksymalna wartość wprowadzonego parametru ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Oskilki a 2 - c 2 = b 2> 0, wtedy

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

Odpowiednik (7.4) zgadza się ze współrzędnymi wszystkich punktów leżących na elipsy. Ale w momencie wprowadzenia wikariuszy przeprowadzono nierównoważne ponowne wdrożenie zasady „z własnej kieszeni” (7.2) - dwa kwadraty, aby usunąć rodniki kwadratowe. Konstrukcja kwadratu jest równoznaczna z równoważnymi reinkarnacjami, gdyż w obu częściach znajdują się wartości z tym samym znakiem, które nie zostały zmienione w ich reinkarnacjach.

Nie możemy obalić równoważności przewrócenia, jak to jest prawdą. Para punktów F 1 w F 2 | F 1 F 2 | = 2c, obszar jest rodziną elips z ogniskami w punktach cich. Punkt skórny obszaru, krawędź punktów F 1 F 2, powinien być podobny do dowolnego wyjaśnienia z wyżej wymienionej rodziny. Jednocześnie dwa elips nie przewracają się, fragmenty ilości promieni ogniskowych jednoznacznie oznaczają konkretny e-mail. Otzhe, opisana jest rodzina elips bez przestrzelenia, obejmująca cały obszar, z wyjątkiem punktów wzdłuż linii F1F2. Nie ma wyraźnych punktów, których współrzędne są równe (7,4) od wartości parametru a. Ile może być na liście e-maili? Część punktów wielu podąża za elipsą z wielkim pivvissyu a. Nie idź do punktu tsіi many є, jak leżeć na elipsach z wielkim pivvissyu a. Współrzędne Todiego środka punktu są uporządkowane na zamówienie

Tobto. Równoważnik (7.4) i (7.5) może być oryginalnym rozwiązaniem. Jednak łatwo to zmienić, ale system

dla ã ≠ rozwiązanie nie jest dobre. Za wiele zwycięstw, na przykład x z pierwszej rivnyannya:

jak zrobić odtworzenie do poziomu

nic wielkiego z ã ≠ a, drzazgi. Otzhe, (7,4) є a> 0 w małym b = √ (a 2 - c 2)> 0. kanoniczny rіvnyanye elipsa.

Rewizja elips. Razglyanuty vische geometryczny sposób na wywołanie elips tak bezduszna wigilia elipsy. Wszystkie formy elipsy można ożywić za pomocą rodziny kanonicznej (7.4). Na przykład możliwe jest, vvazhayuchi y ≥ 0, viraziti przez x: y = b√ (1 - x 2 / a 2), і, po obejrzeniu funkcji, stanie się wykresem. Є Jeszcze jeden sposób na wywołanie elipsy. Liczba promieni a ze środkiem na kolbie kanonicznego układu współrzędnych elipsy (7.4) jest opisana równaniem x 2 + y 2 = a 2. Yaksho її trzymaj się konferencji a / b> 1 vdovzh rzędna osi, wtedy widok jest zakrzywiony, jak opisują równoważniki x 2 + (ya / b) 2 = a 2 elipsy tobto.

Szacunek 7.1. Cóż, tyle samo razy z a / b

Ekscentryczność elips... Renowacja ogniskowej elips do osi wielkiej ekscentryczność elips który jest oznaczony przez ε. Na podany e-mail

ekwiwalenty kanoniczne (7,4), ε = 2c / 2a = c / a. Również (7.4) parametry a i b są powiązane z nierównością a

W c = 0, jeśli elimy przekształcają się w obwód, i ε = 0.

Ekwiwalent (7,3) Ekwiwalent (7,4), Punktacja Ekwiwalentu (7,4) i (7,2). Do tych samych elips є (7.3). Poza tym zespół spivvidnoshennya (7.3) tsikave, tak prosty, nie mści się na rodnikach, wzór na dozhini | F2M | jeden z promieni ogniskowych punktu M (x; y) elektronu: | F2M | = a + εx.

Analogiczna formuła drugiego promienia ogniskowego polega na tym, że można go usunąć z symetrii symetrii powtórzeń Vykladoka, w której pierwszy rodnik jest przenoszony na prawą stronę kwadratu, a nie na drugi. Również dla dowolnego punktu M (x; y) na elipsi (div.Rys. 7.2)

|F1M | = a-?x, | F2M | = a + εx, (7.6)

w skórze z cich rіvnyans є рівняннім еіпса.

Dodatek 7.1. Wiadomo, że kanoniczna rywniania epoki z wielką osią 5 i ekscentrycznością 0,8, to będzie Yogo.

Znając duży procent elipsy a = 5 i mimośrodu ε = 0,8, który jest znany małym procentom b. Oskіlki b = √ (a 2 - z 2) i c = εa = 4, następnie b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Znaczenie kanonicznego ma viglyad x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Aby wywołać elipsę, ręcznie narysuj prostokąt od środka na kolbie kanonicznego układu współrzędnych, którego boki są równoległe do osi symetrii elips i boków osi eliptycznych (ryc. 7.4) . Tsey prostownik do zmiany

osie elipsy na wierzchołkach A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), ponadto sama elipsa napisów w nowym . Na ryc. 7.4 Wskazano również ognisko F 1,2 (± 4; 0).

Geometryczna moc elips. Wielokrotnego zapisu pierwsza rivnyannya (7.6) w viglyad |F 1 M | = (a / ε - x) ε. Co istotne, wartość a / ε - x przy a> h jest dodatnia, ale ognisko F 1 nie podąża za elipsą. Wielkość є idzie w górę do prostej pionowej d: x = a / ε od ​​punktu M (x; y), tak że można leżeć na wprost. Rivnyannya elipsa można nagrać na viglyadі

| F 1 M | / (a ​​​​/ ε - x) = ε

Oznacza to, że elipsy są przechowywane z cichych punktów M (x; y) obszaru, dla którego relacja dochodzi do promienia ogniskowej F 1 M, aby dojść do prostej d jest wartością stałą, która jest droga ε (rys. 7.5).

W liniach prostych d є „dvіynik” to pionowa linia d „, symetryczna d do środka elipsy, ponieważ jest ustawiona jako równa x = -a / ε. Elipsy d” można opisać jako takie, jak to jest ewidentnie re. Wykroczenie proste d i d nazwa reżyserzy elipsy... Kierunek elipsy jest prostopadły do ​​tej samej osi symetrii elipsy, w tym samym ognisku i jest ustawiony w kierunku środka elipsy w odległości a / ε = a 2 / s (ryc. 7.5).

Spotkaj się z dyrektorką, aż do najbliższego jej wezwania ogniskowy parametr elipsy... Parametr Tsey do drzwi

p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

Elips jest ważniejszy moc geometryczna: promienie ogniskowe F 1 M i F 2 M są przechowywane luzem do elips w punkcie M pivni kuti (ryc. 7.6).

Moc mocy to fizyczny czarodziej. Gdy tylko fokus F 1 stanie się słabo oświetlony, można zniknąć z ostrości, gdy zobaczysz wiadomość z e-maila w innym promieniu ogniskowej, więc gdy zobaczysz ją na własną rękę, zobaczysz na własną rękę. W ten sposób wszystkie wymiany, które przechodzą z fokusu F 1, koncentrują się w innym fokusie F 2 i navpaki. Z tej interpretacji moc nazywa się optyczna moc elips.

Krzywe innej kolejności na tym terenie nazywane są liniami, które w niektórych zimowych współrzędnych nazywane są wygłodniałymi xі tak zemścić się na kolejny krok. Przed nimi mowa o elipsach, hiperbolach i parabolach.

Zagalny widok krzywego innego rzędu:

de ALFABET- liczby, które chcę b jeden, jeśli parametry A, B, C nie drogie do zera.

Przy definiowaniu krzywych z krzywych innego rzędu najczęściej spotykane są wskaźniki kanoniczne, hiperbole i parabole. Łatwo trafić do nich w ustronnych rywnianach, do których zostanie przypisany tyłek 1 zadań z e-mailami.

Elips, przydziały do ​​ras kanonicznych

Viznachennya elipsa. Elips nazywane są głuchymi punktami obszaru, na przykład dla niektórych sum miejsc do punktów zwanych ogniskami, wartością stałą i więcej, poniżej ogniska.

Skoncentruj się na znaczeniu i małym poniżej.

Kanoniczny rіvnyannya elipsa maє viglyad:

de aі b (a > b) - Dovzhini pivosey, czyli wyświetlana jest połowa dovzhin, która jest wyświetlana jako elipsa na osiach współrzędnych.

Prosto przejść przez ogniska elipsy, symetria є yo vissyu. Środek symetrii elipsy jest prosty, przechodzący przez środek spirali prostopadle na całej długości. Plamka O Peretin tsikh prosto, aby służyć jako środek symetrii elipsy lub tylko środek elipsy.

Zawieś odcięte elips peretin w punktach ( a, O) ta (- a, O), a wszystkie rzędne - w punktach ( b, O) ta (- b, O). Niektóre punkty nazywane są szczytami elipsy. Na odciętej nazywana jest wielkim vissyu, podczas gdy w rzędnej nazywana jest małym vissyu. Ścieżki od szczytu do środka elipsy nazywane są pivos.

Jakszoz a = b, a następnie іvnyannya elipsa nabuv viglyadu. Tse rivnyannya kola promień a, A colo jest określeniem vipadoka elipsy. Elips można przyciąć z promienia coli a, jak wcisnąć її w a/b razy udovzh osі Auć .

zapas 1. Rewizja, chi є linia, przyznawana zagranicznym rówieśnikom , elipsom.

Decyzja. Przeprowadzenie odtworzenia zalnego ryvnyannya. Zastosovuєmo przeniesienie zwykłego członka do prawej części, terminowo-nominalnie rozpodіl rіvnyаnnya jeden z tych liczb i szybkich frakcji:

Pogląd. Otrimane w wyniku odtworzenia rivnyannya do kanonicznej rivnyannya epoki. Otzhe, tsya linea - elips.

zapas 2. Obszar epoki kanonicznej, a także na podstawie 5 i 4.

Decyzja. Podziwianie formuły kanonicznych elips ryvnyannya i teraźniejszość: Wielka pivvis - tse a= 5, mensha піввіс - tse b= 4. Otrimuєmo kanoniczny rivnyannya elipsa:

Punkty zaznaczone zielenią na dużej osi, de

zadzwoń do siebie wydziwianie.

Zostać wezwanym ekscentryczność elipsy.

Świątynia b/a charakteryzujący "spłaszczenie" elipsy. Jak tylko cena jest mniejsza, jest silniejsza niż cena życia wielkiej osi. Jednak kroki witalności elipsy są często przeginane przez ekscentryczność, formuła skierowana jest w stronę oka. W przypadku starszych dzieci ekscentryczność zmienia się od 0 do 1, jeśli jest mniejsza niż jeden.

zapas 3. Obszar ery kanonicznej, gdzie skupiono się na drodze 8 i więcej na drodze 10.

Decyzja. Robimo niezręczne visnovki:

Jeśli jest większy niż droga 10, to połowa, tobto pivvis a = 5 ,

Jak tylko liczba wynosi 8, to liczba C od współrzędnych punktów centralnych do drzwi 4.

Pidstavlyaєmo, który jest liczbowy:

Rezultatem jest kanoniczna rіvnyаnnya elipsa:

zapas 4. Region kanoniczny epoki, a także większość drogi 26 i ekscentryczności.

Decyzja. Yak vyplyaє od wielkości dużej osi, a od poziomu ekscentryczności, duża zmiana jest a= 13. Ekscentryczność Rivnyannya zgięcia liczby mo C, należy obliczyć minimalną kwotę pieniędzy:

.

Liczne kwadraty menshoi pivosi:

Magazyn kanoniczny rivnyannya elipsa:

Tyłek 5. Wizualizuj, na czym skupia się e-mail przekazany rodzinie kanonicznej.

Decyzja. Prześlij znać numer C Pierwsze współrzędne punktów ogniskowych elipsy to:

.

Poznam triki e-maila:

Tyłek 6. Koncentruje się na osi Wół symetryczny do kolby współrzędnych. Kanoniczna rivnyannya elipsa, gdzie:

1) wyróżniają się foci 30, ale świetnie 34

2) mała waga 24, a jeden z punktów ostrości znajduje się w punkcie (-5; 0)

3) ekscentryczność, a jedno z ognisk znajduje się w punkcie (6; 0)

Prodovzhuєmo virishuvati zavdannya na elipsach na raz

Jeżeli punkt elipsy jest wystarczający (na fotelu jest oznaczony zielenią w prawym górnym rogu elipsy) i punkt skupienia został osiągnięty, to formuły ofensywy są następujące:

Dla punktu skórnego, który powinien być podobny do elipsy, suma punktów z ogniska wynosi є wartość stała, równa 2 a.

Prosto, więc zaczynasz być prosty

zadzwoń do siebie reżyserzy elipsa (na fotelu - czerwone linie wzdłuż krawędzi).

Trzy dwa vyshchenenikh viplivy, które dla dowolnego punktu elip

,

de і - pokazuje centralny punkt reżyserom.

Tyłek 7. Ucieczka Daniy. Sklasts іvnyannya yogo dyrektorki.

Decyzja. Zastanawiając się na poziomie reżysera i viyavlyaemo, trzeba znać ekscentryczność e-maila, tobto. Usi dani dla tsyogo є. Liczny:

.

Otrimumo Rivnyannya dyrektorzy elipsa:

Tyłek 8. Regiony kanoniczne epoki, które koncentrują się na є punktach i reżyserach prostych.